函数奇偶性在解题中的应用

函数奇偶性在解题中的应用

徐辉

函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。

1．用于求值

例１：已知奇函数，则

解：因为奇函数，

所以对任意，都有成立．

令，则有，从而可得；

令，则有，

从而

．

故．

注：此解利用了若函数是奇函数，则对定义域内的任意，都有这一性质，特别地，当０在定义域内时，必有．

2．用于比较大小

例２．已知偶函数在区间上单调递减，试比较的大小.

解：因为是偶函数，所以，故此题只需比较的大小即可．

又因在区间上单调递减，而且

所以，故．

注：此解利用了若函数是偶函数，则对定义域内的任意x，都有这一性质．当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质，首先得到在区间是单调递增的，然后再用单调性进行求解．

3．用于求最值

例３．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（）

A. 增函数且最小值为-5

B. 增函数且最大值为-5

C. 减函数且最小值为-5

D. 减函数且最大值为-5

解：由在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，有, 又是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称,

故有在[-7,-3]上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最大值，

故选B.

注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质.

4．用于求参数的值

例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值.

解：由是奇函数，知f(-x)=-f(x)，

从而，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0.

又由f(1)=2，知，得a+1=2b①，

而由f(2)＜3，知，得②

由①②可解得－1＜a＜2.

又a∈Z，∴a=0或a=1.

若a=0，则b=，应舍去；

若a=1，则b=1∈Z.

∴a=1，b=1，c=0.

注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0. 5．用于求函数的解析式

例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+2，求函数f(x)的解析式。解：当x<0时，－x>0，故f(－x)=(－x)2－2(－x)+2=x2+2x+2 因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，

于是f(－x)=－f(x)，从而当x<0时，f(x)=－f(－x)=－(x2+2x+2)=－x2－2x－2，

又当x=0时，f(0)=f(－0)=－f(0)，从而f(0)=0，

因此f(x)在(-∞，+∞)上的解析式是

注：(1)若x=0在奇函数的定义域内，则其图像必过原点；(2)由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，基本思想是通过“－x”实现转化；(3)容易漏求当x=0时的解析式（前提是指０在定义域内）．

6．用于讨论函数的单调性

例６．试讨论函数f(x)=的单调性．

解: 易知f(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 因此可先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性, 再根据奇函数的图像关于原点对称这一性质得到f(x)在(-∞,0)上的单调性.

设且，则①若，则，，

所以，即，故f(x)在（0，2]上单调递减；

②若，则，，

所以，即，故f(x)在（2，+∞）单调递增．

又因f(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 其图像关于原点对称

故f(x)在[-2,0)和（0，2]上单调递减，在(-∞,-2)和（2，+∞）单调递增．

注：利用函数的奇偶性讨论函数的单调性，只需讨论原点左或右单侧的单调性，然后利用对称性写出另一侧的单调性即可．7．用于判断函数奇偶性

例７. 已知函数是偶函数，且不恒等于0，则（）

A. 是奇函数

B. 是偶函数

C. 可能是奇函数也可能是偶函数

D. 不是奇函数也不是偶函数解：令,

则

所以是奇函数，

又是偶函数,

因此f(x)是奇函数，故选A。

注:一般地,在公共的定义域内,我们有:奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数. 运用以上性质可

帮助解决和积函数的奇偶性问题.

8．用于判断函数图像的对称性

例8.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且，

试证：（1）f(0)=1; (2)f(x)的图象关于y轴对称。

解：（1）令x=y=0，有，又∴; （2）令x=0，得

∴

∴为偶函数，

∴的图象关于y轴对称.

注:(1)如果能说明一个函数是奇函数或是偶函数,就能说明它的对称性;(2)抽象函数奇偶性的证明，常用到赋值法及奇偶性的定义.

9．用于解方程

例9．解关于x的方程.

解：原方程等价于，

令则，

若再令，则上式可化为

，

考察函数，显见其为奇函数且在Ｒ上是增函数，故有，

从而，