5 第五章 直线、平面相对位置

[例题 例题7] 平面由∆ BDF给定，试过定点K作平面的法线。 例题
n′
c′ a′ k′
k a c n
[例题 例题8] 试过定点K作特殊位置平面的法线。 例题
h′ h′ h′
h h
（a） （b）
h
（c）
[例题 例题9] 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂 例题 直于该平面。
e′
c′ a′
a c
g
h
[例题 例题13] 试判断∆ ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 例题 垂直。
f′ d′
f d
结论：因为AD直线不在∆ ABC平面上，所以两平面不垂直。
[例题 例题14] 试过定点A作直线与已知直线EF正交。 例题
分析 过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK 即为所求。 A
两平面相交，判别可见性
1′ ( ) 2′
3′
4′
2
3 4
( )
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
1
[例题 例题6] 试过K点作一直线平行于已知平面∆ABC，并与直线 例题 EF相交
。
分析
过已知点K作平面P平行于∆ ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
K F H E
作图 PV m′
PV n′
2′
k′ l′ e QV
1′
m′
两一般 位置平面相 交，求交线 步骤： 1．用求直线 与平面交点 的方法，作 出两平面的 两个共有点K、 E。 2．连接两个 共有点，画 出交线KE。
2
m e k l
1
示意图
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
B M
K
A L
F N
C 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其 连线即为两平面的交线。
1′ (2′)
Ⅱ Ⅰ Ⅲ
Ⅳ 3
( 4)
利 用 重 影 点。 判 别 可 见 性
六、两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点 ，将其连线即为两平面的交线。 两一般位置平面相交求交线 判别可见性 例题6 示意图
求两平面的交线
一般位置平面与特殊位置平面相交
m′
M B K P
b′ f′ n′ k′ l′ a′ a l
c′
A L
F N m C c PH f n b k a l
m k b f c n
判断平面的可见性
结果
判断平面的可见性
五、直线与一般位置平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
§5-1 直线与平面平行 • 两平 面平行
一、直线与平面平行 几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已 知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 例题1 例题2
第五章 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置
基本要求
§5-1 直线与平面平行 • 两平面平行
§5-2 直线与平面的交点 • 两平面的交线
§5-3 直线与平面垂直 • 两平面垂直
基本要求
（一）平行问题 1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。 （二）相交问题 1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。 3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。 （三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。 （四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
2′
k′
1′
PH
1
k
示意图
2
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 M
A
K E
F
C
B N
过MN作铅垂面P
直线EF与∆ ABC相交，判别可见性。 f′
( 2′ ) 1′
4′
k′ 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
3′
e′
2
k （3 ） 4 1
示意图 e
直线EF与平面∆ ABC相交，判别可见性示意图
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
§5-2 直线与平面的交点、两平 面的交线
一、直线与平面相交只有一个交点 二、两平面的交线是直线 三、特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交 五、直线与一般位置平面相交 六、两一般位置平面相交
一、直线与平面相交
A K
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面平行 几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。 两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一 平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 例题3 例题4 例题5
一、直线与平面平行
f′
e f
[例题 例题11] 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °， 例题 与H面的夹角为45 °。
分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角
作图过程 m′ k′ |zM-zN| n′ mn n k |yM-yN| m h mn |zM-zN| h′
直径任取
m′n′
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
[例题 例题1] 例题
试判断直线AB是否平行于定平面
g′
f′
f
g
结论：直线AB不平行于定平面
[例题 例题2] 例题
试过点K作水平线AB平行于∆CDE平面
f′
b′
a′
a
b f
二、两平面平行
E
B A D
F
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两 直线，则此两平面平行
|yM-yN|
30° 45° NM
两平面垂直的几何条件
若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面 都垂直于该平面。 A
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面垂直
两平面不垂直
[例题 例题12] 平面由∆ BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。 例题 h′ g′
E
K F
作图
2′
k′
f′
2′
1′
PV e′ e
1′
a′
2
k
2
a
f 1
1
本章结束
[例题 ] 例题3 例题
试判断两平面是否平行
s′ n′ r′
m′
n m s
r
结论：两平面平行
[例题 例题4] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 例题 点K作一平面平行于已知平面 。 s′ m′ n′ r′ r n m f e k s f′ k′ e′
[例题 例题5] 例题
试判断两平面是否平行。
二、平面与平面相交
M
K F
N L
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b′ a′ m′ c′ a k m 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。 b c n k′ n′
以正垂面为辅助平面求线面交点
QV
1′
k′
步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。 2．求Q平面与 ∆ABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
2′
2
k
示意图
1
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
M
C
B N
过MN作正垂面Q
以铅垂面为辅助平面求线面交点。
步骤： 1．过EF作铅 垂平面P。 2．求P平面与 ∆ABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
例题13
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于 该平面的正平线的正面投影。 n′ k′
k n
定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的 水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投 影，则直线必垂直于该平面。
1′ n′ 2′ h′
1．过点K作平面 KMN//∆ ABC平面。 2．求直线EF与平面 KMN的交点H 。 3 3．连接KH，KH即 KH KH 为所求。
h n
2
m 1
直线与平面垂直、 §5-3 直线与平面垂直、两平面垂直
一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10 二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12
判断直线的可见性
b′ a′ m′ c′ a k m
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
n′
k′
n b c
求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别 其可见性。
k' 1' (2' )2 Nhomakorabeak1