圆的切线的判定和三角形的内切圆
三角形的内切圆与外接圆的切线方程
三角形的内切圆与外接圆的切线方程在几何学中，三角形是一个基本的图形，而内切圆与外接圆是与三角形紧密相关的概念。
本文将探讨三角形的内切圆与外接圆的切线方程。
首先，我们需要了解内切圆和外接圆的定义。
对于一个三角形来说，内切圆是与三角形的三条边都相切的一个圆。
而外接圆则是可以将三角形三个顶点作为圆上的三个点，并且圆的中心与顶点的连线都垂直于三角形的边。
接下来，我们讨论内切圆的切线方程。
为了简化问题，我们假设我们已知三角形的顶点坐标为A(X1, Y1), B(X2, Y2), C(X3, Y3)，内切圆的圆心坐标为O(x, y)，半径为r。
根据圆的性质，圆心到切点的距离与切线垂直。
因此，我们可以通过斜率来求得内切圆的切线方程。
首先，我们求出内切圆的圆心坐标。
根据三角形的性质，内切圆的圆心可以通过三角形的三边上的角平分线的交点来确定。
设内切圆的圆心为O(x, y)。
我们可以使用角平分线的性质来求解内切圆的圆心坐标。
设角A的平分线与边BC的交点为D，那么OD与BC垂直，并且OD平分角A。
根据点斜式，可以得到平分线AD的方程为：(1) (y - Y2)/(x - X2) = (Y2 - Y1)/(X2 - X1)同理，可以求得角B的平分线和角C的平分线的方程。
设平分线AD的方程为(2)，平分线BE的方程为(3)，平分线CF的方程为(4)。
根据圆的性质，内切圆的圆心O必须同时满足方程(2)，(3)，(4)。
解方程组(2)，(3)，(4)可以得到内切圆的圆心坐标O(x, y)。
接下来，我们求内切圆的切线方程。
以切点P(x1, y1)为例，斜率可以利用内切圆圆心O与切点P的连线与切线的斜率的相反数来得到。
对于内切圆切线的方程，斜率k可表示为：(5) k = -(x1 - x) / (y1 - y)另一方面，由于切线通过切点P(x1, y1)，我们可以利用点斜式得到切线方程：(6) (y - y1) = k(x - x1)将方程(5)代入方程(6)，我们可以得到内切圆切线的方程。
切线长定理及三角形内切圆(wy)
2.
区别
联系
切线
直线
不可度量 切线长是切线一
切线长 线段的长度 可度量
部分的长度
3.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 B
对称性
。
P
O
4.证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，AB是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB
对比：直角三角形的外接圆与内切圆
A
A
b
c
O
C
B
C
a
B
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_斜__边__中__点___，
半径为_斜__边__的__一__半__.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_三__角__形__内__部_， 半径r=____a_+_b_-_c___.
2
△ABC的内心，求∠ BOC的度数。
A
∠ BOC= 90°+ 1 ∠ A 2
O
B
C
2.求直角三角形内切圆的半径
直角三角形的两直角边分别是a，b ，斜边是c, 则其内切圆的半径r与三边的关系是什么？
r = a+b-c
A
2
c b
r.
Ca
练习：直角三角形的两直角边分 别是5，12则其内切圆的半径为 ___2_c_m_。 B
34.7 切线长定理* 三角形的内切圆
*探索并证明切线长定理； 知道三角形的内心，会尺规作三角形的内切圆；
小组合作：3min
1.什么是
？
2.
与
的区别？
3.
人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
第3课时切线长定理与三角形的内切圆(原卷版)
九年级上册数学《第二十四章 圆》 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24. 第3课时 切线长定理 & 三角形的内切圆◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】①切线是直线，不能度量．②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. ∵ P A 、PB 分别切☉O 于 A 、B ， ∴ P A = PB ， ∠OP A = ∠OPB .切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别：名称 确定方法 图形 性质POAB外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1、外心到三顶点的距离相等；2、外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1、内心到三边的距离相等；2、内心在三角形内部．【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A 、PB 于点C 、D ，若P A ＝8，则△PCD 的周长为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．20【变式11】（2023•怀化三模）如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝10，AC ＝6，则BD 的长是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【变式12】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ） A ．9B ．7C ．11D ．8【变式13】（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，且AB ＝8，CD ＝15，则四边形ABCD 的周长为 ．【变式14】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【变式15】如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交P A 、PB 于点E 、F ，已知P A ＝12cm ，∠P ＝40°OCBAO CBA①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．【变式16】如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（）A．99°B．102°C．104°D．152°【变式21】（2023•东安县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝70°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．130°B．140°C．105°D．125°【变式22】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【变式23】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，̂上一点，则∠EPF的度数为（）F，P是DFA．50°B．55°C．60°D．65°【变式24】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．25°【变式25】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．80°【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O 与△ABC 的边AB 、AC 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，如果AB＝4，AC ＝5，AD ＝1，那么BC 的长为 ．【变式31】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点D ，E ，F 为切点，AD ＝4，AC ＝10，BC ＝14，则BD 长为 ．【变式32】如图，①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，①O 与①ABC 的三边相切于点D 、E 、F ，则AD 长为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14【变式33】如图，①O 分别切①ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F 、若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，求AD 、BE 、CF 的长．【变式34】已知△ABC 的内切圆半径r =√3，D 、E 、F 为切点，∠ABC ＝60°，BC ＝8，S △ABC =10√3，求AB 、AC 的长．【变式35】（2022秋•津南区期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．（1）若∠ABC ＝50°，∠ACB ＝75°，求∠BOC 的度数； （2）若AB ＝13，BC ＝11，AC ＝10，求AF 的长．【例题4】（2023•天心区校级三模）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若△ABC 的周长为18，面积为9，则⊙O 的半径是（ ） A ．1B ．√2D ．2【变式41】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（ ）A ．3B ．5C ．32D ．52【变式42】（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，若AB ＝4，则⊙O 的半径是（ ） A ．√32B ．1C ．2√33D ．2【变式43】（2022秋•齐河县期末）如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦BC 为8cm ，∠ACB 的平分线交⊙O于点D ，△ADB 的内切圆半径是（ ） A ．12B ．5（√2−1）C ．5（√2+1）D ．5√22【变式44】如图，这条花边中有4个圆和4个正三角形，且这条花边的总长度AB 为4，则花边上正三角形的内切圆半径为（ ） A ．√33B ．23√3C ．1D ．√3【变式45】如图，圆O 是△ABC 的内切圆，其中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，求其内切圆的半径．【例题5】（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，则花圃的面积为 ．【变式51】（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I 是直角△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF ＝10，BE ＝3，则△ABC 的面积为 ．【变式52】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（ ）A ．4πB ．43πC ．23πD ．163π【变式53】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ．若∠ABD ＝∠ACD ＝30°，AD ＝1，则△ABC的内切圆面积 （结果保留π）．【变式54】如图，①O 内切于正方形ABCD ，O 为圆心，作①MON ＝90°，其两边分别交BC ，CD 于点N ，M ，若CM +CN ＝4，则①O 的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．4ππ【例题6】（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断【变式61】（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为．【变式62】（2022秋•防城港期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．【变式63】（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，则⊙O的半径是．【变式64】（2022秋•黔西南州期中）如图，已知O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC．若△ABC内切圆的半径为2，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．【变式65】（2022秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．【变式66】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接OD，OE，OF．（1）若BC＝6，AC＝8，则r＝；（2）若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．【例题7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．【变式71】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3√2，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝x2平行，AB长为4，若点P是直线l上的动点，则△P AB的内切圆面积的最大值为．【变式72】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是．【变式73】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．【例题8】如图，点E是①ABC的内心，AE的延长线和①ABC的外接圆①O相交于点D，过D作直线DG①BC．（1）若①ACB＝80°，则①ADB＝；①AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是①O的切线．【变式81】（2022秋•泗阳县期末）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P 是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．（1）求证：BD＝PD；（2）已知⊙O的半径是3√2，CD＝8，求BC的长．【变式82】（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．（1）求证：l是⊙O的切线；（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．【变式83】（2022秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．【变式84】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG ∥BC．（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝；∠AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是⊙O的切线．【变式85】如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．。
切线长定理与三角形内切圆
基础知识点（一）知识点一：切线长定理1.切线长的概念： 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2. 切线和切线长是两个不同的概念切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
3. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法4. 方法总结解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点5. 切线，常有六性质1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
6.示例讲解例1如图，四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD DA 和圆O O 分别相切于点 L 、M 、N 、P ,求证： AD+BC=AB+CD 例2如图，卩是00外一点t PA.PB 分别和00切于点=4 c 叫是箱上任意•点，过点作O"的切线分 别交PA.PB 于点D&求；（I ） A PDE 的周长；例3（2014，云歯曲靖中考・23题* 10分）如图是GO 的切线胡/为切点是OO 的直径,GPR 的延长线相 交丁点“<1）若Z.1-20%求LAPB 的度数.（2）当"为多少度时请说明理由.（二）知识点二：三角形的内切圆1.问题：怎样做三角形内切圆2.方法：作角平分线1.作/ ABC 、 / ACB 的平分线 BM 和CN ，交点为I. ID 为半径作O I. O I 就是所求的圆.3. 定义和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。
1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。
于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。
九年级数学(BS)下3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
内心：三角形 内切圆的圆心
B
合作探究 例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm， BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理 由是什么？ 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). E O A F
C
N
O
M
B
D
⊙O就是所求的圆.
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. D A
F
O ┐ E
B
C
⊙O是△ABC的内切圆，点 O是△ABC的内心，△ABC 是⊙O的外切三角形.
l
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离
等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
d
r
l
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
A
l
典例精析
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC， 只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线.
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
一、切线的判定 1.定理:过半径 外端 且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 2.如果圆心到一条直线的距离等于 半径长 ,那么这条直线是圆的切线. 二、三角形的内切圆 和三角形三边都相切的圆可以作出 一个 ,并且只能作出 一个 ,这个 圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形 三条角平分线 的交点, 叫做三角形的内心,它到三角形 三边 的距离相等.
.
2.AE= OE
,BF=
OF .
解:EF=AE+BF.理由如下: 连接OA,OB, 因为O是△ABC的内心, 所以OA,OB分别是∠CAB,∠ABC的平分线, 所以∠EAO=∠OAB,∠ABO=∠FBO, 因为EF∥AB, 所以∠AOE=∠OAB,∠BOF=∠ABO, 所以∠EAO=∠AOE,∠FBO=∠BOF, 所以AE=OE,OF=BF,所以EF=AE+BF.
1.如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( B ) (A)三条边的垂直平分线的交点 (B)三条角平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 2.下列关于圆的切线的说法正确的是( D ) (A)垂直于圆的半径的直线是圆的切线 (B)与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 (C)经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 (D)如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线
3.如图,A,B是☉O上120°,那么当 ∠CAB的度数等于 60 度时,AC才能成为☉O的切线.
4.(2019曲靖一模)如图,已知点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BOC=124°,则 ∠A= 68° .
5.如图,已知CD为☉O的直径,点A为DC延长线上一点,B为☉O上一点,且∠ABC= ∠D. 求证:AB为☉O的切线.
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。
圆的切线的判定和三角形的内切圆
D
l
经过半径的外端并且垂直于这条半径
的 直线是圆的切线
几何语言描述：
OD是⊙O的半 径OD⊥l于
l是⊙O的切线
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半 径”，结论为“直线是圆的切 线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，
下面两个反例说明只满足其中一圆心与交点得半径
1、已知直线与圆有交点，
（再证明垂直）
过圆心作直线的垂线段 2、没有明确的公共点， （再证明垂线段长等于半径）
例3、如图，AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，⊙O的弦BC平行于OD.
求证：DC是⊙O的切线
D
分析：直线CD与⊙O有公共点，要证明
C
CD是⊙O的切线就要连半径证垂直。
A
B
O
五、课堂小结：
（一） 判定一条直线是圆的切线有三种方法
1 根据定义直线与圆有唯一的公共点
2 根据圆心到直线的距离等于半径
3 根据判定定理
( ×)
3、作切线： 已知⊙O和⊙O上的一点A，如何过点A画⊙O的切线？
·A
【三、例题“讲”解】
例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线
分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连
结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB.
O
∠α ，当l绕点A旋转时， （1）、随着∠α的变化点O到l的距离d是如何变化？直线l与⊙O 的位置关系是如何变化？ （2）、当∠α等于多少度时，点O到l 的距离等于半径r？此时直 线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
l
直线l是圆的切线满足两个条件
1.经过半径的外端
切线长定理及三角形内切圆
A
E F
O
B
D
C
例2. 如图，四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA 和⊙O分别相切于L、M、N、P。
（1）图中有几对相等的线段？
（2）由此你能发现什么结论？ 为什么？
解：∵ AB，BC，CD，DA都与⊙O相切， D N
L，M，N，P是切点，
P
C
∴AL=AP，LB=MB，
M
O
DN=DP，NC=MC
A
∴AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC
L
B
即 AB+ CD = AD+BC
圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）
练 习：
1、已知⊙O的半径为3cm，点P和 圆心O的距离为6cm，经过点P有 ⊙O的两条切线，则切线长为 P ______cm。这两条切线的夹角为 _____度6。0
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角。
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
。
P
O
A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
思考：
如何在一块三角形的铁皮上截下一块圆形
的用料,并且使得圆的面积尽可能大?
大
中 分 校 初 三 数 学 备 课
三 角 形 的 内 切 圆
切 线 长 定 理 及
组
复习1：直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交
直线和圆相切 直线和圆相离
切线长定理和三角形的内切圆(复习)
∴AB = AC 2 - BC 2 = 2 2 - 12 = 3 , ∴△P AB 的周长为 3 3 .
数学
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6.如图 24-2-37, 已知 AB 为☉O 的直径, P A, P C 是☉O 的切 线, A, C 为切点, ∠B AC =30°. ( 1) 求∠P 的大小; ( 2) 若 AB =2, 求 P A 的长( 结果保留根号) .
图 24-2-28
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2.[2012·扬州]如图 24-2-29, P A, P B 是☉O 的切线, 切点分 别为 A, B, 点 C 在☉O 上, 如果∠AC B =70°, 那么∠P 的度 数是
40
度.
图 24-2-29
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【解析】 连接 O A, O B, 如图所示. ∵P A, P B 是☉O 的切线, ∴O A ⊥P A, O B ⊥B P , ∴∠O AP =∠O B P =90°. 又∵∠AC B =70°, ∴∠AO B =2∠AC B =140°, ∴∠P =360°-( 90°+90°+140°) =40°.
图24-2-26
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解: (1)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A =P B , E A =E Q , F Q =F B .∴△P E F 的周长 =P E +P F +E Q +F Q =P E +E A +P F +F B =P A +P B =24 cm. (2)∵P A, PB, E F 是☉O 的切线, ∴P A ⊥O A, P B ⊥O B , E F ⊥O Q , ∠AE O =∠Q E O , ∠Q F O =∠B F O . ∴∠AO E =∠Q O E , ∠Q O F =∠B O F , ∠AO B =180°-∠
圆切线归纳总结
切线的判定归纳总结1. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．2. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．OOO llcb acbaO F ED CACBAB A4、切线的性质及判定【例1】 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．【例2】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例3】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例4】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【例5】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；【例6】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．OCBOAD CN M OCB A ODCBAO E D C B OD【例7】 如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，⊙C =⊙BAD ，且BD ⊙AB 于B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例8】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；【例9】 如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB ⊥于点G ． （1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；【例10】 如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线；BCOFODECBOG EDA。
三角形内切圆切线长定理切线判定性质
三角形内切圆、切线长定理、切线的判定、性质例 如图，△ABC 的内心为I ，外心为O ，且∠BIC=115°，求∠BOC 的度数．例 已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长．例 （陕西省，2001）如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于D ，交△ABC 的外接圆于点E ．（1）求证：IE=BE ； （2）若IE=4，AE=8，求DE 的长．例 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，半径r=2．求△ABC 的周长．例 （上海市，2001）如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 为半径作⊙D ．求证：（1）AC 是⊙D 的切线； （2）AB+EB=AC ．A BCDEI ABE3. 如图，︒=∠50APB ，PA ，PB ，DE 都为⊙O 的切线，则DOE ∠为（）例 （大连市，l 999）阅读：“如图△ABC 内接于⊙O ，∠CAE=∠B ． 求证：AE 与⊙O 相切于点A ．如图，已知△ABC 内接于⊙O ．P 是CB 延长线上一点，连结AP ．且PA 2＝PB ·PC ． 求证：PA 是⊙O 的切线．例 （西宁，1999）已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，以AB 为直径的⊙O 交斜边AB 于E ，OD ∥AB ． 求证：（1）ED 是⊙O 的切线；（2）2 DE 2＝BE ·OD例 （北京市西城区试题，2002）已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，设切点为C.（1）当点P 在AB 延长线上的位置如图1所示时，连结AC ，作APC ∠的平分线，交AC 于点D ，请你测量出CDP ∠的度数；AB CEOFABCOPAB CDE O（2）当点P 在AB 延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC ，请你分别在这两个图中用尺规作APC ∠的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出CDP ∠的度数；猜想：CDP ∠的度数是否随点P 在AB 延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明.例 如图，已知⊙O 中，AB 为直径，过B 点作⊙O 的切线，连线CO ，若OC AD //交⊙O 于D .求证：CD 是⊙O 的切线.例 如图，以ABC ∆Rt 的一条直角边AB 为直径作圆斜边BC 于E ，F 是AC 的中点，求证：EF 是圆的切线.例 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD 交⊙O 于点E ，AC AB AD ,5,4==平分BDA ∠.（1）求证：CD AD ⊥.（2）求AC .。
三角形的内切圆与切线
三角形的内切圆与切线三角形是几何学中最基本的图形之一，其内切圆和切线则是与三角形相关的重要概念。
本文将介绍三角形的内切圆及其性质，以及与内切圆相关的切线性质。
一、内切圆的定义与性质内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
设三角形的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，内切圆的圆心到三角形的三个顶点的距离分别为d1、d2、d3。
根据内切圆的定义可知，内切圆的圆心与三角形三条边的切点分别在同一条直线上，这条直线称为内切圆的切线。
因此，内切圆的切线有以下性质：1. 内切圆的半径等于三角形三条边的内切点到三角形各边的距离之和的一半，即r = (d1 + d2 + d3)/2。
2. 内切圆的半径与三角形的面积S之间存在以下关系：r = S/s，其中s为三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。
3. 内切圆的圆心到三角形三条边的切点的连线与三角形的垂心共线。
二、内切圆的切线性质除了与内切圆相关的性质外，切线也是我们需要了解的重要内容。
以下是与内切圆的切线相关的性质：1. 三角形的三条边上的切线交于一点，这个点称为三角形的内切点。
内切点是三角形的一个重要特征。
2. 内切点到三角形三个顶点的连线互相垂直。
3. 内切点到三角形三边的距离相等。
4. 内切点到三条边的切点的连线是三角形三条边的平分线。
通过研究三角形的内切圆与切线的性质，我们可以更深入地了解三角形的结构，并在解决几何问题时加以应用。
三、例题分析为了更好地理解和应用内切圆与切线的性质，我们来看一个具体的例题：已知三角形ABC的边长分别为AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，求其内切圆的半径以及三个切点的坐标。
解：首先计算半周长s，s = (9 + 12 + 15)/2 = 18cm。
根据内切圆半径与面积的关系，计算内切圆的半径r：r = S/s，其中S为三角形的面积。
根据海伦公式，三角形ABC的面积S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，代入数值计算得S = √(18(18-9)(18-12)(18-15)) = 36cm²。
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1.直线和 圆的位置
关系
直线和圆相交，即 d ＜ r 直线和圆相切，即 d = r 直线和圆相离，即 d ＞ r
2.切线的性质
圆的切线垂直于过切点的直径.
探究新知
⑴如.随图着所∠示，的AB变是化⊙，O的点直O到径l，的直距线离dl如经何过变点化A，？
直与线ABl与的⊙夹O角的为位∠置关，B系当如l何绕变点化A旋？转时，
数学理解
1.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且 OA=OB,CA=CB,那么直线AB和⊙O相切吗？为什么？
O
A
C
B
数学理解
O
A
C
解：连接OC ∵OA=OB,CA=CB ∴OC⊥AB B ∴AB是⊙O的切线.
数学理解
2.如图，在△ABC中，∠A=68°，点P是内心，
求∠BPC的大小. 解：∵∠A=68°
∵与⊙对A边与相BC切相，切则这
C
D 5
4
B
∴三⊙个A圆的的半半径径为分3 别 同理：⊙B的半径为4 过是点多C少作？CD⊥AB于D，
则CD=2.4 ∴⊙C的半径为2.4
4.如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三 角形，分别作出它们的内切圆.三角形的内心是否 都在三角形的内部？
三角形的内心都在三角形的内部
A
∴∠ABC+∠ACB=112°
∵点P是内心
P
∴∠1=
1 2
∠ABC,
∠2=
1 2
∠ACB
B1
2 C∴∠1+∠2=56° ∴∠BPC=124°
加深理解
如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC 的外接圆于点D，在AC延长线上有一点E，满
足AD2ABAE.求证：DE是⊙O的切线.
A
PO B
C
A
B
C
解：1.作∠B, ∠C的角平分线BE和CF，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC,垂足为D.
3.以O为圆心、以OD为半径
作⊙O.
F
E O
⊙O就是所求的圆.
D
再获新知
和三角形三边都相切的圆叫做三 角形的内切圆，内切圆的圆心是 三角形三条角平分线的交点，叫 做三角形的内心.
随堂练习 1.选择正确的答案填入括号内. (1).三角形的内心是（ D ）
O
A
l
探究新知
(2).当∠等于多少度时，点O到 l的距离d等于
半径r？此时，直线 l和⊙O有怎样的位置关系？Βιβλιοθήκη 为什么？BO
d
A
l
获取新知 切线的判定定理： 经过直径的一端，并且垂直于这条 直径的直线是圆的切线.
做一做
已知⊙O上有一点A，过点A作⊙O的切线.
O
A
l
假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三角形 三边例的2.距如离图相，等从.一因块此三，角圆形心材在料这中个，三能角否形剪三下个 角的一角个平圆分，线使上其，与半各径边为相圆切心？到三边的距离.
2.和三角形三边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平 分线的交点，叫做三角形的内心.
数学思想
数形结合思想
切点是A，过点A作
AH⊥OP于点H，交⊙O
于点B，则PB与⊙O的
1 2H O
B
△AOP≌△BOP PA=PB
位置关系是 相切 .
∠1=∠2 PB⊥OB
解 3.以 边3 2 长 为4 ： 2 3 ,2 4,5 的5 5 2 A
∴ 且三△ ∠角AC形B=C9的是0°三直个角顶三点角形， 3
∴为A圆C⊥心B，C 分别作圆
D
E
A
证明：连接OD
∵点P为△ABC的内心
∴∠1=∠2 ∴⌒BD=C⌒D ∴OD⊥BC
21
P
O4
B3
C
D
E
∵ AD 2ABAE
∴
AD AB
AE AD
∴∠E=∠3 ∵∠3=∠4 ∴∠E=∠4
∵∠1=∠2
∴DE∥BC ∴OD⊥DE
∴△ADE∽△ABD ∴ DE是⊙O的切线
回顾总结
知识归纳
1.切线的判定定理： 经过直径的一端，并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线.
A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
随堂练习
(2).△ABC中，∠A=50°，点O是△ABC的内心，
则∠BOC=( C )
B
A.130°
B.40°
C.115°
D.120°
O
C
A
∠OBC+∠OCB=65°
随堂练习 2.填一填 A
PA是⊙O的切线, P