D42换元法55885
D换元法同济大学高等数学
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
F(x) [ 1(x)]
(t) f [ (t)] (t)
则
F ( x)
(sec x tan x) sec x tan x
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P196 例16 )
2
1
dx e
x
.
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
x ln(1 ex ) C
解法2
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
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4
x)
dx
3 2
dx
cos
2x
d(2x)1 8源自cos4x d(4x)
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例13. 求
解: sin2 x cos2 3x [12 (sin 4x sin 2x)]2
1 4
sin
2
4
x
1 4
2
sin
4x
42换元积分法1
dx 12xx2
d(12xx2) 5 d(x1)
12xx2
2(x1)2
212xx25arcsxin1C
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3. 求不定积分
解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
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复习引入 (Introduction)
上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”
给出了“基本积分公式表” 。
但是，对于形如
2sin2xdx; 1x2dx;
这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表
我们就无能为力了。
为此，……
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第四章
第二节 换元积分法(1)
（Integration by Substitution）
故原式 =
1 4
dx
614co8xsd8(x)
1 2si2n 2xd(s2 ix)n312co4xsd4(x)
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内容小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
co 2x s1 2(1co 2x)s ; si2x n 1 2(1co 2x)s ;
x2a2
a2 C
x2 a2
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例15 求 co4sxdx.
解: 由cos4x(cos2x)2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
(5)
4
dx x2
江苏省淮安市五校联盟2023-2024学年高三上学期10月学情调查测试数学试题(解析版)
2024届高三五校联盟10月学情调查测试数学试题试卷满分：150分 考试时长：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2780,31,A x x x B x x k k =--<==-∈N ∣∣，则A B = （ ）A. {}2,5B. {}1,2,5- C. {}2,5,8 D. {}1,2,5,8-【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合A ，即可由交集运算求解.【详解】由{}2780A xx x =--<∣可得{}18,A x x =-<<∣又{}{}31,1,2,5,8,B x x k k ==-∈=-N ∣，所以A B = {}2,5，故选：A2. 已知复数z 满足()2i 2i z +=-，则z =（ ）A.54i 3+ B.C.34i 5+ D.34i 5-【答案】D 【解析】【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由()()()()22i 2i44i 1342i 2i i 2i 2i 2i 555z z ----+=-⇒====-++-，故选：D3. 已知m ∈R ，命题2:,420p x x x m ∀∈-+≥R ，命题:3q m ≥，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解2m ≥，利用集合间的关系即可求解.【详解】2:,420p x x x m ∀∈-+≥R 为真命题，则1680m ∆=-≤，故2m ≥，由于{}3m m ≥ {}2m m ≥，所以p 是q 的必要不充分条件，故选：B4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列{}n a ，其前六项分别为1,3,6,10,15,21，则11n a n ++的最小值为（ ）A.12B. 34C. 1D.32【答案】C 【解析】【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可.【详解】数列{}n a 前六项分别为1,3,6,10,15,21，依题知21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，叠加可得：()()()1122322n n n a a n n -+-=+++=≥ ，得()222n n na n +=≥，当1n =时，211112a +==，满足22n n na +=，所以22n n na +=，所以1111111212122n a n n n n n ++=+=+-≥-+++，当且仅当1121n n +=+时，即1n =时，等号成立，又n ∈*N ，所以等号取不了，所以最小值在1n =取得，当1n =时，111n a n +=+，所以最小值为1.故选：C5. 已知α为锐角，πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由于πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22ππ4cos 22cos 1335αα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π2π4cos 2πcos 2335αα⎛⎫⎛⎫+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D6. 已知函数()()ln 1f x x =-，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A. ()(),11,-∞-⋃+∞ B. ()2,1--C. ()(),21,-∞-+∞ D. ()()1,1,3-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解.【详解】由于()()ln 1f x x =-的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，关于原点对称，且()()()()ln 1ln 1,f x x x f x -=--=-=故()f x 为偶函数，而当()1,ln(1)x f x x >=-为单调递增函数，故当1x <-，()f x 单调递减，由()()12f x f x +<可得112x x <+<，平方得()22114x x <+<，解得<2x -或1x >，故x 的取值范围是()(),21,-∞-+∞ ，故选：C7. 已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且5633n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数为（ ）A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得()2121n n S n a -=-，进而可求解.【详解】由于()()()()12121212212122n n n na a n a n S n a --+--===-所以()21215216352924521311n n n n n S a b n T n n n ---++===-+=+++，要使nna b 为整数，则1n +为24的因数，由于12n +≥，故1n +可以为2,3,4,6,8,12,24，故满足条件的正整数n 的个数为7个，故选：B 8. 已知6644log log log log 49,96xxyyx y =-=+，则xy的值为（ ）A.B.C.1+D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据对数和指数的互化关系可得,m n 均满足方程233122kk ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而根据一元二次方程210t t +-=的解，即可结合32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性求解.【详解】令64log ,log x m y n ==，则6,4m n x y ==，由6644log log log log 49,96xx y y x y =-=+可得649,496m m m n n n =-=+，进而可得2331,22mm⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故233122mm⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得233122nn ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令210t t t +-=⇒=t =，故330,022m n⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，均为方程210t t +-=的实数根，故32m⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n⎛⎫= ⎪⎝⎭由于函数32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递增函数，所以m n =，6342mm n x y ⎛⎫===⎪⎝⎭，故选:B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知{}n a 为等比数列，n S 是其前n 项和.若375416,a a a a =与52a 的等差中项为20，则（ ）A. 11a = B. 公比2q =-C. 12n n a -= D. 21n n S =-【答案】ACD 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比和首项，进而由求和公式以及通项公式即可求解.【详解】由37516a a a =得52551616a a a ⇒==，又4a 与52a 的等差中项为20，则4454082a a a +=⇒=，所以公比为542a q a ==，故31411a q a a =⇒=，故1122,2112nn n n n a S --===--，故ACD 正确，B 错误，故选:ACD10. 已知正数,a b 满足21a b +=，则（ ）A. ab 的最大值为14B.12a b+的最小值为9C. 224a b +的最小值为14D. 24a b +的最小值为【答案】BD【解析】【分析】运用基本不等式逐一判断即可.【详解】A ：因为,a b 是正数，所以1128a b ab =+≥⇒≤，当且仅当2a b =时取等号，即当11,24a b ==时，ab 有最大值为18，因此本选项不正确；B ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时取等号，即当13a b ==取等号，故本选项正确；C ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以2221422a b a b +≤⇒+≥，当且仅当2a b =时取等号，即当11,24a b ==时， 224a b +有最小值12，因此本选项不正确；D ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以24a b +≥=，当且仅当2a b =时取等号，即当11,24a b ==时，24a b +的最小值为因此本选项正确，故选：BD11. 已知函数()323f x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于原点中心对称B. ()f x 在区间[]2,1-上的最小值为C. 过点()2,10有且仅有1条直线与曲线()y f x =相切D. 若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数t 的取值范围是()3,1--【答案】AD 【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判断A ，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断B ，求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.【详解】()323f x x x =-的定义域为R ，且()()()()332323f x x x x x f x -=---=-+=-，所以()f x 为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确，()2636f x x x x ⎛'=-= ⎝，令()0f x ¢>得x >或x <，故()f x 在,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在⎛ ⎝单调递减，故()f x 在区间2,⎡-⎢⎣单调递增，在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，又()210f f =-=-，最小值为10-，故B 错误，设切点为()00,x y ，则切点处切线方程为()()2300006323y x x x xx =--+-，若切线经过()2,10，则将()2,10代入可得()()2320000340210x x x x -+=⇒--=，所以01x =或02x =，故经过()2,10会有两条切线，C 错误，若切线经过()1,P t ，则将()1,P t 代入()()2300006323y x x x xx =--+-得3200463x x t -+-=，令()()322463,()12121g x x x g x x x x x '=-+-=-+=--，则当01,()0,x g x '<<>因此()g x 在()0,1单调递增，在(),0∞-和()1,+∞单调递减，作出()g x 的图象如下：()()()()1103g x g g x g ==-==-极大值极小值，，要使过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则直线过点y t =与()g x 的图象有三个不同的交点，故3<1m -<-，D 正确，故选：AD12. 已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>，则（ ）A. 12,x x 是方程()1f x =的两个不等实根，且12x x -最小值为π，则2ω=B. 若()π,6f x ϕ=在[]0,2π上有且仅有4个零点，则2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C. 若()π,6f x ϕ=在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在()0,2π上的零点最多有3个D. 若()1,f x ω=的图象与直线(01)y m m =<<连续的三个公共点从左到右依次为,,M N P ，若3PN MN =，则m =【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数性质和周期公式可判断A ；函数()f x 由小到大的第4个零点在区间[]0,2π内，第5个零点大于2π求解可判断B ；根据单调性和第3个零点在区间()0,2π内分别求出ω范围即可判断C ；数形结合可得π2MN =，然后可得π2π,4M x k k ϕ+=+∈Z ，即可求出m ，可判断D .【详解】A 选项：由题可知πT =，所以2π2π2πT ω===，A 正确；B 选项：若π6ϕ=，令()πsin 06f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得ππ6x k ω+=，即ππ,6k x k ωω=-+∈Z ，所以，函数()f x 由小到大的第4个零点为π4π6ωω-+，第5个零点为π5π6ωω-+，由题知，π4π2π6π5π2π6ωωωω⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得23291212ω≤<，B 正确；C 选项：由πππ262x ω-≤+≤得2ππ33x ωω-≤≤，因为()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以2ππ36ππ34ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得403ω<≤，若()f x 在()0,2π上有3个零点，则π3π2π6ωω-+<，解得1712ω>，因174123>，所以C 错误；D 选项：由图可知，2πMP =，又3PN MN =，所以π2MN =，即π2N M x x -=，因为π2π,22MN x x k k ϕ++=+∈Z ，所以π2π,4M x k k ϕ+=+∈Z ，所以()πsin sin 2π4M m x k ϕ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭D 正确.故选：ABD .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 满足1111,2n na a a +=-=，则2024a =__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设312411,2, (2)2,,a a a a =-===，所以{}n a 是周期为3的数列，则202436742212a a a ⨯+===.故答案为：1214. 已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是__________.为【答案】1[,1)4【解析】【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.【详解】由()22ln f x x x =-得()21414x f x x x x-'=-=，由于函数()f x 的定义域为()0,∞+，故令()0f x '≥,解得12x ≥，故()f x 的单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则12212m m m ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩，解得114m ≤<，故答案：1[,1)415. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c D 为BC 边中点，若222,24AD b c =+=，则ABC 面积S 的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据向量模长公式即可2cos 8bc A =-，结合基本不等式即可求解12bc ≤，进而根据三角函数的单调性，结合面积公式即可求解.【详解】由于D 为BC 边中点,所以()12AD AB AC =+,平方2222242162cos AD AB AC AB AC c b bc A =++⋅⇒=++,因此2cos 8bc A =-,由于22242b c bc +=≥，所以12bc ≤，当且仅当b c ==时等号成立，故41cos 3A bc -=≤-，由于cos y x =在()0,π单调递减，故当1cos 3A =-时，A 最小，且为钝角，114sin sin 2tan 22cos ABC S bc A A A A-===- ,由于tan y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故当tan A 取最小值时，此时面积最大，故当1cos 3A =-时，此时A最小，进而tan A 最小，故面积最大，为由1cos 3A =-可得sin tan A A ==-，故面积的最大值为，故答案为：16. 已知函数()212ln 8f x a x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()0f x ≥恒成立，则满足条件的所有整数a 的取值集合为__________.（参考数据：ln20.6931,ln5 1.6094≈≈）【答案】{1,2,3,4}【解析】【分析】对函数求导，讨论0a ≤、0a >研究单调性，转化为极小值0f ≥恒成立，构造中间函数2()1ln 8a a a ϕ=+-研究使()0a ϕ≥对应a 的区间，即得答案.【详解】由题意()222(1)2ax f x ax x x-'=-=且,()0x ∈+∞，当0a ≤时()0f x '<，即()f x 在,()0x ∈+∞上递减，又()1(108af a =-≤，所以，定义域内存在()0f x <，不符合题意；当0a >时，0x <<时()0f x '<，()f x 递减；x >()0f x ¢>，()f x 递增；所以()21ln 8a f x f a ≥=+-，要使()0f x ≥恒成立，只需21ln 08a a +-≥，令2()1ln 8a a a ϕ=+-且0a >，则214()44a a a a aϕ-'=-=，所以，02a <<时()0a ϕ'>，()a ϕ递增；2a >时()0a ϕ'<，()a ϕ递减；由211717(0(1),(4)2ln 210(5)ln 5e8e 88ϕϕϕϕ=-<<==->>=-，所以()a ϕ在1(,1),(4,5)e各有一个零点，且a 取两个零点之间的值（含零点）时()0a ϕ≥，故整数{1,2,3,4}a ∈时()0f x ≥恒成立.故答案为：{1,2,3,4}【点睛】关键点点睛：利用导数研究()f x 单调性，特殊值判断0a ≤是否能使()0f x ≥恒成立，对于0a >求()f x 的极小值，构造中间函数研究极小值恒大于等于0的情况.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知函数()sin (0)f x x x t ωωω=++>，且()f x 的最大值为3，最小正周期为π.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在ππ,36-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，并指出()f x 取得最大值时自变量x 的值.【答案】（1）π()2sin(213f x x =++ （2）值域为[1，()f x 取最大值时自变量x 值为π12【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，即可由周期公式求解2ω=，根据最值可得1t =，（2）由[]x ∈π6得ππ2π2[,]333x +∈-，即可结合三角函数的性质求解.【小问1详解】1()sin 2(sin cos 2sin(23f x x x t x x t x t ωωωωωπ=++=⋅++=++，所以()f x 的最小正周期2ππT ω==，则2ω=；且()f x 的最大值23t +=，则1t =.所以π()2sin(213f x x =++.【小问2详解】因为[]x ∈-ππ,36，所以ππ2π2[,]333x +∈-，则πsin(2)[3x +∈，则2sin(2)1[13x π++∈，所以()f x 的值域为[1.当()f x 取得最大值时，ππ2=32x +，所以自变量x 的值为π12.18. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且7943,3a S a =-=.（1）求数列{}n a 通项公式与前n 项和n S ；（2）若n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .的的【答案】（1）211210n n a n S n n =-=-，（2）2210,51050,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解，（2）根据当5n ≤时，0n a >，n n n b a a ==；当6n ≥时，0n a <，n n n b a a ==-，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111639363(3)a d a d a d +=-⎧⎨+=+⎩，解得192a d =⎧⎨=-⎩.所以数列{}n a 的通项公式为9(1)(2)112n a n n =+-⋅-=-，数列{}n a 的前n 项和29112102n nS n n n +-=⋅=-.【小问2详解】由1120n a n =->得112n <，所以当5n ≤时，0n a >，n n n b a a ==；由1120n a n =-<得112n >，所以当6n ≥时，0n a <，n n n b a a ==-.所以，当5n ≤时，210n n T S n n ==-；当6n ≥时，1212567()n n n T b b b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+1251252()()2n na a a a a a S S =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-2222(1055)(10)1050n n n n =⨯---=-+.所以，2210,51050,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.19. 已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R .（1）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2a -，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值为5ln 24--，极小值为2- （2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）根据极值点可得()10f '=，进而可得1a =，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.【小问1详解】2()(21)ln f x x a x a x =-++，()2(21)af x x a x'=-++，0x >.因为()f x 在1x =处取得极值，所以(1)2(21)0f a a '=-++=，则1a =.所以2()3ln =-+f x x x x ，21231(21)(1)()23-+--'=-+==x x x x f x x x x x，令()0f x '=得12x =或1，列表得所以()f x 的极大值为11315(ln ln 224224f =-+=--，极小值为(1)13ln12f =-+=-.【小问2详解】22(21)(21)()()2(21)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=-++=='.①当1a ≤时，()[1,e],0x f x '∈>，所以()f x 在[1,e]上单调递增，()f x 的最小值为(1)2f a =-，满足题意；②当1e a <<时，令()0f x ¢>，则x a >或102x <<，所以()f x [1,]a 上单调递减，在[,e]a 上单调递增，此时，()f x 的最小值为()(1)2f a f a <=-，不满足题意；③当e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减，()f x 的最小值为(e)(1)2f f a <=-，不满足题意.综上可知，实数a 的取值范围时(,1]-∞.20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.在（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n b a =，求证：数列{}n b 的前n 项和32n T <.【答案】（1）131n n a -=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据,n n S a 的关系可得132n n a a -=-，进而可得{1}n a -为等比数列，即可求解，（2）利用放缩法，结合等比数列求和公式即可求证.【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，113(1)22n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则113(1)n n a a --=-，所以数列{1}n a -构成以111a -=为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】因为131n n a -=+，所以11131n n n b a -==+，所以1221111111313131n n n T b b b -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++++2111()111133133(11333223213nn n --<+++⋅⋅⋅+==-⋅<-.21. ABC 中，角,,A B C 的对边为()223,,,sin sin sin sin sin 222B A a b c a b c A B b A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小；（2）若3,c ABC =内切圆的半径r =ABC 的面积.【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的角边化及降幂公式，结合余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得223()(sinsin 222B A a b c a b ab +++=，因为221cos 1cos 1sinsin (cos cos )222222B A B A a b a b a b a B b A --++=⋅+⋅=-+2222221(22222a b a c b b c a a b ca b ac bc ++-+-+-=-⋅+⋅=，所以3()22a b c a b c ab +-++⋅=，则22()3a b c ab +-=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又0πC <<，所以π3C =.【小问2详解】由（1）知22()3a b c ab +-=，因为3c =，所以2()93a b ab +-=（*）.又ABC 的面积11sin ()22S ab C a b c r ==++⋅，即11sin (3)232ab a b π⋅=++，则2(3)ab a b =++，代入（*）式得2()96(3)a b a b +-=++，即(3)(3)6(3)a b a b a b +++-=++，所以36a b +-=，则9a b +=，所以ABC 的面积11()1222S a b c r =++⋅=⨯=.22. 已知函数()()cos 1,x f x g x ax x x==-.（1）若函数()f x 在点π,02A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与函数()g x 的图象有公共点，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）214a -π≥（2）1(,0)[,)2-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，联立方程转化为一元二次方程，利用判别式即可求解,（2）将问题转化为2()cos 10h x x ax =+-=没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解.【小问1详解】因为cos ()x f x x=，所以2sin cos ()x x xf x x --'=，则()f x 在点π,02A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为2()2f π'=-π，所以切线方程为2()2y x π=--π，即21πy x =-+.由21π1y x y axx ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得211x ax x -+=-π，即22(10a x x -+-=π.因为函数定义域为{|0}x x ≠，所以方程22()10a x x -+-=π有非零实数根，当2πa =时，1x =，符合题意，当2πa ≠时，则214()0a ∆=+-π≥，即214a -π≥，且2πa ≠，所以实数a 的取值范围是21π4a ≥-.【小问2详解】因为函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，所以()()f x g x =，即cos 1x ax x x=-无实根，所以当0x ≠时，2()cos 10h x x ax =+-=无实根，因为()()h x h x -=，即()h x 是偶函数，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上无实根.()2sin h x ax x '=-，记()()2sin m x h x ax x '==-则()2cos m x a x '=-，,()0x ∈+∞.①当0a <时，20ax <，又1cos 1x -≤≤，则cos 10x -≤，所以2()cos 10h x x ax =+-<，满足()0h x =在(0,)+∞上无实根.②当0a =时，()cos 10h x x =-=在(0,)+∞上有实根，不合题意，舍去.③当12a ≥时，()2cos 0m x a x '=-≥，所以()2sin h x ax x '=-在(0,)+∞单调递增，则()(0)0h x h ''>=，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，满足()0h x =在(0,)+∞上无实根.④当102a <<时，因为()2cos m x a x '=-在π(0,)2单调递增，且(0)210m a '=-<，(202m a π'=>，则存在唯一的0π(0,)2x ∈，使00()2cos 0m x a x '=-=，列表得所以当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h ''<=，则()h x 在0(0,)x 单调递减，则()(0)0h x h <=，又因为2(2)40h a π=π>，且()h x 在(0,)+∞上连续，所以2()cos 10h x x ax =+-=在(0,2π)上有实根，不合题意.综上可知，实数a 的取值范围是1(,0)[,)2-∞⋃+∞.【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
高中数学选修4-4,4-5知识点总结
选修4-4知识点一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
江苏省苏州市五校联考2024届高三数学试题5月最后一卷试题
江苏省苏州市五校联考2024届高三数学试题5月最后一卷试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．132．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-4．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．35．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．37．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C 3D 58．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A 5-1B 3-1C 31+D 51+ 9．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C 5D 7 10．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市黄冈实验学校2024_2025学年高二数学上学期期末考试试题理含解析
昆明黄冈试验学校2024-2025学年上学期期末考试试卷高二年级数学理科一、选择题（每个小题5分，共60分）1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解出和M中的不等式，得到元素满意的条件，依据交集运算得到结果.详解：集合，，则.故答案为：A.点睛：这个题目考查的是集合的交集运算，二次不等式的解法.2.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】可得当时，必有成立；当成立时，不肯定有成立所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.3.从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、中学三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A. 简洁的随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】【分析】由于三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大，所以依据分层抽样的概念，即可选择按学段分层抽样，得到答案．【详解】由于该地区小学、初中、中学三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大，所以最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C．【点睛】本题主要考查了分层抽样的概念及应用，其中解答中熟记分层抽样的基本概念，合理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题．4.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是A. B.C. D.【答案】B【解析】正方形的面积为，内切圆中黑色部分的面积为，所以正方形内白色部分的面积为，故所求的概率为.5.设实数满意约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.6.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定为“”，故选C.7.下图是2024年某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字.这些数据的中位数是，去掉一个最低分和一个最高分后所剩数据的平均数是（）A. ， B. ； C. ； D. ；【答案】C【解析】试题分析：依据茎叶图中的数据，利用中位数和平均数的定义求出结果即可．解：由茎叶图知，这组数据共有7个，按从小到大的依次排在中间的是88，所以中位数是88；去掉一个最高分94和一个最低分79后，所剩数据为84，85，88，88，89，它们的平均数为（84+85+88+89）=86.8．故选：C．考点：频率分布直方图．8.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，一枚硬币连掷2次可能出现四种状况，又由只有一次出现正面的有两种，依据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，一枚硬币连掷2次可能出现正正，反反，正反，反正四种状况，而只有一次出现正面的有两种，所以依据古典概型及其概率的计算公式可得概率为，故选D．【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，属于基础题．解题时要精确理解题意，正确找出随机事务A包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数，再由古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题．9.已知命题“且”为真命题，则下面是假命题的是( )A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】命题“且”为真，则真真，则为假，故选D。
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.2 换元积分法
如果由基本积分公式可以求得
න = +
那么
⋅ ])([ ′ ()＝[()] +
将上述过程联立起来，写成下面四个步骤:
න
⋅ ′
= )(])([
凑微分
令=
=
换元
න
= () +
回代
])([ ′ () = [ + ]ȁ=−1() = −1
这种方法称为第二类换元积分法.
+ .
忽略变量符号的不同,下列示意图反映了这两类换元法之间的关
系,从左到右就是第一类换元法,从右到左则是第二类换元法.
第
类
一
元
换
法
令=()
′
)( = )(])([ = )( ])([
（8） = (− ) = −
（9） 2 =
（10）
1
1+ 2
=
在熟练掌握了上述四个步骤以后，我们可以省略第二步“换元”,从而把
这四个步骤简化为两步:
න
∙ ′ = න
=
+
例3 求
( )3
.
解法一
( )3
) (= 3
令=ln
回代 1
1 4
3
=
= 4 + = 4 ( )4 +
解法二
( )3
) (= 3
1
= ( )4
分析
( 3 + 1) ≠ ( 3 + 1) + ,因为[( 3 + 1)]′ ≠ ( 3 + 1).
高中数学计数原理知识点总结及练习教案课程学生
教师： 学生： 时间：_ 2016 _年_ _月 日 段 第__ 次课n m +种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成种不同的方法，……，做第n m ⨯ 种．排列的概念：从n 个不同元素中，任取）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．排成一列，叫做从n ）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中2)(n m -+的连乘积，叫做n !)!n n m - .个不同元素中取出2)(!n m m -+(r n r r n nn n C a b C b n N -+++∈r rn n C x x +++.．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对．二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是r r n n C x x +++，12r nn n n n C C C C ++++++在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r n T C a -+=体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。
另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指n m ⨯种不同的方法．分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40B．50C．60D．702．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A．6个B．9个C．18个D．36个4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．368．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96 C．108 D．1449．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）14417. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
湖北省武昌市2025届高考冲刺模拟数学试题含解析
湖北省武昌市2025届高考冲刺模拟数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3(0,)4B ．2(0,)2C ．23(,)24D ．2(,1)22．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π3．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x4．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3πB ．32π C ．12πD ．24π5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=6．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 8．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-10．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.3612．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．311二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省鸡西市2025届高考数学全真模拟密押卷含解析
黑龙江省鸡西市2025届高考数学全真模拟密押卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足2MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ） A ．[]0,2B ．0,22⎡⎣C ．[]22-,D ．22,22-⎡⎣3．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,54．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]5．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．56．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．,2e⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．(,)e +∞C ．[,)e +∞D ．,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭7．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．15609．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭10．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5CD11．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π 12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ B ．⎛ ⎝⎦C ．)+∞D ．(二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
D42换元法54952
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
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例18. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sect
,
t
(0,
2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
dx a sect tan t d t
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
a
1 a
du 1 u
2
1 arctan a
uC
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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例3. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
第二类换元法
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一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题七(含答案) (30)
初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题七（含答案）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为_________．【答案】【解析】【分析】过点G作GH⊥AD于H，根据翻折变换的性质可得GF⊥AE，然后求出∠GFH=∠D，再利用“角角边”证明△ADE和△GHF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=AE，再利用勾股定理列式求出AE，从而得解．【详解】如图，过点G作GH⊥AD于H，则四边形ABGH中，HG=AB，由翻折变换的性质得GF⊥AE，∵∠AFG+∠DAE=90°，∠AED+∠DAE=90°，∴∠AFG=∠AED ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∴HG=AD ，在△ADE 和△GHF 中，GHF D AFG AED GH AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADE ≌△GHF （AAS ），∴GF=AE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE=12CD=2， 在Rt △ADE 中，由勾股定理得，==， ∴GF 的长为故答案为【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．62．已知，如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝5，则AC ＝_____．【答案】10.【解析】【分析】连接BD，由三角形中位线的性质可得到BD的长，然后依据矩形的性质可得到AC=BD．【详解】如图所示：连接BD．∵E，F分别是AB，AD的中点，EF＝5，∴BD＝2EF＝10．∵ABCD为矩形，∴AC＝BD＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、三角形的中位线定理的应用，求得BD的长是解题的关键．63．正六边形的每一个内角为____，每一个外角为____.【答案】120°60°【解析】试题分析：正六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°，∵正六边形的每个内角都相等，∴每个内角为720°÷6＝120°，每个外角为180°－120°＝60°．故答案为120°，60°．点睛：本题主要考查了多边形的内角和公式和正多边形的每个内角都相等的性质，正确的计算出六边形的内角和是解决此题的关键．64．在Rt△ABC中，斜边AB的长是10，cos B＝35，则BC的长是_____．【答案】6【解析】【分析】在直角三角形中，将AB的值代入余弦值中，可求出BC边的长．【详解】根据余弦的定义列式计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，BCcosBAB＝，∴33,5105 BC BCAB==即，解得，BC＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了解直角三角形，应用余弦函数的定义来求直角三角形的边是解题的关键．65．如图,小明从点A出发,前进5 m后向右转20°,再前进5 m后又向右转20°,这样一直走下去,直到他第一次回到出发点A为止,他所走的路径构成了一个多边形(1)小明一共走了________米；(2)这个多边形的内角和是_________度.【答案】90 2880【解析】【分析】先根据题意判断该多边形的形状，再计算该多边形的边的总长和内角和即可．【详解】解：由题意知，该多边形为正多边形，∵多边形的外角和恒为360°，360÷20=18，∴该正多边形为正18边形．（1）小明一共走了：5×18=90（米）；故答案为90（2）这个多边形的内角和为：（18-2）×180°=2880°故答案为2880【点睛】本题考查了正多边形的相关知识，掌握多边形的内角和定理是解决本题的关键．66．如图，在Rt ABC中，C90AαAC b,∠∠=︒==，，则AB的长为________（用含α和b的代数式表示）【答案】b.cosα【解析】【分析】根据余弦函数的定义可解.【详解】解：根据余弦函数的定义可知bα=,cosAB.所以AB=bcosα.故答案是：bcosα【点睛】本题考查了三角函数的定义，牢记定义是关键.三角函数的定义是本章中最重要最基础的知识点，一定要掌握.67．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°，将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最小值为_____．【答案】-【解析】【分析】连接OC ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，由直角三角形的性质可求BE ＝12BC ＝1，CE OC 的长，据此进一步分析即可求解．【详解】如图，连接OC ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∵四边形OBCD 是菱形，∴OD ∥BC ，∴∠BOD ＝∠CBE ＝60°，∵CE ⊥OE ，∴BE ＝12BC ＝1，CE ，∴OC ==∴当点C 1在y 轴上时，点C 1的纵坐标有最小值为- 故答案为：-【点睛】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.68．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且,a b满足()240a-+=，那么菱形的面积为___________．【答案】2【解析】【分析】由,a b满足()240a-+=，可求得a与b的值，又由菱形的两条对角线的长为a和b，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．【详解】解：∵a、b满足()240a-=∴a-4=0，b-1=0，解得：a=4，b=1，∵菱形的两条对角线的长为a和b，∴菱形的面积11412 22ab==⨯⨯=．故答案为：2．【点睛】本题考查菱形的性质，乘方运算的符号规律，绝对值的非负性．熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解决此题的关键．69．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为．【答案】20√2．【解析】试题分析：：延长BG，交AE与点C，∵∵ABC=45°∵∵ABC是等腰直角三角形，∵AB=AC∵CE=5∵∵CED是等腰直角三角形，∵CD=5√2∵CD=GF，∵中间的小正方形的边长是5√2，因而周长是20√2．考点：正方形的性质；勾股定理．70．如图，已知平行四边形ABCD，AD=5，A（-3，0），B（6，0），点D在y轴的正半轴上，动点P从点A出发，沿A-D-O的折线以每秒1个单位的速度匀速运动，动点Q 同时从点C 出发，沿C-D 以每秒1个单位的速度匀速运动，过动点Q 的直线L 始终与 x 轴垂直且与折线CBO 交于点M ，点P 、Q 中有一个点到达终点，另一个点运动随即而停止。
D42换元法54976
(5 ) f(x, x2 a 2)d x,令 xase t或cxacth
(6) f(ax)dx,令 t ax
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
2. 常用基本积分公式
(1)6taxndxlncoxsC (1)7coxdtxlnsinxC (1)8sexd cxln se x ctaxn C (1)9csxd cxln cs x c co x tC
(2)0 a2 1x2dx1aarctaaxnC
(2)1
1 x2a2
dx1 lnxa 2a xa
C
(2)2
1 dxarcsinx C
14
3 2
dx co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)
3 8
x
14sin2x312sin4x C
例13. 求 si2n xco 23sxdx.
解: si2x n co 23 xs[1 2(s4 ixn si2n x)2 ] 1 4 s2 4 ix n 1 4 2 s4 i x s n 2 i x n 1 4 s2 2 ix n 8 1(1co8xs)si2n 2xco 2xs8 1(1co4xs)
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx 1(( aaxx )) 2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctaxn)(C
a
a
例3. 求 dx (a0). a2x2
解:
dx
1 n
不定积分第二种换元法
22
换元积分法
常见的凑微分类型有
小结
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d(ax
b) (a
0)
f (axm1 b)xmdx
1
f (axm1 b)d(axm1 b)
a(m 1)
1 dx f (x) x2
f
( 1 )d( 1 ) xx
f
(ln
x)
f (tan x)sec2 xdx f (tan x)dtan x
f (cot x)csc2 xdx f (cot x)dcot x
f (arcsin x)
1 1
dx x2
f (arcsinx)darcsin x
f
(arctan
x
)
1
1 x
2dx
f
(arctan x)darctan x
2
14
例
求
a a
os
x x
dx.
解
a a
cos sin
x x
b sin b cos
x x
dx
d
(a sin x bcos x) a sin x bcos x
ln a sin x bcos x C .
第一换元积分法是不定积分的基础， 且有很大的灵活性, 可通过三角恒等变换、 代数运算、加一项减一项、上，下同除以 一个因子等方法，使积分变得易求.
2 sin xd(sinx) u sin x 2 udu u2 C
2024-2025学年重庆八中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆八中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足z(2−i)=3+4i(i 为虚数单位)，则|−z |的值为( )A. 1B. 5C. 5 53D. 5 52.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是( )A. 若α//β，l ⊂α，m ⊂β，则l//mB. 若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC. 若l ⊥α，α⊥β，则l//βD. 若l//α，m ⊥α，则l ⊥m3.“直线ax−(a +6)y +8=0与3x−ay +a−5=0平行”是“a =6”的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则(e 1+2e 2)⋅(e 2−e 1)=( )A. 32B. 3C. 52D. 55.圆x 2+y 2+2mx +4my +6=0关于直线mx +y +3=0对称，则实数m =( )A. 1B. −3C. 1或−3D. −1或36.直线l ：x + 3y− 3=0与圆C ：(x +2)2+(y−1)2=2交于A ，B 两点，则直线AC 与直线BC 的倾斜角之和为( )A. 120°B. 145°C. 165°D. 210°7.已知tan2θ=43，θ∈(0,π4)，若mcos(π4−θ)=cos(π4+θ)，则实数m 的值为( )A. −13B. −12C. 13D. 128.已知圆C ：(x−2)2+(y +1)2=5及直线l ：(m +2)x +(m−1)y−m−8=0，下列说法正确的是( )A. 圆C 被x 轴截得的弦长为2B. 直线l 过定点(3,2)C. 直线l 被圆C 截得的弦长存在最大值，此时直线l 的方程为x +y−1=0D. 直线l 被圆C 截得的弦长存在最小值，此时直线l 的方程为x−y−5=0二、多选题：本题共3小题，共18分。
五年级下册数学同步奥数培优习题课件--解方程-2(17张)苏教版
1.先拆括号
40x 20 41x 21
2.化简
41x 40x 21 20
3.合并同类项
x1
7
在下面的三个“□”中填入相同的数，使等式成立。 0.3×□-□×0.25=21.15-7×□
0.3 x x 0.25 21.15 7 x
解： 0.3x 0.25x 21.15 7x
0.05x 21.15 7x 0.05x 7x 21.15 0.05x 7x 21.15
7.05x 21.15 x 21.15 7.05 x3
你能想到什么方法吗？
在□中填入3 。
8
在下面的三个“○”中填入相同的数，使等式成立。 4.3×○-1.1=1.3×○+3.7
4.3 x 1.1 1.3 x 3.7
a7
你能把已知条件 代入算式吗？
12
3.某数减去10，再乘以2，加上70，得250，求这个数。
你能列出方程吗？
(x 10) 2 70 250
解：2x 2 10 70 250 2x 20 70 250 2x 50 250 2x 250 50
2x 200
x 200 2 x 100
9x 18 x 18 9 x2
你能想到什么方法吗？
在□中填入2 。
10
2.已知方程0.4(x 0.2) m 0.7x 0.38
的解x 6, 求m等于多少？
0.4 (6 0.2） m 0.7 6 0.38
你能把已知条件 代入算式吗？
解：0.4 6 0.4 0.2 m 0.7 6 - 0.38
解：3x 32-4x 41 23x 21-18 0 3x 6 4x 4 6x 2 18 0 (3 4 6)x (6 4 2 18) 0 5x 10 0 5x 10 x2
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sinax d x 1 d (cosax) a
sec2 x d x d(tan x)
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（2） 解:
1 (cos 2x 1 cos3 2x) C
2
3
规律：正弦或余弦奇数次方的积分，拆成
偶数次方与一次方的乘积。
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法
二、第二类换元法
第四章
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一、第一类换元法
引例. 求 cos x 3 sin x dx （难积）
变形
3 sin x (sin x)dx
凑微分
换元：u sin x
3 sin x dsin x
积出
3
u
4 3
c
还代
4
3 (sin
3
sec2 x d x d (tanx)
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例10. 求
cos x d x d (sin x)
解法1
1 cos
x
dx
cos cos2
x x
d
x
1
1 sin2
x
d (sin
x)
1 ln x a C 2a xa
1 sin2 x 1 d(sin x)
1 ln sin x 1 C 2 sin x 1
1 x
d
x
2 a
f
(a
x b)d(a
x b)
例8. （1） 解s x)
sin cos
x dx
x
d(cos x) cos x
cos x dx sin x
d(sin x) sin x
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常用凑微分方法4：
cos x d x d (sin x) cosax d x 1 d (sin ax) a
1 d(a ax
b)
1a
1a
a
(2)
x2
f( x
b)d x
a
f( x
b)d( x
b)
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例7. （1）
sec2 x d x （2）
x
dx x (1 x)
解 (1) 原式 = 2 sec2 xd x 2tan x c
(2)
原式
=
2
1 (1
d x)
例5. （1）
（2）
（3）
解（（23））12（:原1原c）o式s式(原3==式 c2ol=ns(x13d)d(lln(n22n3xllxxnn))xx2)lnd(x12ln)
xd)(1 2ln x)
1 2ln x
凑微分方法3：1 dx d (ln x) 1 d(a ln x b)
x
a
f
(a ln
例1. （1） sin 2x dx （2）
1 dx
4 3x
解:
1 2
sin
2
x
d2
x
2
xu
1
sin u du
2
常用凑微分方法1：1 dx
f
(ax
b)dx
3
14
1 43 xu 1
a
13a1x
dd((4ax3x) b)
d(ax b)
3 u du
（3）
1x
e 2 dx 2
1x
e2
d(
1
x)
1x
2e 2
c
2
dx
1 d(1 3x)
1
（4） （1 3x)2
3
（1 3 x)2
（3 1 3x) c
（5）
(
1 2
x
1)6
dx
2
(
1 2
x
1)6
d( 1 2
x
1)
常用凑微分方法1： 2 (d1xx 11)7d(ca x b)
72 a
1
f (ax b)dx a
3 e
x2 3
c
2
1
1 d (3x2 2)
6 3x2 2
x dx
1 d( x2 ) 2
1 2a
d(ax 2
b)
f
(ax2
b)
x dx
1 2a
d(ax2 b)
例4. 求 解: 原式
xn1 d x 1 d( axn b) an
f (axn b)xn1 dx 1 an
(n 1)
d(axn b)
x
b) 1 dx x
d(a ln x b)
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例6.（1）
11
x2
sin
dx x
（2）
1 x2
cot 2
1 x
dx
解（1） 原式
（2） 原式
1 x2
d
x
d(
1) x
1 a
d(
a x
b)
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（3）
(1)
1 x2 d x
d( 1 ) x
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例3. 求（1）
解 (1)原式
1 cos x2 c 2
(2) 原式 常用凑微分方法2：
1 2
1 x2
d(x 2 1
1)
1 ln(x2 1) c
2
x dx
1 2
d( x2 )
1 d(ax2
2a
b)
f
(ax2
b)
x dx
1 2a
d(ax2 b)
=
d(ax b)
例2. 一组公式（推导过程不记，记住结论即可）
（1）求
解:
1 dx
a2
1
(
x a
)2
1 a
d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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（2）求 解:
（不记）
dx
a
1
(
x a
)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
（3） 解: 原式=
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例9. （1） sec4 xdx . （2） tan3 x dx
解(1): 原式 sec2 x sec2 x dx
(tan2 x 1) sec2 x dx
(tan2 x 1)d (tan x)
1 tan3 x tan x C
4
x)3
c
4
3 u du
xdx
1
1
x 1
C
第一类换元法思路图：
难积 g( x)d x 变形
f [( x)]( x)dx
凑微分
换元
f (u)d u易积 u (x) f ((x))d(x)
积出
F(u) C
还代
F(( x)) C
特点： 被积函数 g( x) f (( x)) ( x)
du arcsin u C
1 u2
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（3）求
解:
Q
1
1
(x
a)
(x
a)
1
(
1
1
)
x2 a2 2a ( x a)( x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx x a
1 ln x a ln x a C
2a
1 ln x a C 2a x a
x
1
21(
d x )2
x
2arctan x c
1 d x 2d x 2 d(a x b)
x
a
（3）
e3 x dx 2 e3 xd x
x
2 e3 x d(3 x ) 3
2 e3 x C 3
(1) 1 d x 2d x 2 d(a x b)
x
a
(2) f (a
x b)