上海市高三数学一模试卷静安高考补习班新王牌
2023-2024学年上海市静安区高三上册摸底数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年上海市静安区高三上册摸底数学模拟试题
6．设x、y均为正数，且xy
7．一个小球作简谐振动，其运动方程为
衡点的位移，t（单位：秒）为运动时间，则小球在
A ．5x >，2212s s >
B ．5x <，21s s <15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是A ．
25
B ．
56
(1)证明：BC∥平面SDE
-的体积．(2)求三棱锥S ABC
20．如图，椭圆1Γ、双曲线
Γ的焦点为1F、2F，2Γ的焦点为1
们把1Γ与2Γ合成为曲线Γ(1)求曲线1Γ与2Γ的方程；
【详解】
如图，由题可知，OM BM
⊥,设半圆的半径为
30
ABC=︒,所以sin30
OM
OB =
OC r
=，所以3
BC r
=，所以
若OA a →
→
=，OB b →→
=，2OE a b →
→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，OC c →→
=，则2BA a →→⎛=- ⎝∴C 在以E 为圆心，2为半径的圆上，若OD b λ→→=，则DC →→=∴问题转化为求C 在圆E 上哪一点时，使DC →
最小，又EOD ∠∴当且仅当E ，C ，D 三点共线且ED OD ⊥时，||DC →
最小为平面向量中的最值问题我们通常采用数形结合的方式，把向量模的最值问题转化为距离的最值问题.。
上海市静安区2023届高三一模数学试卷(含答案)
上海市静安区2023届高三一模数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分150分） 2023.01.12考生注意：1.试卷共4页，另有答题纸2页．2.所有作答必须在答题纸上与试卷题号对应的区域完成，不得错位，在试卷或者草稿纸上作答一律无效．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果．1.函数y =tan(3x −π4)的定义域是 ．2. 已知复数z=−1+2ai a−i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是 ．3.若直线032=++y x 与直线2x +my +10=0平行，则这两条直线间的距离是 ．4. 16——17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg ）． P1 P5 P10 P25 P50 P75 P90 P95 P99 男 40.1 45.1 47.9 51.5 56.7 63.7 72.4 80.4 95.5 女38.341.243.146.550.555.361.165.475.6表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-2010）小王同学今年17岁，她的体重50kg ，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有 万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）5.已知函数f (x )=e x cos2x −e 2，则函数f (x )的导数f '(x )= ．6．现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm ），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是 ．7.有一种空心钢球，质量为140.2g ，测得球的外直径等于5.0cm ，若球壁厚度均匀，则它的内直径为 cm ．（钢的密度是7.9g/cm 3，结果保留一位小数）．8．A 、B̅分别是事件A 、B 的对立事件，如果A 、B 两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是 ．（填写所有成立的等式序号） ①P (A ∪B )=P (A )+P(B) ② P (A ∩B )=P (A )P (B )③ P (A ∩B̅)=[1−P(A)][1−P(B)] ④P (A ∪B̅)=P (A )+P (B ̅)9. 2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务. 现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有 种.（结果用数值表示）10. 已知全集为实数集R ，集合M ={x|116≤22x ≤256}，N ={x |log 5(x 2−4x)>1}，则M̅̅̅∩N = ．11.在空间直角坐标系O −xyz 中，点P(7,4,6)关于坐标平面xOy 的对称点P '在第 卦限;若点Q 的坐标为(8，−1，5)，则向量PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量PP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值是 ．（本小题有两个填空，第一个填空2分，第二个填空3分）12．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋2，若函数f (x )只有一个零点x 0，则实数a 的取值范围为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知数列{}n a 是等差数列，48151=+a a ，则=++13833a a a ( ) A ． 120 B ．96 C ．72 D ． 4814. 若实数x ,y 满足x 2+4y 2−xy =3，则( )成立． A ． xy ≥1 B ．x 2+4y 2≤4 C ． x +2y ≥−√2 D ．x +2y ≤√2.15.在(3x +x −23)n的二项展开式中，C n r 3n−r x n−5r3称为二项展开式的第r +1项，其中r =0，1，2，3，……，n ．下列关于(3x +x −23)n的命题中，不正确的一项是( )A ．若n =8，则二项展开式中系数最大的项是C 8236x 143．B ．已知x >0，若n =9，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是0<x ≤(43)35．C ．若n =10，则二项展开式中的常数项是C 10434．D ．若n =27，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项．16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )平方尺.A ． 142πB ．140πC ． 138πD ．128π三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知数列{a n }满足：a 1=12，a 2=1，a n+2+4a n =5a n+1，对一切正整数n 成立．（1）证明：数列{a n+1−a n }是等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项之和．18.（本题满分14分，其中第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分7分）平面向量)3,(cos ),cos ,sin 3(2−==x n x x m ，函数23)(+⋅==n m x f y . （1）求函数y =)(x f 的最小正周期； （2）若]2,0[π∈x ，求y =)(x f 的值域；（3）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3)(=B f ，7,2==b a ，求△ABC 的面积.19.（本题满分16分，其中第1小题满分8分，第2小题满分8分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使点D 到点P ，且PC PB =． （1）求证：PO ⊥平面ABCE ；（2）求直线AC 与平面PAB 所成角θ的正弦值．20.（本题满分16分，其中第1小题满分8分，第2小题满分8分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为33，它的上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0) (常数c >0)，直线AF 1，AF 2分别交椭圆Γ于点B ，C ．O 为坐标原点．（1）求证：直线BO 平分线段AC ；（2）如图，设椭圆Γ外一点P 在直线BO 上，点P 的横坐标为常数m （m >a ），过P 的动直线l 与椭圆Γ交于两个不同点M 、N ，在线段MN 上取点Q ，满足MP MQPN QN=，试证明点Q 在直线2mx +√2my −6c 2=0上．21.（本题满分18分，其中第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）已知函数f (x )＝－2a ln x －2x ，g (x )＝ax －(2a ＋1)ln x －2x ，其中a ∈R .(1)若x ＝2是函数f (x )的驻点，求实数a 的值； (2)当a >0时，求函数g (x )的单调区间；(3)若存在x ∈[1e ，e 2 ]（e 为自然对数的底），使得不等式f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围．上海市静安区2023届高三一模数学试卷参考答案与评分标准 2023.01.12一、填空题． 1.{x|x ∈R,x ≠kπ3+π4(k ∈Z)}.（写法不唯一，正确的都得分）2. a >√22. 3.552 4. 2.1 5.f '(x )=e x cos2x −2e x sin2x ．（表达式正确即可） 6．0.3 7. 4.5 8．②③ 9. 24010. M̅̅̅∩N =(−∞,−2)∪(5,+∞) 11. 五； √39. 12．(－∞，－2)⋃(2,＋∞)二、选择题13．A 14. B 15．D 16．C三、解答题 17.解：（1）证明： ∵12112，a a ==，∴2112a a −=， ∵a n+2+4a n =5a n+1，对一切正整数n 成立，∴*2114()，n n n n a a a a n +++−=−∈N ， 即2114n n n n a a a a +++−=−． ∴数列{1n n a a +−}是（以12为首项，4为公比的）等比数列．（2）由（1）知，12311422n-n n n a a −+−=⨯=， ∴112211()()()+n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−L 2527291122222n n n −−−−−=+++++L =16∙4n−1+13=13(22n−3+1)．当n =1时，1111(21)32a −=+=.综上所述，a n 23*1(21)()3n n N −=+∈.设数列{a n }的前n 项之和为S n ，则S n =n3+16(1−4n )1−4=n3−1−4n 18=4n18+n 3−118．18.解：（1）m ⃗⃗ ∙n ⃗ =3sinxcosx −√3cos 2x =32sin2x −√32cos2x −√32， 所以f (x )=√3sin(2x −π6)， 最小正周期为π.（2）设u =2x −π6，]2,0[π∈x ，−π6≤u ≤5π6,√3sinu 在[−π6,π2]上严格增，在[π2,5π6]上严格减，sin (−π6)=−12，sin 5π6=12，sin π2=1，所以y =)(x f的值域为[−√32,√3]．（3）3)(=B f ，即sin (2B −π6)=1， 因为B 为三角形内角，所以B =π3． cosB =4+c 2−72×2×c=12，即c 2−2c −3=0，解得c =3.所以△ABC 的面积为12acsinB =3×√32=3√32．19.（1）证明：因为E 是CD 的中点，CD =2AD ，所以PA PE =， 又O 为AE 的中点，OA OE PO AE =∴⊥（1）取BC 的中点F ，连接OF ，PF ，//OF AB ∴，OF BC ∴⊥ 因为PB PC BC PF =∴⊥，所以BC ⊥平面POF ． 从而BC PO ⊥（2）由（1）（2）可得PO ⊥平面ABCE . （2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥，如图，以点O 为原点，分别以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OF⃗⃗⃗⃗⃗ 与OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 、y 与z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则得到 (1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(0,02)(2,4,0),(2),(0,4,0)A B C P AC AP AB −−=−=−=u u u r u u u r u u u r．设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n AC n AB y ⎧=−+=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r g r r u u u rr g 与平面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|15n AC θ=<>=u u ur r ．20.证明：（1）由题意，33c a =，则3a c =，22222b a c c =−=， 故椭圆Γ方程为2222132x y c c+=，即2222360x y c +−=，其中2)A c ，∴直线1AF 21AF 的方程为2()y x c =+．联立2222360,2(),x y c y x c ⎧+−=⎪⎨=+⎪⎩得2230x cx +=，解得10x =，232x c =−，即32(,)22B c −−，由对称性知32(,)22C c −，线段AC 的中点坐标为32(,)44c c．直线BO 的方程为23y x =，所以AC 的中点坐标32()44c c 满足直线BO 的方程，即直线BO 经过AC 的中点，直线BO 平分线段AC ．（2）设点P （m ，n ），则n =√23m ，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同点的坐标为1122(,),(,)M x y N x y ，点(,)Q x y ，则22211236x y c +=，22222236x y c +=．∵MP MQ PN QN=，∴设MP MQ PN QN λ==，则,MP PN MQ QN λλ=−=u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 求得1212,11x x x x m x λλλλ−+==−+，1212,11y y y y n y λλλλ−+==−+， ∴222222121222,11x x y y mx ny λλλλ−−==−−， ∴2222222222221212112222223323(23)23611x x y y x y x y mx ny c λλλλλ−+−+−++===−−， 由于m ，n ，c 为常数，所以点Q 恒在直线22360mx ny c +−=即2mx +√2my −6c 2=0上．21.解 (1) 若x ＝2是函数f (x )的驻点，则 f ′(2)＝0，可得−2a 12+222=0，即得a =12． （2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a －2a ＋1x ＋2x 2＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x 2＝(ax －1)(x －2)x 2.当a >0时，令g ′(x )＝0，可得x ＝1a >0或x ＝2.① 当1a ＝2，即a ＝12时，对任意的x >0，g ′(x )≥0，此时，函数g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当0<1a <2，即a >12时，令g ′(x )>0，得0<x <1a 或x >2；令g ′(x )<0，得1a<x <2.此时，函数g (x ) 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，2. ③当1a >2，即0<a <12时，令g ′(x )>0，得0<x <2或x >1a ；令g ′(x )<0，得2<x <1a .此时，函数g (x )的单调递增区间为(0,2)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2，1a .(3)由f (x )≤ g (x )，可得ax －ln x ≥0，即a ≥ln x x ，其中x ∈[1e，e 2 ].令h (x )＝ln x x ，x ∈[1e ，e 2 ]，若存在x ∈[1e ，e 2 ] ，使得不等式f (x )≤g (x )成立，则a ≥h (x )min ，x ∈[1e ，e 2 ]，h ′(x )＝1－ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e ∈[1e ，e 2].当1e ≤x <e 时，h ′(x )>0；当e<x ≤e 2时，h ′(x )<0. ∴函数h (x )在[1e ，e ]上严格递增，在(e ，e 2]上严格递减．∴函数h (x )在端点x ＝1e 或x ＝e 2处取得最小值．∵h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e ，h (e 2)＝2e 2，∴h ⎝⎛⎭⎫1e <h (e)， ∴h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e ，∴a ≥－e.因此，实数a 的取值范围是[－e ，＋∞)．。
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（一模）一、填空题（1-4每题4分，5-6每题5分，共26分）1.已知集合{}21,RA y y x x ==-∈，{B x y ==，则A B = ______.【正确答案】⎡-⎣【分析】先求函数21,R y x x =-∈的值域，即可化简集合A，再求函数y =的定义域，即可化简集合B ，最后由集合的交集运算即可得到答案.【详解】因为{}21,R A y y x x ==-∈，所以A 为函数21,R y x x =-∈的值域，因为211y x =-≥-，所以{}1A y y =≥-.因为{B x y ==，所以B为函数y =的定义域，由220x -≥得22x ≤，即x ≤≤，所以{B x x =≤≤，所以{}{1A B y y x x ⎡⋂=≥-⋂≤≤=-⎣.故⎡-⎣2.若复数z 满足32iiz -=（其中i 是虚数单位），则||z =______.【分析】化简复数z ，再求出z ，进而求出||z .【详解】∵32i (32i)i 23i23i i i i 1z --+====--⨯-，∴23i z =-+，∴||z ==3.已知向量()3,6a = ，()3,4b =- ，则a 在b方向上的数量投影为______.【正确答案】3-【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.【详解】因为向量()3,6a =，()3,4b =- ，所以a 在b方向上的数量投影为336415cos ,35a b a a b b⨯+⨯-⋅-====-.故答案为.3-4.若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【正确答案】(1,)+∞【分析】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ，即不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，当0a =时，不等式等价与20x ->，不符合题意；则满足2)22(40a a ->⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >，即实数a 的取值范围是(1,)+∞.本题主要考查了对数函数的性质，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义域为R ，转化为不等式220ax x a -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力.5.等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是______.【正确答案】24【分析】先由等差数列的通项公式化简18153120a a a ++=得到1724a d +=，再由等差数列的通项公式把9102a a -化为17a d +即可求出答案.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()1815111173312014535d a a a a a a a d d ++=++++=+=，所以1724a d +=.所以()()9101112224897d a a a a a d d -=++-=+=.故246.过抛物线24x y =的焦点且倾斜角为3π4的直线被抛物线截得的弦长为______.【正确答案】8【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，直线l 的倾斜角为3π4，设直线l 与抛物线交于,M N 两点，则直线l 的方程为1y x =-+，代入24x y =得2610y y -+=，则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，126y y +=，则1228MN MF NF y y =+=++=，故8二、单项选择题（每题5分，共50分）7.设:x a α>，1:0x xβ->，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.(],0-∞【正确答案】C【分析】解分式不等式10x x->得β，由α是β的充分条件等价于β包含α，根据包含关系列不等式求解即可【详解】()1010x x x x->⇔->，解得1x >或0x <，由α是β的充分条件，则有1a ≥.故选：C8.函数()(1f x x =+）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【正确答案】C【分析】求出()f x 的定义域不关于原点对称，即可判断()f x 为非奇非偶函数.【详解】函数()(1f x x =+的定义域为101x x -≥+，则()()110111x x x x ⎧+-≥⇒-<≤⎨≠-⎩，由于定义域不关于原点对称，故()f x 为非奇非偶函数.故选：C .9.已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（）A.)(0P A B ⋂= B.)()()(P A B P A P B ⋂=C.)()(1P A P B =- D.)(1P A B ⋃=【正确答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【详解】因为事件A 与事件B 是互斥事件，则A B 、不一定是互斥事件，所以()P A B ⋂不一定为0，故选项A 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以A B ⋂=∅，则()0P A B ⋂=，而()()P A P B 不一定为0，故选项B 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C 错误；因为事件A 与事件B 是互斥事件，A B ⋃是必然事件，所以()1P A B ⋃=，故选项D 正确.故选：D.10.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）．甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B ，则()|P A B 的值是（）A.59B.49C.29D.19【正确答案】A【分析】利用条件概率公式求解即可得()P A B到答案.【详解】由题意知，()101202P A ==，()920P B =()P AB 表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率，()51204P AB ==，根据条件概率的计算公式得()()()1549920P AB P A B P B ===.故选：A11.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，点G 为MC 的中点.则下列结论中不．正确的是（）A.MC AN⊥ B.平面//DCM 平面ABN C.直线GB 与AM 是异面直线 D.直线GB 与平面AMD 无公共点【正确答案】D【分析】根据给定条件，证明//AN DG 判断A ；利用线面、面面平行的判定推理判断B ；取DM 中点O ，证得四边形ABGO 是梯形判断CD 作答.【详解】因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，则//MD NB ，取,,AB CD AN 的中点,,F E H ，连接,,,EF EG FH GH ，如图，点G 为MC的中点，则//////EG MD NB FH ，且1122EG MD NB FH ===，于是四边形EFHG 是平行四边形，//,GH EF GH EF =，在正方形ABCD 中，//,EF AD EF AD =，则//,GH AD GH AD =，因此四边形ADGH 为平行四边形，//AN DG ，而1MD CD ==，点G 为MC 的中点，有DG MC ⊥，所以MC AN ⊥，A 正确；因为//MD NB ，MD ⊂平面DCM ，NB ⊄平面DCM ，则//NB 平面DCM ，又//AB CD ，CD ⊂平面DCM ，AB ⊄平面DCM ，则//AB 平面DCM ，而,,NB AB B NB AB =⊂ 平面ABN ，所以平面//DCM 平面ABN ，B 正确；取DM 中点O ，连接,GO AO ，则有11////,22GO CD AB GO CD AB ==，即四边形ABGO 为梯形，因此直线,AO BG 必相交，而AO ⊂平面AMD ，于是直线GB 与平面AMD 有公共点，D 错误；显然点A ∈平面ABGO ，点M ∉平面ABGO ，直线BG ⊂平面ABGO ，点A ∉直线BG ，所以直线GB 与AM 是异面直线，C 正确.故选：D结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.12.数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-，*n ∈N ，关于数列{}n a 有以下命题：①{}n a 一定是等比数列，但不可能是等差数列；②{}n a 一定是等差数列，但不可能是等比数列；③{}n a 可能是等比数列，也可能是等差数列；④{}n a 可能既不是等差数列，也不是等比数列；⑤{}n a 可能既是等差数列，又是等比数列；其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】分0a =，1a =，0a ≠且1a ≠三种情况讨论，由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ，根据等差、等比数列的通项公式的特征可作出判断．【详解】当0a =时，1n S =-，则111a S ==-，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，即1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，此时，数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列；当1a =时，0n S =，则110a S ==，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，则()0n a n N *=∈，此时，数列{}n a 为等差数列，但不是等比数列；当0a ≠且1a ≠时，111a S a ==-，当2n ≥时，()()()111111nn n n n n a S S a aa a ---=-=---=-，则()21a a a =-，()()1111n n n n a a a a a a a+--∴==-且()2111a a a a a a -==-，则数列{}n a 是以a 为公比的等比数列.由以上分析知，正确的说法为③④．故选：B.本题考查数列通项n a 与n S 的关系及等差、等比数列的通项公式，准确把握等差、等比数列的通项公式特征是解决问题的关键．13.已知参数方程3342x t ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩[]1,1t ∈-，则下列曲线方程符合该方程的是（）A.B.C.D.【正确答案】B【分析】利用特殊值法即可选出答案.【详解】令20y t ==得1,0,1t =-，将其分别代入334x t t =-得1,0,1x =-，所以该方程所表示的曲线恒过点()()()1,0,0,0,1,0-，显然只有B 项满足.故选：B.14.设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A.π6B.π2C.7π6D.π【正确答案】B【分析】先求()3[,0]2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()3[,0]2f α∈-.在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()3[0,]2f f βα=-∈.[]0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,63326m m πππππ-∈∈.故选B.本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.15.若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（）A.(1,)+∞B.(,1]-∞C.(](),11,-∞-⋃+∞ D.[1,0)(1,)-+∞U 【正确答案】C【分析】先分析出||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144x y C λ+=为椭圆，只需点()2,0A -落在椭圆内，列不等式求出λ的范围；若当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，只需把||2y x =+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出λ的范围.【详解】如图示：||2y x =+表示起点为()2,0A -的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144x y C λ+=为椭圆时，即0λ>，只需点()2,0A -落在椭圆内，即240144λ+<，解得：1λ>；当曲线22:144x y C λ+=为双曲线时，即0λ<，渐近线方程：y =要使曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，1≤，解得.1λ≤-所以实数λ的取值范围是(],1(1,)-∞-+∞ 故选：C16.已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-；③当[0,1]x ∈时，3()2f x x =；④()(4)g x f x =．若过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是()A.60,11⎛⎫⎪⎝⎭B.30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(0,1)D.330,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】结合①②可知()f x 是周期为2的函数，再结合④可知()g x 是周期为12的函数，结合③作出()g x 在[0,2]上的图像，然后利用数形结合即可求解.【详解】因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，即()()f x f x =-，又因为对于任意x R ∈，()(2)f x f x =-，所以()(2)()f x f x f x =-=-，从而()(2)f x f x =+，即()f x 是周期为2的函数，因为()(4)g x f x =，则()g x 图像是()f x 的图像的横坐标缩短为原来的14得到，故()g x 也是偶函数，且周期为11242⨯=，结合当[0,1]x ∈时，3()2f x x =，可作出()g x 在[0,2]的图像以及直线l 的图像，如下图所示：当74x =时，易知3()2g x =，即73(,)42A ，则直线MA 的斜率362711(1)4MAk -==--，过点(1,0)-的直线l 与函数()g x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则只需6011MA k k <<=，即直线l 斜率k 的取值范围是60,11⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.三、解答题（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.①若MB AN = ，求k 的值；②若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.【正确答案】（1）22142x y +=（2）①22k =；②证明见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出224,2a b ==，则椭圆方程可得；（2）①根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出；②根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．【小问1详解】22c e a ==，222a c ∴=，代入222a b c =+得b c =.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即1222b c ⨯=，即2bc =，以上各式联立解得224,2a b ==，则椭圆方程为22142x y +=.【小问2详解】①直线()1y k x =-与x 轴交点为()1,0M ，与y 轴交点为()0,N k -，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得:()222124240k x k x k +-+-=，()()4222164122424160k k k k ∆=-+-=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则2122412kx x k+=+()()22111,,,,MB x y AN x k y =-=--- 又212241,12k MB AN x x k =+==+ 由得：解得:2k =±.由0k >得22k =;②证明：由①知2122412k x x k +=+212224,12k x x k-=+)()()2112212127777,,114444QA QB x y x y x x k x x ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=--+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭ ()()22212127491416k x x k x x k ⎛⎫=++--+++⎪⎝⎭()2222222472449151124121616k k k k k k k -⎛⎫=++--++=- ⎪++⎝⎭，QA QB ∴⋅为定值.方法点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（卷二）一、填空题（每题5分，共20分）18.已知圆22:16C x y +=，直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=（,a b 不同时为0），当,a b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为___________.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(3,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=化为(21)(3)0a x yb x y --+-+=2103301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，恒过定点(3,1)，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(3,1)的距离为，圆心到直线:()(32)0l a b x b a y a -+--=距离，此时直线弦长为最小值=.故答案为.19.若随机变量()3,XB p ，()22,YN σ，若()10.657P X ≥=，()02P Y p <<=，则()4P Y >=______．【正确答案】0.2【分析】解不等式1﹣（1﹣p ）3＝0.657得到p ＝0.3，再利用正态分布求解.【详解】解：∵P （X ≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p ）3＝0.657，即（1﹣p ）3＝0.343，解得p ＝0.3，∴P （0＜Y ＜2）＝p ＝0.3，∴P （Y ＞4）＝12(02)2P Y -<<＝120.30.22-⨯=．故0.2．20.已知在R 上的减函数()y f x =，若不等式()()2233f x x f y y -≤---成立，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0中心对称，则当14x ≤≤时，yx的取值范围是______.【正确答案】12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由对称性得函数()f x 是奇函数，由奇函数的定义及单调性化简不等式为具体的不等式，变形为两个不等式组，在平面直角坐标系中作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，yx表示这部分的点到原点连线的斜率，由图可得其取值范围．【详解】∵函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)中心对称，∴函数()y f x =的图象关于原点对称，即()f x 是奇函数，不等式()()2233f x x f y y -≤---可化为()()2233f x x f y y -≤+，又()f x 是R 上的减函数，∴2233x x y y -≥+，即()(3)0x y x y +--≥030x y x y +≥⎧⎨--≥⎩或030x y x y +≤⎧⎨--≤⎩，作出这两个不等式组表示的平面区域在直线1x =和4x =之间的部分，如图阴影部分（含边界），yx表示阴影部分的点与原点连线的斜率，1x =与4x =分别代入30x y --=，可得(1,2)D -，(4,1)B ，2OD k =-，14OB k =，∴124y x -≤≤．故12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项，若对任意的*n ∈N ，都有[]13,n nS s t S -∈，则t s -的最小值为________．【正确答案】94【分析】先根据和项与通项关系得{}n a 通项公式，再根据等比数列求和公式得n S ，再根据函数单调性得13n nS S -取值范围，即得t s ，取值范围，解得结果.【详解】因为2n S 是6和n a 的等差中项，所以46n n S a =+当2n ≥时，111114643n n n n n n n S a a a a a a ----=+∴=-∴=-当1n =时，11146=2S a a =+∴因此112[1()]13132([1()]132313n n n n n a S ---=⨯-∴==--+当n 为偶数时，3143[1()][,)2332n n S =-∈当n 为奇数时，313[1(](,2]232n n S =+∈因此343(,2][,)232n S ∈U 因为13n n S S -在343(,2][,232U 上单调递增，所以[]113232*********,,4662244n n S s t t s S ⎡⎤-∈⋃⊆∴-≥-=⎢⎥⎣⎦）（，故94本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.二、单项选择题（每题5分，共10分）22.在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【正确答案】B【分析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆.面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为θ=时，轨迹为抛物线，arctan θ≠时，轨迹为椭圆， 0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以轨迹为椭圆.故选：B.本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.23.若P 在曲线22:14x C y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线:4l x =于B 点，满足||||PA PB =或||||PA AB =，则称P 点为“H 点”，那么下列结论中正确的是（）A.曲线C 上所有点都是H 点B.曲线C 上仅有有限多个点是H 点C.曲线C 上所有点都不是H 点D.曲线C 上有无穷多个点（但不是全部）是H 点【正确答案】D【分析】设出22P A x x -≤<≤,利用相似三角形求得P x 和A x 的关系,设出PA 的方程与椭圆方程联立求得A P x x 的表达式,利用判别式大于0求得k 和m 的不等式关系,最后联立①②③求得A x 的范围,进而通过1A x <时,242P A x x =-<-,故此时不存在H 点,进而求得H 点的横坐标取值范围,判断出题设的选项.【详解】解：由题意，P 、A 的位置关系对称，于是不妨设22,(P A x x -≤<≤此时)PA AB =.由相似三角形，244A P x x -=-即:24P A x x =-⋯①设:PA y kx m =+，与椭圆联立方程组，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22212104k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭解得22114A P m x x k -=⋯+②0∆> ，2241k m >-⋯③联立①②③，得2222114A A x x k-<+，而2202114k<<+，即222A A x x -<，即12A x ≤≤，而当1A x <时，242P A x x =-<-，故此时不存在H 点又因为P 的位置可以和A 互换（互换后即)PA PB =，所以H 点的横坐标取值为[2,0][1,2]-⋃.故选:D.本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题.解题的关键是求得H 点的横坐标取值范围.属于较难题.三、多项选择题（每题6分，共12分）24.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A.与AB 所成的角是60°的棱共有8条B.AB 与平面BCD 所成的角为30°C.二面角A BC D --的余弦值为33-D.经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积为2π【正确答案】CD【分析】补全该半正多面体得到一正方体.对于A 选项，由正三角形可得60°角，再利用平行关系得结果；B 选项，利用正方体找出线面角为∠ABE=45°；C 选项，先作出二面角的补角∠AFE ，在△AEF 中，求出3cos 3EF AFE AF ∠==即可得结果；D 选项，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，构造三角形，求出球的半径，最后求得经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面面积.【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a .由题意，该半正多面体是由6个全等的正方形与8个全等的正三角形构成，由半正多面体的表面积为33+，可得223228633422a ⎛⎫⎫⨯⨯+⨯=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =1.对于A ，在与AB 相交的6条棱中，与AB 成60°角的棱有4条，这4条棱中，每一条都有3条平行的棱，故与AB 所成的角是60°的棱共有16条，故A 不正确；对于B ，因为AE ⊥平面BCD ，所以AB 与平面BCD 所成角为∠ABE =45°，故B 不正确；对于C ，取BC 中点F ，连接EF ，AF ，则有AF ⊥BC ，EF ⊥BC ，故二面角A -BC -D 的补角为∠AFE .二面角A -BC -D 的余弦值为-cos ∠AFE ，在Rt △AEF 中，1,,24AE EF AE EF ==⊥，∴AF =3cos 3EF AFE AF ∠==，cos 3AFE -∠=-，故C 正确;对于D ，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，即为正方体对角线的中点O ，点O 在平面ABE 的投影为投影点O 1，则有1111,22OO AO ==，∴22AO ==，故经过A ，B ，C ，D 四个顶点的球面的半径为面积为2422S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：CD立体几何中补形是一种常用的方法：(1)一个不规则几何体是由规则几何体经过截取得到的，通常可以用补形，还原为规则几何体，如正方体，长方体等；(2)通常可以用来求①体积（距离），②与外接球（内切球）相关的问题.25.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为侧面11BCC B 上的一动点，则下列结论正确的是（）A.若点P 总保持1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条线段；B.若点P 到点A 的距离为3，则动点P 的轨迹是一段圆弧；C.若P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线；D.若P 到直线BC 与直线11C D 的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线.【正确答案】ABD【分析】由1BD ⊥平面1AB C 且平面1AB C 平面111BCC B B C =，即可判断A ；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B ；作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ，作1PQ CC ⊥.建立空间直角坐标系，由PF PQ =即可求得动点P 的轨迹方程，即可判断C ；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.【详解】对于A ，111,BD B C D A AB ⊥⊥，且1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，平面1AB C 平面111BCC B B C =，故动点P 的轨迹为线段1BC ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为以A 为球心、半径为233的球面与面11BCC B 的交线，即为一段圆弧，所以B 正确；对于C ，作PE BC ⊥，EF AD ⊥，连接PF ；作1PQ CC ⊥.由PF PQ =，在面11BCC B 内，以C 为原点、以直线CB 、CD 、1CC 为x ，y ，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设(),0,P x z，则x =，化简得221x z -=，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C 错误.对于D ，由题意可知点P 到点1C 的距离与点P 到直线BC 的距离之比为2:1，结合C 中所建立空间直角坐标系，可得121PC PE =，所以21241PC PE =，代入可得()222141x z z +-=，化简可得221314493z x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，故点P 的轨迹为双曲线，所以D 正确.综上可知，正确的为ABD.故选：ABD.本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.四、解答题（本题满分18分（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）26.对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意*,m n ∈N ，m n ≠，都满足||||m n a a k m n -≤-，则称数列{}n a 符合“()L k 条件”.（1）试判断公差为2的等差数列{}n a 是否符合“(2)L 条件”？（2）若首项为1，公比为q 的正项等比数列{}n a 符合“1(2L 条件”.求q 的范围；（3）在（2）的条件下，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.【正确答案】（1）符合（2）1[,1]2（3）证明见解析【分析】(1)将12(1)n a a n =+-代入||||m n a a k m n -≤-即可得证；(2)由“正项等比数列”分成1q =，1q >，01q <<三类，结合数列单调性进行分析求证；(3)1q =时，n S n =，01k ≥即可成立；当112q ≤<时，设m n <，则等价于证明0(1)()m n q q k q n m ---≤即可.【小问1详解】因为{}n a 是等差数列且公差为2，所以12(1)n a a n =+-，所以对任意m ，*n ∈N ，m n ≠，11|||[2(1)][2(1)]||2()|2m n a a a m a n m n m n -=+--+-=-≤-恒成立，所以数列{}n a 符合“(2)L 条件”.【小问2详解】因为0n a >，所以0q >.若1q =，则1||0||2m n a a m n -=≤-，数列{}n a 符合“1()2L 条件”；若1q >，因为数列{}n a 递增，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122n m a n a m -≤-，(*)设12n n b a n =-，由(*)式中的m ，n 任意性得数列{}n b 不递增，所以11111()(1)022n n n n n b b a a q q -++-=--=--≤，*n ∈N ，则当[2(1)]41log q n ->-时，11(1)02n q q --->，矛盾.若01q <<，则数列{}n a 单调递减，不妨设m n <，则1()2n m a a n m ≤--，即1122m n a m a n +≤+，(**)设12n n c a n =+，由(**)式中的m ，n 任意性得，数列{}n a 不递减，所以11111()(1)022n n n n n c c a a q q +++-=-+=-+≥，*n ∈N .因为01q <<时，11()(1)2n f n q q -=-+单调递增，所以1()(1)(1)02max f n f q ==-+≥，因为01q <<，所以112q ≤<.综上，公比q 的范围为1[,1]2.【小问3详解】由（2）得，11n n q S q-=-，112q ≤<，当1q =时，n S n =，要存在0k 使得0||||n m S S k n m -≤-，只要01k ≥即可.当112q ≤<时，要证数列{}n S 符合“0()L k 条件”，只要证存在00k >，使得011||11n mq q k n m q q---≤---，*n ∈N ，不妨设m n <，则只要证0(1)()m n q q k q n m ---≤，只要证00(1)(1)m m n n q k q q k q ≤+-+-.设0()(1)n n g n q k q =+-，由m ，n 的任意性，只要证00(1)()(1)(1)(1)()0n n g n g n q q k q q k q +-=-+-=--≥，只要证0n k q ≥，*n ∈N ，因为112q ≤<，所以存在0k q ≥，上式对*n ∈N 成立.所以，存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“0()L k 条件”.思路点睛：对于数列中的恒成立或存在性问题，通常结合条件进行分类讨论，构造合适的函数模型，借助函数性质进行判断.。
2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解
2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解1. 选择题（每小题4分，共40分）1. 一辆小汽车以每小时50公里的速度行驶了4小时，再以每小时80公里的速度行驶2小时。
则小汽车这段行程的平均速度是多少？解析：设小汽车行驶的总路程为D，根据速度与时间的关系，可得：50 km/h × 4 h + 80 km/h × 2 h = D。
解方程得D = 400 km + 160 km = 560 km。
所以小汽车这段行程的平均速度为560 km ÷ 6 h = 93.33 km/h。
2. 若函数f(x)=x^2+2ax+a^2与g(x)=px^2+qax+qa^2在区间[-1,1]上的图象重合，且f(x) - g(x) =x 的根的个数为3，则p+q的值为多少？解析：在区间[-1,1]上，f(x)与g(x)重合可以得到以下两个方程：f(-1) - g(-1) = -1 (1)f(1) - g(1) = 1 (2)根据函数定义可得：f(-1) = (-1)^2 + 2a(-1) + a^2 = a^2 - 2a + 1g(-1) = p(-1)^2 + qa(-1) + qa^2 = p + (1-p) a^2f(1) = (1)^2 + 2a(1) + a^2 = a^2 + 2a + 1g(1) = p(1)^2 + q(1) + qa^2 = p + (1+q) a^2将上述结果代入方程(1)和方程(2)中，可得：a^2 - 2a + 1 -[p + (1-p) a^2] = -1 (1')a^2 + 2a + 1 -[p + (1+q) a^2] = 1 (2')将方程(1')和方程(2')展开并整理得：(p - 2) a^2- 2a = 0(1+p-q) a^2 + 2a = 0根据方程(1')和方程(2')同时成立，可得：p - 2 = 0 (3)1 + p - q = 0 (4)由方程(3)得p = 2，代入方程(4)可得q = -3。
上海高三数学一模试卷
上海高三数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(-1)的值为：A. 0B. 4C. -4D. 62. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 2，公差d = 3，则a_5的值为：A. 17B. 14C. 13D. 113. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，圆心C到直线x + y - 5 = 0的距离为：A. 4B. 5C. 3D. 24. 若向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，则向量a与向量b的点积为：A. 5B. -5C. 2D. -25. 已知函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求导数y'的值为：A. 3x^2 - 12x + 9B. x^3 - 6x^2 + 9C. 3x^2 - 12x + 1D. x^3 - 6x^2 + 9x6. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B的值为：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}7. 已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)，则f(x)g(x)的值为：A. sin(x)cos(x)B. sin^2(x)C. cos^2(x)D. sin(x) + cos(x)8. 已知复数z = 3 + 4i，求|z|的值为：A. 5B. √7C. √25D. √419. 已知函数y = e^x，求y'的值为：A. e^xB. xC. 1D. ln(e)10. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，B = [[2, 0], [1, 3]]，则AB 的值为：A. [[2, 6], [7, 12]]B. [[5, 6], [3, 4]]C. [[4, 6], [3, 6]]D. [[2, 4], [6, 8]]二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
2024届上海静安区高三一模数学试卷和答案
上海静安区2023-2024学年第一学期期末教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1.准线方程为10x +=的抛物线标准方程为______．2.32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 的系数为______.3.若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是______.4.已知R a ∈，i 是虚数单位，1i a -的虚部为______.5.计算123ii +∞=⎛⎫=⎪⎝⎭∑_____________．6.某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg ，则预估该果园的苹果产量为______kg ．7.下列幂函数在区间()0,∞+上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______（请填入全部正确的序号）．①12y x =；②13y x =；③23y x =；④13y x-=．8.若不等式35x x a-+-≥对所有实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，||||2AP AB ==，||4AD =，E 是BC 上的点，直线PB 与平面PDE 所成的角是3arcsin6，则BE 的长为______.10.不等式2log 42x x +<的解集为______.11.在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需______个月．（结果取整）12.记22()ln 2f x x x kx k =+-+，若存在实数a b 、，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是______.二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13.已知α：1x >，β：11x <，则α是β的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“1212a b x x y y ⋅=+（其中1122(,),(,)x y x y ==a b ）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律．A.①③④ B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤16.记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.记22()sin cos cos ()f x x x x x x λ=-++∈R ，其中λ为实常数．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）若函数()y f x =的图像经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，求该函数在区间20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18.甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．19.已知双曲线C ：2212x y -=，点M 的坐标为()0,1．（1）设直线l 过点M ，斜率为12，它与双曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长；（2）设点P 在双曲线C 上，Q 是点P 关于y 轴的对称点．记k MP MQ =⋅，求k 的取值范围．20.如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆AB ，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知10AB =米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．（1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路l 上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点C 处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度H ；（2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆AB 似乎是由于在根部A 处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆AB 是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；（3）已知（1）中的小路l 是东西方向，且与点A 所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆AB 大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．21.如果函数()y f x =满足以下两个条件，我们就称()y f x =为L 型函数．①对任意的()0,1x ∈，总有()0f x >；②当12120,0,1x x x x >>+<时，总有1212()()()f x x f x f x +<+成立．（1）记21()2g x x =+，求证：()y g x =为L 型函数；（2）设R b ∈，记()ln()p x x b =+，若()y p x =是L 型函数，求b 的取值范围；（3）是否存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立？请说明理由．参考答案一．填空题：1、24y x =；2、6；3、π；4、211a +；5、2；6、6216；7、②；8、(,2]-∞；9、2；10、()0,4；11、10；12、9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；二．选择题：13、B ；14、C ；15、D ；16、D ；三．解答题：17、（1）()cos 22f x x x =-+π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ+．∴函数()y f x =的最小正周期为π．（2） π102f λ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴1λ=-，则π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令2π6x t -=，则π7π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．当ππ266x -=-或7π6，即0x =或2π3时，()min 2f x =-．当ππ262x -=，即π3x =时，max ()1f x =．18、设事件A 表示甲获胜，事件B 表示和棋，事件C 表示甲不输．则C A B = ．因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得()()()()P C P A B P A P B ==+ ．因为()0.9,()0.4P C P A ==，所以()0.90.40.5.P B =-=（2）设事件A 表示甲获胜，则A 表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为E ，则()()()E A A A A A A =⋂⋃⋂⋃⋂，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.所以()0.40.4(10.4)0.40.4(10.4)0.64P E =⨯+-⨯+⨯-=19、（1）直线l 的方程为112y x =+．由方程组2211,21,2y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2480x x --=．设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,8x x x x +==-，AB ===．（2）设点(),P x y ，则点Q 的坐标为(),x y -．(),1MP x y =- ，(),1MQ x y =--，∴()221k x y =-+-222221y y y =--+-+2221(1)y y y =---=-+．因为R y ∈，所以(],0k ∞∈-．20、（1）解一：(1)如图1，设点A 在水平面的投影点为O ．用测距仪测得CA m =，CB n =．在ABC 中，22100cos 20m n BAC m +-∠=，在AOC 中，22100cos 20m n OAC m +-∠=-，所以22100cos 20n m H m OAC --=∠=．解二：如图2，在平面ABC 上，以点C 为原点，向量CO为x 轴，建立平面直角坐标系xCy ，设点(),A x H ，则(),10B x H +，用测距仪测得CA m =，CB n =，则()22222210x H mx H n⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得22100.20n m H --=（2）如图，用电子尺测得CA m =，CB n =，在广场上从点C 移动至点D ，使得DB n =，再移至点E ，使得EA n =，此时再测量DA EA 、，若CA DA EA ==，则可知旗杆AB 垂直于地面，否则就是倾斜了．理由如下：已知CB DB =，CA DA =，设点M 是CD 的中点，则在等腰CBD △中，BM CD ⊥．同理AM CD ⊥，又,AM BM ⊂平面ABM ，所以AM ⊥平面ABM ；又因为AB ⊂平面ABM ，故AB CD ⊥．同理可证AB DE ⊥．综上所述，旗杆AB 垂直于地面．（3）提问：旗杆AB 向哪个方向倾斜多少角度？说明：用AB 在地平面上的投影来刻画AB 的倾斜方向是合理的，也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，用AB 与小路l 的夹角刻画扣1分．关于如何刻画AB 倾斜多少角度的问题，既可以用AB 与垂直于地面的直线所成角的大小，也可以用AB 与地平面所成角的大小来刻画．解答方案1：如图，在地面画出离点A 距离相等的点的轨迹圆O ，再在圆O 上找到离点B 距离最近的点D ，作BH 垂直于地面，垂足为H ，则ABH ∠的大小就是旗杆AB 倾斜角度．理由如下：先证明OH 与圆O 的交点既是点D ．只需证明：对于圆O 上任意一点M ，MB DB >．因为在MHD 中，ODM OMD ∠>∠，所以MH DH >，故MB DB >．如图5，从图4中的点D 向点A 的方向走到点P ，放置一个物体，测得PD 、PA 、DA 的长，利用余弦定理可得ADO ∠的大小．同理可得BDO ∠的大小．因此，可以求得图4中的BH 、AO 、DH 、DO 的长．在COD △中，三边已知，利用余弦定理可求得COD ∠，即旗杆AB 向西偏南COD ∠的方向倾斜．又由于DH 、DO 已求得，故AB 倾斜角度为arccos10DO DH-．测量倾斜角的大小方案2：如图5，从点D 向点A 的方向走到点P ，测得PD 、PA 、DA 的长，利用余弦定理可得ADO ∠的大小，从而求得A 点的高度1h ．同理可求得B 点的高度2h ．如图，1210h h +-即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度1B G．所以21AG h h =-，在Rt ABG △中，21arccos 10h h BAG -∠=即为所求，测量倾斜角的大小方案3：在图5中，以点O 为原点，以OA 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则容易求出点A 与点B 的坐标(),A A x y 与(),B B x y ，故AB 的倾斜角为arctanB AB Ay y x x --．21、（1）当()0,1x ∈时，1()02g x >>，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()2121212g x x x x +=++，()()2212121g x g x x x +=++，则()()()()2221212121212111222g x g x g x x x x x x x x +-+=++-+-=-12142x x -=，121x x >+≥∴12140x x ->，∴()()()1212g x g x g x x +>+，∴21()2g x x =+为L 型函数.（2）当()0,1x ∈时，由()()ln 00p x b >+≥得1b ≥，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()1212ln p x x x x b +=++，()()()()1212ln ln p x p x x b x b +=+++，由()()()1212p x x p x p x +<+，得()()()1212ln ln ln x x b x b x b ++<+++，即()()1212x x b x b x b ++<++，即()2121212x x b x x b x x b ++<+++，即()()212121210b b x x x x x x ++-+-+>，令()()()21212121h b b b x x x x x x =++-+-+，则对称轴()12110,22x x b -+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以()h b 在[)1,+∞上的最小值为()1h ，只要()10h >，则()0h b >，因为()()()2121212111h x x x x x x =++-+-+120x x =>，所以[)1,b ∈+∞．（3）存在，举例1：()r x =理由如下：当()0,1x ∈时，()()04r x ∈,符合()0r x >；当1>0x ，20x >，121x x +<时，()12r x x +=()()12r x r x +=，212x x =++，21212x x x x =+<++，故22<，∴<()()()1212r x x r x r x +<+，即()y r x =是L 型函数，且对任意的()0,4m ∈，存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立；举例2：()()1r x x =+；理由如下：当()0,1x ∈时，()()04r x ∈,，符合()0r x >，当1>0x ，20x >，121x x +<时，()()12121r x x x x +=++，()()()()121211r x r x x x +=+++，()()121212121111x x x x x x x x ++=+++>++ ，∴()()()1212111x x x x ++<+++，即()()()1212r x x r x r x +<+，即()y r x =是L 型函数，且对任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立.由此可知存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得等式0()r x m =成立.。
上海市高三数学一模试卷静安高考补习班新王牌.doc
第一学期高三年级数学学科静安高考补习班新王牌学习能力诊断卷（文理合卷） （考试时间：120分钟，满分150分） 一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 方程组的增广矩阵是 ______________________________ .[x + 3y = -22. 己知幂函数/（X ）的图像过点则此幂函数的解析式是/（%）=______________________ .（文）若cos 沒=1,则cos2沒 54. 若抛物线y 1 2 = 2px （p>0）的焦点与双曲线^一6点重合，则实数/2的值是 _______ .5.函数/U ）二 + 的部分图像如右图所示，则/U ）= ________________ .6. ___________________________________________________________________ （理）若71 = （1，-2）是直线/的一个法向fi,则直线/的倾斜角的大小为____________________________________________________________________________________ （文）若5 = （1，2）是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角的大小为 ________________ （结果用反三角阑数值表示）2 02X 1彡0的解为 ________________ 2 -11 >0的解为 _______________ .yj2n 0-2……XL/ x£ 10 =i 的右焦 第5题图2A +17.（理）不等式 0 3 2V +1（文）不等式2第9题囝3.（理）鵬四象限角，且sin 71则sin2^ =5q 的収值范围是./?(/? +1)limS/；—>oo11.（理）若平面向量冗满足 |5| = 1（/ = 1，2,3,4）且5.&>0（，. = 1，2,3），则值有.（文）边长为1的正方形ABCZ ）中，M 为BC 的中点，£在线段AB 上运动，则的取值范围12 53 4■垂l ■ ■ ■ ■ i ■ I ■Ao A] A2 A3 A4 A5 Ag A7 Ag A9 A JQ第14题囝二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列排列数中，等于（n —5）（zi — 6）."（n —12） （z?> 13，ne A^）的是 （ ）（A ）<_12（B ） P^_5（C ）.（D ） <1216. 在MSC 小，“cos 欠+ sin/l = cosB + sinB ” 是 “ZC = 9O 0” 的（）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件17. 若函数/（x ） = ^_在（0,+00）上单调递增，那么实数6/的取值范围是（ ）X（A ）tz>0（B ）CZ >0（C ）6Z<O（D ） a<018. （理）对于直角坐标平面沁>，内的点4（x ，y ）（不是原点），A 的“对偶点” B 是指：满足|OA||Ofi| =l 且 在射线OA 上的那个点.若p ，（2,尺，S 是在同一直线上的四个不同的点（都不是原点），则它们的“对偶10.（理）已知等比数列｛人｝的首项％ =1,公比为g （《〉0）,前n 项和为S,,,若lim• ^n+l1,则公比（文）数列｛a n ｝的通项公式a n =<（HE N f）,前n 项和为,则可能的■个.点” P,Q，R，S（）（A）一定共线（B）—定共圆（C）要么共线，要么共圆（D）既不共线，也不共圆（文）对于直角坐标平面xOy内的点A（x，y）（不是原点），A的“对偶点” B是指：.满足|OA||O6| = 1且在射线04上的那个点.则圆心在原点的圆的对偶图形（）（A）一定为圆（B）—定为椭圆（C）可能为圆，也可能为椭圆（D）既不是圆，也不是椭圆三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）已知集合A = {x\^<0},实数6/使得集合B = {x\（x-6/）（X-5）>0}满足4求6Z的取值范围.2().(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.X+ 1已知函数/(x) = log，-一.• X-1(1)判断函数/(X)的奇偶性，并证明；⑵求/(X)的反函数厂\x)，并求使得函数=厂1 U)-Iog2々有零点的实数々的取值范围.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.(理)某种型号汽车叫个轮胎半径相同，均为R = 40cm，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为I = 280cm(假定四个轮胎中心构成一个矩形).当该型号汽车开上一段上坡路ABC (如图(1)所示，其屮ZABC = a(-7r<a<7r)｝，且前轮£己在BC段上时，后轮中心在F位置；若前轮中心到达G处时, 4后轮中心在H处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路).设前轮中心在£和6处时与地面的接触点分别为S 和且fiS = 60cm, ST = 100cm.(其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，77/和的延长线交于点0，(Y求证：= 40cot —+ 60(cm)；(2)当6Z二时，后轮中心从F处移动到W处实际移动了多少厘米？(精确到lcm) 6(文)某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为/? = 40cm,该车的底盘与轮胎中心在同一水平而上.该车的涉水安全要求是：水而不能超过它的底盘岛度.如阁所示：某处有一“坑形”地而，.其中坑/U5C形成顶角为120()的等腰三角形，且= = 如果地面上有/?(^)(//<40)高的积水(此吋坑内全是水，其它因素忽略不计).(1)当轮胎与Afi、SC同时接触时，求证：此轮胎露在水而外的高度(从轮胎最上部到水而的距离)(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合寧本萃•牟睪率〉，求/?的最大伉. (精确到lcm).22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分6分.第3小题满分6分.22（理）已知椭圆c:久+4 = 1 0〉/2〉o）的一个焦点为尸（1,0），点（一1，1）在椭圆c上，点r满a~ b~2——a2—足OT=，OF（其中O为坐标原点），过点F作一直线交椭圆于尸、0两点.yja2 -b2（1）求椭圆C的方程；（2）求而积的最大值；（3）设点/为点P关于x轴的对称点，判断@与。
静安区高三数学一模试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，则其定义域为（）。
A. $(-1,1)$B. $[-1,1]$C. $(-\infty,1]$D. $(-1,\infty)$2. 若$a^2+b^2=1$，则$\sin^2a+\cos^2b$的值为（）。
A. $1$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{1}{4}$3. 在$\triangle ABC$中，若$\sin A+\sin B+\sin C=1$，则$A+B+C$的值为（）。
A. $180^\circ$B. $120^\circ$C. $90^\circ$D. $60^\circ$4. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=13$，则$a_{10}$的值为（）。
A. 21B. 24C. 27D. 305. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)$的值为（）。
A. $3x^2-3$B. $3x^2+3$C. $3x^2-6$D. $3x^2+6$6. 若$|x-2|+|x+1|=3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $[-1,2]$B. $(-\infty,-1]$C. $[2,\infty)$D. $(-\infty,1)\cup(2,\infty)$7. 已知函数$y=\log_2(x-1)$的图像在第二象限，则$x$的取值范围是（）。
A. $(1,2)$B. $(2,+\infty)$C. $(0,1)$D. $(0,+\infty)$8. 在复数域中，若$(1+i)^3=8i$，则$(1+i)^4$的值为（）。
A. $-8$B. $8$C. $-8i$D. $8i$9. 若$\overrightarrow{a}=(2,3)$，$\overrightarrow{b}=(4,-1)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值为（）。
上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 不透明箱子中装有大小相同标号为1，2，3，4，5的5个冰墩墩（北京冬奥会吉祥物），随机抽取2个冰墩墩，则被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是（ ）A．B．C．D．2. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．4B．C ．8D．3. 若函数，则函数的最小值为（ ）A．B．C．D．4. 设复数满足，则（ ）A．B ．1C．D．5. 素数对称为孪生素数，将素数17拆分成个互不相等的素数之和，其中任选2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（ ）A．B．C．D．6. 若，则（ ）A．B．C．D．7. （ ）．A．B．C．D．8. 一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（ ）A ．至多有一次中靶B ．至多有两次中靶C ．恰好有一次中靶D ．三次都中靶9.已知函数，，则下列说法不正确的有（ ）A ．若，则B．若，则C．函数的单调递增区间为D．若方程有三个不同的解，则或10. 下列结论正确的有（ ）A ．若变量y 关于变量x 的回归直线方程为，且，，则B ．若随机变量的方差，则C ．若A 、B 两组成对数据的样本相关系数分别为，，则B 组数据比A 组数据的相关性较强D．样本数据和样本数据的四分位数相同11. 已知则（ ）A．的值域为B ．是奇函数C ．若为函数的零点，且，则上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题(2)上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题(2)三、填空题四、解答题D ．的单调递增区间为12.等差数列的前项和记为，若，则成立的是（ ）A．B．的最大值是C．D ．当时，最大值为13. 已知扇形的面积为4，圆心角的弧度数是2，则该扇形的半径为________．14.设函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为．（1）在上的面积为______；（2）在上的面积为______．15. 的展开式中的系数是，则___________.16. 已知的内角，，的对边分别为，，，向量（1）当时，求的值；（2）当时，且，求的值．17.已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线.(1)求的标准方程；(2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点；(3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上.18.已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．(1)求与底面所成角的正切值；(2)点分别在和上，，过点的平面与交于G 点，确定G 点位置，使得平面平面．19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别为、的中点．（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离．20. 已知函数.证明：（1）在区间上存在唯一的零点.（2）对任意，都有.21. 已知数列的前n项和为，满足.(1)求的通项公式；(2)设的前n项和为.若对于任意恒成立，求n的取值范围.。
上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题
一、单选题1. 中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工．“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹．据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了．今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为（）．A．B ．6C．D．2. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（）A．B．C．D．3.已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位4. 函数，若实数满足，则（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85. 已知，，且，，则（ ）A．B．C．D．6. 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（）A ．10B ．12C ．14D ．16上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题二、多选题7. 已知角的终边经过点，则（ ）A．B．C．D．8. 图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则（）A．B．C．D．9. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（）A ．与垂直B ．与平行C ．点到点，，，的距离相等D ．与平面，与平面所成的角可能相等10. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切11. （多选）2020年12月26日太原地铁2号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁2号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：根据图中信息，下列结论正确的是（ ）A ．样本中男性比女性更关注地铁2号线开通B ．样本中多数女性是35岁及以上C ．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多D ．样本中35岁及以上的人对地铁2号线的开通关注度更高12. 直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则（ ）三、填空题四、解答题A ．与不垂直B ．平面C．的最小值为D ．的取值范围为13. 已知A 、B 、C 、D 为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．14. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________．15. 在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为_________．16. 已知数列为等比数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.17.计算：．18. 已知是无穷数列，对于k ，，给出三个性质：①（）；②（）；③（）(1)当时，若（），直接写出m 的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．19. 2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）乘公共电汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．(1)如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；(2)从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求的分布列和数学期望；(3)小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为公里，试写出的取值范围．（只需写出结论）20. 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD⊥B1D；（2）若BC=，求二面角B—C1D—B1的大小.21. 已知，函数．（1）若，求函数的极值点；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．（为自然对数的底数）。
上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知向量，，则 是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知曲线y ＝2sin （x ）cos（）与直线y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3. 在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为（ ）A ．平均值B ．中位数C ．众数D ．方差4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5.数列的前项和为，若，且，则（ ）A ．81B ．54C ．32D．6. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C ．2D．7. 已知且，且，且，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．8.已知函数，则的值域为（ ）A．B．C．D．9. 已知抛物线：，圆：，过点的直线与圆交于，两点，交抛物线于，两点，则满足的直线有三条的的值有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题(1)上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题(1)三、填空题四、解答题10. 已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）A．B ．复数在复平面内对应的点位于第四象限C．D ．为纯虚数11. 已知函数，则（ ）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C ．时，在区间单调递增D．时，在区间既有极大值点也有极小值点12.设函数，则下列选项正确的是（ ）A．为奇函数B．的图象关于点对称C．的最小值为D．若有两个不等实根，则，且13.在中，，为中点，，则面积的最大值为__________．14.已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为______．15. 在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是___________.16. 镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；(2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这 10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为 X ，求 X 的分布列与数学期望.17. 春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” ．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？18. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，，底面是边长为2的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且．（1）求证：∥平面;（2）求三棱锥的体积．19. 已知函数，．（1）设函数与有相同的极值点．（i）求实数a的值；（ii）若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（2）时，设函数，试判断在上零点的个数．20. 已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.21. 某高科技企业积极培养国内产业链，委托甲､乙两家工厂生产某型号元器件，已知甲､乙两工厂生产该元器件的产量之比为，次品率分别为，次品以外的元器件为正品．(1)从甲､乙两工厂生产的所有该元器件中随机抽取1个，求抽取的元器件是正品的概率；(2)该高科技企业对8个元器件进行质检，其中有3个来自甲工厂，5个来自乙工厂，从这8个元器件中随机抽取2个，放回后再随机抽取2个，求抽取的4个元器件恰好有3个来自乙工厂的概率．。
静安区数学一模高三试卷
静安区数学一模高三试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确选项的字母代号填在题后的括号内。
）1. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值为（）。
A. 1B. 0C. -1D. -22. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为（）。
A. 9B. 10C. 11D. 124. 若直线y=2x+3与直线y=-x+4平行，则它们的斜率k1和k2的关系为（）。
A. k1=k2B. k1≠k2C. k1>k2D. k1<k25. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为（）。
A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)6. 函数y=x^3-3x+1的单调递增区间为（）。
A. (-∞, +∞)B. (-∞, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, 0)∪(2, +∞)7. 已知向量a=(2, 3)，b=(-1, 2)，则向量a与向量b的点积为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数f(x)=x^2-4x+c，当x=2时，f(x)取得最小值，则c的值为（）。
A. 4B. 0C. -4D. 89. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为（）。
A. y=±xB. y=±2xC. y=±1/2xD. y=±2/x10. 已知等比数列{bn}的公比q=1/2，首项b1=8，则b3的值为（）。
A. 4B. 2C. 1D. 1/2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(a)=0，则a的值为______。
上海市静安区2022届高三一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为的直线交y 轴于点N ，交双曲线右支于点M，若，则双曲线C 的离心率为（ ）A．B．C ．2D．2.设集合.则（ ）A．B．C．D．3. 在中，，则（ ）A．B．C ．6D ．54.已知和是定义在R 上的函数，且，则“有极值点”是“和中至少有一个函数有极值点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（）A．B．C．D．6. 已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ）A ．甲组数据的第70百分位数为23B ．甲､乙两组数据的极差不相同C ．乙组数据的中位数为24.5D ．甲､乙两组数据的方差相同7. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为（ ）A ．2B ．eC．D．8. 函数的单调递减区间是（ ）A．B ．和C．D ．和9.已知在四棱锥中，底面为梯形，且的交点为，在上取一点，使得平面，四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则下面结论正确的为（ ）A．B．C ．D．10.已知函数及其导函数的定义域均为，，，且当时，，则（ ）A．B．上海市静安区2022届高三一模数学试题(1)上海市静安区2022届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题C．D．11. 已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）A．B．C．D．12. 某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（ ）A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加13. 在等比数列中，若，则___________，___________.14. 底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是______.15. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，底面BCD ，，且，，利用张衡的结论可得球O 的体积为________.16. 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）17. 2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势．电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装．某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统．(1)动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响．已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，，．（ⅰ）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；（ⅱ）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率．(2)随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平．现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访．统计了100名用户的数据，如下表：对续航能能力是否满意产品批次合计技术革新之前技术革新之后满意285785不满意12315合计4060100试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？参考公式：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．(1)若是上一点，且，证明：平面；(2)若是的中点，点满足，是线段上的任意一点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．19. 已知，其中.（1）当时，求的极值；（2）若，求的值.20. 如图1，已知等边△ABC与等腰梯形BCDE有公共边BC，AB =2，CD = DE = BE = 1.如图2，把△ABC沿BC折起，使点A到达点P处，连接PE，PD，且PE=2.(1)求证：平面PBC⊥平面BCDE；(2)求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的正弦值.21. 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．。
上海市静安区2022届高三一模数学试题
一、单选题1. 若，则的实部为（ ）A ．2B．C ．1D．2. 函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．3. 设集合，，则（ ）A．B ．M N C．D．4.函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．5. 已知函数的图象关于直线对称，且当时，.若，，，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．6. 已知集合A ＝{x|4≤≤16}，B ＝[a ，b]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是A ．(－∞，－2]B．C ．(－∞，2]D．7. 函数的大致图象是（ ）上海市静安区2022届高三一模数学试题上海市静安区2022届高三一模数学试题二、多选题三、填空题A．B．C．D．8. 在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（）A ．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定B ．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定C ．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定D ．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定9. 已知函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A ．为奇函数B ．为周期函数C ．为奇函数D ．为偶函数10.已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）A ．平均数不变B ．中位数不变C ．极差变小D ．方差变小11. 在棱长为2的正方体中，，点M为棱上一动点（可与端点重合），则（ ）A ．当点M 与点A 重合时，四点共面且B ．当点M 与点B重合时，C ．当点M为棱的中点时，平面D ．直线与平面所成角的正弦值存在最小值12.已知函数，则（ ）A．有两个零点B ．过坐标原点可作曲线的切线C．有唯一极值点D ．曲线上存在三条互相平行的切线13. 以点为圆心，且被轴截得的弦长为的圆的方程为_____________.14. 设平面向量，，若与的夹角为，则_____________．15.已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．四、解答题16. 若函数为奇函数，且时有极小值.（1）求实数的值与实数的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围.17. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求到平面的距离18. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间上的最大值与最小值之差为，求的最小值．19. 圆锥底面积为，母线与底面所的成角为，求它的体积．20. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.21. 已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若，都有，求实数m的取值范围.。
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第一学期高三年级数学学科静安高考补习班新王牌学习能力诊断卷 （文理合卷）（考试时间：120分钟，满分150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.3．（理）若θ为第四象限角，且4sin 25πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=___________. （文）若4cos 5θ=，则=θ2cos ___________. 4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.6．（理）若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________. （文）若(1,2)n =是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________.(结果用反三角函数值表示)7．（理）不等式21200210321x x +-≥的解为 . （文）不等式21022x x+≥ 1 的解为 .8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．（理）已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 .（文）数列{}n a 的通项公式*1 , 1()1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩，前n 项和为n S ，则l i m n n S →∞=_____________.11. （理）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++ 可能的值有____________个.（文）边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是____________.12．（理）在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB 的中点，若2,23AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________.（文）函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.13．（理）函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.（文）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++ 的最大值为 .14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去，（理）那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.（文）那么标到10这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈ 的是 （ ）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的 （ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是 （ ）(A)0a ≥(B)0a >(C)0a ≤(D) 0a <18．（理）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S （ ） (A) 一定共线 (B) 一定共圆(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆（文）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y （不是原点），A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形 （ ） (A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆， 求a 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =21log 1x x +-. (1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；(2)求)(x f 的反函数)(1x f -，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40R cm =，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280l cm = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中ABC α∠=(34παπ<<)）,且前轮E 已在BC 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心到达G 处时，后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处时与地面的接触点分别为S和T ，且60BS cm =,100ST cm =. (其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，FH 和GE 的延长线交于点O ，求证：40cot602OE α=+(cm)；(2)当α=56π时，后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为40R cm =，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求．．．．．．是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC 形成顶角为0120的等腰三角形，且60AB BC cm ==，如果地面上有()h cm (40h <)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1) 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为803103d h =+-； (2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求．．．．．．)，求h 的最大值. (精确到1cm).22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.（理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点2(1,)2-在椭圆C 上，点T 满足222a OT OF ab =⋅-（其中O 为坐标原点），过点F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点 . (1)求椭圆C 的方程； (2)求PQT ∆面积的最大值；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT的位置关系，并说明理由.（文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点2(1,)2-在椭圆C 上，点T 满足222a OT OF ab =⋅-（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT的位置关系，并说明理由.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.（理）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<.(1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确； (3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.（文）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .(1) 若135,,a a a 成等比数列,求d 的值；(2) 在11a =, 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在，请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ，公比为正整数q (1q >)的无穷等比数 列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”. 于是，他在数列{}n c 中任取三项,,()k m n c c c k m n <<，由k n c c +与2m c 的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？。