2013高考数学选择题高效训练：三角函数向量解三角形

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高考数学热点专题突破讲练：三角恒等变换与解三角形(含新题详解)

第七讲三角恒等变换与解三角形简单三角恒等变换差角余弦公式倍角公式和(差)角公式余弦定理正弦定理三角形面积公式解三角形应用举例1．(倍角公式)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π 22 ＝1－sin 2α2＝1－232＝16.【答案】 A2．(正弦定理与和角公式)(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝1，得A ＝π2(由于0＜A ＜π)，故△ABC 是直角三角形．【答案】 A3．(正弦定理)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 【解析】在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝2 3.【答案】 2 3图2－2－14．(余弦定理的应用)(2013·福建高考)如图2－2－1，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. 【答案】35．(三角恒等变换)(2013·重庆高考改编)4cos 50°－tan 40°＝________. 【解析】 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin (50°＋30°)＋sin (50°－30°)cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.【答案】 3简单的三角恒等变换(2013·湖南高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．【思路点拨】 (1)利用和(差)角、倍角公式将f (x )、g (x )化简，沟通二者联系；(2)由f (x )≥g (x )，化为“一角一名称”的三角不等式，借助三角函数的图象、性质求解．【自主解答】 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12，从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．(1)注意角之间的关系，灵活运用和(差)、倍角公式化为“同角x ”的三角函数，这是解题的关键；(2)重视三角函数图象，性质在求角的范围中的应用，由图象的直观性、借助周期性，整体代换可有效避免错误．2．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．变式训练1 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求cos 2αsin (α－π4)的值．【解】依题意得sin α－cos α＝12，所以1－2sin αcos α＝14，2sin αcos α＝34.则(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝74.由0<α<π2，知sin α＋cos α＝72>0.所以cos 2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.正(余)弦定理(2013·山东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．【思路点拨】 (1)由余弦定理，得关于a ，c 的方程，与a ＋c ＝6联立求解；(2)依据正弦定理求sin A ，进而求cos A ，sin B ，利用两角差的正弦公式求值．【自主解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.1．(1)本题求解的关键是运用正弦(余弦)定理完成边角转化；(2)求解易忽视判定A 的范围，错求cos A ＝±13，导致增解．2．以三角形为载体考查三角变换是近年高考的热点，要时刻关注它的两重性：一是作为三角形问题，它必然通过正弦(余弦)定理、面积公式建立关于边的方程，实施边角转化；二是它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．变式训练2 (2013·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．【解】 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12.又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.解三角形及应用(2013·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .【思路点拨】 (1)从要证的结论看，需将条件中角的三角函数化为边，因此需统一为正弦函数，然后运用三角变换公式化简．(2)由(1)的结论，联想余弦定理，求cos B ，进而求出△ABC 的面积．【自主解答】 (1)在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B (sin Acos A＋sin C cos C )＝sin A cos A ·sin Ccos C，所以sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C . 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，所以sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝ 2. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34.因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．认真分析题设与要求结论的联系与区别，消除差异，从而找到解题的突破口，这是本题求解的关键．2．三角形中的边角计算是近年命题的重点，解决这类问题要抓住两点：(1)根据条件，恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(2)结合内角和定理、面积公式，灵活运用三角恒等变换公式．变式训练3 已知三角形的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．【解】 (1)∵m ∥n ，∴c (c －a )＝(b －a )(a ＋b )， ∴c 2－ac ＝b 2－a 2，则a 2＋c 2－b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.又0＜B ＜π，因此B ＝π3.(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝2π3，∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋sin2π3 cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，∴32＜sin A ＋sin C ≤ 3. 故sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3正(余)弦定理的实际应用【命题要点】 ①实际问题中的距离，高度测量；②实际问题中角度、方向的测量；③实际行程中的速度、时间的计算．如图2－2－2所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？图2－2－2【思路点拨】由题设条件，要求该救援船到达D 点的时间，只需求出C 、D 两点间的距离，先在△ABD 中求BD ，再在△BDC 中求CD ，进而求出时间．【自主解答】由题意知AB ＝5(3＋3)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝45°，∴∠ADB ＝105°.∴sin 105°＝sin 45°·cos 60°＋sin 60°·cos 45° ＝22×12＋32×22＝2＋64. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴BD ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)×222＋64＝103(1＋3)1＋3＝10 3.又∠DBC ＝180°－60°－60°＝60°，BC ＝203，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2·BD ·BC ·cos 60° ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，∴救援船需要的时间t ＝3030＝1(小时)．1．该题求解的关键是借助方位角构建三角形，要把需求量转化到同一个三角形(或相关三角形)中，运用正(余)弦定理沟通边角关系．2．应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件．(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．变式训练4 如图2－2－3，A 、C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，图2－2－3下午4时到达C 岛． (1)求A 、C 两岛之间的距离； (2)求∠BAC 的正弦值．【解】 (1)在△ABC 中，由已知，得AB ＝10×5＝50(海里)，BC ＝10×3＝30(海里)， ∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30 cos 120°＝4 900，所以AC ＝70(海里)．故A 、C 两岛之间的距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.从近两年的高考命题看，正弦定理、余弦定理是高考命题的热点，不仅是用来解决一些简单的三角形边角计算问题；且常与三角函数、向量、不等式交汇命题，灵活考查学生分析解决问题的能力，多以解答题的形式出现，属中低档题目．以三角形为载体的创新交汇问题(12分)已知△ABC 是半径为R 的圆内接三角形，且2R ·(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B .(1)求角C ；(2)试求△ABC 的面积S 的最大值．【规范解答】 (1)由2R (sin 2A －sin 2C ) ＝(2a －b )sin B ，得a sin A －c sin C ＝2a sin B －b sin B ， ∴a 2－c 2＝2ab －b 2，4分由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，又0＜C ＜π，∴C ＝π4.6分(2)∵csin C＝2R ， ∴c ＝2R sin C ＝2R . 由(1)知c 2＝a 2＋b 2－2ab ， ∴2R 2＝a 2＋b 2－2ab .8分又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)， ∴2R 2≥2ab －2ab ， ∴ab ≤2R 22－2＝(2＋2)R 2.10分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ≤2＋12R 2. 即△ABC 面积的最大值为2＋12R 2. 12分【阅卷心语】易错提示 (1)不能灵活运用正弦定理化简等式，致使求不出角C ，究其原因是不能深刻理解正弦定理的变形应用．(2)对求△ABC 的面积的最大值束手无策，想不到利用等式求ab 的最大值．防范措施 (1)利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可实施边角转化．(2)对于“已知一边及其对角”的三角形，常用余弦定理，得到其他两边的关系，再利用基本不等式便可求三角形面积的最值．1．已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求f (β)的值．【解】 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋74π－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －34π＋π2 ＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)． ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)由cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45得 cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. ∴f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝2sin π4＝ 2. 2．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解】 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.。

2013年高考数学(理)真题分类解析汇编3.三角函数

2013年高考数学（理）真题分类解析汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-【答案】C 【天利解析】因为，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得，或故tan α==，或tan α=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B【天利解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+ 又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。

联立两式得A A A sin sin sin =。

所以2,1sin π==A A 。

选B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-,k k Z π∈，即,4k k Z ϕπ=+∈，所以选B.5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3πC.23πD.56π【答案】A【天利解析】根据正弦定理得，1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=,即1sin cos sin cos 2A C C A +=，所以1sin()2A C +=，即1sin 2B =，因为a b >，所以6B π=。

2013高考数学(文)真题解析分类汇编-三角函数汇总

2013年高考数学（文）解析分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文2））已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则（）A ．1213-B ．513- C ．513D ．1213【答案】A 【解析】因为135sin =α，α为第二象限角，所以1312cos -=α.故选A.2 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文9））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为【答案】C ;【解析】函数()(1cos )sin f x x x =-为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B.02x π<<时，()0f x >，排除A.()(1cos )sin 1222f πππ=-=,排除D,选C.3 ．（2013年高考四川卷（文6））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π【答案】A 【解析】43129312543ππππ==+=T ，所以π=T ，所以πωπ=2，2=ω，)42sin(2)(+=x x f ，所以πϕπk =+-⨯)3(2，所以32ππϕ+=k ，又22πϕπ<<-，所以3πϕ-=，选A.4 ．（2013年高考湖南（文5））在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A .3π B .4π C .6π D .12π【答案】A【解析】本题考查正弦定理的应用。

由正弦定理得得2sin sin A B B =,即sin A =，以为三角形为锐角ABC ∆，所以3A π=,选A.5 ．（2013年高考福建卷（文））将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是（）A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B6 ．（2013年高考陕西卷（文9））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】A【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。

(新课标)2013高考数学三轮必考热点集中营热点16三角函数的性质和解三角形问题(教师版)

（新课标）2013高考数学三轮必考热点集中营热点16三角函数
的性质和解三角形问题（教师版）
【三年真题重温】
1.【2011⋅新课标全国理，11】设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++（0ω>，
||2πϕ<）的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )
A ．()f x 在 (0,
)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减 C ．()f x 在(0,)2
π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增
2.【2011⋅新课标全国理，16】在△ABC 中，60B = ，AC ，则2
AB BC +的最大
值为．
3.【2011 新课标全国文，15】ABC ∆中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC ∆的
面积为．
4,【2010 新课标全国理，16】在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=
12
DC ，∠ADB=120°，
AD=2，若△ADC 的面积为3∠BAC=_______.
则222cos 2BA AC BC BAC AB AC +-∠=⋅12
===
故60BAC ∠=
.
5.【2010 新课标全国文，16】在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,AD =
135ADB ο∠=.若AC =,则BD=_____.
【答案】
6、【2012⋅新课标全国理】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减,则ω的取值范围是（）
()A 15[,]24 ()B 13[,]24
()C 1(0,]2 ()D (0,2]。

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数三角恒等变换)

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数三角恒等变换）一、选择题：1．(2013福建文) 将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B2．(2013广东文) 已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C.3、(2013湖北文、理) 将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A. 12πB. 6πC. 3πD. 56π【解析与答案】解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6. 答案 B【相关知识点】三角函数图象及其变换4. (2013江西文) sincos 23αα==若（）A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin12233αα=-=-⨯=5. (2013江西文) 如图。

2013高考数学必考点三角函数解答题专项2

【命中考心】2013高考数学必考点之三角函数解答题专项21在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+（1）求B C A 2cos 2sin 2++的值；（2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．解：(1) 由余弦定理：conB=14sin22A B ++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2，a 2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -=（I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B …………6分（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。

2013届最新3年高考数学(理)试题分类汇编：专题11 解三角形 PDF版含答案

C．１２０°
D．１５０°
１３�� (２０１２��湖北��理１１)设 △ABC 的内角 A、B、C 所对的边
分别是a,b,c．若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab,则角 C＝．
１４�� (２０１２��重庆��理１３)设 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分
A．(０,６＋２)
(第１８题 )
１９．(２０１１��上海��理６)在相距２千米的 A、B 两点处测量目标点C,若∠CAB＝７５°,∠CBA＝６０°,则 A、C 两点之间的距离为千米．
２０．(２０１１�� 全国新课标 �� 理１６)在 △ABC 中,B＝６０̊,AC＝
(第５题 )
A．３３
B．６３
C．３６
D．６６
６．(２０１１��重庆��理６)若△ABC 的内角A、B、C 所对的边a,
b,c满足(a＋b)２－c２＝４,且 C＝６０°,则ab的值为( )．
A．４３
B．８－４３
别
为a,b,c,且
cosA＝
３５
,cosB＝１５３,b＝３,则c＝
C．３３
D．３４
１０�� (２０１０��湖北��理３)在 △ABC 中,a＝１５,b＝１０,A＝６０°,
则cosB 等于( )��
点,BD＝１２DC,∠ADB＝１２０°,AD＝２,若 △ADC 的面积为３－３,则 ∠BAC＝．
２４�� (２０１０��北京��理１０)在 △ABC 中,若b＝１,c＝３,∠C＝

12.13年解三角形高考题答案

12.13年解三角形高考题答案一．选择题1.2.3.4-10.A A B B B D B 二．填空题11.12. 【答案】-16 【解析】由余弦定理222222cos 53253cos AB AM BM AM BM AMB AMB =+-⋅∠=+-⨯⨯∠， 222222cos 35253cos AC AM CM AM CM AMC AMC =+-⋅∠=+-⨯⨯∠，0180AMB AMC ∠+∠=，两式子相加为222222222(35)68AC AB AM CM +=+=⨯+=，2222221068100cos 222AB AC BC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC+-+--∠===⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 68100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC-⋅=∠=⋅=-⨯⨯ .【考点定位】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.13.14.15.16.23π 三．解答题 17.18. 【解析】（1） acosB ，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即得tan B =3B π∴=.（2） sinC=2sinA ，由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos3a a a a π=+-⋅，解得a =2c a ∴==【考点定位】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 19.【考点定位】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。

第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果.20.21.22.23. 【解析】（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B ,由正弦定理，得=sin sin AC BCB A，∴sin cos =3sin cos B A A B ,又∵0<A B <π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。

三角函数向量解三角形练习题50套带答案

第四章三角函数练习一角的的概念的推广(一)要点1．正角、负角和零角：规定，一条射线绕它的端点按逆时针方向旋转形成的角为正角.按顺时针方向旋转形成的角为负角.射线没有旋转,形成零角.2．象限角:在平面直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的终边在x轴的非负半轴上,角的终边落在第几象限内,就称这个角是第几象限角.3. 轴上角:当角的终边落在坐标轴上时,就称之为轴上角,它不属于任何象限.同步练习1.给出命题:①－880是第四象限角;②2560是第三象限角;③4800是第二象限角;④－3000是第一象限角.其中正确的有别( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.有下列四个角:⑴－2100,⑵－1900,⑶－6300,⑷12300其中第二象限的角为( )(A)⑴⑷(B)⑴⑶⑷(C)⑴⑵⑷(D)⑴⑵⑶⑷3.下列各组的两个角中,终边不重合的一组是( )(A) －210与6990(B) 1800与－5400(C) 900与9900(D) 1500与69004.时针的分针经过期2小时40分钟,它所转过的角是______度,这个角是第____象限角.5.在00～3600范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角或哪个轴上的角.⑴6900; ⑵5400; ⑶－2000; ⑷－4500.6.在平面直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角.⑴－3300; ⑵－18300; ⑶－6300; ⑷9900.7.在[－1800, 12600]内,写出与1800角终边相同的所有角.练习二角的概念的推广（二）要点1．与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+k ·3600,k ∈Z}.2．第一象限角、锐角和小于900的角的区别与联系.1.下列命题中,正确的是 ( )(A)第一象限角必是锐角 (B)终边相同的角必相等(C)相等的角终边位置必相同 (D)不相等的角终边位置必不相同2. 以下四个命题:⑴小于900的角为锐角 ; ⑵钝角是第二象限角; ⑶第一象限角不一定是负角;⑷第二象限角必大于第一象限角.其中正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C) 3 (D)43. 角α的终边上一点的坐标是(2,－2),则角α的集合是________________.4. 与－20050终边相同且绝对值最小的角是________________.5. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－3600≤α≤3600的元素α写出来.⑴ 600; ⑵ －834030/.6.写出下列角的集合:⑴终边在y 轴负半轴上的角;⑵终边在坐标轴上的角;⑶终边在第二、第四象限角平分线上的角;⑷终边在第三象限的角;⑸终边在第四象限的角. [思考与研究]若α是第一象限角,试确定2α、2α、3α所在的象限.练习三弧度制 (一)要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π6. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin17. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.8. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.练习五任意角的三角函数 (一)要点1. 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.三角函数的定义域:sin α,cos α的定义域都是R,tan α的定义域是{α|α≠k π＋2π, k ∈Z}. 2. 三角函数值在各个象限的符号:第一象限全正,第二象限只有正弦正,第三象限只有正切正,第四象限只有余弦正. 同步练习1.当α为第二象限角时ααsin |sin |－|cos |cos αα的值是 ( ) (A)－2 (B)0 (C)－1 (D)22.设角α的终边过点P(－3α,－4α),(α≠0),则sin α－cos α的值是 ( ) (A)51 (B)－ 51 (C)－ 51或－57 (D) －51或51 3.在三角形ABC 中,若cosA ·tanB ·cotC<0,则这个三角形的的形状是_____. 4.设θ为第二象限角,其终边上一点为P(m,5),且cos α,则α的值为_______. 5.已知β的终边经过点P(m,－3)(m ≠0),且cos β=2m,求sin β,tan β的值.6.求cos 3π－tan 45π＋43tan 26π＋sin 611π＋cos 267π－sin 23π的值.7.求函数y=xxsin 1tan +的定义域.练习六任意角的三角函数(二)要点1. 终边相同角的同名三角函数值相等(公式一),利用这组公式可以将任意角的三角函数值化为00～3600(或0～2π)间的角的三角函数值. 2. 三角函数线都是有向线段、线段的方向表示三角函数值的正负,线段的长度表示三角函数值的绝对值.书写三角函数线时,要注意起点与与终点的次序. 同步练习 1.sin637π的值等于 ( ) (A)21 (B)23 (C)－ 21(D) －232.设α、β是第二象限角,若sin α>sin β,则 ( )(A)tan α>tan β (B)cos α<cot β (C)cos α>cos β (D)sec α>sec β 3. 在下列各题中的_____处,填上适当的符号(>,=,<). ⑴sin1560·cos(－4400)_____0; ⑵cot(－817π)·sin(－34π)_______0;⑶5.1tan 4sin ____0;⑷sin320π·tan(－417π)·cos 27π______0. 4. 已知α∈(－π,π),且cos α>－23,则角α的取值范围是________. 5. 计算:(1) m 2sin(－6300)+n 2tan(－3150)－2mncos(－7200);(2) sin(－623π)+cos 713πtan4π－cos 313π.6. 在单位圆中,用阴影线表示满足条件的θ的终边的范围: (1)tan θ≥1 (2)cos θ＜21 (3)－21<sin θ≤237. 设0<α<2π,利用单位圆中的三角函数线证明:sin α+cos α>1练习七同角三角函数的基本关系式(一)要点同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,ααcos sin =tan α,tan α·cot α=1.(1)公式中应注意“同角”二字,如sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)注意α的范围,第二个关系式中α≠k π＋2π(k ∈Z),第三个关系式中α≠2πk (k ∈Z).(3)对公式的的使用要做到顺用、逆用、变用、活用.同步练习1.下列各式正确的是 ( ) (A)sin 2300＋cos 2600=1 (B)sin23π/cos 23π=tan 23π (C)tan2π·cot2π=1 (D)sin 220050+cos 220050=12.下列各式能成立的是 ( ) (A)sin α=cos α=21 (B)cos α=21且tan α=2 (C)sin α=21且tan α=33 (D)tan α=2且cot α=－213. 已知cos θ=31,,则1+tan 4θ=______. 4. 已知sin α+ sin 2α=1则cos 2α+cos 4α的值等于_________. 5. 已知sin α=－53,α是第四象限角,求cos α、tan α的值.6. 已知cot α=－3,求sin α、cos α的值.7. 已知cos α=m(|m|≤1),求tan α和sin α.练习八同角三角函数的基本关系式(二)要点1. 化简三角函数式的一般要求是(1)能求出函数值的要求出函数值,函数种类尽可能的少;(2)要使化简后的式子项数最少,次数最低;(3)尽量化去含有根式的式子,尽可能的不含分母.2. 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,一般由繁到简,可采用:①左边⇒右边 ②右边⇒左边③左边－右边=0④分别从左右两边推出相同的结果. 同步练习1.化简02100sin 1-等于 ( )2.若tan α=a,且sin α=21aa +,则α是 ( )(A) 第一、二象限角 (B)第一、三象限角 (C)第一、四象限角 (D)第二、三象限角3. 化简sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=____________4. 若tanx=3则xx22cos 1sin +的值是___________ 5. 化简下列各式: (1) ααcos 1cos 1-+-ααcos 1cos 1+-,其中α为第二象限角;(2)αααα2222tan sin tan sin -.6. 证明下列恒等式(1) cos α(αcos 2+tan α) (αcos 1-2tan α)=2cos α-3tan α (2) x x x x 2sin 2cos 2cos 2sin 2122--=xx2tan 12tan 1+-练习九正余弦的诱导公式(一)要点1.公式二:sin(1800+α)=-sin α,cos(1800+α)=-cos α. 公式三: sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α.2. 公式中的α是任意角,但在记忆时,可把α看作锐角,从而1800+α可看作第三象限角, -α可看作第四象限角. 同步练习1.下列等式中,恒成立的是 ( )(A) sin(1800+2000)=sin2000(B)cos(-α)=-cos α(C) cos(1800+2000)=-cos2000(D)sin(-α)=sin α 2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是 ( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3. 计算sin34πcos(-6π)tan(-45π)=_________.4. 化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=_____5. 求下列各三角函数值:(1) sin(-13200) (2) tan9450(3)cos655π(4)cot(-322π)6.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ; (2)若sin(π+α)= 41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ-)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++--值;(3) 已知sin(3π-α)= 31;求sin(6π+α),sin(310π-α)的值.7. 化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++练习十正余弦的诱导公式(二)要点1.公式四: sin(1800-α)=sin α,cos(1800-α)=-cos α.公式五sin(3600-α)=-sin α,cos(3600-α)=cos α.2.记忆公式时, 1800-α可看作第二象限角, 3600-α可看作第四象限角同步练习 1.sin(-619π)的值是 ( ) (A)21 (B) -21(C)23 (D) -232.已知cos(π-x)=-21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于 ( ) (A)21(B)± 23 (C)23 (D) -233.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______. 4. 已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________.5. 求值0200170cos 110cos 10cos 10sin 21---6. 已知cos(π-α)=-21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)7. 已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值数学家陈景润陈景润（1933~1996），中国数学家、中国科学院院士。

高考数学高考必会题型专题4三角函数与平面向量第21练解三角形问题

第20练解三角形问题题型一题型一活用正、余弦定理求解三角形问题活用正、余弦定理求解三角形问题例1 (1)(2013·辽宁改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝________.(2)在△ABC 中，acos A ＝bcos B ，则△ABC 的形状为________．破题切入点破题切入点 (1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行化简，可求得sin B 的值，再结合a>b 的条件即可判断得出结果．的条件即可判断得出结果． (2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理将条件化为角的形式，再转化判断即可．角的形式，再转化判断即可．答案答案 (1)π6 (2)等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形解析解析 (1)由条件得a b sin Bcos C ＋c b sin Bcos A ＝12，依正弦定理，得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，∴sin(A ＋C)＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.(2)方法一方法一因为acos A ＝bcos B ，所以由余弦定理，得a×b2＋c2－a22bc ＝b×a2＋c2－b22ac ，即a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0.所以a2＋b2＝c2或a ＝b.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．为等腰三角形或直角三角形．方法二方法二因为acos A ＝bcos B ，由正弦定理，得sin Acos A ＝sin Bcos B ，所以sin 2A ＝sin 2B.又A ，B 为△ABC 的内角，的内角，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．为等腰三角形或直角三角形．题型二题型二正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧例2 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；的长；(2)问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？，乙步行的速度应控制在什么范围内？破题切入点破题切入点 (1)在△ABC 中，已知两角及一边长，利用同角三角函数的基本关系式及三角形内角和求得第三个角，再由正弦定理即可求得AB 的长；的长； (2)设出在乙出发t min 后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果；后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果； (3)在△ABC 中，利用正弦定理求得BC 的长，再分别计算出甲、乙到达C 点的时间，然后由甲、乙在C 处相互等待不超过3 min 为条件列出不等式计算即可求得．为条件列出不等式计算即可求得．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsin C ＝ACsin B ，得，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213 ＝200(37t2－70t ＋50)，由于0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BCsin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v≤≤v≤62562514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．范围内．题型三题型三解三角形中相关交汇性问题解三角形中相关交汇性问题例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B)与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．的范围．破题切入点破题切入点 (1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形即可解决问题；公式进行恒等变形即可解决问题；(2)消元后，利用两角和的正弦公式把sin A ＋sin C 化为sin(A ＋π3)，并求出sin(A ＋π3)的取值范围，再根据正弦定理，求出a ＋c 的范围，也可以利用余弦定理结合基本不等式求出a ＋c 的范围．解 (1)因为m ＝(sin B,1－cos B)，n ＝(2,0)，所以m·m·nn ＝2sin B. 又|m|＝sin2B ＋(1－cos B ) 2 ＝sin2B ＋cos2B －2cos B ＋1 ＝2(1－cos B )＝ 4sin2B2＝2|sin B2|，因为0<B<π，0<B 2<π2，所以sin B 2>0，因为|m|＝2sin B2.而|n|＝2，所以cos θ＝m·m·n n|m|·|m|·|n||n|＝2sin B 4sin B 2 ＝4sin B 2cos B 24sin B 2＝cos B2，即cos B 2＝12.由0<B<π，得B 2＝π3，所以B ＝2π3.(2)方法一方法一由B ＝2π3，得A ＋C ＝π3.所以sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(π3－A) ＝sin A ＋(sin π3cos A －cos π3sin A)＝12sin A ＋32cos A ＝sin(A ＋π3)．又0<A<π3，所以π3<A ＋π3<2π3.所以32<sin(A ＋π3)≤1.所以sin A ＋sin C ∈(32，1]．由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝3sin 2π3＝2，所以a ＋c ＝2sin A ＋2sin C ＝2(sin A ＋sin C)．所以a ＋c ∈(3，2]．方法二方法二由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos2π3＝(a ＋c)2－2ac ＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a ＋c)2－(a ＋c2)2 ＝3(a ＋c )24，当且仅当a ＝c 时，取等号．时，取等号．所以(a ＋c)2≤4，故a ＋c≤2. 又a ＋c>b ＝3，所以3<a ＋c≤2，即a ＋c ∈(3，2]．总结提高总结提高 (1)在根据正、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断．一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象．范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象．(2)在求解三角形的实际问题时，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、仰角、俯角等，其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用，再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识，建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．1．(2013·陕西改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为________三角形．三角形．答案答案直角直角解析解析由bcos C ＋ccos B ＝asin A ，得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin2A ，即sin(B ＋C)＝sin2A ，所以sin A ＝1，由0<A<π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．为直角三角形．2．(2014·课标全国Ⅱ改编)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________. 答案答案 5解析解析 ∵S ＝12AB·AB·BCsin B BCsin B ＝12×1×2sin B ＝12， ∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·2AB·BCcos BBCcos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·2AB·BCcos BBCcos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.3．(2014·江西改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．答案答案 332解析解析 ∵c2＝(a －b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcos π3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12absin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________. 答案答案 31010解析解析设CD 为AB 边上的高，则由题设知BD ＝CD ＝322，∴AD ＝322－2＝22，AC ＝92＋12＝5， ∴sin ∠BAC ＝sin(π－∠BAC)＝3225＝31010. 5．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b)2－c2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．答案答案 43解析解析 ∵a2＋b2＋2ab －c2＝4，cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝12， ∴4－2ab 2ab ＝12，∴ab ＝43. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为________．答案答案1574解析解析 cos A ＝34，cos C ＝2cos2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x. 在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解之得：BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD·BD·AC AC ＝1574.7．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，C ＝π3，c ＝3，则a ＋23cos A sin B 的值为________．答案答案 4解析解析由正弦定理，得a sin A ＝csin C ⇒a ＝2sin A. 所以a ＋23cos A sin B ＝2sin A ＋23cos A sin B ＝4sin (A ＋π3)sin B＝4.8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3且sin 2A ＋sin(A －C)＝sin B ，则△ABC 的面积为________．答案答案 3 解析解析 ∵sin 2A ＝sin B －sin(A －C)， ∴2sin Acos A ＝sin(A ＋C)－sin(A －C)， ∴2sin Acos A ＝2cos Asin C.∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A≠0，∴sin A ＝sin C ，即A ＝C ＝B ＝π3， ∴S △ABC ＝12×2×2×32＝ 3.9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，则b2＋c2的取值范围为________．答案答案 (3,6]解析解析由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2， b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b2＋c2＝4(sin2B ＋sin2C) ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C) ＝4－2cos 2B －2cos 2(2π3－B) ＝4＋3sin 2B －cos 2B＝4＋2sin(2B －π6)．又0<B<2π3，所以－π6<2B －π6<7π6.所以－1<2sin(2B －π6)≤2.所以3<b2＋c2≤6.10．(2014·课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b)(sin A －sin B)＝(c －b)sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案答案 3解析解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b)(sin A －sin B)＝(c －b)sin C 可化为(a ＋b)(a －b)＝(c －b)·b)·cc ， ∴a2－b2＝c2－bc ，∴b2＋c2－a2＝bc. ∴b2＋c2－a22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°60°.. ∵△ABC 中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·2bc·cos 60°cos 60° ＝b2＋c2－bc≥2bc －bc ＝bc(当且仅当b ＝c 时取“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc·sin A≤12×4×32＝ 3.11.如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．地捕鱼的中国渔民．此时，此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D. 因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里，海里，所以△ACD 是等腰直角三角形．是等腰直角三角形．所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)．在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD×tan 60°＝52×3＝56(海里)．所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)海里．海里．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，海里的速度航行，所以中国海监船到达C 点所用的时间点所用的时间t1＝AC30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t2＝BC 13＝5×(6－2)13≈5×(2.45－1.41)13＝0.4(小时)．因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．所以中国海监船能及时赶到．12．在△ABC 中，角A 为锐角，记角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(cos A ，sin A)，n ＝(cos A ，－sin A)，且m 与n 的夹角为π3. (1)求m·m·n n 的值及角A 的大小；的大小； (2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S. 解 (1)因为|m|＝cos2A ＋sin2A ＝1， |n|＝cos2A ＋(－sin A )2＝1，所以m·m·nn ＝|m|·|m|·|n|·|n|·|n|·cos cos π3＝12. 因为m·m·n n ＝cos2A －sin2A ＝cos 2A ，所以cos 2A ＝12.因为0<A<π2，0<2A<π，所以2A ＝π3，A ＝π6.(2)因为a ＝7，c ＝3，A ＝π6，及a2＝b2＋c2－2bccos A ，所以7＝b2＋3－3b ，即b2－3b －4＝0，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4.所以S ＝12bcsin A ＝12×4×3×sin π6＝ 3.。

2013高考数学夺分法宝选择,填空、三角函数、立体几何（解析版）

2013高考数学夺分法宝选择,填空、三角函数、立体几何（解析版）【2010高考真题——上海卷】（文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角19.（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.解析：原式=lg(sinx +cosx)+lg(cosx +sinx)-lg(sinx +cosx)2=0．【2010高考真题——湖南卷】（文数）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。

（文数）16. （本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。

(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

【2010高考真题——浙江卷】（理数）（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4解析：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合可知答案选A ，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题（理数）（4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故xsin2x ＜xsinx ，结合xsin2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题（理数）（11）函数2()sin(2)224f x x xπ=--的最小正周期是__________________ .解析：()242sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题（文数）（12）函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是。

2013版高考数学专题辅导与训练配套课件：3.3解三角形的综合问题(湖北专供-数学文)

又asin B＝bsin A，
所以sin Bcos B＝sin Acos A，
即sin 2B＝sin 2A.由于b－ccos A≠0，
由正弦定理得，sin B≠sin Ccos A，
即cos Csin A≠0，即cos C≠0，
所以C≠ ，即A＋B≠ .
2
2
故有2A＝2B，所以A＝B，
从而△ABC为等腰三角形．
1 2
⇔A-30°=30°⇔A=60°.
(2)S= 1 bcsin
2
A=
3⇔bc=4，
a2=b2+c2-2bccos A⇔b+c=4.
解得:b=c=2.
【拓展提升】
1．正弦定理的三种常见变形
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接
(1)求AB的长度； (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由．【解题指导】首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角C 的大小，进而求AB的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断.
【规范解答】(1)在△ABC中，由余弦定理得, AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C. =162+102-2×16×10cos C.① 在△ABD中，由余弦定理及∠C=∠D整理得. AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos D =142+142-2×142cos C.② ……………………………………2分
3
2,又a＞33b＜,故23A＞B，从而0°＜B＜60°,cos
B= .

2013数学高考题分类选编解三角形[1]

正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=( )A.15B.59C.53D.1 【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。

【解析】选B 。

由正弦定理得355,,sin 1sin sin sin 93所以所以===a b B A BB 。

2.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ4）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（） A.232+ B.31+ C.232- D.31- 【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得【解析】选B.因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sinsin64b c ππ=，解得22c =。

所以三角形的面积为117sin 222sin 2212bc A π=⨯⨯. 因为73221231sinsin()()12342222222πππ=+=⨯+⨯=+，所以1231sin 22()312222bc A =⨯+=+，选B. 3.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （） A.10 B.9 C.8 D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ，方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C c A a sin sin =得，Csin 65627=. 35612sin =C ，3519cos =C .又)(C A B +-=π，所以C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，17565035612513519562sin =⨯+⨯=B .由正弦定理B b A a sin sin =得, 1756505627b =，解得5=b .方法二:由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，51cos =A ，则495112362=⨯-+b b ，解得5=b 4.（2013·陕西高考文科·Ｔ9）【备注：（2013·陕西高考理科·Ｔ7）与之题干相同】设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA ,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以sin(B+C)=sin 2A, sinA=sin 2A, sinA=1,所以三角形ABC 是直角三角形.5.（2013·安徽高考文科·Ｔ9）【备注：（2013·安徽高考理科·Ｔ12）与之题干相同】设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA =5sinB ,则角C= ( ) A.π3 B. 2π3C.3π4 D. 5π6【解题指南】根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。

2013届高三理科数学高考专题训练11 三角变换与解三角形、平面向量含答案

高考专题训练十一三角变换与解三角形、平面向量班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．a，b是不共线的向量,若错误!＝λ1a＋b，错误!＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R），则A，B，C三点共线的充要条件为（)A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0解析:只要错误!，错误!共线即可,根据向量共线的条件即存在实数λ使得错误!＝λ错误!,即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b），由于a,b不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1。

答案:D2．(2011·辽宁）若a,b,c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c)·（b －c）≤0,则｜a＋b－c｜的最大值为( ）A.错误!－1 B．1C。

错误!D．2解析：a·b＝0，(a－c）·(b－c）≤0,即a·b－(a·c＋b·c)＋c2≤0∴a·c＋b·c≥1.又｜a＋b－c｜＝错误!＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝错误!≤1。

答案：B3．（2011·全国）设向量a，b，c满足｜a|＝｜b｜＝1，a·b ＝－12,〈a－c,b－c〉＝60°,则｜c｜的最大值等于（）A．2 B.错误!C. 2 D．1解析：设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c （ⅰ)若OC在∠AOB内,如图因为a·b＝－错误!，所以∠AOB＝120°，又〈a－c，b－c>＝60°,则O，A，C，B四点共圆．｜AB｜2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA｜·｜OB｜·cos120°＝3，∴｜AB｜＝错误!.2R＝错误!＝错误!＝2，∴｜OC｜≤2,即｜c｜≤2.(ⅱ)若OC在∠AOB外,如图由（ⅰ)知∠AOB＝120°,又∠ACB＝60°，|OA|＝｜OB|＝1,知点C在以O为圆心的圆上,知｜c｜＝|错误!|＝1。

高考数学选择题高效训练：三角函数向量解三角形

2013高考数学选择题高效训练三角函数，向量，解三角形1．－3000化为弧度是A ．34π-B ．35π- C ．47π- D ．67π-2．已知53)sin(-=+απ，则一定有（） A ．53)2sin(=-απ B ．53)sin(=-α C ．53)2sin(-=+απk D ．53)sin(=-απ3．已知角α的终边过点P(－4,3) ，则2sin cos αα+ 的值是A ．－1B ．1C ．52-D ． 254．sin105cos105的值为（）Ａ．14 Ｂ．－145．函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴是（） A ．4x π=- B ．2x π=- C ．8x π= D ．54x π=6．000054cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（） A ．0 B ．22 C ．23 D ．21 7. 函数 )252sin(π+=x y 是（） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π 的奇函数 D.周期为2π的偶函数8.函数12cos 22y x x =+的图象可以由函数sin 2y x =的图象作以下平移得到（）A. 向右平移6p B. 向右平移12p C. 向左平移6p D. 向左平移12p 9. 已知sin cos 1x x +=-,则20052005sincos x x +的值为 A ．0 B ．1 C ．-1 D ．± 110. 若函数()sin ()f x x g x =+在区间[3,44p p -]上单调递增，则函数)(x g 的表达式为A ．x cosB ． cos x -C ．1D ．tan x -11. 函数12log (12cos2)y x =-的一个单调递减区间是A ．(,0)6p -B ．(0,4p )C ．[,62p p ]D ．[,42p p ]12. 函数())sin(3)f x x x q q =---是奇函数，则tan q 等于A ．33B ．- 33 C ．3 D ．- 3 13. 把函数4cos()3y x p =+的图象向右平移q (q >0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则q 的最小值为A ．6pB ． 3pC ． 23pD ． 43p14、在ABC ∆中，,4,2,2π=∠==A b a 则=∠B （） A.3π B. 6π C. 6π或65π D. 3π或32π15、某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（）A.400米B.500米C. 800米D. 700米16、已知三角形ABC 的面积4222c b a s -+=，则C ∠的大小是（）A. 045B.030C.090D.013517、在ABC ∆中，1,60,30==∠=∠O O a B A ，则=b （） A 2 B 3 C23 D 33 18、＝则中，A c b a ABC ∠===∆,2,3,7（）A O 30B O 45C O 60D O 9019、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（）A 、10,45,70b A C ===B 、60,48,60a c B ===C 、7,5,80a b A ===D 、14,16,45a b A ===20、在△ABC 中，若B a A b cos cos =，则△ABC 的形状为（）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形21、△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（）A 、229 B 、429 C 、 829 D 、92222、在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（）A ：B ：32C ：：23、在ABC ∆中，若()()a b c c b a bc +++-=，则A 为（）A ： 60︒B ：45︒C ： 120︒D ： 30︒24. 某人向正东方向走xkm 后，向左转身150︒，然后朝新方向走3km ，，那么x 的值为（）A ：： C ： 325．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C)53(2112e e - D ．)35(2112e e -26．下列四式不能化简为的是（） A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC MB ADC ．；D ．＋－27．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513D ．13、28．下面四个有关向量数量积有关系式中：⑴000=∙→→； ⑵)()(→→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a ；⑶→→→→∙=∙a b b a ; ⑷→→→→∙≤∙b a b a 其中正确的是（）A ．⑴⑵ B ．⑵⑶ C ．⑶⑷ D ．⑴⑶29. 已知向量=(sin ,cos )a a ，b =（3，4），且//b ，则tan a 等于（）A ．43 B ．34- C ． 34 D ．43-30. 向量m 和n 满足m =1, n =2, 且)(n m m -⊥,则m 与n 夹角的大小为A. 30o B. 45o C. 75o D. 135o31.已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0a >，点P 在线段AB上，且=t )10(≤≤t ，则·的最大值为A ．aB ．2aC ．3aD ．2a参考答案：1~5. BDDBB 6~10. DBDCB 11~15. DDBBD16～20. ABCDC 21～25. CBCAA 26～30. CADAB 31.D。

2013高考数学选择题高效训练三角函数向量解三角形

2013高考数学选择题高效训练三角函数，向量，解三角形1．－3000化为弧度是A ．34π-B ．35π- C ．47π- D ．67π-2．已知53)sin(-=+απ，则一定有（） A ．53)2sin(=-απ B ．53)sin(=-α C ．53)2sin(-=+απk D ．53)sin(=-απ3．已知角α的终边过点P(－4,3) ，则2sin cos αα+ 的值是A ．－1B ．1C ．52-D ． 254．sin105cos105的值为（）Ａ．14 Ｂ．－14 Ｃ．4 Ｄ．－45．函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴是（） A ．4x π=-B ．2x π=-C ．8x π=D ．54x π=6．000054cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（） A ．0 B ．22 C ．23 D ．21 7. 函数 )252sin(π+=x y 是（） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π 的奇函数 D.周期为2π的偶函数8.函数12cos 222y x x =+的图象可以由函数sin 2y x =的图象作以下平移得到（）A. 向右平移6p B. 向右平移12p C. 向左平移6p D. 向左平移12p 9. 已知sin cos 1x x +=-,则20052005sincos x x +的值为 A ．0 B ．1 C ．-1 D ．± 110. 若函数()sin ()f x x g x =+在区间[3,44p p -]上单调递增，则函数)(x g 的表达式为A ．x cosB ． cos x -C ．1D ．tan x -11. 函数12log (12cos 2)y x =-的一个单调递减区间是A ．(,0)6p -B ．(0,4p )C ．[,62p p ]D ．[,42p p ]12. 函数())sin(3)f x x x q q =---是奇函数，则tan q 等于 A ．33 B ．- 33 C ．3 D ．- 3 13. 把函数4cos()3y x p =+的图象向右平移q (q >0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则q 的最小值为A ．6pB ． 3pC ． 23pD ． 43p14、在ABC ∆中，,4,2,2π=∠==A b a 则=∠B （） A.3π B. 6π C. 6π或65π D. 3π或32π15、某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（）A.400米B.500米C. 800米D. 700米16、已知三角形ABC 的面积4222c b a s -+=，则C ∠的大小是（）A. 045B.030C.090D.013517、在ABC ∆中，1,60,30==∠=∠O O a B A ，则=b （） A 2 B 3 C 23 D 3318、＝则中，A c b a ABC ∠===∆,2,3,7（）A O 30B O 45C O 60D O 9019、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（） A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B ===C 、7,5,80a b A ===D 、14,16,45a b A ===20、在△ABC 中，若B a A b cos cos =，则△ABC 的形状为（）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形21、△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为31，则其外接圆的半径为（）A 、229 B 、429 C 、 829 D 、92222、在ABC ∆中，2,60a b C ︒==，则ABC S ∆=（）A ：：32 C ：：23、在ABC ∆中，若()()a b c c b a bc +++-=，则A 为（）A ： 60︒B ：45︒C ： 120︒D ： 30︒24. 某人向正东方向走xkm 后，向左转身150︒，然后朝新方向走3km ，，那么x 的值为（）A ：： C ： 325．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C)53(2112e e - D ．)35(2112e e -26．下列四式不能化简为的是（） A ．＋（ B ．（MC ．；MD ．＋－27．已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513D ．13、28．下面四个有关向量数量积有关系式中：⑴000=∙→→； ⑵)()(→→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a ； ⑶→→→→∙=∙a b b a ; ⑷→→→→∙≤∙b a b a 其中正确的是（）A ．⑴⑵ B ．⑵⑶ C ．⑶⑷ D ．⑴⑶29. 已知向量a =(sin ,cos )a a ，=（3，4），且a //，则tan a 等于（）A ．43 B ．34- C ． 34 D ．43-30. 向量m 和n 满足m =1, n =2, 且)(n m m -⊥,则m 与n 夹角的大小为A. 30o B. 45o C. 75o D. 135o31.已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0a >，点P 在线段AB上，且=t )10(≤≤t ，则OA ·OP 的最大值为A ．aB ．2aC ．3aD ．2a参考答案：1~5. BDDBB 6~10. DBDCB 11~15. DDBBD 16～20. ABCDC 21～25. CBCAA 26～30. CADAB 31.D。

专题七：三角函数与解三角形2013-2016高考数学全国卷(理)

1、（2016全国I 卷12题）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质2、（2016全国I 卷17题）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=，所以C 3π=．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式3、（2015全国I 卷2题）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式4、（2015全国I 卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为(A)(C)(D)【答案】D 【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.考点：三角函数图像与性质5、（2015全国I 卷16题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是【答案】【解析】试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BEAD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=-所以AB.考点：正余弦定理；数形结合思想 6. （2014全国I 卷8题）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B7、（2014全国I 卷16题）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .【答案】【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤8、（2013全国I 卷15题）设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______ 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】∵()f x =sin 2cos x x -5(sin )55x x -令cos ϕ=5，sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=5-.9、（2013全国I 卷17题）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°(1)若PB=12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o60，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74，∴PA=2；（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，o o sin sin150sin(30)αα=-4sin αα=，∴tan α=4，∴tan PBA ∠=4. 10、（2016全国II 卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．11、（2016全国II 卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．12、（2016全国II 卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． 13、（2015全国II 卷17题）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

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2013高考数学选择题高效训练三角函数，向量，解三角形
1．－3000化为弧度是
A ．34π-
B ．3
5π- C ．47π- D ．67π
-
2．已知5
3
)sin(-=+απ，则一定有（） A ．53)2sin(=
-απ B ．53)sin(=-α C ．53)2sin(-=+απk D ．5
3
)sin(=-απ
3．已知角α的终边过点P(－4,3) ，则2sin cos αα+ 的值是 A ．－1 B ．1 C ．5
2- D ． 25
4．sin105cos105 的值为（）
Ａ．14
Ｂ．－
14
5．函数sin 22y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
图象的一条对称轴是（） A ．4x π=- B ．2x π=- C ．8x π= D ．54
x π
=
6．0
54cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（）
A ．0
B ．
22 C ．2
3
D ．21
7. 函数 )2
52sin(π
+=x y 是（） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π
的奇函数 D.周期为2
π的偶函数
8.函数1
2cos 22
y x x =
+的图象可以由函数sin 2y x =的图象
作以下平移得到（） A. 向右平移6p B. 向右平移12p C. 向左平移6
p D. 向左平移12p
9. 已知sin cos 1x x +=-,则2005
2005sin
cos x x +的值为 A ．0 B ．1 C ．-1 D ．± 1
10. 若函数()sin ()f x x g x =+在区间[3,44
p p
-]上单调递增，则函数)(x g 的表达式为
A ．x cos
B ． cos x -
C ．1
D ．tan x -
11. 函数12
log (12cos2)y x =-的一个单调递减区间是
A ．(,0)6p -
B ．(0,4p )
C ．[,62p p ]
D ．[,42
p p ]
12. 函数())sin(3)f x x x q q =---是奇函数，则tan q 等于
A ．
33 B ．- 3
3 C ．3 D ．- 3 13. 把函数4cos()3
y x p
=+的图象向右平移q (q >0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则q 的最小值为
A ．6p
B ． 3
p C ． 23p D ． 43p
14、在ABC ∆中，,4
,2,2π
=
∠=
=A b a 则=∠B （）
A.3π
B. 6π
C. 6π或65π
D. 3
π或32π
15、某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，
测得灯塔A 在观察站C 北偏东30
，灯塔B 在观察站C 南偏东30
处，则两灯塔A 、B
间的距离为（）
A.400米
B.500米
C. 800米
D. 700米
16、已知三角形ABC 的面积4
2
22c b a s -+=，则C ∠的大小是（）
A. 0
45 B.0
30 C.0
90 D.0
135
17、在ABC ∆中，1,60,30==∠=∠O O a B A ，则=b （）
A 2
B 3
C 23
D 3
3
18、＝则中，A c b a ABC ∠===∆,2,3,7（）
A O
30 B O
45 C O
60 D O
90
19、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（） A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A ===
20、在△ABC 中，若B a A b cos cos =，则△ABC 的形状为（） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形
21、△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为
3
1
，则其外接圆的半径为（） A 、229 B 、429 C 、 829 D 、9
2
2
22、在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（）
A ：
B ：
3
2
C ：：
23、在ABC ∆中，若()()a b c c b a bc +++-=，则A 为（）
A ： 60︒
B ：45︒
C ： 120︒
D ： 30︒
24. 某人向正东方向走xkm 后，向左转身150︒，然后朝新方向走3km ，
，那么x 的值为（）
A ：： C ： 3
25．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===
A ．)35(2
1
21e e + B ．
)35(21
21e e - C )53(2
1
12e e - D ．)35(2
1
12e e -
26．下列四式不能化简为AD 的是（）
A ．；）＋＋（BC CD A
B B ．）；＋）＋（＋（CM B
C MB A
D C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC
27．已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）
A ．
6563 B ．65 C ．5
13 D ．13、
28．下面四个有关向量数量积有关系式中：
⑴000=∙→
→
； ⑵)()(→
→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a ；
⑶
→
→→→
∙=∙a b b a ; ⑷→
→→→∙≤∙b a b a
其中正确的是（）A ．⑴⑵ B ．⑵⑶ C ．⑶⑷ D ．⑴⑶
29. 已知向量
a =(sin ,cos )a a ，=（3，4），且a //，
则tan a 等于（） A ． 43 B ．34- C ． 3
4 D ．43-
30. 向量m 和n 满足m =1, n =2, 且)(n m m
-⊥,
则m 与n
夹角的大小为
A. 30o
B. 45
o
C. 75o
D. 135o
31.已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）
（0,a ,),0(a 其中常数0a >，点P 在线段AB 上，且AP =t AB )10(≤≤t ，则·的最大值为 A ．a B ．2a C ．3a D ．2
a
参考答案：
1~5. BDDBB 6~10. DBDCB 11~15. DDBBD 16～20. ABCDC 21～25. CBCAA 26～30. CADAB 31.D。