2020版导与练一轮复习理科数学习题：第七篇 立体几何(必修2) 第5节 直线、平面垂直的判定与性质

第5节直线、平面垂直的判定与性质
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是( D )
(A)直线l与平面α内的任意一条直线垂直
(B)过直线l的任意一个平面与平面α垂直
(C)存在平行于直线l的直线与平面α垂直
(D)经过直线l的某一个平面与平面α垂直
解析:若直线l垂直于平面α,则经过直线l的某一个平面与平面α垂直,当经过直线l的某一个平面与平面α垂直时,直线l垂直于平面α不一定成立,所以“经过直线l的某一个平面与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α”的必要不充分条件.故选D.
2.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是假命题的为( B )
(A)过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
(B)过点P垂直于直线l的直线在平面α内
(C)过点P垂直于平面β的直线在平面α内
(D)过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
解析:由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此也平行于平面β,因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知,选项C,D正确.
3.(2018·岳阳模拟)已知α,β表示平面,m,n表示直线,m⊥β,α⊥β,给出下列四个结论:
①∀n⊂α,n⊥β;②∀n⊂β,m⊥n;③∀n⊂α,m∥n;④∃n⊂α, m ⊥n.
则上述结论中正确的个数为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由于m⊥β,α⊥β,所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α,n⊥β或n,β斜交或n∥β,①不正确;∀n⊂β,m⊥n,②正确;∀n⊂α,m∥n或m,n 相交或互为异面直线,③不正确;④正确.故选B.
4.如图所示,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么( C )
(A)PA=PB>PC
(B)PA=PB<PC
(C)PA=PB=PC
(D)PA≠PB≠PC
解析:因为在Rt△ABC中,M为斜边的中点,
所以MB=MC=MA.
又因为PM垂直于△ABC所在平面,所以PB=PC=PA.
5.(2018·锦州模拟)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD= 45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( D )
(A)AD⊥平面BCD (B)AB⊥平面BCD
(C)平面BCD⊥平面ABC (D)平面ADC⊥平面ABC
解析:在四边形ABCD中,
AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,
∠BAD=90°,
所以BD⊥CD,
又平面ABD⊥平面BCD,
且平面ABD∩平面BCD=BD,
所以CD⊥平面ABD,
所以CD⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩CD=D,
故AB⊥平面ADC,
又AB⊂平面ABC,
从而平面ABC⊥平面ADC.
6.(2018·开封模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC= BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( A )
(A)(B)1
(C)(D)2
解析:设B1F=x,
因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,
所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.
又2×=h,
所以h=,DE=.
在Rt△DB1E中,B1E==.
由面积相等得×=x,得x=.
7.(2018·鄂尔多斯模拟)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心(如图),则EF与平面BB1O的关系
是.
解析:由正方体的性质知,AC⊥BD,BB1⊥AC,
因为E,F分别是AB,BC的中点,
所以EF∥AC,
所以EF⊥BD,EF⊥BB1,
又BD∩BB1=B,
所以EF⊥平面BB1O.
答案:垂直
8.(2018·临汾模拟)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.
解析:因为PC⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,
所以PC⊥CM.
所以PM=.
要使PM最小,只要CM最小,
此时应有CM⊥AB.
因为AB=8,∠ABC=60°,∠ACB=90°.
所以BC=AB=4,AC=4.
所以CM==2.
所以PM==2.
即PM的最小值为2.
答案:2
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·泉州质检)如图,在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG不垂直的是( D )
解析:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,是一个平面图形,直线BD1⊥平面EFMNQG,选项A,B,C中的平面均与平面EFMNQG重合,只有D中平面EFG不与该平面重合,故选D.
10.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命
题中正确的有(写出全部正确命题的序号).
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABD⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
解析:由AB=CB,AD=CD知AC⊥BE,AC⊥DE,从而AC⊥平面BDE,故③正确.其他均不正确.
答案:③
11.(2018·南宁模拟)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D ABC中,给出下列三个命题:
①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D ABC的体积是.
其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)
解析:取AC的中点O,连接OD,OB.
则AC⊥OD,AC⊥OB,
所以∠BOD=90°,
所以BD=1=CD=BC,故①正确;易知AC⊥平面BOD,所以AC⊥BD,故②正确;=××1×1×=,故③不正确.
答案:①②
12.(2018·宿迁模拟)假设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:
①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.
其中能成为增加条件的是.(把你认为正确的条件序号都填上)
解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,
又BD在该平面内,所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF,
只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.
答案:①③
13.(2018·全国Ⅲ卷)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.
(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.
因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,
所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,
所以DM⊥CM.
又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.
证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,
所以O为AC的中点.
连接OP,
因为P为AM的中点,
所以MC∥OP.
又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,
所以MC∥平面PBD.
14.四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD
上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
(1)证明:取AC中点O,连接OD,OB,
因为AD=CD,O为AC中点,
所以AC⊥OD,
又因为△ABC是等边三角形,
所以AC⊥OB,
又因为OB∩OD=O,所以AC⊥平面OBD, 又BD⊂平面OBD,所以AC⊥BD.
(2)解:设AD=CD=2,
所以AC=2,AB=CB=2,
又因为AB=BD,所以BD=2,
所以△ABD≌△CBD,
所以AE=EC,
又因为AE⊥EC,AC=2,
所以AE=EC=2,
在△ABD中,设DE=x,根据余弦定理cos∠ADB=
=,
所以=.
解得x=,
所以点E是BD的中点,则=, 所以=1.。