麦克斯韦分布
2.3 麦克斯韦速率分布
而右边打斜条区域表示分子速率介于v1 到 内分子数与总分子数之比，其数值应该从下面 的积分求出
v1
f (v)dv
v1
m v2 2 m 3/ 2 4 ( ) exp v dv 2kT 2kT
• ●计算积分时，可利用附录2-1中的积分 公式 3 / 2 2 2
§2.3 麦克斯韦速率分布
• ●气体分子热运动的特点是 • 大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互碰 撞， • 分子以各种大小不同的速率向各个方向运动， • 在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能 量，使每一分子的速度不断变化。 • ●处于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬时 的速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多 数分子之间存在一种统计相关性， • 这种统计相关性表现为平均说来气体分子的速率 （指速度的大小）介于 v 到v + dv 的概率（即 速率分布函数）是不会改变的
•
二、麦克斯韦速率分布（Maxwell speed distribution） ● 早在 1859 年，英国物理学家麦克斯韦利用 平衡态理想气体分子在三个方向上作独立运动 的假设导出了麦克斯韦速率公布，其表达式如 下：
m 3/ 2 f (v)dv 4 ( ) e 2kT
mv 2 2 kT
dN f (v) dv dv Ndv
• ●因为处于平衡态的分子源中气体分子的平均 速度为零， • 平均来说，每一分子均不改变空间位置， • 故f（v）dv是“静态”的速率分布。 • ●但分子束中的分子都在作匀速运动， • 说明F（v）dv是一种“动态”的分布， • 它表示了粒子通量（指单位时间内透过的分子 束中的分子数）中的速率分布。 • ●但f（v）dv与F（v）dv间存在一定关系，故 可利用实验测得的分子束速率分布图线求得理 想气体速率分布。
麦克斯韦速率分布
2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv
vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。
dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
麦克斯韦速率分布函数
=21/2N0xexp(x2)xdx2 =21/2N0xxd[exp(x2)] =21/2N[xexp(x2)|0x
+0xexp(x2)dx]
=N[21/2xexp(x2) +21/20xexp(x2)dx]. 定义误差函数erf(x)为
erf(x)=21/20xexp(x2)dx,
器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx 在从0到的区间内积分，就能
得到分子通量J.
而从(6)式可以看出：式 中的两个积分内的被积函 数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv 的地位相当，它们的物理 意义相似，因而在这两者 之间可以进行类比推理。
现在既然(n/4)vf(v)dv在从0 到的区间内积分，也能得到 分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv 就表示速率取值在 v到 v+dv间 隔内的气体分子在单位时间内 对单位面积器壁的碰撞次数。 据此处理某些相关问题，有时 往往会比较简捷。
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时，根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同，来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况，可以取分子速率 v 为 横坐标值，画出速率取值在v至v ＋v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图（条形统 计图）。
因此，如果在热学 中学习速率分布函数 时，类比力学中的速 率－时间函数，就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此，用 f(v) 类比 f(t)，还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个？如果非要这样问， 那这种分子其实一个都没 有。”
麦克斯韦分布PPT课件
熵与信息的联系
概率表达信息量：设N 种可 能性每种出现的概率相等：
P 1 N
信息量I ：
I
log2 N
1 ln2
lnN
信息量也可表示为： I 1 lnN 1 ln 1 1 lnP
ln2
ln2 P ln2
S k lnP
k 1 ln2
Shannon把信息量 I 视为信息熵 S
热熵： S热 kBlnW
信息熵： S信
1 lnW
ln2
(J/K)
(bit)
温度为T时，每处理1bit信息量至少耗能:
处理1bit信息 的能耗下限
Q T S kBTln2 0.9571023 T(J)
Q kBT ln2 这个换算的物理含义是什么？
第28页/共30页
信息处理与能耗的关系
信息 熵
能耗
N
定义信息熵为： S K Pi ln Pi i 1
实例：天气预报
明天下雨概率为P1 =0.80, 不下雨概率为P2 =0.20
信息熵为：
S K ( p1 ln P1 P2 ln P2 )
1 (0.80 ln 0.80 0.20 ln 0.20) ln 2
0.722
第26页/共30页
信息熵与热熵的关系
• 温度表示分子热运动的激烈程度 • 温度只对系统而言，对一个分子无意义
第4页/共30页
麦克斯韦速度、速率分布——从抛硬币得出的规律
第5页/共30页
速度分布函数的定义：
vx
vx
v
内
x
分
子
数
:
N
F(vx )
F(vx )vx N F(vx )dvx dN
麦克斯韦速率分布
一般气体、液体、固体及在恒定外场中的经典系统，
只要系统的能量可写成：
分子的动量分量
E
3N
i 1
Pi2 2m
U
(q1 , q2 ,
qi
,
)
广义坐标
分子间相互作用的能量及在外场中的势能之和
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导 出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦速率分布律。
但由前面 u2 u2 知，vrms v 总成立
例1．速率分布函数 f 的v物理意义为：
（Ａ）具有速率v 的分子占总分子数的百分比． （Ｂ）速率分布在v 附近的单位速率间隔中的
分子数占总分子数的百分比．
（Ｃ）具有速率v 的分子数． （Ｄ）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中
的分子数．
3
)2
exp(
m1v12 2kT
)
v12dv1
注意
dN 2 N2
f (v2 )dv2
4
(
m2
2 kT
3
)2
exp(
m2v22 2kT
)
v22dv2
混合气中各组分的麦氏分布率不一样，但有一点一定相同：
混合气达到平衡后，各组分的温度T必然相同。
7. 统计物理证明，麦氏分布率不仅适用于理气，也适用于
速率分布函数为：
麦克斯韦速率分布概率密度
f (v) 4 (
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2
2 kT
2kT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
热学--麦克斯韦速度分布
dN (v z ) f (v z )dv z N
二、麦克斯韦速度分布
2 2 m(vx vy vz2 ) m 3/ 2 f (vx , v y , vz )dvx dvy dvz ( ) exp[ ] dvx dvy dvz 2kT 2kT
m vi2 m 1/ 2 f (vi ) ( ) exp( ) dvi ; (i x, y, z ) 2kT 2kT
N ' n f (vx )vx dvx dAdt
0
n
0
mvx m 1/ 2 ( ) exp( ) v x dv x dAdt 2kT 2kT
2
kT 1 n dAdt nv dAdt 2m 4
nmv 二、气体压强公式p 3
x vxd t d A y B
2
I (v x ) dN ' (v x ) 2mvx I 2mvx dN ' (v x )
0
dN ' (v x ) nf (v x )v x dv x dAdt
o vyd t z
I 2 2 p 2nm f (v x )v x d vy v z2 , 3
原子弹
课后作业
2.4.2
四、费米球
金属自由电子模型指出，金属中的价电子是无相互作用的自由 电子。在T=0 K时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间 中的一个费米球。其球心位于速度空间的原点，球的半径为vF （称为费米速率，是一个与金属种类有关的常数）。 具体说来，电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零， 位于球内的概率密度为常数，设为De 。 De可如下求出： 由归一化条件知
p1 T1
第4节能量均分定理麦克斯韦分布律
df (v) 0 dv v vp
f (v)
f max
d [4π(
m
3
)2
e
mv2 2kT
v2
]
0
o
d 2πkT
vp
v
mv2
e 2kT
2Fra biblioteke2 mv2 2kT
(
2mv )
0
2kT
2 m 2 0
kT
根据分布函数求得 2 2kT
m
vp
2kT
m
2NAkT NAm
氧气的内能为____；温度升高2K时内能增加____。
解： i t r 3 2 5
t
3 2
kT
3 2
1.38 1023
273
5.65 1021 (J )
r
2 2
kT
2 1.381023 2
273
3.77 1021(J)
E
M
5 2
二、能量按自由度均分定理
2 x
2 y
2 z
12
3
1 2
m
2 x
1 2
m
2 y
1 2
m
2 z
1 3
(1 2
m
2)
1 ( 3 kT ) 1 kT
32
2
气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全
相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在
每个平动自由度上。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律
麦克斯韦波尔茨曼分布定律麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个基本定律，用于描述粒子在热平衡态下能量分布的概率。
该定律是从统计力学的角度推导出来的，可以用来解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律是描述粒子速度分布的定律之一。
它指出，在热平衡状态下，理想气体中的粒子速度分布服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
这个分布的特点是，速度较小的粒子数目多，速度较大的粒子数目少，呈现出“钟形曲线”的形状。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的推导过程相对复杂，涉及到统计力学的相关知识。
但是我们可以从直观的角度来理解这个分布定律。
首先，我们知道在一个封闭的系统中，粒子的速度是随机的，存在着各种不同的速度。
其次，由于热运动的存在，粒子的速度会在一定范围内变化，即存在一定的速度分布。
最后，根据统计力学的理论，证明了这个分布的概率密度函数是一个关于速度的二次函数，也就是麦克斯韦波尔茨曼分布定律。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律可以用来解释一些重要的物理现象。
首先是气体分子的速度分布。
根据这个定律，我们可以知道在热平衡状态下，气体分子的速度分布是呈现出一定规律性的。
速度较小的分子数目多，速度较大的分子数目少，符合高斯分布的特点。
这也就解释了为什么我们观察到的气体分子速度分布呈现出“钟形曲线”的形状。
其次是能量分布。
根据麦克斯韦波尔茨曼分布定律，粒子的能量分布也是符合一定规律的。
能量较低的粒子数目多，能量较高的粒子数目少。
这个定律的应用非常广泛，可以用来解释气体的热力学性质，如内能、压强等。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的应用不仅限于理想气体，还可以推广到其他粒子系统。
例如，可以用来描述固体晶格中的声子的能量分布，以及等离子体中电子的能量分布等。
在这些系统中，粒子的速度分布和能量分布也会服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
总结起来，麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个重要定律，用于描述粒子在热平衡状态下的速度分布和能量分布。
它的应用范围广泛，可以解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布（Maxwell velocity distribution）是描述理想气体分子速度分布的一种概率分布函数。
它是根据麦克斯韦速度分布定律得出的。
麦克斯韦速度分布定律认为在一定温度下，气体分子速度的分布呈现高斯分布。
其概率密度函数表达式为：
f(v) = (m / (2πkT))^(3/2) e^(-mv^2 / (2kT))
其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m表示分子的质量，T 表示气体的绝对温度，k为玻尔兹曼常数。
根据麦克斯韦速率分布，可以得到以下几个特点：
1. 速度分布的峰值出现在平均速度处；
2. 随着温度的增加，峰值变得更加平坦，速度分布的范围扩大；
3. 随着分子质量的增加，速度分布的峰值下降，分布的范围变窄。
麦克斯韦速率分布在研究气体的热运动性质以及计算气体的宏观性质时非常有用。
麦克斯韦分布
热学的宏观理论是热力学，热学的微观理论是 气体动理论，它指出了热现象的本质是大量分 子的热运动。
气体分子动理论是统计物理学的一部分，它是 从统计的观点出发，去研究气体热现象的一门 微观理论。
•阿伏伽德罗引入“分子”概念
•克劳修斯提出了理想气体分子运动模型 、引进统计概念推导理想气体压强公式
气体动理论的建立
1、理想气体分子运动模型
2、理想气体压强、 温度公式
3、麦克斯韦速率分布律 理想气体分子运动模型
理想气体的温度 动能 Kinetic energy
t
1 mv2 2
3 kT 2
温度的微观解释
热平衡的微观解释
• 温度表示分子热运动的激烈程度
• 温度只对系统而言，对一个分子无意义
麦克斯韦速度、速率分布——从抛硬币得出的规律
P 1 N
信息量I ：
I
log2 N
1 ln2
lnN
信息量也可表示为： I 1 lnN 1 ln 1 1 lnP
ln2
ln2 P ln2
S k lnP
k 1 ln2
Shannon把信息量 I 视为信息熵 S
变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚 所需要的信息量也就越大。
一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一 个系统越是混乱，信息熵就越高。
所以，信息熵也可以说是系统有序化程度的一 个度量。
熵与信息的联系
若N种可能性的概率不一样，第 i 种可能性出现的概率为Pi，
N
定义信息熵为： S K Pi ln Pi i 1
实例：天气预报 明天下雨概率为P1 =0.80, 不下雨概率为P2 =0.20
信息熵为：
麦克斯韦速率分布定律
υ 附近单位速率区
间的分子数
(5) nf ()d N dN dN
VN V
单位体积中速率在υ ~ υ+dυ区间的分子数
(6) 2 f ()d 1
dN N
N1 2 N
速率在υ1 ~ υ2区间的分
子数占总分子数的百分比
(7) 2 Nf ()d 1
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
(1) f () dN Nd
(2) f ( )d dN
N
υ附近单位速率区间的分子
数占总分子数的百分比
速率在υ ~ υ+dυ区间的分
子数占总分子数的百分比
(3) N f ()d N dN dN
N
速率在υ ~ υ+dυ
区间的分子数
(4) N f () N dN dN Nd d
f ()
T1
T2 T1
T2
p
2kT m
麦克斯韦速率分布定律
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦速率分布定积分
麦克斯韦速率分布定积分麦克斯韦速率分布，这名字一听就感觉高大上，是吧？它是一个关于气体分子运动的有趣话题。
想象一下，热热闹闹的派对上，大家都在尽情舞动，有的人节奏快，有的人慢。
这个分布就像是统计了派对上每个人的舞步，快的慢的都有，真是热闹得很！简单来说，麦克斯韦告诉我们，气体分子在不同的温度下，速度是怎么分布的。
你知道吗？如果把气体分子看作小小的舞者，它们在空间里疯狂舞蹈，速度各异，形成了一幅生动的画面。
说到这，大家可能会问，为什么要研究这个呢？嘿，别急，往下听。
了解气体分子的运动对很多科学领域都超级重要。
比如说，化学反应速率、热传导、甚至是宇宙的形成，都是离不开这些小家伙们的。
想象一下，如果你在厨房做饭，突然发现火候掌握得不太好，哎呀，气体分子的运动速度就可能是你成功与否的关键。
想想看，锅里水沸腾，分子们活力四射，舞动得跟疯了一样，水蒸气嗖嗖地冒出来，那可是让你的菜肴变得美味的秘密武器呢！咱们再深入探讨一下这个速率分布，听起来有点复杂，但其实并不难。
麦克斯韦在19世纪提出这个理论，真是个了不起的家伙。
他的公式就像是一个魔法公式，把气体分子的速度分布描绘得淋漓尽致。
你可以想象，当气体加热时，舞者们的舞步会越来越快，有些甚至飞快得像火箭一样，而冷却时，舞步就会变得缓慢，仿佛在舞台上打了个哈欠，哎，真是让人忍俊不禁。
说到这里，很多人可能会想到，怎么能计算这些分子的速率呢？咱们可以用定积分来帮助我们，别看它名字听着高深，简单地说，就是把所有舞者的速度加起来，再计算出平均值。
通过这个方法，能找到在某一速度区间内分子数量的分布，这样我们就能知道，究竟有多少“小舞者”在快步舞动，多少是在悠闲地摇摆。
多有意思呀，这就像是在派对上点了一首热门歌曲，大家都跟着节奏，结果发现某个角落里还坐着几位悠闲的观众，哈哈，这样的场景就真实生动。
这个速率分布还有个很酷的特点，就是它能反映出气体的性质，比如说温度和压力。
如果温度升高，舞者们的舞姿就变得更加热情，速度也更快，气体的压力自然就会增加。
麦克斯韦分布定律气体分子速度分布如何与温度相关
麦克斯韦分布定律气体分子速度分布如何与温度相关麦克斯韦分布定律是描述气体分子速度分布的数学模型，它揭示了气体分子的速度与温度之间的关系。
以下将详细介绍麦克斯韦分布定律以及其与温度的相关性。
麦克斯韦分布定律是由苏格兰物理学家詹姆斯·麦克斯韦于1860年提出的，他通过研究气体分子的动理论，发现了描述气体分子速度分布的规律。
该定律表明，在一定温度下，气体分子的速度分布具有特定的统计特征。
根据麦克斯韦分布定律，气体分子的速度分布是一个呈现高斯分布（高斯曲线）形态的函数，也被称为正态分布。
正态分布曲线呈钟形，在曲线的中央点达到最高峰，而在两侧逐渐降低。
麦克斯韦分布定律表明，气体分子的速度与温度呈正相关关系。
具体而言，当气体温度升高时，分子的平均速度也会增加。
这是因为在较高的温度下，分子间的相互碰撞更加频繁，分子的动能也会增大，导致分子的平均速度增加。
同时，麦克斯韦分布定律还揭示了气体分子速度分布的宽度与温度的关系。
根据定律，当温度升高时，气体分子速度分布曲线变得更加宽阔。
这意味着在高温下，气体分子的速度差异变得更大，部分分子的速度甚至可以达到非常高的数值。
麦克斯韦分布定律对于理解气体的热运动性质非常重要。
根据该定律，我们可以推导出许多与气体动力学相关的物理量，例如气体的平均动能、气体温度与分子速度的均方根值之间的关系等。
除了气体分子速度与温度之间的关系，麦克斯韦分布定律还可以应用于许多其他领域。
例如在化学反应中，反应速率与分子的碰撞频率相关，而碰撞频率与分子速度分布有关，因此可以利用麦克斯韦分布定律来研究化学反应的动力学过程。
总结起来，麦克斯韦分布定律揭示了气体分子速度分布的统计规律，其中速度与温度呈正相关。
这一定律在物理学和化学等领域有着广泛的应用，对于深入理解和研究气体动力学过程具有重要意义。
麦克斯韦速度分布函数
麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数是一种物理学中使用最广泛的分布函数，它可以用来描述物体的速度分布特征。
简言之，麦克斯韦速度分布函数的作用就是根据不同的物理现象，建立并预测不同物体的速度分布。
它是一种用于描述物理现象的统计分布，比如分子运动、分子电极面等。
麦克斯韦速度分布函数可以用来研究各种相关的物理现象，比如汽油喷射压力，和半导体晶体管的量子效应，二者两者都受到该速度分布函数的影响。
此外，该分布函数也可以用来描述动力学系统中的分子碰撞，以及分子的可能传播速度。
麦克斯韦速度分布函数的数学表达式为：f(v)=4πv^3/Nexp(-v^2/2u^2)，其中N是正则化常数，v是分子速度的模，u^2是有序温度的两倍。
对于一个特定的温度T，其中的N(T)可以作为一个函数表示，可以表示为：N(T)=∫-∞∞ f(v) dv = (2πmkT/h^2)^(3/2)，其中m是分子的质量，k是Boltzmann常数，h是Planck常数。
通过分析麦克斯韦速度分布函数，它具有以下几个特点：第一，分布函数的最大值位于 v=0，其最大值为 4πN/N = 4π。
第二，分布在整个速度空间中是对称的，即 f(v)=f(-v)。
第三，当 v>0，速度分布函数从 0性增加，当 v=√2u，函数极值点出现，即 f(√2u)=4πu^3/N。
第四，当 v>√2u，函数开始下降，当 v→∞，函数最终收敛于 0 。
麦克斯韦速度分布函数在热力学中有着重要的作用，对于理解热力学系统中分子碰撞、热迁移，以及热力学平衡状态的形成，都有着重要的指导意义。
因此，麦克斯韦速度分布函数在描述和研究热力学系统中有着重要的作用。
麦克斯韦速度分布函数可以用于计算分子运动的各种参数，比如分子运动的温度、平均速度、偏度系数以及平均能量的计算等。
此外，它也可以用来研究分子运动的统计性质，因此能够更准确地描述和识别不同系统中分子运动的特征。
综上所述，麦克斯韦速度分布函数在物理学中具有重要的意义，它可以用来描述物理现象，可以计算分子运动的各种参数，也可以用来研究热力学系统的相关物理性质，从而更好地描述物质的热动力特性。
2.4麦克斯韦速度分布
速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似：
●前面已指出，在图2.2（a）中，靶点位于x 到 x+dx，y 到y+dy范围内的概率是以 f（x，y）dxdy 来表示的，其中 dxdy 为这一区域 大小，f（x，y）是黑点分布的概率密度。
（1）速度空间中小立方体dvxdvydvz中的概率
●在三维速度空间中，在vx 到vx+dvx，vy
2 N (0 ~ v x ) 1 erf (2) 2 ( ) exp( u x )dux 0 N 2
• 由表2.1查得erf（2）=0.995，故这种分 子所占百分比为=49.8% 。
（二）相对于的麦克斯韦速率分布
• ●若令 表示为 dNu
u v vp
可将麦克斯韦速率分布
N
(
mv x m 1/ 2 m 1/ 2 N( ) exp( )dv x ( ) 2kT 2kT 2kT
2 m vy m vz 2 m exp ) exp dvy ( dvz 2kT 2kT 2kT
• 前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分 布，然后再从速度分布得到速率分布的。 • 本节中介绍麦克斯韦速度分布。 • 为了说明速度分布的含义，先介绍速度 空间的概念。
§2.4.1速度空间 • 一、速度矢量、速度空间中的代表点 • （1 ) 速度矢量 • ●要描述气体分子的速度大小和方向， 需引入速度矢量这一概念， • 速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分 子速度的大小、方向一致。 • ●一个分子仅有一个速度矢量。
§2.4.2 麦克斯韦速度分布 （Maxwell velocity distribution） 麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气 体分子的速度分布，这一分布可表示为 • f （ vx ， vy ， v z） dvx d vy dv z=
麦克斯韦分布
麦克斯韦分布
麦克斯韦分布（Maxwell distribution）是描述粒子在给定温度下的速度分布的概率分布函数。
它是一种连续型分布，通常用于描述气体分子的速度分布。
麦克斯韦分布有三个参数：速度的均值、速度的方差和总
粒子数。
它的概率密度函数为：
$$f(v) = \\sqrt{\\frac{2}{\\pi}} \\cdot
\\frac{v^2}{v_{\\text{rms}}^3} \\cdot \\exp\\left(-
\\frac{v^2}{2v_{\\text{rms}}^2}\\right)$$
其中，$v$是速度，$v_{\\text{rms}}$是速度的均方根（root mean square）值。
麦克斯韦分布在统计力学和热力学中有广泛的应用，特别是用于描述气体粒子的速度分布。
它可以帮助我们计算出一些重要的参数，如平均速度、平均能量等，从而进一步研究气体的热力学性质。
麦克斯韦分布也被用于解释和分析许多实际现象，如分子扩散、气体密度等。
需要注意的是，麦克斯韦分布只适用于满足一定假设条件的理想气体系统，如分子之间没有相互作用、分子间碰撞符合弹性碰撞等。
在实际气体中，可能会存在一些修正因素，需要使用其他的分布函数进行模拟和计算。
麦克斯韦速度分布定律
麦克斯韦速度分布定律麦克斯韦速率分布是热学的难点，也是大家初识统计物理时容易感到头疼的知识点，一般而言，考试题会将麦克斯韦分布函数给出，这篇文章对函数形式的推导主要是想帮助同学们加深对麦克斯韦速率分布与速度分布的印象，同时充分理解它们的统计意义。
要想理解麦克斯韦分布，首先我们要理解什么是概率分布函数先看概率密度函数下面是一个典型的概率密度函数图像我们可以将概率密度函数解释为随机变量落在一个区间内的概率与这个区间大小的比值在区间大小趋向于0时的极限分母为f(x)dx，分子为dx概率密度函数满足归一化条件然后是概率分布函数可以看到，概率密度函数就是概率分布函数在某一点的导数重点来了我们讨论的，是连续型变量的概率分布函数，因为粒子的速度/速率是连续变化的连续型变量无法逐个列举就像测分子速率，我们测不出恰好为100m/s的分子数，我们只能测得一个速率范围内的分子数所以我们不能讲分子速率恰好处于100m/s的概率，只能讲分子速率介于某一范围内的概率有了对于概率分布函数的基本认识，我们可以求连续型变量的一些统计值x的某一函数F(x)的平均值为例对于a、c那么图a根据归一化条件A=1/2a对于图cA=1/a对于b则有而麦克斯韦速率分布函数，就建立在最基本的统计理论上比如麦克斯韦分布最关键的概念就是概率密度函数中的f(x)dx下面我们来推导这个f(v)dv的形式首先要推导的是麦克斯韦速度分布函数设三个方向上粒子速度分量为vx、vy、vz由于理想气体处于平衡态，根据气体动理论，有所以由于理想气体处于平衡态，各处气体分子数密度相同，粒子各方向运动概率相同，沿x、y、z轴运动相互独立两边同时取对数对Φ(v^2)求偏导移项，式子左边只留v^2的函数对vy、vz求导的结果形式相同由于vi的任意性，得到令常数为-1/β^2解微分方程得将f(vx)、f(vy)、f(vz)全部代入F(vx,vy,vz)得到速度分布函数的形式为现在我们来求β首先求速度的方均根前面的例题中已经给出了方均根的求法第二步的推导用到了速度空间的概念v到v+dv的速度空间∑dvxdvydvz=4πv^2dv方均根为3β^2/2根据气体动理论得到β^2=m/2kT所以麦克斯韦速度分布为由麦克斯韦速率分布函数，我们可以推出几个重要的速率平均速率结果是根号8kT/πm方均根速率根号3kT/m最概然速率为麦克斯韦速率分布函数取极大值时根号2kT/m至于这些速率的应用，那又是另外一个故事了麦克斯韦分布是热学的重点，希望大家能够真正弄清楚它的意义，而不仅仅是对公式的死记硬背参考资料[1]对麦克斯韦速率分布率的教学研究.石荣彦.江苏教育学院学报.2006.5.p61-p65[2]大学物理中如何讲解麦克斯韦速率分布函数.朱永忠.淮南矿业学院学报.1998.9.p63-p65[3]麦克斯韦速率分布函数的简单推导和讨论.高娟,汤永新,汪月琴.长春大学学报.2014.8.第24卷第8期。
p8_3麦克斯韦速度分布律
麦克斯韦认为：在任何方向，在单位速度间隔v~v + dv 内的分子数dN与总分子数N0的比值的分布规律为
2 d N m1 m v F () v ( )/2 e x p ( ) Nv d 2 π k T 2 k T 0
其中，k是玻尔兹曼常数k = 1.38×10-23J/K，T是热力学温度，m 是分子的质量，v是某方向的速度。F(v)就称为麦克斯韦速度分 布律。(1)氧气分子的分子量为32，氧气分子在300K到600K时 (温度间隔为100K)，速度分布曲线有什么异同？(2)氢气、氦气、 氖气、氮气、氧气和氟气分子的分子量分别为2、4、20、28、 32和38，这些气体分子在300K时的速度分布曲线有什么异同？
温度取300K，不论 分子质量如何，各种 气体分子的速度分布 曲线都是对称的。 当气体温度一定 时，分子的质量 越大则峰值越高， 说明：在相同的 速度间隔内，速 度小的分子数目 越多，速度大的 分子数目越少。
也就是说：在 相同温度下， 质量较大的分 子运动的剧烈 程度较小。
11 /2 2 1 ( ) e x p ( x ) d x 因而得 设 x π m 1 / 2 是归一 1 2 可知： ( ) e x p ( x) d x π 可以证明 化常数。 0 2 πkT 2
m v 2kT
F(v)的单位是速度单位的倒数，即s/m。 质量一定的分子，温度是参数，麦克斯韦速 度分布函数的曲线形状由温度这个参数决定。
{范例8.3} 麦克斯韦速度分布律
麦克斯韦认为：在任何方向，在单位速度间隔v~v + dv 内的分子数dN与总分子数N0的比值的分布规律为
2 d N m1 m v F () v ( )/2 e x p ( ) Nv d 2 π k T 2 k T 0
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7
Distribution function and its meaning
Take speed distribution function as an example
1.分间隔
2.概率
d
dN N
与 v 和 dv 有关
Above expression has something to do with dv, has man-made factor We need physically is only the relation with v
Distribution curve of ball number with space position x
5
x
Δx
Statistical law
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 KT
17
Figure 22-6 shows a plot of Maxwell speed distribution function for molecules of oxygen at room temperature
18
Notes:
(a) Avoid the temptation to interpret f(v) as “the number of molecules having a speed v”.
Speed distribution function
f ( )
Divide dv by dN N
Get a new relation
dN = f ( ) 或说 只是v 的函数 Nd
Speed distribution function
只与速率v 有关
讨论
1）meaning of f (v ) 分子速率在 附近 单位速率间隔内的分子数 占总分子数的百分比 分子速率在 d 间隔内的分子数占 总分子数的百分比
21
m N (v) 4N ( 2KT 2. Consequences of the speed distribution vP (i) The most probable speed . It is the speed at dN (v ) has its maximum value. which N(v) 0
N Nf (v)dv
0
20
As the temperature increases, the average speed of the molecules increases, so the speed distribution curve must become broader. Because the area under the distribution curve (which is the total number of molecules) remains the same, the distribution curve must also flatten as the temperature rises. Figure 22-7 shows how the speed distribution curve for oxygen molecules at T = 80 K is both broadened and flattened as the temperature is increased to 300 K.
dN f (v)dv N
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率
N ＝ f (v)dv N v1
v2
表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率
N
0
dN f v dv 1 0 N
Normalizing condition
15
Review
1.
3.
2 p n 3
Total number of particles
i Probability:
N Ni
dN i i lim N N
Normalizing condition
6
Ni 1 i i i N
Statistical law Stability of thermodynamic system ： Without changing macroscopic condition, the whole characteristic of system can not change. Statistical law always accompany with fluctuation phenomenon. Macroscopic quantity = statistical average value of corresponding microscopic quantity
2
Same result
飞镖
Distribution curve
3
Statistical phenomena 对于由大 量分子组成的 热力学系统从 微观上加以研 究时，必须用 统计的方法 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Speed distribution function
dN f (v ) Ndv
1、condition: T, m; 2、speed range; 3、function form
14
Physical meaning：Around v，the probability of molecules in unit speed spacing on the total molecules
m 3/2 f (v) 4 ( ) ve 2 KT
mv 2 2 2 KT
The probability that a molecule has a precisely stated speed, such as 600.34326759 . . . m/s, is exactly zero. However, the number of molecules whose speeds lie in a narrow range, such as 600 m/s to 602 m/s, has a definite nonzero value.
d
dN N d xd yd z
dN r F ( r , ) Ndr d
x x d x y y d y z z d z
d
r r dr
dN f ( ) Nd
22-4 The distribution of molecular speeds
1.The Maxwell speed distribution
m 3/ 2 2 N (v) 4N ( ) v e 2KT
mv 2 2 KT
(22-14)
where N is the total number of molecules; T is temperature, m is the mass of each molecule. N(v) expresses particle number in unit speed range around v. mv 2 m 3/2 2 2 KT Maxwell speed f (v) 4 ( ) ve distribution function
Statistical Law
Kinetic theory: basing on the microscopic model of matter，study the thermal property of system with a large amount of molecular. In which, the motion of individual molecular governed by mechanical law is random, exhibiting giant chanciness. But, all molecule will show certain motional law as a whole. For example：pressure of ideal gas
d
Speed distribution law
For ideal gas at a certain temperature，the percentage of molecules on total molecules, whose speed distribute in unit spacing near υ，is a function of speed υ, called Speed distribution function
0
Geometric meaning
ΔN N d f ( ) NΔ Nd
f ( )d
o o
d Δ
Area under curve always keep one
3） general meaning of f (v )
dN f ( ) N d
19
(b)The total number of molecules:
(22-15) N is equal to the total area under speed distribution curve in Fig 22-6. (c) The number of molecules with speeds in the range from v to v+dv is f(v)dv.