解析倒格子空间和波矢空间
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倒易空间
倒易空间、波矢与衍射条件2009-10-09 13:07倒易空间、波矢与衍射条件1. 傅立叶展开与倒易空间我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。
因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。
所以，我们首先要处理的就是周期性函数。
而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。
值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。
后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。
对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3），即：u(r) = u(r + T)这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。
那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：u(r) = S G u G exp(i G·r)其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：构成T的三个基矢量a1、a2和a3张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b1、b2和b3张成的，即G=k1b1+ k2b2+ k3b3。
而倒易基矢量由如下倒易关系给出：b1 = 2π (a2×a3/ a1·a2×a3)b2 = 2π(a3×a1/ a2·a3×a1)b3 = 2π(a1×a2/ a3·a1×a2)之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：a i·b j= 2πδij这是很好理解的，因为在b1、b2和b3的定义式中(a1·a2×a3)就是基矢量a1、a2和a3围成的平行六面体的体积，而(a2×a3)就是这个平行六面体的底面积，因此(a2×a3/ a1·a2×a3)就是这个平行六面体垂直于a2和a3所在平面的高的倒数，可见，b1的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。
第一章7.倒格空间.ppt
b1 b2 b3
2
a2
a3
2 a3 a1
2
a1
a2
其中Ω为晶格 的原胞体积
a3 b3
a1
(
a2
a3
)
a2 b2
b1
a1
b1
(a2 ,a3
)
b1
C[a2
a3]
a1 b1 Ca1 [a2 a3 ]
三、正格子与倒格子的一些关系
1、正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于(2)3
证明：设倒格原胞体积为Ω*，则
* b1 b2 b3
(
2 )3 3
(
a2
a3
)
(
a3
a1
)
(
a1
a2
)
利用
A( BC ) ( AC )B ( A B )C
§1.7 倒格空间
—— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以
为周期的三维周期函数
通俗的理解宗量就是自变量
V (r ) V (r R)
V (r )
V
(G )e
iGr
,V
(r
R)
V (G)e iG(r R)
为什么要引入倒格子？
• 波矢是波的矢量表示方法。波矢是一个矢量，其大小 表示波数（|k|=2π/λ），其方向表示波传播的方向
理想的三维行波遵循如下方程
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
倒易空间和波矢空间
倒易空间和波矢空间倒易空间和波矢空间在固体物理学研究中扮演着重要的角色。
本文将分别介绍这两种空间的概念、性质及其在固体物理学中的应用。
一、倒易空间倒易空间是晶体学中的重要概念，也叫倒格子空间，是由晶体空间分别沿着三个互相垂直的方向所取得的倒格子面组成的三维空间。
倒易空间与实空间是对偶的，其定义如下：假设有一个空间中的周期晶体，晶格矢量为a1、a2和a3，我们将一个点P通过向该点连接三个不同的坐标轴上的原点，形成一个平行六面体。
在每个棱角上，我们垂直地连接倒晶格点，连接的线称为倒格子矢量，用向量b1、b2和b3表示。
这样就形成了一个由倒格子面组成的空间，这个空间就是倒易空间（或倒格子空间）。
倒易空间与其它物理学中的向量空间不同，因为其中的向量没有固定的起点或终点。
在倒易空间中，每个点表示一个倒格子面，而一个倒格子面的位置就由其倒格子矢量来决定。
倒易空间中的晶体结构即为倒格子结构。
倒易空间具有以下性质：1. 倒易空间的晶格矢量为倒格子的倒数。
2. 在倒易空间中，原点为所有倒格子的交点，称之为倒空间原点。
3. 倒易空间是无限大的，且存在与实空间一样的点群和空间群对称性。
4. 不同晶体的倒易空间不同，同样的晶体在不同条件下有不同的倒易空间表现形式。
倒易空间在固体物理学中有广泛应用。
例如，通过研究倒易空间中的电子能带结构，可以了解晶体材料的导体性、半导体性等性质；倒易空间中的布拉格平面可以对X射线衍射、中子衍射等进行定量描述，在这些领域具有重要的应用价值。
二、波矢空间波矢空间是描述在动量空间内的物理现象的空间。
波矢空间和倒易空间十分相似，只是在它们的定义和性质上存在微小差异。
假设有一个动量空间，其中的波矢k可以用三个互相垂直的分量(kx, ky, kz)表示。
图中所示为二维情况下的波矢空间。
波矢空间的物理意义为动量的取值范围。
在波矢空间中，物理量的取值可能会形成一些稀疏的分布，这些分布就被称为分支，对应实空间中的布里渊区。
固体物理03-倒格子空间
实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
晶体的周期性结构(2)(倒格矢)
波恩-卡曼边界条件
• 电荷密度、势能等物理量满足迭加原理，如
V (r )
V
l
原子
r R l
• 理想的无限大晶体具有平移周期性，这样的物 理量满足
F (r R l ) F (r )
• 实际的晶体都是有限大小的， 并不满足严格的 平移对称性
F (r R l ) F (r )
2
N 3是 原 胞 的 总 数 ，
k 是 满 足 波 恩 -卡 曼 周 期 性 边 界 条 件 的 波 矢 量
k
l1 N1
b1
+
l2 N
2
b2+
l3 N
3
b3
• 对于布里渊区中许可波矢 k 的求和可化为对
k 的连续积分
kBZ
(.....)
V ( 2 )
3
( . . . . )d
3
k
正、倒对应关系
• 互为正格子、倒格子
b 1 2 b 2 2 b 3 2 a2 a3 a 1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 a 1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 a 1 (a 2 a 3 )
a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b3 b 1 (b 2 b 3 ) b 3 b1 b 1 (b 2 b 3 ) b1 b 2 b 1 (b 2 b 3 )
j
bi a
2
ij
• 那确实可以满足上述关系，确实可以满足Kh所 有的段点为格点（即有可用基矢和整数表示的 平移周期性）
• bi就是倒格子基矢
• 如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任 意的。利用矢量关系
倒格子——精选推荐
a
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
倒格子与布里渊区
波动的允许频率范围。
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
ssp-03－倒格子-2014
a1
2
i j 2
简单六角的正格子空间的基矢为：
a2
3a i a j 22
它的倒格子空间的基矢为：
a3 ck
b1
2 i 2
3a a
j
b2
2 i 2
3a a
j
2
b3 c k
这仍然是简单六角 的基矢，因此简单 六角晶格的倒格子 为简单六角格子。
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
这恰好是体心立方 的基矢，因此面心 立方晶格的倒格子 为体心立方格子。 倒格子的晶格常数 为4/a
面心立方晶格的第一布里渊区是一个截角八面体
思考题：金属Ag的的晶格常数为a，问第三布里渊区的体积
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
例题3.5 简单六角结构的第一布里渊区
3a a
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
典型晶格的倒格子、布里渊区和高对称点
例题3.2 简单立方的第一布里渊区
a1 ai 简单立方正格子空间的基矢为： a2 aj
a3 ak
它的倒格子空间的基矢为：
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
b1
2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
简单立方的倒格子还是简单立方，倒格子的格常数是2/ a，它的
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
例题3.3 体心立方的第一布里渊区
体心立方正格子空间的基矢为：
a1
a (i 2
j
k)
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
它的倒格子空间的基矢为：b1
倒格子定义
倒格子（reciprocal lattice）
定义：对布拉伐格子（ Bravais lattice）中所有的格矢 R ，有一系列 动量空间矢量 G ，满足
G R 2m
e
iGR
1
m为整数
G 的集合，构成该布拉伐格子的倒格子，这些点称为倒 的全部端点 格点， G 称为倒格矢，因此布拉伐格子也称为正格子（direct lattice） 等价关系：知道 G，就知道 R ；反过来也一样。它们满足Fourier变 换关系，因此，倒空间也称Fourier空间。
V r V r R
V r 在各原胞的相应点上均相同（晶体是个等势体）。这种具有 晶格周期性的函数，可以展开为傅立叶级数：
V r V G eiGr
G
凡是具有晶格平移对称性的函数，都可以以 e
iGr
为基函数作傅里叶级数展开
式中求和取遍矢量G 的一切可能值，当 r 变为 r R 时，要求：
2 ai b j 2ij 0 i j i j
i, j 1, 2,3
如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任意的，满足上 述正交关系。
从布洛赫波波矢出发定义倒格矢:
1. 在周期势场中运动的单电子波函数 (k, r)可展开为波 矢为k+G的平面波的线性迭加，式中G是倒格矢. 2. 对同一能带，当用波矢量k标志电子状态时，相差一个 倒格矢的两个状态是等价的，据此可引入简约布里渊区 的概念。
倒格子的定义
—为什么引入倒格子？ 从X射线晶体学定义倒格子:
1. 倒格矢与晶面间具有相互对应的关系。晶格的一簇晶 面转化为倒格子空间中的一点。 2. 倒格矢与布拉格反射面间具有一一对应关系（入射 X 射线将在与倒格矢垂直的晶面 (h1h2h3) 上产生布拉格反 射），利用倒格子概念可简化对 X 射线图案的分析。衍
-倒格子
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
v*
b1 (b2 b3 )
(2 )3
v
2 3
a1 (a2 a3 )
证明提示：将 b1,b2,b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
b1
2π Ω
a2 a3
同理得：
2π
a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
倒格矢：
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
2π
b1 2π a2 a3 2π i
Ω
a
2π
2π
b2 a3 a1 j
Ω
a
b3 2π a1 a2 2π k
Ω
a
b1 2π i a 2π
b2 j a
b3 2π k a
b1 2π i a
b2 2π j a
b3 2π k a
K h1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3
G n1b1 n2 b2 n3b3
简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
v*
b1 (b2 b3 )
(2 )3
v
2 3
a1 (a2 a3 )
证明提示：将 b1,b2,b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
b1
2π Ω
a2 a3
同理得：
2π
a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
倒格矢：
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
2π
b1 2π a2 a3 2π i
Ω
a
2π
2π
b2 a3 a1 j
Ω
a
b3 2π a1 a2 2π k
Ω
a
b1 2π i a 2π
b2 j a
b3 2π k a
b1 2π i a
b2 2π j a
b3 2π k a
K h1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3
G n1b1 n2 b2 n3b3
简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
1.3倒格子,固体物理
2π ( i j )
0 (i j )
a 2 b1 0 a1 b1 2
a 2 a2 j
a 1 a1 i
b2
2π a2
2π b1 i a1
a1 b 2 0 a 2 b 2 2π
2π b2 j a2
正格子
b1 2π
a1
倒格子
K h h1 b1 h2 b 2 3b1 2b 2 2π 2 π 倒格子是边长分别为 , 的长方形格子。 a1 a2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a
FCC基矢：
a a1 i j 2 a a2 jk 2 a a3 ki 2
2π b2 ik a b3
2π i j a
2π b3 i j a
倒格子基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格子基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是正格子原胞的体积
与 K n h b1 h b 2 h b 3 ( h1 所联系的各点 , h , h 为整数 ) 2 3 1 2 3 的列阵即为倒格子。
第三节 倒格子
本节主要内容: 一、倒格子定义
二、倒格子与正格子的关系
三、倒格子与傅里叶变换
前面讨论原子(基元)在坐标(实,位置)空间中的排列-----正格子,正空间 从坐标的倒易空间，即波矢K空间看晶体结构-----倒空间
固体物理(第4课)倒易空间讲解
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
r
n
n1 n2 n3
n
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
2
Gh k -k0 (S S0 )
有 Rl• Gh = 2π u
( Rl和Gh 不一定平行)
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。
若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.
)e
iGn
r
Γ
(
r
)是
(Gn
)的傅里叶逆变换
n
傅 里 叶 变 换 ： F () f (t)eit dt -
傅 里 叶 逆 变 换 ：f (t) 1 F ()eit d 2 -
2
T
总结：
晶体点阵 实际晶体结构
显微图像 微观粒子 线度量纲：L 位置空间 坐标空间
(b1，b2，b3)如何确定？
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
（1）.倒矢与正格矢的关系：
点 阵 ： 原 胞 基 矢a1、a2、a3
b1 b2
b3
2
2 2
a2 a3 V a3 a1 ， V V a1 a2
VBiblioteka a1 (a2r
n
n1 n2 n3
n
Gn为倒格矢，Gn n1b1 n2b2 n3b3，n1、n2、n3 Z
第三章能带理论习题和答案
第三章 能带论习题和答案1．布洛赫函数满足)()(r e R r nR ik n ϕϕ∙=+，何以见得上式中k 具有波矢的意义？[解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ϕ展成付里叶级数∑∙++=hrKK i h h e K K a r )(//)()(ϕ ,其中/K 是电子的波矢。
将)(r ϕ代入 )()(r e R r nR ik n ϕϕ∙=+得到 n nR ik R ik e e∙∙=/其中利用了p p R K n h (2π=∙是整数），由上式可知，/k k =， 即 k 具有波矢的意义。
2． 波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？[解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为1b ，2b ，3b ，而波矢空间的基矢分别为 11/N b ，22/N b ，33/N b ；1N ，2N ，3N 分别是沿正格基矢1a ，2a ，3a 方向晶体的原胞数目。
倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321)(Ω=⨯∙b b b ，波矢空间中一个波矢点对应的体积为 NN b N b N b *332211)(Ω=⨯∙ 即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的N /1 。
由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。
也就是说， 波矢点在倒格空间看是极其稠密的。
因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。
3．与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答] 当电子的波矢k 满足关系式 0)2(=+∙nn K k K 时，与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用。
此时，电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上，k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于2/n K 。
4．一维周期势函数的付里叶级数 ∑=nnx ain eV x V π2)(中，指数函数的形式是由什么条件决定的？[解答] 周期势函数)(x V 付里叶级数的通式为 ∑=nx i n n e V x V λ)(。
傅里叶变换和倒格子
j
3 2
i
1 2
j
2 a
i
1 3
j
,
b2
2
a2 a1 a2
j
2
a
j
ai
a
1 2
i
3 2
j
2 2 j a3
FCC点阵和原胞
BCC点阵的倒易点阵
面心立方倒格子基矢
• 正空间基矢： • 倒易空间中的基矢
a1
1 2
a(i
j), a2
1 2
a(j k),a3
1 2
a(k
i)
b1 2
傅里叶变换、倒格子（倒易空 间）及布里渊区
周期性函数f(x)的傅里叶级数和傅里 叶系数
矩形函数的傅里叶级数展开 （1,2,3,4）
傅里叶变换
,
矩形函数
Sinc函数，矩形函数的傅里叶变换
周期性函数
• 晶体中的周期性函数在每个晶胞中都一样
f ((r) T(n1, n2,...)) f (r)
X射线是电 磁波，衍射条件是光程差D为波长的整数
Rl l1a1 l2a2 l3a3
A
D CO OD CO Rl S0
k0
Rl
OD Rl
（ S
S0）
S
，k0
2
Rl （ k k0） 2 ， k 2 4 sin
S
S0
k
S0，k
O
2
S
k0 n Kh
2n
d hk l
s Kh
k k0 s
I Fh2kl f 2[1 cosn(h k) cosn(h l) cosn(k l)]2 f 2[sin n(h k)sin n(h l) sin n(k l)]2
高二物理竞赛课件：倒格子
二维倒格子
倒格子
倒格子矢量与晶面对应关系
注意不是密勒指数(hkl)，而是面指数 (h1h2h3)。意即该晶面族最靠近原点晶 面的截距分别为a1/h1, a2/h2, a3/h3
可以证明得到
与晶面ABC正交
倒格子
倒格子与晶格的几何关系
原点O引晶面族ABC的法线O么含义？正交关系！即b1与a2和a3正交！
看a2和a3确定的平面，即a2×a3矢量垂直于该平面
a3 a2
利用正交关系有：
则有b1与 可设
平行
然后可得：
倒格子基矢
倒格子
以它们为基矢构成一个倒格子，倒格子每个格点的位置 倒格子原胞体积是正格子原胞体积的倒数：
二维倒格子
倒格子
二维正格子
b a
简单立方晶格k空间的二维示意图
倒格子
正倒格子对应关系
晶体结构
1. 正格子
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
2.与晶体中的原子位置相对应 3.是真实空间中点的周期性排列 4. W-S原胞
5. 量纲为[长度]
1.倒格子
K h h1b1 h2b2 h3b3
2.与晶体中的晶面族相对应
3.是与真实空间相联系的傅里叶 空间（K空间）中点的周期性排列 4. 布里渊区 5. 量纲为[长度]-1
倒格子
倒格子
定义：对于布拉伐格子中所有的格矢Rl，有一系列动量空间 矢量Kh ，满足
的全部端点的集合，构成该布拉伐格子的倒格子，这些 点称为倒格点， Kh为倒格矢 布拉伐格子也称为正格子，它们满足傅里叶变换关系， 因此，倒空间也称为傅里叶空间
对于正格子
有
如果选择一组b，使
倒格子矢量Kh
bj就是倒格子基矢， Kh具有平移对称性
-倒格子
C
a3/h3
a3
G
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为
d
2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
倒格子空间
又称状态空间或
简称为k空间
描述微观粒子运动状态的波矢k具有和倒格子空间
同样的量纲。
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
* (2 )3
2）正格子中一簇晶面
和
正交
—— 可以证明
Gh1h2h3 CA 0 Gh1h2h3 CB 0
与晶面族正交
a1 cos a1, n h1d a2 cos a2 , n h2d a3 cos a3 , n h3d
cos a1 , n
h1 d a1
cos a 2 , n h2 d a2
cos a 3 , n h3 d a3
对于立方晶系：
2π
a
h1 i h2 j h3 k
2π K a h1h2h3
h12 h22 h32
d K2π h1h2h3
h1h2h3
a
h12 h22 h32
法二： 设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1 , a2 ,上a的3 截距分别为
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王晴晴等 解析倒格子空间和波矢空间
７３
Ｘ 射线是一种波长约为 ０������ ００１ － １０ ｎｍ 的电磁 波ꎬ与晶体中原子间距在同一个数量级ꎬ所以当用 Ｘ 射线照射到晶体时可观察到 Ｘ 射线的干涉[３]３ －６ 、衍 射现象[４] ꎮ 如图 ２ 所示ꎬ晶面族对 Ｘ 射线来说构成 一系列反射面ꎮ 已知波长 λ 的单色 Ｘ 射线照射到 晶体后ꎬ同一晶面族不同晶面反射的波会产生位相 差ꎬ干涉的结果使得只有在某特定角度 θ 发生相干 相长( 满足布拉格条件[３]５４ － ５５２ｄｓｉｎθ ＝ ｎλꎬｎ 为衍射 级数ꎬｄ 为面间距)ꎮ 通过对待测晶体进行 Ｘ 射线衍 射获得图谱ꎬ可测出衍射峰的相对强度和对应的晶 面间距ꎬ进而求出对应的衍射指数( ｈｋｌ) ꎮ
图 ２ Ｘ 射线入射晶体图示
通过 Ｘ 射线衍射实验获得的衍射图样直接反 映了晶格结构的特征ꎬ每一个衍射峰对应一组衍射 指数( ｈｋｌ) ꎮ 具体的衍射峰对应的衍射指数可通过 查阅粉末衍射 － ＪＣＰＤＳ 卡片( 简称 ＰＤＦ 卡片) 查阅ꎬ Ｘ 射线衍射图谱就像是晶体的指纹一样ꎬ每种晶体 具有其特定的 Ｘ 射线衍射图谱ꎬ可用来确定晶体材 料的物相[５] ꎮ 如图 ３ 所示为 Ｓｉ 的标准 Ｘ 射线衍射 图谱( ＪＣＰＤＳ Ｎｏ. ２７ － １４０２) ꎬ根据图谱可求出衍射 峰对应的晶面间距 ｄ(ｈｋｌ) 和晶格常数ꎮ
图 ３ Ｓｉ 的标准 Ｘ 射线衍射图谱
２ 倒格子空间
为了更好地理解 Ｘ 射线衍射图谱并应用于晶
体学研究ꎬ引入了倒格子的概念ꎮ 将晶格中的一族
晶面转化为倒格子空间中的一点ꎬ而倒格矢与衍射
指数具有一一对应关系ꎮ 正格子空间ꎬ即坐标空间ꎬ
其量纲为长度单位ꎬ用显微镜如 ＳＥＭ 可看到真实晶
格结构映象ꎬ对应原子或分子ꎮ 倒格子空间ꎬ用 Ｘ
收稿日期:２０１８ － ０１ － １８ ∗通讯联系人 基金项目:安徽省教育厅国内访问研修项目( ＧＸＧＮＦＸ２０１８０５９) ꎻ蚌埠学院质量工程项目(２０１７ＪＹＸＭＬ１９) ꎮ 作者简介:王晴晴(１９８５ － ) ꎬ女ꎬ安徽砀山人ꎬ讲师ꎬ博士ꎮ Ｅ － ｍａｉｌ:ｓｕｎｎｙ３４０６＠ １６３. ｃｏｍ
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ｗａｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｐｏｉｎｔｓ ｉｎ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｓｏｌｉｄ ｓｔａｔｅ ｐｈｙｓｉｃｓ. Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｘ￣ｒａｙ ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｅꎬ ｉｔ ｇａｖｅ ａ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅꎬｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ ｗａｓ ｐａｉｄ ｃｌｏｓｅ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｇｒａｐｈｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ:ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ｌａｔｔｉｃｅꎻｗａｖｅ ｖｅｃｔｏｒꎻＸ ｒａｙ ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎꎻＢｒｉｌｌｏｕｉｎ ｚｏｎｅ
射线衍射可看到倒格子的映象ꎬ对应晶体中的一族
Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ Ｌａｔｔｉｃｅ Ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｗａｖｅ Ｖｅｃｔｏｒ Ｓｐａｃｅ
ＷＡＮＧ Ｑｉｎｇ￣ｑｉｎｇ∗ꎬＧＯＮＧ ＨａｏꎬＣＨＥＮＧ Ｒｏｎｇ￣ｌｏｎｇꎬＧＥ Ｌｉ￣ｘｉｎ
( Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ ＳｃｉｅｎｃｅꎬＢｅｎｇｂｕ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＢｅｎｇｂｕꎬ２３３０３０ꎬＡｎｈｕｉ)
２ ０１８ 年１ 第 ７ 卷 第
０ ５
期月
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｅｎｇｂｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｏｃｔ ������ ２ ０ １ ８ Ｖｏｌ������ ７ꎬＮｏ������ ５
解析倒格子空间和波矢空间
王晴晴∗ꎬ宫 昊ꎬ程荣龙ꎬ葛立新
( 蚌埠学院 理学院ꎬ安徽 蚌埠 ２３３０３０)
由大量原子或离子组成的晶体以一定的晶格结 构周期性排列ꎬ原子或离子排列的具体形式称为晶 格ꎬ构成了正格子空间ꎮ 由于晶体的长程有序ꎬ对晶 体进行 Ｘ 射线衍射会得到清晰的衍射图像ꎬ这也是 区别晶体和非晶的重要实验手段ꎬ而衍射图样与衍 射指数具有一一对应的关系ꎬ进而引入了倒格子空 间的概念[１ －２] ꎮ 在探讨晶格振动的周期性边界条件 和能带理论的过程中ꎬ在倒格子空间的基础上又引 入了波矢空间(或 ｋ 空间、动量空间)ꎮ 至此在学习 固体物理及相关课程中有了正格子空间、倒格子空 间和波矢空间三个空间体系ꎮ 正格子空间相当于拿 显微镜将晶体表面放大ꎬ看到的是原子或离子ꎬ相对 好理解ꎻ倒格子空间和波矢空间的概念却非常抽象ꎬ 很难建立清晰的物理图像ꎮ 倒格子和波矢是理解 Ｘ 射线衍射、晶格振动、能带理论和晶体中电子运动行 为等相关知识的基础ꎬ其物理内涵及其实质非常重 要ꎮ 教材中通常是从数学上对其定义ꎬ很难对其中
摘 要:在固体物理学课程中ꎬ理解倒格子空间和波矢空间一直是学习的难点之一ꎮ 从 Ｘ 射线衍射实验出发ꎬ并结
合正格子空间ꎬ对倒格子空间和波矢空间进行了详细的解读ꎬ并且采用图形实例给出了凸显物理内涵的解释ꎮ
关键词:倒格子ꎻ波矢ꎻＸ 射线衍射ꎻ布里渊区
中图分类号:Ｇ６４２ꎻＯ４８ － ４
文献标识码:Ａ
文章编号:(２０１８)０５ － ００７２ － ０４
பைடு நூலகம்
的物理内涵进行深刻的理解ꎬ本文采用图文并茂、通 俗易懂的语言从 Ｘ 射线衍射实验开始ꎬ带领读者进 入倒格子空间和波矢空间ꎮ
１ 晶体的 Ｘ 射线衍射实验
晶体是原子的周期排列ꎮ 从不同角度看ꎬ布拉 伐格子将会出现不同的晶面族ꎬ如图 １ 所示为晶格 的 ２ 个不同晶面族ꎬ不同晶面族的面间距 ｄ 不同ꎮ
图 １ 晶格的不同晶面族