【排列组合】高中数学中涂色问题的“一带一路”模型
高中数学排列组合涂色与整除问题
排列与组合中的涂色问题例析北京师大燕化附中（102500） 钱月华 史树德在排列与组合的练习、检测和高考试题中，近年来多次出现了某些涂色问题。
拨云破雾、还其本来面目，实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解。
一、 带状区域的涂色题带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式m n A 的思想方法类似，可构造排好顺序的m 个空位（格），从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个填充.此类涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题.例1 用红黄绿三种颜色给图1的5个带状格子涂色.要求每格涂一种颜色、且相邻格子不能图同一种颜色，共有多少种不同的涂法？解析：从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类：一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色涂法有33A 种，且右面两相邻格涂法有12A 种.共有121233=⋅A A 种.二类是左起4格涂成红绿红绿的类似模式有33A 种，末一格涂法有12A 种，共有121233=⋅A A 种.三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有44A 种，其中产生与一类重复的有6种（如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿）.综上得：42)6(4412331233=-++A A A A A （种）.点评：本例由03年全国高考试题改稿而成，形异质同，也可先排在左起2格，再排第3格、4格、5格、采用逐类相加的解法。
例2 用4种不同颜色给图1的5个格子涂色，要求每个格涂一种颜色，若涂完后同颜色的格子恰有3个，则有多少种不同涂色方法？解析：首先考虑同色的三个格子排列法有35C 种，且任选4种颜色之一涂色，共有35C 4种。
第二步，将已涂色的三格视为一个整体与未涂色两格作全排列有33A 种，共有(35C ∙4) ∙33A =240种。
点评：注意到题中没有相邻两格不同色的约束条件，放宽要求后使问题解法简化，某同学列出算式35C 34A 时否？为什么？例3 用6种不同的颜色给图2的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种？（07天津市理科高考16题）图2解析：题中最多使用3种颜色的言外之意是最少使用2种颜色（用1种颜色不合题意），启示我们把解法分成两类：一类是用2种颜色涂有26C 种选法，满足相邻格异色、一个一色的4个格子涂法有22A 种，共有26C 22A =30种。
解决排列组合中涂色问题专题讲座
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，① ②③ ④ ⑤ ⑥4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
高中数学《排列组合染色问题》典例讲解
排列组合染色问题的探究上饶县二中 徐 凯在任教高二数学教学时，有许多同学被排列组合题的灵活性所困惑，甚至有学生向我询问有没有公式之类的解决途径，每道题都去分析似乎很累。
其实就某些特殊的排列组合问题是可以抽象出数学模型来加以研究的，比如说下面我们所要提到的染色问题。
一、一个结论。
若把一个圆（除中间同心圆外的圆环部分）分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 那么共有S)1()1()1(--+-=m m n n 种染色方法。
例：在一个圆形花坛种颜色花卉，现有4种颜色可供选择，要求相邻两个区域不同色，则共有多少种方法？解：从图中可以发现除同心圆部分外的圆环部分被分成了n=5份，因为有4种颜色可供选择，我们先给同心圆①染色有4种方法，那么圆环部分有3种颜色可供选择，即m=3,所以圆环部分共有S=()30232)13()1(1355=-=--+-种染色方法，从而整个圆形花坛共有120304=⨯种染色方法。
用常规方法同学们是否也能做到那么快和准确呢？二、结论的证明。
把圆(除中间同心圆部分)分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻。
部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 求不同的染色方法总数。
(1) 当m = 2时, n 为偶数时有2种栽种法,n 为奇数时无解。
(2) 当m > 2时设把圆分成的n 部分为n n T T T T T 、、、、1321...-。
开始时,1T 有m 种不同的染色法;1T 染好后, 2T 有m - 1 种染色法;21T T 、染好后,3T 也有m - 1种染色法; 这样依次下去, 染色的方法总数为1)1(--n m m 。
但是在这些染色方法中, 包括1-n T 与n T 染同种颜色的情况,若某种染色法使1-n T 与n T 同色, 拆去1-n T 与n T 的边界后, 就是分圆为n-1部分, 相邻部分染不同颜色的方法。
最新高中数学《排列组合染色问题》典例讲解
排列组合染色问题的探究上饶县二中 徐 凯在任教高二数学教学时，有许多同学被排列组合题的灵活性所困惑，甚至有学生向我询问有没有公式之类的解决途径，每道题都去分析似乎很累。
其实就某些特殊的排列组合问题是可以抽象出数学模型来加以研究的，比如说下面我们所要提到的染色问题。
一、一个结论。
若把一个圆（除中间同心圆外的圆环部分）分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 那么共有S)1()1()1(--+-=m m n n 种染色方法。
例：在一个圆形花坛种颜色花卉，现有4种颜色可供选择，要求相邻两个区域不同色，则共有多少种方法？解：从图中可以发现除同心圆部分外的圆环部分被分成了n=5份，因为有4种颜色可供选择，我们先给同心圆①染色有4种方法，那么圆环部分有3种颜色可供选择，即m=3,所以圆环部分共有S=()30232)13()1(1355=-=--+-种染色方法，从而整个圆形花坛共有120304=⨯种染色方法。
用常规方法同学们是否也能做到那么快和准确呢？二、结论的证明。
把圆(除中间同心圆部分)分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻。
部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 求不同的染色方法总数。
(1) 当m = 2时, n 为偶数时有2种栽种法,n 为奇数时无解。
(2) 当m > 2时设把圆分成的n 部分为n n T T T T T 、、、、1321...-。
开始时,1T 有m 种不同的染色法;1T 染好后, 2T 有m - 1 种染色法;21T T 、染好后,3T 也有m - 1种染色法; 这样依次下去, 染色的方法总数为1)1(--n m m 。
但是在这些染色方法中, 包括1-n T 与n T 染同种颜色的情况,若某种染色法使1-n T 与n T 同色, 拆去1-n T 与n T 的边界后, 就是分圆为n-1部分, 相邻部分染不同颜色的方法。
排列组合中涂色问题的常见方法和策略
排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)
排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。
根据分步计数原理，不⨯⨯⨯=种。
同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：34、根据相间区域使用颜色分类讨论。
例5、如图，6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?解析：①当相间区域A 、C 、E 着同一种颜 色时，有4种着色方法，此时B 、D 、F 各有3 种着色方法，共有4333108⨯⨯⨯=种方法。
②当相间区域A 、C 、E 着两种不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F有322⨯⨯种着色方法，共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种方法。
③当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
总计有108432192732++=种不同的涂色方法。
5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。
例6、把一个圆分成()2n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法？解析：设n 个扇形分别为1A 、2A 、、n A ，分成n 个扇形时的染色方法有n a 种，则①当2n =时1A 、2A 有2412A =种染色方法，即212a =。
高三数学一类涂色问题的分析方法
A CB D 一类涂色问题的分析方法-逻辑划分思想方法嘉定区封浜中学 杜正荣 邮编201812 电话27867241Emil zhengrong-du@涂色问题是数学竞赛中的常规问题，经常涉及到的是“染色问题“与“染色方法“两种，具体是“点、边、区域”染色的构造问题、计数问题、最优化问题。
但它又是排列组合问题种的难点，一些简单的问题对于许多学生来说，方法上还很困难，随着数学竞赛对数学知识的普及，现在染色问题已经渗透到高考，2003年全国高考数学和江苏卷即有此类题。
如何帮助学生们解答分析，下面举例说明用加、乘原理及排列、组合、模型化结构的方法。
一、分步染色方法 适用于“区域、点、线段”问题，以其为主分步计数法，用乘法原理例1如图1，用五种不同颜色，涂在A,B,C,D 的每一部分，每块用一种颜色，相邻的两块颜色不同，不同颜色的涂法有多少种？ 解法一：以区域为主分步计数，用乘法原理分析，可分四步涂色。
第一步 涂A 有5种，第二种涂B （与A 不同）有4种；第三步涂C （与A 、B 不同）有3种；第四步涂D （与B 、C 不同可与A 同）有3种，故所有不同颜色的涂色方法数为：5·4·3·3=180种。
图1二、以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用加法原理解法二：以颜色为主分类计数，按A 、D 同色与不同色分两类，用加法原理。
第一类 A 、D 同色涂有15P 种，再涂B 、C （与A 、D 不同）有24P 种，故此类方法数为15P 24P 种；第二类 A 、D 不同色先涂有25P 种，再涂B 、C （与A 、D 不同）有23P 种，故此类方法数为25P 23P 种，由加法原理得不同的涂色方法数共有15P 24P +25P 23P =180种。
三、以相邻是否同色为主分步计数法，适用于“区域、点、线段”问题解法三：以相邻区域为主分步计数，分两步涂色，按A 、B 、C 相邻不同色先涂，有35P 种，再涂D （与B 、C 不同色，可与A 同色）有3种，由乘法原理共有335P =180种。
高中数学排列组合涂色与整除问题
高中数学排列组合涂色与整除问题排列与组合中的涂色问题例析北京师大燕化附中(102500) 钱月华史树德在排列与组合的练习、检测和高考试题中，近年来多次出现了某些涂色问题。
拨云破雾、还其本来面目，实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解。
一、带状区域的涂色题mA带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式的思想方法类似，可构n mm造排好顺序的个空位(格)，从n个不同元素中任取()个填充.此类m,n涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题.例1 用红黄绿三种颜色给图1的5个带状格子涂色.要求每格涂一种颜色、且相邻格子不能图同一种颜色，共有多少种不同的涂法,解析:从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类:3A一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色涂法有种，且右面两相邻格涂3 311A,A,12A法有种.共有种. 23231AA 二类是左起4格涂成红绿红绿的类似模式有种，末一格涂法有种，共32 31A,A,12有种. 324A三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有种，其中产生与一类重复的4 有6种(如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿).31314AA，AA，(A,6),42综上得:(种). 32324点评:本例由03年全国高考试题改稿而成，形异质同，也可先排在左起2格，再排第3格、4格、5格、采用逐类相加的解法。
例2 用4种不同颜色给图1的5个格子涂色，要求每个格涂一种颜色，若涂完后同颜色的格子恰有3个，则有多少种不同涂色方法,3C解析:首先考虑同色的三个格子排列法有种，且任选4种颜色之一涂色，5 33CA共有4种。
第二步，将已涂色的三格视为一个整体与未涂色两格作全排列有5333CA,,种，共有(4) =240种。
53点评:注意到题中没有相邻两格不同色的约束条件，放宽要求后使问题解法33CA简化，某同学列出算式时否,为什么, 54例3 用6种不同的颜色给图2的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种,(07天津市理科高考16题)图2解析:题中最多使用3种颜色的言外之意是最少使用2种颜色(用1种颜色不合题意)，启示我们把解法分成两类:2C一类是用2种颜色涂有种选法，满足相邻格异色、一个一色的4个格子6 222CAA涂法有种，共有=30种。
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解【典型例题】例1．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72【答案】D【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；43212区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；43211所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D．例2．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【解析】先给O涂色，有15C种方法，接着给A涂色，有14C种方法，接着给B涂色，有13C 种方法，①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，最后E有2种涂色方法；②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法．综上，涂色方法总数为15C 14C []13C 1322(1322)1200⨯⨯+⨯⨯+⨯=故选：D例3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD −的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．36种C ．12种D ．60种 【答案】A【解析】如下表。
排列组合中涂色问题的常见方法及策略
排列组合中涂色问题的常见方法及策略排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？①③④②分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有 3 种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有 4 种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有 5 4 3 4 2402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻两个区域不能同色。
精心整理，用心做精品2分析：依题意只能选用 4 种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有4A ；44A ；4⑥⑤①②③④（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 4 A ；4（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 4 A ；（5）②与④同色、③与⑥同4色，则有 4 A ；4所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 4 A =1204例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色21) 当先用三种颜色时，区域 2 与4必须同色，1 532) 区域3 与5必须同色，故有 3 A 种；443) 当用四种颜色时，若区域 2 与4同色，4) 则区域3 与5不同色，有 4 A 种；若区域3与5同色，则区域2与44 不同色，有 4 A 种，故用四种颜色时共有 244A 种。
高中数学课件6-2排列组合之专题二：涂色问题
课堂小结
1.环状涂色问题涂法总数公式: an (1)n (m 1) (m 1)n (n≥2，m≥3)
探究新知
问题：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少 种？
解: 按地图A, B, C, D四个区域依次分四步完成: 第一步,m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步,m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,
(其中 n为不同区域数, m为不同颜色数)
2.用 m 不同颜色涂 n 棱锥的顶点涂法总数公式: an m[(1)n (m 2) (m 2)n ] (n≥3，m≥4)
解: 因为 n=6, m=5, 由公式得
an (1)n (m 1) (m 1)n
(1)6 (5 1) (5 1)6
4 46 = 4100
A
F
B
E PC D
巩固练习
1.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要 求公共边的两块不能用同一种颜色，共有____2_6_0____种不同着色 方法 .
2.(2008年全国)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现
有 4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两
块 种不同的花，则不同的种法总数为( B )
A.96
B.84
C.60
D.48
A
D
B
C
典例分析
例2 (2003年高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现
_涂色型_排列组合问题的求解策略
第 4期
高中数学教与学
涂色型 排列组合问题的求解策略
杨瑞强 (湖北省黄石实验高中, 435000)
涂色型 的排列 组合问 题, 是通 过实 际 问题情境给出图 形按要 求涂色 的一 种排列 组
合题型, 是近几 年试题 改革的 一个 新的亮 点. 此类试 题立 意新 颖、构 思精 巧、解法 灵活, 能 较好地 考 查 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力. 解决此 类 问题 的 关键 是 找准 入 手点 进 行 分类讨论. 本文通 过对若 干例 题的分 析, 试 图 说明此类问题的常见求解策略, 供大家参考.
同, 且两端的格子的颜 色也不 同, 则 不同 的涂
色方法共有
种. (用数字作答 )
思路 1 着 眼于 位 置 . 以格 子 为主 分
步、分类: 从左至右第一格涂色有 6种方法; 第
二格涂色有 5种 方法; 若第 三 格与 第 一格 同 色, 则第四格有 5种涂 法; 若 第三格 与第 一格 不同色, 则有 C14 C12 种. 由分步、分类 计数 原理 共有 6 ! 5 ! ( 5 + C14 C12 ) = 390种, 故填 390.
+
2A
4 4
=
24 +
2 ! 24 =
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
涂色问题的“一带一路”模型
例题用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.
解析：按照A→B→C→D的顺序进行涂色
N=6×5×5×5=750(种)
变式1 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，若两端的格子颜色相同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.
解析：按照A→D→B→C的顺序进行涂色
N=6×1×5×4=120(种)
变式2 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.
解析：
法一：直接法
按照A→B→C→D的顺序进行涂色，对C按照CA同色(1×5)、CA异色(4×4)进行分类，则N=6×5×(1×5+4×4)= 630(种)
法二：间接法
由例题知在没有其它限制条件下共有750种涂法，由变式1知其中两端颜色相同的涂法有120种. 故两端格子异色的涂法为：N=750－120=630(种)
变式3 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多使用3种颜色，则不同的涂色方法共有________
种（用数字作答）.
解析：由分析知：完成涂色需要用的颜色数可能为2种、3种、4种，而本题中要求“最多使用3种颜色”，故对颜色数进行分类，再按照A→B→C→D的顺序涂色.
①2种颜色: 当A、B涂完色后C、D颜色已经确定了，故n1=6×5×1×1=30；
②3种颜色: 对C按照CA同色(1×4)、CA异色(4×2)进行分类，则
n2=6×5×(1×4+4×2)= 360(种).
∴N= n1+ n2=30+360= 390(种)
变式4 从6种不同的颜色中选出4种给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.
解析：
法一：直接法(简单快捷)
按照A→B→C→D的顺序涂色，N=6×5×4×3=360(种)
法二：间接法(繁琐易错)
按所用的颜色数进行分类如下：
①2种颜色：n1=6×5×1×1=30；
②3种颜色：n2=6×5×(1×4+4×2)=360；
③4种颜色：n3=6×5×4×3=360.
故N=30+360+360=750(种)
【思考】用6种不同的颜色给图中的5个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.
N=6×5×5×5×5= 3750(种)
【总结】：
用m种不同的颜色给如图n个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有m(m−1)n−1种.
练习现要安排一份5天的值班表，每天由1人值班，共有5人. 每人值班的天数不限，但相邻两天不能由同一人值班，则该值班表共有多少种不同的排法？
模型转化：将5种颜色涂在5个格子中，每个格子涂一种颜色，相邻的格子颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？
N=5×4×4×4×4=1280(种)。