2016-2017学年浙江省东阳中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

东阳中学2017年上学期期中考试卷（高一数学）命题：审题：一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合A={x|y=lg(4−3x−x2)}={x|4−3x−x2>0}={x|−4<x<1}，集合B={x|2x<1}={x|x<0}，则A∩B={x|−4<x<0}.本题选择B选项.2. 已知数列是等差数列，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为d,∵a2=2,a3=−4，∴a1+d=2,a1+2d=−4,解得d=−6,a1=8.则a5=8−6×4=−16.本题选择D选项.3. 下列四条直线，倾斜角最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线方程y=x+1的斜率为1,倾斜角为45∘，直线方程y=2x+1的斜率为2,倾斜角为α(60∘<α<90∘)，直线方程y=−x+1的斜率为−1,倾斜角为135∘，直线方程x=1的斜率不存在,倾斜角为90∘.所以C中直线的倾斜角最大。

本题选择C选项.点睛：直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率.4. 设是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. 5B. 1C. －1D. －5∴f(1)=−f(−1)=−(3+2)=−5，本题选择D选项.5. 已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】把函数f(x)=cos(2x+)(x∈R)的图象向右平移个单位长度,可得y=cos(2x−+)=cos2x 的图象，本题选择D选项.点睛：对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．6. 已知向量，，.若为实数，，则（）A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】和平行，故，解得.7. 设函数满足，则的图象可能是( )A.B.C.D.【解析】试题分析：由知：该函数为奇函数；由知，该函数是周期为2的周期函数，故选B.考点：函数的奇偶性、周期性及其图象特征.8. 对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵对任意实数x,不等式4x−m⋅2x+1>0恒成立，∴(2x)2−m⋅2x+1>0恒成立，本题选择A选项.9. 已知递增数列{}满足且成等差数列，则实数的值为（）A.0 B. C. 或0 D.【答案】B【解析】由题意,{a n}是递增数列,|a n+1−a n|=p n,可得a n+1−a n=p n，p>0.∵a1=1，∴a2=1+p,则a3=1+p+p2.∵a1,2a2,3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4+4p=4+3p+3p2.解得：p=或p=0(舍去)本题选择B选项.10. 已知函数，若存在，对于任意，不等式都成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令.当x∈[−1,0]时,g(x)的最小值为g(−1)=−t；∴g(x)的最小值为.∴若存在t∈(0,2),对于任意x∈[−1,2],不等式f(x)>x+a都成立，故只需存在t∈(0,2),使得，∴实数a的取值范围是a⩽−.本题选择A选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．二、填空题（本大题共7题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11. 已知集合，.若，则实数x的值为______，______；令，则_______.【答案】(1). 2 (2). {4} (3). {5}【解析】集合A={log2x,4,8},B={4,5}.若A∪B={1,4,5,8}，∴log2x=1，∴x=2，∴A={1,4,8}，∴A∩B={4}，∴∁U A={5}12. 已知函数，则______，______.【答案】(1). 1 (2). 8【解析】∵函数，∴.13. 已知数列满足，，则_____；若数列的前n项和是，则_____.【答案】(1). (2).【解析】∵数列{a n}满足，.∵a8=2,,解得a7=,同理可得：a6=−1,a5=2，a1=a7=,a2=a8=2,a3=a6=−1.S2017=a1+(a2+a3+a4)×672=+×672=点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．14. 已知直线，则直线恒过一定点M的坐标为___，若直线l与直线垂直，则m=______.【答案】(1). (2). 0【解析】直线l:(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0，即m(x−2y−3)+(2x+y)=0，故直线l一定经过直线x−2y−3=0和2x+y=0的交点。

由,求得，∴点M的坐标为(−1,−2)，若直线l与直线x−2y−4=0垂直，则直线l的斜率是，解得：m=0，15. 不等式的解集为，且，则______.【答案】或【解析】试题分析：由题意可知，是方程的两根，又因为，所以，．考点：二次方程与二次不等式的关系．16. 设，，，且，则在上的投影的取值范围是______.【答案】【解析】试题分析：设在上的投影为.当时；当时，故当，；综上可得.考点：平面向量数量积的运算.【易错点睛】由条件可得的值，可得在上的投影为，分类讨论，求得的范围，要得的取值范围.本题的考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是关键，是中档题.17. 已知中的内角,,所对的边分别是,,, 若，，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为，所以由正弦定理可得，则由于，所以，应填答案。

点睛：本题综合考查了三角函数中的诱导公式、正弦定理、三角变换中的两角和的正弦公式以及正弦函数的图像和性质等知识的综合运用。

求解时先借助三角形内角和定理及题设条件将三内角都用角为变量进行表示，然后再运用正弦定理得到，通过求值域使得问题获解。

三、解答题（本大题共5小题，共74分）18. 已知向量，函数（）的最小正周期是.（1）求的值及函数的单调减区间；（2）当时,求函数的值域.【答案】(1)1；单调减区间;(2).【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式为，结合函数的最小正周期可得，且函数的单(2)结合(1)中函数的解析式和函数的定义域可得函数的值域是.试题解析：（1）∵的最小正周期为，∴.∴又∵得，∴函数的单调减区间(2)，∴∴,即的值域为.19. 已知直线l经过点，则（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且△OAB的面积为4，求直线l的方程；（2）若直线l与原点距离为2，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)为或.【解析】试题分析：(1)设出直线方程的斜截式，由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得直线方程为；(2)分类讨论直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式可得直线l的方程是或.试题解析：（2）过P点的直线l2与原点距离为2，而P点坐标为，可见，过垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在,其方程为.若斜率存在,设l的方程为,即.由已知过P点与原点距离为2,得,解得.此时l2的方程为.综上,可得直线l2的方程为或.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.20. 在中，内角所对的边分别为，.（1）若，求c的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)1；(2)【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理可得，则；(2)由题意结合余弦定理可得，然后结合题意和三角形面积公式可得的面积是. 试题解析：（1）∵，∴由正弦定理得，∵，∴c=1；，，解得，∴由余弦定理有，即，解得∴.21. 已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若对任意，恒成立,求实数a的取值范围；（3）当时，若在区间上的最小值为，求实数a的值.【答案】(1)；(2)；(3)或.【解析】试题分析：(1)由函数的解析式结合二次函数的性质可得函数的增区间为；(2)结合函数的解析式分类讨论，得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数a的解集为：；(3)结合二次函数的开口方向和对称轴可得或.试题解析：（1）当时,函数为，所以函数的增区间为；（2）由题意得函数区间上为减函数，当时，满足要求；当时，由函数区间上为减函数，可得：，得：，综上,满足条件的实数a的解集为：；(3) ∵在区间上的最小值为，，此时函数的图象是开口朝上，对称轴为直线>0,若即，此时在上单调递减，得，若,则,此时当时,函数取最小值，即，解得或（舍去）综上所述, 或.点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22. 设各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，公比大于1的等比数列满足，.（1）求证数列是等差数列，并求其通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）在（2）的条件下，若对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围.【解析】试题分析：(1)结合函数的递推公式可证得数列是首先为1，公差为2的等差数列，其通项公式为；(2)错位相减可得数列的前n项和为；(3)由题意可得数列单调递减，据此得到关于实数t的不等式，求解不等式可得实数t的取值范围是.试题解析：(1) 当时，，，，所以，.因为当时，是公差的等差数列，，，则是首项，公差的等差数列，所以数列的通项公式为.(2)由题意得，；则前n项和；；相减可得；化简可得前n项和；（3）对一切正整数n恒成立，由，可得数列单调递减,即有最大值为，则解得或 .即实数t的取值范围为.。