概率论与数理统计1 (2)
概率论与数理统计课件(1-2)
频率与概率到底有怎样的关系呢？ 频率与概率到底有怎样的关系呢？
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质 硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
这两个公式的思想贯穿着整个概率问题的求解
可重复排列：从含有n 个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列
n n n
n
共有nk 种不同排列方式
无重复排列： 无重复排列：从含有n 个元素的集合中随机抽 每次取一个，取后不放回， 取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元 素排成一列
1.2 概率
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？ （ 应具有何种性质？ 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
•频率的性质
(1) 0≤ fn(A) ≤1； ≤ ≤ ； (2) fn( )＝1； fn(Φ)=0 ＝ ； Φ (3) 可加性：若AB＝ Φ ，则 可加性： ＝ fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B). ＝
二、 概率的公理化定义与性质 注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
概率论与数理统计答案 第二章1-2节
关键词： 随机变量 离散型随机变量、分布律 连续型随机变量、概率密度 概率分布函数 重伯努利实验、二项分布、泊松分布 均匀分布、正态分布、指数分布 随机变量的函数的分布
1
§1 随机变量
定义
2 3
例1: 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现 H的总次数 以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间 S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对 应, 即有
1) P { X = k} = C3k p k (1 − p )3− k , k = 0,1, 2,3 (
( 2)
P { X = 2} = C32 p 2 (1 − p)
21
泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为 e− λ λ k
P { X = k} = k! ， = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, λ > 0 k
互不影响
例如： 1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， P (出现正面 ) = 1 2 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验 只有两个结果：A , A , P ( A ) = 1 6
12
定义随机变量X表示n重伯努利试验中事件A发生的次 数, 我们来求它的分布律. X所有可能取的值为0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互独立的, 因此事件A在指定的 k(0≤k≤n)次试验中发生, 在其它n−k次试验中A不发生 的概率为
13
设A在n重伯努利试验中发生X次，则
k P பைடு நூலகம் X = k} = Cn p k (1 − p ) n − k ， = 0，⋅⋅⋅，n k 1，
⎛n⎞ k Cn = ⎜ ⎟ 表示n中 ⎜k ⎟ ⎝ ⎠ 任选k的组合数目
概率论与数理统计B复习题(1,2)10.5
概率论与数理统计B 复习题一、填空题1．设两事件A ，B 满足P （A ）=0.8， P （B ）=0.6，P （B|A ）=0.8，则P （A ∪B ）= ． 2．某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击10次, 至少击中两次的概率为 ．3．设随机变量(X ,Y )有()25,()36,0.6XY D X D Y ρ===，则(2)D X Y -= ． 4．设~(2,4),~(3,2)X N Y N 且X 与Y 相互独立，则~2Y X - ． 5．设总体X 的数学期望和方差, 9)(,)(==X D X E μ, 试用切比雪夫不等式估计{||4}P X μ-<____________ ．6. )(n t α为)(n t 分布的上α分位点，则当025.0=α时，=>)}()({025.0n t n t P ．7．已知()0.8,()0.5,P A P A B ==且事件A 与B 相互独立，则()P B = ．8．若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为18.012.012.008.011101ba X Y--，且X 与Y 相互独立，则=a ；=b .9．已知随机变量~(0,2)X U ，则2()[()]D XE X = ．10．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700．设X 表示每毫升白细胞数，利用切比雪夫不等式估计{52009400}P X ≤≤____________ ．11．设123,,X X X 是总体X 的样本，11231ˆ()4X aX X μ=++，21231ˆ()6bX X X μ=++是总体均值的两个无偏估计，则a = ，b = ． 二、单项选择题1．6本中文书和4本外文书，任意往书架上摆放，则4本外文书放在一起的概率是（ ） （A ）4!6!10!⨯ （B ）710（C ）4!7!10!⨯ （D ）4102．设随机变量)1,0(~N X ，则X Y e -=的概率密度是（ ）（A ） 2ln 21020y ey π-⎧>⎪⎨⎪⎩其它 （B ）2ln 21020yey π⎧>⎪⎨⎪⎩其它（C ） 2ln 21020y e y y π-⎧>⎪⎨⎪⎩其它 （D ）2ln 21020ye y y π⎧>⎪⎨⎪⎩其它．3．设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为(),()X Y F x F y ,则max(,)Z X Y =的分布函数是（ ）（A ）()m ax{(),()}Z X Y F z F x F y = （B ）()max{|()|,|()|}Z X Y F z F x F y = （C ）()()()Z X Y F z F x F y = （D ）都不是 4．设随机变量X 和Y 的概率密度分别为101()0X x f x <<⎧=⎨⎩其它， ()Y f y ＝2(3)32142x eπ--，x -∞<<+∞若X 和Y 相互独立，则()E XY =（ ）. （A ）92（B ）23（C ）72（D ）325．设i X (n i ,,2,1 =)为取自总体),(2σμN 的一个样本，其中μ未知，则下列变量中哪一个是统计量（ ）.（A ） 112+∑=ni iX ; （B ） ∑=-ni i X 12)(μ（C ）μ-∑=n i i X n11; （D ） ∑=+-ni i n X 12σμ.6．在假设检验中，不拒绝原假设意味着（ ）（A ）原假设肯定是正确的 （B ）原假设肯定是错误的（C ）没有证据证明原假设是正确的 （D ）没有证据证明原假设是错误的 7．设21,X X 为总体X 的一个样本，则下列统计量中不是总体数学期望μ的无偏估计的是 （ ）.（A ）2113231X X Y +=; （B ） 2123221X X Y +=; （C ） 2134341XX Y +=; （D ） 2145352XX Y +=.8．甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出密码的概率分别是0.5，0.6，0.7，则密码被译出的概率为 （ ）A. 0.94B. 0.92C. 0.95D. 0.909．某人打靶的命中率为0.8，现独立射击5次，则5次中有2次命中的概率为（ ）A. 20.8B. 230.80.2⨯C.220.85⨯ D. 22350.80.2C ⨯⨯10.设随机变量Y X 和独立同分布，则),,(~2σμN X （ ） A. )2,2(~22σμN X B. )5,(~22σμN Y X - C. )3,3(~22σμN Y X + D. )5,3(~22σμN Y X -11．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则（ ）. A. ()()()D XY D X D Y =⋅ B.()()()D X Y D X D Y +=+ C. X 和Y 相互独立 D.X 和Y 不独立 12．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是（ ）.A.22212321()X X X σ++ B.13X μ+C.123m ax(,,)X X X D.1231()3X X X ++13．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示备择假设，则称为犯第二类错误的是（ ）. A.1H 不真，接受1H B.0H 不真，接受1HC.0H 不真，接受0HD.0H 为真，接受1H14．若随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧+=,1,0)(A x F ,arcsin x B .1,1,1>≤-<x x x（1）求B A ,的值；（2）求概率密度)(x f ；（3）求概率{0.5}P X <.15．某厂有甲乙丙三台机床进行生产，各自的次品率分别为5%，4%，2%；它们各自的产品分别占总产量的25%，35%，40%。
概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)
利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N
7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
概率论与数理统计 第二章1
理学院
概率论与数理统计
定义若随机变量 的可能取值是有限个 可列个, 有限个或 定义若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个 则称 X 为离散型随机变量
为了研究离散型随机变量的统计规律性， 为了研究离散型随机变量的统计规律性，给出分布律的概念 是一个离散型随机变量， 的所有可能取值为 的所有可能取值为x 定义 设X=X(ω)是一个离散型随机变量，X的所有可能取值为 1， ω 是一个离散型随机变量 x2，…，xn，…，称X取值为 i时的概率 取值为x ， ， 取值为
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
概率论与数理统计
是随机变量， −∞， ， 定义 设X是随机变量，对于任意实数 ∈(−∞，∞)，称函数 是随机变量 对于任意实数x∈ −∞ F(x)=P{X≤x } ≤ 为X的分布函数 的 分布函数有下列性质： 分布函数有下列性质： 1、F(x)单调不减，即任意 1<x2，则F(x1) ≤ F(x2)； 单调不减， 、 单调不减 即任意x ； 2、F(x)非负 且不超过1， 2、F(x)非负，且不超过1，即0≤F(x) ≤1； 非负， 1； ≤
P( X = xk ) = pk , k =1 2,⋯ ,
为X的分布律。 的分布律。 分布律也可以用表格形式表示： 分布律也可以用表格形式表示：
X P
x1
p1
x2 ⋯ xk ⋯
p2 ⋯ pk ⋯
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
概率论与数理统计(第四版)(浙江大学)1-2
相等关系
事件B 事件 相等(或称等价) ,记作 A = B .
若 A B 且B A,则称事件A与
概率论
2. 和事件: 事件 A、B 至少有一个发生所构成 的
∪ 事件叫做事件 A与事件 B的和.记作 A∪ B .
类似地, 称事件 A 、A2、 、An 中至少有一个发 … 1
生的事件为事件 A、A 、 、A 的和事件. 记之为 1 2 … n n A ∪ A2 ∪…∪ An , 简记为 ∪ Ai . 1
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 由以上两个例子可见 样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 目的所确定的 如果试验是测试某灯泡的寿命： 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
H H T T
S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 第2次 次
H T H T
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 若试验是将一枚硬币抛掷两次 观察正面出现 的次数： 的次数： 则样本空间
S = {0,1,2}
AB = , 则称事件 A 与事件 B 为 互斥事件或互不 相容事件. 基本事件是两两互不相容的.
, 当两事件互不相容时 可将 A∪ B 记为A+ B.
5. 对立事件: 若事件 A 与事件 B 在一次试验
中必有且只有其中之一 发生即 A、 , B 满足条件 A∪ B = S 且 AB = 则称事件 A与事件 B 为互逆事件,或称事件 A、B
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第1章 随机事件与概率
第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。
统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。
（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。
样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。
样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。
3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。
事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。
基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。
两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。
①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。
事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。
（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。
《概率论与数理统计》习题及答案__第一章 2
第 一 章
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
（１)掷一颗骰子，记录出现的点数． ‘出现奇数点’;
(２）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. ‘两次点数之和为１０ห้องสมุดไป่ตู้, ‘第一次的点数,比第二次的点数大２’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2，3，4,5;从中同时取出3只球，观察其结果, ‘球的最小号码为１’;
12．设事件 与 互不相容， ,求 与
解
因为 不相容,所以 ，于是
1３.若 且 ,求 .
解
由 得
14．设事件 及 的概率分别为 ，求 及
解
.
1５．设 ,且 仅发生一个的概率为0．５,求 都发生的概率。
解１由题意有
,
所以
.
解2 仅发生一个可表示为 ，故
所以
．
16．设 ,求 与 ．
解 ,
所以
,
故
；
．
所以
（4)将 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况, ‘甲盒中至少有一球’;
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量, ‘通过汽车不足5台’, ‘通过的汽车不少于3台’。
解（１) 其中 ‘出现 点’ ,
。
(2)
};
;
。
（3)
(4）
,其中‘ ’表示空盒;
。
(5） 。
2.设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件:
解：半圆域如图
设 ‘原点与该点连线与 轴夹角小于 ’
由几何概率的定义
2１.把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解１设 ‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为 ，则 ，不等式构成平面域 .
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
概率论与数理统计试题与答案(1_2)
12分
四、(本题12分)设二维随机变量 联合概率密度为
=
(1) 确定常数 .
(2) 求边缘概率密度 及 ,并问 与 是否独立,为什么?
(3) 求 .
[解答]
(1)由密度函数的性质有
故 .3分
(2)如果 ,则 ;
如果 ,则
故 的边缘密度数为
5分
如果 ,则 ;
如果 ,则
故 的边缘密度数为
Hale Waihona Puke 7分由于 ,故 与 相互独立..9分
解 (1) 3分
6分
(2) 9分
12分
六、(本题12分)设随机变量 的密度函数为
= 其中 为未知参数, 是 的简单随机样本, 是 的样本观察值,求参数 的极大似然估计值.
解 似然函数
.4分
取对数
6分
令 得 10分
所以 的极大似然估计值为 12分
七、(本题10分)某厂生产的某种电子元件的寿命 其中 都是未知的参数,现在观测25个样本,得样本观察值 计算得 .试问该厂的这种电子元件的平均使用寿命在显著水平 下是否为 (小时)?
小时.10分
(3) 对于给定的检验水平 ,查表确定临界值
,
于是拒绝域为 5分
(4) 根据样本观察值计算统计量 的观察值:由已知 ,故
8分
(5)判断: 由于 ,故接受H0,即这种电子元件的平均使用寿命为
小时.10分
一、填空题(每小题3分,共30分)
1、 或 2、 3、
4、 5、-6,256、0.57、0.875
8、 9、 10、
则 0.875.
8、设 与 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
,
则 的联合概率密度 =.
概率论与数理统计 第一章 第二节
1. 2. 3. 4.
古典概型的几类基本问题
抽球问题 分球入盒问题 分组问题 随机取数问题
求解关键：古典概型定义式：
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一 项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午 的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项 活动，有多少种不同的选法？ 问题三：设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个 球，求取到一红一白的概率。 全班200个同学至少有两个人一天生日的概率？
• 不同点:
排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
• 联系:构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.第1步，先求 出从这n个不同元素中取出m个元素的组合 数 第2步，求每一个组合中m个元素 的全排列数 • 根据乘法原理
• 例6:两封信随机地向标号1、2、3、4的四个邮筒投 寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。 首先，对于两封信而言（两个步骤），都有可能被 投入任意的一个邮筒，即每封信都有四个可能的选 择，因而两封信投递到四个邮筒的可能性有？种 其次，令事件A表示第二个邮筒被投入1封信，相当 于从两封信中选择一封投入到第二个邮筒，情况有？ 种。选择之后另一封信被投入其他三个邮筒中的一个 ，共?种情况，根据乘法原理，组成事件A的不同 投法共?种。 根据古，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问：第一个人取
得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是 多少？
• 研究范围：作为条件的事件B具有正概率的情况； 条件概率也是一种概率，具有概率的三个性质； (1)对于任一事件A,有P(A|B)≥0; (2)P(Ω|B)=1 (3)可列可加性:设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P[(A1|B）∪（A2|B）∪ …]=P(A1|B)+P(A2|B)+… 一般有：
概率论与数理统计整理(一二章)
一、随机事件和概率考试内容：随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．整理重点：1. 随机事件：可能发生也可能给不发生的事件。
0<概率<1。
2. 样本空间：实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间，大写字母S表示。
3. 事件的关系：（1）包含：事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A。
（2）相等：事件A包含事件B且事件B包含事件A。
（3）和：事件的并，记为A∪B。
（4）差：A-B称为A与B的差，A发生而B不发生，A-B=A-AB。
（5）积：事件的交，事件A与B都发生，记为AB或A∩B。
（6）互斥：事件A与事件B不能同时发生，AB=空集。
（7）对立：A∪B=S。
4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A（B C） (3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组：如果n个事件中至少有一个事件一定发生，则称这n个事件构成完全事件组（特别地：互不相容的完全事件组）。
概率论与数理统计人大版本
概率论与数理统计人大版本
一、概率论与数理统计的概述
概率论是研究随机现象的理论体系，它通过对随机现象的规律性进行研究，为我们预测和决策提供依据。
数理统计则是一种基于数据的研究方法，它通过对数据的分析和处理，提取出数据背后的信息，为实际问题的解决提供支持。
二、概率论与数理统计的基本概念
在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，而样本空间则包含了所有可能的结果。
概率分布描述了随机变量取值的概率规律，而概率密度函数则用于描述连续型随机变量的概率分布。
三、常见概率分布及其应用
常见的概率分布有二项分布、泊松分布和正态分布等。
二项分布用于描述一系列伯努利试验的结果，泊松分布用于描述单位时间内随机事件的次数，正态分布则广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术领域。
四、数理统计的基本方法
数理统计的基本方法包括描述性统计、推断性统计等。
描述性统计用于概括和描述数据的集中趋势、离散程度等信息，而推断性统计则通过抽样数据对总体参数进行估计和检验。
五、参数估计与假设检验
参数估计是通过对样本数据的研究，估计总体参数的值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等，区间估计则通过构建置信区间来估计参数。
假
设检验则是通过检验统计量与临界值之间的关系，对总体参数进行推断。
六、应用领域与发展趋势
概率论与数理统计在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
随着大数据时代的到来，概率论与数理统计的研究方法和技术也在不断发展，包括机器学习、数据挖掘等领域。
在我国，概率论与数理统计的研究和应用也取得了显著成果，为各个领域的创新发展提供了有力支持。
概率论与数理统计第二章1-2
解：若要每蚕养活k只小蚕，则每蚕至少产卵k个， 用Am记每蚕的产卵数为m这一事件(m k),用B记 每蚕养活k只小蚕这一事件。
p( Am )
e
m
m!
;
p(B | Am ) Cmk pk (1 p)mk
根据全概率公式，所求概率
p(B) p( Am ) p(B | Am )
mk
p(B) p( Am ) p(B | Am ) mk
❖ 随机变量的函数一般也是随机变量
❖ 在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量。
例 S = {儿童的发育情况 } X— 身高, Y — 体重, Z— 头围.
各随机变量之间可能有一定的关系, 也 可能没有关系—— 即相互独立。
离散型
随机变量 分类
非离散型
其中一种重要的类型为 连续型随机变量
第二节 离散型随机变量及其分布律
其中xk项的系数为：
Cnk pk qnk
b(k; n, p)
可以验证：
n
n
b(k; n, p) Cnk pk qnk ( p q)n 1
k 1
k 1
例2 按规定，某种型号电子元件的使用寿 命超过1500小时的为一级品。已知某一大 批产品的一级品率为0.2，现在从中随机的 抽查20只。问20只元件中恰有k只 (k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
例1 车间中正在工作的车床数
例2 某电话总机每天接到的呼叫次数
例3 考查电脑寿命
例4 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个变量来描述
1, 次品 X 0, 正品
共同特点：试验结果能用一个数来表示， 这个数随试验结果的不同而变化。
第一节 随机变量
随机变量 ( random variable )
概率论与数理统计第一章答案
概率论与数理统计第⼀章答案习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满⾜关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发⽣, 则B 必发⽣. (B) A , B 同时发⽣.(C) 若A 发⽣, 则B 必不发⽣. (D) 若A 不发⽣，则B ⼀定不发⽣.解根据事件的包含关系, 考虑对⽴事件, 本题应选(D).(2) 设A 表⽰“甲种商品畅销, ⼄种商品滞销”, 其对⽴事件A 表⽰( ). (A) 甲种商品滞销, ⼄种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, ⼄种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, ⼄种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者⼄种商品畅销.解设B 表⽰“甲种商品畅销”，C 表⽰“⼄种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) ⼀袋中有5只球, 其中有3只⽩球和2只⿊球, 从袋中任意取⼀球, 观察其颜⾊; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出⼀个, 观察其颜⾊； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的⿊球个数； (4) ⽣产产品直到有10件正品为⽌, 记录⽣产产品的总件数. 解 (1) {⿊球,⽩球}； (2) {⿊⿊,⿊⽩,⽩⿊,⽩⽩}； (3) {0,1,2}；(4) 设在⽣产第10件正品前共⽣产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表⽰下列各事件： (1) 仅有A 发⽣；(2) A , B , C 中⾄少有⼀个发⽣; (3) A , B , C 中恰有⼀个发⽣; (4) A , B , C 中最多有⼀个发⽣; (5) A , B , C 都不发⽣;(6) A 不发⽣, B , C 中⾄少有⼀个发⽣. 解 (1) ABC ; (2)A B C ; (3) ABC ABC ABC ;(4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .4. 事件A i 表⽰某射⼿第i 次(i =1, 2, 3)击中⽬标, 试⽤⽂字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3; (4) A 2－A 3;(5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射⼿第⼀次或第⼆次击中⽬标;(2) 射⼿三次射击中⾄少击中⽬标;(3) 射⼿第三次没有击中⽬标;(4) 射⼿第⼆次击中⽬标,但是第三次没有击中⽬标;(5) 射⼿第⼆次和第三次都没有击中⽬标;(6) 射⼿第⼀次或第⼆次没有击中⽬标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任⼆事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解由⽂⽒图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).解因()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= ,故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .解由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .解由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最⼤值, 最⼤值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最⼩值, 最⼩值是多少？解 ()()()()P AB P A P B P A B =+- =1.3()P A B - .(1) 如果A B B = , 即当A B ?时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最⼤值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1，或者A B S = 时, ()P AB 有最⼩值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发⽣的概率.解因为ABCAB ?,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0.由概率⼀般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对⽴事件的概率性质知A ,B , C 全不发⽣的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件⼀等品和2件⼆等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是⼀等品. (B) 恰有1件⼀等品. (C) ⾄少有1件⼀等品. (D) ⾄多有1件⼀等品.解⾄多有⼀件⼀等品包括恰有⼀件⼀等品和没有⼀等品, 其中只含有⼀件⼀等品的113225C C C ?, 没有⼀等品的概率为023225C C C ?, 将两者加起即为0.7. 答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) ⾄少有1件次品的概率; (4) ⾄多有1件次品的概率; (5) ⾄少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )⾄少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) ⾄多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) ⾄少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个⽩球和5个⿊球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为⽩球的概率；(2) 两个球中⼀个是⽩的, 另⼀个是⿊的概率； (3）⾄少有⼀个⿊球的概率.解从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是⽩球的取法有24C 种，⼀⿊⼀⽩的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是⽩球的概率是2924C C ;(2)两球中⼀⿊⼀⽩的概率是115429C C C ;(3)⾄少有⼀个⿊球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和⼩于6 5;(2) 两数之积⼩于14;(3) 以上两个条件同时满⾜;(4) 两数之差的绝对值⼩于12的概率.解设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-??=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x+=+≈?;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ?+-++-≈0.593.(4) 解设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|012}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-===, 其中 S A , S Ω分别表⽰A 与Ω的⾯积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满⾜P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =. (C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对⽴事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取⼀个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取⼀个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813.3. ⼝袋中有b 个⿊球、r 个红球, 从中任取⼀个, 放回后再放⼊同颜⾊的球a 个. 设B i ={第i 次取到⿊球}, 求1234()P B B B B .解⽤乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和⽆放回抽样.4. 甲、⼄、丙三⼈同时对某飞机进⾏射击, 三⼈击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被⼀⼈击中⽽被击落的概率为0.2, 被两⼈击中⽽被击落的概率为0.6, 若三⼈都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解⽬标被击落是由于三⼈射击的结果, 但它显然不能看作三⼈射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表⽰“飞机在⼀次三⼈射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表⽰“恰有i 发击中⽬标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中⽬标概率为0()0.60.50.30.09P B =??=, 恰有⼀发击中⽬标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =??+??+??=,恰有两发击中⽬标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =??+??+??=,恰有三发击中⽬标概率为3()0.40.50.70.14P B =??=.⼜已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===?+?+?=∑5. 在三个箱⼦中, 第⼀箱装有4个⿊球, 1个⽩球; 第⼆箱装有3个⿊球, 3个⽩球; 第三箱装有3个⿊球, 5个⽩球. 现任取⼀箱, 再从该箱中任取⼀球.(1) 求取出的球是⽩球的概率；(2) 若取出的为⽩球, 求该球属于第⼆箱的概率.解 (1)以A 表⽰“取得球是⽩球”，i H 表⽰“取得球来⾄第i 个箱⼦”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某⼚甲、⼄、丙三个车间⽣产同⼀种产品, 其产量分别占全⼚总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取⼀件进⾏检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的⼀件是次品, 问此产品来⾃甲、⼄、丙各车间的概率分别是多少？解设A 表⽰“取到的是⼀件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表⽰“所取到的产品来⾃甲、⼄、丙⼯⼚”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的⼀个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.0384.=?+?+?=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ?===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ?===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ?===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成⽴的是( ).(A) A , B 相互独⽴. (B) A , B 不相互独⽴.(C) A , B 互为对⽴事件. (D) A , B 不互为对⽴事件. 解⽤反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独⽴, 则下⾯的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独⽴. (B) A 与B 独⽴. (C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B ⼀定互斥.解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独⽴. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独⽴, 且0(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B ⼀定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与也相互独⽴, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及⼀般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从⽽本题应选(C).2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明 P (B |A )=)(A BP 是事件A 与B 独⽴的充分必要条件.证由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独⽴, 知事件A 与B 也独⽴, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从⽽()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对⽴事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独⽴.3. 设三事件A , B 和C 两两独⽴, 满⾜条件：,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解根据⼀般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ .由题设可知 A , B 和C 两两相互独⽴, ,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====?=从⽽29()3()3[()]16P A B C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4．某⼈向同⼀⽬标独⽴重复射击, 每次射击命中⽬标的概率为p (0解 “第4次射击恰好第2次命中” 表⽰4次射击中第4次命中⽬标, 前3次射击中有⼀次命中⽬标. 由独⽴重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击, 已知甲命中⽬标的概率为 0.7, ⼄命中⽬标的概率为0.8. 求：(1) 甲、⼄两⼈同时命中⽬标的概率；(2) 恰有⼀⼈命中⽬标的概率； (3) ⽬标被命中的概率.解甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击应看作相互独⽴事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==?=(2)()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=?+?=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总习题⼀1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独⽴的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独⽴的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解由于A , B , C 是三个相互独⽴的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另⼀个事件或其逆是相互独⽴的, 根据这⼀性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独⽴的, 因⽽均为⼲扰项, 只有选项(B)正确..2. ⼀批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第⼀次取出后不再放回.求: (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率; (2) 抽得⼀件为正品, ⼀件为次品的概率.解 (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率为9551910099396?=.(1) 抽得⼀件为正品，⼀件为次品的概率为95559519.10099198+= 3. 设有⼀箱同类型的产品是由三家⼯⼚⽣产的. 已知其中有21的产品是第⼀家⼯⼚⽣产的, 其它⼆⼚各⽣产41. ⼜知第⼀、第⼆家⼯⼚⽣产的产品中有2%是次品, 第三家⼯⼚⽣产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取⼀件产品, 求取到的是次品的概率.解从此箱中任取⼀件产品, 必然是这三个⼚中某⼀家⼯⼚的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家⼯⼚⽣产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =?(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的⼀个划分. ⼜ P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41,P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221?+?+?=0.025. 4. 某⼚⾃动⽣产设备在⽣产前须进⾏调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功,则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某⽇调整后试⽣产, 发现第⼀个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=?+?=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ?====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,⽽B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解以D 表⽰事件“将信息A 传递出去”，以D 表⽰事件“将信息B 传递出去”，以R 表⽰事件“接收到信息A ”,以R 表⽰事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。
概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： 〔1〕 X 的分 布律；〔2〕 X 的分 布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】〔2〕 当x <0时， F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=0当0≤x <1时 ，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=P (X =0)=2235当1≤x <2时 ，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时， F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=1 故X 的分布函 数 (3)3.射手向目标独立 地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设XX =0，1，2，3.故X 的 分布律为分布函数4.〔1〕 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . 〔2〕 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】〔1〕 由分布律的性质知故 e a λ-= (2) 由分布律的性质知即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： 〔1〕 两人投中次数相等的概率; 〔2〕 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b 〔3，0.6〕,Y~b (3,0.7)(1)33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需马上降 落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能同意一架飞机降落)？【 解】设X 为某一时刻需马上降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.000 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少〔利用泊 松定理〕？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b 〔1000，0.0 001〕 X 满足P {X = 1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以 4451210(4)C ()33243P X ===. A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， 〔1〕 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 〔2〕 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】〔1〕 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6〔5，0.3〕(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b 〕 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为〔1/2〕t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关〔时间以小时计〕.〔1〕 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； 〔 2〕 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】〔1 〕32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-P { X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mm m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -= 即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： 〔1〕 保险公司亏本的概率;〔2〕 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年〞为单位来考虑.〔1〕 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为 由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有 (2) P (保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P 〔保险公司获利不少于20000〕(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：〔1〕A 值；〔2〕P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】〔1〕 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：〔1〕 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； 〔2〕 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； 〔3〕 F 〔x 〕. 【解】〔1〕 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ (2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F 〔x 〕=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为故当x <0时F 〔x 〕=0当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F 〔x 〕=1即分布函数XX 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即故所求概率为X 〔以分钟计〕服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待效劳，假设超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到效劳而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}.【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为该顾客未等到效劳而离开的概率为2~(5,e )Y b -,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N 〔40，102〕；第二条路程较长，但堵塞少，所需时间X 服从N 〔50，42〕. 〔1〕 假设动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ 〔2〕 又假设离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】〔1〕 假设走第一条路，X~N 〔40，102〕，则假设走第二条路，X~N 〔50，42〕，则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.〔2〕 假设X~N 〔40，102〕，则 假设X~N 〔50，42〕，则故走第一条路乘上火车的把握大些. X ~N 〔3，22〕，〔1〕 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; 〔2〕 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】〔1〕 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭(2) c=322.由某机器生产的螺栓长度〔cm 〕X ~N 2±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭ X 〔小时〕服从正态分布N 〔160，σ2〕，假设要求P {120＜X ≤200}≥0.8，同意σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭故 4031.251.29σ≤=X 分布函数为F 〔x 〕=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ 〔1〕 求常数A ，B ；〔2〕 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； 〔3〕 求分布密度f 〔x 〕.【解】〔1〕由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩〔2〕 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩X 的概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F 〔x 〕，并画出f 〔x 〕及F 〔x 〕.【解】当x <0时F 〔x 〕=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩X 的密度函数为〔1〕 f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F 〔x 〕. 【解】〔1〕 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰故其分布函数 (2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为 当x ≤0时F 〔x 〕=0 当0<x <1时00()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰当x ≥2时F 〔x 〕=1 故其分布函数为 α分位点，〔1〕α=0.01，求z α;〔2〕α=0.003，求z α，/2z α. 【解】〔1〕 ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= 〔2〕 由()0.003P X z α>=得 即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，9P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+X ~N 〔0，1〕.〔1〕 求Y =e X 的概率密度； 〔2〕 求Y =2X 2+1的概率密度； 〔3〕 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】〔1〕 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- X ~U 〔0,1〕，试求：〔1〕 Y =e X 的分布函数及密度函数； 〔2〕 Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】〔1〕 (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数故Y 的密度函数为〔2〕 由P 〔0<X <1〕=1知当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤即分布函数故Z 的密度函数为X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤ 当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为X 的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
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4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的 样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表 示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E21,.E无2等穷.样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
可列个事件A1 , A2 ,的和事件记为 Ak .
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与
B的积，即事件A与A B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
k 1
(2)A B
A B
(3)A B
实用文档S
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4.差事件:
交换律: A B B A；A B B A.
结合律: A (B C) (A B) C ; A (B C) (A B) C.
分配律: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C).
对偶律: A B A B;
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第一章 概率论的基本概
念
前言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
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§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
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3.连续型随机变量及其概率分布
连续型随机变量是一种重要的非离散型的随机变量。
在这一节中我们要给出连续型随机变量的定义、性质、概率计算，并介绍一些常用的连续型随机变量的分布。
2．3．1 连续型随机变量及其概率密度函数
定义2.3 设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
(2.2)
则称为连续型随机变量。
称为的概率密度函数或密度函数，也称为概率密度。
由（2.2）式知，连续型随机变量的分布函数是连续函数，且在（2.2）式中改变密度函数在个别点上的函数值，不会改变分布函数的取值，可见密度函数不是唯一的。
由定义可知，密度函数有以下性质：
1.
2.
3．若在点处连续，则
由性质3知在的连续点处有
它表示了随机变量在区间上的平均概率，其与物理学中线
密度的定义类似，故称为密度函数。
若不计高阶无穷小，则当很
小时，由上式可得它表示落在小区间
里的概率近似地等于，它在连续型随机变量理论中所
起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
若一个函数满足性质1，则它可以是某个随机变量的密度函数。
由性质1知，介于曲线与轴之间平面图形的面积为1（图
2-1），由性质2知，落在区间里的概率等于图2-2中阴影部分的面积.
特别需要指出的是，对于连续型随机变量来说，它取任一指定的实数值的概率为零，即事实上，因
令，则上式右端，故
据此，对连续型随机变量，有
即在计算落在某区间里的概率时，可以不考虑区间是开的、闭的或半开半闭的情况。
这里，事件并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。
如为被测试的灯泡的寿命，若灯泡的寿命都在1000个小时以上，则但是事件是一定
会发生的，否则就不会出现事件了。
可见，不可能事件的概
率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。
同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。
例7 设枪靶是半径为20厘米的圆盘，盘上有许多同心圆，射手击中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比，且每次射击都能中靶。
若以X
表示弹着点与圆心的距离，试求的分布函数，概率密度函数
及概率
解当时，是不可能事件，故
当，由题意知又由于是必然事件，即得，故
当时，是必然事件，故
综上所述，的分布函数为
由性质3可得的密度函数为
又由性质2可知所求概率为
当然，概率也可用分布函数来求，即
例8 设随机变量具有概率密度函数试确定常数，以及的分布函数.
解由
知A=3，即
而的分布函数为
一般，若随机变量具有概率密度函数
其中是常数，则称服从以为参数的指数分布。
的分布函数为
例9 顾客在某银行窗口等待服务的时间服从参数为的指数分布，X 的计时单位为分钟。
若等待时间超过10分钟，则他就离开。
设他一个月内要来银行5次，以表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，
求概率律及至少有一次没有等到服务的概率。
解由题意不难看出而其中的概率p=P(X>10)，现的概率密度函数为
因此
由此知的分布律为
于是
2.连续型随机变量的常用分布
下面介绍两种感重要的连续型随机变量
1.均匀分布
若随机变量具有概率密度函数
则称在区间上服从均匀分布，记为
在上服从均匀分布的随机变量，具有下述等可能性：即它落在区间中任意长度相同的子区间的概率是相同的，或者说落在子区间
里的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。
事实上对于任一长度为的子区间有
在上服从均匀分布的随机变量的分布函数为
.
和的图形分别如图2-3和图2-4所示.
例10 设随机变量服从上的均匀分布，求一元两次方程,有实根的概率。
解因为当时有实根,故所求概率为
而的密度函数为
因此所求概率
2.正态分布
若随机变量的概率密度函数为
其中和为常数,且,则称随机变量服从参数为和的正态分布，或高斯(Gauss)分布，记为
容易得知,且。
事实上令，则
由
即可知
的分布函数为。
f(x)和F(x)的图形见图2-5和图2-6 .
曲线以为对称轴，以轴为水平渐近线，在处有拐点,当时取最大值
另外，当固定，改变的值，的图形沿轴平移而不改变形状，故
又称为位置参数(见图2-7)。
若固定，改变的值，则的图形的形状随着的增大而变得平坦，故称为形状参数(见图2-8)。
参数的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为
分布函数为
函数值,已编制成表可供查用(见文字教材附表)。
当时,可由
来查得的函数值，这是因为的函数值是图2-9中阴影部分的面积，而又是关于轴对称的。
当时，图2-10中左
边阴影部分的面积等于，右边阴影部分的面积等于，由对称性，可知它们是相等的。
例11 已知,求
解m,
查表,故
若令,则的分布函数可化为
例12 已知，求和
解
.
例13 设，求
解
因为所以由例11知
可见在一次试验中落在区间的规律相当大,即几乎必然落在上述区间内,或者说,在一般情形下,在一次试验中落在区间
以外的概率可以忽略不计.这就是通常所说的原理.
例14 把温度调节器放入贮存着某种液体的容器中,调节器定在,液体的温度是随机变量,设.试求:
1.若求的概率；
(2)若要求保持液体的温度至少为度的概率不低于,问
至少为多少度?
解(1)所求概率为
2.按题意，求
，使
即要求查表知
而故需
解得,即至少为。
为了以后便于应用,我们引入标准正态随机变量的分位点的概念。
设,给定,给定和分别满足
，则称为标准正态分布的上侧百分位点(图2-11)，为双侧百分位点(图2-12)。
百分位点和在给定后,分别可由
查表得到。
若则查表可得
在自然界中，许多社会现象和自然现象中的随机变量都是服从正态分布的。
例如,一个地区成年人的身高，农作物的产量以及某零件的尺寸的误差，炮弹的弹着点等等都服从正态分布。
另外，许多其他分布也常用正态分布作为近似分布。
在概率论及数理统计的理论研究中正态随机变量更起着特别重要的作用。
因此正态分布是概率论中最重要的分布之一。