数学高等代数第五版

A
A B
B
例如，A={1，2，3}，B ={1，2，3，4}，则 A B {1,2,3,4} 根据定义，我们有 又例如， A是一切有理数的集合 ，B是一切无理数的集 ( x A B) ( x A或x B) 合，则 A B 是一切实数的集合. 显然， ( x A B) ( x A且x B) A ( A B) 或 A ( A B)
A是B的子集，记作：
( A B) (对于一切x : x A x B)
如果A不是B的子集，就记作： A Ø B 或 A Ù B . 因此，A 不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于 B， 即：
( A Ø B) (存在一个元素x : x A但x B)
例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一 切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后 者. 集合{1，2，3}不是{2，3，4，5}的子集. 根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即：A A 如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就 说A与B相等，记作：A=B. 我们有
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对 应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
f :AB
1.2.2
映射的相等及像
设 f : A B ， : A B 都是A到B的映射，如果对于每 g 一 ，都有 f g ，那么就说映射f与g是相等的. 记作 f g 例7 令 f : R R, x | x | ， g : R R, x x 2 . 那么 f g . 设 f : A B 是一个映射. 对于 x A，x的象 f ( x) B . 一切 这样的象作成B的一个子集，用 f ( A) 表示： f (a) { f ( x) | x A} ， 叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
Q 注意：并没有要求B是A的子集. 例如， C Ø
积运算： 设设A，B是两个集合，令
A B {( a, b) | a A, b B}
称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. A B 是一切元素对（a, b ）所成的集合，其中第一个 位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.
1．2 映射
( x A B) ( x A或x B)
两个集合A与B不一定有公共元素，我们就说它们的交 集是空集.
例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集 合，那么 A B 就是空集. 又如方程 x 2 1 0 的实数根 的集合为空集.
空集是任意集合的子集.
运算性质: 交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : ( A B) C A ( B C ) ; ( A B) C A ( B C ) 分配律 : A B C A B A C 我们选取一个来证明. 例1 证明 A B C A B A C 反之，若xx ( B)C ，那么 x A且 x B C 或 证明 设 A A B ( A C ) ，那么 x A B ，于是 者 且至少属于 与C ， B C 若 x B ，那么因 C x x A A C . 但 B BB C中的之一. ，所以不论哪一 种情形都有 x A xB C B，所以 为 x A ，所以， A ；同样，若 x C ， 则 x A C A. B A C A B C ( A B) ( A C ) . 不论哪一种情形都有 x 这就证明了上述等式. B A C 所以 A B C A
1.1.2 集合的表示方法
枚举法: 例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限 a 集合 a1 , a 2 ,, a n 表示成： , a ,, a . 前五个正 1 整数的集合就可以记作 ,2,3,4,5 . 枚举仅用来表示有限集合.
1 2 n
拟枚举: 自然数的集合可以记作 ,2,3,4,5....n..... , 拟枚举 1 可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数… 概括原则: 如果一个集 A 是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号 A {x | x具有某一性质 来表示. 例如
到B的一个映射. 如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么 就写作 f : x y 这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
f (x)
例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令 f (n) 2n 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射， 例2 令R是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合 ， 对于每一 x R，令 f ( x) x 2 与它对应； 那么 f 是R到B的一个映射. f : x x2 ， 例3 设 A B {1,2,3,4} f : 1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射. 例4 设A是一切非负被减数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 x A，令 f ( x) x 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 x 0 时， f (x)不能由x唯一确 定.
A {x | x R,1 x 1}表示一切大于-1且小于1的实数 的所组成的集合. 常用的数集： 全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C
Байду номын сангаас
1.1.3 集合的包含和相等
设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那 么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 A （读作Ａ属于Ｂ），或 B 记作 B （读作Ｂ包含Ａ）. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的 A 的子集必要且只要对于每一个元素x，如果 x A，就 有xB . 例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而 后者又是一切实数的集合的子集.
A B C A B A C
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 设 A1 , A2 ,, An 是给定的集合. 由 A1 , A2 ,, An 的一切元 素所成的集合叫做 A1 , A2 ,, An 的并；由 A1 , A2 ,, An 的一切公共元素所成的集合叫做的 A1 , A2 ,, An 交. A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为： A1 A2 An 和 A1 A2 An . 我们有
( x A1 A2 A) ( x至少属于某一Ai , i 1,2,, n)
( x A1 A2 A) ( x属于每一Ai , i 1,2,, n)
差运算： 设A，B是两个集合，令 A B {x | x A但x B} 也就是说，A B 是由一切属于A但不属于B 的元素所组 成的，称为A与B 的差.
第一章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
基本概念
集合 映射 数学归纳法 整数的一些整除性质 数环和数域
课外学习1: 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村 ----评析数学进程中的三次危机
在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术 更为重要。 ――康托尔（Cantor,集合论的奠基人，1845－1918）
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作： B ，如图2所示. A
A B
显然，A B A ， A B B 例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
A B {2,3,4}
我们有 ( x A B) ( x A且x B)
一、 内容分布 1.2.1 映射的概念及例
1.2.2 映射的相等及像
1.2.3 映射的合成
1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射 的判断。 三、 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。
1.2.1 映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射 指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的 每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它 对应. 用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A
1.2.3 映射的合成
g 设 f : A B 是A到B 的一个映射， : B C 是B 到C 的 一个映射. 那么对于每一个 g ( f ( x))，，因而是C中的一 个元素. 因此，对于每一 x A，就有C 中唯一的确定 的元素 g ( f ( x)) 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射， g:BC 这映射是由 所决定的，称为 f 与 f : A和 B g 的合成（乘积），记作 g .于是有 f
g f : A C; ( g f )( x) g ( f ( x))
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
g f
A
f g
C
B
( A B) (对于一切x : x A x B)
例如，设A={1，2}，B是二次方程 x 2 3x 2 0 的根 的集合，则A=B.
( A B且B c) ( A C)
( A B且B A) ( A B)
1.1.4 集合的运算及其性质
并运算 设A，B 是两个集合. 由A的一切元素和 B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B. 如图1所示.