函数的单调性课件

y y=x
1 ·f(x1)
O x1 1·
x
观察函数图象,并指出函数的变化趋势?
实例分析：画出函数y = x的图象
y f(x1) y = x
1·
O 1· x1 x
观察函数图象,并指出函数的变化趋势?
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
x1 O
取值 作差 变形 定号 判断
若二次函数 f (x) x2 ax 4 在区间 ,1 上
单调递增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f (x) x2 ax 4的对称轴为 x a ,
2
由图象可知只要 x a 1，即a 2即可.
2
（1）函数单调性的概念； （2）判断函数单调区间的常用方法 方法一：分析函数的图象。 方法二：通过定义去判断。
y 2x 2 2
1
1
O
x
1
O
x
y
O
1
y x2 2x
2
x
y
y 1
x
O
x
同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征 描述出来吗？
实例分析：画出函数y = x的图象
y y=x
1·
O 1· x
观察函数图象,并指出函数的变化趋势?
实例分析：画出函数y = x的图象
y y=x
1·
x1
O 1· x
f(x2)
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函 数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是 一个局部性质; 判断1：函数 f (x)= x2 是单调增函数；
y
y x2
o
x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函
利用定义判定(证明)函数的增减性
我们回顾定义 a、任取定义域内某区间上的两变 量x1，x2，设x1<x2； b、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况； c、得出结论
问题2：如何从定义的角度证明函数 f(x)=3x+2在R上是增函数？
证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2,则 取值
f(x1)
观察函数图象,并指出函数的变化趋势?
实例分析：画出函数y = x的图象
y y=x
1·
x1 O 1·
x
f(x1)
观察函数图象,并指出函数的变化趋势?
实例分析：画出函数y = x的图象
y y=x
1·
· x1
f(xO1) 1
x
观察函数图象,并指出函数的变化趋势?
实例分析：画出函数y = x的图象
深圳市年生产总值统计表
生产总值
（亿元）
3360
30 1971
20 756
10 467
1985 1990 1994 1997 年份
图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ是关 于时间 t 的函数，记为θ＝ f (t) ，观察这个气温变化
图，说说气温在哪些时间段内是逐渐上升或下降的？
y
y
y x 1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
x
O
1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
Ox1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
O x1
⑸，函数在定义域内的两个区间A,B上都是 增（或减）函数，一般不能认为函数在
A∪B上是增（或减）函数
增区间 [-2，1] [3，5] 减区间 [-5，-2] [1，3]
说出函数f(x)=1/x 的单调区间，并 指明在该区间的单调性?
y
解：
（-∞，0）和 （0，+∞）
o
x 都是函数f(x)的单调区间，
f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)
作差
=3( x1- x2) 由x1<x2 ，得 x1- x2 <0
变形
于是 f(x1)-f(x2)<0
定号
即 f(x1)<f(x2) 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
判断
归纳： 证明函数单调性的步骤
第一步：取值.即任取区间内的两个值，且x1<x2 第二步：作差变形.将f(x1)－f(x2)通过因式分解、 配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的 方向变形。 第三步：定号.确定差的符号，适当的时候需要进 行讨论。 第四步：判断.根据定义作出结论。
数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是 一个局部性质;
（3） x 1, x 2 取值具有任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则
函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
O
1 2x
⑷，对于某个具体函数的单调区间，可以是 整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内 某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调 (如常函数)．
f (x1 )
f (x2 ) 当x1 x2时，都有f（x1） f（x2）
那么就说 函数f (x)在
O
x1 x 2 x 区间D上为增函数。
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
y
y f(x)
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量x1, x2,
f (x1) f(x2)
O
x1 x2
当x1 x2时，都有f（x1）>f（x2）
x
那么就说 函数f (x)在 区间D上为减函数。
在区间I内
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图象
f(x1)
y=f(x)
y
· f(x1)
·
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量
y随x的增大而增大
特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 当x1＜x2时， f(x1) >
x
பைடு நூலகம்
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
O x1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
O
x1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
y x2
f (x1)
O
x1
x
函数单调性的定义
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
y
如果对于定义域I内某个区间D
y f (x)
上的任意两个自变量x1, x2,
在各个区间上都是递减
的
注意: 不能说成（-∞，0） （0，+∞）
是减函数
问题1：你能判断函数y x 2 (x 2)
的单调性吗？
x
说明：要了解函数在某一区间上是否具有 单调性，可以通过图象法直接从图上进行观察， 它是一种常用而又粗略的方法，但当函数的图 象很难画出来时这种方法是不行的。这个时候， 我们可以根据定义去证明函数的单调性。