第4章 线性代数方程组的解法
第4章线性代数方程组的迭代解法
其中
0 a2 1 B (I D1 A) a 22 a n1 an n
a1n a1 2 a1 1 a1 1 a2n 0 a2 2 an2 0 an n
在例4.2中,由迭代公式写出雅可比迭代矩阵为
8x1 3x2 2x3 20 4x1 11x2 x3 33 6x 3x 12x 36 2 3 1
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )T T 取初始向量 x ( x , x , x ) ( 0 , 0 , 0 ) 1 2 3
进行迭代, 可以逐步得出一个近似解的序列：
x Gx d( k 0 , 1 , )
( k )
( k 1 )
Gx d 中当 k x x ,则 x 时，
(k) *
* *
, 故 x * 是方程组 Ax b 的解。
对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。
并非全部收敛
例4.1
用迭代法求解线性方程组
2x1 x2 3 2x1 5x2 3
3 ( k ) 3 1 ( k ) 25 ( k 1) 0 x 2 x3 x1 8 84 82 4 1 4 (k ) 1 (k ) (k 1 1 ) BI D A 0 x1 x3 3 x2 11 11 11 11 6 1 ( k )3 1 ( k 1) (k ) 0 x x x 3 1 2 3 2 4 12 12
2 x 4 x 3 计算得
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) x 3 x 3 x 9 x 15 x 33 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) x 3 , x 3 , x 9 , x 15 , x 33 , 2 2 2 2 2
线性代数第四章线性方程组课件
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
线性代数PPT课件第四章第四节 线性方程组解的结构.ppt
0 1 0
1 0 1
1 1 1
1
0 1
行
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1
0 0
得 x1 1 0
x2 x3 x4
x
3
1
1 0
x
4
1 0 1
.
基础解系为
1 0
1 0
1
,
1 0 1
.
令 x3c1,x4c2,(c1,c2为任意常数),
得一般解为
c1r 1
c1r 2
c1n
c2r1
c2r2
c2n
1
crr 1 1
, 2
crr 2 0
, , nr
crn
0
.
0 1
0
0
0
1
1,2,,nr 为 AX0的基础解系.
任意两个基础解系等价, 故有相同个数解向量, 为 nr个.
第四章
第四节 线性方程组解的结构
问题: 当解有无穷多时, 全部解是否可由有 限多解表示出来 ?
一. 齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a2 1x1
a22x2 a2nxn
0
(1)
am1x1 am2x2 amnxn 0
(1) 可用矩阵表示 AX0
a11 Aa21
的通解 (用基础解系与特解表示) 解
A ~1 3
1 1
2 2
1 7
1 2 3 2
1 5 103 1 6
1 0
0 1
0 2
2 1
1 0
1 1
0 0 0 0 0 0
同解方程组为
xx12
线性代数方程组的解法
说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
2. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个
列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
1
0
b11
b1,nr
B
0
0
1 0
br1 0
br,nr
,
0
0
0
0
0
与 B 对应, 即有方程组
x1
b11xr1 b1,nr xn
,
(3)
例 12 求齐次线性方程组
2xx11x52x2
x3 x4 3x3
2
0, x4
0,
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A 作初等行变换, 变为行最
简形矩阵, 有
1
1
1 1
行变换
1
0
2 7 5
3
7 4
例 13 设 Am×nBn×l = O，证明
xr
br1xr1 br,nr xn
,
把 xr+1 , ···, xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ···, cn-r ，可得方程组 (1) 的通解
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0 .
把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,
如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , ···, t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关
组 S0 线性表示；另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合
线性方程组的解法知识点总结
线性方程组的解法知识点总结在数学中，线性方程组是研究线性关系的重要工具。
解决线性方程组的问题有助于我们理解和应用线性代数的基本知识。
本文将总结线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵的逆和克拉默法则。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常见方法。
它通过逐步消去未知数，将方程组化简为上三角形式，并利用回代求解未知数的值。
步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中矩阵的最后一列是常数列。
2. 选取一个基准元素，通常选择矩阵的左上角元素或者第一列的首个非零元素。
3. 通过初等行变换，将基准元素下方的元素转化为零，从而将方程组化为上三角形式。
4. 从最后一行开始，通过回代求解未知数的值。
高斯消元法的优点是能够很好地处理大规模的线性方程组，但其缺点是计算量较大，并且可能需要进行主元交换。
二、矩阵的逆矩阵的逆也是解决线性方程组的重要方法。
对于一个非奇异方阵（可逆矩阵），我们可以通过求解逆矩阵来得到线性方程组的解。
步骤：1. 将线性方程组写成矩阵形式，其中系数矩阵为一个非奇异方阵。
2. 判断系数矩阵是否可逆。
如果可逆，则计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将方程组的常数列构成一个列矩阵，记为向量b。
4. 计算未知数向量x的值，即x = A^(-1) * b，其中A^(-1)为系数矩阵的逆矩阵。
矩阵的逆方法适用于已知系数矩阵可逆的情况，且计算矩阵的逆矩阵需要考虑到矩阵的性质和运算法则。
三、克拉默法则克拉默法则是一种解决线性方程组的特殊方法，适用于方程组的系数矩阵为方阵并且可逆的情况。
它利用行列式的性质来求解未知数的值。
步骤：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并记为Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
2. 求解系数矩阵的行列式，记为det(A)。
3. 分别将系数矩阵每一列替换为常数向量b，得到新的矩阵A1到An。
4. 分别求解A1到An的行列式，得到d1到dn。
5. 根据克拉默法则，未知数向量x的值为x = (d1/det(A),d2/det(A), ..., dn/det(A))。
线性代数 第四章 (1-2节)
第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。
线性代数线性方程组求解
线性代数线性方程组求解线性代数中，线性方程组求解是一个重要的问题。
在实际应用中，求解线性方程组是解决很多问题的基础。
本文将介绍线性代数中线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它基于矩阵变换的原理，通过对增广矩阵进行一系列的变换，将线性方程组转化为简化的阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，例如：[[a11, a12, a13, ..., a1n, b1],[a21, a22, a23, ..., a2n, b2],...[an1, an2, an3, ..., ann, bn]]其中，a11到ann是系数矩阵的元素，b1到bn是常数矩阵的元素。
然后，通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为阶梯形矩阵。
具体的行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。
接着，从底部开始，依次回代求解未知数的值。
由于阶梯形矩阵的特点，可以从最后一行开始，将已求解的未知数代入到上一行的方程中，以此类推，最终求解出所有未知数的值。
2. 矩阵的逆和行列式除了高斯消元法外，还可以通过矩阵的逆和行列式来求解线性方程组。
当系数矩阵存在逆矩阵时，可以直接通过逆矩阵求解线性方程组。
假设系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B，那么可以使用以下公式求解线性方程组：X = A^(-1) * B其中，A^(-1)表示A的逆矩阵。
当系数矩阵不可逆时，可以通过行列式来判断是否有唯一解。
如果系数矩阵的行列式为非零，说明线性方程组存在唯一解；如果行列式为零，说明线性方程组没有解或者有无穷多个解。
3. MATLAB求解线性方程组除了手动求解线性方程组外，还可以借助计算工具如MATLAB进行求解。
MATLAB提供了函数例如“linsolve”、“inv”等，可以方便地求解线性方程组。
使用MATLAB求解线性方程组通常先定义系数矩阵A和常数向量B，然后通过相关函数求解。
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
线性代数方程组求解
线性代数方程组求解线性代数方程组是线性代数中一个重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。
求解线性代数方程组是线性代数中的一项基本任务，它对于解决实际问题和数学推理都具有重要意义。
本文将介绍线性代数方程组的求解方法，包括矩阵消元法和矩阵的逆。
矩阵消元法矩阵消元法是求解线性代数方程组的一种常用方法。
它通过消元和回代两个步骤来求解方程组。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数向量按列合并，得到增广矩阵。
2.初等行变换：对增广矩阵进行初等行变换，将其转化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵。
3.回代求解：从最后一行开始，逐步代入求解未知数，得到方程组的解。
矩阵消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。
然而，当矩阵的行数和列数较大时，矩阵消元法的计算复杂度会很高，需要消耗大量的时间和计算资源。
矩阵的逆除了矩阵消元法，我们还可以使用矩阵的逆来求解线性代数方程组。
矩阵的逆是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
对于给定的线性方程组Ax=b，我们可以通过以下步骤求解：1.计算矩阵A的逆矩阵A^-1。
2.将方程组转化为x=A^-1b。
3.计算x的值。
求解矩阵的逆的方法有多种，包括伴随矩阵法和初等变换法等。
其中，伴随矩阵法是一种常用的求解逆矩阵的方法。
它通过求解伴随矩阵和矩阵的行列式来计算矩阵的逆。
使用矩阵的逆求解线性代数方程组的优点是计算速度快，尤其适用于行数和列数较大的情况。
然而，矩阵的逆并不是所有矩阵都存在，如果矩阵不存在逆矩阵或逆矩阵存在但计算困难，则无法使用矩阵的逆求解方程组。
小结线性代数方程组的求解是线性代数中的一个重要问题，涉及到实际问题的解决和数学推理。
本文介绍了两种求解线性代数方程组的方法：矩阵消元法和矩阵的逆。
矩阵消元法通过消元和回代的过程来求解方程组，简单直观但计算复杂度较高；矩阵的逆通过求解矩阵的逆矩阵来求解方程组，计算速度快但存在逆矩阵不存在的情况。
根据具体问题的需求和矩阵性质的条件，选择合适的方法来求解线性代数方程组是十分重要的。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是初等代数中的重要概念，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组是数学和物理等领域中最为基础且重要的问题之一。
本文将介绍三种常见的线性方程组解法：高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。
以一个二元线性方程组为例：```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂```通过行变换，我们可以将其转化为阶梯型矩阵：```a₁₁'x₁ + a₁₂'x₂ = b₁'a₂₂'x₂ = b₂'```其中，a₁₁'、a₁₂'、b₁'、a₂₂'、b₂'是经过行变换后的新系数。
由此可得到方程组的解。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的解法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
首先，我们需要判断系数矩阵A是否可逆。
若A可逆，则可以得到A的逆矩阵A⁻¹。
方程组的解即为x = A⁻¹b。
若A不可逆，说明方程组的解不存在或者有无穷多个解。
三、矩阵的列主元素消去法矩阵的列主元素消去法是一种改进的高斯消元法，其目的是尽量减小计算误差。
在高斯消元法中，我们选择主元素为每一行首非零元素。
而在列主元素消去法中，我们选择主元素为每一列的绝对值最大的元素。
类似于高斯消元法，列主元素消去法也通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵。
通过后向代入的方法，可以得到方程组的解。
总结线性方程组的解法有多种，其中包括高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
这些解法在不同场景下都有其应用价值，具体的选择取决于问题的特点和所需计算的精度。
通过掌握这些解法，并结合具体问题的特点，我们可以高效解决线性方程组，进而应用到更广泛的数学和物理等领域中。
pdf4.2线性方程组的解法(线性代数)
0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 0 0 1 0 0 0
r1 r2
1 1 2 1 1 3 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 0
1 × r3 + r2
1 1 2 1 1 3 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0
x1 即 C x 2
x3 b2 + D x 4 = b3 x 5
x3 b2 x1 从而 x = C 1D x 4 + 2 x b3 5
由此可知,可取 x 1, x 2 变量为主变量,其余的为自由变量.
推广上面的例子，我们有下面的定理： 命题2.2 设线性方程组 AX=B 有解, 且秩A=r . 若 M 是 A 的一个 r 阶非奇异子式, 则 M 所占的方程构成的方 程组与原方程组同解, 且以 M 的元素为系数的 r 个变量可 取作主变量. 解线性方程组的Gauss-Jordan消元法 在实际计算中, 一般不需要先确定哪些变量是主变量． 通常的做法是： 1. 先对增广矩阵作行变换, 将其中的 r 个列化成 1 , … , r 其中，r=秩A ． 2. 然后取这 r 个列对应的变量为主变量, 将主变量用其余 变量表出,即可得参数形式的解.
其中a, b是任意数.
解线性方程组的主元消元法 有时, 化阶梯形不方便, 此时我们采用主元消元法: 1. 广 阵 个 数---称为 , (注意：不能是常数项) 2. 用初等行变换将主元所在列中其余元素都化为0, 并重复 此过程, 直至每个非零行都有一个主元. (注意：一行不能有两个主元) 3. 最后将主元都化为1 , 则主元所在的列就是单位矩阵的列. 取主元对应的变量为主变量即可得出参数形式的解. 我们用一个具体的例子来详细说明这中方法.
线性代数课件4线性方程组的解
2 rn:有无穷： 多组解
1. 非齐次线性方程组
定理 4 n元非齐次线性 Amn方 x程 b: 组
1)无解的R (充 A )R 要 A ,b;条件 2)有唯一解 R (A 的 )R 充 A ,b要 n; 条
2 2
12
1 1
~0 1 1
2
2
0 0 22 123
1 1
0 1
1
2
1
0 0 12 112
1 当 1 时 ,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
RARB3,方程组有 . 无穷多
其通解为
x1 x2
1 x2
x2
x3
x3 x3
x2,x3为任意 . 实
2 当 1 时 ,
4x5 5x5
2 3
x1 x2 x3 x4 8x5 2
1
解__ A
2 3
1 2 3
1 1 1
0 2 4
3 4 5
1 1
2 3
00
1 0 0
1 1 2
0 2 4
3 2 4
1 0 0
1 1 1 1 8 2 0 0 2 1 5 3
1 1 1 0 3 1 1 1 1 0 3 1
00
0 0
1 0
解
1 1 1 1 1 1 1 1
__
A 1 2 5 2 0 1 6 1
2 3 4 5 0 1 6 3
1 0 0
1 1 0
1 6 0
1
1 2
1 0
0
0 1 0
7 6 0
线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。
线代方程组通解的求法
线代方程组通解的求法
求解一般线性代数方程组
1、确定系数矩阵：系数矩阵是由方程的系数组成的矩阵，一般而言，每个方
程的系数组成一行，系数矩阵是一个m行n列的矩阵，其中m是方程的个数，n
是自由变量的个数。
2、解决方程组等号两边：将等式变形，把不同变量名因为统一放在一边，其
他变量全放在另一边，注意保持符号一致，形成python和系数的增广矩阵进行计算。
3、选择求解方法：一般来说，可以通过三种方法来求解一般线性代数方程组。
4、计算出未知量：根据上述线性代数的三种方法，解出增广矩阵的解，计算
出相应的未知量。
5、检查结果：求得的解满足给定的线性方程组，如果有什么不正确的地方，
及时调整，重新求解，直到求解正确。
线性代数：方程组求解有哪些常见方法？
线性代数：方程组求解有哪些常见方法？线性代数：方程组求解有哪些常见方法？随着科技的发展，人们对于数学的研究越来越深入。
在解决问题时，人们发现，方程组求解在很多领域都具有重要的应用。
方程组是一种由若干个方程组成的系统，每个方程中包含有若干个变量和常数。
求解方程组即是求其变量的值使得系统中所有方程同时成立。
在解决方程组问题中，线性代数是一门非常重要的数学分支。
线性代数涉及到向量、矩阵、线性变换等概念，是许多工程和科学领域所必需的数学基础。
本文将为大家介绍方程组求解中的几种常见方法。
1.高斯消元法高斯消元法又称为消元法或者高斯-约旦消元法。
最早被高斯提出，经过多次完善，现在是解决线性方程组最常用的方法之一。
它通过一系列的基本变换，把一个方程系统化为等价的简化阶梯状方程组。
高斯消元法的基本思想是：通过消元得到增广矩阵的简化阶梯形式，之后通过回代得到变量的值。
消元的过程中需要考虑主元，使得每一行的第一个非零元素都是该行中最重要的数。
主元可以根据所需精度选择，常见主元选择有部分主元和全主元。
高斯消元法的计算量较大，对于大规模的方程组来说，计算量甚至会超过计算机的处理能力。
2.矩阵分解法矩阵的分解是另一种解决线性方程组的方法。
矩阵分解将矩阵分解成若干个较为简单的矩阵，之后再求解这些矩阵。
该方法在解决大型方程组时效率比较高。
常见的矩阵分解有LU分解、Cholesky分解、QR分解。
LU分解：将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
通过LU分解可以避免梯形阵的计算。
LU分解在求解一次的时候时间复杂度与高斯消元法相同，但是在多次求解中LU分解的效率更高。
Cholesky分解：当矩阵是实对称正定时，可以使用Cholesky分解。
Cholesky分解可以将矩阵分解成一个下三角矩阵L的转置和L的乘积。
QR分解：QR分解是将矩阵A分解成正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积。
QR分解可以对矩阵进行正交化，使得求解方程组的计算更加稳定。
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b j lbk bi
Endif next I next k
定理1 若方程组AX=B是严格对角占优， 即
aii aij
j 1 j i n
(i 1,2,..., n)
则高斯消元法的主元 aii 0 (i 1,2,..., n)
4.1 消元法
列选主元素消元：在每一列中先选取按模最 大的元素，将其调到主干方程位置再做消元， 调换方程组的次序是为了使运算中做分母量
经过2步消元后，系数矩阵和右端的向量变为：
(0 a11 ) 0 0 0 (0 a12 ) (1) 22 0 0 a1(3 ) a1(n ) (1) (1) a23 a2n ( 2) ( 2) a33 a3n ( 2) ( 2) an3 ann (0) b1 (1) b 2 b (2) 3 (2) b n
经过1步消元后，系数矩阵和右端的向量变为：
(0 a11 ) 0 0
a
(0) 12 (1) 22
a
(1 an2)
a (1) a2n (1 ann)
(0) 1n
(0) b1 (1) b 2 b (1) n
a
（i, j k 1,..., n) （i k 1,..., n)
( b i( k ) b ik (1) aikk 1)
b (kk 1) (k akk 1)
( ( aijk 1) aijk ) , b i( k 1) b i( k )（i, j k 1,..., n)
A (a ij ) nn (a (0) ) nn ij 右端向量 B [b1 ,..., b n ]T [b (0) ,..., b (0) ]T 1 n
第1步的任务是将系数矩阵第1列主对角线下的 元素消为0, 即
(0) a i1 0 (i 2,..., n) (0) (0) 为此，需要将第 行及右端项除以a11 、乘以 - a i1 , 1 (0) 再加到第i行。假定a11 0, 相应的数学表达式为：
第k步的任务是将系数矩阵第k列主对角线下的元 素消为0, 即
(k a ik -1) 0 (i k 1,..., n) (k 为此，需要将第k行及右端项除以a (k -1)、乘以 - a ik -1) , kk
再加到第i行。假定a (k -1) 0, 相应的数学表达式为： kk
( ( ( aijk ) aijk 1) aikk 1) ( akjk 1) ( k 1) kk
第4章 线性代数方程组的解法
线性方程组的解法分为两类：直接法和迭代 法。 所谓直接法就是经有限次的运算即可求得
（如果没有舍入误差）方程组精确解的方法。
迭代法将求解方程组的问题转化为构造一个
无限序列，其极限就是方程组的解。
4.1 高斯消元法
n阶方程组的基本形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
经过k步消元后，系数矩阵和右端的向量变为：
(0 a11 ) 0 0 0 0 (0 0 0 a12 ) a1(3 ) a1(n ) (1) (1) (1) a22 a23 a2n (k (k 0 akk-1) akn-1) (k) 0 0 ak 1 n (k) 0 0 ann (0) b1 (1) b 2 b (k -1) k (k) b k 1 b (k) n
(3)b i(k) b i(k -1) - lb (k -1) k
代回元方程组的过程，由第i=n,n-1,…,1个方程依次求出：
xi (bi(i 1)
j i 1
n
( ( aiji 1) x j ) / aiii 1)
高斯消元算法如下:
input n,aij, bi 消元过程： for k=1 to n-1 for i=k+1 to n
next I Output bi(i=1,2, …,n)
4.1 消元法
Gauss-Jordan消元法： Gauss-Jordan消元法中，消去 的不仅仅是下方的元素，同时也消去上方的元素，将 系数矩阵化为对角矩阵。
再进行求解，设 aii 0，对每一个方程 xi
bi
aii 。
此法省去了回代过程，并且可应用于矩阵求逆
1 x 1 (12 - 2 2 1) 3 3
x1 3 x2 1 x 2 3
从这一例题的计算过程我们可以看出：一 个n元线性方程组的消元过程需要n-1步来 完成。每一步都是把这一列主对角线下的 元素消为0。
为了符号描述的方便，我们用上标来表示 经过了几步消元。因此，原始系数矩阵
代回方程组，得 到方程组解
x1 3 x2 1 x 2 3
初等变换消元，回代的过程
3x 1 - x 2 2x 3 12 x1 2x 2 3x 3 11 2x - 2x - x 2 2 3 1 第一步 : 3x 1 - x 2 2x 3 12 1 (2) - (1) 3 2 (3) - (1) 3 7 7 x 2 x3 7 3 3 4 7 x2 x3 6 3 3 (1) (4) (5) (1) (2) (3)
(1) (4) (6)
初等变换消元，回代的过程
第二步 : 3x 1 - x 2 2x 3 12 7 7 x2 x3 7 3 3 4 (5) - (4) 7 回代 : (6) 代入 (4) (6) (7) 代入 (1) x3 2 x3 2 14 3 x 2 (7 - ) 1 3 7 (1) (4) (6) (6) (7)
消元结素，将结果代回元方程组，由第i=n,n1,…,1个方程依次求出：
xi (b
( i 1) i
j i 1
a
n
( i 1) ij
xj ) / a
( i 1) ii
下面将上述分析过程归纳如下。这里我们假定
(i (i a ii -1) 0(i 12,..., n), 称a ii -1)为主元。
a
(1) ij
a
(0) ij
a
(0) i1
a1( 0 ) j a
(0) 11 ( b10 ) (0 a11 )
（i, j 2,..., n) （i 2,...,( aij0 ) aij1) , b i( 0 ) b i(1)（i, j 2,..., n)
经过n-1步消元后，系数矩阵和右端的向量变为：
(0 a11 ) 0 0 0 0 (0 0 0 a12 ) a1(3 ) a1(n ) (1) (1) (1) a22 a23 a2n ( k -1) ( k -1) 0 akk akn (k) 0 0 ak 1 n (n 0 0 ann 1) (0) b1 (1) b 2 (k -1) b k (k) b k 1 b (n -1) n
Gauss-Jordan元算法如下: input n,aij, bi 消元过程： for k=1 to n for i=1 to n if i<>k then
for I=1 to n
a ik l a kk
next j
xi
bi
for j=k+1 to n
aii
aij lakj aij
Output xi next I
3x 1 - x 2 2x 3 12 x1 2x 2 3x 3 11 2x - 2x - x 2 2 3 1
解： 经初等变换消元后，等到如下同解方程组
3x 1 - x 2 2x 3 12 7 7 2x 2 x 3 7 3 3 x3 2
消元过程如下： k 1,2,..., n - 1 i k 1, k 2,..., n 执行如下算法
(k a ik -1) (1) l (k -1) ; a kk (k) (k (2) a ij a ij -1) - la (k -1) (j k 1,..., n) kj
除了系数矩阵的第1行和右端的向量的第1个元 素外，其他元素均发生了变化。因此，元素上 表变为（1）。
第2步的任务是将系数矩阵第2列主对角线下的 元素消为0, 即
(1) a i2 0 (i 3,..., n) (1) 为此，需要将第2行及右端项除以a (1)、乘以 - a i2 , 22
再加到第i行。假定a (1) 0, 相应的数学表达式为： 22
a
0 0
除了系数矩阵的前两行和右端的向量的前两个 元素外，其他元素又发生了变化。因此，元素 上表变为（2）。
依此类推，经过k-1步消元后，系数矩阵和右端 的向量变为：
(0 a11 ) 0 0 0 0 (0 0 0 a12 ) a1(3 ) a1(n ) (1) (1) (1) a22 a23 a2n (k (k 0 akk-1) akn-1) ( k -1) ( k -1) 0 ak 1 k ak 1 n ( k -1) ( k -1) 0 ank ann (0) b1 (1) b 2 b (k -1) k (k -1) b k 1 b (k -1) n
a
( 2) ij
a a
(1) ij