人教版高一必修1 集合的基本运算

类型五 用描述法表示集合的应用. 【例 5】 已知集合 A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R} (1)若 A 中只有一个元素，求 a 的值，并把这个元素写出来； (2)A 中至少有一个元素，求 a 的取值范围．
思维启迪：集合 A 中只有一个元素，即为方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个根或两个相等的根．分 a＝0 和 a≠0 两种情况讨论求解．
点评 在已知元素与集合的关系求字母的值时，一定要注意检验，保 证集合的互异性.
变式训练 2 已知集合 A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求 a 的值．
解析：∵－3∈A，则－3＝a－2 或－3＝2a2＋5a. 3 ∴a＝－1 或 a＝－2， 当 a＝－1 时，a－2＝－3， 2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性． 3 ∴a＝－1 应舍去，故 a＝－2.
解析：(1)∵x2－9＝(x－3)(x＋3)， ∴x2－9 的一次因式组成的集合为{x－3，x＋3}． (2)由 5x－3＜3x＋5，解得 x＜4. ∵x∈N*，∴x 的值为 1,2,3. ∴不等式的解集中的正整数组成的集合为{1,2,3}． x＝－1， (3)由|x＋1|＋ y－3＝0，得 y＝3. ∴方程|x＋1|＋ y－3＝0 的解集为{(－1,3)}.
解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除 A，B， 而 D 中表示的不是集合，排除 D，故选 C. 答案：C
3．已知集合 A＝{x|x≤10}，a＝ 2＋ 3，则 a 与集合 A 的关 系是( ) A．a∈A B．a∉A C．a＝A D．{a}∈A
解析：由于 2＋ 3<10，所以 a∈A，故选 A. 答案：A
5．已知集合
12 A＝x5－x∈N，x∈N
，用列举法表示集合 A.
解析：根据题意，5－x 应该是 12 的因数，故其可能的取值为 1,2,3,4,6,12，从而可得到对应 x 的值为 4,3,2,1，－1，－7.因为 x∈ N，所以 x 的值为 4,3,2,1. 所以集合 A 用列举法表示 A＝{4,3,2,1}．
类型二 用列举法表示集合的应用 【例 2】 设 A＝{a2＋2a－3,2,3}，B＝{2，|a＋3|}，若 5∈A 且 5∉B，求 a 的值．
思维启迪：由 5∈A，可求出 a 的值，再检验． 解析：由题意得 a2＋2a－3＝5， ∴a＝－4 或 a＝2. 当 a＝－4 时，|a＋3|＝1，符合题意， 当 a＝2 时，|a＋3|＝5，不合题意，故舍去． 故 a 的值为－4.
x＞0 (2) x，y y＞0
.
(3){y|y＝x2＋1，x∈R}； (4){(x，y)|y＝x2＋1}.
点评 (1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、 点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点 集则用一个有序数对来表示；(2)若描述部分出现元素记号以外的 字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围.
释疑点 对花括号“{}”的认识 花括号“{}”表示“所有”、 “整体”的含义， 如实数 R 可以写 为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}，则都是不正 确的.
知识点 2 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 具体 的方法是： 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具 有的共同特征．
知识点 1 列举法 把集合的元素一一列举出来， 并用花括号“{ }”括起来表示 集合的方法叫做列举法。 讲重点 在用列举法表示集合时的五个注意点 (1)用列举法表示集合时，要注意是数集还是点集； (2)元素间用分隔号“，”； (3)元素不重复，不能遗漏； (4)元素无顺序； (5)列举法可表示有限集(元素的个数为有限个)，也可以表示无 限集(元素的个数为无穷多个)，若元素个数比较少用列举法比较简 单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生 误解的情况下，也可以用列举法表示．例如：正整数集，可用列举 法表示为{1,2,3，„}．
变式训练 3 用描述法表示下列集合 (1)由所有非负偶数组成的集合； (2)直角坐标系内第三象限的点组成的集合； (3)以 A 为圆心，m 为半径的圆上所有点组成的集合．
解析：(1){x|x＝2n，n∈N}； (2){(x，y)|x＜0，y＜0}； (3){P||PA|＝m}.
类型四 描述法与列举法的相互转化 【例 4】 用列举法表示下列集合． |a| |b| x x ＝ ＋ b ，a，b为非零实数 ； (1) a (2){x|(2x－1)(x＋2)(x2＋1)＝0，x∈Z}； (3){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}．
类型一 用列举法表示集合 【例 1】 用列举法表示下列集合． (1)方程 x(x2－1)＝0 的所有实数根组成的集合； (2)不大于 10 的非负偶数集； (3)一次函数 y＝x 与 y＝2x－1 图象的交点组成的集合．
思维启迪：先辨析集合元素的特征及满足的性质，再一一列举 出满足条件的元素．
解析：(1)方程 x(x2－1)＝0 的实数根为 0,1，－1， 故其实数根组成的集合为{－1,0,1}． (2)不大于 10 的非负偶数即为从 0 到 10 的偶数，故不大于 10 的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}． y＝x， x＝1， (3)由 解得 y＝2x－1， y＝1. 故一次函数 y＝x 与 y＝2x－1 图象的交点组成的集合为{(1,1)}.
变式训练 5 设集合 A＝{x|x2＋ax＋1＝0} (1)当 a＝2 时，试求出集合 A； (2)a 为何值时，集合 A 中只有一个元素．
解析：集合 A 是方程 x2＋ax＋1＝0 的解构成的集合． (1)a＝2 时，x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，x＝－1 ∴A＝{－1}． (2)A 中只有一个元素，即方程 x2＋ax＋1＝0 有两个相等实根， 由 Δ＝a2－4＝0，得 a＝± 2. ∴a＝± 2 时集合 A 中只有一个元素．
解析：(1)集合 P 中的元素有 2,4,6,8,10，它们的特点都为不大 于 10 的正偶数，故可用描述法表示为{x|x＝2n，n≤5 且 n∈N*}． 6 (2)∵x∈N，且 ∈Z， 1＋x ∴1＋x＝1,2,3,6，即 x＝0,1,2,5， ∴P＝{0,1,2,5}． 6 (3)结合(2)知 ＝6,3,2,1， 1＋x ∴Q＝{1,2,3,6}.
点评 列举法是把集合中的元素一一列举出来， 写在花括号内表示集 合的方法，列举时，元素不重复，不遗漏，不计次序，且元素与元 素之间用“，”隔开． 其优点是集合中的元素清晰可见， 一目了然.
变式训练 4 用另一种形式表示下列集合： (1)P＝{2,4,6,8,10}； 6 (2)P＝x∈N1＋x∈Z ； 6 x ∈ N . (3)Q＝1＋x∈Z

思维启迪： 依据代表元素的约束条件将元素一一列举出来并写 在花括号内．
|a| |b| 解析：(1)根据绝对值的意义化简 x＝ a ＋ b . 当 a>0，b>0 时，x＝2；当 a<0，b<0 时，x＝－2；当 a，b 异 号时，x＝0.用列举法表示为{－2,0,2} (2){－2}． (3){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}
4．已知集合 A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}， 且 x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( ) A．x1· x2∈A B．x2· x3∈B C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
解析：∵集合 A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x1、x2 是奇数， x3 是偶数，∴x1＋x2＋x3 应为偶数，即 D 项是错误的，故选 D. 答案：D
点评 解决此类问题应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点 ， 还是其他元素，另外集合中的元素一定要写全，但不能重复，若集 合中的元素是点时， 则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元 素.
变式训练 1 用列举法表示下列集合． (1)x2－9 的一次因式组成的集合； (2)不等式 5x－3＜3x＋5 的解集中的正整数组成的集合； (3)方程|x＋1|＋ y－3＝0 的解集．
1．下列命题中正确的是( ) ①0 与{0}表示同一个集合； ②由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； ③方程(x－1)2(x－2)＝0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④
释疑点 四个集合的区别 (1)A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数 y＝x2＋1 有意义的自变量 x 的 取值范围，且 x 的取值范围是 R，因此 A＝R. (2)B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数 y＝x2＋1 有意义的函数值 y 的 取值范围，而 y 的取值范围是 y＝x2＋1≥1，因此 B＝{y|y≥1}． (3)C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足 y＝x2＋1 的点(x，y)组成的集 合，因此 C 表示函数 y＝x2＋1 的图象上的点组成的集合． (4)P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个 元素，且此元素是一个式子 y＝x2＋1.
(2)A 中至少有一个元素， 包括 A 中有一个或两个元素， 即方程 有一个或两个实根， 9 2 当 a≠0 时，由 Δ＞0，得 Δ＝(－3) －8a>0，a<8. 9 由(1)知 a＝0 或 a＝8时，A 中有一个元素． 9 综上可知，当 a≤8时，A 中至少有一个元素．
点评 处理集合的简单综合题．首先要理解集合表示的含义，如果没 有对概念的深刻理解．只能是盲人骑瞎马．含参数的二次三项式的 形式，不一定是二次三项式，注意分类、整合.
解析：①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合．根据集 合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④ 不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素不能一一列举，故 选 C. 答案：C