函数奇偶性在解题中的应用
函数的奇偶性的判断及其应用-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
函数的奇偶性的判断及其应用【高考地位】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．类型一 函数奇偶性的判断万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 确定函数的定义域；第二步 判断其定义域是否关于原点对称；第三步 若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论.例1 判断下列函数的奇偶性：(1) 22()99f x x x =--(2) 1()(1)1x f x x x -=++(3)24()33x f x x -=+-.【解析】（1）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-090922x x 得3±=x ，所以函数的定义域为{}33，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为{}33，-，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-99992222第四步，得出结论. 所以函数为偶函数。
（2）第一步，确定函数的定义域： 由不等式011≥+-xx得11≤<-x ，所以函数的定义域为(]11，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为(]11，-，所以定义域不关于原点对称第三步，得出结论.所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。
（3）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥-033042x x 得02<≤-x 或20≤<x ，所以函数的定义域为[)⋃-02，或(]20， 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为[)⋃-02，或(]20，，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()x f xx x x x f -=--=---=-2244第四步，得出结论. 所以函数为奇函数。
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。
函数奇偶性的六类经典题型
奇偶性类型一：判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3），关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称∴为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， 即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －1 2.求函数的解析式 （1）为R 上奇函数，时，，解：时，∴∴ （2）为R 上偶函数，时，解：时，∴类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f(x)= xln （2a x +a=【解题指南】f(x)= xln （x+2a x +2ln()y x a x =+是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－13.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.4.若函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法） 解析：由题意知，函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：05.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）解析：当x >0时，－x <0， 由题意得f (－x )＝－f (x )， 所以x 2－x ＝－ax 2－bx ， 从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0. 答案：06.（1），为何值时，为奇函数； （2）为何值时，为偶函数。
高一数学函数奇偶性知识点归纳
高一数学函数奇偶性知识点归纳在高中数学学习中，函数是一个非常重要的内容，而其中奇偶性是函数的一个重要性质。
了解函数的奇偶性对于理解函数图像的对称性，解题以及应用等方面都有着至关重要的作用。
本文将围绕高一数学函数奇偶性的相关知识点展开归纳。
1. 函数的定义函数是一种关系，其中每个自变量的取值都唯一地确定了一个因变量的取值。
函数可以用数学符号表示为 f(x)，其中 x 表示自变量，而f(x) 表示因变量。
2. 奇函数的定义与性质奇函数是指满足 f(-x)=-f(x) 的函数。
具体来说，如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x) 就是一个奇函数。
奇函数具有如下性质：- 函数图像关于原点对称；- 如果函数在原点处定义，那么 f(0)=0；- 如果函数图像关于 y 轴对称，那么函数是奇函数。
3. 偶函数的定义与性质偶函数是指满足 f(-x)=f(x) 的函数。
具体来说，如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x) 就是一个偶函数。
偶函数具有如下性质：- 函数图像关于 y 轴对称；- 如果函数在原点处定义，那么 f(0)=0；- 如果函数图像关于原点对称，那么函数是偶函数。
4. 奇偶性与对称性函数的奇偶性与其图像的对称性密切相关。
如果一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称；如果一个函数是偶函数，那么它的图像关于 y 轴对称。
5. 奇偶性的判断方法判断一个函数的奇偶性可以通过以下方法：- 观察函数的解析式，如果 f(x) 中不包含任何偶数次幂的 x，那么该函数可能是奇函数；- 判断函数图像关于原点的对称性，如果图像关于原点对称，则函数可能是奇函数；- 检验函数的定义域和值域，如果函数在原点处满足 f(0)=0，那么函数可能是奇函数；- 利用函数的性质和性质的推论来判断奇偶性。
6. 奇偶函数的性质奇偶函数有一些特殊的性质：- 奇函数与奇函数的和（或差）是奇函数；- 偶函数与偶函数的和（或差）是偶函数；- 奇函数与偶函数的积是奇函数；- 奇函数在 0 点对称的点函数值相等；- 偶函数在 0 点对称的点函数值相等。
函数的奇偶性的应用题型归纳
函数的奇偶性的应用题型归纳一、 求函数值例1、已知函数5)(24+++=x cx ax x f ，若f （－3）＝－3，求f （3）的值。
分析：若将f （－3）＝－3展开，显然无法求出a ，c 的值，只能将81a ＋9c 视为整体 来求f （3），进一步观察函数结构，可构造函数解题。
解：设5)(24++=cx ax x g ，则g （x ）为偶函数，且g （x ）＝f （x ）－x ，因为)()()(),()(x x f x g x g x g ---=-=-，所以x x f x x f -=---)()()(，所以x x f x f 2)()(=--，所以6)3()3(=--f f ，又因为3)3(-=-f ，所以.3)3(=f二、 求函数解析式 例2、已知f （x ）是R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求f （x ） 的解析式。
分析：要求f （x ）在R 上的解析式，条件已给出f （x ）在),0(+∞上的解析式，还需求当0≤x 时f （x ）对应的解析式。
解：方)0,(-∞∈x ，),0(+∞∈-x ，所以)1()1()(33x x x x x f --=-+-=-因为f （x ）是R 上的奇函数，所以)1()()(3x x x f x f -=--=，)0,(-∞∈x ，在)()(x f x f -=-中，令x ＝0，得f （0）＝0，所以⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=0),1(0,00),1()(33x x x x x x x x f 即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0),1(0),1()(33x x x x x x x f 点评：利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：（1）设，即将自变量x 设在未知区间上；（2）化，即将x 转化到已知区间上；（3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式。
另外，若奇函数f （x ）在原点处有定义，则f （0）＝0.三、 比较大小例3、已知f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是单调增函数，比较)0(),1(),5.0(f f f -- 的大小。
掌握中考数学解题技巧如何应对函数的对称性和奇偶性问题
掌握中考数学解题技巧如何应对函数的对称性和奇偶性问题函数的对称性和奇偶性问题在中考数学中是一个重要的考点，通过掌握相应的解题技巧，可以更好地应对这类问题。
本文将介绍如何通过观察函数的图像和运用相应的性质来解决这类数学问题。
一、函数的对称性问题对称性是函数图像的一个重要特征，通过观察函数图像的对称性可以得到一些有用的信息。
常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。
1. 关于x轴对称若函数图像关于x轴对称，即对于函数f(x)，有f(-x) = f(x)，则函数在对称轴上的函数值相等。
对于这类对称性问题，我们可以通过观察函数的部分图像来确定函数的性质。
例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，若其图像关于x轴对称，则a = 0，此时函数为一次函数。
2. 关于y轴对称若函数图像关于y轴对称，即对于函数f(x)，有f(-x) = -f(x)，则函数在对称轴上的函数值相等但符号相反。
同样，我们可以通过观察函数的图像来判断函数的性质。
例如，对于奇次函数，其图像关于y轴对称，而对于偶次函数，其图像关于y轴对称。
3. 关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数f(x)，有f(-x) = -f(x)，则函数在原点对称。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数的性质。
例如，对于奇次函数，其图像关于原点对称，而对于偶次函数，其图像关于原点对称。
二、函数的奇偶性问题奇偶性是函数的一个重要性质，同样可以通过观察函数的图像和运用相应的性质来解决相关数学问题。
下面我们将介绍奇函数和偶函数的性质以及解题技巧。
1. 奇函数若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
奇函数的特点是在定义域内，当变量取相反数时，函数值取相反数。
例如，对于一次函数y = kx，当x取相反数时，函数值取相反数；对于三次函数y = ax^3 + bx，同样满足奇函数的性质。
在解题过程中，我们可以利用奇函数的性质简化计算。
高一数学：函数奇偶性题型及求解的8种策略
高一数学：函数奇偶性题型及求解的8种策略
函数的奇偶性是函数的重要性质,也是每年高考的重要内容和热点内容之一,函数的奇偶性可以解决下列几类问题.
一、利用奇偶性的定义判断
【点评】解抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法,即赋予恰当的数值,利用定义经过运算与推理,最后得出结论.
【点评】本题考查函数奇偶性的判定,注意要先分析函数的定义域.定义域不对称,则非奇非偶.
【点评】本题考查偶函数的定义，根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论.
【点评】考查奇函数的定义,已知函数求值的方法,解决本题的关键是利用奇函数的性质把自变量转化为
四、利用奇偶性的对称性解题
【点评】本题考查了偶函数的性质,以及函数的单调性的应用,一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小.
【点评】本题以不等式为载体,考查函数的单调性和奇偶性,由题意可得 f (x) 为R上的奇函数和增函数,故脱掉“f ”,问题转化为解一元不等式问题解决.
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,考查计算能力.一般设出所求自变量解析式所在的范围,把所求范围转化为已知解析式的定义域,利用函数的奇偶性化简即可求出解析式.
七、利用函数的性质求恒成立问题
【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合,其中根据已知条件及偶函数在对称区间上单调性相反,得到函数的单调性是解答本题的关键.
八、变形构造奇偶函数求参数。
函数奇偶性的六类经典题型
奇偶性类型一：判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3），关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称∴为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －1 2.求函数的解析式 （1）为R 上奇函数，时，，解：时，∴∴ （2）为R 上偶函数，时，解：时，∴类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f(x)= xln （2a x +a=【解题指南】f(x)= xln （x+2a x +2ln()y x a x =+是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－13.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.4.若函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法） 解析：由题意知，函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：05.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）解析：当x >0时，－x <0， 由题意得f (－x )＝－f (x )， 所以x 2－x ＝－ax 2－bx ， 从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0. 答案：06.（1），为何值时，为奇函数； （2）为何值时，为偶函数。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案第一章：函数的单调性1.1 单调性的定义引导学生理解函数单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义。
通过示例来说明函数单调性的判断方法。
1.2 单调性的性质引导学生了解单调性的几个重要性质，如单调性的传递性、复合函数的单调性等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第二章：函数的奇偶性2.1 奇偶性的定义引导学生理解函数奇偶性的概念，了解奇函数和偶函数的定义。
通过示例来说明函数奇偶性的判断方法。
2.2 奇偶性的性质引导学生了解奇偶性的几个重要性质，如奇偶性的对称性、奇偶性与单调性的关系等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第三章：单调性和奇偶性的综合应用3.1 单调性和奇偶性的关系引导学生了解单调性和奇偶性之间的关系，如奇函数的单调性、偶函数的单调性等。
通过示例来说明单调性和奇偶性在解决问题时的综合应用。
3.2 单调性和奇偶性的应用实例给出一些实际问题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决这些问题。
通过示例来说明单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
第四章：函数的单调性和奇偶性的判断4.1 单调性和奇偶性的判断方法引导学生了解判断函数单调性和奇偶性的方法，如导数法、图像法等。
通过示例来说明这些方法的运用。
4.2 单调性和奇偶性的判断实例给出一些具体的函数，引导学生运用判断方法来确定这些函数的单调性和奇偶性。
通过示例来说明单调性和奇偶性的判断过程。
第五章：函数的单调性和奇偶性的综合应用练习5.1 单调性和奇偶性的综合应用练习题提供一些练习题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决问题。
通过练习来巩固学生对单调性和奇偶性的理解和应用能力。
5.2 练习题解答和解析对练习题进行解答和解析，帮助学生理解和巩固解题思路和方法。
通过解答和解析来提高学生对单调性和奇偶性的应用能力。
第六章：函数的单调性和奇偶性在图像分析中的应用6.1 图像的单调区间引导学生如何通过函数图像来判断函数的单调区间。
高一函数奇偶性常考知识点
高一函数奇偶性常考知识点函数的奇偶性是高中数学中的一个重要概念，也是函数性质分析中经常出现的题型。
了解函数的奇偶性特点，可以帮助我们简化计算和解题过程。
本文将介绍高一函数奇偶性的常考知识点。
一、函数的奇偶性概念函数的奇偶性是指函数关于坐标原点的对称性。
具体而言，如果对于任意的x，函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则函数f(x)称为偶函数；如果对于任意的x，函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则函数f(x)称为奇函数。
二、奇偶性的性质1. 偶函数的性质- 偶函数关于y轴对称，即图像关于y轴对称；- 偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一个区间；- 偶函数的图像在y轴上对称，即对于图像上的每一点(x, y)，也存在相应的点(-x, y)，在图像上对应的两点关于y轴对称。
2. 奇函数的性质- 奇函数关于原点对称，即图像关于原点对称；- 奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一个区间；- 奇函数的图像关于原点对称，即对于图像上的每一点(x, y)，也存在相应的点(-x, -y)，在图像上对应的两点关于原点对称。
三、计算函数的奇偶性1. 利用函数表达式判断奇偶性- 当函数表达式中只含有偶指数幂的项且系数非零时，函数为偶函数；- 当函数表达式中只含有奇指数幂的项且系数非零时，函数为奇函数；- 当函数表达式中含有奇数个奇指数幂的项且系数非零时，函数既不是偶函数也不是奇函数。
2. 利用函数的性质判断奇偶性- 若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；- 若函数的图像关于y轴对称而不关于原点对称，则函数为偶函数；- 若函数既不关于y轴对称也不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数。
四、常见函数的奇偶性1. 偶函数的例子- 幂函数：y = x^n（n为正整数且为偶数）- 余弦函数：y = cos(x)- 绝对值函数：y = |x|- 常函数：y = k（k为常数）2. 奇函数的例子- 正弦函数：y = sin(x)- 正切函数：y = tan(x)- 反正比函数：y = cot(x)- 倒数函数：y = 1/x（x ≠ 0）五、应用函数的奇偶性在数学题目中有广泛的应用，常见的应用包括：1. 确定函数的对称中心：根据函数的奇偶性，可以确定函数图像的对称中心，帮助我们更好地绘制函数图像；2. 确定函数的性质：根据函数的奇偶性，可以快速判断函数的性质，如极值点、零点等；3. 简化计算过程：根据函数的奇偶性，可以简化函数的计算过程，并帮助我们更快地求解问题。
函数奇偶性基本题型及求解策略
函数奇偶性基本题型及求解策略函数的奇偶性是函数的重要性质，也是每年的高考重要内容和热点内容之一，函数的奇偶性可以解决下列几类问题。
一.利用奇偶性定义判断例1. 设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）A 、().()f x f x -是奇函数 B. ().|()|f x f x -是奇函数C 、()()f x f x --是偶函数D 、()+()f x f x -是偶函数解：由于()+[()]()()f x f x f x f x ---=-+，所以()+()f x f x -是偶函数，故选择D 。
点评：解抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值，利用定义经过运算与推理，最后得出结论。
例2. 已知函数f （x ）=1n （x+2）+1n （x ﹣2），则f （x ）是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【分析】根据题意，对于函数f （x ），先分析其定义域可得函数f （x ）的定义域为{x|x ＞2}，不关于原点对称，由函数奇偶性的性质可得答案．解：函数f （x ）=1n （x+2）+1n （x ﹣2），则有2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得x ＞2， 即函数f （x ）的定义域为{x|x ＞2}，不关于原点对称，则f （x ）是非奇非偶函数；故选：D ．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，注意要先分析函数的定义域．定义域不对称，则非奇非偶。
二.利用奇偶性求参数例3设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a= ．解：函数2()(1)(23)=2(32)3f x x x a x a x a =+++++，∵函数()f x 为偶函数，∴222(32)32(32)3x a x a x a x a -++=+++，∴32a +=0，,∴23a =-。
【点评】本题考查偶函数的定义，根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性和奇偶性的概念。
2. 让学生掌握判断函数单调性和奇偶性的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性：单调递增函数、单调递减函数。
2. 函数的奇偶性：奇函数、偶函数。
3. 函数的单调性和奇偶性的判断方法。
4. 函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法。
2. 教学难点：运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数的单调性和奇偶性概念及判断方法。
2. 利用案例分析法引导学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
3. 开展小组讨论法，让学生互相交流心得，提高解题能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，如商品打折、气温变化等，引导学生思考函数的单调性和奇偶性。
2. 讲解概念：讲解函数的单调性和奇偶性的定义，并通过图象进行演示。
3. 判断方法：教授判断函数单调性和奇偶性的方法，并进行练习。
4. 应用实例：分析实际问题，如物体的运动、经济的增长等，运用函数的单调性和奇偶性进行解答。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性和奇偶性概念的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生判断函数单调性和奇偶性的方法掌握情况。
3. 课后作业：分析学生完成作业的情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学反思1. 针对课堂教学过程，反思教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的反馈，调整教学策略，提高教学效果。
3. 探索更多实际问题，丰富教学案例，激发学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸1. 探讨函数的单调性和奇偶性在高等数学中的应用。
2. 引导学生关注函数的单调性和奇偶性在其他领域的应用，如物理、化学等。
函数奇偶性，解题妙应用
２０２３年１１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀函数奇偶性,解题妙应用◉江苏省海安高级中学㊀许㊀陈㊀㊀摘要:利用函数的奇偶性来解决函数的一些相关问题,是函数问题中最常见的一类基本类型．通过归纳,利用函数的奇偶性,来巧妙解决函数中的函数值㊁解析式㊁图象㊁最值以及不等式等相关问题,总结规律,以指导数学教学与复习备考．关键词:函数;奇偶性;函数值;解析式;图象㊀㊀函数的奇偶性是函数的基本性质之一,反映了函数图象的对称性特征,同时兼备函数自身中 数 与 形 的双重性质,是研究数学的一个基本工具,也是历年高考数学试卷中比较常见的一个重要知识点．同时,函数的奇偶性又可以很好地交汇与融合函数的基本知识,以及数学中的其他基本知识点,是充分体现高考 在交汇知识点处命题 指导思想的重要平台,倍受各方关注．１结合奇偶性确定函数值直接利用函数的奇偶性求解函数值及其相关应用是比较常见的一类问题,难度比较小,关键是合理应用函数奇偶性加以分析㊁转化与处理．例１㊀已知函数y＝f(x)是R上的奇函数,当x＞０时,满足f(x)＝x２－２x－１,则f(－３)的值是．分析:结合奇函数的定义,合理构建关系式f(－x)＝－f(x),取特殊值代入得到f(－３)＝－f(３),即可求解．解析:由于函数y＝f(x)是奇函数,则利用函数的奇偶性的定义,可知f(－３)＝－f(３)＝－(３２－２ˑ３－１)＝－２．故填答案:－２．点评:以上问题还可以先由f(３)＝３２－２ˑ３－１＝２,再结合函数y＝f(x)是奇函数,可得f(－３)＝－f(３)＝－２．正确把握函数的奇偶性,以及对应的自变量与函数值之间的关系,是分析与解决此类问题的关键所在．２结合奇偶性确定函数解析式直接利用函数奇偶性的定义,得到所对应的函数解析式之间的关系f(－x)＝－f(x),或f(－x)＝f(x),前者是奇函数的基本性质,后者是偶函数的基本性质,进而通过已知函数解析式的变形与转化,可以很好地确定一些相关函数的解析式问题．例２㊀已知函数f(x)是奇函数,且当x＞０时, f(x)＝x|x－２|,求当x＜０时,函数f(x)的解析式．分析:结合奇函数的定义,得到关系式f(－x)＝－f(x),通过已知解析式的合理转化,确定x＜０时f(x)的解析式．解析:当x＜０时,－x＞０,则有f(－x)＝－x|(－x)－２|．又因为f(x)为奇函数,所以f(x)＝－f(－x)＝x|(－x)－２|＝x|x＋２|．故当x＜０时,f(x)＝x|x＋２|．点评:利用函数奇偶性的定义来解决一些相关的函数解析式问题时,关键要注意函数自变量的正负取值情况以及变量之间的对应关系,合理替代,巧妙代换,通过整体思维㊁对应思维来分析与应用,从而解决一些涉及函数解析式以及对应的应用问题．３结合奇偶性判断函数图象利用函数基本性质奇偶性,通过结构特征来判断与之对应的函数图象的对称性问题,是函数奇偶性的一个非常直观形象的应用,可以便捷且直观地从函数图象来确定与函数奇偶性对应的性质[１]．例３㊀函数f(x)＝x l n|x|的图象可能是(㊀㊀)．分析:结合条件中给出的函数解析式来分析与判断已知函数的奇偶性,通过函数的奇偶性所对应的图象的对称性来分析排除相关的选项;在此基础上利用特殊点进一步合理排除相关的选项,巧妙判断．解析:对于函数f(x)＝x l n|x|,由于f(－x)＝７７解法探究２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀－x l n |－x |＝－x l n |x |＝－f (x ),则知函数f (x )＝x l n |x |是奇函数,可以排除选项A ,C ;又由于f(１e )＝１e l n |１e |＝－１e,其对应点在x 轴下方,因此可以排除选项B ．故选择答案:D ．点评:具体判断函数的图象以及相关问题时,可以借助函数的奇偶性来判断整个函数图象的对称性问题,而具体的一些细节,还要综合特殊函数值的确定㊁函数的极值与最值以及其他的一些基本性质与特征来综合处理．４结合奇偶性求解最值函数的奇偶性具有一定的对称性与反射性,由此可以通过函数图象的对称性与对应的函数值来解决一些与之相关的函数最值问题,从而判断一些与最值有关的函数问题[２]．例４㊀若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝f (x )＋g (x )＋２在(０,＋ɕ)上有最大值８,则在(－ɕ,０)上F (x )有(㊀㊀)．A．最小值－８㊀㊀㊀㊀㊀B ．最大值－８C ．最小值－６D．最小值－４分析:先根据条件确定函数关系式f (x )＋g (x )的最大值,结合函数f (x )和g (x )都是奇函数,可以确定函数f (x )＋g (x )在(－ɕ,０)上的最小值,进而确定函数F (x )在对应区间上的最小值问题．解析:根据题意可知函数f (x )＋g (x )在(０,＋ɕ)上有最大值６．又因为函数f (x )和g (x )都是奇函数,所以函数f (x )＋g (x )是奇函数,则函数f (x )＋g (x )在(－ɕ,０)上有最小值－６,即函数F (x )在(－ɕ,０)上有最小值－６＋２＝－４．故选择答案:D ．点评:在实际求解一些相关函数的最值问题时,经常要借助函数在相应区间上最值的确定,以及函数奇偶性的判定,从而综合交汇,创新应用．当然,具体解决问题时,可以借助特殊函数(如一次函数等)来直观分析,更加简单快捷来处理此类函数最值问题㊁函数对称性问题等．５结合奇偶性求解不等式在解决一些抽象函数对应的不等式问题时,经常要借助函数的奇偶性等基本性质及结构特征来巧妙转化,进一步确定所要求解的不等式,这是解决问题的关键所在．在一些具体应用中,经常要与函数的解析式㊁单调性以及其他的相关知识加以交汇与融合,从而实现问题的创新性㊁综合性与应用性[３]．例５㊀已知函数f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x,其中e 是自然对数的底数,若f (a －１)＋f (２a ２)ɤ０,则实数a 的取值范围是．分析:根据函数奇偶性的定义来确定函数f (x )是奇函数,为进一步的变形与转化相应的不等式提供条件,利用求导处理以及基本不等式的应用来确定函数的单调性,从而巧妙转化不等式,进而通过解一元二次不等式来确定参数的取值范围问题．解析:由函数f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x ,可得f (－x )＝(－x )３－２(－x )＋e －x －e x ＝－x ３＋２x －e x ＋e －x＝－f (x )．又x ɪR ,所以f (x )＝x ３－２x ＋e x －e －x是奇函数．而因为f ᶄ(x )＝３x ２－２＋e x ＋e －xȡ３x ２－２＋２e x e －x＝３x ２ȡ０,当且仅当x ＝０时等号成立,所以f (x )在R 上单调递增．结合f (a －１)＋f (２a ２)ɤ０,可得f (２a ２)ɤ－f (a －１),即f (２a ２)ɤf (１－a ),所以有２a ２ɤ１－a ,即２a ２＋a －１ɤ０,解得－１ɤa ɤ１２．故填答案:－１,１２éëêêùûúú．点评:此题中,巧妙融入高次函数㊁指数函数以及抽象函数类型,融合函数的奇偶性与单调性㊁导数及其应用㊁基本不等式以及二次不等式的求解等相关内容．其中确定函数的奇偶性是关键,为进一步的变形与转化指明方向,是解决问题的一个重要切入点．其实,历年高考数学试卷中,往往离不开对函数奇偶性的考查,有时直接设置相关题目,有时隐含在其他数学问题中,形式各样,变化多端．此类涉及函数奇偶性的问题通常以小题(选择题或填空题)为主,难度中等及偏下,有时单独考查函数的奇偶性,有时将函数相关概念与与函数的奇偶性加以综合,有时还融入其他模块知识,实现知识点间的交汇与融合．抓住函数奇偶性的定义及对应的函数的图象性质,合理总结规律,巧妙综合,创新应用．参考文献:[１]张召永．小妙招巧判抽象函数奇偶性[J ]．数理化学习(教研版),２０２２(７):３Ｇ４,２７．[２]林琪．深度学习觅因果,数形结合探本质 以函数奇偶性为例[J ]．中学数学研究,２０２２(６):３Ｇ４．[３]孟俊．信息技术与数学教学融合的实践探究 以 函数奇偶性 教学为例[J ]．中学数学教学参考,２０２２(２１):１２Ｇ１４．Z８７。
数学中的函数解题技巧掌握函数的性质和变换规律
数学中的函数解题技巧掌握函数的性质和变换规律数学中的函数解题技巧：掌握函数的性质和变换规律数学中的函数解题是学习数学的重要部分之一，掌握函数的性质和变换规律对于解题过程的顺利进行至关重要。
本文将介绍一些常用的函数解题技巧，帮助读者更好地理解和应用函数知识。
一、函数的性质函数是数学中的一种重要概念，它描述了输入与输出之间的关系。
了解函数的性质可以帮助我们更好地理解和分析问题。
1. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减情况。
当函数随着自变量的增加而增加时，我们说它是递增的；当函数随着自变量的增加而减小时，我们说它是递减的。
通过观察函数的图像或者计算导数可以确定函数的单调性。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。
如果对于任意的x，函数f(-x) = f(x)，那么函数是偶函数；如果对于任意的x，函数f(-x) = -f(x)，那么函数是奇函数。
3. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。
如果存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数具有周期性。
二、函数的变换规律了解函数的变换规律可以帮助我们更好地分析函数的特性，以及解决相关的数学问题。
1. 平移变换平移变换是将函数的图像沿x轴或y轴平移的过程。
当函数的定义域上加上一个常数c时，函数的图像会沿x轴正向平移c个单位；当函数的值域上加上一个常数d时，函数的图像会向上平移d个单位。
2. 缩放变换缩放变换是将函数的图像沿x轴或y轴进行拉伸或压缩的过程。
当函数的自变量乘以一个正数a时，函数的图像在x轴方向上被压缩；当函数的因变量乘以一个正数b时，函数的图像在y轴方向上被拉伸。
3. 翻转变换翻转变换是将函数的图像沿x轴或y轴进行翻转的过程。
当函数的自变量乘以-1时，函数的图像在y轴方向上发生翻转；当函数的因变量乘以-1时，函数的图像在x轴方向上发生翻转。
三、应用举例下面通过几个实际例子，来展示如何运用函数的性质和变换规律来解决数学问题。
函数奇偶性的工具作用
函数奇偶性的工具作用作者：贺祝华来源：《高中生·高考》2019年第02期函数的奇偶性是函数的一个重要性质，其几何表现是图像的对称性.对具有对称性特征的函数问题，我们可以借助函数奇偶性的工具作用来解答.一、利用奇偶性研究函数图像的对称性一般地，若函数y= （x+a）-b为奇函数，则其图像关于原点对称，从而函数y=f（x）的图像关于点（a，6）对称;若函数y=f（x+a）为偶函数，则其图像关于y轴对称，从而函數y= f（x）的图像关于直线x=a对称.小结先对f（x）的解析式进行适当变形，再找一个与f（x）相关联的偶函数，利用偶函数的图像关于γ轴对称，通过图像变换求f（x）图像的对称轴.二、利用奇偶性研究两函数交点或函数零点的关系奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于γ轴对称，若奇函数或偶函数有零点，则所有零点的和为零.小结此类问题求解的关键是找到两个函数共同的对称中心，灵活运用对称性求解，或者构造一个奇函数，利用奇函数的零点之和为零求解.解由函数解析式可知两函数的图像都关于直线x=l对称，作出两函数的大致图像如右图所示.由图可知两函数图像共有6个交点，则两个关于直线x=l对称的交点的横坐标之和等于2.故所有交点的横坐标之和等于6.选B.小结本题需要利用函数的性质判断函数的图像特点，其中函数图像的对称性是非常重要的性质，与函数奇偶性密切相关.三、利用奇偶性研究函数值的相互关系例5已知函数f（x）=（x-1）3+l，则f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…f（5）+f（6）=____.小结此类问题需要判断出该函数是由什么样的奇函数或偶函数通过平移变换所得，再借助图像的对称性解决问题.“y=f（X）的图像关于点P（a，6）成中心对称图形”的充要条件为“y=f （x+a）一6是奇函数”.例6 （2012年高考全国新课标文科卷第16题）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____.由f（x）=1+g（x），可知f（x）的图像可由g（x）的图像向上平移1个单位长度得到，f（x）的图像关于点（0，1）对称.若当x=xo时，函数f（x）取得最大值M，则由对称性可知，当x=-xo时，函数f（x）取得最小值m.所以M+m= f（xo）+f（-xo）=2.小结通过将已知的奇函数的图像平移，使得新函数图像仍具有点的对称性.我们可以从这三类问题中发现，对与图像对称性相关的问题，要学会借助函数奇偶性的工具作用，抓住问题的本质，制订解题方案，从而快速解决问题.。
初中数学 如何求解三角函数的奇偶性变换问题
初中数学如何求解三角函数的奇偶性变换问题在初中数学中，我们经常会遇到求解三角函数的奇偶性变换问题。
这类问题要求我们根据已知函数的奇偶性，求解相应的变换函数的奇偶性。
在本文中，我们将讨论如何求解三角函数的奇偶性变换问题，并通过具体的例子来说明。
一、正弦函数和余弦函数的奇偶性变换1. 正弦函数的奇偶性变换正弦函数sin(x)是一个奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
现在我们来求解正弦函数的奇偶性变换问题，即求解sin(ax)的奇偶性。
当a为偶数时，sin(ax) = sin(2nx)，其中n为整数。
我们知道，sin(2nx)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
所以，sin(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
当a为奇数时，sin(ax) = sin((2n+1)x)，其中n为整数。
我们知道，sin((2n+1)x)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
所以，sin(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是奇函数。
综上所述，当a为偶数时，sin(ax)是一个周期为2π的奇函数；当a为奇数时，sin(ax)是一个周期为2π的奇函数。
2. 余弦函数的奇偶性变换余弦函数cos(x)是一个偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
现在我们来求解余弦函数的奇偶性变换问题，即求解cos(ax)的奇偶性。
当a为偶数时，cos(ax) = cos(2nx)，其中n为整数。
我们知道，cos(2nx)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。
所以，cos(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。
当a为奇数时，cos(ax) = cos((2n+1)x)，其中n为整数。
我们知道，cos((2n+1)x)是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。
所以，cos(ax)也是一个周期为2π的函数，而且在一个周期内是偶函数。
函数奇偶性的六类经典题型
奇偶性类型一：判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4（5））且∴（2）∴（3），关于原点对称（4? ?????（5）且∴1.函数f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.答案：－－x－12.求函数的解析式（1）为R上奇函数，时，，解：时，?? ∴∴（2）为R上偶函数，时，解：时，∴1.()f x-所以2.3.()C．1 D．7解析：选A因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝17.又f(x)为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，所以a＋b＝1 7.4.若函数f(x)＝2x－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______. （特殊值法）解析：由题意知，函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：05.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）解析：当x >0时，－x <0，6.（1，为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。
）（恒等定理）∴时，奇函数 （2）??∴ ???∴ ∴???7.（Ⅰ）求,a b 的值；（特殊值法）（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；因为f 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= - f （-1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211()22221x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数又因()f x 是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， 因()f x 为减函数，由上式推得： 2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<- 1.＞f (a )，则实数A C (1，＋∞)2x .作出函数R 上的＜1.2.上递增，且f ⎛⎪⎫1＝0f (x )>0的x (－∞，0)∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 即满足f (x )>0的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0或x >12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0或x >123.已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g ?x ?，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：选D 设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，∴∴∴∵4.)＜－1⎩⎨⎧x ∴∴∴⎩2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－log 2(－x )<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2. 5.已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1，3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.94 B ．2 C.34 D ．14解析：选A.设x ＞0，则－x ＜0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3(－x )＋2]＝－x 2＋3x －2.所以在[1，3]上，当x ＝32时，f (x )max ＝14；当x ＝3时，f (x )min ＝－2.所以m ≥14且n ≤－2.故m －n ≥94.6.已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，又已知函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，都存在x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，那么实数m 的取值范围是____________．解析2,2]，g (x )max 2. x －2，则f (A 2.时，f (x )＝4－x ，则f (2 011)的值为__________．解析：f (4)＝0，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴T ＝8， ∴f (2 011)＝f (3)＝4－3＝1. 类型六：求值1.已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log213的值为( )A ．－2B ．－23C ．2 D.32－1解析：当x ∈(－2,0)时，－x ∈(0,2)，又∵当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x －1，∴f(－x)＝2－x －1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x －1，∴x ∈(－2,0)时，f(x)＝1－12x .∵－2＜log213＜0，∴f(log213)＝1－21312log ＝－2.故选A.答案：2.已知知g(－2)答案：3.设f (x 则f (ln 6)由4.5.2m ，则M m +=________.分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对()f x 求导.事实上，理科学生，求导得'()ln(1)1xxx xe f x e x e =++-+，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因此，须从考察函数()f x 的性质下手，事实上，令21()ln(1)2x g x x e x =+-，易求得()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，所以()g x 的最大值与最小值之和是0，从而()f x 的最大值与最小值之和是6. 答案是：6.6.已知定义域为R 的函数2cos 3sin ()2cos a a x xf x x++=+ （a 、b ∈R ）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a =A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C试题数，)(m a x g 3=.。
函数奇偶性的十大解题功能
函数奇偶性的解题功能例析湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 刘亚明奇偶性是函数的重要性质之一，应用广泛，是高考和数学竞赛命题的热点，灵活运用它可使许多难题迎刃而解. 现将函数奇偶性的应用归纳如下，以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，f (x) = －21x ，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。
故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3例2. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)二、求参量的值例3．定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围.分析：考查函数的奇偶性与单调性综合性的问题需要两个重要性质熟练把握.解：∵ｆ(ｘ)的定义域是（－１，１）∴－１＜１－ａ＜１ ①－１＜１－ａ２＜１ ②又∵ｆ(ｘ)是奇函数∴－ｆ（１－ａ）２＝ｆ［－（１－ａ２）］＝ｆ（ａ２－１）又∵ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０，有ｆ（１－ａ）＜－ｆ（１－ａ２）＝ｆ（ａ２－１）∵ｆ（ｘ）在（－１，１）是减函数，∴１－ａ＞ａ２－１ ③由①②③组成不等式组：221111110111a a a a a -<-<⎧⎪-<-<<<⎨⎪->-⎩得∴所求ａ的范围为：０＜ａ＜１评述：研究有关函数问题时，不考虑函数的定义域是出现错误的主要原因.例4．已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.分析：此题关键是如何去掉函数符号“ｆ”，与分类讨论思想的应用. 解：∵ｆ(ｘ)在［０，２］上是减函数，在［－２，０］上是增函数，故分类可得：(1)当⎩⎨⎧≤≤-≤≤∴⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-023102012m m m m 得ｍ∈∅，故此情况不存在.(2)当⎩⎨⎧≤≤≤≤-∴⎩⎨⎧≤≤≤-≤201120210m m m m 得０≤ｍ≤１∵ｆ(ｘ)在［０，２］上为减函数∴ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）可转化为１－ｍ＞ｍ∴ｍ＜21∴０≤ｍ＜21 (3)当⎩⎨⎧≤≤-≤≤-∴⎩⎨⎧≤≤-≤-≤021102210m m m m 得－１≤ｍ≤０∵ｆ（１－ｍ）＝ｆ（ｍ－１）∴ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）可转化为ｆ（ｍ－１）＜ｆ（ｍ） ∵ｆ（ｘ）在［－２，０］上是增函数∴ｍ－１＜ｍ ∴－１≤ｍ≤０(4)当⎩⎨⎧≤≤≤≤∴⎩⎨⎧≤≤≤-≤-203120012m m m m 得１≤ｍ≤２∴０≤ｍ－１≤１∴ｆ（１－ｍ）＝ｆ（ｍ－１）∴ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）可转化为ｆ（ｍ－１）＜ｆ（ｍ） ∵ｆ（ｘ）在［０，２］上是减函数∴ｍ－１＞ｍ无解综上所述，满足条件的实数ｍ的取值范围为－１≤ｍ＜21 评述：以上例6中，将１－ｍ与ｍ放在同一个单调区间内是解题的又一个关键.注意：此题若利用偶函数的性质“ｆ（｜ｘ｜）＝ｆ（ｘ）”能否使问题变得简化些呢?请读者试探下去!例5设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法..知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1),∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又 由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得：2a 2+a +1>3a 2－2a +1.解之，得0<a <3.又a 2－3a +1=(a －23)2－45. ∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］ 结合0<a <3,得函数y =(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3］. 三、比较大小例6．定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数ｆ（ｘ）为增函数，偶函数ｇ（ｘ）在［０，＋∞)上图象与ｆ(ｘ)的图象重合.设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式，其中成立的是( )①ｆ（ｂ）－ｆ（－ａ）＞ｇ（ａ）－ｇ（－ｂ）②ｆ（ｂ）－ｆ（－ａ）＜ｇ（ａ）－ｇ（－ｂ）③ｆ（ａ）－ｆ（－ｂ）＞ｇ（ｂ）－ｇ（－ａ）④ｆ（ａ）－ｆ（－ｂ）＜ｇ（ｂ）－ｇ（－ａ）Ａ.①④ Ｂ.②③ Ｃ.①③ Ｄ.②④分析：本题可采用三种解法：解法一：直接根据奇、偶函数的定义：由ｆ（ｘ）是奇函数得：ｆ（－ａ）＝－ｆ（ａ），ｆ（－ｂ）＝－ｆ（ｂ），ｇ（ａ）＝ｆ（ａ），ｇ（ｂ）＝ｆ（ｂ），ｇ（－ａ）＝ｇ（ａ），ｇ（－ｂ）＝ｇ（ｂ）∴以上四个不等式分别可简化为①ｆ（ｂ）＞０；②ｆ（ｂ）＜０；③ｆ（ａ）＞０；④ｆ（ａ）＜０又∵ｆ(ｘ)是奇函数又是增函数，且ａ＞ｂ＞０，故ｆ（ａ）＞ｆ（ｂ）＞ｆ（０）＝０，从而以上不等式中①、③成立.故选Ｃ解法二：结合函数图象由如图(右图)，分析得：ｆ（ａ）＝ｇ（ａ）＝ｇ（－ａ）＝－ｆ（－ａ）ｆ（ｂ）＝ｇ（ｂ）＝ｇ（－ｂ）＝－ｆ（－ｂ）从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选Ｃ解法三：利用间接法，即构造满足题意的两个模型函数ｆ（ｘ）＝ｘ，ｇ（ｘ）＝｜ｘ｜，取特殊值ａ，ｂ.如：ａ＝２，ｂ＝１，可验证正确的是①与③，故选Ｃ.评述：（1）本题考查了函数的奇偶性和单调性等性质，还考查了图象的对称性和不等式，体现了高考突出重点知识的考查及在各知识网络交汇点上出题这一观点，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用；四、求函数的解析式232323232111112121f x Rg x R f x g x x x g x f x g x f x g x x x f x g x x x f x g x x x g x x -=---=--⋯⋯---=-+--=-+⋯⋯+=-例7、已知函数（）是定义在上的奇函数，（）是定义上的偶函数，且（）（）求（）的解析式分析：由（）为奇函数，（）为偶函数且（）（）（）所以（）（）即（）（）（）（）（）得：（）例8．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.解：(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2.(2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2.∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1∴f (x )=－x 2+2.(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成.例9．.(★★★★★)已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式；(3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式.解.(1)证明：∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0.(2)解：当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4).(3)解：∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1)是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,又f (1)=k ·1=k ,∴k =－3.∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15,当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5.∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x . 五、判断函数图像的对称性例10（湖南理12）．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是 （ ）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞评析：结合新知识导数的应用与函数的性质在其交汇处知识重构，画出函数 草图。
函数奇偶性的应用
() 的解析式.
1. 函数 () 在 上为奇函数，且当 > 0 时， () = + 1 ，则当 < 0 时
， () = ___________.
−1
[解析] ∵ () 为奇函数，当 > 0 时， () = + 1 ，∴ 当 < 0 时， − > 0
【解析】由题意知,当 x<0 时,f(x)=-eax,则当 x>0 时,-x<0,f(-x)=-e-ax.
又因为 f(x)是奇函数,则当 x>0,f(x)=-f(-x)=e-ax.
又因为 f(ln 2)=8,则 f(ln 2)=e-aln 2=2-a=8,解得 a=-3.
4. 若函数 f(x)=
A.-3
函数奇偶性的应用
1. 求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用 () 为
奇函数 ⇔ (−) = −(), () 为偶函数 ⇔ () = (−) ，列式求解，也
可利用特殊值法求解.对于在 = 0 处有定义的奇函数 () ，可考虑列等式
(0) = 0 求解.
2. [2020年江苏卷]已知 = () 是奇函数，当 ≥ 0 时， () =
，
2
3
则 (−8) 的值是_________.
−4
2
3
[解析] (8) = 8 = 4 ，因为 () 为奇函数，所以 (−8) = −(8) = −4 .
3. 已知 f(x)是奇函数,且当 x<0 时,f(x)=-eax.若 f(ln 2)=8,则 a=
∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,
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函数奇偶性在解题中的应用
徐辉
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。
它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。
1．用于求值
例１：已知奇函数，则
解：因为奇函数，
所以对任意，都有成立．
令，则有，从而可得；
令，则有，
从而
．
故．
注：此解利用了若函数是奇函数，则对定义域内的任意，都有这一性质，特别地，当０在定义域内时，必有．
2．用于比较大小
例２．已知偶函数在区间上单调递减，试比较的大小.
解：因为是偶函数，所以，故此题只需比较的大小即可．
又因在区间上单调递减，而且
所以，故．
注：此解利用了若函数是偶函数，则对定义域内的任意x，都有这一性质．当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质，首先得到在区间是单调递增的，然后再用单调性进行求解．
3．用于求最值
例３．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（）
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5
解：由在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，有, 又是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称,
故有在[-7,-3]上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最大值，
故选B.
注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质.
4．用于求参数的值
例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值.
解：由是奇函数，知f(-x)=-f(x)，
从而，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0.
又由f(1)=2，知，得a+1=2b①，
而由f(2)＜3，知，得②
由①②可解得－1＜a＜2.
又a∈Z，∴a=0或a=1.
若a=0，则b=，应舍去；
若a=1，则b=1∈Z.
∴a=1，b=1，c=0.
注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0. 5．用于求函数的解析式
例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+2，求函数f(x)的解析式。
解：当x<0时，－x>0，故f(－x)=(－x)2－2(－x)+2=x2+2x+2 因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，
于是f(－x)=－f(x)，从而当x<0时，f(x)=－f(－x)=－(x2+2x+2)=－x2－2x－2，
又当x=0时，f(0)=f(－0)=－f(0)，从而f(0)=0，
因此f(x)在(-∞，+∞)上的解析式是
注：(1)若x=0在奇函数的定义域内，则其图像必过原点；(2)由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，基本思想是通过“－x”实现转化；(3)容易漏求当x=0时的解析式（前提是指０在定义域内）．
6．用于讨论函数的单调性
例６．试讨论函数f(x)=的单调性．
解: 易知f(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 因此可先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性, 再根据奇函数的图像关于原点对称这一性质得到f(x)在(-∞,0)上的单调性.
设且，则①若，则，，
所以，即，故f(x)在（0，2]上单调递减；
②若，则，，
所以，即，故f(x)在（2，+∞）单调递增．
又因f(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 其图像关于原点对称
故f(x)在[-2,0)和（0，2]上单调递减，在(-∞,-2)和（2，+∞）单调递增．
注：利用函数的奇偶性讨论函数的单调性，只需讨论原点左或右单侧的单调性，然后利用对称性写出另一侧的单调性即可．7．用于判断函数奇偶性
例７. 已知函数是偶函数，且不恒等于0，则（）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 可能是奇函数也可能是偶函数
D. 不是奇函数也不是偶函数解：令,
则
所以是奇函数，
又是偶函数,
因此f(x)是奇函数，故选A。
注:一般地,在公共的定义域内,我们有:奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数. 运用以上性质可
帮助解决和积函数的奇偶性问题.
8．用于判断函数图像的对称性
例8.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且，
试证：（1）f(0)=1; (2)f(x)的图象关于y轴对称。
解：（1）令x=y=0，有，又∴; （2）令x=0，得
∴
∴为偶函数，
∴的图象关于y轴对称.
注:(1)如果能说明一个函数是奇函数或是偶函数,就能说明它的对称性;(2)抽象函数奇偶性的证明，常用到赋值法及奇偶性的定义.
9．用于解方程
例9．解关于x的方程.
解：原方程等价于，
令则，
若再令，则上式可化为
，
考察函数，显见其为奇函数且在Ｒ上是增函数，故有，
从而，
故，即原方程的解为集为．
注：此题若使用常规解法将会比较繁琐，而若能仔细观察方程形式上的特点，灵活应用函数奇偶性进行求解，则会使问题变得非常简捷．
10．用于解不等式
例：已知定义在(-1,1)的函数y＝f(x)既是奇函数又是减函数，解不等式f(1-x)+f(1- x2)＜0．
解：先求f(1-x)+f(1- x2)的定义域：①不等式f(1-x)+f(1-x2)＜0，即f(1-x)＜-f(1-x2)
因为f(x)是奇函数，故有-f(1-x2)=f(x2-1)
从而原不等式就化为：f(1-x)＜f(x2-1).
又已知f(x)是减函数，所以1－x＞x2－1，即x2＋x－2＜0，可得－2＜x＜1 ②
由①②可得{x|0＜x＜1}．
注：此题的解题思路是首先利用函数的奇偶性，将不等式f(1-x)+f(1- x2)＜0化为f(1-x)＜f(x2-1)，再利用函数的单调性，去掉函数符号f，将之化为普通的不等式1－x＞x2－1，然后再进行求解．在求解的过程中，要特别注意函数的定义域对x 的限制．
11．用于证明不等式
例11．证明关于的不等式成立．
证：令，则，
故为偶函数．
而当时，，
从而当时，，，
故，即成立．
注：利用函数的奇偶性证明不等式，需先构造一个函数并证明这个函数的奇偶性，然后再利用这个函数的奇偶性进行解题，在解题的过程中，要充分利用奇偶函数的定义及图像的对称性等性质．。