江苏省连云港市赣榆区2017届高三数学下学期周考13

2017届高三年级第二学期周考（13）数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集{}1,0,2U =-，集合{}1,0A =-，则A C U = ▲ ． 2．设复数z 满足i zi -=3（i 为虚数单位），则=||z ▲ ．3．某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ．4．若命题“2 20t R t t a ∃∈--<，”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 5．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为： 甲组：88、89、90；乙组：87、88、92. 如果分别从甲、乙两 组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值 不超过3的概率是 ▲ ．6．执行如图所示的伪代码，输出i 的值为 ▲ ．7．设抛物线28y x =的焦点与双曲线2221(0)y x b b-=>的右焦点重合，则b = ▲ ．1020232Pr int i S While S S S i i End While i←←<←+←+第6题图8．设,x y 满足0||||1y y x x y >⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则z x y =+的最大值为 ▲ ．9．将函数sin(2)3y x π=+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数的sin 2y x =的图象，则ϕ的最小值为 ▲ ．10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，点,P Q 分别为棱1,CC BC 的中点，则四面体11A B PQ -的体积为 ▲ ．11．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ▲ ． 12．若,a b 均为非负实数，且1a b +=，则1422a b a b+++的最小值为 ▲ ．13．已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3=的最大值为 ▲ ．14．若实数,x y 满足23ln(1)ln(2)x x y x y -≤+++--，则xy = ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且2ABC π∠=.（1）求证：11//B C 平面1BCD ； （2）求证：平面11A ABB ⊥平面1BCD .16．(本小题满分14分)CD1A 1B 1C 1D AB第15题图设ABC ∆面积的大小为S ，且S AC AB 23=⋅. （1）求sin A 的值； （2）若4C π=，16=⋅AC AB ，求AC ．17. (本小题满分14分)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. ABCD 是等腰梯形，20AB =米，CBF α∠=（F 在AB 的延长线上，α为锐角）. 圆E 与,AD BC 都相切，且其半径长为10080sin α-米. EO 是垂直于AB少时，立柱EO 最矮？C第17题图18．(本小题满分16分)已知A 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF x ⊥轴时，2AF PF =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形（点P 在第一象限），求直线AP 与OQ 的斜率之积；（3）记圆2222:abO x y a b+=+为椭圆C 的“关联圆”. 若b =过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M 、N ，直线MN 的横、纵截距分别为m 、n ，求证：2234m n+为定值.19．(本小题满分16分) 设函数2()=()xf x xe ax a R -∈. （1）若函数()()xf xg x e =是奇函数，求实数a 的值； （2）若对任意的实数a ，函数()h x kx b =+（,k b 为实常数）的图象与函数()f x 的图象总相切于一个定点. ① 求k 与b 的值；② 对(0,)+∞上的任意实数12,x x ，都有1122[()()][()()]0f x h x f x h x -->，求实数a 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a ，{}n b 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{}n c .（1）设数列{}n a 、{}n b 分别为等差、等比数列，若111a b ==，23a b =，65a b =，求20c ； （2）设{}n a 的首项为1，各项为正整数，3n n b =，若新数列{}n c 是等差数列，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）设1n n b q -=（q 是不小于2的正整数），11c b =，是否存在等差数列{}n a ，使得对任意的*n N ∈，在n b 与1n b +之间数列{}n a 的项数总是n b ？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{}n a ；若不存在，请说明理由.江苏省海头高中2017届高三年级第二学期周考（12）数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）已知,AB CD 是圆O 两条相互垂直的直径，弦DE 交AB 的延长线于点F ，若24DE =，18EF =，求OE 的长.B .（选修4—2：矩阵与变换） 已知矩阵A＝100⎡⎤⎢⎣所对应的变换T 把曲线C 变成曲线 1C 122:142x y +=，求曲线C 的方程．CF第21(A )图C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()13πρθ+=. 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 若直线l 与圆C 相切，求r 的值.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正实数，且3a b c ++=，证明：2223c a b a b c++≥. （第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，PC =M 在PC 上，且PA ∥面BDM . （1）求直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）求平面BDM 与平面PAD 所成锐二面角的大小.ABCDPM第22题图23．（本小题满分10分）一只袋中装有编号为1,2,3,…,n 的n 个小球，4n ≥，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出4个小球，记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为n ξ，如43ξ=，53ξ=或4，63ξ=或4或5，记n ξ的数学期望为()f n . （1）求()5f ,()6f ； （2）求()f n .盐城市2017届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}22. 23. 354. (,1]-∞-5.899.56π10. 211. 2056 12. 3 13.10 14. 94- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）在四棱柱1111ABCD A BC D -中，有11//B C BC . ……………4分 又11B C ⊄平面1BCD ，BC ⊂平面1BCD ，所以11//B C 平面1BCD . ……………6分 （2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，交线为AB ，BC ⊂底面ABCD ，且BC AB ⊥，所以BC ⊥平面11A ABB . …………12分又BC ⊂平面1BCD ，所以平面11A ABB ⊥平面1BCD . …………14分 16．解：（1）设ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，由32AB AC S ⋅=，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯，得sin 3cos A A =. …………2分 即222sin 9cos 9(1sin )A A ==-，所以29sin 10A =. …………4分又(0,)A π∈，所以sin 0A >，故sin A =. …………6分 （2）由sin 3cos A A =和sin A =，得cos A = 又16AB AC ⋅=，所以cos 16bc A =，得bc = ①. …………8分又4C π=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+==. …………10分 在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin b c B C =2=，得4c = ②.…12分 联立①②，解得8b =，即8AC =. …………14分 17．解：方法一：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.因为(10,0)B ，tan BC k α=，所以直线BC 的方程为tan (10)y x α=⋅-，即tan 10tan 0x y αα--=. ...............4分 设圆心(0,)(0)E t t >，由圆E 与直线BC 相切，得10tan 10080sin 1cos t ααα+-==，所以10090sin cos EO t αα-==. ...8分 令10090sin ()cos f ααα-=，(0,)2πα∈，则29100(sin )10()cos f ααα-'=，..........10分 设09sinα=，0(0,)πα∈. 列表如下：所以当0αα=，即sin 10α=时，()f α取最小值. .........13分 答：当9sin 10α=时，立柱EO 最矮. ...............14分 方法二：如图所示，延长,EO CB 交于点G ，过点E 作EH BC ⊥于H ， 则10080sin EH R α==-，HEG OBG CBF α∠=∠=∠=. 在Rt EHG ∆中，10080sin cos cos R EG ααα-==. ...............4分 在Rt OBG ∆中，tan 10tan OG OB αα==. ...............6分 所以10090sin cos EO EG OG αα-=-=. ...............8分（以下同方法一）18．解：（1）由PF x ⊥轴，知P x c =，代入椭圆C 的方程，得22221P y c a b +=，解得2P b y a=±. ........2分 又2AF PF =，所以22b a c a+=，解得12e =. ...........4分（2）因为四边形AOPQ 是平行四边形，所以PQ a =且//PF x 轴，所以2P a x =，代入椭圆C的方程，解得2P y =±， ........6分 因为点P在第一象限，所以2P y =，同理可得2Q a x =-，2Q y b =， ...7分所以2222()22AP OQb k k a a =⋅=----，由（1）知12c e a ==，得2234b a =，所以34AP OQ k k =-. ....9分（3）由（1）知12c e a ==，又b =2a =，所以椭圆C 方程为22143x y +=， 圆O的方程为22x y +=①. ..........11分 连接,OM ON ，由题意可知，OM PM ⊥， ON PN ⊥， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆， 设00(,)P x y ，则四边形OMPN 的外接圆方程为222200001()()()224x y x y x y -+-=+， 即22000x xx y yy -+-= ②. .........13分 ①－②，得直线MN的方程为007xx yy +=， 令0y =，则0m =；令0x =，则0n =所以2200223449()43x y m n +=+， 因为点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=，所以223449m n +=. ........16分 19．解：（1）因为函数()()x f x g x e =是奇函数，所以()()x xf x f x e e--=-恒成立，…………2分 即()22x x x xxe a x xe ax e e------=-，得2()0x xax e e -+=恒成立，0a ∴=. ……4分 （2）① ()(1)2xf x e x ax '=+-，设切点为00(,())x f x ，则切线的斜率为()0000(1)2xf x e x ax '=+-，据题意()0f x '是与a 无关的常数，故()000,1x k f x '===，切点为(0,0)………6分 由点斜式得切线的方程为y x =，即()h x x =，故1,0k b ==. ………8分 ② 当11()()0f x h x ->时，对任意的()20,x ∈+∞，都有22()()0f x h x ->; 当11()()0f x h x -<时，对任意的()20,x ∈+∞，都有22()()0f x h x -<;故()()0f x h x ->对(0,)x ∈+∞恒成立，或()()0f x h x -<对(0,)x ∈+∞恒成立.而()()()1xf x h x x e ax -=--，设函数()1,x p x e ax =--[0,)x ∈+∞.则()0p x >对(0,)x ∈+∞恒成立，或()0p x <对(0,)x ∈+∞恒成立， ………10分()x p x e a '=-，1︒当1a ≤时, ()0,x ∈+∞ ,1x e ∴>,()0p x '∴>恒成立,所以()p x 在[)0,+∞上递增, (0)0p =,故()0p x >在()0,+∞上恒成立，符合题意. ………12分2︒当1a >时，令()0p x '=，得ln x a =，令()0p x '<，得0ln x a <<,故()p x 在()0,ln a 上递减，所以()(ln )00p a p <=， 而2()1,a p a e a =--设函数2()1,a a e a ϕ=--[1,)a ∈+∞，则()2aa e a ϕ'=-，[]()20aa e ϕ''=-> 恒成立，()a ϕ'∴在()1,+∞上递增，()(1)20a e ϕϕ''∴>=->恒成立， ()a ϕ∴在()1,+∞上递增， ()(1)20a e ϕϕ∴>=->恒成立，即()0p a >，而(ln )0p a <，不合题意.综上1︒2︒，知实数a 的取值范围(],1-∞. ……………16分 20．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意得，24115d qd q⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得0d =或3，因数列{}{},n n a b 单调递增， 所以0,1d q >>，所以3d =，2q =，所以32n a n =-，12n n b -=...........2分 因为11b a =，32b a =，56b a =，720b a >，所以201749c a ==. .......4分（2）设等差数列{}n c 的公差为d ，又11a =，且3n n b =，所以11c =，所以1n c dn d =+-. 因为13b =是{}n c 中的项，所以设1n b c =，即(1)2d n -=.当4n ≥时，解得211d n =<-，不满足各项为正整数； ......6分 当133b c ==时，1d =，此时n c n =，只需取n a n =，而等比数列{}n b 的项都是等差数列{}n a 中的项，所以1(1)2n S n n =+； ...............8分 当123b c ==时，2d =，此时21n c n =-，只需取21n a n =-，由321nm =-，得312n m +=，3n是奇数，31n + 是正偶数，m 有正整数解，所以等比数列{}n b 的项都是等差数列{}n a 中的项，所以2n S n =. ..........10分 综上所述，数列{}n c 的前n 项和1(1)2n S n n =+或2n S n =. ..........11分 （3）存在等差数列{}n a ，只需首项1(1,)a q ∈，公差1d q =-. ............13分下证n b 与1n b +之间数列{}n a 的项数为n b . 即证对任意正整数n ，都有1211211n n n b b b n b b b b a b a -++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+<⎧⎪⎨>⎪⎩，即22211111n n n q q q n q q q b a b a --++++++++<⎧⎪⎨>⎪⎩ 成立. 221221111(1)(1)10n n n n q q q b a q a q q q q a ---++++-=--+++-=-< ，212211111(11)(1)0n n n n n q q q b a q a q q q q q q a ---++++-=--++++--=-> .所以首项1(1,)a q ∈，公差1d q =-的等差数列{}n a 符合题意. ........16分附加题答案B 、设曲线C 上任一点为（x,y ），经过变换T 变成00(,)x y ，则00100x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣，即00,x x y y == . …………6分 又2200142x y +=，得224x y += . ……………10分 C 、解：由题意得，直线l的直角坐标方程为20x -=， ……………4分圆C 的直角坐标方程为222x y r +=. ……………8分则直线和曲线相切，得1r ==. ……………10分 22．解：因为PAD ABCD ⊥面面，PAD ∆为正三角形，作AD 边上的高PO ， 则由=AD PAD ABCD 面面，由面面垂直的性质定理，得PO ABCD ⊥面，又ABCD 是矩形，同理PAD ⊥CD 面，知PD ⊥CD,2PD =，故CD=3. ……2分 以AD 中点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，AD 的垂直平分线y 轴，建立如图所示的坐标系，则(,0)P 00， 连结AC 交BD 于点N ，由// PA 面MBD,面APC 面MBD=MN ， 所以MN//PA ，又N 是AC 的中点，所以M 是PC的中点，则3,21M(-2， ………4分设面BDM 的法向量为(,,)x y z =n，13(2,3,0),=(,22MD =-- BD0,0BD MD ⋅=⋅= n n ，得-2x -3y =0x 3022y ⎧⎪⎨+=⎪⎩，令x=1，解得21y=-3，所以取2(1,3=- n .（1）设PC 与面BDM 所成的角为θ，则n nθ⋅=⋅PC sin =PC 所以直线PC 与平面BDM. ………………6分 （2）面PAD 的法向量为向量(0,-3,0)CD =，设面BDM 与面PAD 所成的锐二面角为ϕ，则12n n ϕ⋅=⋅ CD cos =CD ，故平面BDM 与平面PAD 所成锐二面角的大小为3π. ………10分23．解：（1）5ξ的概率分布为：则518(5)()5f E ξ==. 6ξ的概率分布如下：则621(6)()5f E ξ==. (2) 方法一：3,4,5,,1,n n ξ=- 214()(),(3,4,,1)i n nn i C P i i n C ξ--===- ，……6分2111211444333()11(1)(2)()()()()n n n i n i i i i n nnn i C i i f n E i i n i C i n i C C C ξ-----===⎡⎤---⎡⎤⎡⎤∴==⨯=⨯-=⨯-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑2()1113334443331(1)(2)333()()n n n i i i i i i n n n i i i n i n i C nC iC C C C ---===--⎡⎤⎡⎤=-⨯=-⨯=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑6 ()()1111333434114443333333(1)(1)(1)4(1)4n n n n i i i i i i i i i i n n n n C i C n C C n C C C C C ----++====⎡⎤=+-+=+-=+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑113414333(1)4n n i i i i n n C C C --+==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑45143(1)4n n nn C C C +⎡⎤=+-⎣⎦()315n =+ ……10分 方法二：3,4,5,,1,n n ξ=- 214()(),(3,4,,1),i n nn i C P i i n C ξ--===- 21143()()(),n i n i n n i C f n E i C ξ--=⎡⎤-∴==⨯⎢⎥⎣⎦∑得(4)3,f =1821(5),(6),55f f == 猜想()()315f n n =+. ………………6分 下面用数学归纳法证明. 证明：①4,5,6n =时猜想显然成立；②假设(4)n k k =≥时猜想成立，即()21143()3()15k i i k k i C f k i k C --=⎡⎤-=⨯=+⎢⎥⎣⎦∑， 则()124133()15k i k i i k i C k C --=⎡⎤-=+⎣⎦∑， 当1n k =+时2211443311(1)1()(1)(1)kk i i i i k k k i C f n f k i i k i C C C --==++⎡⎤+-⎡⎤=+=⨯=+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑22221111444333111111()()k k k i i i i i i i k k k i k i C iC i k i C iC C C C ----===+++⎡⎤⎡⎤=-+=-+⎣⎦⎣⎦∑∑∑ ()1234314444333111111133()315k k k i i k ii i i k k k k i k i C C k C C C C C C --===++++⎡⎤⎡⎤=-+=++⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()4414411133311155k k k k k C C k C C +++⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 即1n k =+时命题也成立. 综上①②，对一切()4n n ≥猜想都成立. ……10分。