2012年毕业班数学综合卷1

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数学-讲义-教案2012年广一模理科数学试卷及答案

5
18．（本小题满分14分）如图 5 所示，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 6 ，平面 PAC 平面 ABC ，
PD AC 于点 D ， AD 1 ， CD 3 ， PD 3 ．
（1）证明△ PBC 为直角三角形；（2）求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值． 19．（本小题满分 14 分）
2
1 ．……………………………………………………9 分 5
因为 ,

5 2 5 3 ， sin ．………………………10 分，所以 cos 5 5 2
cos cos 4 sin sin 4 ……………………………………11 分 4

2 图1
俯视图则实数 a 的取值范围为． 13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作 a1 1 ，第2 个五角形数记作 a2 5 ，第 3 个五角形数记作 a3 12 ，第 4 个五角形数记作
cm ．
15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为 l ：
x t 2, x 1 s, （ s 为参数）和 C ：（ t 为参数）， 2 y 1 s y t
．
图3
若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，则 AB
2 2 2 2 * （3）证明： 1 L ． ≤gn 1 e （ n N ） 2 3 4 n 1

2012年北京市小学数学毕业试卷及答案

2012年北京市小学数学毕业试卷一、口算（时间5分钟，5分）．1．（1）66+8=（2）47-8=（3）25×4=（4）56÷4=（5）3.07÷3=（6）471-299=（7）600÷5=（8）1.06×8=（9）6.6+4=（10）1-0.05=（11）3.8+6.2=（12）3.8÷0.19=（13）0.1+0.1÷0.1（14）24×0.5=（15）1.8÷0.2=（16）1÷0.25=（17）8-0.8=（18）1.5×0.6=（19）1.5÷0.3=（20）2/9×4=（21）4/9× 3/8=（22）12÷ 3/7=（23）5/8- 1/8=（24）1- 3/11=（25）5/6+1/6 =（26）3/7× 5/6=（27）1/3+ 1/6=（28）1/5- 1/7=（29）1/2÷ 3/4=（30）2/9+ 2/3=二、选择题，把正确答案的序号填在括号内（每题2分）2．下面各数中，小于-4的是（）A．1B．0C．-3D．-53．小明的爷爷每天坚持散步健身，小明想了解爷爷一周内大约走了多少千米．爷爷告诉他：“我上周最多一天走了2.5千米，最少一天走了1.5千米．”请你帮小明算出爷爷上周所走的总路程的正确范围（）A．不足十千米B．10至14千米C．10.5至17.5千米D．超过17.5千米4．果园去年采摘水果a千克，今年比去年采摘水果的2倍还多b千克，今年采摘水果（）千克．A．2a+b B．2a-b C．2（a+b）D．2（a-b）5．下面几组相关联的量中，成反比例的是（）A．行一段路，已行的米数与未行的米数B ．正方形周长和边长C ．看一本故事书，每天看的页数和看的天数D ．爸爸和儿子的年龄6．把图形顺时针旋转90度后，是第（）幅图．7．数学课本封面的面积最接近（） A ．0.3平方米 B ．3平方分米 C ．30平方厘米 D ．300平方毫米8．下面每组的三根小棒，能拼成三角形的是（） A ．3厘米、3厘米、6厘米 B ．3厘米、4厘米、8厘米 C ．3厘米、5厘米、8厘米 D ．3厘米、6厘米、8厘米9．用一个2倍的放大镜看一个直角，看到的角是（） A ．锐角 B ．直角C ．钝角D ．平角10．甲数的倒数大于乙数的倒数，这两个数相比较（） A ．甲数大 B ．乙数大C ．同样大D ．无法确定哪个数大A ．B ．C ．D ．11．有两个同样长的钢管，从第一根上截去它的1/4，从第二根上截去1/4米，剩下的部分相比，下面说法正确的是（）A．第一根剩下的长B．第二根剩下的长C．剩下的长度相等D．前三种情况都有可能三、填空（每小题2分）．12．截止到2010年8月15日16时，甘肃省民政厅已累计接受各地为舟曲捐赠资金一亿零六百万元，写作_____元，改写成以“万”为单位的数是_____万元．13．120分米= _____米3.6吨= _____千克．14．4/5=24÷ _____= _____：20．15．图是一个平行四边行，它的面积是_____平方分米．．16．在一个分钟踢毽比赛中，小娟前两次的平均成绩是43个，她第三次应踢_____个，才能使这三次的平均成绩是45个．四、用简便方法计算（每小题4分）．17．（1）18×0.55+18×0.45（2）3/4- 3/8- 1/8．五、计算下面各题（每小题4分）．18．（1）2865+1495÷23（2）5.4×（8.5-0.25）（3）5/11×[﹙2/5﹢1/3﹚÷ 5/6]．六、解答下列各题（第1、2题各3分，第3题4分，第4至9题各5分）．19．该图的图形是由两个同样大小的圆组合成的，请画出它们的全部对称轴．20．先画一个长8cm、宽4cm的长方形，再在长方形里面画一个最大的圆．21．小军制作的机器人A和小力制作的机器人B进行赛跑比赛．①从图中可以看出，_____的机器人跑的快．②简述你的判断理由：_____22．“六一”儿童节书店优惠售书，所有图书一律八折出售．李芳买了两本书，标价分别为32元和18元．李芳一共花多少元？23．一个长方形的游泳池，长25米，宽12米，池深1.4米．放入360立方米的水，这个游泳池里水深多少米？24．一种蛋糕盒，底面直径4分米，高2.4分米．为携带方便用红丝带扎成“*”行，打结处用去红丝带1.8分米．这个蛋糕盒的表面积是多少平方分米？捆扎用的红丝带长多少分米？25．一支未用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米．使用一段时间后，变成了如图的样子．这时体积是多少立方厘米？26．2020年8月，妈妈把2000元存入银行，存期为两年．到期时妈妈共能取回多少钱？（利率见下表）存期半年一年两年三年五年年利率（%） 1.98 2.25 2.79 3.33 3.627．甲乙两车分别从A、B两地同时相对开出，3小时后在距中点36千米处相遇．已知甲、乙两车的速度比是3：2，A、B两地相距多少千米？七、实践活动（5分）．纳税--六年级数学实践活动28．依法纳税是每个公民应尽的义务．调查生活中需要缴纳哪些税？把你调查的结果写在下面（至少4种）．．29．随机选择10～20个人，调查他们在外出就餐、买东西时所要发票的情况，回答问题．（1）一共调查了_____人．（2）把调查结果填在下表．（3）根据调查结果你要说些什么？2012年北京市小学数学毕业试卷答案一、口算1. 【考点】：整数的加法和减法；整数的乘法及应用；整数的除法及应用；分数的加法和减法；分数乘法；分数除法；小数的加法和减法；小数乘法；小数除法．【分析】：本题运用运算法则直接求解，整数加减法的题目要注意进位和退位；小数的计算要注意小数点的位置；分数的运算要注意把结果化成最简分数．【解答】：略【点评】：本题考查了基本的运算，要注意在平时多积累经验，逐步提高运算的速度和准确性．二、选择题2. 【考点】：正、负数大小的比较．【分析】：画出数轴，在数轴上标出各数，根据“在数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序”；看-4的左边是哪个数，那个数就比-4小．【解答】：解：如图：因为-3、0、1都在-4的右边，所以它们都比-4大，只有-5在-4的左边，所以小于-4的是-5；故选：D．【点评】：此题考查正、负数的大小比较，利用数轴进行比较，比较直观、易懂．3. 【考点】：小数乘法．【分析】：用一天最多走的路程乘上7就是一周最多走多少千米，用一天最少走的路程乘上7就是一周走的最少路程，一周的路程在这两者之间．【解答】：解：一周=7天．2.5×7=17.5（千米）；1.5×7=10.5（千米）；答：爷爷上周所走的总路程是在10.5千米到17.5千米之间．故选：C．【点评】：本题先找出一天走的路程的范围，再乘上7即可．4. 【考点】：用字母表示数．【分析】：根据“今年比去年采摘水果的2倍还多b千克，”知道今年采摘水果的千克数=去年采摘水果的千克数×2倍+b，去年采摘水果是a千克，由此求出今年采摘水果的千克数．【解答】：解：a×2+b，=2a+b（千克），答：今年采摘水果2a+b千克；故选：A．【点评】：关键是根据题中的数量关系列式解答，注意字母与数相乘时要简写，即省略乘号，把数写在字母的前面．5. 【考点】：辨识成正比例的量与成反比例的量．【分析】：判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例，由此逐一分析即可选择．【解答】：解：A，已行的米数+未行的米数=这段路的长度（一定），是它们的和一定，所以已行的米数与未行的米数不成比例；B，正方形的周长÷边长=4（一定），所以正方形的周长与边长的比值一定，它们成正比例；C，每天看的页数×看的天数=这本故事书的总页数（一定），所以每天看的页数和看的天数成反比例；D，爸爸的年龄-儿子的年龄=年龄差（一定），是它们的差一定，所以爸爸和儿子的年龄不成比例；故选：C．【点评】：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断6. 【考点】：将简单图形平移或旋转一定的度数．【分析】：根据图形旋转的方法，先把已知的图形按照顺时针方向旋转90°后得到的图形，再与已知的四个选项中的图形相对照，即可选择出正确的答案．【解答】：解：根据图形旋转的方法，把已知的图形按照顺时针方向旋转90°后得到的图形，如图所示：对照图形，符合题意的选项是D，故选：D．【点评】：此题考查了图形的旋转的方法的应用．7. 【考点】：根据情景选择合适的计量单位．【分析】：根据生活经验、对面积单位和数据的大小，可知计量和你数学课本封面的面积最接近面积用“平方分米”做单位，据此选择．【解答】：解：数学课本封面的面积最接近3平方分米；故选：B．【点评】：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．8. 【考点】：根据情景选择合适的计量单位．【分析】：根据生活经验、对面积单位和数据的大小，可知计量和你数学课本封面的面积最接近面积用“平方分米”做单位，据此选择．【解答】：解：数学课本封面的面积最接近3平方分米；故选：B．【点评】：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．9. 【考点】：角的概念及其分类．【分析】：一个2倍放大镜看一个直角，只是把角的两条边的长度放大了，度数不变（整体形状不变）；据此解答即可．【解答】：解：由分析知：一个直角用2倍的放大镜放大，这个角仍然是直角；故选：B．【点评】：解答此题应根据角的意义和特征进行解答．10. 【考点】：倒数的认识．【分析】：由题意可知1/甲数＞1/乙数，根据分子相同的分数的大小比较方法，分母小的分数大，可选出答案．【解答】：解：由题意可得：1/甲数＞1/乙数，所以甲数＜乙数；故选：B．【点评】：此题主要考查倒数和同分子分数大小比较的方法的知识．11. 【考点】：分数大小的比较．【分析】：解答此题要考虑当两根钢管＞1米、=1米、＜1米时，采用举例验证的方法，分别计算剩下的长度就可选择．【解答】：解：（1）当钢管都长4米时，第一根上剩下的长度是：4×（1-1/4）=3（米），（米），第二根上剩下的长度是：4-1/4=334所以第二根上剩下的长；（2）当钢管都长1米时，第一根上剩下的长度：1×（1-1/4）=3/4（米），第二根上剩下的长度：1-1/4=3/4（米），所以两根剩下的长度相等；（3）当钢管都长3/4米时，第一根上剩下的长度：3/4×（1-1/4）=9/16（米），第二根上剩下的长度：3/4-1/4=1/2（米），所以第一根上剩下的长；故选：D．【点评】：解答本题关键是让学生分情况讨论钢管大于1米，等于1米，小于1米时截去的长度，然后确定剩下的长度．三、填空12. 【考点】：整数的读法和写法；整数的改写和近似数．【分析】：一亿零六百万是一个九位数，最高位是亿位，亿位上是1，百万位上是6，写这个数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；改成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字．【解答】：解：一亿零六百万写作：106000000；106000000=10600万；【故答案为】：106000000，10600．【点评】：本题主要考查整数的写法、改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位．13. 【考点】：长度的单位换算；质量的单位换算．【分析】：（1）把120分米换算成米数，用120除以进率10得12米；（2）把3.6吨换算成千克数，用3.6乘进率1000得3600千克．【解答】：解：（1）120分米=12米；（2）3.6吨=3600千克．【故答案为】：12，3600．【点评】：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．14. 【考点】：比与分数、除法的关系．【分析】：解答此题的关键是4/5，根据分数与除法的关系，4/5=4÷5，再根据商不变的性质，被除数、除数都乘6就是24÷30；根据比与分数的关系，4/5=4：5，再根据比的基本性质，比前、后项都乘4就是16：20．由此进行转化并填空．【解答】：解：4/5=24÷30=16：20；【故答案为】：30，16．【点评】：此题考查除式、分数、比之间的转化，利用它们之间的关系和性质进行转化即可．15. 【考点】：平行四边形的面积【分析】：由题意可知：6分米的高所对应的底边是12分米，进而利用平行四边形的面积公式即可求解．【解答】：解：12×6=72（平方分米）；答：这个平行四边形的面积是72平方分米．【故答案为】：72．【点评】：解答此题的关键是：找清楚已知高的对应底边．16. 【考点】：平均数的含义及求平均数的方法．【分析】：要求她第三次应踢多少下，根据题意，先求出三次踢毽的总次数，然后求出前两次踢毽的总次数，用三次踢毽的总次数-前两次踢毽的总次数即可得出结论．【解答】：解：45×3-43×2，=135-86，=49（个）；答：她第三次应踢49个．【故答案为】：49．【点评】：此题是考查平均数知识的灵活运用情况，做题时应认真审题，找出前后数量间的关系，进而列式解答即可得出结论．四、用简便方法计算17. 【考点】：运算定律与简便运算．【分析】：（1）18×0.55+18×0.45，运用乘法分配律进行简算．（2）3/4- 3/8- 1/8．应用减法的运算性质进行简算．【解答】：解：（1）18×0.55+18×0.45，=18×（0.55+0.45），=18×1，=18；（2）3/4- 3/8- 1/8，=3/4-（3/8+1/8），=3/4-1/2，=1/4．【点评】：此题考查的目的是运用运算定律和运算性质对小数、分数四则混合运算进行简便计算．五、计算下面各题18. 【考点】：整数四则混合运算；分数的四则混合运算；小数四则混合运算．【分析】：（1）先算除法，再算加法；（2）先算小括号里面的减法，再算括号外的乘法；（3）先算小括号里面的加法，再把除法变成乘法，运用乘法结合律简算．【解答】：解：（1）2865+1495÷23，=2865+65，=2930；（2）5.4×（8.5-0.25），=5.4×8.25，=44.55；（3）5/11×[﹙2/5﹢1/3﹚÷ 5/6]=5/11×[11/15÷5/6]，=5/11×11/15×6/5，=1/3×6/5，=2/5【点评】：本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算．六、解答下列各题19. 【考点】：画轴对称图形的对称轴．【分析】：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可确定这个图形的对称轴的条数及位置．【解答】：解：根据轴对称图形的定义可知，这组合图形的对称轴有2条，如图所示：【点评】：此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数及位置的灵活应用．20. 【考点】：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形；画圆．【分析】：先根据长方形的特点利用作垂线和平行线的方法作出长8cm、宽4cm的长方形，如果在长6cm，宽4cm的长方形里面一个最大的圆，那么这个圆的直径就是4厘米；由此即可以长方形对角线的交点为圆心，以4厘米为直径画出这个圆；【解答】：解：由题意知，先画一个长6cm，宽4cm的长方形，再在里面画一个最大的圆，那么这个圆的直径就是宽边4厘米，圆心是两条对角线的交点O；如下图所示：【点评】：此题考查了在长方形内画一个最大的圆，抓住长方形内最大的圆是以这个长方形的最短边为直径的圆，是解决此类问题的关键．21. 【考点】：从统计图表中获取信息；统计结果的解释和据此作出的判断和预测．【分析】：①折线的坡度陡，说明跑得快，折线的坡度缓，说明跑得慢；②判断理由：从统计图中，可看出机器人3分钟跑了120米，平均每分钟跑40米；而机器人4分钟跑了120米，平均每分钟跑30米；进一步确定机器人跑得快．【解答】：解：①从图中可以看出，小军的机器人跑得快；②判断理由：从统计图中，可看出小军制作的机器人3分钟跑了120米，平均每分钟跑40米；而小力制作的机器人4分钟跑了120米，平均每分钟跑30米；40米＞30米，进一步确定小军的机器人跑得快．【点评】：本题是复式折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．22. 【考点】：百分数的实际应用．【分析】：打八折是指现价是原价的80%．求李芳一共花多少元，即是求两本书原价钱的80%是多少，用32+18=50元，求出李芳买了两本书的原价钱，然后根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，列式解答即可．【解答】：解：（32+18）×80%，=50×80%，=40（元），答：李芳一共花40元．【点评】：本题首先要理解打8折的意思，打几折现价就是原价的百分之几十；然后根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，求出结果．23. 【考点】：长方体和正方体的体积．【分析】：根据长方体的体积公式：v=abh，那么h=v÷a÷b，把数据代入公式解答．【解答】：解：360÷25÷12，=14.4÷12，=1.2（米）；答：这个游泳池里水深1.2米．【点评】：此题主要根据长方体的体积计算方法，用体积除以长除以宽就等于高．由此解决问题．24. 【考点】：圆柱的特征．【分析】：根据圆柱的表面积公式，圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，捆扎用的红丝带的长度等于它的6条直径的长度与6条高的长度和，再加上打结用的1.8分米．由此解答．【解答】：解：表面积：3.14×4×2.4+3.14×（4÷2）2×2，=12.56×2.4+3.14×4×2，=30.144+25.12，=55.264（平方分米）；需要丝带的长度：4×6+2.4×6+1.8，=24+14.4+1.8，=40.2（分米）；答：这个蛋糕盒的表面积是55.264平方分米，捆扎用的红丝带长40.2分米．25. 【考点】：组合图形的体积．【分析】：先利用圆柱体的体积V=Sh求出这根铅笔的底面积，再分别利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求出如图剩余部分的体积．【解答】：解：铅笔的底面积：9÷18=0.5（平方厘米）；0.5×6+0.5×3×1/3，=3+0.5，=3.5（立方厘米）；答：这时体积是3.5立方厘米．【点评】：先利用圆柱的体积公式求出这根铅笔的底面积，是解答本题的关键．26. 【考点】：存款利息与纳税相关问题．【分析】：到期时取回的钱是利息+本金，利息=本金×年利率×时间．在此题中，本金是2000元，利率是2.79%，根据关系式，把相关数据代入，问题容易解决．【解答】：解：2000+2000×2.79%×2，=2000+2000×0.0279×2，=2000+111.6，=2111.6（元）；答：到期时妈妈共能取回2111.6元钱．【点评】：这种类型属于利息问题，利息=本金×利率×时间（注意时间和利率的对应），本息=本金+利息，找清数据与问题，代入公式计算即可．27. 【考点】：简单的行程问题；比的应用．【分析】：甲乙两车的速度比是3：2，则相遇时甲乙两车所行的路程之比也是3：2；相遇时甲车行了全程的3÷（3+2）= 3/5，从全程的中点到全程的3/5是36千米，所以36千米占全程的3/5- 1/2，由此解决问题．【解答】：解：36÷（3/5-1/2），=36÷1/10，=360（千米）；答：A、B两地相距360千米．【点评】：解题思路：先根据两车的速度比推出甲乙两车所行路程比，然后找出36千米占全程的几分之几，解决问题．七、实践活动28. 【考点】：物体的比较、排列和分类【分析】：生活中需要缴纳的税有：个人所得税及利息税、车船使用税、契税、房产税、车辆购置税、车船使用牌照税、证券交易印花税．【解答】：解：需要缴纳的税有：个人所得税及利息税税、车船使用税税、契税、房产税税、车辆购置税税、车船使用牌照税税、证券交易印花税税．【点评】：了解生活中需要缴纳的税，培养学生的纳税意识．29. 【考点】：统计图表的填补；统计结果的解释和据此作出的判断和预测．【分析】：先确定出调查的人数，然后再统计出不同类型的人数最后进行计算，求出百分比．【解答】：解：（1）共调查20人．（2）根据调查填表并计算出百分比：（3）根据调查的结果发现，公民的爱国护税、平安消费意识不高，如果遇到食品的质量问题，没有发票无法维权．【点评】：本题考查了学生制作统计表的能力，同时考查了学生要提高消费意识，购物要索要发票．。

2012年广州一模数学(理科)试卷(word版,含答案)

数学（理科）试题A 第 1 页共 4 页试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R ，函数11y x =+的定义域为集合A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U A B = ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定数学（理科）试题A 第 2 页共 4 页5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为A ．252B ．216C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为． 11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图 22正(主)视图2 2 2 侧(左)视图222数学（理科）试题A 第 3 页共 4 页（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，3PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5BPACD P OABCD图3数学（理科）试题A 第 4 页共 4 页19．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率为5的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TA B ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）．（1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCABDCA二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9．433 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14．62 15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 312313+==---．………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以5cos 5α=-，25sin 5α=-．…………………………………………10分所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分 52252310525210⎛⎫=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有情况如下表：87 89 96 96 87 0 2 9 9 93 6 4 3 3 93 6 4 3 3 958611所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 的分布列为：X 01 2 3 4 6 89P116 216 116 416 216 316 116 216随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 ……………………10分甲乙X18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为6AB BC ==，4=AC ，所以()2222622BE BC CE =-=-=．………………3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．因为3PD =，3CD =，所以()22223323PC PD CD =+=+=．………4分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为2BE =，1DE =，所以()2222213BD BE DE =+=+=．…………5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ．在Rt △PBD 中，因为3PD =，3BD =，所以()()2222336PB PD BD =+=+=．…………………………………………………6分在PBC ∆中，因为6BC =，6PB =，23PC =，所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥．因为6AB BC ==，4=AC ，所以()2222622BE BC CE =-=-=．………………3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，2BE =，1DE =，所以()2222213BD BE DE =+=+=．………………………………………………………4分在△BCD 中，因为3CD =，6BC =，3BD =，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，BPACD E则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC 的面积1222ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为3PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯12622333=⨯⨯=．…………………………10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，6BC =，6PB =，所以△PBC 的面积1166322PBC S BC PB ∆=⨯⨯=⨯⨯=．……………………………………11分因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即126333AH ⨯⨯=，所以263AH =．……………………………………………………………12分在Rt △PAD 中，因为3PD =，1AD =，所以()2222312AP PD AD =+=+=．………………………………………………………13分因为2663sin 23AH APH AP ∠===．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt △PAD 中，因为3PD =，1AD =，所以()2222312AP PD AD =+=+=．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分由（1）知3BD =，6PB =，且3PD =，所以33626PD BD DN PB ⨯⨯===．……………………………………………………………13分 BP A CDM N因为662sin 332DN DMN DE ∠===，所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分在△PCG 中，6PB BG BC ===，所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC 中，因为23PC =，2PA =，4AC =，所以222PA PC AC +=，所以CP PA ⊥．因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为AK ⊂平面PAG ，所以CP AK ⊥．因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BC PB ⊥，所以23PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以222AG BE ==．………………………………………………………………………………12分在△PAG 中，2PA =，22AG =，23PG =，所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为226sin 323AG APK PG ∠===．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分则()0,2,0A -，()2,0,0B，()0,2,0C ，()0,1,3P -．PzBPACD EGK于是()0,1,3AP = ，()2,1,3PB =- ，()0,3,3PC =-．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即230,330.x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1y =，则3z =，2x =．所以平面PBC 的一个法向量为()2,1,3=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则46sin cos 326AP AP AP θ⋅=<>===⋅⋅n ,n n ．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则()2,0,0B，()0,2,0C ，()0,1,3P -．于是()2,1,3BP =-- ，()2,2,0BC =-．因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥ ．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是()0,1,3AP = ，()2,1,3PB =- ，()0,3,3PC =-．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即230,330.x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ B PACD Exyz取1y =，则3z =，2x =．所以平面PBC 的一个法向量为()2,1,3=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则46sin cos 326AP AP AP θ⋅=<>===⋅⋅n ,n n ．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+．故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，因为双曲线的离心率为5，所以2151b +=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤ ，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t-+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即12x =时，()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1x x f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：（资料来源：中国高考吧）①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-，由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>，因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++ ．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立．即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分方法2（基本不等式法）：因为112n n +⋅≤，……………………………………………………………………………………11分 ()1122n n +-⋅≤， ……，112n n +⋅≤，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分。

2012年小学生毕业数学试卷

2012年小学生毕业水平考核数学模拟试卷（考试时间：90分钟试卷满分100分）一、认真读题，对号入座。

（每空1分,共计31分）1．我国在2010年11月1日零时为标准时点进行了第六次全国人口普查，普查登记的大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1339724852人。

这个数读作（），改写成用“亿”作单位的数（）亿，省略亿后面的尾数约是（）亿。

2．43＝12÷（）＝()12＝（）%=（）（填小数）3．8和6的最小公倍数是（）；12和4的最大公因数是（）。

4.65的分数单位是（），它再添上（）个这样的单位是最小的素数。

5.54时=（）分 6千克50克= （）千克 0.8升=（）毫升6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是120立方厘米，圆柱的体积是（）立方厘米，圆柱体积比圆锥体积多（）立方厘米。

7．在（）里填上合适单位名称。

中国长江长约6300（）一辆货车载重5（）一节课的时间是40（）8．小军的座位用数对表示是（4,3），他坐在第（）列第（）行。

9．有一组数据“2.8、4.5、2.8、11、3.7、2.8、3.2”，这组数据的平均数是（），中位数是（），众数是（）。

10.一种罐头盒是圆柱形，它的底面周长是31.4厘米，高15厘米，要在它的四周贴商标纸，商标纸的面积是（）平方厘米。

11．把5米长的绳子平均剪成8段，每段长（—）米，每段长度占这根绳的（—）。

12．口袋里有4个红球，2个黄球，在口袋里任意摸一个球，摸到（）球的可能性大，可能性为（——）。

13.食堂运进a 袋大米，每袋50千克，已经吃掉b 千克，还剩（）千克。

14.今年4月7日王华把5000元存入银行，定期2年，年利率4.15%，到期时应得利息（）元。

二、火眼金星，明辨是非。

（对的在最后面括号里后面打√，错的打×）。

（共5分）1.a 、b 都不等于0，如果a 的54等于b 的32，那么a 大于b 。

2012年广州一模数学(理科)试卷(word版,含答案)

x t 2,
t2
22
．
2
2 ．正(主)视图
cm ．
2
俯视图
D．6
2
D．
3
A
D．42
2
C
2
2
2 侧(左)视图
图1
，若 an 145 ，则 n
（ t 为参数），若 l 与 C 相交于 A 、 B 两
B P
D O
图3
2
点，则 AB
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
·1·
b = 0, 2，则 a b 的值为
A． 8
B． 6
7．在△ ABC 中， ABC 60 ， AB 2 ， BC 6 ，在 BC 上任取一点 D ，使△ ABD 为钝角三角形的概
率为
1
A．
6
1
B．
3
8．从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标
B
图5 19．（本小题满分 14 分）
等比数列an的各项均为正数， 2a4 , a3, 4a5 成等差数列，且 a3 2a22 ．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）设 bn
20．（本小题满分14分）

2n
2n 5
12n

3 an
，求数列 bn 的前
·3·
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2012年广州市普通高中毕业班理科数学综合测试(一)

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R ，函数y =A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U A B = ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为．11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图正(主)视图侧(左)视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5PACD图319．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）．（1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=10分所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分⎛=+= ⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．……………………10分因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD为直角三角形．因为PD =，3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =，1DE =，所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ．在Rt △PBD 中，因为PD =，BD，所以PB ===．…………………………………………………6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC=，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =，BD ，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分 BPACDE因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯133=⨯=10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC，PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即133AH ⨯⨯=所以AH =．……………………………………………………………12分在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt△PAD 中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分由（1）知BD =，PB=PD ，所以PD BD DN PB ⨯===13分 BP A CDMN因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC14分解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分在△PCG中，PB BG BC === 所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =，所以222PA PC AC +=，所以CP PA ⊥．因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为AK ⊂平面PAG ，所以CP AK ⊥．因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BC PB ⊥，所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACDEGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n ．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =- ，()2,0BC =．因为(()0BP BC =-=，所以BP BC ⊥ ．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP = ，PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n ．所以直线AP 与平面PBC14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+．故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤ ，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t-+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x ()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-，由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>，因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++ ．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立．即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分12n +≤，……，12n +≤，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．……………………………………14分。

2012年初中毕业班综合测试(一).doc

2012年萝初中毕业班综合测试(一)数学第一部分选择题(共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1． 16的平方根为（ ﹡ ）．A ．4B ．4±C ．2D ．2± 2．下面给出的三视图表示的几何体是（ ﹡ ）．A ．圆锥B ．正三棱柱C ．正三棱锥D ．圆柱3．甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每团游客的平均年龄都是32岁，这三个团游客年龄的方差分别是216.8s=甲，219.8s =乙，2 1.28s =丙．导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（ ﹡ ）．A ．甲团Ｂ．乙团Ｃ．丙团Ｄ．甲或乙团4．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（ ﹡ ）．A ．1种B ．2种C ．4种D ．无数种5．不等式组10420x x ->⎧⎨-⎩，≤的解集在数轴上表示为（ ﹡ ）．6．在平面直角坐标系中，ABCD Y 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），则顶点D 的坐标为（ ﹡ ）． A.（7，2）B.（5，4）C.（1，2）D.（2，1）7．一靓仔每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为3000米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设步行的平均速度为x 米/分钟．根据题意，下面列出的方程正确的是（ ﹡ ）．A ．30430003000=-x x ． B ．30300043000=-x x ． C ．30530003000=-x x ． D ．30300053000=-xx ．8．二次函数22y x x k =-++的部分图象如图所示，若关于x 的一元二次方程220x x k -++=的一个解13x =,则另一个解2x =（ ﹡ ）．A ．1B ．1-C ．2-D ．0o E 第10题第9题第8题CA CBA9．如图，O ⊙是ABC △的外接圆，60BAC ∠=°，若O ⊙的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ﹡ ）．A ．1B 3C ．2D ．310．如图，ABC △中，6AB AC ==，8BC =，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则BDE △的周长是（ ﹡ ）A ．75B ．10C ．425+D ．12第二部分非选择题(共120分)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，满分15分．)12A ．1 02B ．1 02C ．1 02D ．11．在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为5，高为6，则它的面积是﹡．12．下列函数中，当0x>时y随x的增大而减小的有﹡．（1）1y x=-+，（2）2y x=，（3）2yx=-，（4）2y x=-，13．如图所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为﹡．第15题第14题14．如图，一次函数bkxy+=（0k<）的图象经过点A．当3y>时，x的取值范围是﹡．15．小明同学从A地出发，要到A地的北偏东60o方向的C处．他先沿正东方向走了200m到达B地，再从B地沿北偏东30o方向走，恰好能到达目的地C（如图），那么，由此可确定B、C两地相距________m．三、解答题(本大题共9小题，满分105分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分6分）解方程：31222x x+=--17．（本小题满分6分）先化简，再求值：22x4x6x9-++÷x22x6-+，其中x5=-．18.如图，ABC∆的三个顶点都在55⨯的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上.（1）在网格中画出将ABC∆绕点B顺时针旋转90°后的△A′BC′的图形.（2）求点A在旋转中经过的路线的长度.（结果保留π）19．（本小题满分10分）如图，AB是O⊙的直径，AC是弦，直线EF是过点C的O⊙的切线，AD EF⊥于点D．（1）求证：BAC CAD∠=∠；（2）若3012B AB∠==°，，求AD与»AC的长．BDOCAF E第19题图20．（本小题满分10分）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的4个小球，它们分别标有数字1、2、3、4．从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程27120x x-+=的根，则小明赢；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程27120x x-+=的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．第18题某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服.（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？第22题第23题在矩形AOBC中，6OB=，4OA=．分别以OB OA，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B C，重合），过F点的反比例函数(0)ky kx=>的图象与AC边交于点E．(1)设点,E F的坐标分别为：11()E x y，，22()F x y，，AOE△与FOB△的面积分别为1S，2S，求证：12S S=；（2）若21y=，求OEF△的面积OEFS△；（3）当点F在BC上移动时, OEF△与ECF△的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？23．（本小题满分12分）如图，在Rt ABC△中，AD是边BC上的中线，过点A作AE BC∥，过点D作DE AB∥，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD EC=；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB AO=，求tan OAD∠的值．EOC如图，一次函数112y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数212y x bx c =++的图象与一次函数112y x =+的图象交于B C ，两点，与x 轴交于D E ，两点，且D 点坐标为（1,0）. （1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；（3）在坐标轴上是否存在点P ，使得PBC △是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由.第24题如图，边长为4的正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A C 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E 是OA 边上的动点（不与点,O A 重合），EP CE ⊥，且EP 交正方形外角的平分线AP于点P .（1）如图1，当点E 是OA 边的中点时，证明CE EP =；（2）如图1，当点E 是OA 边的中点时，在y 轴上是否存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，当点E 是OA 边上的任意一点时（点E 不与点,O A 重合），设点E 坐标为(,0)(04)E t t <<，探究CE EP =是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，说明理由.25题图1PBxy OE25题图2PBxy OE。

2012年初中毕业与升学统一考试数学试卷(江苏苏州市)(详细解析)

2012年初中毕业与升学统一考试数学试卷（江苏苏州市）详细解析一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．2C．D．﹣考点：相反数。

专题：常规题型。

分析：根据相反数的定义即可求解．解答：解：2的相反数等于﹣2．故选A．点评：本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2考点：二次根式有意义的条件。

分析：根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故选D．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．3．一组数据2，4，5，5，6的众数是（）A．2B．4C．5D．6考点：众数。

分析：根据众数的定义解答即可．解答：解：在2，4，5，5，6中，5出现了两次，次数最多，故众数为5．故选C．点评：此题考查了众数的概念﹣﹣﹣﹣一组数据中，出现次数最多的数位众数，众数可以有多个．4．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概率。

分析：确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．解答：解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是=；故选B．点评：本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．5．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系。

分析：由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数．解答：解：∵=，∠AOB=60°，∴∠BDC=∠AOB=30°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）A．4B．6C．8D．10考点：菱形的判定与性质；矩形的性质。

2012年广州市一模理科数学

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++=.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R ，函数y =的定义域为集合A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U AB =ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为A ．252B ．216C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为． 11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2 图1 俯视图正(主)视图侧(左)视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（资料来源：中国高考吧）（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 PACD图319．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu r g ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）．（1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14．15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分 ()tan α=+π……………………………………………………………………6分 tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos 5α=-，sin 5α=-．…………………………………………10分所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分525210⎛=-⨯+-⨯=- ⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分这两名同学成绩之差的绝对值的所有情况如下表：所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 ……………………10分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ===3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD为直角三角形．因为PD =3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =1DE =，所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ．在Rt△PBD 中，因为PD=，BD =所以PB ===6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为ABBC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ===3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =BD =所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分BPACD E（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为PD =13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯133=⨯=10分由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC =PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即133AH ⨯⨯=，所以AH =．……………………………………………………………12分在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 23AH APH AP ∠===．（资料来源：中国高考吧）所以直线AP与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P =，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt △PAD 中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分由（1）知BD =，PB=PD =所以2PD BD DN PB ⨯===．……………………………………………………………13分 BP A CDM N2332DE 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分在△PCG 中，PB BG BC ===所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC 中，因为PC =2PA =，4AC =，所以222PA PC AC +=，所以CP PA ⊥．因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为AK ⊂平面PAG ，所以CP AK ⊥．因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BC PB ⊥，所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACD EGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +=-=⎪⎩ 取1y =，则z =x =（资料来源：中国高考吧）所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n．所以直线AP 与平面PBC 14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =-，()2,0BC =．因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +-==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n．所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232n n =-+．故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，，所以1=2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分整理，得()22224240kxk x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k +=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：（资料来源：中国高考吧） ①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-，由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>，因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立．即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分 12n +≤， ……，12n +≤，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分。

2012年重庆市小学数学毕业试卷(解析版)

）
四、计算 33．（5 分）直接写出得数 2.1÷0.007= 357﹣198= 7.38+0.52=
第 3 页（共 25 页）
= （ = 31 ×72 ÷ ÷31 = =
×（ ﹣ ）=
3.5﹣6.5﹣3.5+6.5= 5﹣2 ﹣1 =
34．（6 分）求未知数 x 125%x﹣x= ： =x：． 35．（12 分）下面各题怎么简便就怎么算 42×（ ﹣ + ）
2012 年重庆市小学数学毕业试卷
一、填空（每题 1 分，共计 18 分） 1．（1 分）2010 年第 41 届世界博览会累计参观人数达 18234540 人，这个数读作人，省略万位后面的尾数约是，加上万人．个这样的分数单位就是最小的
2．（1 分）的分数单位是质数．
3．（1 分）把一根 5 米长的铁丝平均分成 8 段，每段的长度是这根铁丝的每段长；5 段是这根铁丝的，5 段长．
18．（1 分）大小两个圆的半径分别为 2 厘米和 3 厘米，大圆周长比小圆周长长 %，小圆面积比大圆面积少 %．
二、判断题（每题 1 分，共计 6 分） 19．（1 分）六年级学生今天出勤 100 人，缺勤 2 人，出勤率是 98%． 20．（1 分）一件商品先升价 20%，再降价 20%，售价不变．错） 21．（1 分）三角形的面积一定，它的底和高成反比例． 22．（1 分）水结成冰体积增加断对错） 23．（1 分）2 的倒数是 2 ．．．（判断对错），那么这些冰化成水体积减少（判断对错）．．（判．
41．（4 分）六一班林林的爸爸和妈妈准备暑假带着他和妹妹去海南旅游，去时打算坐火车，每张火车票价是 360 元，回来时准备坐飞机，每张飞机票价是 800 元，学生可打半价．全家人往返交通费多少元？ 42．（4 分）看图解答．

2012年小学毕业班数学试卷及答案[1]

2012年小学毕业班试卷数学（考试用时：120分钟满分：150分）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

在试卷上答题无效．．．．．．．．。

2.答题前，请认真阅读答题卷上的注意事项．．．．．．．．．．．．．．。

一、选一选。

（本大题12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卷．．．上对应题目的答案标号涂黑。

）1.1是最小的（）。

[A] 自然数[B] 质数 [C] 奇数 [D] 偶数2.小刚发烧高达（）度，不能来校上课。

[A] 33 [B] 39.5 [C] 48.5 [D] 503.下面哪种情况属于平移？（）[A] 电梯运动 [B] 电扇风叶转动[C] 红旗飘飘[D] 以上情况都不是平移4.用一批黄豆做发芽实验，有200粒发芽，20粒没有发芽，发芽率约是（）。

[A] 80% [B] 90% [C] 90.9% [D] 95%5. 鸡和兔共有8只，数一数腿有26条，其中兔有（）只。

[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 56.15个小朋友中，至少有（）个小朋友在同一个月出生。

[A] 2 [B]3 [C] 4 [D] 57.足球门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价（）元。

[A] 2 [B] 3 [C] 5 [D] 78.把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（）总是相等的。

[A] 面积 [B] 上下底的和 [C] 周长 [D] 高9、庆祝“六一”，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，其中摆的1条、2条、3条“金鱼”如下图所示：按照这个规律，摆100条“金鱼”需火柴棒的根数为（）。

[A]800 [B]608 [C]704 [D]60210.某商场规定每5个空瓶可兑换1瓶饮料，某人用28元买饮料喝，每瓶饮料3.5元。

最多能喝到（）瓶饮料。

[A] 8 [B] 9 [C] 10 [D] 11 11.笑笑将一个正方形对折两遍，如图所示，并在中央点打孔再将它展开，展开后图形是（）。

2012小学数学毕业模拟试题(11份)

2012小学数学毕业模拟试题(11份)2012年小学数学毕业模拟测试卷1一、计算（其中估算结果用整数表示，共14分）1.口算 ①6.24-2.4= ②25 + 35 ÷ 35= ③992 + 99 = ④0.22 =2.估算 ①71×3.9≈ ②27.04÷8.92≈③3.17万+6.9万≈ ④291090－9986≈ 万3.笔算 ①23 ÷25 + 23 ÷35 ②1116 + 813 -（ 1116 + 513）③7.5+2.5χ=100二、选择（将正确答案的序号填在括号里，每题2分，共10分）4．1千克黄豆可以换3千克豆腐。

王大妈用黄豆去换豆腐，连同篮子一共称得2千克，换回的豆腐连同这个篮子共重6千克，在这次交易中王大妈（）A.赚了B.亏了C. 不赚不亏D.赚了还是亏了不能确定5. 五个同样的小长方形拼成一个大长方形（如右图），这个大长方形长和宽的比是（）A ．6 ：5B ．4 ：3C ．5 ：3D ．5 ：46. 下图中每个小方格表示1平方厘米，左起第（）个图形的面积与其它三个不相等。

A．1 B．2C．3 D．47. 在玛格内行星上，人们使用migs、mags及mogs为钱币。

已知1mags=8migs，1mogs=6mags。

请问10mogs + 6mags=（）migs。

A. 108B.240C.480D.5288.左下图是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度相同），右下图表示的是容器中水的高度随滴水时间变化的情况（图中刻度、单位都相同）。

下列对应中正确的是（）A．⑴—(a) B. ⑵—(b) C. ⑶—(c) D. ⑷—(d)⑴⑵⑶⑷ (a) (b)(c) (d)三、填空（每题2分，共10分）9. 一幢办公楼原有5台空调，现在又安装了1台，如果这6台空调全部打开就会烧断保险丝，因此最多只能同时使用5台空调。

这样，在24小时内平均每台空调可使用（）小时。

2012年小学数学毕业升学考试卷[1]

2012年春季学期六年级数学综合训练卷（一）一、判断题。

（共7分）1、王师傅生产110格零件，其中100格式合格的，合格率是100%。

（）2、两人同去买一本书，东东用了自己钱的54，明明用去了自己钱的65，东东带的钱一定比明明多。

（）。

3、有大小两个不同的圆，大圆的周长与直径的比的比值，一定大于小圆的周长与直径的比的比值。

（）4、a是一个非0自然数，那么2a+1一定是个奇数。

（）5、6时15分时，时针与分针所成的一个较小的夹角恰好是直角。

（）6、一个圆柱体的铁块重60克，从这个圆柱体上截下一个最大的圆锥体，剩下部分的铁块的重量是20克。

（）7、在地图上，上海在北京的南偏东约300的方向上，那么北京一定在上海的北偏西约300的方向上。

（）二、选择题。

（7分）1、王小天有若干张10元、5元的纸币，这两种纸币张数相同，那么王小天可能有（）元钱。

A、50B、51C、75D、1002、估计与288.9×1.756的积最接近的数是（）A、400B、500C、600D、10003、一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（）A、周长不变，面积变大。

B、周长不变，面积也不变。

C、周长变小，面积变小，D、周长不变，面积变小。

4、把一个正方形的纸连续对折4次，折后的每一小块占这张正方形纸的（）。

A、41B、81C、161C、3215、下列各数量关系中，成正比例关系的有（）。

A、路程一定，时间和速度。

B、圆的半径和它的面积。

C、运送一批货物，运走的炖熟和剩下的吨数。

D、买同样的书，应付的钱数与所买的本数。

6、在一副52张的扑克牌中（没有大、小王）任意抽取一张，抽出的这张牌是K的可能性是（）。

A、521B、91C、41D、1317、有一个棱长是4厘米的正方形，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体表面积和原来的表面积相比较，（）。

A、大了B、小了C、不变D、无法确定一、填空题。

六年级数学试卷及答案 [2012年六年级数学毕业考试模拟试卷1(北师大版)]

六年级数学试卷及答案 [2012年六年级数学毕业考试模拟试卷1(北师大版)]学校班级姓名考号密封线 2011-2012学年度小学毕业考试试卷数学试题题号一二三四五六总分得分得分评卷人温馨提示：亲爱的同学们，智慧之旅就要开始了！准备好了吗？本卷满分120分，答题时间90分钟。

一、计算部分（46分） (一）直接写出得数（10分） 3.8+6.2= 8.1÷3×2= 568－198= 0.65÷1.3= 75×10%= 1．（二）用递等式计算，能简算的简算（18）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（42×29+71×42）÷35 （三）求未知数x （6分）（1）（2）（四）列式计算（12分） 1、甲数与乙数的比是2：3，甲数是，乙数是多少？2、甲数的比乙数的25%多40，已知乙数是160，求甲数是多少？3、180比一个数的50﹪多10，这个数是多少？得分评卷人 4、120的20%比某数的少24，求某数？二、操作部分（13分） 1．下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求画图。

⑴用数对表示点A、B的位置：A（，）；B （，）。

⑵将圆A先向（）平移（）厘米，再向（）平移（）厘米就可以和圆B重合。

⑶以点P为一个顶点，画一个面积是12平方厘米的等腰梯形。

2．某文化宫广场周围环境如右图所示：⑴文化宫东面350米处，有一条商业街与人民路互相垂直。

在图中画直线表示这条街，并标上：商业街。

⑵体育馆在文化宫（）偏（）45°（）米处。

⑶李小明以60米/分的速度从学校沿着人民路向东走，3分钟后他在文化宫（）面（）米处。

三、综合问题部分（28分）（一）我会填，相信聪明的你是最棒的！（20分） 1、=24：（）=0.8=（）÷10=（）%=( )成 2、六（1）班今天到校48人，请病假1人，请事假1人，该班出勤率是（）% 3.、把周长为12.56厘米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是（）厘米 4、江州市南北长约60千米，在比例尺是1:250000的地图上长度约是( ) 厘米。

2012年普通高中毕业班综合测试(一)及答案

2012年普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为A．3B．C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．8 9．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点， 3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos2α的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）5 121 22 图2图4图3如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu r g ≤15，求2212S S -的取值范围．图5BPACD2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14．15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分 tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解法1：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分所以2cos 22cos 1αα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-．………………………………………………………………………12分解法2：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………………………………………………………………11分 143145-==-+．……………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=．………………………………………………1分解得0.03a =．……………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人． …………………………………………………………………5分（3）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ．……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………………11分所以所求概率为()715P M =．…………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………2分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC ，所以BE ===………………………………………………………4分所以△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=……………………………………………………5分因为2=PD ，所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯123=⨯=7分（2）证法1：因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．因为2PD =，3CD =，所以PC ===9分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===10分由（1）知PD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ．在Rt △PBD 中，因为90PDB ∠=o，2PD=，BD =，所以PB ===12分BPACD E在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =，所以222BC PB PC +=．………………………………………………………………………………13分所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分证法2：连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===8分在△BCD 中，3CD =，BC =BD =，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．………………10分由（1）知PD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．…………………………………………………………………………………12分因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n d =+-，()112n n n S na d -=+．……………………………………………………1分依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分解得16a =，4d =．……………………………………………………………………………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………………………………6分（2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．…………………………………………………8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L BPACD E1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <．………………………………………………11分因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．………………………………12分所以116n T T ≥=．………………………………………………………………………………………13分所以1368n T ≤<．…………………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：因为32()f x x ax b =-++，所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭．……………………1分当0a =时，()0f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分当0a >时，令()0f x '>，得203a x <<．故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………………………………………………………3分当0a <时，令()0f x '>，得203ax <<．故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………………………4分综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………5分（2）解：，由（1）知，[]3,4a ∈时，()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =，……………………………………………………7分函数()f x 在23ax =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………8分由于对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，所以()00,20.3fa f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b a b <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分解得34027a b -<<．……………………………………………………………………………………11分因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分所以实数b 的取值范围是()4,0-．……………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分整理，得()22224240kxk x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k +=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤ ，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x-=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．。

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