提公因式法正版PPT课件
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《提公因式法》分解因式PPT课件 (共16张PPT)
注意：如果多项式的第一项的系数是负的，
一般要提出“-”号，使括号内的第 一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项 式的各项都要变号。
★各项系数都是整数时,公因式的系数应取 各项系数的最大公约数;字母取各项的 相同的字母,而且各字母的指数取次数 最低的。 ★1作为项的系数，在因式分解时不要漏掉。 ★首项负，提负号，要变号。
例1、 分析:应先找出 与 的公因式, 再提公因式进行分解★各项系数都是整 数时,公因式的系数应取各项系数的最大 公约数;字母取各项的相同的字母,而且 各字母的指数取次数最低的★.
注意：多项式中，第三项是x，它的系数是1；1
作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一 项时，它在因式分解时不能漏掉。
因式分解定义
•把一个多项式化成几个整式 积的形式,这种变形叫做把 这个多项式分解因式.
●
想一想:
分解因式与整式乘法有何关系?
分解因式与整式乘法是互逆过程
练习一
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 因式分解 (4).x2+4x+4=(x+2)2 整式乘法 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
(4) a(a+1)(a-1)= ____
a3-a
2 (x-3) x2-6x+9=________ a(a+1)(a-1) (5) a3-a=______
提公因式法 ppt课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.1 提公因式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. （重点） 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因 式.（难点）
导入新课
复习引入
运用前面所学的知识填空： (1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ； (2) (x+1)(x-1)= x2 -1 ； (3) (a+b)2 = a2 +2ab+b2 .
一 因式分解
把下列多项式写成乘积的形式的形式
(1) ma+mb+mc=( m)( a+b+)c
(2) x2 -1 =( x+1)( x-1 )
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变
形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
解法2：(x-y)2+y(y-x) =（y-x)2+y(y-x) =(y-x)(y-x+y)
=(x-y)(x-2y).
=(y-x)(2y-x).
练习:
变式练习 1.先分解因式,再求值:
4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.
2.计算5×34+24×33+63×32.
3、计算: 992＋99.
今天的数学课 你的收获是什么?
还有疑问吗？
课堂小结
因式 分解
定义 方法 注意
am+bm+mc=m(a+b+c)
14.3.1 提公因式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. （重点） 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因 式.（难点）
导入新课
复习引入
运用前面所学的知识填空： (1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ； (2) (x+1)(x-1)= x2 -1 ； (3) (a+b)2 = a2 +2ab+b2 .
一 因式分解
把下列多项式写成乘积的形式的形式
(1) ma+mb+mc=( m)( a+b+)c
(2) x2 -1 =( x+1)( x-1 )
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变
形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
解法2：(x-y)2+y(y-x) =（y-x)2+y(y-x) =(y-x)(y-x+y)
=(x-y)(x-2y).
=(y-x)(2y-x).
练习:
变式练习 1.先分解因式,再求值:
4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.
2.计算5×34+24×33+63×32.
3、计算: 992＋99.
今天的数学课 你的收获是什么?
还有疑问吗？
课堂小结
因式 分解
定义 方法 注意
am+bm+mc=m(a+b+c)
《提公因式法》课件
05
提公因式法在科学计算器中的应用
在科学计算器中的实现方法
键盘输入
学生需要在科学计算器上 正确输入表达式。
符号运算
科学计算器可自动判断运 算符号，并自动进行符号 运算。
显示结果
科学计算器可以清晰地显 示出运算结果。
在科学计算器中的实例演示
实例一：$(2a+3b)^{2}=4a^{2}+9b^{2}+12ab$ 实例二：$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
THANK YOU.
根的个数判定
一个根
当多项式中只有一个根时，可 以提取公因式。
多个根
当多项式中有多个根时，可以提 取公因式。
无实数根
当多项式中无实数根时，不可以提 取公因式。
多项式分解的判定
一次因式的判定
当多项式中各项有一次因式时 ，可以提取公因式。
高次因式的判定
当多项式中各项有高次因式时 ，可以提取公因式。
无因式的判定
在几何中的应用
面积与体积
提公因式法可以用于计算几何图形的面积和体积。
坐标系
提公因式法可以用于建立几何图形的坐标系，以便进行更精确的计算。
在数两个整数的最大公约数，进而解决 与约数有关的问题。
因数分解
提公因式法可以将一个整数分解为多个因数的乘积，有助于 进行数值计算和数学分析。
展示如何将一个多项式分解成若干个单项式的乘积的 形式。
展示如何将两个多项式的乘积化成一个多项式的形式 。
06
提公因式法练习题及解析
练习题
• 类型一：基础练习题 • 题目一：x^2+4x+4=0 • 题目二：(x+2)(x-2)=x^2-4 • 题目三：(x+3)(x-3)=x^2-9 • 类型二：进阶练习题 • 题目四：(x+4)(x-1)+(x+1)(x-4)=3x^2-8x-3 • 题目五：(x+2)(x-5)-(x-1)(x-6)=4x^2-19x+10
提公因式法 课件
(2)尝试将它们分别写成两 个(1)16 25 x2
(2)4a2 1 b2 9
(1)16 25 x2
42 (5x)2
=(4+5x)(4-5x)
(2)4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2 3
(2a 1 b)(2a 1 b)
把一个多项式化为几个整式的乘积的形 式,这就是因式分解.
公因式的概念：
多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b， 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
例如： b是多项式ab+bc各项的公因式。 b是多项式mb²+nb-b各项的公因式。 x是多项式3x²+x各项的公因式。
提公因式法：
(x 5y)(x 5y) ( y 3z)( y 3z)
回顾与思考:
上面运用了那个乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b2
事实上把这个公式反过来 就得到: a2 b2 (a b)(a b)
(1) 多项式x2 25和9x 2 y 2 他们有什么
共同特征?
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
例2 分解因式： (4x 1)2 (3x 1)2
9(a 2b)2 4(a 2b)2
若 x2 y2 44, x y 11, 求 x y 的值
3
3
例2 :把下列各式分解因式
(1)4(m n)2 (m n)2
(2)3x3 12 x
(1)4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
(2)4a2 1 b2 9
(1)16 25 x2
42 (5x)2
=(4+5x)(4-5x)
(2)4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2 3
(2a 1 b)(2a 1 b)
把一个多项式化为几个整式的乘积的形 式,这就是因式分解.
公因式的概念：
多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b， 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
例如： b是多项式ab+bc各项的公因式。 b是多项式mb²+nb-b各项的公因式。 x是多项式3x²+x各项的公因式。
提公因式法：
(x 5y)(x 5y) ( y 3z)( y 3z)
回顾与思考:
上面运用了那个乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b2
事实上把这个公式反过来 就得到: a2 b2 (a b)(a b)
(1) 多项式x2 25和9x 2 y 2 他们有什么
共同特征?
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
例2 分解因式： (4x 1)2 (3x 1)2
9(a 2b)2 4(a 2b)2
若 x2 y2 44, x y 11, 求 x y 的值
3
3
例2 :把下列各式分解因式
(1)4(m n)2 (m n)2
(2)3x3 12 x
(1)4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
提公因式法ppt课件
知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x
＋
)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x
＋
)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
提公因式法ppt课件
用“ ”来“留守”，不能为“ ”.
【正解】 − + = ( − +) .
1. 下面的多项式中，能分解因式的是( D )
A. +
B. − +
C. −
2. 下列多项式中，哪个多项式各项的公因式是 ？ ( A )
A. +
化难为易．比如：
简便计算：19＋19 2－20 2．
解：原式＝19×(1＋19)－20 2
＝19×20－20 2＝20×(19－20)＝－20．
3．运用提公因式法分解因式，简便计算：
9×168＋9×723＋9×109．
解：原式＝9×(168＋723＋109)＝9 000．
4．【例1】下列式子变形是因式分解的是( D )
【点拨】先采用提公因式法分解所求式子，从而改变式子的结构，然后整体代入
即可求值.
变式 已知 + = ， = ，求 ( + )( − ) − ( + ) 的值.
解： ∵ + = , = ，
∴ 原式 = ( + )[( − ) − ( + )]
（2） 若分解式子： + + (+) + (+) + (+) ，则需应用上述方法____
(+)
次，结果是__________．
（2） ( − ) − ( − ) .
解：原式 = ( − )( − − ) .
8. 已知 = ， + = ，求 + 的值.
解： ∵ = , + = ( + ) = ，
14.3提公因式法分解因式课件(共23张PPT)
不是整式乘法
经验提升：是否是因式分解看结果－－乘积形式
探究新知
情景一:想一想
观察下列各式的结构有什么特点： （1） 2πR＋2πr （2） ma＋mb （3） cx－cy＋cz
公共特点：各式中的多各项项都式含各有一项个都相同含的有因数的或因式 相同因式(或公共因式 ) 叫做这个多项式各项 的公因式。
探究新知
2.请用简便的方法计算下列式子：
(1). 3.8x5+5.3x5+1.9x5
(2).20052-2004x2005
解: (1). 3.8x5+5.3x5+1.9x5=(3.8+5.3+1.9)x5=11x5=55 a m+b m +cc m=( a + b + c ) m
= m( a + b + c ) (2). 20052-2005x2004=2005(2005-2004)=2005
（1）7x2 - 21x
解：原式= 7x x -3x
用提公因式法分解因式的步骤 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式,(即将多
项式化为几个因式的乘积)
知识储备
（2） 8a3b2-12ab3c+ab
× 解:原式=ab (8a2b-12b2c) =ab(8a2b-12b2c+1)
当多项式的某一 项和公因式相同 时，提公因式后 剩余的项是1。
14.3提公因式法分解因式
教学目标
• 1．初步了解什么叫因式分解？
• 2. 了解整式乘法与因式分解的区别和联系是什么。
• 3. 理解什么是公因式？知道如何找公因式。
• 4. 初步掌握提公因式法。
带着以上问题，自学课本 p165166
经验提升：是否是因式分解看结果－－乘积形式
探究新知
情景一:想一想
观察下列各式的结构有什么特点： （1） 2πR＋2πr （2） ma＋mb （3） cx－cy＋cz
公共特点：各式中的多各项项都式含各有一项个都相同含的有因数的或因式 相同因式(或公共因式 ) 叫做这个多项式各项 的公因式。
探究新知
2.请用简便的方法计算下列式子：
(1). 3.8x5+5.3x5+1.9x5
(2).20052-2004x2005
解: (1). 3.8x5+5.3x5+1.9x5=(3.8+5.3+1.9)x5=11x5=55 a m+b m +cc m=( a + b + c ) m
= m( a + b + c ) (2). 20052-2005x2004=2005(2005-2004)=2005
（1）7x2 - 21x
解：原式= 7x x -3x
用提公因式法分解因式的步骤 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式,(即将多
项式化为几个因式的乘积)
知识储备
（2） 8a3b2-12ab3c+ab
× 解:原式=ab (8a2b-12b2c) =ab(8a2b-12b2c+1)
当多项式的某一 项和公因式相同 时，提公因式后 剩余的项是1。
14.3提公因式法分解因式
教学目标
• 1．初步了解什么叫因式分解？
• 2. 了解整式乘法与因式分解的区别和联系是什么。
• 3. 理解什么是公因式？知道如何找公因式。
• 4. 初步掌握提公因式法。
带着以上问题，自学课本 p165166
《提公因式法》PPT教学课文课件
活动五：课堂小结
定义
因式 分解
方
法
注意
am+bm+mc=m(a+b+c)
提公因式法
确定公因式的方法： 三定，即定系数；定字母；定指数 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式
公 式 法 （下节课学习）
1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
活动六：课后作业
x2 ＋ x
相同因式 p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
活动三：新知探究
pa + pb +pc = p ( a+b+c ) 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式 提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式， 用提取公因式的方法可使运算简便．
活动四：新知运用
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分 解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整 体带入即可.
如果提出公因式4ab,另一 个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3).
做整式乘法运算.
如何检查 因式分解 是否正确？
活动四：新知运用
例3 计算：(1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解：(1)原式＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91) ＝13×20＝260. (2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
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( x-y)(y+x) -( x-y)2
（3）a(x-y)2-b(y-x) 2； ( x-y)2(a-b) （4）4a2b(a-b)-6ab2(a-b) . 2ab(2a-3b)( a-b)
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
分析 先=确2x定(公2x因-3式) 的系数，再确
定字母. 这两项的系数为4，6，它们 的最大公约数是2；两项的字母部分 x2与x都含有字母x，且x的最低次数 是1，因此公因式为2x.
2. 在下列括号内填写适当的多项式： （1）3x3-2x2+x= x( 3x2-2x+1 )
（2）-30x3y2+48x2yz = -6x2y ( 5xy-8z )
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
3. 把下列多项式因式分解： （1）3xy-5y2+y；
答案：y(3x-5y+1) （2）-6m3n2-4m2n3+10m2n2.
答案：-2m2n2(3m+2n-5) （3）4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z 3.
答案：4x2yz2(x-2z2+3x2yz)
第第二二课课时时
说一说
下列多项式中各项的公因式是什么？
例4 把下列多项式因式分解. （1） x( x -2) – 3(x-2) ； （2）x(x -2)-3( 2-x) ．
（1） x( x -2) – 3(x-2) ； 解 x(x-2)-3(x-2)
= (x-2)(x-3)
（2）x(x -2)-3( 2-x) ． 解 x(x -2)-3( 2-x)
本课节内容 3.2
提公因式法
说一说
下列每个式子含字母的因式有哪些？ xy，xz，xw.
由此看出，xy，xz，xw有公共的因式 x .
xy的因式有x，y，… xz的因式有x，z，… xw的因式有x，w，…
几个多项式的公共的因式称为 它们的公因式.
运用已学过的知识填空:
⑴ x(x+1)= x2+x ; ⑵ (x+1)(x-1)= x2-1 ; ⑶ (a+b)2= a2+2ab+b2 .
（1）2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)；
答：公因式是2m(x+1).
（2）2x(3a-b)-y(b-3a)； 2am(x+1)，答4：bm公(x因+1式) 是(3a-b).
与8cm(x+1)的公因式 是2m(x+1).
b-3a可以看做 -(3a-b)，所 以2x(3a-b)与 y(b-3a)的公因 式是3a-b .
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do YSo Don'T Give Up, Stick To The End
= x(x-2)-3[-(x-2)] = x( x-2)+3(x-2) = (x-2)(x+3).
例5 把 (a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2因式分解.
解 ( a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2 = (a+c)(a-b)2 -(a-c)(a-b)2 = (a-b)2[(a+c)-(a-c)] = (a-b)2(a+c-a+c) = 2c(a-b)2
⑴ x2+x= X(X+1) ; ⑵ x2-1=(x+1)(x-1) ; ⑶ a2+2ab+b2= (a+b)2 .
观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之 间
的联系与区别吗？回忆 ⑴ x(x+1)= x2+x ; ⑵ (x+1)(x-1)= x2-1 ; ⑶ (a+b)2= a2+2ab+b2 .
练习
1. 说出下列多项式中各项的公因式：
（1）-12x2y+18xy-15y； 答：公因式是3y或-3y.
（2）πr2h+ πr3. 答：公因式是 πr2.
（3）2xmyn-1-4xm-1yn (m，n均为大于1的整数） 答：公因式是2xm-1yn-1.
例2 把4x2 -6x因式分解.
解 4x2 - 6x
例6 把12xy2(x+y)-18x2y(x+y) 因式分解. 解 12xy2(x+y)- 18x2y(x+y) = 6xy(x+y)(2y-3x).
议一议
因式分解时，如何确定多项式各项的 公因式？
练习
把下列多项式因式分解：
（1）y( x-y) +x(x-y) ； （2）y (x-y) +x(y-x) ；
探究 ⑴ x2+x= x(x+1) ; ⑵ x2-1= (x+1)(x-1) ; ⑶ a2+2ab+b2= (a+b)2 .
把一个多项式化为几个整式的
乘积形式，像这样的式子的变形叫做把这
个多项式因式分解，也叫做把这个多项 式分解因式。
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
如何把多项式 xy+xz+xw 因式分解？
把乘法分配律从右到左地 使用，便得出
xy+xz+xw=x(y+z+w).
像上面那样，如果一个多项式的各项有公因 式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多 项式因式分解的方法叫做提公因式法.
例1 把5x2-3xy+x因式分解 .
解 5x2-3xy+x 分 因析 式为多=x.项x第(式53x项各-3将项y+x均1提)含.出有后x，，括因号此内公 的因式为1.
练习
例3 把8x2y4-12xy2z因式分解.
解 8x2y4-12xy2z
分析 公因式的系数是8 与12的最大
公约数= 4；(4公xy因2)式·2含xy的2-字(母4x是y2各)·项3z中
相同的字母x 和y，它们的指数取各
项 . 中次=数4最xy低2(的2x，y2因-3此z)公.因式为4xy2
练习