复变函数考试试卷7
复变函数考卷及答案
浙江海洋学院2012-2013学年第2学期《复变函数》课程期末考试卷（A ）（适用班级： B11数学 考试时间：120分钟1. 设1cos +isin33z ππ=+，则arg z =（ B ）A. 3π-B.6πC. 3π D. 23π2. 设C 为正向圆周1z =，sin 2nC zdz i z π=⎰，则整数n 为（ D ） A. 1- B. 0 C. 1D. 23. 设2()32f z z iz =+-, 则)(z f 的零点个数为（ C ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4. 2sin i =（ C ）A. 1()e e i --B. 1()e e i -+C. 1()e e i --D. 1e e -+5. z =∞是函数1()1zze f z e-=+的（ D ） A. 可去奇点 B. 一阶极点 C. 本质奇点 D. 非孤立奇点二． 判断题（4×2分=8分）(1)如果(,), (,)u x y v x y 在区域D 内都可导, 则函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内可导.(2)因为1()f z z =在圆域112z -<内解析, 所以)(z f 是该圆域内的整函数.(3)设12(), ()f z f z 在区域D 内解析, {}n z D ⊂,且12()(), (1,2,)n n f z f z n == ,则1()f z 与2()f z 在区域D 内恒等.(4)方程52590z z ++=在单位圆1z <内无根.三．填空题（4⨯4分=16分）1.复数z =的三角表示式为 c o s s i n 33i ππ+ .2. 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，若(,)u x y y =，则()f z '= i - .3. 若在幂级数n n n c z ∞=∑中，1lim34n n nc i c +→∞=+，则该幂级数的收敛半径为__15__________.4. 2401Re zz e s z=-=____43-___________. 四． 如果函数()i f z u v =+在区域D 内解析，证明()i f z 在区域D 内也解析. （7分）证明：因为函数()i f z u v =+在区域D 内解析, 所以, ,u v 在D 内具有连续的偏导数, 且, x y y x u v u v ==-. 而()i f z v iu =-,所以, ,v u -在D 内具有连续的偏导数, 且(), ()x y y x v u v u =-=--. 满足C-R 方程. 即()i f z 在区域D 内也解析.五. 计算积分（5分⨯4=20分）1.22sin4d 1z zz z π=-⎰解:22221111sinsinsinsinsin44444d 2(Re Re )2()11122z z z z z z z z zzz i s s i z z z zzπππππππ===-==-=+=+---⎰i =2.1522433d (1)(2)z z z z z =++⎰解：1515224322433d 2Re (1)(2)(1)(2)z z z z z i s z z z z π==∞=-++++⎰152224300224311()12Re 2Re (1)(21)(()1)(()2)t t t t i s i s t t t t tππ==⋅===++++2i π 3. 设C 为正向圆周2z =, sin3()Cf z d zπζζζ=-⎰, 求(1)f '解：sin3()2sin , (<2)3Cf z d i z z z πζπζπζ==-⎰所以()2cos, (<2)33f z i z z πππ'=⋅即2(1)3f i π'=4. 求积分e d zz z Γ⎰ 的值, 其中Γ为正向单位圆周: 1z =.从而证明cos 0e cos(sin )d πθθθπ=⎰.解：0e d 22z zz z i e i zππ=Γ=⋅=⎰ .1z =的参数方程为, -<i z e θπθπ=<,cos sin cos e e d e (cos(sin )sin(sin ))z i i i z ie d i i d z e θθππθθθππθθθθ+Γ--==+⎰⎰⎰c o s c o se (c o s (s i n )e s i n (si n ))i d d ππθθππθθθθ--=-⎰⎰所以cos e (cos(sin )2d πθπθθπ-=⎰从而cos 0e cos(sin )d πθθθπ=⎰.六．将函数21()1()(2)2f z z z z =--在圆环102z <<内展为洛朗级数. （8分）22212101121112111()()(2)11323212()(2)122221 (2)32 n n n n f z z z z z z z z z z z∞+-+===⋅-=⋅-⋅+------=-∑ 七．（15分） （1）求i 22e ()(1)(4)zf z z z =++在上半z 平面的所有孤立奇点；并说明它们的类型；（2）求()f z 在上半平面内各个孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分22cos d (1)(4)xI x x x +∞=++⎰解: (1), 2z i z i ==各为一阶极点(2) 12Re ()()(4)6iz z i z i e e s f z z i z i -====++, 2222Re ()(2)(1)12iz z i z i e e s f z z i z i -====++- (3)222d 2(Re ()Re ())(1)(4)ixz i z i e x i s f z s f z x x π+∞-∞===+++⎰12122()(2)6126e e i e e i i ππ----=+=--. 所以 22cos d (1)(4)x I x x x +∞=++⎰12(2)12e e π--=-. 八．（6分）设函数()f z 在z R <内解析，令()max () (0<r<R)z rM r f z ==. 试证：()M r 在区间[]0,R 上是一个上升函数，且若存在1r 及212 (0,)r r r R ≤<，使得12()()M r M r =，则()f z ≡常数.证明: 由最大模原理, 显然()M r 在区间[]0,R 上是一个上升函数. 若存在12r r <，使得12()()M r M r =，即在2z r <内存在点1z ，使得12()()f z M r =，即在内点取得最大模，由最大模原理，()f z ≡常数.。
《复变函数》考试试题(七)
二、填空题.（每题2分）
1． _____________________.
2．设 ，且 ，当 时， ________________.
3．函数 将 平面上的曲线 变成 平面上的曲线______________.
4．方程 的不同的根为________________.
《复变函数》考试试题（七）
一、判断题.（正 时，其模为零，辐角也为零.（）
2．若 是多项式 的根，则 也 是的根.（）
3．如果函数 为整函数，且存在实数 ，使得 ，则 为一常数.（）
4．设函数 与 在区域内 解析，且在 内的一小段弧上相等，则对任意的 ，有 .（）
5． ___________________.
6．级数 的收敛半径为____________________.
7． 在 （ 为正整数）内零点的个数为_____________________.
8．函数 的零点 的阶数为_____________________.
9．设 为函数 的一阶极点，且 ，则 _____________________.
（1） （8分），
（2） （7分）.
4．叙述儒歇定理并讨论方程 在 内根的个数.（10分）
四、证明题（20分）
1．设 是上半复平面内的解析函数，证明 是下半复平面内的解析函数.（10分）
2．设函数 在 内解析，令 。证明： 在区间 上是一个上升函数，且若存在 及 （ ），使 ，则
常数.（10分）
10．设 为函数 的 阶极点，则 _____________________.
三、计算题（50分）
1．设 。求 ，使得 为解析函数，且满足 .其中 （ 为复平面内的区域）.（15分）
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
(完整版)复变函数试题库
《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
(完整版)《复变函数》有答案(期末考试)试卷
浙江师范大学《复变函数》（期末考试）试卷（2004-2005学年第一学期）考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业02级 考试时间：150分钟 出卷时间2004年12月25日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理.一、（18%）填空题 1、在01z <<内，函数1(2)(1)z z z -+的罗朗展式是 ① .2、解析分支1z-在1z =处的留数是 ② . 3、 问是否存在解析函数()f z 使111()()2122f f n n n==- ？ ③ （只需回答是或否）.4、若解析函数()f z 的实部是(cos sin )x e x y y y -，则f()z = ④ .5、已知分式线性函数()f z 把上半平面变为单位圆，则()f z = ⑤ .6、21|2|2d (1)(2)z z zz z -=--⎰的值是 ⑥ . 二、（24%）计算题1、若以上半虚轴为割线，确定Ln z 的一个解析分支ln z .并且分别求出ln w z =在上半虚轴的左沿和右沿，当z i =时的值.2、计算积分0d I (1)xx xα+∞=+⎰，（α为常数，且01α<<）. 三、（36%）解答题1、求2Ln 1z z -的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.2、在z 平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成w 平面的上半平面（不包括实轴）.3、试作一个解析函数，它把上半平面Im 0z>保形双射成w 平面的半带域Re 22w ππ-<<，Im 0w > .四、（22%）证明题1、若1231z z z ===，1230z z z ++=，则122313z z z z z z -=-=- .2、若在1z <内，()f z 解析，并且1()1f z z≤-， 则()(0)(1)!n f e n <+ .浙江师范大学《复变函数》试题答案与评分参考05.1.17一、填空题（每空格3分，共18分）① 101(1)112362n n n n z z ∞+=⎛⎫--+- ⎪⎝⎭∑ ②1± ③否④e i zz c + ⑤ i 000e ()(Im 0)z z z z z θ->- ⑥ 2πi -二、（24%）计算题1、若以上半虚轴为割线，确定Ln z 的一个解析分支ln z .并且分别求出ln w z =在上半虚轴的左沿和右沿，当z i =时的值.解 Ln ln ||iarg 2πi z z z k =++ 3ππarg ,22z k -⎛⎫<<∈⎪⎝⎭¢ （6分） 令ln ln ||iarg 2πi z z z k =++ 3ππ<arg 22z ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ （8分）则在上半虚轴的右沿，当i z =时，πln i i 2w ==在上半虚轴的左沿，当i z =时，3ln i πi 2w ==- （12分）2、计算积分0d I (1)xx xα+∞=+⎰，（α为常数，且01α<<）. 解因01α<<，故1()(1)F z z z α=+为多值函数，取正实轴为割线且单值解析分支()i arg 11()0arg 2π1||e zf z z z z αα=<<+（4分）（如图）设01r ε<<<<+∞，则2πd ()d (1e )()d ()d (1)rrrrc c c c c c xf z z f z z f z z x x εεεααε+-+--+Γ+Γ+ΓΓ=+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由2π|()d |(1)c f z z εαεεε≤-⎰知0lim ()d 0c f z z εε→=⎰ （8分） 由i 12πi i 0ie d 2π|()d |||(1e )e 1rc r r f z z r r r θαθααθθ-=≤+⋅-⎰⎰知lim ()d 0rr c f z z →+∞=⎰故πi 2πi 0d 2πie π(1)1e sin πx x x αααα-+∞-==+-⎰（12分）三、（36%）解答题1、求2Ln 1z z -的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.解因0和+∞是支点，故0和+∞不是孤立奇点. 因此，孤立奇点为1-和1，故可取上半虚轴作割线，因此，解析分支()22ln 1ln ||i(2π+arg )11z z k z z z =+--k ∈¢，3πarg 22z π-<< （6分）（1） 当0k =时，1z =是可去奇点 （2） 当0k ≠时，1z =是一阶极点（3） 1z =-是一阶极点 （12分）2、在z 平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成w 平面的上半平面（不包括实轴）.解 （1）若区域D 表示在z 平面的上半平面，从原点起沿虚轴去掉一条长为3的割线，则29z ω=+将区域D 变为()ω平面除去正实轴的开区域1D （6分）（2）w =1D 变为w 平面的上半平面Im 0w >因此w = （12分）3、试作一个解析函数，它把上半平面Im 0z>保形双射成w 平面的半带域Re 22w ππ-<<，Im 0w > .解 由多角形映射公式知1zw c c -=+⎰由π(1)2w --=知1π2c =- 因111arcsin πt --==⎰，故由π(1)2w =知πππ22c -= 所以1c = （6分）因此πarcsin 2zw z -==⎰于是arcsin w z =即为所求. （12分）四、（22%）证明题1、若1231z z z ===，1230z z z ++=，则122313z z z z z z -=-=- . 证法1因1230z z z ++=，3||1z =，故22123()||1z z z +=-=即1212()()1z z z z ++=，即12121z z z z +=-（6分）因此121211121222()()3z z z z z z z z z z z z --=--+=即12||z z -=23||z z -=，12||z z -= （11分）证法2 由平行四边形公式 2222131313||||2(||||)z z z z z z ++-=+知，2222131313||2(||||)||z z z z z z -=+-+，而1230z z z ++=， （6分）因此222213132||2(||||)||413z z z z z -=+--=-=，13||z z -，同理23||z z -，12||z z -= （11分） 2、若在1z <内，()f z 解析，并且1()1f z z≤-， 则()(0)(1)!n f e n <+ 证 因()1||1!()(0)d 2πin n n z n n f z f z z+=+=⎰（3分） 故11||1||1!|(0)||d |2π||z (n)n n z n n f z z -+=+≤⎰（6分）11111!n2π2π()n+1nn n n n n +-++≤（8分） 1(1)!1e(1)!nn n n ⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭ （11分）。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
《复变函数》考试试题(七)解读
《复变函数》考试试题（七）一、判断题（24分）1. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（ ）2. 若函数()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件.（ ）3. 如果0z 是()f z 的可去奇点，则0lim ()z z f z →一定存在且等于零.（ ） 4. 若函数()f z 是区域D 内的单叶函数，则()0()f z z D '≠∀∈.（ ）5. 若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ）6. 若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（ ）7. 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()f z 的m 阶极点.（ ） 二、填空题（20分） 1. 若11sin(1)1n n z i n n=++-，则lim n z =___________. 2. 设2()1z f z z =+，则()f z 的定义域为____________________________. 3. 函数z e 的周期为______________.4. 22sin cos z z +=_______________.5. 幂级数220n n n z +∞=∑的收敛半径为________________.6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________.8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.9. 方程833380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. Re (,0)zn e s z=_________________. 三、计算题（30分）1、 求22+. 2、 设2371()C f z d zλλλλ++=-⎰，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()ze f z z=，求Re ((),0)s f z . 4、求函数(1)(1)z z z -+在12z <<内的罗朗展式. 5、求复数11z w z -=+的实部与虚部. 6、利用留数定理计算积分：20cos dx a x π+⎰，(1)a >. 四、证明题（20分） 1、方程7633249610z z z z ++++=在单位圆内的根的个数为7.2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，()f z 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数.3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()f z 的m 阶极点. 五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{}:1,Im 0z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{}:1w w <《复变函数》考试试题（八）一、判断题（20分）1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 连续.（ ）2、若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析.（ ）3、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在.（ ） 4、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D '≠∀∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（ ）5、若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ）6、若函数()f z 是单连通区域D 内的每一点均可导，则它在D 内有任意阶导数.（ ）7、若函数()f z 在区域D 内解析且()0f z '=，则()f z 在D 内恒为常数.（ ）8. 存在一个在零点解析的函数()f z 使1()01f n =+且11(),1,2,22f n n n ==.（ ）9. 如果函数()f z 在{}:1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=，则()1(1)f z z ≤≤.（ ）10. sin z 是一个有界函数.（ ）二、填空题（20分）1、若21(1)1n n n z i n n+=++-，则lim n z =___________. 2、设()ln f z z =，则()f z 的定义域为____________________________.3、函数sin z 的周期为______________.4、若lim n n z ξ→∞=，则12lim n n z z z n →∞+++=_______________.5、幂级数50n n nz+∞=∑的收敛半径为________________.6、函数21()1f z z=+的幂级数展开式为______________________________. 7、若C 是单位圆周，n 是自然数，则01()n C dz z z =-⎰______________.8、函数()f z z =的不解析点之集为__________.9、方程53215480z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.10、若21()1f z z =+，则()f z 的孤立奇点有_________________. 三、计算题（30分）1、求1131sin 2(1)(4)z z z dz e zdz i z z π+==+--⎰⎰ 2、设2371()C f z d zλλλλ++=-⎰，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1ze f z z =-，求Re ((),)s f z ∞.4、求函数210(1)(2)z z z +--z <<+∞内的罗朗展式. 5、求复数11z w z -=+的实部与虚部. 四、证明题（20分） 1、方程763155610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为7.2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内连续，则二元函数(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续.4、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()f z 的m 阶极点. 一、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z 平面上的区域4:0arg 5z z π⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭保形映射为w 平面的单位圆盘{}:1w w <.《复变函数》考试试题（九）一、判断题（20分）1、若函数()f z 在0z 可导，则()f z 在0z 解析.（ ）2、若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析.（ ）3、如果0z 是()f z 的极点，则0lim ()z z f z →一定存在且等于无穷大.（ ） 4、若函数()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有()0C f z dz =⎰.（ ） 5、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（ ）6、若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某一条曲线上恒为常数，则()f z 在区域D 内恒为常数.（ ）7、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()f z 的m 阶极点.（ ） 8、如果函数()f z 在{}:1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=，则()1(1)f z z ≤≤.（ ） 9、lim z z e →∞=∞.（ ） 10、如果函数()f z 在1z ≤内解析，则11max{()}max{()}.z z f z f z ≤==（ ） 二、填空题（20分）1、若12sin(1)1n n z i n n=+-+，则lim n z =___________. 2、设1()sin f z z=，则()f z 的定义域为____________________________. 3、函数sin z 的周期为______________. 4、22sin cos z z +=_______________.5、幂级数0n n nz+∞=∑的收敛半径为________________.6、若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.7、若函数()f z 在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________.8、函数()f z z =的不解析点之集为__________.9、方程832011350z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.10、2Re (,1)1ze s z =-_________________. 三、计算题（30分）1、2lim 6n n i →∞-⎛⎫ ⎪⎝⎭2、设2371()C f z d zλλλλ++=-⎰，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1ze f z z =+，求Re ((),)s f z i ±. 4、求函数(1)(2)z z z --在12z <<内的罗朗展式. 5、 求复数11z w z -=+的实部与虚部. 6、 利用留数定理计算积分2422109x x dx x x +∞-∞-+++⎰. 四、证明题（20分） 1、方程7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)u x y 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数.7、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()f z 的m 阶极点. 五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z 平面上的带开区域:Im 2z z ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭保形映射为w 平面的单位圆盘{}:1w w <.《复变函数》考试试题（十）一、判断题（40分）：1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个邻域内可导.（ ）2、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在.（ ） 3、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内连续，则(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续.（ ）4、cos z 与sin z 在复平面内有界.（ ）5、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点.（ ）6、若()f z 在0z 处满足柯西-黎曼条件，则()f z 在0z 解析.（ ）7、若0lim ()z z f z →存在且有限，则0z 是函数的可去奇点.（ ） 8、若()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有()0C f x dz =⎰.（ ）9、若函数()f z 是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ）10、若函数()f z 在区域D 内解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（ ）二、填空题（20分）：1、函数ze 的周期为_________________.2、幂级数0n n nz +∞=∑的和函数为_________________.3、设21()1f z z =+，则()f z 的定义域为_________________. 4、0n n nz+∞=∑的收敛半径为_________________.5、Re (,0)zn e s z=_________________. 三、计算题（40分）：1、2.(9)()z z dz z z i -+⎰ 2、求2Re (,).1ize s i z -+3、.n n + 4、设22(,)ln().u x y x y =+ 求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足(1)ln 2f i +=。
复变函数试题、答案
学年第二学期《复变函数》试卷 甲使用班级：电气、电子 闭卷 课程编号：答题时间： 120 分钟共 4 页第 1 页一、填空：（每空2分，共20分）1. z=-2+3i, Re (z)= -2 , Im (z)= 3 , |z| =13, Arg (z)= -arctan 3/2 +(2k+1)π 。
2. f(z) = 2x -3y + (sin x -3y )i 是否是解析函数？ 不是 。
3. ⎰ii dz z - 34 = 0 。
4. C 是正向单位圆周，⎰C dz z 2)cos( = 0 。
5. Ln(-1) = i （2k+1）π6.∑+∞=202n n nz 的收敛半径 = 1 。
7. C 是正向单位圆周，⎰C dz zz 2)cos( = 2πi 。
二、计算下列各题：（10分/小题，共70分）1．设函数f (z )=my 3+nx 2y+i (x 3+lxy 2)是全平面内的解析函数。
求l, m, n 的值。
解 u = my 3+nx 2y v=(x 3+lxy 2) （3分）由f (z ) 解析, 得 x y yx v u v u -== （4分）解得 n = l = -3 , m = 1 （3分）共 4 页第 2 页2. 求⎰=-+-5)3)(1(13z dz z z z 解 ⎰=-+-5)3)(1(13z dz z z z =⎰=+-+-5.01)3)(1(13z dz z z z +⎰=--+-5.03)3)(1(13z dz z z z （4分）=i 2π(1313-=--z z z +3113=+-z z z ) （4分）=i 6π （2分） （本题方法不唯一）3． 已知u (x,y ) = x 2 – y 2 -2xy , 求其共轭调和函数v (x,y )及解析函数f (z )= u (x,y ) +i v (x,y )。
解 由f (z ) 解析, 得z i x y i y x iv u z f x x )1(2)22(22)(/+=----=+= （4分）所以C z i z f ++=2)1()( （5分） C 是任意纯虚数 （1分）（本题方法不唯一）共 4 页第 3 页4．求⎰=-+-322)1(12z dz z z z ． 解i6)12( i 2)1(1212322ππ='+-=-+-==⎰z z z z dz z z z （10分）5．求)2)(1(12--+z z z 在圆环1<|z |<2内的洛朗展开式解 1<|z |<2时12,11<<zz （3分）)2)(1(12--+z z z =∑∑∞=+∞=+-+-01011325n n n n n z z （7分）（本题有其他等价形式，不唯一）6．求11+-z z 在z 0 = 2点的泰勒展开式，并指出它的收敛半径．解 321132111-+-=+-z z z （3分）|z -2|<3时321132111-+-=+-z z z =∑∑∞=+∞=---=---1103)2(2)1(313)2()1(321n n nn n n nn z z （5分）收敛半径r=3 （2分）（本题有其他等价形式，不唯一）7．求dt tt e t ⎰∞+-0 22sin 。
复变函数历年考试真题试卷
复变函数历年考试真题试卷一、选择题1. 下列哪个函数不是复变函数？A. f(z) = e^zB. f(z) = z^2C. f(z) = |z|D. f(z) = ln(z+1)2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，下面哪个等式成立？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3，下列哪个等式成立？A. ∂u/∂x = 3x^2 + 6ixy - 3y^2B. ∂u/∂y = 3x^2 + 6ixy - 3y^2C. ∂v/∂x = -3x^2 + 3y^2 - 6ixyD. ∂v/∂y = -3x^2 + 3y^2 - 6ixy二、填空题1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1，则f(z)的共轭函数是________。
2. 当z → ∞ 时，f(z) = z^2 + 3z + 1的极限是________。
3. 若f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 是全纯函数，则满足柯西-黎曼方程的条件是∂u/∂x = ________。
三、计算题1. 计算复变函数f(z) = z^3 - 4z的积分，其中C为以原点为圆心、半径为2的圆周。
2. 当z = -i 时，计算复变函数f(z) = 2z^2 + 3iz的导数。
四、证明题证明：若复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在单连通域D上解析，则f(z) 在D 上也是调和函数。
（请自行根据题目要求增减字数，使得文章达到合适的长度。
）（文章正文）选择题：1. 下列哪个函数不是复变函数？2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，下面哪个等式成立？3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3，下列哪个等式成立？填空题：1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1，则f(z)的共轭函数是________。
复变函数论试题库及答案
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数，则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数试题
《复变函数》模拟考试试题《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、有界整函数必在整个复平面为常数。
（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(limz f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。
（ ） 二、填空题（4x5=20分）1、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-⎰Cndz z z )(10__________。
2、设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz _________。
3、设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________。
4、∑+∞=0n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res nz ze _____________。
三、计算题（8x5=40分）：1、设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D内的罗朗展式。
2、求⎰⎰==+--+3||1||1)4)(1(21sin z z z z z dzizdz eπ。
复变函数试题答案
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数试题及答案(最新整理)
A 在有限个点可导
C 在无穷多个点可导
2、使 z 2 z 2 成立的复数是（
A 不存在
B 唯一的
3、
z
2
cos z (1 z)2
dz
（
）
B 存在任意阶导数 D 存在有限个点不可导
） C 纯虚数
D 实数
A －i sin1 B i sin1 C －2i sin1 D 2i sin1
2 分
(1） f z及z在 z 1解析
(2） z 1上， f z 5z n 5
z e z 1 e z 1 e z 1 e 1 <5
4分
故在 z 1上 f z z ，由儒歇定理在 z 1内
N ( f z z, z 1) N ( f z, z 1) n
一、填空题（每小题 2 分）
Re s f (z) 5z 2
2
z0
(z 1)2 z0
2 分
Re s f (z) 5z 2
z 1
z
2 2 z2
z 1
z 1
5分
5z 2 dz = 2i(-2+2)=0
z 2 z(z 1)2
3 解： f z z 1
z 1
=
1
z
2 1
1 1
1 z
1
1 1 n z 1n
4、根式 3 i 的值之一是（ ）
A 3i 22
B 3i 22
5、
z
是
sin z z
的（
）
A 可去奇点 B 一阶极点
Ci C 一阶零点
D i D 本质奇点
6、函数
f
复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （ ）2.有界整函数必在整个复平面为常数。
( ) 3。
若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
( ） 7。
若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。
若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。
（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（ ）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。
（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。
=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。
5。
幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。
6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。
7。
若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。
=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。
9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。
复变函数考试卷试题及答案
应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1． 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。
（A ）单连通区域）单连通区域 （B ）多连通区域）多连通区域 （C ）开集非区域）开集非区域 （D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。
()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（ ）。
()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（ ）。
()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。
2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
复变函数考试试卷试题及答案各种总结.doc
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数 f(z) 在 z 0 解析 .( )2. 有界整函数必在整个复平面为常数.()3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Imz n }都收敛 .( )4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则 f ( z)C（常数） . ( )5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 . ( )6. 若 z 0 是f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .()lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 . ()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0(z D ) .( )9. 若 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf (z)dz 0 .C( )10. 若函数 f(z) 在区域 二. 填空题（ 20 分）D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数. （）dz1、 |z z 0 | 1 ( zz )n__________. （ n 为自然数）2.sin 2 z cos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z21，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Re s(e zn ,0)，其中 n 为自然数 .z9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z) lim f (z) ___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1 dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z) 3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 .证明：如果| f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2. 试证 : f (z) z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 ,并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√ ５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 i n 1；2. 1 ；3.2k， ( k z) ； 4.zi ； 5. 11.n 16. 整函数；7.；8.1 ；9. 0；10..(n1)!三．计算题 .1. 解因为0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 222. 解 因为z21Re s f (z) limlim1,coszsin zz2zz22Re s f (z)lim z 2 lim1 1 .coszsin zz2zz22所以1 dz2 i(Re s f (z) Re s f (z) 0 .z 2cos z z 2 z 23. 解 令( ) 3 2 71, 则它在 z 平面解析 , 由柯西公式有在 z 3内 ,f (z)c ( )dz 2 i (z) .z所以 f (1i ) 2 i (z) z 1 i2 i (13 6i ) 2 ( 6 13i ) .4. 解 令 za bi , 则wz 1 121 2( a 1 bi ) 1 2(a 1)2b.z 1 z 1 ( a 1)2 b 2( a 1)2 b 2 (a 1)2 b 2故 Re( z1 1 2(a 1), Im( z 1 2b2.) 2 b 2)2z 1 ( a 1)z 1 (a 1) b四.证明题 .1. 证明 设在 D 内 f ( z)C .令 f ( z) u iv ,2u 2 v 2 c 2 .则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数 ,得 uu x vv x 0(1) uu y vv y 0(2)因为函数在 D 内解析 , 所以 u x v y , u y v x . 代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x 0 . 消去 u x 得, (u 2 v 2 ) v x 0 .vu x uv x 01) 若 u2 v 2 0 , 则 f ( z)0 为常数 .2) 若 v x0,由方程 (1) (2)及 C.R. 方程有 u x 0, u y 0 , v y 0 .所以 uc 1, v c 2 . ( c 1, c 2 为常数 ).所以 f ( z) c1 ic 2为常数.2. 证明f ( z) z(1 z) 的支点为z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1的z平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发, 连续变动到z 0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该2z 1 的幅角为, 故f ( 1) i2i .分支在上岸之幅角为 0, 因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一 . 判断题 . （ 20 分）1. 若函数 f (z) u(x, y) iv ( x, y)在D内连续，则 ux,y)与 v x,y)都在 D内连续.( (z z( )2. cos 与sin 在复平面内有界 . ( )f ( z) 在 z0 f ( z) 在z03. 若函数解析，则连续 . ( )4. 有界整函数必为常数 . ( )5. 如 z0是函数 f ( z) 的本性奇点，则 lim ( ) 一定不存在 . ( )z z0f z6. 若函数 f ( z) 在 z0 可导，则 f ( z) 在z0 解析 . ( )7. 若 f ( z) 在区域 D内解析 , 则对 D内任一简单闭曲线 C f ( z)dz 0 .C( )8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n} 都收敛. ( )9. 若 f ( z) 在区域 D 内解析，则 | f ( z)| 也在 D 内解析 .( )10. 存在一个在零点解析的函数 f ( z) 使 f ( 1 ) 0 且 f ( 1) 1 , n 1,2,... .n 1 2n 2n( )二. 填空题 . (20 分)1. 设z i ，则| z | __,arg z __, z __2. 设f ( z) ( x2 2 xy) i (1 sin( x2 y2 ), z x iy C ，则lim f ( z) ________.z 1 idz3.|z z 0 | 1( zz )n _________.（ n 为自然数）4. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________ .n 05. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z 0 是 f '( z) 的_____零点 .6.函数 e z 的周期为 __________.7. 方程 2z 5 z 3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为 ________.8. 设 f ( z)1 z2 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 _________.19. 函数 f (z) | z |的不解析点之集为 ________.10.Res(z41,1) ____.z三 . 计算题 . (40 分 )1. 求函数sin(2z 3 )的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支， 并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值 .3. 计算积分：Ii1）| z | dz ，积分路径为（ 1）单位圆（ | z|i的右半圆 .4. 求 .四 . 证明题 . (20 分 )1.设函数 f ( z) 在区域 D 内解析，试证：f ( z) 在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D 内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题 .1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．× 6．×７．×８．√ ９．× 10．× .二. 填空题， i ； 2.3(1 sin 2)i ； 3.2 i n 1 ； 5.m 1.，n ； 4. 1216.2k i ， ( k z) .7.0；8.i ；9.R ；10.0.三. 计算题1. 解 sin(2 z 3)( 1)n (2 z 3 )2n 1 ( 1)n 22n 1 z 6 n 3 .n 0(2 n 1)! n 0(2 n 1)!2. 解 令 z re i.i2 k2则 f ( z)zre ,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k 0 .所以 f (i)ie 4 .3. 单位圆的右半圆周为 z ei, 2.2i zdz2 deiei2 2i .所以i224. 解 =0.四.证明题 .1. 证明 (必要性 ) 令 f ( z)c 1ic2 , 则f ( z)c 1ic 2 . (c 1 ,c 2 为实常数).令 u(x, y)c 1, v( x, y)c 2 .则 u xv yu yv x0 .即 u, v 满足 C.( 充分性 ) 令 f ( z)R., 且 u x , v yu iv , 则 ,u y , v x 连续 ,f (z) u iv故 f (z) ,在D 内解析 .因为f ( z) 与 f ( z)在D 内解析,所以u x v y , u y比较等式两边得v x ,u x且u x v yu y(v)yv x0 . v y , u y从而在D ( v x )内 u, v v x .均为常数, 故f (z) 在D 内为常数 .2. 即要证“任一 n 次方程 a 0 zna 1zn 1a n 1za n0 ( a 0 0) 有且只有n个根” .证明 令 f (z) a 0 z na 1z n 1a n 1z a n0 , 取 Rmax a 1a n ,1 , 当a 0z在C : z R上时,有( z) a 1 R n 1a n 1 R a n ( a 1a n )R n 1 a 0 R n .f ( z) .由儒歇定理知在圆zR 内 , 方程 a 0 z n a 1z n 1a n 1 za n 0 与 a 0 z n0 有相同个数的根 . 而 a 0 zn 0 在 z R 内有一个n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分 ).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ( )7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9.若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 .( )10. 若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分 )1. 设 f ( z) 1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________. 2 z 12.函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z n n 2 i (11) n ，则 lim z n __________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z ___________.dz5.|z z 0 | 1(z z ) n_________. （ n 为自然数）6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1fz 的孤立奇点有z 2 1，则7.( )__________.8.设ez1，则 z ___ .9.若 z 0 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分 )11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C 是 | z | 1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1 内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
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一、填空题（本大题共 10 题，每空 2分，共 20 分）
1、函数f(z)在点集D 解析，则是指f(z) 在
_________________ 。
2、方程ez 4 -5 z 3 +z 2+17z+1=0在单位圆内有_________个根。
3、2
π
=
z 为函数z 2
tan 奇点类型中的_____________。
4、函数∑∞
==01
)(n n z
z f 的解析开拓函数为___________________。
5、积分
z z d z ⎰=31sin =_______________________。
6、把上半平面变为第一象限的共形映射为________________________________。
7、分式线性变换3
2
+-=
z z w 可以把实轴变为：______________________________。
8、0z 是函数)(),(z g z f 的m 阶零点，则0z 是函数)()(z g z f -的_______阶零点。
9、1Re <z 表示的图形是_____________________________________。
10、Ln )(e -=______________________________________。
二、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 10 题，每小
题 2 分，共 20 分）
1、i z 5-=+0.001是集合5≤z 的 。
A 、聚点；
B 、边界点；
C 、外点 2、属于点集E 的点 _______ E 的聚点。
A ：一定不是
B ：不一定是
C ：一定是
3、级数∑∞
=1n n
n
i 为________级数。
A 、绝对收敛；
B 、发散
C ： 条件收敛
4、0=z 为z
z f cos 12
)(-=的 极点。
A 、一级；
B 、二级；
C 、三级
5、∞=z 为z
z
e
e z
f +-=11)(的 奇点。
A 、可去； B 、一级极点； C 、本性奇点 D 、非孤立奇点 6、Z 平面上在闭集上可微的函数________解析函数。
A 、一定是；
B 、不一定是；
C 、一定不是 7、在点z 不满足柯西黎曼条件的复变函数在z 。
A 、一定不可微； B 、一定可微； C 、不能确定 8、级数 ++++n z z z 2在闭圆9
8
<
z 上 。
A 、绝对收敛； B 、一致收敛； C 、闭一致收敛 D 、A 、B 、C 都对 9、对任何z 恒有 。
A 、1cos 1≤≤-z
B 、+∞<<∞-z sin
C 、A 、B 都不对 10、函数i z w 5=为 函数。
A 、；单值 B 、；有限多值 C 、无限多值
三、判断题（本大题共 10 题，正确的打“√”，错误的打“×”，每题1分，共10分）
1、复平面上三点：bi
a bi a +-+1
,
0,共圆。
（ ）
2、对f （z ）及在点a 如果罗朗展开式存在必定是唯一的。
（ ）
3、0z 是函数)(z f 的四阶极点，则0z 必定是函数)
(1
z f 的四阶零点。
（ ） 4、函数cz
b
az W +=
（a 、b 、c 为复常数）是一个共形变换。
（ ） 5、共形变换iz
i
z W 3.013.0-+=可以把单位圆映射成实轴。
（ ）
6、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则),(y x u 、),(y x v 在区
域D 内是调和函数。
（ ） 7、
⎰==+370)25(6
z dz z 。
（ ） 8、同一个函数在相同点的泰勒展式可用多种方法求出，但是几种方法所求展
式一定相同。
（ ）
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9、设)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点具各阶导数存在。
（ ）
10、z
1
cot
在0的去心邻域内能够展为罗郎展开式。
（ ） 四、计算题（本大题共7题，每小题 5 分，共 35 分）
1、计算z z d z z z ⎰=--84
75237
)2()1(
2、计算
⎰
=1
tan z z zd π
3、计算
)1(,cos 20
>+⎰
p p d π
θ
θ
4、已知23y xy x u -+=,求满足条件的解析函数iv u z f +=)(
5、试讨论f(z)= iy x -2的可微性与解析性
6、求三对对应点：i i ↔↔↔1,10,0所决定的线性变换。
7、计算i
z z
s
i
z +-=sin Re
五、证明题（本大题共 3 题，每小题 5 分，共15 分）
1、证明)2arg 0(arg )(π<≤=z z z f 在正实轴上不连续
2、证明如果已知复变函数f(z)＝u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内满足柯西-黎曼条件, 则在区域
D 内有： v u ,可微⇒y x y x v v u u ,,,连续
3、试证：在原点解析但是在
n
1
取函数值： ,1,0,1,0（n 为正整数）的复变函数不存在。