数学建模_自动化车床管理中的故障检查与刀具更换模型
自动化车床管理建模分析
600
件由题设刀具故障占 95% ,
非刀具故障占 5% , 故非刀具平均故障间隔为 b=
a
·
95 5
=
11400 件.
其次由 100 个数据确定刀具寿命的经验分布或拟合分布 F (x ).
当进行预防保全定期 u 更换刀具时, 刀故障的平均间隔.
u- 1
∑ au =
1 F (u)
i
c= 1
(F (i) - F (i - 1) + u (1 - F (u) )
的. 此种做法只有在目标函数非常规则的情况下才能找到最优点.
51 第二问的效益函数要考虑两种误判. 一是工序正常时检查到不合格品误判停机, 将
使检查的费用增加; 二是工序故障时检查到合格品, 将继续生产直到下一次检查, 使不合格
品损失增加, 此时两次故障间由此产生的不合格品平均数为
n+ 2
1+
W
∑ ∑ s
42
数 学 的 实 践 与 认 识
30 卷
的平均更为合理, 但由于工序故障率较小, 在不同的换刀间隔和检查间隔下, 生产的合格零 件数与全部零件数之比变化很小, 因而两种考虑下建立的效益函数的最优解不会有大的差 异, 而考虑为生产每个零件的平均费用时, 效益函数会简单些. L 包括预防保全费用 L 1, 检 查费用L 2, 和故障造成的不合格品损失和修复费用L 3.
3 ) 以 G (x ) = 0195F (x ) + 0105H (x ) , 其中 H (x ) 是非刀具故障间隔的分布, 取代
F (x ).
1期
孙山泽: 自动化车床管理建模分析
45
这三种修正办法, 1) 似乎比较合理, 2) 和 3) 则较为粗糙. 51 第二问和第三问的考虑与解法一差不多, 需要对目标函数中的某些费用作适当调 整, 发表的参赛论文中有较详细的考虑, 这里不再赘述. 以上是关于基本模型和基本解法的分析. 另外在具体的数值计算上, 有些参赛队在选 用适宜的数学软件和编程上也存在一些问题. 在模型基本正确的情况下, 解出的最优解与 正确答案相去甚远.
自动化车床管理的数学模型
(D ep a rtm en t of M a them a tics, T a iyuan T eacher Co llege, T a iyuan 030012) Abstract: T h is p ap er ana lyzes the p rob lem A of 99 CM CM in deta il and g ive tw o k ind s of m odel w ith geom etrica l d istribu tion and exponen tra l d istribu tion. M eanw h ile, W e b la in the . app rox i m a te so lu tion s of p a rt p rob lem A w ith si m p le p robab ility m ethod s Keywords: radom va riab le; geom etrica l d istribu tion; exponen tra l d istribu tion
散变量时的近似结果, 与另一途径, 零件个数是连续变量时的近似结果相近 . 2) 本模型在建立、 计算时, 根据题设数据, 将尽可能使检查周期内工序故障概率很小, 更换刀具周期内不发生刀具故障, 但由于生产任一产品时, 都有可能出现故障, 因此计算结 果仅表示长期以来平均意义下的最优值. 3) 由于模型的数学关系式较为复杂, 算出的值不太精确, 特别是对于问题 2) 的情况, 仅得出离散型时 T 的模型, 对其他情况, 思路类似, 本文予以省略 . 4) 对问题 3) 没有进行严格建模运算, 仅给出直观判断 . 5) 根据题目给出的 100 次刀具的样本统计, 用指数分布建模并不是太恰当的 . 本文仅 做试探.
自动化车床管理问题模型
自动化车床管理问题模型摘要本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检验和更换问题。
本文将生产该零件的效益作为衡量检查间隔和刀具更换策略好坏的标准，因此能否设计出最优的检查间隔和道具更换策略是解决这个问题的关键。
为此我们分别建立了三个模型来解决这个问题。
针对问题一：该问题属于优化问题中的数理统计问题。
通过对所给数据进行统计分析得知，在刀具发生故障时零件的完成个数符合正态分布。
因此我们建立了连续性随机模型，通过MATLAB编程求解出最终的结果为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元）525 263 2.3550 针对问题二：该问题间建立的也是随机优化模型。
和问题一不同的是工序正常时，会产生不合格产品，工序不正常时会产生合格产品。
因此工序正常时增加了因误检停机的费用，工序故障时增加了因误检而产生的次品损失费用。
通过MATLAB编程求解出最终的结果为工序检查间隔为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元）524 75 3.1831 针对问题三：该问题是在问题二的模型基础上将检查方式近一步优化。
我们在问题三中运用了连续检查法，每次连续检查两个产品，这样就会降低误判的概率，其他的条件不变，最终建立了以平均损失期望为目标函数的随机优化模型。
利用MATLAB编程求解出最后的结果为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元）521 58 3.00091.问题重述1.1问题背景自动化机床行业是国际公认的基本装备制造业，是国民经济的脊柱产业。
而其中数控技术的使用不但给传统制造业带来了革命性的变化使制造业成为工业化的象征，而且随着数控技术的不断发展和使用领域的扩大。
国内机床企业大力实施技术创新，在产品结构调整上取得了较大进展。
为适应市场需求变化，许多机床企业压缩了低档、普通产品生产，加快经济型数控机床升级换代步伐，着力发展中高档数控机床及生产线等。
在工业生产中，自动化车床刀具的检测和磨损是比较常检见的问题，如何测何时更换刀具将直接影响生产成本。
数学建模之自动化车床车刀更换问题
自动化车床刀具更换问题摘要在工业生产中，自动化车床生产的高效率已基本替代了手工加工，而在自动化车床生产过程中，最容易磨损的就是刀具，所以刀具的检查与替换显得尤为重要。
本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检查与更换问题。
为此，我们将生产一个零件的期望损失费作为衡量刀具检查和更换方案优劣的唯一标准，建立随机优化模型，利用MATLAB软件求解，当单个零件的期望损失费最小时，所求出的刀具检查和更换周期是最佳的。
针对问题一：此问题属于优化问题中的数理统计问题。
对所给数据进行处理，在MATLAB中绘制出图形，经检验，发现刀具的寿命符合正态分布。
因此我们建立了连续性随机模型，通过MATLAB编程求解出最终的结果为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）298 23 6.3616 针对问题二：这个问题与问题一所建立的模型相同，也是随机优化模型。
但与问题一不同的是：在工序正常时，会产生不合格产品，工序不正常时会产生合格产品。
因此工序正常时增加了因误检停机的费用，工序故障时增加了因误检而产生的次品损失费用。
通过MATLAB编程求解出最终的结果为工序检查间隔为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）296 33 7.0593 针对问题三：该问题是在问题二的模型基础上将检查方式近一步优化。
我们在问题三中运用了组合检查法，每次连续检查两个产品，这样就会降低误判的概率，其他的条件不变，最终建立了以单个零件期望损失费为目标函数的随机优化模型。
利用MATLAB编程求解出最后的结果为换刀周期（个）检查周期（个）平均费用（元/个）278 31 6.9932关键词：数理统计正态分布随机优化模型１问题重述1.1问题背景随着社会的日新月异，国内机床企业大力实施技术创新，在产品结构调整上取得了较大进展。
为适应市场需求变化，许多机床企业压缩了低档、普通产品生产，加快经济型数控机床升级换代步伐，着力发展中高档数控机床及生产线等。
数学建模 自动化车床管理
数学建模自动化车床管理数学建模：自动化车床管理一、引言自动化车床管理是现代制造业中的重要环节，通过合理的管理和优化，可以提高生产效率和产品质量。
为了实现自动化车床管理的科学化、规范化和高效化，需要进行数学建模分析，以便找到最优的管理策略和决策方案。
二、问题描述在自动化车床管理中，存在以下几个关键问题需要解决：1. 生产计划优化问题：如何合理安排车床的生产计划，以最大程度地提高生产效率和资源利用率？2. 设备故障预测问题：如何通过数学建模分析，提前预测车床的故障情况，以便及时进行维修和更换？3. 零部件供应链优化问题：如何通过数学建模分析，优化零部件的供应链管理，以确保及时供应和减少库存成本？三、数学建模方法针对上述问题，可以采用以下数学建模方法进行分析和求解：1. 线性规划模型：通过建立生产计划优化的线性规划模型，考虑生产能力、设备利用率、订单需求等因素，以最大化产量和利润为目标，确定最优的生产计划。
2. 时间序列分析模型：通过对历史数据进行时间序列分析，建立车床故障预测的模型，包括趋势分析、季节性分析、残差分析等，以便提前预测故障情况，采取相应的维修和更换措施。
3. 随机优化模型：通过建立供应链的随机优化模型，考虑供应商的可靠性、交货时间、库存成本等因素，以最小化总成本为目标，确定最优的零部件供应链管理策略。
四、数据收集和处理为了进行数学建模分析，需要收集和处理以下数据：1. 生产数据：包括车床的生产能力、设备利用率、订单需求等数据。
2. 故障数据：包括车床的故障记录、维修时间和维修费用等数据。
3. 供应链数据：包括供应商的可靠性、交货时间、库存成本等数据。
通过对以上数据进行整理和处理，可以得到适用于数学建模的数据集。
五、模型求解和结果分析根据收集和处理的数据，运用上述数学建模方法，可以进行模型求解和结果分析。
具体步骤如下：1. 建立数学模型：根据问题描述，建立相应的数学模型，包括目标函数、约束条件等。
自动化车床管理数学模型
自动化车床管理数学模型
（原创实用版）
目录
一、引言
二、自动化车床管理的数学模型
1.模型建立
2.模型解法
三、结论
正文
一、引言
随着制造业的迅速发展，自动化车床在生产过程中发挥着越来越重要的作用。
如何有效地管理自动化车床，提高生产效率，降低生产成本，成为了许多企业亟待解决的问题。
为此，本文针对 1999 年全国大学生数学建模竞赛 A 题——自动化车床管理问题，建立了一个完整的数学模型，
并给出了该数学模型的解。
二、自动化车床管理的数学模型
1.模型建立
在分析自动化车床管理问题的基础上，我们首先建立了一个数学模型。
该模型主要包含以下要素：
（1）车床数量：假设有 n 台车床；
（2）加工零件：每个车床可以加工不同类型的零件；
（3）加工时间：每台车床加工不同类型零件所需的时间不同；
（4）优先级：考虑不同类型零件的优先级，优先级高的零件优先加工。
基于以上要素，我们建立了一个线性规划模型，以最小化生产总时间为目标函数，以每台车床加工每种零件的时间为约束条件。
2.模型解法
为了求解该数学模型，我们采用了线性规划方法。
具体步骤如下：（1）根据约束条件，构建不等式约束条件表示的生产可行域；
（2）在可行域内寻找使目标函数最小化的最优解；
（3）求解最优解对应的生产方案，即每台车床加工哪些零件。
通过以上步骤，我们得到了最优的生产方案，从而实现了自动化车床的有效管理。
三、结论
本文针对自动化车床管理问题，建立了一个线性规划数学模型，并求解了该模型。
通过该模型，企业可以有效地管理自动化车床，提高生产效率，降低生产成本。
自动化车床的管理问题数学建模解析
2017年数学建模论文第 5 套论文题目：自动化车床管理专业班级姓名：专业班级姓名：专业班级姓名提交日期：2017.7.19自动化车床管理摘要本文研究了自动化车床的管理问题，将检查间隔和刀具更换策略的确定归结为单个零件期望损失最小的一个优化问题，我们利用原始数据在matlab中进行处理，建立了以期望损失费用为目标函数的数学模型。
首先对于题目中给出的100次刀具故障记录的数据在matlab中画出频率直方图，我们可以看出，数据基本是符合正态分布的，我们借用jbtext函数对这些数据进行处理和正态性校验，可以得出样本符合正态分布的假设，然后我们用求得概率密度函数的期望和标准差，然后得出刀具寿命的正态分布函数。
对于问题(1)，我们首先建立以单个零件分摊的费用的损失函数为目标函数，然后我们用概率论及数理统计来建立出非线性优化模型，每个零件分摊的费用记为L，L包括预防保全费用L1,检查费用L2,和故障造成的不合格品损失和修复费用L3.在matlab中进行求解得出最优检查间隔为23个，最优刀具更新间隔为352个，合格零件的平均损失期望为7.61元对于问题(2)，根据题目信息,不管工序是否正常都有可能出现正品和次品，我们在问题一上，加入检查间隔中的不合格品带来的损失，同时还有误检带来的损失，然后建立出每个零件的期望损失费用作为目标函数的优化模型，在matlab 中用穷举法进行求解得出最优检查间隔为30个，最优刀具更新间隔为308个，合格零件的平均损失期望为10.07元。
对于问题(3)，我们将第二题的模型，改变为如果检查为合格品时多检查一次，如果第二次仍然为合格品，我们则判定为工序正常，否则认为故障，改变第二问中的L2和L3，优化模型进行求解得出最优检查间隔为20个，最优刀具更新间隔为375个，合格零件的平均损失期望为9.50元。
对于第三问我们一直是固定检查间隔，我们也可以利用刀具发生故障的函数模型，对检查的间隔也进行调整，检查间隔随函数变换，这一问还没有具体讨论。
自动化车床管理数学模型
自动化车床管理数学模型一、引言随着制造业的不断发展，自动化车床在生产过程中的应用越来越广泛。
然而，如何有效地管理自动化车床以提高生产效率、降低成本并保证产品质量成为企业面临的关键问题。
本文针对这一问题，构建了一个自动化车床管理数学模型，以期为车床管理者提供有益的决策依据。
二、自动化车床管理数学模型的构建1.数据收集与处理为实现自动化车床管理数学模型的构建，首先需收集车床相关数据。
这些数据包括生产过程中的产量、成本、设备利用率、故障率等。
在收集数据的基础上，对原始数据进行清洗和处理，以便后续分析。
2.变量选取与模型设计根据车床生产过程的实际情况，选取影响生产效率、成本和质量的关键因素。
这些因素包括设备参数、工艺参数、操作人员技能等。
针对这些因素，设计一个多元线性回归模型，以揭示各变量之间的关系。
3.模型验证与优化为保证模型的准确性和实用性，需对模型进行验证。
常用的模型验证方法有内部验证、外部验证等。
在验证过程中，若发现模型拟合效果不佳，可对模型进行优化，如调整变量、修改参数等。
三、模型应用与分析1.自动化车床生产效率分析利用构建的数学模型，对企业自动化车床的生产效率进行分析。
通过对生产数据的模拟，为企业提供优化生产计划、提高设备利用率等方面的建议。
2.生产成本分析基于模型，分析车床生产过程中的成本构成，为企业提供降低成本的途径。
例如，通过分析不同产品的生产成本，指导企业进行产品结构调整，以实现利润最大化。
3.产品质量分析运用模型分析产品质量与各影响因素之间的关系，为企业提供改进产品质量的方法。
例如，通过分析工艺参数对产品质量的影响，指导企业调整生产工艺，提高产品合格率。
四、结论与展望本文针对自动化车床管理问题，构建了一个数学模型。
通过模型应用与分析，为企业提供了提高生产效率、降低成本和保证产品质量的途径。
然而，本文构建的模型尚有一定局限性，未来研究可进一步探讨更复杂的非线性模型，以提高模型的预测能力。
自动化车床管理的数学模型
自动化车床管理的数学模型
自动化车床管理的数学模型可以基于以下几个关键指标进行建模和优化：
1. 生产效率：可以使用产量、生产周期、产能利用率等指标来衡量车床的生产效率。
可以使用线性规划或者整数规划模型来优化车床的生产计划，以最大化生产效率。
2. 造成漏产的故障率：可以使用故障率、维修时间、维修费用等指标来衡量车床的可靠性。
可以使用可靠性中心理论来建立车床的可靠性模型，并通过优化维护策略，降低故障率以减少造成漏产的机会。
3. 工具寿命：车床的切削工具寿命对生产效率和可靠性都有重要影响。
可以使用刀具寿命、切削速度、加工质量等指标来衡量工具寿命。
可以使用优化理论和刀具磨损模型，来优化刀具更换策略，最大化工具寿命。
4. 能源消耗：车床的能源消耗对生产成本和环境影响都有重要影响。
可以使用能耗、电费、碳排放等指标来衡量能源消耗。
可以使用线性规划模型来优化能源使用策略，达到节能减排的目标。
5. 人力资源配置：车床的操作人员配置对于生产效率和人力资源利用率都具有重要影响。
可以使用操作人员数量、工作时间、工作强度等指标来衡量人力资源配置。
可以使用排队论模型和资源分配算法来优化人力资源的调度，最大化人力资源的利用
效率。
这些数学模型可以通过数值方法、优化算法等工具来求解，并通过敏感性分析和模拟仿真等方法进行验证和优化。
1999年全国大学生数学建模A题车床管理优化模型
11 顺序统计的 n 个零件, 次品率低于 2% , 认为工序正常, 继续生产; 21 顺序统计的 n 个零件, 次品率高于 2% 低于 60% , 但所有已检查零件的次品率低于 2% , 认为工序正常, 继续生产; 31 顺序统计的 n 个零件, 次品率高于 60% , 但所有已检查零件的次品率低于 2% , 认为 工序正常, 继续生产; 41 顺序统计的 n 个零件次品率高于 60% , 并且所有检查零件的次品率高于 2% , 认为 工序故障, 系统自动发出信号并进行调节. (算法框图略)
32
数 学 的 实 践 与 认 识
30 卷
因 n 个零件检查一次, 所以每个零件所分推到的检查费用为 t n, 即:
I= t n 由于检查到故障时才进行调节, 而平均每 θu 个零件出一次故障, 困此, 每个零件所分推 到的调节费是, 即:
= d θu 至于 , 由于检查时生产并不停止, 而检查又需一定时间. 假设检查一个零件的同时,
已又有 l 个零件生产出来. 因此, 每一次故障由于检查滞后造成损失为 l·f , 于是每个零件 所分推到的检查滞后损失为 l·f θu, 即:
= l·f θu 最后来分析 , 注意每 n 个零件才检查一次, 在某检查点一但发现零件为不合格品, 一 般说来, 不合格品就不只这一个, 详细情况见下图:
+
lf
θu 定
+
n+ 2
l
f
θu 定
(5)
令L ′定= 0 得最宜检查间隔为:
n=
2 θu 定 t
数学建模_自动化车床管理中的故障检查与刀具更换模型
自动化车床管理中的故障检查与刀具更换模型摘要本文针对自动化车床管理中的故障检查与排除问题，以效益最好（即使总损失费用最少）为目标，建立不同条件下的检查间隔模型和刀具更换间隔模型，并提出改进的检查方式。
为了估计刀具的寿命分布，本文对附件中100次刀具故障记录的数据进行K-S法正态检验，得出有99.4%的概率可以认为刀具寿命服从正态分布。
再运用极大似然法估计其正态分布参数，得其服从分布。
对于最优刀具更换间隔的求解，以效益最好为目标，将零件平均损失期望作为目标函数，利用刀具寿命的分布，解得效益最好时的刀具更换间隔为426个零件。
对于检查间隔的求解，需要在以下两种条件下分别讨论：在工序正常时只产生合格品、工序故障时只产生不合格品的条件下，认为发生故障后的第一次检查即能检查出故障，依此构造出以检查间隔为自变量的零件平均损失期望函数。
若以等间隔的方式进行检查，解得效益最好时的检查间隔为15个零件，且零件平均损失费期望最小值为4.51元/个。
在工序正常时生产2%的不合格品、工序故障时生产60%不合格品的条件下，因故障与否不一定能被准确查出，所以根据工序运行状态与检查结果分四种情况讨论：工序故障且检查结果为有故障、工序故障但检查结果为无故障、工序无故障且检查结果为无故障、工序无故障但检查结果为有故障。
在此基础上推导出关于检查间隔的零件平均损失期望函数，求解得出使得效益最好的检查间隔为20个零件，且零件平均损失费期望最小值为6.87元/个。
最后，为了获得更高的效益，将检查方案由一次检查一个零件调整为一次检查多个零件再判断是否故障。
保持求得的最优检查间隔（20个零件）不变，求得最佳的检查方案为：工作人员每次检查3个零件，若大于等于2个零件不合格即可判断车床有故障。
另外，提出非等间隔的检查方式作为模型改进方向。
一、问题重述随着我国工业生产的飞速发展，制造业的生产技术已经进入自动化生产时代。
但是，自动车床一旦发生故障而又未能及时检查出来，将会产生大量的不合格品，不仅给企业带来严重的经济损失，而且造成资源的严重浪费。
自动化车窗管理的数学模型（精编）
自动化车床管理数学模型摘要本文通过对自动化车床100次刀具故障记录的数据进行数理统计分析，研究了自动化车床连续加工单个零件时刀具的检查间隔和更换策略，我们构造了生产单个零件的损失函数，建立单目标最优化模型。
对于生产单个零件的损失费L 将其分成三部分：每个零件均摊更换新刀具的费用1L ；每个零件均摊检查的费用2L ；每个零件均摊故障时产出的零件损失和调节恢复的费用3L 。
首先我们采用的是对益函数进行参数优化，生产单个零件的损失费L 化为关于刀具更换间隔u 的函数，建立单目标最优化模型，利用MATLAB 计算出L 的值并算出L 最小值相对应的检查间隔n 值，最后得出最优决策。
对于问题二，我们同样采用上述方法，由于会出现误判，导致效益函数中每个零件均摊检查的费用2L 以及每个零件均摊故障时产出的零件损失和调节恢复的费用3L 增大，所以我们首先计算出一个生产周期内不合格零件平均数，然后确定效益函数，建立单目标最优化模型，求得最优决策。
最后在第二问的条件之下，我们对模型进行了改进，采用多个零件连续抽样检查，减少误判，可以取得更优的结果。
关键词： 效益函数；参数优化；单目标优化函数；多个零件抽样检查模型假设假设1：生产任一零件出现非刀具故障的概率均相等 假设2：当故障发生时即认为停止生产假设3：检查间隔和刀具故障间隔均认为是固定间隔。
假设4：假设提供的道具故障记录数据是独立分布的。
假设5：假设生产任一零件所需的时间相同。
符号说明n 每生产n 零件件检查一次，即检查间隔 u 每生产u 零件件更换一次刀具 m 一个生产周期内不合格零件平均数c 平均每生产c 件零件出现故障，即平均故障间隔p 平均故障率，即cp 1a 生产完成a 件零件出现刀具损坏故障，刀具损坏故障间隔b 生产完成b 件零件出现其他损坏故障，其他损坏故障间隔1P 刀具损坏故障的概率%952P 其他损坏故障的概率%5s 工序正常而误认有故障停机产生的损失费用1500元/次L 生产每个零件的总费用1L 每个零件均摊更换新刀具的费用 2L 每个零件均摊检查的费用3L 每个零件均摊故障时产出的零件损失和调节恢复的费用 α 工序正常时产出的零件不合格率2%β 工序故障时产出的零件合格率40%问题分析本题中需要对该工序设计损失最少的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略，高效的检查策略不仅能节约检查费，还能及时发现故障并减少不合格零件的损失；最优的刀具更换策略既能利用刀具获得最大的生产量，又能有效避免故障停机过多的造成损失，为此我们将生产单个零件的损失费作为评价指标。
自动化车床数学建模
自动化车床数学建模自动化车床数学建模是指利用数学方法和技巧对自动化车床进行建模和分析的过程。
自动化车床是一种能够自动完成加工任务的机械设备，通过数学建模可以对其进行性能评估、优化设计以及控制算法的研究与实施。
在自动化车床数学建模中，常用的数学方法包括几何建模、运动学建模、动力学建模以及控制建模等。
几何建模是描述自动化车床结构和形状的数学模型，通过几何建模可以确定车床的尺寸、形状和位置等参数。
运动学建模是描述自动化车床运动状态和轨迹的数学模型，通过运动学建模可以确定车床的运动范围、速度和加速度等参数。
动力学建模是描述自动化车床运动过程中力学特性的数学模型，通过动力学建模可以确定车床的力学性能、刚度和阻尼等参数。
控制建模是描述自动化车床控制系统的数学模型，通过控制建模可以确定车床的控制算法、控制器参数和控制策略等。
在自动化车床数学建模中，需要运用到的数学工具包括线性代数、微积分、概率论和控制理论等。
线性代数用于描述车床的几何结构和运动关系，微积分用于描述车床的运动学和动力学特性，概率论用于描述车床运动的随机性和不确定性，控制理论用于描述车床的控制过程和控制策略。
自动化车床数学建模的应用范围广泛。
在制造业中，数学建模可以用于优化车床的结构和性能，提高加工效率和质量。
在工程设计中，数学建模可以用于评估车床的性能和可靠性，指导设计和改进。
在控制系统中，数学建模可以用于设计和优化车床的控制算法和控制器。
自动化车床数学建模是一项复杂而重要的工作。
在进行数学建模时，需要全面理解车床的结构和工作原理，合理选择数学方法和工具，准确提取和处理数据，以及合理假设和简化模型。
此外，还需要进行模型验证和仿真实验，以确保建模结果的准确性和可靠性。
自动化车床数学建模是一项关键的技术和方法，对于提高车床的性能、效率和可靠性具有重要意义。
通过数学建模，可以深入理解车床的运动特性和控制过程，为车床的设计、优化和控制提供科学依据和方法。
自动化车床管理的数学模型(含程序)
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自动化车床管理得数学模型摘要本文研究得就是自动化车床管理问题,该问题属于离散型随机事件得优化模型，目得就是使管理得到最优化。
首先我们借用mａltlab中得lilｌietest函数对题目给出得１０0次刀具故障记录得数据进行了数据处理与假设检验(见附录一)，样本数据与正态分布函数拟合得很好，从而接受了数据符合正态分布得假设,求得刀具寿命得概率密度函数得期望μ=60０，标准差σ=196、６29６,积分后求得刀具寿命得分布函数。
对于问题（1)，我们建立起离散型随机事件模型，以合格零件得平均损失期望作为目标函数,借用概率论与数理统计得方法列出方程组，并利用matlａb以穷举法(见附录二）得出最优检查间隔为１8个，最优刀具更新间隔为368个，合格零件得平均损失期望为5、17元.对于问题（2),我们建立单值目标函数最优化模型,以平均合格零件得损失期望作为目标函数，并由题所给条件列出约束条件表达式。
最后借用maｔlａｂ编程求解(见附录三)得出最优检查间隔为32个,最优刀具更新间隔为320个,合格零件得平均损失期望为7、４6元。
对于问题(３）,我们采取得优化策略就是：进行一次检查，如果就是合格品则再进行一次检查，后一次检查为不合格品则换刀。
在做定量分析时，我们将问题（2）中得目标函数与方程组在问题(3）得条件上做了相应改变,利用matlab用穷举法求解(见附录四）得出优检查间隔为32个，最优刀具更新间隔为3２0个,合格零件得平均损失期望为6、4０元。
由结果可以瞧出问题(3)得检查间隔与刀具更新间隔与问题（2）得结果相同，但合格零件得平均损失期望降低了1、06元。
说明问题（3)得检查方式较问题(2)更优.关键词:离散型随机事件优化模型概率理论拟合优度穷举法1问题重述1、1问题背景我国就是一个工业化大国，其中自动化车床生产在我国工业生产中扮演着举足轻重得角色。
因此能否对于自动化车床进行高效经济地管理直接关系到工业生产就是否可以做到“低消耗,高产出”.对于自动化机床管理进行优化符合我国“可持续发展”得战略，同时对于环境资源得节约保护有着突出贡献。
自动化车床管理的数学模型
零件检查的数学模型1问题重述1.1需要解决的问题一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。
工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。
工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。
现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附录表一。
现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
问题：假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。
2模型的假设及符号说明2.1模型的假设假设1：假设在生产任一零件时出现故障的机会均相等。
假设3：假设生产任一零件时所需的时间相同。
假设4：假设提供的刀具故障记录数据是独立同分布的.假设5：假设提供的刀具故障记录数据是独立同分布的。
2.2符号说明符号说明μ刀具平均寿命σ样本方差Tc检查零件的单位时间间隔T定期换刀的单位时间间隔TT(c)以检测时间间隔为时，系统工序合格零件的单位期望损失cf(x)系统的失效概率密度F(x)累积失效概率密度，即寿命分布函数3问题分析在自动化车床生产流程中，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障，工序故障的出现是完全随机的。
工作人员通过检验零件来确定是否出现故障，并且决定在刀具加工一定的零件后更换刀具。
当发生故障时要及时维修，如果检修周期太长，故障不能及时发现，会给生产带来损失；检查周期太短又会增加费用。
在理论上我们首先将问题转化为概率模型。
通过分析题目所给的100次刀具故障记录，我们通过绘图分析假设刀具的寿命服从正态分布。
再通过假设检验，我们决定接受这一假设。
问题中我们建立离散型随机事件模型I 。
我们选择一个周期T 。
目标函数要求目标函数取最小值的情况下求解检查间T 系统工序的期望总损失总=C 系统工序产生的合格零件数U隔和道具更换策略。
U 总分为两种情况：故障发生在换刀之前与故障发生在换刀之后。
数学建模第三轮自动化车床管理
自动化车床管理摘要本文讨论了机械零件加工生产过称中,如何设定检查和更换刀具的间隔可使总效益最好的问题.利用统计分析法证明了刀具故障服从()2N的正态分布,考虑了608,35.0410%的其它故障的影响，分别对三个问题做具体分析建立了三个随机优化模型.对于问题一:以生产每个零件的平均费用为效益函数,综合考虑各种费用的影响,建立优化模型一,用Matlab软件求出此模型的最优解见下表:每个零件的平均费用L更换刀具的零件数间隔T进行检查的零件数间隔c T5.3231元515件30件对于问题二: 在模型一的基础上,改变两种可能的误判导致的相应检查费用与不合格品损失及修复费用的关系式,建立优化模型二.在Matlab软件中采用穷举法求解,得到此模型的最优解如下:每个零件的平均费用L更换刀具的零件数间隔T进行检查的零件数间隔c T6.2248元512件31件对于问题三: 将模型二改进为每次查到合格品时多检查一次,若仍是合格品则判定工序正常, 若为次品则判定工序故障.其他条件方法均与模型二相同,建立问题二的改进模型三.其求解过程与模型二类似,得到模型三的最优解如下:每个零件的平均费用L更换刀具的零件数间隔T进行检查的零件数间隔c T6.2177元511件51件最后,我们在模型改进中,考虑检查间隔和刀具更换间隔不固定,利用计算机仿真模拟建立本文的改进模型,列出了具体求解步骤.关键词: 正态分布安德森-达令正态性检验穷举法1. 问题重述1.1问题背景:自动化车床在工业生产中扮演着举足轻重的角色,但在用自动化车床进行生产的过程中,由于刀具损坏等原因会出现工序故障,出现不满足要求的产品.这样既浪费资源又增加生产成本,不利于企业的发展.对于一个企业而言”成本最小化,效率最大化”已经成为至关重要的生存之道.大到国家,小至企业,对”自动化车床管理”的研究都给予了高度重视.1.2题目所给信息:工序故障中刀具损坏故障占90%,其它故障仅占10%.工序出现故障是完全随机的,假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同.工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障.现积累有150次刀具故障记录,故障出现时该刀具完成的零件数(见附录一).现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具.已知参数: (1)故障时产生的零件损失费用f=350元/件;(2)进行检查的费用t=30元/次;(3)发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次(包括刀具费);(4)未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1400元/次.1.3本文需解决的问题有:问题一: 假定工序故障时产出的零件均为不合格品,正常时产出的零件均为合格品,试对该工序设计效益最好的检查间隔(生产多少零件检查一次)和刀具更换策略.问题二: 如果该工序正常时产出的零件不全是合格品,有1%为不合格品;而工序故障时产出的零件有25%为合格品,75%为不合格品.工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次.对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略.问题三: 在2)的情况,可否改进检查方式获得更高的效益.2. 模型的假设与符号说明2.1模型的假设假设1: 在生产任一零件时出现故障的机会均相等;假设2: 发现故障和停机维修的时间可忽略不计;假设3: 生产任一零件所需的时间相同;假设4: 检查时不停止生产,只在检查出不合格零件时才停止生产进行维修;假设5: 提供的刀具故障记录数据是独立同分布的;假设6: 问题2 中工序正常时而误认为有故障停机产生的损失费用(1500元/次)不包括刀具费用,即发现检查有误时不进行换刀;假设7: 检查的间隔与更换刀具的间隔是固定的.2.2符号说明符号符号说明X首次产生刀具故障时已加工的零件数即刀具故障间隔f X刀具故障的概率密度函数()()F X累计刀具故障的概率密度函数μ刀具平均寿命δ样本方差s较大的常数f故障时产生的零件损失费用300元/次t进行一次检查的费用20元/次d发现故障进行调节使恢复正常的平均费用3000元/次k未发现故障时更换一把刀具的费用1200元/次L每个零件的预防保全费用1L每个零件的检查费用2L故障造成的不合格品损失和修复费用3L生产每个零件的平均费用T更换刀具的零件数间隔T进行检查的零件数间隔cc工序的平均故障间隔p平均故障率m相邻两次检查的后一次检查发现故障时,T件零件中不合格品的平均数ch检查发现故障至停止生产的过程中产生的零件数a刀具故障的平均间隔Tb非刀具故障的平均间隔v工序正常时的不合格品率1%e工序正常而误认为有故障停机的损失费1500元/次w工序故障时的合格品率25%为了不影响生产,必须有计划的进行刀具的更换和检查.如果检查周期太长,故障不能及时发现,会给生产带来损失;检查周期太短,又会增加费用,因为车床出现故障是随机的.同样的,更换刀具太勤会造成资源浪费增大成本,更新不及时又会影响正常生产.整合题目所给信息,得出相应的问题求解分析如下:针对问题一: 工序故障时产出的零件均为不合格品,正常时产出的零件均为合格品.我们假定刀具的检查和更换都是定期不变的,而要使生产效益最好,本应考虑合格品的平均费用,但因为工序的故障率较小,产出的不合格品很少,故合格品的平均费用和全部零件的平均费用的最优解差异很小.所以,为了得到更为简化的效益函数,我们以生产每个零件的平均费用L为效益函数,即: 每个零件的平均费用＝预防保全费用+检查费用+故障造成的不合格品损失和修复费用,以此作为目标函数.然后,分步确定每个零件的相应费用,以及题目要求的约束条件.其中,由于工序故障中,刀具损坏故障占90%,其它故障占10%,故工序平均故障间隔由刀具故障的平均间隔与非刀具故障的平均间隔得出.将信息进行整理得到问题一的优化模型.接着运用Matlab软件求出此问题的最优解.针对问题二: 工序正常时产出的零件有1%为不合格品;而工序故障时产出的零件有25%为合格品,其余为不合格品.工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次.为此,此问的效益函数必须考虑到两种误判,一是工序正常时检查到不合格品误判停机,使检查的费用增加;二是工序故障时检查到合格品继续生产直到下一次检查,使不合格品的数量增加.将这两种误判对相应检查费用和故障造成的不合格品损失和修复费用的影响考虑后,得到问题二的优化模型.求解时利用Matlab软件,用穷举的求解方法得到模型二也就是问题二的解.问题二的分析流程图如下:工序正常工序故障检查到不合格品误判停机检查到合格品继续生产直到下次检查检查费用增加不合格品数量增加每个零件的检查费用增加故障造成不合格平损失和修复费用增加每个零件的平均费用增加图1: 问题二的分析流程图针对问题三: 要求对问题二得的模型进行改进.考虑到工序故障时的合格品率相当高,为25%.所以,当我们在检查到零件为合格品或不合格品时就做判断,这样减少了检查费用,却增大了误判率.相比而言,检查一次的费用仅为30元,而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次.因此,在改进的模型中,每次查到合格品时再检查一次,若仍是合格品则判定工序正常,若为次品则判定工序故障.这样虽然增大了检查费,但可以通过减少误判的损失费而减少不合格品的损失费.故我们只需调整相应两种误判的相关式子,其他条件方法均与模型二相同,这样就建立了问题二的改进模型三.其求解过程与模型二类似,也是用穷举的求解方法,利用Matlab程序实现,得到改进模型的解.4.1刀具故障时完成零件个数的数据统计分析4.1.1作频率分布直方图我们用6SQ概率统计插件将题目所给150次刀具故障记录(参见附录一)作成频率分布直方图,如下图所示:图2: 频率分布直方图从图2可以推测,该刀具寿命可能服从正态分布.下面我们对刀具寿命的正态性进行检验.4.1.2分布的正态性检验由上面的频率分布直方图我们得出该刀具的寿命近似的服从正态分布,下面我们运用6SQ概率统计插件安德森-达令法进行分布的正态检验,检验数据如下表:安德森-达令检验零假设是正态分布显著性水平0.05数据个数140平均值607.6642857标准偏差35.03782349AD统计量0.427604522调整了的AD 0.429944347p值0.308162568检验结果接受零假设从上表中安德森-达令检验结果，可以初步确定刀具寿命为正态分布。
自动化车床最优刀具检测更换模型分析及改进
数理统计分析
D检验法 正态分布
f(t)
F(t)
系统工序寿命函数
期望总损失U总
合格零件数
优化模型 目标函数：合格零件单位损失T(C)= 变量：检测间隔、刀具定期更换间隔 列举比较求解 改进模型
正文部分
1 数据处理 2 模型的建立与求解 3 模型的改进 4 评价与改进
文章优点： ·结构清晰 层次明了 ·逻辑段落的划分 ·采用了不等间隔的检查方法
当F (λ1Tc ) > 0.02 时
p<
为小概率事件。
当F(λ1Tc ) ≤ 0.02时，
1 = 5% 900 • 0.02 + 1
λ 本题模型一中： 1Tc ≤ 369
若前369个零件有两个不合格
检查约20次，仍有：
p = C 20 [(1 − F (λ1TC ))2% + F (λ1TC )60%]2
对模型的改进（问题三） 对模型的改进（问题三） 1.减少误判； 2.改变检查间隔 减少误判； 减少误判 改变检查间隔 命题证明：（在模型一所给结果下）在一个工序周期（换刀间隔T）内，检查 出三个及以上的不合格零件即可认为系统出现故障。 设 λ 与 λ 分别是检查出两次不合格品的次数 ，且 λ < λ ,则有在 次不合格产品之前，工序出现故障的概率：（利用后验概率）
1 2
{1 − [(1 − F (λ1TC ))2% + F (λ1TC )60%]}8 ≤ 190[0.02 + 0.6 ∗ 0.02]2 (1 − 0.08 ∗ 2%)8 ≈ 15.6%
说明检查两个不合格零件不太合适，则当一个工序周期内出 现三个不合格零件时类似：
论文题目
自动化车床最优刀具检测更换模型 自动化
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自动化车床管理中的故障检查与刀具更换模型摘要本文针对自动化车床管理中的故障检查与排除问题，以效益最好（即使总损失费用最少）为目标，建立不同条件下的检查间隔模型和刀具更换间隔模型，并提出改进的检查方式。
为了估计刀具的寿命分布，本文对附件中100次刀具故障记录的数据进行K-S法正态检验，得出有99.4%的概率可以认为刀具寿命服从正态分布。
再运用极大似然法估计其正态分布参数，得其服从分布。
对于最优刀具更换间隔的求解，以效益最好为目标，将零件平均损失期望作为目标函数，利用刀具寿命的分布，解得效益最好时的刀具更换间隔为426个零件。
对于检查间隔的求解，需要在以下两种条件下分别讨论：在工序正常时只产生合格品、工序故障时只产生不合格品的条件下，认为发生故障后的第一次检查即能检查出故障，依此构造出以检查间隔为自变量的零件平均损失期望函数。
若以等间隔的方式进行检查，解得效益最好时的检查间隔为15个零件，且零件平均损失费期望最小值为4.51元/个。
在工序正常时生产2%的不合格品、工序故障时生产60%不合格品的条件下，因故障与否不一定能被准确查出，所以根据工序运行状态与检查结果分四种情况讨论：工序故障且检查结果为有故障、工序故障但检查结果为无故障、工序无故障且检查结果为无故障、工序无故障但检查结果为有故障。
在此基础上推导出关于检查间隔的零件平均损失期望函数，求解得出使得效益最好的检查间隔为20个零件，且零件平均损失费期望最小值为6.87元/个。
最后，为了获得更高的效益，将检查方案由一次检查一个零件调整为一次检查多个零件再判断是否故障。
保持求得的最优检查间隔（20个零件）不变，求得最佳的检查方案为：工作人员每次检查3个零件，若大于等于2个零件不合格即可判断车床有故障。
另外，提出非等间隔的检查方式作为模型改进方向。
一、问题重述随着我国工业生产的飞速发展，制造业的生产技术已经进入自动化生产时代。
但是，自动车床一旦发生故障而又未能及时检查出来，将会产生大量的不合格品，不仅给企业带来严重的经济损失，而且造成资源的严重浪费。
因此，对自动化车床进行高效的管理显得尤为必要。
现已知某自动化车床连续加工零件，由于各种因素出现故障导致工厂遭受损失，效益变低。
根据故障类型、发生的频率，将自动车床发生的故障分为刀具损坏故障，其它故障。
分别占故障总数的95%和5%。
为了及时检查出机器是否发生故障，工作人员通过检查零件是否出现故障。
根据积累的100次刀具故障记录和生产工序的费用参数，解决以下三个问题：（1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试制定检查间隔与刀具更换策略使得工厂遭受的损失最少；（2）假设工序正常时产出的零件不合格品概率为2%，工序故障时产出的零件有40%为合格品。
工序正常而误认为有故障造成车床停机会造成1500元/次的损失费。
试改进问题一的检查间隔和刀具更换策略；（3）在（2）的假设条件下，考虑改进的检查方式以获得更高的效益。
二、问题分析题目中工序出现故障是完全随机，且生产任一零件时出现故障的机会均相同。
由此，在理论上我们可以将问题转化为概率模型。
首先，根据刀具故障占95%这一条件，可以认为故障的发生与刀具的寿命密切相关。
为了估计刀具的寿命，通过对附件中100次刀具故障记录的数据进行分析与处理，将100次刀具故障记录的数据绘制出频率分布图，可以发现其图像较符合正态分布。
为了验证该猜想，对其做进一步的正态分布检验，发现其正态分布的检验效果很好。
据此，可以进一步用极大似然估计法确定其分布中的参数。
由于发生故障后调节使恢复正常时需花费3000元/次，大于更换刀具费用1000元/次。
则认为其具体做法为：在刀具更换时先对工序进行检修，若有故障则对其进行修理，花费3000元，若无故障则更换刀具，花费1000元。
由于需要求解的参数有刀具更换间隔和检查间隔两个参数，如果同时找其最优解会十分复杂，因此我们采取分级优化的方式，即先求得一个参数的最优解，再以该参数为基础，求得另一个参数的最优解。
由于刀具的更换主要考虑的因素为刀具的寿命，且更换刀具可以避免刀具故障的发生，因此，刀具更换间隔对检查间隔的依赖很小，且对效益的影响程度很高。
所以，我们采用先求解刀具更换间隔、再以此为基础求解检查间隔的方法。
因为更换刀具可以避免刀具故障，故对故障的发生点分两种情况讨论：故障发生在刀具更换间隔内和故障发生在刀具更换间隔外。
利用问题中不同的假设条件，对这两种情况作详细讨论，即可求解出效益最好的检查间隔和刀具更换间隔。
对于检查间隔的求解，需要在以下两种条件下分别进行讨论：在工序正常时只产生合格品、工序故障时只产生不合格品的条件下，检查出不合格零件即可认为车床发生故障。
根据刀具寿命的分布，可以得出工厂损失期望的表达式，利用MATLAB即可解出最优的检查间隔。
当考虑到工序正常也会生产不合格品，工序故障也会生产合格品时，检查时可能会产生误判。
工序正常时认为工序故障会造成停机，工序故障时认为工序正常会造成不合格品比例增大。
故可根据工序正常与否、检查结果正确与否分四种情况进行讨论，即：工序故障且检查结果为有故障、工序故障但检查结果为无故障、工序无故障且检查结果为无故障、工序无故障但检查结果为有故障四种情况。
再利用刀具寿命的分布，可以列出总损失期望的表达式，同样利用MATLAB即可解出最优的检查间隔。
问题三假设与问题二相同，但由于前面两个问题在检查时均通过检查一个零件来判断车床是否发生故障，因此这种检查方式很容易导致判断错误。
故考虑改进检查方案，可以通过增加检查零件的个数，来减小判断错误出现的概率。
建模时确定检查零件中不合格品的比例，当不合格品的比例超过该值后即可判断车床出现故障。
基于问题二的检查间隔和刀具更换策略，可以得出损失期望的表达式，并求解得出最优的比例系数。
三、问题假设（1）假设自动化车床故障种类中其它故障任何措施都无法避免；（2）假设工人每次检查能准确检测合格品与不合格品；（3）假设当故障发生后更换刀具，按维修情况来处理；（4）假设只有工序处于故障状态下生产的不合格品才需要考虑零件损失费；（5）假设两次检查期间故障发生时刻服从均匀分布；（6）假设生产加工时每个零件合格与否相互独立；四、符号与变量说明未发现故障时更换一把新刀具的费用元/次刀具更换间隔内刀具连续工作的平均长度个工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用元五、模型建立与求解建立车床管理模型，使得检查间隔和刀具更换周期达到最好的效益。
重点在于确切的估计出刀具寿命的分布。
根据刀具寿命的概率密度函数，估计出连续加工零件时每一个零件出现故障的概率。
结合生产工序的费用参数，确定损失的期望。
优化检查间隔和刀具更换间隔，使得损失的期望最小。
5.1建模准备5.1.1确定刀具寿命分布1、样本数据分析为了估计刀具寿命的分布，根据题目附件提供的100次刀具故障记录的数据，运用spss软件对其进行分析和处理，结果如下：表1:100次刀具故障记录数据统计表N 均值标准差M2统计值M2统计值^1/2 100 600.00 196.629 38276 195.64图1 ：故障件完成零件个数直方图根据直方图发现，刀具故障完成零件数的频数分布与正态分布函数曲线有很好的拟合度。
2、样本数据正态检验：（1）对故障间完成的零件数运用spss进行正态P-P分析，P-P图拟合结果为：图2 ：故障间完成的零件的正态P-P图P-P图拟合结果为一条近似的直线，拟合结果较好。
故采用正态分布描述刀具寿命的分布。
(2)对刀具故障数据运用spss进行K-S检验，检验结果为：表2：单样本 Kolmogorov-Smirnov 检验刀具寿命样本容量N 100正态参数均值600.0000 标准差196.62917最极端差别绝对值0.042 正0.0423、正态分布参数估计假设刀具寿命服从正态分布，且假设题目所给样本来自于正态总体，用极大似然估计法估计正态参数以确定其分布：设是样本观测值，由于正态总体的概率密度为构造似然函数为：对似然函数取对数得：由似然方程组解得代入数据计算得:故刀具寿命服从参数为的正态分布，概率密度为：5.2刀具更换间隔模型刀具更换策略通过预测故障发生时间，在连续工作生产一定数目的零件后，定期更换刀具以减少损失。
根据刀具寿命的分布，故障可能发生在刀具更换之前，也可能发生在刀具更换之后。
以两次刀具更换间隔为一个周期，该模型的目标函数应为刀具运行周期内的零件平均损失。
假设为零件数，刀具寿命X的分布函数，刀具的平均寿命为，刀具发生故障后带来的损失为，未发生故障时采取预防性刀具更换策略的花费为，则总费用期望：零件的平均损失费用：一个周期内刀具连续工作的平均长度为：则目标函数为：其中，。
使得上式（11）取得最小值的即为最优的刀具更换间隔。
5.3检查间隔模型无论工序正常时产出不合格零件，还是工序故障产出合格零件，均会影响检查结果。
工作人员通过检查一个零件的方式判断车床是否出现故障，需考虑误判的可能性。
故在不同假设条件下建立检查间隔模型。
5.3.1问题一的检查间隔模型根据问题一的条件，工序故障时产出的零件均为不合格品，工序正常产出的均为合格品。
若刀具更换间隔内检查出故障，费用分为三部分：检查费、故障时产出的零件损失费、发现故障进行调节使恢复正常的费用；若刀具更换间隔内未检查出故障，费用分为两部分：检查费、未发现故障时更换一把新刀具的费用。
假设为车床连续加工零件个数，刀具更换间隔为，检查间隔为，刀具寿命的概率密度函数为。
则：1、刀具更换的间隔内检查出故障时损失费用为根据假设（5）故障在检查的间隔内均匀分布。
故当检查出故障时，平均故障运行时间为，故障情况下加工零件的损失费用为：代入零件损失费元/次，则。
设为刀具的工作寿命，检查次数为，检查费用为代入检查费用为元/次，则。
发现故障进行调节使回复正常的平均费用元/次。
刀具发生故障后损失为：其中，为加工零件的数量，为刀具的工作寿命。
2、刀具更换间隔内未发生故障损失费用检查费用为代入元/次，则，未发生故障更换一把新刀具的费用为。
刀具未发生故障损失为：其中，为加工零件的数量，为刀具的工作寿命。
3、目标函数刀具运行一个周期内损失期望即为目标函数：其中：为加工零件的数量，为刀具的工作寿命。
在车床实际加工零件过程中，刀具工作时间越长越容易发生故障。
为了及时发现故障减少损失，检查间隔应随着加工零件数量的增多而减小。
为了简化模型，方便工作人员实际操作，故选择固定检查间隔的方式。
因此，使得上式（16）取得最小值的即为最优的检查间隔。
5.3.2问题二的检查间隔模型根据问题二的条件，工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。