2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 第12讲 函数与方程
高考数学一轮复习函数与方程课件新课标
f (x1)
f (x2 )
小关系为
例 2. （ 改 编 ） 已 知 函 数 f(x)= x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2，求 a 的值。
例 3．（2011.江西六地市联盟）已知二次函数 f (x) ax2 bx (a, b 为常
数，且 a 0) 满足条件： f (x 1) f (3 x) ，
x1、x2 有且仅 有一个在
(k1,k2)内
图
象
充
要 条 件
0
f
(k)
0
b 2a
k
0
f
(k
)
0
b 2a
k
f (k) 0
0
f (k1 ) 0
k1
f (k2) 0
b 2a
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0或
检
f( 验
k1 ) 是否
0 其
中
只 一 个
检
f( 验
k2) 是否
求 m 的范围。
例 5．若关于 x 的方程 22x 2x a a 1 0 有实根，求实数 a
的取值范围．
选讲（2011.浙江名校 4 月创新）设
f(x)=ax2+bx+c
(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
间端点的位置关系
2a
（3）对应二次函数区间端点函数值的正负
设x1、x2是实系数二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两实根
,
则x1、x
的分布范围与二次方程
2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想课件：集合与函数-2
)
③f(x)＝5，因这个函数的值不随 x 的变化而变化，所以 f(t2＋ 1)也等于 5； ④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线． A．1 个 C ．3 个 B．2 个 D．4 个
解析：由函数的定义知①正确，②错误．因为函数 f(x)＝5 为 常数函数，故③正确．因为 x∈N，所以函数 y＝2x(x∈N)的图象是 共线的一些点，故④错误，选 B.
答案：B
2．设 f：x→x2 是集合 A 到集合 B 的函数，如果集合 B＝{1}， 则集合 A 不可能是( A．{1} C．{－1,1} ) B．{－1} D．{－1,0,1}
解析： 因为 02∉B， 所以由函数的概念可知 A 不可能是{－1,0,1}， 选 D.
答案：D
3． 设集合 A＝{a， b}， B＝{0,1}， 则从 A 到 B 的映射共有( A．2 个 C ．4 个 B．3 个 D．5 个
1 1 5 解析：令 2x＋1＝0，得 x＝－2，则 f(0)＝－22＋1＝4.
5 答案：4
1．函数与映射的概念 函数 映射
两集合 A、 B 是两个非空 A、B 是两个① A、B 数集 ________
按照某种确定的对应关 按某一个确定的对应关 对应关 系 f，对于集合 A 中的② 系 f，对于集合 A 中的④ 系 f： ______一个数 x， 在集合 ______一个元素 x 在集合 A→B B 中有③______的数 f(x) B 中有⑤______的元素 y 和它对应 名称 记法 与之对应
对映射定义搞清如下几点 (1)“对应关系”重在效果， 未必要写出， 可以“尽在不言中”， 对应关系未必都能用解析式表示． (2)A 中的每一个元素都有象， 且唯一； B 中的元素未必有原象， 即使有，也未必唯一． (3)若对应关系为 f，则 a 的象记为 f(a)．
高考理科数学一轮复习课件函数与方程
对于任意角α，其正弦、余弦、正切 等三角函数值可以通过单位圆上的点 坐标来定义。
诱导公式
利用周期性、奇偶性等性质，将任意 角的三角函数值转化为0~2π或 0~π/2等特定区间内的角度进行计算 。
三角函数图像变换规律
平移变换
通过左右平移和上下平移可以改变三角函数图像的相 位和振幅。
通过配方或完成平方的方法可将二次函数化 为顶点式y=a(x-h)^2+k，从而更容易地找 到最值点。
在求解实际问题中的最值问题时， 需要注意定义域的限制以及问题的 实际意义。
03
指数函数与对数函数
指数函数图像与性质
指数函数的定义和性 质 底数大于1时，函数单调
递增；底数在0到1之间时 ，函数单调递减。
反函数与复合函数
反函数
一般地，如果确定函数$y=f(x)$的对应关系$f$是从函数的定义域到值域上的一一对应，那么由定义域中任意元 素为自变量所确定的函数值就对应着值域中的唯一元素。这时在值域中的任意元素在定义域中都有唯一的原象与 之对应。由这个对应法则所确定的函数叫做原来函数的反函数。
复合函数
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_u$，值域为$M_u$，函数$u=g(x）$的定义域为$D_x$，值域为$M_x$，如果 $M_x∩D_u≠Ø$，那么对于$M_x∩D_u$内的任意一个$x$经过$u；u→y；y→y=f(u)$；u=g(x）；x→y； y=f[g(x)]；x→y；y=f[g(x)]；经过复合运算得到变量y与自变量x之间的对应关系G，这种关系称为复合函数关系 。
01
等差数列求和公式
$S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $S_n$ 是前 $n$ 项和。
(名师导学)高考数学总复习 第二章 函数 第12讲 函数的图象练习 理(含解析)新人教A版-新人教A
第12讲 函数的图象夯实基础 【p 26】【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的图象；掌握函数作图的基本方法(描点法和变换法)．2．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．【基础检测】1．函数f(x)＝x 2－2|x|的图象大致是( )【解析】∵函数f(x)＝x 2－2|x|，∴f(3)＝9－8＝1>0，故排除C ，D ，∵f(0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14－212<－1，故排除A ，故选B . 【答案】B2．为了得到函数y ＝2x ＋1－1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上的所有的点( ) A ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度【解析】把函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝2x ＋1的图象，再把所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝2x ＋1－1的图象．【答案】A3．函数f(x)＝ln (1－x)向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图象为( )【解析】将函数f(x)＝ln (1－x)向右平移1个单位，得到函数为y ＝ln [1－(x －1)]＝ln (2－x)，再向上平移2个单位可得函数为y ＝ln (2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y ＝ln (2－x)＋2在(－∞，2)上为单调减函数，且恒过点(1，2)，故选C .【答案】C4．若函数y ＝f(x)的图象经过点(1，2)，则y ＝f(－x)＋1的图象必经过的点坐标是________．【解析】根据y ＝f(x)图象经过点(1，2)，可得y ＝f(－x)的图象经过点(－1，2)，函数y ＝f(－x)＋1的图象经过点(－1，3)．【答案】(－1，3)5．已知偶函数f ()x 和奇函数g ()x 的定义域都是()－4，4，且在(]－4，0上的图象如图所示，则关于x 的不等式f ()x ·g ()x <0的解集为________．【解析】设h ()x ＝f ()x g ()x ，则h ()－x ＝f ()－x g ()－x ＝－f ()x g ()x ＝－h ()x ，∴h ()x 是奇函数．由图象可知，当－4<x<－2时，f ()x >0，g ()x <0，即h ()x <0；当0<x<2时，f ()x <0，g ()x >0，即h ()x <0，∴h ()x <0的解为()－4，－2∪()0，2.【答案】()－4，－2∪()0，2【知识要点】1．基本初等函数(一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数)的图象2．作图方法：描点法，变换法．(1)描点法作图的基本步骤：①求出函数的__定义域和值域__．②找出__关键点__(图象与坐标轴的交点，最值点、极值点)和__关键线__(对称轴、渐近线)，并将关键点列表．③研究函数的基本性质(__奇偶性、单调性、周期性__)．若具有奇偶性就只作右半平面的图象，然后作关于原点或y 轴的对称图形即可；若具有单调性，单调区间上只需取少量代表点；若具有周期性，则只作一个周期内的图象即可．④在直角坐标系中__描点、连线__成图．(2)变换作图法常见的变换法则：__平移变换__、__伸缩变换__和__对称变换__，具体方法如下： 平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上下平移变换(针对函数值整体)． ①左右平移变换(左加右减)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向左平移b （b ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向右平移b （b ＞0 ②上下平移变换(上正下负)，具体方法是：y ＝f （x ）――→将函数图象向上平移h （h ＞0y ＝f （x ）――→将函数图象向下平移h （h ＞0③伸缩变换包括左右伸缩变换(针对自变量)和上下伸缩变换(针对函数值整体)，(横缩纵伸)具体方法如下：y ＝f （x ）――→纵坐标保持不变横坐标缩为原来的1a倍y ＝ f （ax ），a ＞0 ， y ＝f （x ）――→横坐标保持不变纵坐标伸长为原来的a 倍y ＝ af （x ），a ＞0 .(3)对称变换包括中心对称和轴对称①y＝f(x)与y ＝－f(x)关于__x 轴__对称；②y＝f(x)与y ＝f(－x)关于__y 轴__对称；③y＝f(x)与y ＝－f(－x)关于__原点__对称；④y＝f(x)与y ＝f(2a －x)关于__x ＝a__对称；⑤y＝f(x)与y ＝|f(x)|，保留x 轴上方的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，x 轴下方图象删去；⑥y＝f(x)与y ＝f(|x|)，保留y 轴右方的图象，将y 轴右方的图象沿y 轴翻折到左边，y 轴左方原图象删去．3．识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等．4．用图：利用函数的图象可以讨论函数的性质、求最值、确定方程的解的个数、解不等式等．数形结合，直观方便．典 例 剖 析 【p 27】考点1 作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y ＝2－x x ＋1； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|；(3)y ＝|log 2x －1|；(4)y ＝|x －2|·(x ＋1)．【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由y ＝3x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－x x ＋1的图象，如图①所示． (2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的图象，如图②所示． (3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示．(4)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．【点评】为了正确作出函数的图象，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数； (2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．考点2 函数图象的识别例2(1)函数f (x )＝x 2sin x 的图象可能为( )【解析】因为f (x )是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除B 、D ，又因为f (π)＝0，故选C.【答案】C(2)函数y ＝(3x 2＋2x )e x的图象大致是( )【解析】f (x )＝(3x 2＋2x )e x ，则函数f (x )只有两个零点，x ＝－23和x ＝0，故排除B 、D.f′(x )＝(3x 2＋8x ＋2)e x，由f′(x )＝0可知函数有两个极值点，故排除C.【答案】A(3)如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝5，AD ＝3，点E 由B 沿折线B －C －D 向点D 移动，EM⊥AB 于M ，EN⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系图象大致是如图所示的( )【解析】∵EM⊥AB，∠B ＝45°，∴EM ＝MB ＝x ，AM ＝5－x.当点E 在BC 上运动时，即当0≤x≤3时，y ＝x ()5－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋254； 当点E 在CD 上运动时，矩形AMEN 即为矩形AMED ，此时3<x≤5，y ＝－3x ＋15. 所以y 与x 的函数关系为f ()x ＝⎩⎨⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋254，()0≤x≤3，－3x ＋15，（3<x≤5）.画出图象如选项A 所示．【答案】A【点评】函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．考点3函数图象的应用例3(1)定义域和值域均为[－a，a](常数a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，给出下列四个命题：①方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；②方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；③方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；④方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．【解析】①方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；g(x)有三个不同值，由于y＝g(x)是减函数，所以有三个解，正确；②方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f(x)∈(0，a)可能有1，2，3个解，不正确；③方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解；类似②不正确；④方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g(x)是减函数，故正确．【答案】①④(2)函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示)．①当x ∈[－1，1]时，y 的取值X 围是________；②如果对任意x ∈[a ，b ](b <0)，都有y ∈[－2，1]，那么a 的最小值是________．【解析】由图象可知，当x ＝0时，函数在[－1，1]上的最小值y min ＝1，当x ＝±1时，函数在[－1，1]上的最大值y max ＝2，所以当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的值域为[1，2]；当x ∈[0，3]时，函数f (x )＝－(x －1)2＋2，当x ∈[3，＋∞)时，函数f (x )＝x －5， 当f (x )＝1时，x ＝2或x ＝6，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意x ∈[a ，b ](b <0)，要使得y ∈[－2，1]，则a ∈[－6，－2]，b ∈[－6，－2]，且a ≤b ，则实数a 的最小值是－6.【答案】[1，2]；－6(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax 恒成立，则实数a 的取值X 围是__________．【解析】在平面直角坐标系中画出函数y ＝|f (x )|，y ＝ax 的图象如图，结合图象可知当直线y ＝ax 的斜率a 满足a ∈[－2，0]时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．【答案】[－2，0]方 法 总 结 【p 28】1．函数图象是函数性质的具体体现，它是函数的另一种表示形式，因此对基本初等函数的图象必须熟记．2．掌握好函数作图的两种方法：描点法和变换法，作图时要注意定义域，并化简解析式．3．变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换，找出所求的图象和这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形．4．在图象变换中，写函数解析式，也要分步进行，每经过一个变换，对应一个函数解析式．5．合理处理好识图题：对于给定的函数图象，要从图象的左右、上下X 围，端点、特殊点情况，以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析，结合题给条件，进行合理解答． 6．充分用好图：数形结合是重要的数学思想方法，函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，快速获取结果的重要工具，特别是对解答填空选择题、方程根的个数等方面，很有效．因此，一定要注意数形结合，及时作出图象，借用图象帮助解题．走 进 高 考 【p 28】1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x2的图象大致为( )【解析】∵x ≠0，f (－x )＝e －x －e xx 2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，舍去A ；∵f (1)＝e －e －1>0，∴舍去D ；∴f ′(x )＝（e x ＋e －x ）x 2－（e x －e －x）2xx4＝（x －2）e x ＋（x ＋2）e－xx 3，∴当x >2，f ′(x )>0， 所以舍去C ；因此选B. 【答案】B2．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )【解析】当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B ；y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1)，当x ＝0.1时，y ′>0.故选D.【答案】D考 点 集 训 【p 188】A 组题1．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序是( ) ①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进； ②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进； ③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度．A ．③①② B．③④② C ．②①③ D ．②④③【解析】离开家后缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；对应离开家的距离先缓慢增长再快速增长，对应图象②；骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；对应离开家的距离直线上升再停止增长再直线上升(与开始直线平行)，对应图象①；快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度；对应离开家的距离先快速增长再缓慢增长，对应图象③.【答案】C2．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)【解析】把函数y ＝log 2(x －1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y ＝log 2(2x－1)的图象，再向右平移12个单位长度，所得函数的解析式为y ＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1＝log 2(2x －2)．【答案】D3．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )A ．y ＝x2|x |B ．y ＝2|x |－2C ．y ＝e |x |－|x | D ．y ＝2|x |－x 2【解析】对于A ，函数f (x )＝x2|x |，当x >0时，y >0；当x <0时，y <0，所以不满足题意．对于B ，当x ≥0时，f (x )单调递增，不满足题意． 对于C ，当x ≥0时，f (x )>0，不满足题意．对于D ，函数y ＝2|x |－x 2为偶函数，且当x ≥0时，函数有两个零点，满足题意． 【答案】D4．函数f (x )＝x ln|x |的图象可能是( )【解析】函数的定义域{x |x ≠0}关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知：f (－x )＝－x ×ln|－x |＝－x ln x ＝－f (x )， 则函数f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项C ，D 错误； 当x ＞0时，f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋x ×1x＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)内先单调递减，再单调递增，据此可排除B 选项，故选A. 【答案】A5．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a （x ≤0），ln （x ＋a ）（x >0）(e 为自然对数的底数)，若方程f (x )＝12有两个不相等的实数根，则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B.[]0，e C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，e 【解析】(1)若a <0，则函数的定义域不是R ，不合题意；(2)若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x（x ≤0），ln x （x >0），定义域为R ，显然方程f (x )＝12有两个不等实根，符合题意；(3)若a >0，函数的定义域为R .当x ≤0时，－a ＜f (x )≤1－a ；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋a )>ln a .结合图象可得要使方程f (x )＝12有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a ＜12≤1－a ，ln a <12，解得0＜a ≤12.综上可得0＜a ≤12.【答案】A6．函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图①所示；函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图②所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】由图象可知若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1.由图②知当g (x )＝－1时， x ＝－1或x ＝1；当g (x )＝0时， x 的值有3个；当g (x )＝1时， x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－2－12＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0.由图①知f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5均无解；当f (x )＝0时， x ＝－1, x ＝1或x ＝0，故n ＝3，所以m ＋n ＝10.【答案】C7．已知函数y ＝f (x )是定义在区间[－3，3]上的偶函数，它在区间[0，3]上的图象是如图所示的一条线段，则不等式f (x )＋f (－x )>x 的解集为________．【解析】由题意，函数f (x )过点(0，2)，(3，0)，∴y ＝－23x ＋2.又因为f (x )是偶函数，关于y 轴对称， 所以f (x )＝f (－x )，即2f (x )>x .根据函数f (x )在[－3，3]上的图象可知，当x ∈[－3，0)的时候，y ＝2f (x )的图象恒在y ＝x 的上方，当x ∈[0，3]的时候，令2f (x )＝x ，x ＝127，即当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，127时，满足2f (x )>x ，即f (x )＋f (－x )>x . 【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，127 8．已知二次函数y ＝f ()x 满足f ()2x －1＝4x 2－8x .(1)求f ()x 的解析式；(2)作出函数y ＝||f ()x 的图象，并写出其单调区间； (3)求y ＝f ()x 在区间[]t ，t ＋1(t ∈R )上的最小值． 【解析】(1)令2x －1＝t 则x ＝t ＋12，∴f ()t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－8·t ＋12＝t 2－2t －3，∴f ()x ＝x 2－2x －3.(2)函数|f (x )|的图象如图：由图象可知：|f ()x |的单调递增区间为[]－1，1，[3，＋∞)； 单调递减区间为(]－∞，－1，[]1，3. (3)f ()x ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，开口向上，对称轴为x ＝1，当t ≥1时，f ()x 在[]t ，t ＋1上为增函数， 所以x ＝t 时y 有最小值为f ()t ＝t 2－2t －3；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，f ()x 在[]t ，t ＋1上先减后增， 所以x ＝1时y 有最小值为f ()1＝－4；当t ＋1≤1，即t ≤0时，f ()x 在[]t ，t ＋1上为减函数， 所以x ＝t ＋1时y 有最小值为f ()t ＋1＝t 2－4；综上所述：t ≤0时，f ()x 最小值为t 2－4；0<t <1时，f ()x 最小值为－4；t ≥1时，最小值为t 2－2t －3.B 组题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0），x 2＋1，x ∈[0，1]，结合图象，则下列选项错误的是( )A ．①是f (x －1)的图象B ．②是f (－x )的图象C ．③是f (|x |)的图象D ．④是|f (x )|的图象【解析】作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，对于选项A ，f (x －1)的图象是将f (x )的图象向右平移1个单位长度后得到的，正确；对于选项B ，f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，正确；对于选项C ，f (|x |)的图象为f (x )在y 轴右侧的图象不变，y 轴左侧的图象与右侧图象关于y 轴对称，正确；对于选项D ，|f (x )|的图象为f (x )在x 轴上方的图象不变，下方图象沿x 轴对称翻折到x 轴上方，因为函数f (x )的图象均在x 轴上方，所以|f (x )|的图象应与f (x )的图象相同，错误．【答案】D2．已知函数f ()x 是定义在[)－3，0∪(]0，3上的奇函数，当x ∈(]0，3时，f ()x 的图象如图所示，那么满足不等式f ()x ≥2x－1的x 的取值X 围是________．【解析】由图象可知，当x ∈(]0，3时，f ()x 单调递减，当0<x ≤1时，f ()x ≥1，2x－1≤1，满足不等式f ()x ≥2x－1；当1<x ≤3时，f ()x <1，1<2x－1≤7，不满足不等式f ()x ≥2x－1；∵函数f ()x 是定义在[)－3，0∪(]0，3上的奇函数，∴当x ∈[)－3，0时，f ()x 单调递减，当－3≤x ≤－2时，－34≤f ()x <0，－78<2x－1≤－34，满足不等式f ()x ≥2x －1；当x >－2时，f ()x <－34，2x －1>－34，不满足不等式f ()x ≥2x－1；∴满足不等式f ()x ≥2x－1的x 的取值X 围是[]－3，－2∪(]0，1.【答案】[]－3，－2∪(]0，13．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则a 的取值X 围是__________．【解析】x ≤0时，f (x )＝2－x－1，0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值X 围是(－∞，1)． 【答案】(－∞，1)4．已知函数f (x )＝2x－a2x (a ∈R )，将y ＝f (x )的图象向右平移两个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若函数y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线y ＝1对称，设F (x )＝f (x )＋h (x )，已知F (x )>2＋3a 对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，求a 的取值X 围．【解析】(1)g (x )＝2x －2－a2x －2.(2)设y ＝h (x )的图象上一点P (x ，y )，点P (x ，y )关于y ＝1的对称点为Q (x ，2－y )，由点Q 在y ＝g (x )的图象上，所以2－y ＝2x －2－a 2x －2， 于是y ＝2－2x －2＋a2x －2，即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2. F (x )＝f (x )＋h (x )＝34×2x ＋3a2x ＋2. 由F (x )>3a ＋2，化简得14×2x ＋a2x >a ，设t ＝2x ，t ∈(2，＋∞)，F (x )>2＋3a 对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，即t 2－4at ＋4a >0在(2，＋∞)上恒成立．设m (t )＝t 2－4at ＋4a ，t ∈(2，＋∞)，对称轴为t ＝2a ， 则Δ＝16a 2－16a <0，③或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16a 2－16a ≥0，2a ≤2，m （2）≥0，④ 由③得0<a <1，由④得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≤1，a ≤1，即a ≤0或a ＝1.综上，a ≤1.。
高三数学第一轮复习函数与方程课件
分析：问题可转化为F(x)=f(x)-x2-x=a在[0，2] 根的个数问题。
F ( x) f ( x) x 2 x (1 x) 2 2 ln(x 1) x 2 x 2 x 1 ' F ( x) 2( x 1) 2x 1 ( x 1) x 1 x 1 令F ‘ ( x) 0得 : x 1
例2、判断下列函数在给定区间上是否存在零 点。 (1) f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]
f(1)=-20<0,
(2) f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]
f(8)=22>0 f(2)=5>0
(3) f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]
f(-1)=-1<0,
f(1)=(logt;0
函数与方程
一、知识点回顾
1．方程的根与函数的零点 概念： 对于函数 y f ( x)(x D) ， 把使 f ( x) 0 成立的实数 x 叫 做函数 y f ( x)(x D) 的零点。 函数零点的意义：函数 y f ( x) 的零点就是方程 f ( x) 0 实数 根，亦即函数 y f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程
y0 b 2 3 x 0 1 x a 0 整理得： 2x 3 3ax 2 a b 0 0 0 y x 3 x 0 0 0
不妨设
g ( x) 2x 3ax a b
3 2
从而问题转化成如何保证g(x)=0有三个解的问 题！
0, x 1 例 3、已知函数 f ( x) 则方程 log2 x 1 , x 1 f 2 ( x) f ( x) 0 的实根共有 7 个
新课标高三第一轮复习单元讲座第讲函数与方程
新课标高三第一轮复习单元讲座第讲函数与方程TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座6）—函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
高考数学一轮复习 2.12 函数与方程 理 课件
【命题立意】(1)本题考查函数的零点问题，考查学生 作图的能力，考查数形结合的思想方法．
(2)本题考查了函数零点的存在区间，对数函数和一次 函数的性质等知识，本题可运用函数零点的判定来解 决，也可画出对数函数y＝logax(2<a<3)的图象和直线y ＝－x＋b(3<b<4)再进行直观判断．
【解析】(1)解法一：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0. 故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点． 解法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
当k＝1时，方程(*)有一个解x＝－m2 ，
此时，函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝－m2 ；
当k≠1时，方程(*)有两个解 ⇔Δ＝4－4m(1－k)＞0.
若m＞0，则k＞1－
1 m
，此时，函数y＝f(x)－kx有
两个零点
x＝－2± 24－1－4mk1－k＝1± 1－k－m11－k；
【知识要点】
1．函数零点的几个等价关系 方程f(x)＝0有 根 ⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交 点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续 不断 的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0 ， 那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零 点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这 个c也就是方程f(x)＝0的 根 .
【解析】(1)当x<2时，f′(x)＝3(x－1)2≥0， f(x)在(－∞，2)上单调递增，f(x)∈(－∞，1)； 当x≥2时，f(x)在[2，＋∞)上单调递减， f(x)∈(0,1]； 要使f(x)＝k有两个不同的实根，则0<k<1.
2015-2016高考数学总复习精品课件：2-10 函数与方程(共53张PPT)(新人教版理科)
f(b)<0.那么， 线， 并且有 f(a)· 函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，
即存在 c∈(a， b)， 使得 f(c)＝0， 这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
4．二分法的定义
f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通 对于在[a，b]上连续不断，且 f(a)·
过不断地把函数 f(x)的 零点 所在的区间 一分为二 ， 使区间的两 端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
a<0， 或 f0>0.
a>0， ∴ f0<0
如图所示结合图示知函数必定有两个零点．
例 1 (1)求下列函数的零点．
2 x ＋2x＋1 3 ①f(x)＝x ＋1；②f(x)＝ . x－1
【解析】 ①∵f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)， 令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得 x＝－1. ∴f(x)＝x3＋1 的零点是 x＝－1.
思考题 1
x－2 (1)已知函数 f(x)＝a ＋ ，(a>1) x＋1
x
则函数 f(x)零点的个数为________．
x－2 【解析】 设 f1(x)＝a (a>1)，f2(x)＝－ ，则 f(x)＝0 的解 x＋1
x
即为 f1(x)＝f2(x)的解，即为函数 f1(x)与 f2(x)图像交点的横坐标． x －2 在同一坐标系中， 作出函数 f1(x)＝a (a>1)与 f2(x)＝－ ＝ x ＋1
【解析】 ①∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0， f(8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f(1)· f(8)<0. 故 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
(新课标)高考数学一轮总复习 第二章 函数 第12讲 函数与方程导学案 新人教A版-新人教A版高三全
第12讲 函数与方程【课程要求】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围．对应学生用书p 31【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)在b 2－4ac<0时没有零点．( )(4)f(x)＝x 2，g(x)＝2x ，h(x)＝log 2x ，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√教材改编2．[必修1p 92A 组T 5]函数f(x)＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3，4) D ．(4，＋∞) [解析]∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－23>0，且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数， ∴f(x )的零点在区间(2，3)内． [答案]B3．[必修1p 88例1]函数f(x)＝e x＋3x 的零点个数是________．[解析]由已知得f′(x)＝e x＋3>0，所以f(x)在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．[答案]14．[必修1p 92A 组T 4]函数f(x)＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为____________． [解析]作函数y 1＝x 12和y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象如图所示，由图象知函数f(x)有1个零点． [答案]1易错提醒5．(多选)下列图象表示的函数中不能．．用二分法求零点的是( )[解析]A 中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B 中函数的图象不连续，因此不能用二分法求零点；D 中函数在x 轴下方没有图象，因此不能用二分法求零点，故选ABD .[答案]ABD6．已知函数f(x)＝x －x(x>0)，g(x)＝x ＋e x，h(x)＝x ＋ln x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2[解析]作出y ＝x 与y 1＝x ，y 2＝－e x，y 3＝－ln x 的图象如图所示，可知选C .[答案]C【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__．(3)函数零点的判定(函数存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__连续不断__的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么，函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系0)__ __(x，0)__ 无交点对应学生用书p32函数零点区间的判定和求解1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x≤1，1＋log 2x ，x>1，则函数f(x)在区间[]0，1上有__________个零点．[解析]当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x ＝0∈[]0，1；所以函数f(x)在区间[0，1]上只有1个零点． [答案]1(2)若a<b<c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b)和(b ，c)内B ．(－∞，a)和(a ，b)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)[解析]∵a<b<c，∴f(a)＝(a －b)(a －c)>0， f(b)＝(b －c)(b －a)<0，f(c)＝(c －a)(c －b)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b)，(b ，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a ，b)，(b ，c)内，故选A .[答案]A[小结]函数零点的判定方法：(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．1．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( )A .⎝⎛⎭⎪⎫23，1B .⎝⎛⎭⎪⎫12，23C .⎝⎛⎭⎪⎫13，12D .⎝⎛⎭⎪⎫0，13 [解析]令g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f(x)＝x 13，则g(0)＝1＞f(0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313， 结合图象可得13＜x 0＜12.[答案]C2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，log 2x ，x>0，则函数y ＝f(f(x))＋1在区间()0，＋∞上的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析]由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1， 由f(－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝12.若f(x)＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f(x)＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f(f(x))＋1在区间()0，＋∞上的零点的个数是2，故选C . [答案]C函数零点个数的判断和求解2 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x≤2，（x －2）2，x>2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析]由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x≥0，3－x 2，x ＜0.函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y ＝f(x)与y ＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为2，故选A .[答案]A(2)函数f(x)＝4cos 2x2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|的零点个数为____________．[解析]f(x)＝2(1＋cos x)sin x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝sin 2x －|ln (x ＋1)|，x>－1， 函数f(x)的零点个数即为函数y 1＝sin 2x(x>－1)与y 2＝|ln (x ＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．[答案]2[小结]判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y ＝h(x)与函数y ＝g(x)的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．3．函数y ＝(x －1)2－log a x(其中a>1)零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析]函数y ＝(x －1)2－log a x(其中a>1)零点的个数就是y ＝(x －1)2的图象与y ＝log a x(其中a>1)图象交点个数，在同一坐标系内画出y ＝(x －1)2的图象与y ＝log a x(其中a>1)图象，如图，由图可知，y ＝(x －1)2的图象与y ＝log a x(其中a>1)图象有两个交点，所以函数y ＝(x －1)2－log a x(其中a>1)零点的个数是2.[答案]C4．已知a>1，方程e x＋x －a ＝0与ln x ＋x －a ＝0的根分别为x 1，x 2，若m ＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，则m 的取值范围为________．[解析]方程e x＋x －a ＝0的根，即y ＝e x与y ＝a －x 图象交点的横坐标，方程ln x ＋x －a ＝0的根，即y ＝ln x 与y ＝a －x 图象交点的横坐标，而y ＝e x与y ＝ln x 的图象关于直线y ＝x 轴对称，如图所示：∴x 1＋x 2＝a ，∴x 21＋x 22＋2x 1x 2＝()x 1＋x 22＝a 2，又a>1，∴m＝x 21＋x 22＋2x 1x 2>1. [答案] (1，＋∞)二次函数的零点问题3 (1)若函数f(x)＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是______________．[解析]依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m≠2，f （－1）·f（0）<0，f （1）·f（2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m<12.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 (2)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d.若f(x)＝2021－(x －a)(x －b)的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a ＞c ＞b ＞dB ．a ＞b ＞c ＞dC ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞d[解析]f(x)＝2021－(x －a)·(x－b)＝－x 2＋(a ＋b)x －ab ＋2021，又f(a)＝f(b)＝2021，c ，d 为函数f(x)的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d ，故选D .[答案]D[小结]解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．5．已知二次函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，若y ＝f(x)在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，则实数a 的取值范围是____________．[解析]依题意，要使y ＝f(x)在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （0）＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫12，346．已知y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是__________．[解析]设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x .又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点． 作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1， 故a 的取值范围为(－1，1)． [答案] (－1，1)函数零点的应用4 (1)(多选)设函数f(x)＝e x＋x －2，g(x)＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A ．g(a)<0B ．g(a)>0C ．f(b)<0D ．f(b)>0[解析]因为函数f(x)＝e x＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0，1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln2＋1>0，所以g (b )＝0时，b ∈(1，2)，又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0.[答案]AD(2)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1}[解析]由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋78x>0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝（1＋2x ）（1－x ）x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，则f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.[答案]C(3)已知f (x )＝x 2＋kx ＋|x 2－1|，若f (x )在(0，2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是________．[解析]不妨设0<x 1<x 2<2，∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋kx －1，|x |>1，kx ＋1，|x |≤1，∴f (x )在(0，1]是单调函数， 故f (x )＝0在(0，1]上至多一个解；若1<x 1<x 2<2，则x 1x 2＝－12<0，故不符合题意；∴0<x 1≤1<x 2<2，由f (x 1)＝0可得k ＝－1x 1，∴k ≤－1，由f (x 2)＝0可得k ＝1x 2－2x 2，∴－72<k <－1，综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1. [答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1[小结]利用函数零点求参数范围的思路方法及步骤 (1)常规思路已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．(2)常用方法(3)一般步骤7．若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围是____________． [解析]由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x(t>0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22， 当且仅当t ＝2－1时取等号，故a≤2－2 2. [答案] (－∞，2－22]8．已知函数f(x)＝e x －x 2＋2x ，g(x)＝ln x －1x ＋2，h(x)＝1x －x －2，且－1<x<3，若f(a)＝g(b)＝h(c)＝0，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．a<c<bD ．c<b<a[解析]同一坐标系内，分别作出函数y ＝e x ，y ＝x 2－2x ，y ＝ln x ，y ＝1x －2，y ＝x 的图象，如图．可得a 是y ＝e x，y ＝x 2－2x 图象交点横坐标； b 是y ＝ln x ，y ＝1x －2图象交点横坐标；c 是y ＝1x －2，y ＝x 图象交点横坐标；即a ，b ，c 分别是图中点A ，B ，C 的横坐标， 由图象可得，a<c<b. [答案]C9．已知以T ＝4为周期的函数f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1]，1－|x －2|，x∈（1，3]，若方程f(x)＝mx 恰有5个实数解，则正实数m 的取值范围是________．[解析]因为当x∈[－1，1]时，将函数y ＝1－x 2化为方程x 2＋y 2＝1(y≥0)，其图象为半圆，如图所示，同时在坐标系中作出当x∈(1，3]的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象如图，由图易知直线y ＝mx 与第二个半圆(x －4)2＋y 2＝1(y≥0)相交，而与第二段折线无公共点时，方程恰有5个实数解，将y ＝mx 代入(x －4)2＋y 2＝1得(1＋m 2)x 2－8x ＋15＝0，令Δ＝64－60(1＋m 2)>0，得m 2<115.又当x ＝6时，6m>1，m>16，所以m∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，1515.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫16，1515对应学生用书p 33(2018·全国卷Ⅰ理)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析]函数g(x)＝f(x)＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f(x)＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1. [答案]C。
2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 第12讲 函数与方程
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【解析】观察对应值表可知：f(1)>0，f(2)>0，f(3)<0，
f(4)>0，f(5)<0，f(6)<0，所以函数 f(x)在区间[1，6]上 的零点个数至少有 3 个，故选 C.
第四页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
3．函数 f(x)＝x12－12x的零点个数为( B ) A．0 B．1 C．2 D．3
第二十三页，编辑于星期五：二十一点 五十七 分。
【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思 想．判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方 法．对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的 取值范围；否则，如果定义域是 R，则零点将会有无数 个．一般来说需注意用数形结合法求解函数的零点个 数，所在的区间等问题．
【解析】f′(x)＝3x2＋a，∵f(x)有三个零点，∴a<0.
令 f′(x)＝0，得 x＝± －a3，∵x2＝1，x3>1，由图象，
得 －a3>1，∴a<－3.
第十七页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
【点评】高次函数的零点问题一般结合导数及图象 来研究．
已知函数有零点(方程有根)，求参数取值常用方 法：
2.
第十二页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
(2)已知函数 f(x)＝klnx＋x，1，x>x0≤，0，则下列关于函 数 y＝f(f(x))＋1 的零点个数的判断正确的是( B )
A．当 k>0 时，有 3 个零点；当 k<0 时，有 2 个零 点
B．当 k>0 时，有 4 个零点；当 k<0 时，有 1 个零 点
第12讲 函数与方程
2016年新课标名师导学一轮复习文科数学课件 第12讲 函数与方程
第二十六页，编辑于星期五：二十一点 五十五 分。
(2)当 n＝2 时，f2(x)＝x2＋bx＋c. 对任意 x1，x2∈[－1，1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4 等价 于 f2(x)在[－1，1]上的最大值与最小值之差 M≤4.据此 分类讨论如下：
第十五页，编辑于星期五：二十一点 五十五分。
【点评】已知函数有零点，求参数取值常用方法： ①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 再通过解不等式确定参数范围；②分离参数法；③数形 结合法．
第十六页，编辑于星期五：二十一点 五十五分。
二、一元二次方程根的分布 例2已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另 一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的取值范围．
第12讲 函数与方程
第一页，编辑于星期五：二十一点 五十五分。
【学习目标】 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程 根的联系，判断根的存在性与根的个数． 2．利用函数的零点求解参数的取值范围．
第二页，编辑于星期五：二十一点 五十五分。
【基础检测】 1．函数 f(x)＝log3x＋x－2 的零点所在的区间为 ( B) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
∴－56<m<－12.
故 m 的取值范围为m|－56＜m＜－12.
第十八页，编辑于星期线与 x 轴交点落在区间(0，
2016届高考数学理科一轮复习课件2-10函数与方程
目
链
接
第二十页，编辑于星期五：二十一点 四十三分。
考点探究
变式探究
1．(2014·广东六校高三联考)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点位
于( ) B
A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，5]
栏 目
链 解析：因为 f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＋6－6 接
第四步：判f(x断1)·是f(b否)<达0 到精确度ε，即若________，则得到零点近似
值a(或b)．否则，重复第二、三、四步．
栏
ห้องสมุดไป่ตู้
注意：(1)在二分法求方程解的步骤中，初始区|a－间可b|<以ε 选的不同，不
目 链
影响最终计算结果，所选的初始区间的长度尽可能短，但也要便于计算；
接
(2)二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号
第六页，编辑于星期五：二十一点 四十三分。
课前自修
3．函数的零点具有下列性质：当它___通__过__零_(点不是偶次零点) 时函数值________变，号相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
栏 目 链 接
第七页，编辑于星期五：二十一点 四十三分。
课前自修
二、二分法
1．定义：对于区间[a，b]上图象连续不断的，且f(a)·f(b)<0
1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 1.328 125 1.320 312 5
f(1.25)<0
f(1.375)>0
f(1.312 5) <0
f(1.343 75) >0
f(1.328 125) ＞0
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第12讲函数与方程课件理
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解析：f(x)＝4x－1 的零点为 x＝14，f(x)＝(x－1)2 的零点为 x＝1，f(x)＝ex－1 的零点为 x＝0，f(x)＝lnx－12的零点为 x＝32. 现在我们来估算 g(x)＝4x＋2x－2 的零点，因为 g(0)＝－1，g12 ＝1，所以 g(x)的零点 x∈0，12.又函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋ 2x－2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 f(x)＝4x－1 的零 点适合.
12/13/2021
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图 D16 方法(fāngfǎ)二，由 f 2(x)－5f(x)＋4＝0，得 f(x)＝1 或 4.作出 f(x)的 图象如图 D16.由 f(x)的图象，可知 f(x)＝1 有 4 个根，f(x)＝4 有 3 个根.∴方程 f 2(x) －5f(x)＋4＝0 有 7 个根.故选 D. 答案(dá àn)：D
答案(dá àn)：A
12/13/2021
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(2)(2015 年湖北)函数 f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2 的零点个数
为__________.
解析：函数 f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2 的零点个数等价于方程 2sin xsinx＋π2－x2＝0 的根的个数，即函数 g(x)＝2sin xsinx＋π2 ＝2sin xcos x＝sin 2x 与 h(x)＝x2 的图象交点个数.分别画出两函 数图象，如图 D15，由图可知，函数 g(x)与 h(x)的图象有 2 个 交点.故零点个数为 2.
答案(dá àn)：C
12/13/2021
图 D17
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考点(kǎo di二ǎn分)3法的应用(yìngyòng)
2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 第4讲 函数的概念、解析式与定义域
第八页，编辑于星期五：二十一点 五十八分。
【知识要点】
1．函数的概念 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应 关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中 都有 唯一 确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个 函数 ，记作：y＝f(x)，x∈A ， 其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 ； 与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ，{f(x)|x∈A}⊆B.
1．函数定义域：函数 y＝f(x)(x∈A)是一种特殊的 映射 f：A→B(A、B 是非空数集)，其原象集 A 就是函数 的定义域．
2．求函数定义域时，一般遵循以下原则： (1)f(x)是整式时，定义域是全体实数． (2)f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一 切实数． (3)f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负 值时的实数集合．
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例42013 年 5 月 1 日，王兵买了一辆别克新凯越 1.6 L 手动挡的家庭轿车，该种汽车燃料消耗量标识是：市 区工况：10.40 L/100 km；市郊工况：6.60 L/100 km； 综合工况：8.00 L/100 km.王兵估计：他的汽车一年的行 驶里程约为 10 000 km，汽油价格按平均价格 7.50 元/L 来计算，当年行驶里程为 x km 时，燃油费为 y 元．
4．解决抽象函数问题，通常的方法是赋值法，并善 于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论， 找到解题的思路和方法．
高考数学一轮复习 第12章 曲线与方程、数学归纳法12.1曲线与方程教学案
第12章 曲线与方程、数学归纳法12．1 曲线与方程考纲要求了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的________，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在________上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．3．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设所求轨迹上任一点P (x ，y )．(3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)化简——化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程．4．两条曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组______，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的______条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．1．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是__________．2．过圆外一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线PM 和PN (M ，N 为切点)，若∠MPN ＝π2，则动点P 的轨迹是______． 3．已知定点A (1,2)，B (－1,2)，动点P 与A ，B 两点连线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2＋4，则动点P 的轨迹方程是__________．4．(2012江苏苏锡常镇四市调研)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为__________．5．若动直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．求轨迹有哪些常用方法？提示：(1)直接法：如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x ，y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤．若方程的化简是恒等变形，则最后的证明可以省略．(2)待定系数法：若已知条件告诉了我们曲线的种类或方程的具体形式，可先设出曲线的方程，再确定其中的参数．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或不易直接求出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律地运动，且动点Q 的轨迹已给定或容易求得，则可先将x ′，y ′表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x ，y 之间建立起联系，然后再消去参数得出动点的轨迹方程．一、直接法求曲线方程【例1】在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为A (0，－1)，B (0,1)．平面内两点G ，M 同时满足：①G 为△ABC 的重心，②|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，③GM →∥AB →. 求顶点C 的轨迹E 的方程．方法提炼(1)用直接法求轨迹方程的步骤为：建系(若题中已有坐标系，该步骤省略)，设点，列方程化简，其关键是根据条件列出方程来．(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．请做针对训练1二、相关点法(代入法)求轨迹方程【例2】设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM ＝mDA (m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．方法提炼在上述问题中，动点A (主动点)在已知曲线上运动，动点M (被动点)依赖点A 的运动而运动，这种求轨迹问题所应用的方法称为“相关点法”．其基本步骤为：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝f x ，y ，y 0＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．请做针对训练2三、定义法求轨迹方程【例3】已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．方法提炼若由题意能判断出动点的运动轨迹能满足某种曲线的定义，则可用待定系数法设出所求曲线的方程，再确定其中的基本量即可．请做针对训练3在高考中对本节内容的考查以解答题为主，并且常常是压轴题，题目一般综合性较强，计算量较大，难度偏大，具有较强的区分度．主要侧重以下几个方面：(1)相交弦问题，主要是根与系数关系的应用．(2)最值问题，主要是把几何最值问题转化为函数和基本不等式的最值问题来求解．(3)存在性问题，一般先假设存在，若能求出符合题目要求的结论，则证明存在；若不能求出，则证明不存在．1．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．2．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．3．(2012江苏南通数学学科基地密卷(一))已知双曲线x 22－y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若PF 1＋PF 2＝4.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A1(－2,0)，A2(2,0)，M(1,0)，设直线l过点M，且与轨迹E交于R，Q两点，直线A1R与A2Q交于点S.试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案基础梳理自测知识梳理1．解 曲线C4．(1)公共解 无解 (2)充要基础自测1．两条直线 解析：方程变为x (x ＋y －1)＝0，则x ＝0或x ＋y －1＝0.故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.2．圆x 2＋y 2＝2 解析：依题意，四边形OMPN 为正方形，所以OP 2＝(2OM)2＝2，即x 2＋y 2＝2.3．y ＝2x 2(x ≠±1) 解析：设P(x ，y )，则由y －2x －1＝y －2x ＋1＋4，得y ＝2x 2(x ≠±1)．4．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0 解析：由题意得x ＋52＋y 2x －52＋y 2＝49，即9x 2＋90x ＋25×9＋9y 2＝4x 2－40x ＋25×4＋4y 2，化简得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.5．m ≥1且m ≠5 解析：由题意知直线l 与y 轴的交点P(0,1)恒在椭圆内，所以m ≥1(m ＞0)，解得m ≥1. 因为m ≠5，所以m ≥1且m ≠5.考点探究突破【例1】解：设C(x ，y )，∵G 为△A BC 的重心， ∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3. ∵由|MA→|＝|MB →|知点M 在x 轴上， ∴由③知点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0. 由|MB →|＝|MC →|，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －x 32＋y 2， 化简整理得x 23＋y 2＝1(x ≠0)． 【例2】解：如图，设M(x ，y )，A(x 0，y 0)，则由DM ＝m DA(m >0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.① 因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m 2＝1(m >0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0<m <1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点的坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．【例3】解：如图，连结PA ，依题意可知PA ＝PB.∴PA＋PF ＝PB ＋PF ＝BF ＝2.∴点P 的轨迹为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆．其方程可设为x 21＋y 2b 2＝1. 又∵c＝12，a ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝34. 故点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1. 演练巩固提升针对训练1．解：设点P(x ，y )，则Q(－1，y )，由QP QF ⋅＝FP FQ ⋅，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x ，故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .2．解：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y )为其中点，则CP⊥OQ.方法一：直接法．设OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则MP ＝12OC ＝12，得方程⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，其中0<x ≤1. 方法二：定义法．∵∠OPC＝90°，∴动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，且其方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 方法三：代入法．设弦与圆C 的另一交点为Q(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2x ，y 1＝2y . 又∵(x 1－1)2＋y 21＝1， ∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0<x ≤1)，即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 3．解：(1)由题意知F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∵PF 1＋PF 2＝4，∴动点P(x ，y )必在以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆上，即a ＝2.又∵c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝1，∴动点P 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1.①取m ＝0时，由题意可得R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－32，直线A 1R 的方程是y ＝36x ＋33，直线A 2Q 的方程是y ＝32x －3， 则直线A 1R 与A 2Q 的交点为S(4，3)．若R ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，－32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，由对称性可知交点为S 2(4，－3)． 若点S 在同一条直线上，则直线为l ：x ＝4.②以下证明对于任意的m (m ≠0)，直线A 1R 与直线A 2Q 的交点S 均在直线l ：x ＝4上．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.记R(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4.设A 1R 与l 交于点S 0(4，y 0)，由y 04＋2＝y 1x 1＋2，得y 0＝6y 1x 1＋2.设A 2Q 与l 交于点S′0(4，y ′0)，由y ′04－2＝y 2x 2－2，得y ′0＝2y 2x 2－2.∵y 0－y ′0＝6y 1x 1＋2－2y 2x 2－2＝6y 1my 2－1－2y 2my 1＋3x 1＋2x 2－2＝4my 1y 2－6y 1＋y 2x 1＋2x 2－2＝－12m m 2＋4－－12mm 2＋4x 1＋2x 2－2＝0，∴y 0＝y ′0，即S 0与S′0重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线l ：x ＝4上．。
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函数与方程
【学习目标】 1．结合二次函数的图象，掌握二次方程根的分布 情况； 2．理解函数零点的概念和性质，会用二分法求函 数的零点．
【基础检测】 1．下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分 法求零点的是( C )
【解析】由二分法求零点步骤知选C.
2．已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，有如 下的 x 与 f(x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7
3．函数 A．0
1x f(x)＝x2－2 的零点个数为(
1
B )
B． 1
1
C． 2
D ．3
1x 【解析】 函数 f(x)＝x2－2 的 1 1 x 零点个数即为方程 x 2 ＝ 2 的
实根个数，在平面直角坐标系 1 1x 中画出 y＝x2和 y＝2 的图象， 易得交点个数为 1.
f(k1)f(k2)＜0
2.函数的零点 f(x)＝0 (1)定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使___________ 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)函数有零点的几个等价关系：方程 f(x)＝0 有 x轴 有交点⇔函 实根 ⇔函数 y＝f(x)的图象与________ _________ 数 y＝f(x)有零点． (3)函数有零点的判定(零点存在性定理) 连续不断 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是___________ f(a)· f(b)＜0 的一条曲线，并且有_________________ ，那么函数 y＝ (a，b) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(x)在区间_________ f______ (c)＝0 __，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的______ 根 ． __
3．用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)· f(b)＜0，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)； ①若 f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点； ②若 f(a)· f(x1)＜0， 则令 b＝x1(此时零点 x0∈(a， x1))； ③若 f(x1)· f(b)＜0， 则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1， b))． (4)判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|＜ε，则得到 零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)～(4)．
(2) 已知函数
kx＋1，x≤0， f(x) ＝ 则下列关于函 ln x，x>0，
数 y＝f(f(x))＋1 的零点个数的判断正确的是( B ) A．当 k>0 时，有 3 个零点；当 k<0 时，有 2 个零 点 B．当 k>0 时，有 4 个零点；当 k<0 时，有 1 个零 点 C．无论 k 为何值，均有 2 个零点 D．无论 k 为何值，均有 4 个零点
③
f k 0
根的分布 x1、x2∈ (k1，k2)
k1＜x1＜k2＜x2 ＜k3
在(k1，k2)内有 且仅有一个 根
图象
充要条件
f (k1 ) 0 f (k ) 0 2 b k k2 1 2a
f ( k1 ) 0 f (k2 ) 0 f (k ) 0 3
4．函数 f(x)＝xcos 2x 在区间[0，2π ]上的零点的 个数为( D ) A．2 B．3 C． 4 D． 5
【解析】在区间[0，2π]上，令 f(x)＝0，即 x＝0 或 cos 2x＝0，x＝0 满足条件，当 cos 2x＝0 时，2x＝ （2k＋1）π (k∈Z)，当 k＝0，1，2，3 时 x 分别对应 2 π 3π 5π 7π 值为 ， ， ， 均满足条件，故共有 5 个． 4 4 4 4
一、函数零点个数的判断 例1(1)函数 f(x)＝ln x－x2＋2x＋5 的零点的个数是 ( C ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 函数 f(x)＝ln x－x2＋2x＋5 的零点即为方 程 ln x＝x2－2x－5 的根， 在同一坐标系下画曲线 y＝ln x 和 y＝x2－2x－5 的图象， 由图象可得， 零点的个数是 2.
f(x) 132.1 15.4 －2.31 8.72 －6.31 －125.16]上的零点个数至少有( C ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【解析】 观察对应值表可知： f(1)>0， f(2)>0， f(3)<0， f(4)>0，f(5)<0，f(6)<0，所以函数 f(x)在区间[1，6]上 的零点个数至少有 3 个，故选 C.
【解析】分四种情况讨论：当 x>1 时，ln x>0，∴y 1 ＝f(f(x))＋1＝ln(ln x)＋1，此时零点为 x＝ee >1； 当 0<x<1 时，ln x<0，∴y＝f(f(x))＋1＝kln x＋2， 则 k>0 时，有 1 个零点，k<0 时，kln x＋2>0，无零点； 当 x<0，kx＋1≤0 时，y＝f(f(x))＋1＝k2x＋k＋2， 当 k>0 时，kx≤－1，k2x≤－k，则 k2x＋k≤0，有 1 个 零点；当 k<0 时，k2x＋k≥0，无零点； 当 x<0， kx＋1>0 时， y＝f(f(x))＋1＝ln(kx＋1)＋1， 1 当 k>0 时，由 y＝0，得 kx＋1＝ ，有 1 个零点；当 k<0 e 时，kx>0，无零点； 综上，当 k>0 时，有 4 个零点，当 k<0 时，有 1 个零点．
【知识要点】 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)根的分布
根的分布 x1＜x2＜k k＜x1＜x2 x1＜k＜x2
图象
充要 条件
f k 0 b k ① 2a 0
f k 0 b ② 2a k 0
5．若 f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)＝0 的两个零 点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则实数 m 的取 1 1 ， 值范围是 4 2 ．
f（0）<0， f（－1）· 【解析】由题意得 f（2）<0， f（1）· （2m－1）（2m＋1）<0， 1 1 即 解得 <m< . 4 2 （4m－1）（8m－7）<0，