高三数学冲刺模拟(九)新人教A

2011届高三数学冲刺模拟（9）一．填空题1. 设i 是虚数单位，复数i z +=11，i t z 22+=R t ∈(），若21z z ⋅是实数，则=t _________．2. 若集合{}32<-=x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=03xx xB ，则=⋂B A . 3. 数列{}n a 中，111,32,n n a a a +==+则通项n a =_____________4 .某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s ），随机选择了50名学生进行调查，右图是这50名学生百米成绩胡频率分布直方图。

根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在[13,15]（单位：s ）内的人数大约是 .5 .甲盒子里装有分别标有数字1.2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1,4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是6 . 阅读左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是7.已知向量,a b 满足||1,||3,,60____________a b a b aa b ==+=之间的夹角为度，则（） 8 . 已知变量x,y 满足2,236y xx y z x y y x ≤⎧⎪+≥=+⎨⎪≥-⎩则的最大值是9. cos103sin101cos80+=-10. 、圆012422=+-++y x y x ，与直线x y 21=相交，所得的弦长为11. 已知数列ABC ∆的两顶点A 、C 是椭圆192522=+y x 的二个焦点，顶点B 在椭圆上，则________________sin sin sin =+CA B12. 已知不等式||1x m -<成立的一个充分非必要条件是2131<<x ，则实数m 的取值范围是_________．13. 已知：()f x 是R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2f x x =+，则(7)f =_________． 14. .下列三个命题：①若函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于y 轴对称，则2πϕ=；②若函数2()1ax f x x -=-的图象关于点（1，1）对称，则a=1； ③函数()|||2|f x x x =+-的图象关于直线x=1对称。

其中真命题的序号是 。

（把真命题的序号都填上） 二．解答题15. 已知函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2+=。

（1） 求函数)(x f 在]3,6[ππ-上的值域； （2） 在ABC ∆中，若)cos()cos(sin 2,2)(C A C A B C f +--==，求A tan 的值。

16. 在在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证： （1）平面BDO ⊥平面ACO ； （2）EF//平面OCD.DABCFE O M17. 电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN 平行CD ） （1） 若通话时间为两小时，按方案A ，B 各付话费多少元？ （2） 方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ （3） 通话时间在什么范围内，方案B 比方案A 优惠？18. 已知等轴双曲线C 的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是坐标原点，且双曲线经过点33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C 的方程：①22274x y -=；②9xy =；③92xy =．请确定哪个是等轴双曲线C 的方程，并求出此双曲线的实轴长；（2） 现要在等轴双曲线C 上选一处P 建一座码头，向()3,3A 、()9,6B 两地转运货物．经测算，从P 到A 、从P 到B 修建公路的费用都是每单位长度a 万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（3） 如图，函数31y x x=+的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）19. 已知()()xx x g e x x ax x f )ln()(),0,(,ln --=-∈--=，其中e 是自然常数，.a R ∈ (1)讨论1a =-时, ()f x 的单调性、极值； (2)求证：在（1）的条件下，21)(|)(|+>x g x f ； (3)是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由。

20. 已知数列{}n a 满足1(a a a =为常数，)a R ∈，*123()n n n a a n N +=-∈，设*()2n n n a b n N =∈. (1)求数列{}n b 所满足的递推公式；(2)求常数c q 、使得1()n n b c q b c +-=-对一切*n N ∈恒成立；(3)求数列{}n a 通项公式，并讨论：是否存在常数a ，使得数列{}n a 为递增数列？若存在，求出所有这样的常数a ；若不存在，说明理由.试题答案 一．填空题1. 22. ()()5,30,1⋃-3. 1231n -⨯- 4. 120 5. 1/2 6. 2 7. 5/28. 9 9.2 10. 2 11. 5412. 14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13. 3- 14.(2)(3)二．解答题15.解：（1）1)62sin(22sin 32cos 1cos sin 32cos 2)(2++=++=+=πx x x x x x x f36ππ≤≤-x πππ65626≤+≤-∴x ，1)62sin(21≤+≤-πx 31)62sin(0≤++≤∴πx)(x f 在区间]3,6[ππ-上的值域为]3,0[（2）21)62sin(2)(=++=πc c f 21)62sin(=+πc ， π<<c o 62626ππππ+≤+≤∴c6562ππ=+∴c ，3π=c C A C A c A B sin sin 2)cos()cos(sin 2=+--= C A C A sin sin )sin(=+∴C A C A C A sin sin sin cos cos sin =+ 2333cos3sin3sin cos sin sin tan +=-=-=πππCC CA16. 证明：⑴∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA BD ⊥， ∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OAAC A =，∴BD ⊥平面OAC ，又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO ． ⑵取OD 中点M ，连接EM,CM ,则1,2ME AD ME AD =‖， ∵ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =， ∵F 为BC 的中点，∴1,2CF AD CF AD =‖，∴,ME CF ME CF =‖．DAE OM∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ，17. 设通话x 分钟时，方案A ，B 的通话费分别为(),()A B f x f x （1）当x=120时 ()A f x =116元 ()B f x =168元若通话时间为两小时，方案A 付话费116元，方案B 付话费168元（2）980601680500(),()338060185001010A B x x f x f x x x x x≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪==⎨⎨+<+<⎪⎪⎩⎩当500x >时(1)B f x +-()B f x =0.3 方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3 元 (3) 当500x >时()()A B f x f x >060x ≤≤ ()()A B f x f x < 60500x <≤由()()A B f x f x >得8803x >综合：通话时间在880(,)3∞内方案B 较优惠。

18. （1）双曲线22274x y -=的焦点在x 轴上，所以①不是双曲线C 的方程 双曲线9xy =不经过点33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以②不是双曲线C 的方程 所以③92xy =是等轴双曲线C 的方程 等轴双曲线92xy =的焦点1F 、2F 在直线y x =上，所以双曲线的顶点也在直线y x =上，联立方程92xy y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得双曲线92xy =的两顶点坐标为⎝⎭，⎛ ⎝⎭，所以双曲线92xy =的实轴长为6 （2） 所求问题即为：在双曲线92xy =求一点P ，使PA PB +最小．首先，点P 应该选择在等轴双曲线的92xy =中第一象限的那一支上等轴双曲线的92xy =的长轴长为6，所以其焦距为又因为双曲线的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是原点，所以()3,3A 是92xy =的一个焦点， 设双曲线的另一个焦点为()23,3F --，由双曲线的定义知：26PA PF =-所以()26PA PB PF PB +=-+，要求PA PB +的最小值，只需求2PF PB +的最小值直线2BF 的方程为3430x y --=，所以直线2BF 与双曲线92xy =在第一象限的交点为33,2⎛⎫⎪⎝⎭所以码头应在建点P 33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处，才能使修建两条公路的总费用最低（3）① ()()()1133f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点()00，；② 渐近线是3y x =和0x =．当0x >时，当x 无限增大时，1x无限趋近于0，13y x x =+与3y x =无限趋近；当y 无限增大时，x 无限趋近于0．③ 双曲线的对称轴是y =和y x =．④ 双曲线的顶点为，⎛ ⎝，实轴在直线y =上，实轴长为⑤虚轴在直线y x =，虚轴长为⑥焦点坐标为，⎛ ⎝，焦距19. 解（1） ()()x x x f ---=ln ()xx x x f 111'+-=--= ∴当1-<≤-x e 时，()0'<x f ，此时()x f 为单调递减 当01<<-x 时，()0'>x f ，此时()x f 为单调递增 ∴()x f 的极小值为()11=-f（2） ()x f 的极小值，即()x f 在[)0,e -的最小值为1∴()1min =x f 令()()()21ln 21+--=+=x x x g x h又 ()()21ln 'x x x h --=当0<≤-x e 时()0'≤x h()x h 在[)0,e -上单调递减∴()()()min max 12121211x f e e h x h ==+<+=-=∴当[)0,e x -∈时，()()21+>x g x f（3）假设存在实数a ，使()()x ax x f --=ln 有最小值3，[)0,e x -∈()x a x f 1'-=①当e a 1-≥时，由于[)0,e x -∈，则()01'≥-=xa x f∴函数()()x ax x f --=ln 是[)0,e -上的增函数 ∴()()31min =--=-=ae e f x f解得e e a 14-<-=（舍去）②当e a 1-<时，则当a x e 1<≤-时，()01'<-=xa x f此时()()x ax x f --=ln 是减函数 当01<<x a 时，()01'>-=xa x f ，此时()()x ax x f --=ln 是增函数 ∴()31ln 11min =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a f x f解得2e a -= 20. (1)*11,23()n n n a a a a n N +==-∈11132222n n n n a a ++∴=-,又,2nn na b = 11322n n b b +∴=-.∴数列{}n b 的递推公式是1*1213()22n na b b b n N +⎧=⎪⎪⎨⎪=-∈⎪⎩.(2)*1()()n n b c q b c n N +-=-∈1.n n b qb c qc +∴=+- 又由(1)可知，11322n n b b +=-3212q c qc ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解之，得3215q c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，*1131()()525n n b b n N +∴-=--∈ (3)由(2)知，数列1{}5n b -是首项为11,5b -公比为32-的等比数列.1*1113()()()552n n b b n N -∴-=--∈1*11322[()()]()5252n n n n n a a b n N -∴==+--∈为所求的通项公式.考察数列{}n a ，1112123[()()(1)]5325n n n n a a --=+--1O .当1025a -=，即25a =时，125nn a =，此时数列{}n a 是递增数列.2O .当1025a -≠，即25a ≠时，11()(1)25n a ---是正负相间出现，其绝对值是正常数1||25a -，而112lim ()053n n -→∞=.故当n 充分大时，1112123[()()(1)]5325n n n n a a --=+--的值的符号与11()(1)25n a ---的值的符号相同，即数列的项的值是正负相间出现的，故数列{}n a 不可能是单调数列.综上所述，当且仅当2{}5a ∈时，数列{}n a 是递增数列.。