九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.5因式分解法教案新版新人教版
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法_1
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第十八页，共三十一页。
解：(1)x1＝3，x2＝23. (2)x1＝－23，x2＝23. (3)x1＝－13，x2＝1. (4)x1＝3，x2＝14.
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4．按要求或选择适当的方法解下列方程： (1)x2－5x＋1＝0(用配方法)； (2)3(x－2)2＝x(x－2)； (3)2x2－2 2x－5＝0(用公式法)； (4)2(x－3)2＝x2－9.
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5．[2018·天水]若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0 的一个根是 0， 则 k 的值是 0 .
6．[2017·湘潭]将多项式乘法(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab 从右到左使用， 即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
【点悟】 配方法、公式法适用于所有的一元二次方程．如果方程可以用直接 开平方法或因式分解法，那么一般用直接开平方法或因式分解法能使过程更简便．
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当堂测评
1．方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
解：原方程变形为(2x－1)2＝2x(1－2x)， 即(2x－1)2＝－2x(2x－1)， (2x－1)2＋2x(2x－1)＝0， (2x－1)(2x－1＋2x)＝0， 2x－1＝0 或 2x－1＋2x＝0， ∴x1＝12，x2＝14.
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3．用因式分解法解下列方程： (1)[2018·齐齐哈尔]2(x－3)＝3x(x－3)； (2)9x2－4＝0； (3)(3x－1)2－4＝0； (4)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)．
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法(听课)课
21.2.3 因式分解法
解：(1)原方程可化为(x－5)2＝4， ∴x－5＝±2，∴x1＝7，x2＝3. (2)∵b2－4ac＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，
－2± 40
－1＋ 10
－1－ 10
∴x＝ 2×3 ， ∴x1＝
3
，x2＝
3
.
(3)原方程可化为(x＋ 2)(x＋ 3)＝0，
∴x＋ 2＝0 或 x＋ 3＝0，∴x1＝－ 2，x2＝－ 3.
21.2.3 因式分解法
目标二 能选择合适的方法解一元二次方程
例 2 教材补充例题 选择合适的方法解一元二次方程：
(1)4(x－5)2＝16; (2)3x2＋2x－3＝0； (3)x2＋ 2x＝－ 3(x＋ 2)．
[解析] 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法； (2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．
21.2.3 因式分解法
【归纳总结】一元二次方程的解法选择： 1．选择顺序：直接开平方法——因式分解法——公式法(或配方 法)． 2．若方程为(mx＋n)2＝p(p≥0)型，则用直接开平方法． 3．若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积，则可用 因式分解法． 4．若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则可用配方法． 5．公式法和配方法可解任意的一元二次方程．
21.2.3 因式分解法
解：(1)因式分解，得 x(3x－5)＝0，于是得 x＝0 或 3x－5＝0， 5
所以 x1＝0，x2＝3. (2)因式分解，得(x－3)(x＋4)＝0，于是得 x－3＝0 或 x＋4＝0， 所以 x1＝3，x2＝－4.
21.2.3 因式分解法
(3)因式分解，得(x－5＋4)(x－5－4)＝0， 于是得 x－1＝0 或 x－9＝0，所以 x1＝1，x2＝9. (4)移项，得 16(2x－1)2－25(x－2)2＝0. 因式分解，得[4(2x－1)＋5(x－2)][4(2x－1)－5(x－2)]＝0， 所以 13x－14＝0 或 3x＋6＝0，
人教版2019学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.5解一元二次方程_换元法同
21.2.5解一元二次方程-换元法学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.52．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或23．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，那么x2+y2的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或34．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣65．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或36．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或37．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．2或﹣28．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或﹣2 D．1或29．已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4 B．x1=﹣1，x2=﹣4 C．x1=﹣1，x2=4 D．x1=1，x2=410．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（）A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．511．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8=0，则m2+n2=（）A．4 B．2 C．4或﹣2 D．4或212．用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣113．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣414．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或315．若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1二．填空题（共5小题）16．若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）=20，则这个直角三角形的斜边长为．18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是．19．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，则x2+y2﹣5= ．20．如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n= ．三．解答题（共4小题）21．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．22．（3x﹣2）2﹣5（3x﹣2）+4=0．23．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）=45，求x2+y2的值．24．阅读下面的材料，解答后面的问题材料：“解方程x4﹣3x2+2=0”解：设x2=y，原方程变为y2﹣3y+2=0，（y﹣1）（y﹣2）=0，得y=1或y=2当y=1时，即x2=1，解得x=±1；当y=2时，即x2=2，解得x=±综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=．x4=﹣问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法（2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6=0．2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习：21.2.5解一元二次方程-换元法参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣4，所以x1=﹣1，x2=﹣3.5．故选：A．2．解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，可得y﹣4=0或y+2=0，解得：y1=4，y2=﹣2，∴a2﹣b2=4或﹣2．故选：C．3．解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）=0，x2+y2﹣1=0，x2+y2=1，故选：B．4．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．5．解：设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故选C．6．解：由y=x2+3x，则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0，解得，y1=﹣3，y2=1，当x2+3x=﹣3时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0检验，可知x不是实数当x2+3x=1时，经检验，符合题意．故选：C．7．解：设t=x2+y2，则t≥0，原方程变形为（t+2）（t﹣2）=0，解得：t=2或t=﹣2（舍去）．故选：B．8．解：t=x+y，则由原方程，得t（t﹣3）+2=0，整理，得（t﹣1）（t﹣2）=0．解得t=1或t=2，所以x+y的值为1或2．故选：D．9．解：设t=x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为at2+at+c=0，因为方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，所以t1=2，t2=﹣3，当t=2时，x+1=2，解得x=1；当t=﹣3时，x+1=﹣3，解得x=﹣4，所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是x1=1，x2=﹣4．故选：A．10．解：设t=x2+y2，则原方程可化为t2+2t﹣15=0，∴t=x2+y2=3或t=x2+y2=﹣5，又∵t≥0，∴x2+y2=3．故选：C．11．解：设m2+n2=t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8=0，整理，得（t﹣4）（t+2）=0，解得t=4或t=﹣2（舍去），所以m2+n2=4．故选：A．12．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．13．解：设x2+2x=y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8=0，解得：y=4或﹣2，当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解，当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x=4．故选：B．14．解：设y=x2+x+1=y，则（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式得：（y+3）（y﹣1）=0，解得：y1=﹣3，y2=1，当x2+x+1=﹣3时，经△=12﹣4×1×4＜0检验，可知x不是实数，当x2+x+1=1时，经检验，符合题意．故选：A．15．解：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．17．解：设x2+y2=t，则原方程可化为：t（t﹣1）=20，∴t2﹣t﹣20=0，即（t+4）（t﹣5）=0，∴t1=5，t2=﹣4（舍去），∴x2+y2=5，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．18．解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，x2+y2+3=0，x2+y2﹣4=0，x2+y2=﹣3，x2+y2=4，∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数，∴x2+y2=4，故答案为：4．19．解：设x2+y2+3=t∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，∴t2﹣6t+8=0∴t=2或t=4当t=2时，x2+y2+3=2∴x2+y2=﹣1故t=2舍去当t=4时，x2+y2+3=4∴x2+y2=1∴原式=1﹣5=﹣4故答案为：﹣420．解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6 移项去括号得x2+5x﹣6=0因式分解得（x+6）（x﹣1）=0解得x=1或﹣6即m+n=1或﹣6．三．解答题（共4小题）21．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．22．解：设（3x﹣2）=y，原方程等价于y2﹣5y+4=0因式分解，得（y﹣4）（y﹣1）=0，于是，得y﹣4=0或y﹣1=0，解得y=4或y=1，3x﹣2=4，3x﹣2=1，解得x1=2，x2=1．23．解：设x2+y2=a，则a（a﹣12）=45，a2﹣12a﹣45=0，（a﹣15）（a+3）=0，a1=15，a2=﹣3，∵x2+y2=a≥0，∴x2+y2=15．24．解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．故答案是：C；（2）设x2﹣2x=y，原方程化为y2﹣y﹣6=0，整理，得（y﹣3）（y+2）=0，得y=3或y=﹣2当y=3时，即x2﹣2x=3，解得x=﹣1或x=3；当y=﹣2时，即x2﹣2x=2，解得x=1±综上所述，原方程的解为x1=﹣1，x2=3，x3=1+．x4=1﹣．。
人教版初中数学九年级上册 第二十一章 因式分解法
21.2 解一元二次方程/
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
导入新知
21.2 解一元二次方程/
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法： x2=a (a≥0)
配方法：
(x+m)2=n (n≥0)
公式法：
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3,
x2=
2 3
．
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11； 解：x2+2x+2=0，
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
探究新知
(3)3x2＝4x＋1;
21.2 解一元二次方程/
(4)y2－15＝2y；
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
把方程左边因式分解，
∴x＝－－4±
－24×2－3 4×3×－1＝2±3
7 .
得(y－5)(y＋3)＝0.
∴x1＝2＋3
③x2－3x＝0；
∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±2
5 .
④x2－2x＝4.
∴x1＝3＋2
5，x2＝3－2
5 .
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
若选择②， ②适合直接开平方法， ∵(x－1)2＝3，
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法检测(含解析)新人
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法同步检测（含解析）（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法同步检测（含解析）（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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21.2。
3 因式分解法测试时间：15分钟一、选择题1。
（2018辽宁沈阳沈河期末)方程x2+x=0的根为( )A.x=—1B.x=0C.x1=0，x2=—1 D。
x1=0，x2=12。
（2018四川宜宾期末)一元二次方程(x+3）（x—7)=0的两个根是( ) A。
x1=3,x2=-7 B。
x1=3,x2=7 C.x1=—3，x2=7 D。
x1=—3,x2=—7 3.一元二次方程2x（3x-2)=(x—1）（3x-2）的解是（）A。
x=-1 B。
x= C.x1=，x2=0 D。
x1=，x2=—14.对于方程（x—1)(x-2)=x—2，下面给出的说法不正确的是( ）A.与方程x2+4=4x的解相同B.两边都除以x—2，得x—1=1,解得x=2C。
方程有两个相等的实数根D.移项，因式分解得（x—2）2=0,解得x1=x2=2二、填空题5。
若a2+a=0,则（a+1）2 019的值为.6.(2017安徽合肥包河一模）一元二次方程x-1=x2—1的根是.三、解答题7。
（2017甘肃定西临洮期中）按要求解一元二次方程:(1）x2—10x+9=0（配方法)；（2）x（x—2)+x—2=0(因式分解法）。
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.4因式分解法解方程(同步课本图文结合详解)
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
九年级数学上册第21章一元二次方程
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0 ∴x1= -5,x2=5.
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程; (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”， 鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
九年级数学上册第21章一元二次方程
跟踪训练
1.你能用分解因式法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
(2)(x+1)2-25=0.
【解析】(x+2)(x-2)=0, 【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0或x-2=0.
∴x+6=0或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
4. (4x 2)2 x(2x 1)
5. 3x(x 2) 5(x 2)
3.x1 3; x2 2.
4.x11 2;x2
4. 7
5
5.x1
2; x2
. 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
3.观察下列各式,也许你能发现些什么?
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
那么a 0或b 0
秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法解一元二次方程课件
再见
2.配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，而因式 分解法则只适用于某些一元二次方程，不是所有的一 元二次方程都适用因式分解法来求解.
课堂练习
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确是（A）
A.（2x-2）（3x-4）=0， ∴2x-2=0或3x-4=0
B.（x+3）（x-1）=1， ∴x+3=0或x-1=1
学习目标
➢ 1、会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系 数的一元二次方程；
2、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程 的解法，能熟练使用不同的的方法解一元二次方程；
➢ 3、体会解决问题方法的多样性.
预习反馈
解下列方程:
1 x 2 x 4 0;
解:1 x 2 0或 x 4 0
x1 2; x2 4.
2 4x 2x 1 32x 1.
解: 2 4x 2x 1 3(2x 1) 0
2x 14x 3 0
2x 1 0或 4x 3 0
x1
1 2
,
x2
3 4
情景引入
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速 度竖直向上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m） 为10x-4.9x²。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地 面吗？（精确到0.01s）
解：(1)x2 +x 0, 提公因式x(x+1) 0， 所以有x 0或x+1 0， 即x1 0，x2 -1.
(2) x2 2 3x 0, 提公因式x(x 2 3) 0， 所以有x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3x2 6 x 3, 移项，得： 3x2 6 x 3 0， 提公因式得： 3( x2 2 x 1) 0， 所以3( x 1)2 0， 有( x 1)2 0， 所以x1 x2 1.
度九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.5 解一元二次方程-
解一元二次方程-换元法学校：___________某某：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x22．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或23．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，那么x2+y2的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或34．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣65．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或36．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或37．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．2或﹣28．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或﹣2 D．1或29．已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4 B．x1=﹣1，x2=﹣4 C．x1=﹣1，x2=4 D．x1=1，x2=410．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（）A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．511．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8=0，则m2+n2=（）A．4 B．2 C．4或﹣2 D．4或212．用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣113．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣414．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或315．若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1二．填空题（共5小题）16．若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=．17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）=20，则这个直角三角形的斜边长为．18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是．19．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，则x2+y2﹣5=．20．如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n=．三．解答题（共4小题）21．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．22．（3x﹣2）2﹣5（3x﹣2）+4=0．23．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）=45，求x2+y2的值．24．阅读下面的材料，解答后面的问题材料：“解方程x4﹣3x2+2=0”解：设x2=y，原方程变为y2﹣3y+2=0，（y﹣1）（y﹣2）=0，得y=1或y=2当y=1时，即x2=1，解得x=±1；当y=2时，即x2=2，解得x=±综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=．x4=﹣问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法（2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6=0．2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习：解一元二次方程-换元法参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣4，所以x1=﹣1，x2=﹣3.5．故选：A．2．解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，可得y﹣4=0或y+2=0，解得：y1=4，y2=﹣2，∴a2﹣b2=4或﹣2．故选：C．3．解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）=0，x2+y2﹣1=0，x2+y2=1，故选：B．4．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．5．解：设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故选C．6．解：由y=x2+3x，则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0，解得，y1=﹣3，y2=1，当x2+3x=﹣3时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0检验，可知x不是实数当x2+3x=1时，经检验，符合题意．故选：C．7．解：设t=x2+y2，则t≥0，原方程变形为（t+2）（t﹣2）=0，解得：t=2或t=﹣2（舍去）．故选：B．8．解：t=x+y，则由原方程，得t（t﹣3）+2=0，整理，得（t﹣1）（t﹣2）=0．解得t=1或t=2，所以x+y的值为1或2．故选：D．9．解：设t=x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为at2+at+c=0，因为方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，所以t1=2，t2=﹣3，当t=2时，x+1=2，解得x=1；当t=﹣3时，x+1=﹣3，解得x=﹣4，所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是x1=1，x2=﹣4．故选：A．10．解：设t=x2+y2，则原方程可化为t2+2t﹣15=0，∴t=x2+y2=3或t=x2+y2=﹣5，又∵t≥0，∴x2+y2=3．故选：C．11．解：设m2+n2=t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8=0，整理，得（t﹣4）（t+2）=0，解得t=4或t=﹣2（舍去），所以m2+n2=4．故选：A．12．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．13．解：设x2+2x=y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8=0，解得：y=4或﹣2，当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解，当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x=4．故选：B．14．解：设y=x2+x+1=y，则（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式得：（y+3）（y﹣1）=0，解得：y1=﹣3，y2=1，当x2+x+1=﹣3时，经△=12﹣4×1×4＜0检验，可知x不是实数，当x2+x+1=1时，经检验，符合题意．故选：A．15．解：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．17．解：设x2+y2=t，则原方程可化为：t（t﹣1）=20，∴t2﹣t﹣20=0，即（t+4）（t﹣5）=0，∴t1=5，t2=﹣4（舍去），∴x2+y2=5，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．18．解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，x2+y2+3=0，x2+y2﹣4=0，x2+y2=﹣3，x2+y2=4，∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数，∴x2+y2=4，故答案为：4．19．解：设x2+y2+3=t∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，∴t2﹣6t+8=0∴t=2或t=4当t=2时，x2+y2+3=2∴x2+y2=﹣1故t=2舍去当t=4时，x2+y2+3=4∴x2+y2=1∴原式=1﹣5=﹣4故答案为：﹣420．解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6 移项去括号得x2+5x﹣6=0因式分解得（x+6）（x﹣1）=0解得x=1或﹣6即m+n=1或﹣6．三．解答题（共4小题）21．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．22．解：设（3x﹣2）=y，原方程等价于y2﹣5y+4=0因式分解，得（y﹣4）（y﹣1）=0，于是，得y﹣4=0或y﹣1=0，解得y=4或y=1，3x﹣2=4，3x﹣2=1，解得x1=2，x2=1．23．解：设x2+y2=a，则a（a﹣12）=45，a2﹣12a﹣45=0，（a﹣15）（a+3）=0，a1=15，a2=﹣3，∵x2+y2=a≥0，∴x2+y2=15．24．解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．故答案是：C；word（2）设x2﹣2x=y，原方程化为y2﹣y ﹣6=0，整理，得（y﹣3）（y+2）=0，得y=3或y=﹣2当y=3时，即x2﹣2x=3，解得x=﹣1或x=3；当y=﹣2时，即x2﹣2x=2，解得x=1±综上所述，原方程的解为x1=﹣1，x2=3，x3=1+．x4=1﹣．11 / 11。
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程因式分解法
合作研究探究点 1用因式分解法解一元二次方程情形激疑直接开平方法解方程比较简单 ,配方法、公式法特别麻烦，运算量较大，有没有简单的解一元二次方程的方法呢 ?知识解说(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法 ,这类方法简易易用 ,是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法就是先把方程的右边化为 0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的形式 ,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能获得两个一元一次方程 ,这两个一元一次程的解 ,都是原一元二次方程的解 ,这样也就把原方程进行了次 ,把解一元二次方程转变为解一元一次方程的问题了 (数学转变思想 )。
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项 ,使方程的右边为零 ;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,获得两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。
注意运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的形式 ,右边必定要化为 0,不然求得的解是错误的。
如:把方程化为 (x+3)(x -2)=5,则 x+3=0,或 x-2=0 得原方程的解为x13, x2 2 是错误的。
典例分析例 1用因式分解法解方程:(1)4x 2 =11x；(2)(x -2) 2 =2x-4.分析 (1)移项提取公因式 x；(2)等号右边移项到左边得 -2x+4,提取因式-2,即— 2(x-2),再提取公因式 x-2,即可达到分解因式的目的 ,一边为两个一次式的乘积 ,另一边为 0 的形式。
答案(1)移项 ,得 4x 2 -11x=0.因式分解 ,得 x(4x-11)=0于是 ,得 x=0,或 4x-11=0,(2)移项 ,得(x-2) 2 -2x+4=0,(x -2) 2 -2(x-2)=0因式分解 ,得(x-2)(x-2-2)=0.整理 ,得(x -2)(x-4)=0于是 ,得 x-2=0,或 x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移 (方程的右边为0);二分 (将方程左边进行因式分解);三化 (将一元二次方程转变为两个一元一次方程 );四写 (写出原方程的解 )。
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2 2 2 2
学的严谨性和 数学结论的确 定性.
分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求 根公式法， 提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式. 归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式； 因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0， 再分别使各一次因式等于 0.配方法、公式法适用于所有一元二 次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程 的基本思路：化二元为一元，即降次. 三、课堂训练 1.完成课本练习 2.补充练习： 1 已知（x+y） –x-y=0，求 x+y 的值． ○ 分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加 括号，再提取公因式，体会整体思想的优越性. 2 下面一元二次方程解法中，正确的是（ ） ○ ． A． （x-3） （x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2， ∴x1=13， x2=7 B． （2-5x） + （5x-2）=0， ∴ （5x-2） （5x-3） =0， ∴x1=
2
让学生根据前面铺 垫，尝试用因式分解 1○ 2 ○ 3 三组方 法解○ 程，之后师揭示因式
1○ 2○ 3 三组方程的结构特点，在方程右边为 0 的前 分解法概念，师生总 分析：观察○ 结用因式分解法解一 提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想. 元二次 方程的一般 总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右 通过学生亲自 步骤 边 为 0， 其次将方程的左边分解成两个一次因式的积， 再令两个 解方程的感受 一次因式分别为 0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最 与经验，感受数 后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种 解法叫做因式分解法. 4 中的方程结构较复杂，需要先整理. ○ 5.选用合适方法解方程 x +x+ 1 =0；x +x-2=0；(x-2) =2-x；2x -3=0.
3
2 ， 5
让学生在巩固 过程中掌握所 学知识，培养 应用意识和能
3 x2= 5
C． （x+2） +4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x =x 两边同除以 x，得 x=1 3 今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后， ○ 打算改建养鸡场，建一个面积为 150m 的长方形养鸡场．为了节 约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长 am，另三边用竹
2
(x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1) =0;
2
学生直接利用 2 的 结论完成 3 中解方 程
1Байду номын сангаас
2 25y2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2 ○ 3 x2+10x+25=0; 9x2-24x+16=0; ○ 4 5x2-2x- 1 = x2-2x+ 3 ; ○ 4 4 2x +12x+18=0;
2 2 2
力
2
篱围成，如果篱笆的长为 35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中 a≥20m） 四、小结归纳 本节课应掌握： 1.用因式分解法解一元二次方程 2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程 特点选择合适的方法解方程 五、作业设 计 必做：P14：1、2；P17:6 学生归纳，总结阐 述，体会，反思.并 做出笔记. 加强教学反思 ，帮助学生养 成系统整理知 识的学 习惯 加深认识，深 化提高 ，形成 学生自己的知 识体系. 教 学 反 思
专题课件 《21.2.5
教学媒体 教 知识 技能 学 过程 目 方法 情感 标 态度 多媒体 1.了解因式分解法的概念. 2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两 个因式的积等于 0，必有因式为 0，从而降次解方程. 1.经历探索因式分解法解一元二次方程 的过程，发展学生合情合理的推理能力. 2.体验 解决问题方法的 多样性，灵活选择解方程的方法. 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成 功体验. 会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次 解方程 将整理成一般形式的方程左边因式分解
2 2
先观察，尝试选用合 适方法解方程，之后 交流， 比较三种解法， 选用合适方法 便于选取合适的方法 解方程 解方程，培养 学生灵活解方 程的能力，进 一步加强对所 学生尝试归纳，师生 总结 学知识的理解 和掌握 通过归纳、比 较方程的三种 解法，进一步 学生独立完成，教师 巡回检查，师生集体 订正 理解降次思想 解方程
分析：复习因式分解知识， ，为学习本节新知识作铺垫. 2.若 ab=0,则可以得到什么结论？ 分析：由积为 0，得到 a 或 b 为 0，为下面用因式分解法解方程 作铺垫. 3.试求下列方程的根 ： x(x-5)=0 ; (2x-3) =0. 分析：解左边是两个一次式的积，右边是 0 的一元二次方程， 初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个 因式分别为 0， 得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程， 它们的解就都是原方程的解. 4. 试求下列方程的根 1 4x2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0 ○
因式分解法》
教学 重点 教学难点 教学过程设计
教学程序及教学内容 一、复习引入
师生行为
设计意图
导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课 由学过的一元二次方 程到解法的回顾，引 学生回顾因式 我们来学习一种新的方法. 二、探究新知 1.因式分解 x -5x； ； 2x(x-3)-5(x-3);
2 2 2 2
出新的解法
分解知识为学 习本节新知识
25y -16； x +12x+36；4x +4x+1
学生观察式子特点， 作铺垫 进行因式分解， 为下 面的学习作铺垫 学生根据 ab=0 得 到 a=0 或 b=0， 为下 面学习作铺垫 对比探究，结 合已有知识， 尝试解题，培 养学生发现问 题的能力