竞赛讲座 07面积问题和面积方法
面积问题与面积方法
面积问题与面积方法
面积是指物体表面积积的大小，是一个重要的数学概念。
它可以用来衡量物体的大小，也
可以用来衡量物体的形状。
面积的计算是一个重要的数学问题，有许多不同的方法可以用
来计算面积。
首先，最常用的方法是直接测量法。
这种方法可以用来测量任何形状的物体的面积，只要
有一个可以测量的基准尺寸，就可以用来计算物体的面积。
例如，可以用一张纸来测量一
个正方形的面积，只要知道纸的长宽，就可以计算出正方形的面积。
其次，可以使用几何公式来计算面积。
几何公式是一种特殊的数学公式，可以用来计算特
定形状的物体的面积。
例如，可以使用三角形面积公式来计算三角形的面积，只要知道三
角形的三条边，就可以计算出三角形的面积。
最后，还可以使用数学积分来计算面积。
数学积分是一种特殊的数学方法，可以用来计算
任意形状的物体的面积。
例如，可以使用数学积分来计算圆形的面积，只要知道圆的半径，就可以计算出圆形的面积。
总之，面积是一个重要的数学概念，有许多不同的方法可以用来计算面积。
最常用的方法是直接测量法，也可以使用几何公式和数学积分来计算面积。
数学竞赛中的面积问题与面积方法（一）
数学竞赛中的面积问题与面积方法（一）
四川泸州朱勇
数学中高考与竞赛试题中常常会出现三角形面积问题，本文将给大家介绍一些面积问题的处理方式。
便于解题，考生应掌握如下三角形面积公式：
下面来看几个面积问题
这个试题抓等底（或等高)的两个三角形的面积比等于其上高（或是底）的长的比，我们再来看一个试题
方法1
方法2
这些处理方式可固化为经典“模型”，我们再来看看下边这个试题。
方法1
方法2
古人云：“道不远人”，道理、真理往往是最基础、最朴素的！。
竞赛讲座——简单的面积问题
竞赛讲座——简单的面积问题几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一．平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法：1．和差法把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算．2．运动法有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解．3．等积变形法即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积．例题【例1】(1)如图a，边长为3cm，与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是cm2(π取3)．( “希望杯”邀请赛试题)(2)如果图b中4个圆的半径都为a，那么阴影部分的面积为．(江苏省竞赛题)思路点拨通过连结或补形，把图形进行分割和重新组合，变不规则图形为规则图形．(1)连AC、BF．S是由ABCD围成阴影面积的6倍．(2)连AD，BC，CD，则阴影注：促使面积比与对应线段比之间的相互转化．是求图形面积的一个常用技巧，解题的关键是加强对图形结构的分析，寻找，共高或共底的三角形．【例2】如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知ΔAOB和ΔBOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是m2．A．144 B．140 C．160 D．无法确定( “五羊杯”邀请赛试题)思路点拨图形隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积只需求ΔDOC的面积，解题的关键是通过线段的比把三角形面积联系起来．【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据，求△ABC的面积．(新加坡数学竞赛题) 思路点拨设S△AGE＝x，S△BFG=y，建立关x，y的方程组，通过代数化解题．【例4】如图，△ABC的面积为1，D、E为AC的三等分点，F、G为BC的三等分点．求：(1)四边形PECF的面积；(2)四边形PFGN的面积．思路点拨(1)连CP，设S△FCF=x，S△FCE=y，可建立关于x，y的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用于x，y的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；(2)连NC，仿(1)，先求出△BNC的面积，再得出△BNG面积，进而可求四边形PFGN的面积．注：求一些关系复杂的图形面积，代数化是一个重要技巧，利用代数化，能清晰明朗地表示图形面积之间的关系，从而可以化解或降低问题的难度．【例5】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形．请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗?思路点拨本例是一道开放式探索性问题，若没有规律性的认识，则难免遗漏或重复，适当的方法是：选择一些图形作基本图形，再通过基本图形的组合尽可能多地找出解答．学力训练1．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积是．(山西省中考题)2．如图，4个半径为lcm的圆相靠着放在一个正方形内，则阴影部分的面积是cm2(精确到0．01)．3．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若ABDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是 平方厘米．4．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积 是 ．(“五羊杯”竞赛题)5．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 分成四个小长方形，如果其中图形I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A ．29B ．27C ．310D ．815 (江苏省竞赛题)6．如图．正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形(阴影部分)的面积为( )．A ．22a a -πB ．222a a -π C ．2221a a -π D ．2241a a π-（广东省中考题)7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，F 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD ＝2DC ， S △GEC ＝3，S △GDC ＝4，则△ABC 的面积是( )．A ．25B ．30C ．35D ．40(2002年湖北省荆州市中考题)8．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S 1、S 2、…S 8，试比较S 3与S 2+S 7+S 8的大小，并说明理由．(江苏省竞赛题)9．将△ABC 分成面积相等的5部分，并指出面积相等的是哪5部分(只在图上保留分割痕迹和必要的标注，不写作法)．10．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则每个直角三角形的两条边的立方和等于 ．11．如图，在长方形ABCD 中，DM ：MC=2：1，AN ＝a ，NB ＝b ，DN 是以A 为圆心，a 为半径的一段圆弧，NK 是以B 为圆心，b 为半径的一段圆弧，则阴影部分的面积S 阴= ．(广西竞赛题)12．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，S △BCE =2S △CDF ＝41S ABCD =1，则S △CEF = ．( “希望杯”邀请赛试题)13．如图，三角形ABC 的面积为1，BD ：DC ＝2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为 ．(江苏省竞赛题)14．如图，点E 、F 分别是长方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，设AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 长方形四边形=（ ）．(全国数学竞赛题)A ．65 B ．54 C ．43 D ．3215．如图，凸四边形AB(0中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2， 三角形OOD 的面积是l ，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是( )．A ．16 D ．15 C ．14 D ．13 ( “希望杯”邀请赛试题) 16． 如图，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC =S △ACE ，则S △ADE ( )． A ．51 B ．61 C ．71 D ．81 17．己如，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB=BD ，BC=CE ，CA ＝AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积．18．如图，已知长方形的面积是36平方厘米，在边AB、AD上分别取点E、F，使得AE=3EB，DF＝2AF，DE与CF的交点为O，求△FOD的面积．(第1l届“希望杯”邀请赛试题) 19．有一个正方形的花坛，现要将它分成面积相同的8块，分别种上不同颜色的花．(1)如果要求这样分成的8块的形状也相同，请你画出几种设计方案；(2)为了画出更多的设计方案，你能从中找出，—些规律吗?(3)如果要8块中的每4块形状相同，应如何设计?试尽可能精确地画出你的创意．20．如图，已知四边形ABCD面积为S，E、F为AB的三等分点，M、N为DC的三等分点．试用S的代数式表示四边形EFNM的面积．参考答案。
小学数学知识竞赛的面积与体积计算技巧
小学数学知识竞赛的面积与体积计算技巧在小学数学竞赛中，面积与体积的计算是一个常见的考点。
掌握好计算面积与体积的技巧，不仅可以在竞赛中取得好成绩，也能帮助我们更好地理解几何概念。
下面将介绍一些小学数学竞赛中常用的面积与体积计算技巧。
一、矩形的面积计算技巧矩形的面积是指平行四边形两个相邻边长的乘积，可以用公式S =长 ×宽来表示。
在计算矩形面积时，我们需要注意单位的一致性，确保长度的单位与面积的单位相匹配。
例题一：一个长方形的长为5厘米，宽为3厘米，求长方形的面积。
解：根据面积的计算公式，面积S = 5厘米 × 3厘米 = 15平方厘米。
答案是15平方厘米。
二、三角形的面积计算技巧三角形是数学竞赛中另一个常见的几何形状。
计算三角形的面积常用的方法有两种：一种是使用底边和高的乘积再除以2，即S = 底边 ×高 ÷ 2；另一种是使用海伦公式，适用于已知三边长的情况，S = √p × (p - a) × (p - b) × (p - c)，其中p为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三边长。
例题二：一个底边为6厘米，高为4厘米的三角形，求三角形的面积。
米。
答案是12平方厘米。
例题三：一个边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的三角形，求三角形的面积。
解：根据海伦公式，p = (3厘米 + 4厘米 + 5厘米) ÷ 2 = 6厘米。
面积S = √6厘米 × (6厘米 - 3厘米) × (6厘米 - 4厘米) × (6厘米 - 5厘米) = √6厘米 × 3厘米 × 2厘米 × 1厘米 = 6平方厘米。
答案是6平方厘米。
三、长方体的体积计算技巧长方体是一个立体几何体，它的体积是指三个相邻边长的乘积，可以用公式V = 长 ×宽 ×高来表示。
与计算面积类似，我们在计算长方体体积时，也需要注意单位的一致性。
竞赛讲座 07面积问题和面积方法
竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式： （1）a ABC ah S 21=∆； （2）A bc S ABC sin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ （4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21 （5）Rabc S ABC 4=∆ （6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B C B a S ABC +=∆ （8）)(21a c b r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC ++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S QAB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则CA B A AC AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+． 例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB DEA CDE BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC 的面积．求证：2132S S ≥． 例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍；（2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABC PQRS S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bc a IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =， 3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECN AC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切． 训练题1．设A B C ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41． 4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积． 5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作AD BE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长．7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2． 8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤． 9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值．10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：C BD A D C B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLG KF LF =． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．。
面积问题与面积方法
面积问题与面积方法面积是几何学中的一个重要概念，它描述的是二维平面上的一个区域的大小。
面积问题是与面积相关的数学问题，可以通过不同的面积方法来解决。
面积是一个物体所占据的平面区域的大小。
一般来说，平面上的物体可以被划分为无数个小的矩形、三角形或其他形状的小块，这些小块的面积可以通过不同方法来计算。
以下将介绍几种常见的面积计算方法。
1.矩形面积方法：矩形是最简单的平面图形之一，其面积可以通过公式A=l×w来计算，其中A代表面积，l代表矩形的长度，w代表矩形的宽度。
根据这个公式，我们可以得出一个矩形的面积。
2.三角形面积方法：三角形是另一个常见的平面图形，其面积可以通过两个边长和夹角来计算。
如果已知三角形的底边长度b和对应的高h，可以使用公式A=0.5×b×h计算三角形的面积。
3.梯形面积方法：梯形是一个具有两个平行边的四边形，其面积可以通过两个平行边的长度和梯形的高来计算。
如果已知梯形的上底长a、下底长b和高h，可以使用公式A=0.5×(a+b)×h计算梯形的面积。
4.圆形面积方法：以上介绍了几种常见的面积方法，但实际上还有更多的面积计算方法，例如多边形的面积计算、不规则图形的面积计算等。
不同的图形有不同的面积计算方法，因此在解决面积问题时需要灵活运用不同的方法。
除了基本的面积计算方法外，还有一些面积问题需要通过一些特殊的技巧来解决。
例如，在解决复杂图形的面积问题时，可以通过将图形分割为较简单的几何图形来计算每个部分的面积，然后将这些部分的面积相加得到整个图形的面积。
这种方法被称为分割法。
另一个常见的面积问题是求解一个围成的区域的面积。
例如，给定一条曲线的方程，可以通过求解曲线与坐标轴之间的交点，然后计算每个小的矩形或三角形的面积，并将它们相加得到整个区域的面积。
面积问题在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，设计师需要计算房间的面积以确定材料的用量；在农业中，农民需要计算土地的面积以确定农作物的种植面积；在地理学中，需要计算地图上国家或城市的面积以了解其大小等。
小学数学竞赛中的面积和体积
小学数学竞赛中的面积和体积在小学数学竞赛中，面积和体积是重要的概念和题目类型。
面积和体积是几何学中的基本知识，而且在生活中也有广泛的应用。
本文将从小学生的角度出发，介绍面积和体积的概念、计算方法和一些应用例题。
一、面积的概念与计算方法面积是平面图形所占的大小，通常用单位平方来表示。
计算面积的方法有所不同，取决于图形的形状。
下面我们将介绍常见图形的面积计算方法。
1. 正方形的面积正方形是具有四条相等边长并且四个角为直角的图形。
正方形的面积计算公式是边长的平方，即S = a^2。
例如，一片边长为5厘米的正方形的面积是25平方厘米。
2. 矩形的面积矩形是具有两组相等的对边并且四个角都是直角的图形。
矩形的面积计算公式是长乘以宽，即S = l × w。
比如，一块长为6厘米、宽为4厘米的矩形区域的面积是24平方厘米。
3. 三角形的面积三角形是由三条边和三个内角组成的图形。
计算三角形面积的常用公式是海伦公式或底乘以高的一半，即S = 1/2 × b × h。
其中，b表示底边的长度，h表示凭高的长度。
比如，一个底边长为6厘米，高为3厘米的三角形的面积是9平方厘米。
4. 圆的面积圆是一个平面上到一个固定点的距离等于该平面上任意一点到该固定点的距离的所有点的轨迹。
圆的面积计算公式是πr^2，其中π是一个数值近似等于3.14，而r表示圆的半径长度。
例如，一个半径为2厘米的圆的面积约为12.56平方厘米。
二、体积的概念与计算方法体积是立体图形所占的空间大小，通常用单位立方来表示。
下面我们将介绍常见立体图形的体积计算方法。
1. 立方体的体积立方体是六个相等正方形组成的立体。
立方体的体积计算公式是边长的立方，即V = a^3。
例如，一块边长为3厘米的立方体的体积是27立方厘米。
2. 长方体的体积长方体是由六个矩形面组成的立体。
长方体的体积计算公式是长乘以宽乘以高，即V = l × w × h。
《数学奥林匹克专题讲座》第07讲 图形与面积
7讲图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABC-S△ABC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分还有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
解法1：把六边形分成6块：△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。
初中数学竞赛：面积问题与面积方法
(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则SABCD=____．
△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．
所以
同理可得
从①，②，③中可以解得
所以
例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰
解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
证首先，同例2类似，容易证明
说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．
6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：
7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．
初中数学竞赛：面积问题与面积方法
几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．
八年级数学竞赛讲座面积问题评说附答案
第二十六讲 面积问题评说平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题． 3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比． 熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比． 例题求解【例1】 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为213，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S = ．(山东省竞赛题)思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S △AOD =S △BOC =21S S ，S 梯形ABCD=S 1+S 2+212S S =221)(S S +(读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD 的面积．【例2】 如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE=6，那么△ABC 的面积等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18 (全国初中数学联赛试题)思路点拨 由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE 面积即可．【例3】如图，P 、Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，AP 与CQ 相交于点E ，且∠PAD=∠QAD ，求证：S 矩形ABCD =S △APQ ． (重庆市竞赛题)思路点拨 把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．【例4】 如图甲，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC =2DBCDAC S S ∆∆+·(1)如图乙，若图甲中AB 不平行CD ，①式是否成立?请说明理由；(2)如图丙，若图甲中A 月与CD 相交于点O 时，问S △DMC 和S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系?试证明你的结论． (安徽省中考题)思路点拨 对于(1)，因△DMC 、△DAC 、△DBC 同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M 为AB 中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 的等式寻找它们的关系．注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．【例5】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ． 求证：（1）1=++CF PF BE PE AD PD ；（2）2=++CFPCBE PB AD PA ．思路点拨 过P 点、A 点分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．注 有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法． 用面积法解题的基本步骤是：(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式． (2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试．学力训练1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株． (第14届“希望杯”邀请赛试题)2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 ． (2003年上海市中考题)3．如图，在△ABC 中，∠B =∠CAD ，23=AC BD ，则CAD ABD S S ∆∆= ．(重庆市竞赛题)4．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD=b(a<b)，对角线AC 与BD 相交于O ，△BOC 的面积为梯形ABCD 的面积的92，则ba= ． 5．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．42 B ．43 C ．4 D ．6 (湖北省荆州市中考题)6．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则厶BPD 的面积为( ) A ．41 B ．413- C ．81D ．8132- (武汉市选拔赛题)7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、AB 为边，在△ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ，作CK ⊥AB 分别交AB 和GH 于D 和K ，则正方形ACEF 的面积S 1与矩形AGKD 的面积S 2的大小关系为( ) A ．S 1=S 2 B ．S 1＞S 2 C ．S 1＜S 2 D ．不能确定，与ABAC的大小有关 (2002年8．有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图)，其中AB＝110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)9．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．(2000年山东省竞赛题)10．如图，已知梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，△OCD的面积为11cm2，求蝶形(阴影部分)的面积．11．探究规律：如图a，已知：直线m∥ n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．(1)请写出图a中，面积相等的各对三角形；(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC 的面积相等．理由是：．解决问题：如图b，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c中折线CDE)还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积)(1)写出设计方案，并在图c 中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由． (河北省中考题)12．如图，△ABC 中，AD 与BE 相交于F ，已知S △AFB =12cm 2，S △BFD =9cm 2，S △AFE =6cm 2，那么四边形CDFE 的面积为 cm 2．(我爱数学夏令营竞赛题)13．如图，分别延长△ABC 的三边AB 、BC 、CA 至A ′、B ′、C ′，使得AA ′=3AB ，BB ′=3BC ，CC ′=3AC ，若S △ABC =1，则S △A'B'C'= ．14．如图，设△ABC 的面积是1，D 是边BC 上一点，且21DC BD ，若在边AC 上取一点，使四边形ABDE 的面积为54，则ECAE 的值为 ． (天津市竞赛题) 15．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． (全国初中数学联赛试题)16．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连结AF 、CE ，设AF 与CE 的交点为G ，则A B C DA G C D S S 矩形四边形等于( ) A ．65B ．54C ．43D ．32(全国初中数学竞赛题)17．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( )A ．50B ．62C ．65D ．68 (山东省竞赛题)18．如图，在△ADC 中，EF ∥BC ，S △AEF =S △BCE ，若S △ABC =1，则S △CEF 等于( ) A ．41 B ．51C ．25-D ．233- (四川省竞赛题) 19．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( )A ．165° D ．135° C ． 150° D ．120° (“希望杯”邀请赛试题)20．如图，在锐角△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的三等分点，P 、Q 、R 分别是△ADF 、△BDE 、△CEF 的三条中线的交点． (1)求△DEF 与△ABC 的面积比； (2)求△PDF 与△ADF 的面积比；(3)求多边形PDQERF 与△ABC 的面积比．( “希望杯”邀请赛试题)21．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 的中点分别为K 、M ， 求证：S 四边形ABCD =S △ABM +S △DCK ．22．如图，已知D 、E 、F 分别是锐角△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于P 点，AP=BP=CP=6，设PD =x ，PE=y ，PF=z ，若xy+yz+ z x=28，求xyz 的值．23．如图，在△ABC 中是否存在一点P ，使得过P 点的任意一直线都将△ABC 分成等积的两部分?为什么? 24．如图，以△ABC 的三边为边向形外分别作正方形ABDE ，CAFG ，BCHK ，连结EF ，GH ，KD ，求证：以E F ，GH ，KD 为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC 面积的3倍． (北京市竞赛题)思考 如图，设G(也称重心)为△ABC 三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则2===GFCGGE BG GD AG ，请读者证明．。
初中数学 面积问题与面积方法
面积问题与面积方法[赛点突破] 1．利用面积关系解决几何问题，古已有之，最典型的例子就是勾股定理的许多采用面积割补的证明。
在数学竞赛中，有些问题是要求出指定图形的面积，也有些问题从表面上看似乎不直接涉及到面积，但若用等积变换与面积法去解答，往往会收到事半功倍的效果。
在运用等积变换与面积法时，常常用到以下的公式和定理。
2．中，设为a边上的高，R、r分别为外接圆、内切圆的半径， ABC ABC h a1，则p=(a+b+c)211 S=ah=absinC DABCa22 =rp=p(p-a)(p-b)(p-c)abc2 =2RsinAsinBsinC=4R 三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。
3．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。
4．共角定理 ×SABBCDABC 若与相等或互补，则。
ÐABCÐA'B'C'=×SA'B'B'C'DA'B'C' 5．共边定理 SPMDPAB= 如图，若直线AB与PQ相交于M，则。
SQMDQABP P Q MAB MBA Q 图25—1 1[范例解密] 例1 已知：如图，P是△中平分线上的任一点，过C作CE∥PB交ABCÐBAC AB的延长线于E，过B作BF∥PC交AC的延长线于F。
求证：。
BE=CF分析：利用角平分线性质得到距离相等，结合A等底等高的两个三角形面积相等，将问题转化为等积问题。
证明：连结PE、PF P∵ CE∥PB，BF∥PC CBD∴S=S , S=SDPBEDPBCDPCFDPBC∴S=SEDPBEDPCFF又∵P是平分线上的点ÐBAC图25—2 ∴P到BE及CF的距离相等即的边BE上的高等于的边CF上的高DPCFDPBE∴BE=CF评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。
奥数竞赛面积计算公式
奥数竞赛面积计算公式在数学竞赛中，面积计算是一个常见的题型，也是考察学生对几何知识掌握程度的重要指标。
在奥数竞赛中，面积计算题目往往涉及到各种不规则图形的面积计算，需要学生灵活运用所学的面积计算公式来解题。
本文将介绍一些常见的面积计算公式，并通过例题来演示如何运用这些公式来解决奥数竞赛中的面积计算题目。
首先，我们来看一些常见的图形的面积计算公式。
1. 矩形的面积计算公式。
矩形是最简单的几何图形之一，其面积计算公式为，面积 = 长×宽。
这个公式非常简单，只需要将矩形的长和宽代入公式即可得到矩形的面积。
2. 正方形的面积计算公式。
正方形是一种特殊的矩形，其面积计算公式与矩形相同，面积= 边长×边长。
也就是说，正方形的面积就是边长的平方。
3. 三角形的面积计算公式。
三角形是另一种常见的几何图形，其面积计算公式为，面积 = 底×高 / 2。
其中，底代表三角形的底边长，高代表三角形的高。
4. 圆的面积计算公式。
圆是一个非常特殊的几何图形，其面积计算公式为，面积= π×半径的平方。
其中，π是一个无理数，约等于3.14，半径代表圆的半径长度。
除了上述常见图形的面积计算公式外，还有一些其他不规则图形的面积计算公式，例如梯形、圆环等，这里不一一列举。
接下来，我们通过一些例题来演示如何运用这些面积计算公式来解决奥数竞赛中的面积计算题目。
例题1，一个矩形的长为5厘米，宽为3厘米，求其面积。
解，根据矩形的面积计算公式，面积 = 长×宽，代入长和宽的数值，得到面积 = 5 × 3 = 15（平方厘米）。
因此，这个矩形的面积为15平方厘米。
例题2，一个半径为4厘米的圆的面积是多少？解，根据圆的面积计算公式，面积 = π×半径的平方，代入半径的数值，得到面积 = 3.14 × 4 × 4 = 50.24（平方厘米）。
因此，这个圆的面积约为50.24平方厘米。
初中数学竞赛教程及练习之面积法附答案
面积法一、内容提翼.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
运用面积公式及有关面积性质定理解答儿何题是常用的方法，简称面积法。
.面积公式（略）两个三角形的面积比定理.等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比.有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比.相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比K a A如图△ABC和AADC有公共边AC,氽M内分BD o第三顶点连线BD被公共边AC/l\/\内分或外分于点M,//X.则』空十尸汶4。
‘△ADC MD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，ZDAC=30°求证：ab2=acxbd证明：作高DE,VZDAE=30°.•.de=L ad=L ab S22S菱形abcd=ACXBD./.AB2=ACXBD.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：AABC中，AB=BC=AC,D是形内任一点,DE±BC.DF_LAC,DG±AB,E, F.G是垂足求证：DE+DF+DG是一个定值证明：连结DA,DB.DC,设边长为a,‘△abc=S mbc+S adca+S adabC lah a=-J-a(DE+DF+DG)22.•.DE+DF+DGf...等边三角形的高h,是一个定值，...DE+DF+DG是一个定值本题可推广到任意正n边形，其定值是边心距的n倍f aAD BE CF 1已知：AABC 中，——=——=——=-AB BC CA 3求：萨虬的值'△ABCBE （本题可推广到:1—,---=—，m BC n 竺=顼CA p'△DEh mn P + "1 + 〃 + p - mn - nip - np )S A abc mnP如图RtAABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积X 。
三年级数学奥数讲座面积计算
数学奥数讲座，面积计算尊敬的老师、亲爱的同学们：大家好！我是今天的讲座主讲人，我将为大家带来有关面积计算的数学奥数内容。
希望通过这次讲座，能够让大家对面积的计算方法有更深入的理解，提高自己在数学方面的能力。
首先，我们先来回顾一下面积的概念。
大家知道，面积是一个物体表面所占据的空间，用来表示物体的大小。
在数学中，面积通常用单位平方来衡量，比如平方米（㎡）、平方分米（㎡dm2）、平方厘米（㎡cm2）等。
接下来，我们将介绍一些常见的图形的面积计算方法，使大家能够更好地应用在实际问题中。
首先，我们来讲解矩形的面积计算。
矩形的面积等于它的长乘以宽，即面积等于长×宽。
例如，如果一个矩形的长为8米，宽为5米，那么它的面积就是8×5=40（㎡）。
大家可以通过实际测量长和宽，或者通过已知的数据来计算矩形的面积。
其次，我们来讲解三角形的面积计算。
对于一个三角形，我们可以使用下述公式来计算其面积：面积=底×高÷2、其中，底表示三角形底边的长度，高表示从底边到与底边垂直的顶点的线段的长度。
例如，如果一个三角形的底长为6米，高为4米，那么它的面积就是6×4÷2=12（㎡）。
同样，我们可以通过实际测量得到三角形的底和高，或者通过已知的数据进行计算。
在计算多边形的面积时，我们通常采用分解法。
我们可以将多边形分解成若干个矩形和三角形，然后分别计算每个小图形的面积，最后将它们的面积相加，就能得到整个多边形的面积。
例如，在计算一个梯形的面积时，我们可以将其分解成一个矩形和两个三角形，然后计算出每个小图形的面积，最后相加。
这样，我们就能得到整个梯形的面积。
最后，我想强调面积计算的重要性。
面积是数学中一个基本的概念，它与我们的日常生活息息相关。
无论是做几何题还是应用计算面积解决实际问题，在数学学习和应用中，面积都起着重要的作用。
因此，我们要努力掌握面积计算的各种方法，做到灵活运用。
初中数学竞赛专题选讲-面积法
初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。
2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 ② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。
如图△ABC 和△ADC 有公共边第三顶点连线BD 被公共边AC内分或外分于点M ，则MDBM S ADC ABC ＝△△S外分定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD 中， ∠DAC ＝ 求证：AB 2＝AC ×BD证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30∴DE ＝21AD ＝21AB S 菱形ABCD ＝AB ×DE ＝21AB 2S 菱形ABCD ＝AC ×BD ， ∴AB 2＝AC ×BDDC B C A C例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a,S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB21ah a ＝21a （DE ＋DF ＋DG ） ∴DE ＋DF ＋DG ＝h a∵等边三角形的高h a 是一个定值， ∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍例3. 已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD 求：ABCDEF S △△S 的值 解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A∴ABC ADF S △△S ＝AC AB AF AD ⋅⋅＝AC AB AC 32AB 31⋅⋅＝92， 同理92S ABC BED ＝△△S ， ABC CFE S S △△＝92， ∴ABC DEF S △△S ＝31 （本题可推广到：当m AB AD 1=，n BC BE 1=，=CA CF p 1时， ABCDEF S △△S ＝mnp np mp mn p n m mnp ---+++） 例4. 如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。
面积问题与面积方法4
面积问题与面积方法一．基本知识㈠．三角形的面积公式在ABC ∆中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，三边上的高分别为,,a b c h h h ，半周长为p ，外接圆、内切圆以及a 边上的旁切圆的半径分别为,,a R r r ，面积为S ，则⑴111222a b c S ah bh ch ===； ⑵111sin sin sin 222S bc A ca B ab C ===； ⑶S =； ⑷22sin sin sin 4abcS R A B C R==；⑸()12S a b c r pr =++=； ⑹()12a S b c a r =+-。
㈡．三角形的面积比定理⑴等底（或等高）的两个三角形面积的比等于其上的高（或底）的比； ⑵两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方；⑶（共边比例定理）如果PAB ∆与QAB ∆的公共边AB 所在的直线与直线PQ 相交于点M ，那么::PAB QAB S S PM QM ∆∆=；⑷（共角比例定理）在ABC ∆和A B C '''∆中，如果A A '∠=∠或0180A A '∠+∠=，那么()()::ABC A B C S S AB AC A B A C '''∆∆''''=⋅⋅。
二．基本例题 ㈠．面积问题例1．设凸四边形ABCD 的边,BA CD 的延长线相交于G ，对角线,AC BD 的中点分别为,E F ，求证：4GEF ABCD S S ∆=。
分析：如图，()GEF GCF GCE CEF S S S S ∆∆∆∆=-+，而12GCF GBC S S ∆∆=，1122GCE CEF GAC CAF S S S S ∆∆∆∆+=+，因此1124GEF ABCF ABCD S S S ∆==，从而得证。
本题还可以引申：在凸四边形ABCD 中，两组对边,BA CD 以及,DA CB 的延长线分别相交于,G H ，并且,,AC BD GH 的中点分别为,,E F K ，则,,E F K 在一条直线（牛顿线）上。
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竞赛讲座07
--面积问题和面积方法
基础知识
1．面积公式
由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．
设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，)(2
1c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式： （1）a ABC ah S 2
1=∆； （2）A bc S ABC sin 2
1=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=
∆ （4）pr c b a r S ABC =++=
∆)(21 （5）R
abc S ABC 4=∆ （6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆
（7）)
sin(2sin sin 2C B C B a S ABC +=∆ （8）)(2
1a c b r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC
++=∆ 2．面积定理
（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；
（2）两个全等形的面积相等；
（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；
（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；
（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；
（6）共边比例定理：若△PAB 和△Q A B 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S Q AB PAB ::=∆∆；
（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则C A B A AC AB S S C B A ABC '
'⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，
β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，。