数列与极限1-2

1 1 给定 , 只要 n 10000时, 有 x n 1 , 10000 10000
定义1 设有数列 xn ，如果 n 时，xn 无限接近于 某个确定的常数 a ，那么就称数列 xn 收敛，称 a
是数列 xn 的极限。或者称数列 xn 收敛于 a ，记为
lim xn a或者xn a n
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
n ( 1) n1 { } n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
2，0，2，0，…, 1 1n1 ,…, x 在 n 时， n 始终轮流地取得值2与0，并不接 近于任何一个确定的常数，所以
lim 1 1
n

n 1
不存在;
（4） 因为当 n 时，这个数列的一般项 xn 的值 无限地增大，也不接近于任何一个确定的常数，所 以
这个性质的一个直接推论是：如果从某一项起数列
xn 的各项都非负（或都非正），且lim xn a，那 n 么a 0或a 0.
三、小结
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性.
n 1
;
;
1 2 n 2 xn 2 2 2 ; n n n
( 4) xn n 2 .
n 1 n 1
n 1
1 n 1 解 （1）因为 xn ， 1 n n 1n1 无限接近于0，从而 x 无 而当 n 时， n 限接近于1，所以 1n1 n lim 1 n n
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
定理2
收敛的数列必定有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
例2 证明数列x n ( 1) n 1 是发散的. 证
设 lim x n a ,
n
1 由定义, 对于 , 2
1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f (n).
( 1) 观察数列 {1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
播放
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列 的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
例如
2 , 4 , 8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
{2 } 1 { n} 2
第二节 数列的极限
一、数列极限的概念 二、收敛数列的性质 三、小结
一、数列极限的概念
1.割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
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正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 , 由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
S
2.截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2
1 1 第二天截下的杖长总和为 X 2 2 ; 2 2 1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
n
如果这样的常数 a不存在，就称数列xn 没有极 限，或者称数列xn 发散，习惯上也常常表达为lim xn n
不存在
例1 给出数列的一般项如下，观察它们的变化趋势， 判断哪些数列收敛，哪些数列发散；如果收敛， 指出其极限：
n 1 1 xn n
( 3 ) x n 1 1
而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { x n }是有界的, 但却发散.
3.收敛数列的保号性
定理3（收敛数列的保号性） 如果 lim xn a , 且a 0 n
(或a <0),那么存在正整数N，使得当n>N，都有 xn 0
或xn 0
（2）因为
1 1 2 n 1 2 n 2 nn 1 1 1 xn 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n 1 1 当 n 时，n 无限接近于 2 。所以 2 2 n 1 1 lim 2 2 2 ; n n n n 2 （3）因为数列是
lim n 不存在.
n
2
二、收敛数列的性质
1.唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
2.有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 xn 有界; 数列 xn 2n无界. n1