一元二次方程判别式和韦达定理
一元二次方程的解法及韦达定理
一元二次方程的解法及韦达定理一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。
方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。
注意点：①二次项的系数为1，且a≥0②如果a为根式，注意化简。
例1：解方程：5x2=1例2：解方程：x2=4例3：解方程：4x 2+12x+9=122、配方法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。
步骤：①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ，可以得到：X 2+ b a x+ c a=0 ②配方：（x+ 2ba ）2+c- 2()2b a =0③移项：（x+ 2ba ）2=2()2b a -c ④用直接法求出方程的解。
X=-2b a注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。
根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：x1x2注意点：①解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
②解题步骤要规范。
例:解方程：x2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。
4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。
例1：解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0例2：=15、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。
例：=46、主元法：对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
一元二次方程判别式和韦达定理
一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x aa-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+=二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,22x a=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -±2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 例题精讲一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【例2】 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【例3】 已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况（ ）． A ．有2个负根 B ．有2个正根C ．有2个异号的实根 D ．无实根【例4】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【例5】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）． A ．没有实数根 B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根 D ．实数根的个数不能确定【例6】 已知：方程()22250m x m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【例7】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【例8】 求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【例9】 已知关于x 的方程2(1)10n x mx -++=①有两个相等的实数根．求证：关于y 的一元二次方程222440m y my m n --+=②必有两个相等的实数根．【例10】 当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．【例11】 k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例12】 当a 、b 为何值时，方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根？【例13】 如果方程()()22210m x m x m +-++=，只有一个实数根，那么方程()21220m x m x m +-+-= ）．A ．没有实数根 B ．有2个不同的实数根 C ．有2个相等的实数根 D ．实数根的个数不能确定二、一元二次方程中字母参数的确定【例14】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例15】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数？【例16】 已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【例17】 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．【例18】 若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【例20】 k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【例21】 已知关于x 的方程()()2212102x a b x bb -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【例22】 关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【例23】 如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【例24】 关于x 的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【例25】 已知关于x 的一元二次方程20x m --=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【例26】 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范是 ．【例27】 如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ． 【例28】 已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【例29】 已知一元二次方程22(42)40x k x k --+=有两个不相等的实数根．则k 的最大整数值为【例30】 已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根12x x ，．⑴求k 的取值范围；⑵是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【例31】 已知关于x 的方程22()210m m x mx --+=有两个不相等的实数根．⑴求m 的取值范围；⑵若m 为整数，且3m <，a 是上述方程的一个根，求代数式22212334a a a +--+的值．【例32】 使得关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根的最小整数k （ ）A ．-1B ．2C ．3D ．4【例33】 已知：m 、n 为整数，关于x 的二次方程2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数解，2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根，2(4)10x m x n --++=没有实数根，求m 、n 的值．三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例34】 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 ．【例35】 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．【例36】 已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为 ．这样的直角三角形有 个．【例37】 已知A B C ∆的三边,,a b c 满足：8b c +=，21252bc a a =-+，试确定A B C ∆的形状．【例38】 如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，90B ∠= ，那么，关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【例39】 已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()220a b x cx a b ++++=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【例40】 已知：a 、b 、c 分别是A B C ∆的三边长，求证：方程222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根．【例41】 在等腰A B C ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求A B C ∆的周长．【例42】 已知：a 、b 、c 分别是A B C ∆的三边长，当0m >时，关于x 的一元二次方程22()()20c x m b x m ++--=有两个相等的实数根，求证：A B C ∆是直角三角形．【例43】 关于x 的一元二次方程()204a c a c x bx -+++=有两个相等的实数根，则以a ，b ，c 为三边的三角形的形状是______．【例44】 已知a 、b 、c 是A B C ∆的三边的长，且方程22()()()0x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例45】 已知a 、b 、c 是A B C ∆的三边，其中1a =，4c =，且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断A B C ∆的形状．【例46】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰A B C ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【例47】 已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求A B C ∆的周长．一元二次方程根与系数的关系 一、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a+=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=． 二、韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a+=-，12c x x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．三、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a-≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a-<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a->，则此方程的两根均为正根；若0b a-<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a -a ，b 为有理数）． ⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．一、已知一元二次方程的一根求另一根 已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同．⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．【例1】 若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为 ，c = ．，二、确定一元二次方程中字母参数的值或取值范围【例2】 已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．【例3】 已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值．【例4】 已知关于x 的方程260x x c -+=的一个根是另一个根的平方，求c 的值．【例5】 设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是 ．【例6】 已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值．【例7】 已知关于y 的方程220y ay a -+-=，分别写出下列情形中a 所满足的条件：⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．【例8】 已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．【例48】 已知关于x 的方程22290x mx m ++-=至少有一个正根，求m 的取值范围．【例49】 已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【例50】 已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围． 【例51】 关于x 的二次方程22(1)40(0)mx m x m ---=≠的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围是______________．【例52】 实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．⑴有两个正根？⑵两根异号，且正根的绝对值较大？⑶一根大于3，一根小于3？【例53】 已知二次方程2(23)100kx k x k --+-=的两根都是负数，则k 的取值范围是____________．【例54】 关于x 的方程2230x m x m -+=的两根12,x x 满足212()16x x -=，如果关于x 的另一个方程22690x mx m -+-=的两实根都在12,x x 之间，求m 的值．【例55】 方程222(1)40x m x m +-++=的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么m =______________．【例56】 已知12,x x 是一元二次方程224(35)60x m x m ---=的两个实数根，且123||2x x =，则m=__________．【例57】 已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．⑴是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． ⑵求使12212x x x x +-的值为整数的实数k的整数值．【例58】 已知12,x x 是方程24440ax ax a -++=的两实根，是否能适当选取a 的值，使得1221(2)(2)x x x x --的值等于54________________．【例59】 已知方程2230x mx -+=的两根的平方和为5，则m=__________．【例60】 已知关于x 的方程2210x mx m -+-=的两个实数根的平方和为23，求m 的值【例61】 已知关于x 的方程22210x x k ++-=的两根平方差等于2，求k 的值．【例62】 已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【例63】 已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，那么m n +=_______．【例64】 已知关于x 的方程()()2212110t x t x ---+=的两根倒数之和大于0，求t 的取值范围．【例65】 若实数a 使得对于每一个实数z ，关于x 、y 的方程组22231x ay z xy z z +=⎧⎨=++⎩总有实数解，则a 的取值范围是__________．三、求与一元二次方程两根有关的代数式的值【例66】 已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x +=【例67】 已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为【例68】 已知α、β是方程2520x x ++=+【例69】 已知方程22350x x --=的两根为12x x ，，求：⑴2212x x +； ⑵3312x x + ⑶5512x x +【例70】 1x 、2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：⑴2212x x + ⑵12x x - ⑶2212233x x x +-【例71】 已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则2212x x += ,12(2)(2)x x -⋅-= ,221122x x x x +⋅+= ,2112x x x x += ,12x x -=，2212x x -= ,1211x x -=,2112x x x x -=．【例72】 已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则1211x x +=．【例73】 关于x 的方程22410x kx +-=的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ ．【例74】 如果a ，b 都是质数，且213a a m -+，2130b b m -+=，求b a a b+的值．【例75】 如果实数,a b 满足 213140a a --=，213140b b --=，则 b a a b +的值为多少？【例76】 如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值【例77】 已知2221αα+=，2221ββ+=，求αβ-的值．【例78】 阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x 、2x ，则根与系数关系为：12b x x a+=-，12c x x a=．已知210p p --=，210q q --=，且1pq ≠，求1pq q+的值．【例79】 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答：已知22510m m --=，21520nn+-=且m n ≠，求11mn+的值．【例80】 若1ab ≠，且有25200190a a ++=及29200150b b ++=，则a b =，1a b+=．【例81】 设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例82】 设方程2(1998)1997199910x x -⋅-=的大根为a ，方程2199819900x x --=的小根为b ，则a b -=_____________．【例83】 设1x 、2x 是方程23560x x --=的两根，则代数式()()122121x x --的值是 ，代数式1221x x x x +的值是 ．【例84】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．【例85】 已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值．【例86】 已知x 、y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=．求432234x x y x y xy y ++++的值．【例87】 设a 、b 、c 、d 为互不相等的实数，且()()22221a c a d --=，()()22221b c b d --=，则2222a b c d -=（ ）． A ．0 B ．1- C ．1 D ．无法确定四、根据一元二次方程的两根构造一元二次方程【例88】 设20x px q -+=的两实数根为αβ、，那么33αβ、为两根的一元二次方程是____________．【例89】 已知方程2980x x -+=，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．【例90】 求一个一元二次方程，使它的两个根是32-和3．【例91】 已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实根为p 、q ，且()22156p q p p q pq ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，试求这个一元二次方程．()2240y b y +-+= 2一元二次方程．五、根与系数关系的其他应用【例93】 当a 取遍0到5的所有实数时，满足3(38)b a a =-的整数b 的个数是_____.【例94】 已知方程240ax x b ++=(0)a <的两实根为1x 、2x ，方程230ax x b ++=的两实根为α、β． ⑴ 若a 、b 均为负整数，且||1αβ-=，求a 、b 的值；⑵ 若12αβ<<<，12x x <，求证：1221x x -<<<．【例95】 已知a b ，为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y y ，，且满足11222008x y x y ⋅-⋅=．求b 的最小值．【例96】 已知2007())()0()a b b c c a a b -+-+-=≠，求2()()()c b c a a b ---的值．． 【例97】 如果方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之比等于常数k ，则系数a ，b ，c 之间的关系是____________。
一元二次方程根与系数的关系公式
一元二次方程根与系数的关系公式
一元二次方程根与系数的关系公式：ax²+bx+c=(a≠0)，当判别式＝b²-4ac>=0时。
设两根为x₁，x₂，则根与系数的关系（韦达定理）：x₁＋x₂＝－b/a；x₁x₂＝c/a。
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数。
③未知数项的最高次数是2。
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）将方程右边化为0。
（2）将方程左边分解为两个一次式的积。
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )<2 B,a >2 <2且a ≠1 <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：（2010·中山）已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
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练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋ ＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________
第三讲一元二次方程根的判别式 韦达定理
一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24b b ac x aa-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)axbx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,22x a=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定知识点睛例题精讲一元二次方程根的判别式【例2】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【例3】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x m x m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例4】 已知：方程()22250m x m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【例5】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．二、一元二次方程中字母参数的确定【例6】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例7】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数？【例8】已知方程22(21)10+++=有实数根，求m的范围．m x m x【例9】关于x的方程()2--+=有实数根，则整数a的最大值是．a x x6860【例10】关于x的一元二次方程2k x---=有两个不相等的实数根，(12)10求k的取值范围．、【例11】已知关于x的方程22x m x m++++=有两个不相等的实数根，化简：2(1)50m-|1|【例12】已知关于x的方程22(21)10+-+=有两个不相等的实数根12k x k x，．x x⑴求k的取值范围；⑵是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例13】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350-+=的根，则该x x三角形的周长为．【例14】 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．【例15】 已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为．这样的直角三角形有 个．【例16】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰A B C ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【例17】 已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求A B C ∆的周长．根与系数关系式习题精选1、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x（3）112112+++x x x x（4）||21x x -5）)31)(31(1221x x x x ++2、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m的值；3、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型一、一元二次方程跟的判别式的常见题型题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2· 变式1：关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数．．．．值.x 2420x x k ++=k k变式3：已知关于x的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵ 1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值k x变式1： 关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：已知一元二次方程．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为，，且+3=3，求m 的值。
二次函数根的判别式、韦达定理
一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12bx x a+=-，12c x x a =．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -(a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
的一元二次方程的两个根 ( ; < =* D; +; . < =9 < =:
求函数的值域 ! 求直 二次多项式的因式分解 ! 线 与 二 次 曲 线 的 关 系 等 方 面 有 广 泛 的 应 用0 因为这些问题中 ( 有明显的二次方程存在 ( 容 易想到应用判别式 ! 韦达定理 0 而在某些问题 没有现成的二次方程 ( 有的甚至与一元二 中( 次 方 程 好 象 根 本 没 有 联 系( 然而经过创造条 件( 作出与之联系的一元二次方程 ( 应用判别 式 或 韦 达 定 理 来 解 决( 可得到问题的巧妙解 法0 一 般地 ( 如果几个实变数 ) " .& ( # ( 2( 1 1 满足的 某 些 条 件 若 能 转 化 为 关 于 某 个 实 ’ ( 3 变数 4 的一元二次方程" 不等式’ 5 " ( ( 6 ) ) & & #
,# ) 5-也是实数 ) &为实数 ) 9 + 7 经 检 验 知) ’# $& $# * &的 最 小 值 等 于
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一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 胡兰田 上海市徐汇区教院附中,200231 中学数学月刊 THE MONTHLY JOURNAL OF HIGH SCHOOL MATHEMATICS 2002(9)
_专题5一元二次方程两种关系—根判别式、韦达定理题型总结 2022—2023学年沪科版数学八年级下册
一元二次方程两种关系【知识点1 一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【例1】下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0 【变式1】关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【变式2】函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【变式3】已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【练习 1】关于x的一元二次方程2x2+5x﹣1＝0根的说法，正确的是（）A．方程没有实数根 B．方程有两个相等实数根C．方程有两个不相等实数根 D．方程有一个实数根【练习 2】已知关于x 的不等式组{x −m ＞07−2x ＞1无解，且关于y 的一元二次方程my 2+4y+1＝0有两个不相等的实数根，则整数m 为 ．【练习 3】对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a ≠0），有下列说法：①若a+b+c ＝0，则b2﹣4ac ≥0；②若方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx+c ＝0必有两个不相等的实根；③若c 是方程ax 2+bx+c ＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中说法正确的有 ．（填序号）【例2】关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+2＝0有两个不相等实数根，则a 的值可以（ ） A ．1B ．12C ．0D ．﹣1【变式1】关于x 的一元二次方程（a+2）x 2﹣3x+1＝0有实数根，则a 的取值范围（ ） A ．a ≤14且a ≠﹣2B ．a ≤14C ．a ＜14且a ≠﹣2D ．a ＜14【变式2】方程kx 2﹣6x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤9B ．k ≤9且≠0C ．k ≠0D ．k ＞9【变式3】关于x 的方程kx 2+√k +1x+2＝0有实根，则k 的取值范围是 ． 【变式4】关于x 的方程x 2+bx+c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m+2时，代数式x 2+bx+c 的值都等于n ，则n ＝ ．【练习1】关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则a 的值为 ．【练习2】已知关于x 的一元二次方程5x 2+2x+m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ． 【练习3】关于x 的方程（k ﹣1）2x 2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞14且k ≠1B ．k ≥14且k ≠1C ．k ＞14D ．k ≥14【例3】关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣1＝0有两个不相等的实数根 （1）求m 的取值范围；（2）若m 是满足条件的最大整数，求方程的根．【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【变式3】关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．【变式4】已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．【练习1】已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，求此时方程的解．【练习2】已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【练习3】关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【知识点2 一元二次方程的根与系数的关系-韦达定理】如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根是， 那么，；注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 【例1】如果1是方程2x 2+bx ﹣4＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．1【变式1】若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝ ． 【变式2】设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x1x 2的值为 ．【变式3】已知a 、b 是方程2x 2+5x+1＝0的两实数根，则式子a √a b+b √b a的值为 ．【练习1】一元二次方程x 2﹣4x+a ＝0的两根之积为2，则常数a 的值（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2【练习2】已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则（m ﹣1）（n ﹣1）的值为（ ） A ．2B ．0C ．﹣4D ．﹣5【练习3】一元二次方程x 2+4x+1＝0的两个根是x 1，x 2，则x2x 1−x1x 2的值为 ．（其中x 2＞x 1）【例2】若a 、b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两根，则a 2+2a+b ＝ ．【变式1】一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2+1的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7【变式2】设x 1、x 2是方程x 2﹣4x+1＝0的两个根，则x 13+4x 22+x 1﹣1的值为 ． 【练习1】如果方程x 2﹣x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ） A ．7B ．6C ．﹣2D ．0【练习2】已知α、β是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（ ） A ．4B ．4√2C ．5D ．5√221x x ，a b x x -=+21acx x =21【例3】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2023＝．【变式1】已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（）A．36 B．50 C．28 D．25【变式2】已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则ab+b+1b的值为．【变式3】已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为．【例4】已知：关于x的一元二次方程x2+√m x+m﹣3＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1，x2，且满足x12+x22＝5，求m的值．【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值．【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m ＝．【变式3】已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．（1）试确定m的取值范围；（2）当1α+1β=−1时，求m的值．【变式4】已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．=0的两个实数根为α和β，若【练习1】已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32|α|+|β|＝4，求m的值．【练习2】已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是．【练习3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式x12+x22−4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．【例5】定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k ＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【变式1】对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；有两个相等的实数根，求实数a的值．（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14【变式2】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号） ①方程x 2﹣4x ＝0是关于2的等距方程；②当5m ＝﹣n 时，关于x 的方程（x+1）（mx+n ）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax 2+bx+c ＝0是关于2的等距方程，则必有b ＝﹣4a （a ≠0）； ④当两根满足x 1＝3x 2，关于x 的方程px 2﹣x +34=0是关于2的等距方程．【变式3】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx+c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx+2t 2a ，所以有b 2−92ac ＝0；我们记“K ＝b 2−92ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x 2﹣x ﹣2＝0；②x 2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x 方程mx 2+（n ﹣2m ）x ﹣2n ＝0是倍根方程，求4m 2+5mn+n 2的值； （3）若A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，且关于x 的一元二次方程x 2−√mx +23n ＝0是倍根方程，求此倍根方程．【课后练习】1．关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根2．若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（）A．c＜94B．c＜49C．c＞49D．c＞943．关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0 4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（）A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2 5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，则x1﹣x1x2+x2的值为．6．已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则a2﹣b+2023的值是（）A．2025 B．2024 C．2023 D．20227．已知关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0；（1）证明：方程总有实数根；（2）若方程有一个根大于1，求m的范围．8．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若1x1+1x2=4m，求m的值．。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项.doc
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型题型1不解方程，判断一元二次方程根的情况（1）5x2 4x 3 0; （2）3x2 2x 1 0; （3）2x232、. 6x.题型2:证明一元二次方程根的情况求证：无论k取何实数，关于x的一元二次方程：x2（k 1）x k 4 0总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围21. （2011 •重庆）已知关于x的一元二次方程（a—1）x - 2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. a<2 B, a>2 C. a<2 且a 丰 1 D. a< —2 •变式1: （2010 •安徽芜湖）关于x的方程（a —5）x2—4x— 1 = 0有实数根，则a满足（）A . a> 1B . a> 1 且a丰5 C. a> 1 且a* 5 D. a*5变式2: （2010 •成都）若关于x的一元二次方程x2 4x 2k 0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值.变式3：已知关于x的一元二次方程（1 2k）x .kx 1 0有两个实数根，求k的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k的值已知2 ,3是方程X 2 kx 1 0的一根，则方程的另一根是 ________________ , k= ______ 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；2 2 21 11.已知X i , X 2是方程2 x 4 x 3 0的两根，计算： (1) x i x2 ;⑵ ：⑶& X 2 (X 1 X 2)22 21.关于x 的一元二次方程 x (2k 1)x k 1 变式1: (2011併9州)关于x 的方程ax 2 (3a 1)x 2(a 1) 0有两个不相等的实根 x 1、x 2，且有x 1 x 1x 2 x 2 1 a ，则a 的值是( )变式2： (2010 •中山)已知一元二次方程 . (1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为 X 1, X 2，且^+3X 2=3，求m 的值。
【机构适用;新人教版九年级上学期】韦达定理及一元二次方程的应用
一、韦达定理[准备知识回顾]：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。
2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=242b b aca-+-，x 2=242b b ac a---．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。
[韦达定理相关知识]如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，那么a b x x -=+21,acx x =21．➢ 韦达定理的逆定理：如果实数21,x x 满足acx x a b x x =-=+2121，，那么21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根．利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确． ➢ 韦达定理的两个重要推论：推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =21． 推论2：以两个数21,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212=++-x x x x x x ．知识重难点梳理韦达定理及一元二次方程的应用➢ 一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根． (2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数．(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于21,x x 的对称式的值，如,2221x x +,1121x x +221212,x x x x +2112121211,,x x x x x x x x ---等等．说明：如果把含21,x x 的代数式中21,x x 互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21,x x 的对称式．(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程． (5)已知两数的和与积，求这两个数．(6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值． (7)证明方程系数之间的特殊关系．(8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等．根的符号的讨论：利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的两根为21,x x ，则：(1)当0,021>≥∆x x 且时，两根同号．①当0,0,02121>+>≥∆x x x x 且时，两根同为正数； ②当0,0,02121<+>≥∆x x x x 且时，两根同为负数． (2)当0,021<>∆x x 且时，两根异号．①当0,0,02121>+<>∆x x x x 且时，两根异号且正根的绝对值较大； ②当0,0,02121<+<>∆x x x x 且时，两根异号且负根的绝对值较大．题型一：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数． 1、已知方程5x 2+kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k 的值变式训练1．已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。
精品 九年级数学上册 一元二次方程判别式和韦达定理
一元二次方程判别式和韦达定理一、知识内容提要1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为：△＝b2－4ac（1）△= b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根21242b b acxa-±-=，。
（2）△= b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根122bx xa==-。
（3）△= b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
2、一元二次方程根的判别式的主要应用方面：（1）判定方程根情况：根据方程或给定的条件，判定方程根的情况（不解方程）；（2）确定字母取值范围：利用判别式建立等式、不等式,确定含字母的一元二次方程中参数值或取值范围；（3）证明、探求参数条件：证明某种条件下方程根情况，或求参数满足条件等；（4）讨论根的性质：构造一元二次方程，把原问题转化为讨论根的性质。
3、韦达定理：一元二次方程)0(02≠=++acbxax的根与系数的关系设方程的两根为1x、2x，则acxxabxx=-=+2121,。
注：现在应用韦达定理的前提条件是042≥-=∆acb，即方程必须有实数解。
4．韦达定理的逆定理: 以两个实数21xx，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：()021212=++-xxxxxx注意：（1）根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根（Δ≥0）为前提的，因此，运用韦达定理判定根具体条件必须考虑Δ≥0这一条件。
（2）运用韦达定理可以不解方程，求含有1x、2x的代数式值，常见变形如下：2122122212)(xxxxxx-+=+，21221221214)()(||xxxxxxxx-+=-=-，)(3)(21213213231xxxxxxxx+-+=+，21212111xxxxxx+=+二、考点分析（一）判别式的运用问题一、利用判别式,判定方程根的个数和情况.例1、不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴2710x x --=⑵294(31)x x =-（3）22320x x --+= （4）2(1)02m x m x -++=(m 为常数)例2.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（ ）.A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断练习：⑴若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝__________；⑵若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 无实根，则k 的取值为__________；⑶若关于x 的一元二次方程21(1)04k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________；例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习：已知关于x 的方程 x 2－(k ＋1)x ＋2k －2＝0⑴求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵若等腰△ABC ，底边a ＝3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求△ABC 的周长。
一元二次方程根的判别式和韦达定理
课题： 一元二次方程根的判别式和韦达定理 日 期： 年级： 初三一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为 【典型例题】1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
【课堂练习】一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+yy C 、021=++x D 、0232=+-x x 2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）A 、43<mB 、m ≤43C 、43>m 且m ≠2D 、m ≥43且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定一、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意 二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取 值范围.
3、证明方程根的情况 例4、求证：关于x的方程：
x2 m 2x 2m 1 0
有两个不相等的实根。
证明： m 22 42m 1
（2）m ≠ 0，原方程为一元二次方程
(m 6)2 4 m 3 m2 36 > 0
此方程必有两个不相等的实数根 综合上述两种情况，原方程必有实根。
例1：已知关于x的方程 1 x2 （t 2)x t2 0
4
（1）有两个不相等的实数根，求t的取值范围； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
解：∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ （t 2）2 4 1 t2 4t 4 0 4
∴ t < 1时，方程有两个不相等的实数根.
例2：关于x的二次方程（k 1)x2 2 k x 3 0 有两个不相等的实数根，求k的最大整数.
解：∵ 原方程是关于x的二次方程
∴ k – 1 ≠0，即k ≠ 1.又由 得k k≥0
16 24 8 <0
所以，此方程无实数 根。
例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：
(3)2x2 3 2 6x
解：把此方程化为：
2x2 2 6x 3 0
因为 b2 4ac
归纳步骤：
1.化为一般式，确定a、b、c的值 2.计算△的值，确定△ 的符号 3.判别根的情况，得出结论。
∵ 方程有两个不相等的实数根 ∴ （2 k）2 4 （ 3 k 1) 12 8k 0 ∴k3
2 ∴ 满足k 1且0 k 3的最大正整数是0
八年级第三讲_一元二次方程判别式和韦达定理(教师版)
第三讲 一元二次方程判别式和韦达定理（含答案）【培训提示】1. 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的情况令ac b 42-=∆若0>∆，则方程有两个不相等的实数根；若0=∆，则方程有两个相等的实数根；若0<∆，则方程没有实数根。
2. 一元二次方程根的判别式的主要应用方面（1） 不解方程，根据方程或给定的条件，判定方程根的情况；（2） 确定含字母的一元二次方程中字母的取值或取值范围；（3） 证明某种条件下方程根的情况，或探求参数满足的条件等；（4） 构造一元二次方程，把原问题转化为讨论根的性质。
3. 韦达定理：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与系数的关系设方程的两根为1x 、2x ，则ac x x a b x x =-=+2121,。
注：现在应用韦达定理的前提条件是042≥-=∆ac b ，即方程必须有实数解。
4. 运用韦达定理可以不解方程，求含有1x 、2x 的代数式值，常见变形如下： 2122122212)(x x x x x x -+=+，21221221214)()(||x x x x x x x x -+=-=-，)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+，21212111x x x x x x +=+ 。
【例解讲解】（一）判别式相关问题例1. （上海市初中数学竞赛试题1983）设二次方程0222=++q px x 有实数根，其中p,q 都是奇数，那么它的根一定是（ ）A. 奇数B. 偶数C. 分数D. 无理数解析：由题设知，0)2(42≥-=∆q p 。
可得)2(42q p -=∆不是完全平方数，所以选D 。
例2. 设k 为整数，且0≠k ，方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求k 的值。
解析：利用判别式为完全平方数，设224)1(m k k =--（m 为正整数），则01622=-+-m k k ①①有整数根k,故①的判别式也是完全平方数：设22432n m =+（n 为正整数）。
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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.根的判别式
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
k x k x x 有实根，求方程已知关于0132=--
a x a x a x 为一元二次方程，求方程已知关于03)2(2=++-
数根？
）方程有两个不等的实（
数根？）方程有两个相等的实（？
）方程只有一个实数根（为何值时
，当的方程例：已知关于32101)1(2)2(2m m x m x m x =++---
的值。
求没有实数根求的值。
有两个相等的实数根，，有两个不相等的实数根的一元二次方程关于为整数、已知n m n x m x n x m x n x m x x n m ,01)4(06)4(03)7(,,2222=++--=++++=++-+
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，
注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 根与系数的关系（韦达定理）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-
=+a
c
x x a b
x x 2121
常见变形：
22
12x x += 12
1
1x x +=
12(5)(5)x x -- =
12||x x -=
=+3
231x x
例1、若1x 和2x 分别是一元二次方程03522=-+x x 的两根．
（1）求12||x x -（2）求2212
1
1x x +（3）求3231x x +
变式训练
1、2
12,046x x m x x x 有两个实数根的一元二次方程已知关于=++-
（1）的取值范围求m
（2）的值求满足若m x x x x ,23,2121+=
例2、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ，q = ．
变式训练
1、。
，求，且满足、的两根为的方程已知关于k b a b a k x x x 130132=-=+-
2、如果实数的值求且分别满足、b a b a b b a a a 1
1,,22,22b 22+≠=+=+。
的值求且已知n m n m n n m m 1
1,,0251
,015222+≠=-+=--
的值的两根，求方程是关于，若)1)(1(01)2(222ββααβα++++=+-+m m x m x x
的值的两根，求是方程已知303,22++=--b a x x b a。