弹塑性力学-6_弹塑性平面问题
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(E) ( p)
上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。
简单的弹塑性问题
§6.2 薄壁筒的拉扭联合变形
考察薄壁圆筒承受拉力P 和扭矩T 联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐 标，取z 轴与筒轴重合。设壁厚为h ，筒的内外平均半径为R ，则筒内应力 为：
z P / 2Rh, z T / 2R 2 h,
因此，可以引进弹性应力函数 e ，使有
yz
Βιβλιοθήκη Baidu
6 90
6 91
6 92
e e xz , yz , y x
则平衡方程自动满足，而协调方程（6-90）化为
2 e 2G ,
2 2 式中 2 2 为Laplace算子. x y
化后得应力-应变关系为
1 2
/ 2 2 , / 2 2
(6 27)
简单的弹塑性问题
三 、算例和比较 在图6-2中，有三条不同的加载路径从原点O 到达点C ( 1, 1)
在弹性范围内， , ，屈服条件（6-18）在应变空间中写出就是
（6-9）
简单的弹塑性问题
（b）对于等向强化材料，后继屈服函数为 ( ij, ha ) ，则 弹性区： ( ij ) 0。d ij 塑性区： ( ij ) 0，
1 v d ij d kk ij ; 2G E
deij
1 dsij d , 2G ij
简单的弹塑性问题
二、按全量理论求解
2 由于假设了材料不可压， v 1 / 2，故 ij eij 由（5-63）式 sij ij
在本问题中用分量写出来就是：
3
2 2 z z , z z , 3 3 3
(6 26)
s 3 s ; 而 r z , 将(6-26)式按(6-16)式无量纲
2
6 93
简单的弹塑性问题
在弹性力学中，研究了 e 和Poisson方程（6-93）并导致以下结论
2 2 xz yz i.) 合剪应力大小：
e e grad e , x y
2
2
6 94
ii）合剪应力的方向沿 e=const曲线的切向，也就是与 的梯度方向相垂直。 e
iii）柱体截面的周界也是 e =const曲线族之一，对单连通截面可令周界上
e 0
iv）扭矩T与 e 的关系可按St.Venant 条件求得：
T 2 Ae dxdy,
其中A为柱体的一个截面。
z / s , z / s ,
在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出
(6-16)
,
(6 17)
1 2 2 2 J 进入塑性以后，Mises 屈服条件： 2 z z s 3
可化为：
简单的弹塑性问题
2 2 1
(6 18)
下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。 一、按增量理论求解 对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
1 2 d z d z d z , E 3 1 1 d z d z d z 2 2G
1 1 1 0 0 ln 2 1 0 1
类似地，对于阶段bc ,
c a
O b
d
图 6-1
1 1 1 0 0 ln 2 1 0 1 0
(6 25)
~ 关系或 ~
关系。
简单的弹塑性问题
例如对于实验中经常采用的阶梯变形路径（图6-1），考虑 保持常数的阶段 ab 上，设在a点有 0， 0，由于在ab上 d 0,
方程（6-22）变为： d d /(1 ),
2
e
(6 24)
积分并利用a点的已知条件，得出：
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
简单的弹塑性问题
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
刚到达屈服，同时满足 1和 由此得出在D点时的应力为：
2 2
1 2
0.707。
不难证明沿 DC 段皆有 ，即应力值不变，在C点也就仍为
1 v f ( ij ) 0，d ij d ij d kk ij ; 2G E f ( ij ) 0，
1 f deij dsij d , 2G ij
1 2v d kk d kk , E
f df d ij 0, 0, ij d 0, df f d 0, ij ij
2 2 1。可见图中的阴影区域是弹性范围。
（1）用增量理论求解 路径①沿OBC。在B点有 0 0, 0 0。 A ② D ① C
1 在BC段上有 1 ln , ③ 2 1 e2 y 1 解出 2y tanh , e 1 O 2 e 在C点 1 0.76, 1 2 0.65 (6 30) e2 1
简单的弹塑性问题
§6.5
柱体的弹塑性自由扭转
一、研究范围和基本方程
考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩 T作用下的自由扭转问题。
假定截面是单连通的，取柱体的轴线为 z 轴。
实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转 的假定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但 可以发生轴向自由翘曲。 以 表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为
6 95
v）Prandtl 薄膜比拟：将薄膜张于与柱体截面边界形状相同的边框上，加 均匀压力，则 与薄膜的高度成正比， 的大小与薄膜的斜率成正比，
e
扭矩T 与薄膜曲面下的体积成正比。
二、弹塑性增量理论的边值问题
i) 在V内的平衡方程
d ij, j dFi 0
1 d ij (dui , j du j ,i ) 2
(6 7)
ii) 在V内的几何关系（应变位移的增量关系）：
(6 8)
简单的弹塑性问题
iii) 在V内的增量本构关系：
(a) 对于理想塑性材料，屈服函数为 f ( ij )，则 弹性区： 塑性区：
ij, j Fi 0; i) 在V内的平衡方程: ii) 在V内几何关系（应变-位移关系）:
ij
iii) 在V内全量本构关系:
6 1
6 2
1 ui , j u j ,i ; 2
2 sij eij , 3 E kk kk , 1 2
（6-10）
1 2v d kk d kk , E d d ij 0, 0, ij d hd , d d 0, ij ij
简单的弹塑性问题
iv）在ST 上的应力边界条件： d ijl j dTi ; v）在Su 上的位移边界条件：
塑性力学
第 6 章
简单的弹塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
§6.2 薄壁筒的拉扭联合变形
§6.5 柱体的弹塑性自由扭转
§6.6 受内压的厚壁圆筒
§6.7 旋转圆盘
简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
一、弹塑性全量理论边值问题
设在物体V内给定体力 Fi ，在应力边界 ST 上给定面力Ti ，在位移 边界Su 上给定位移 u i ，要求应力 ij ，应变 ij ，位移 ui ，它们满足 以下方程和边条件：
无量纲化后得到：
(6-19)
d d d , d d d , d d d d
(6-20)
消去 d 得：
(6 21)
简单的弹塑性问题
2 由（6-18）式知 1 及 d d 0,
故
d d d / 1 2
u yz,
xz, x, y ;
其中 x, y 是截面的翘曲函数
(6-84)
从小应变下的Cauchy公式得出应变为：
简单的弹塑性问题
(6-85)
此式与材料的本构关系无关，不论是弹性还是塑性时都成立。
在弹性时按Hooke定律求得： (6-86)
在进入塑性之后，恒有 dex dey dez dexy 0, 按照增量本构关系，从刚进入塑性开始， 可以推知 d x d y d z d xy 0, 进而在变形的一切阶段均有
d d 1 2 ( 1 2 ) d d (6 22)
(6 23)
从（6-21）式中消去 和 d ，就有：
同样地，
d d 1 2 ( 1 2 ) d d
如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路 径 ( ) 则积分（6-22）或（6-23）式就可得到
(6 15)
其余应力分量均为0。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、 扭）只与一个应力分量有关，调整P 和T 之间的比值，即可得到应力分量间的 不同比例。 假设材料是不可压缩的（v =1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下无量纲量：
z / s , z / s ,
x y z xy 0,
简单的弹塑性问题
即在塑性阶段不为零的应力分量仍只有
xz 和 yz
2 2 J1 0, J 2 xz yz , J 3 0,
6 87
6 88
且主应力为：
2 2 1 xz yz , 2 0, 3 ,
其中
为合剪应力。
可见，在扭转时柱体各点的应力状态始终是纯剪切，这是一个 简单加载过程。
简单的弹塑性问题
二、弹性扭转和薄膜比拟
从（6-85）式中消去翘曲函数，得协调方程
yz x
xz 2 , y
6 89
或由（6-86）式得到的应力分量表示的协调方程
xz 2G . x y xz yz 0. 同时，只有一个平衡方程 x y
(6 11)
(6 12)
dui d u i ;
vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面 的法向为ni ，则在 上有： (a)法向位移连续条件 dui ni dui ni ; (b)应力连续条件
(E) ( p)
(6 13)
(6 14)
d ij ni d ij ni ;
(6-3)
简单的弹塑性问题
iv) 在
ST上的应力边界条件: ijl j Ti , ST 外法线的单位向量；
ui u i
(6 4)
其中 l j 是 v) 在
S u上位移边界条件：
(6 5)
由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法 基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系（6-3）式。
0.707, 0.707
（2）用全量理论求解
(6 31)
1 亦即 2 (6 32)
C点的应变 1 代入（6-27）式得出
0.707, 0.707
由以上的结果可知：
i）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同； ii）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。
上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。
简单的弹塑性问题
§6.2 薄壁筒的拉扭联合变形
考察薄壁圆筒承受拉力P 和扭矩T 联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐 标，取z 轴与筒轴重合。设壁厚为h ，筒的内外平均半径为R ，则筒内应力 为：
z P / 2Rh, z T / 2R 2 h,
因此，可以引进弹性应力函数 e ，使有
yz
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6 90
6 91
6 92
e e xz , yz , y x
则平衡方程自动满足，而协调方程（6-90）化为
2 e 2G ,
2 2 式中 2 2 为Laplace算子. x y
化后得应力-应变关系为
1 2
/ 2 2 , / 2 2
(6 27)
简单的弹塑性问题
三 、算例和比较 在图6-2中，有三条不同的加载路径从原点O 到达点C ( 1, 1)
在弹性范围内， , ，屈服条件（6-18）在应变空间中写出就是
（6-9）
简单的弹塑性问题
（b）对于等向强化材料，后继屈服函数为 ( ij, ha ) ，则 弹性区： ( ij ) 0。d ij 塑性区： ( ij ) 0，
1 v d ij d kk ij ; 2G E
deij
1 dsij d , 2G ij
简单的弹塑性问题
二、按全量理论求解
2 由于假设了材料不可压， v 1 / 2，故 ij eij 由（5-63）式 sij ij
在本问题中用分量写出来就是：
3
2 2 z z , z z , 3 3 3
(6 26)
s 3 s ; 而 r z , 将(6-26)式按(6-16)式无量纲
2
6 93
简单的弹塑性问题
在弹性力学中，研究了 e 和Poisson方程（6-93）并导致以下结论
2 2 xz yz i.) 合剪应力大小：
e e grad e , x y
2
2
6 94
ii）合剪应力的方向沿 e=const曲线的切向，也就是与 的梯度方向相垂直。 e
iii）柱体截面的周界也是 e =const曲线族之一，对单连通截面可令周界上
e 0
iv）扭矩T与 e 的关系可按St.Venant 条件求得：
T 2 Ae dxdy,
其中A为柱体的一个截面。
z / s , z / s ,
在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出
(6-16)
,
(6 17)
1 2 2 2 J 进入塑性以后，Mises 屈服条件： 2 z z s 3
可化为：
简单的弹塑性问题
2 2 1
(6 18)
下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。 一、按增量理论求解 对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
1 2 d z d z d z , E 3 1 1 d z d z d z 2 2G
1 1 1 0 0 ln 2 1 0 1
类似地，对于阶段bc ,
c a
O b
d
图 6-1
1 1 1 0 0 ln 2 1 0 1 0
(6 25)
~ 关系或 ~
关系。
简单的弹塑性问题
例如对于实验中经常采用的阶梯变形路径（图6-1），考虑 保持常数的阶段 ab 上，设在a点有 0， 0，由于在ab上 d 0,
方程（6-22）变为： d d /(1 ),
2
e
(6 24)
积分并利用a点的已知条件，得出：
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
简单的弹塑性问题
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
刚到达屈服，同时满足 1和 由此得出在D点时的应力为：
2 2
1 2
0.707。
不难证明沿 DC 段皆有 ，即应力值不变，在C点也就仍为
1 v f ( ij ) 0，d ij d ij d kk ij ; 2G E f ( ij ) 0，
1 f deij dsij d , 2G ij
1 2v d kk d kk , E
f df d ij 0, 0, ij d 0, df f d 0, ij ij
2 2 1。可见图中的阴影区域是弹性范围。
（1）用增量理论求解 路径①沿OBC。在B点有 0 0, 0 0。 A ② D ① C
1 在BC段上有 1 ln , ③ 2 1 e2 y 1 解出 2y tanh , e 1 O 2 e 在C点 1 0.76, 1 2 0.65 (6 30) e2 1
简单的弹塑性问题
§6.5
柱体的弹塑性自由扭转
一、研究范围和基本方程
考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩 T作用下的自由扭转问题。
假定截面是单连通的，取柱体的轴线为 z 轴。
实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转 的假定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但 可以发生轴向自由翘曲。 以 表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为
6 95
v）Prandtl 薄膜比拟：将薄膜张于与柱体截面边界形状相同的边框上，加 均匀压力，则 与薄膜的高度成正比， 的大小与薄膜的斜率成正比，
e
扭矩T 与薄膜曲面下的体积成正比。
二、弹塑性增量理论的边值问题
i) 在V内的平衡方程
d ij, j dFi 0
1 d ij (dui , j du j ,i ) 2
(6 7)
ii) 在V内的几何关系（应变位移的增量关系）：
(6 8)
简单的弹塑性问题
iii) 在V内的增量本构关系：
(a) 对于理想塑性材料，屈服函数为 f ( ij )，则 弹性区： 塑性区：
ij, j Fi 0; i) 在V内的平衡方程: ii) 在V内几何关系（应变-位移关系）:
ij
iii) 在V内全量本构关系:
6 1
6 2
1 ui , j u j ,i ; 2
2 sij eij , 3 E kk kk , 1 2
（6-10）
1 2v d kk d kk , E d d ij 0, 0, ij d hd , d d 0, ij ij
简单的弹塑性问题
iv）在ST 上的应力边界条件： d ijl j dTi ; v）在Su 上的位移边界条件：
塑性力学
第 6 章
简单的弹塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
§6.2 薄壁筒的拉扭联合变形
§6.5 柱体的弹塑性自由扭转
§6.6 受内压的厚壁圆筒
§6.7 旋转圆盘
简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
一、弹塑性全量理论边值问题
设在物体V内给定体力 Fi ，在应力边界 ST 上给定面力Ti ，在位移 边界Su 上给定位移 u i ，要求应力 ij ，应变 ij ，位移 ui ，它们满足 以下方程和边条件：
无量纲化后得到：
(6-19)
d d d , d d d , d d d d
(6-20)
消去 d 得：
(6 21)
简单的弹塑性问题
2 由（6-18）式知 1 及 d d 0,
故
d d d / 1 2
u yz,
xz, x, y ;
其中 x, y 是截面的翘曲函数
(6-84)
从小应变下的Cauchy公式得出应变为：
简单的弹塑性问题
(6-85)
此式与材料的本构关系无关，不论是弹性还是塑性时都成立。
在弹性时按Hooke定律求得： (6-86)
在进入塑性之后，恒有 dex dey dez dexy 0, 按照增量本构关系，从刚进入塑性开始， 可以推知 d x d y d z d xy 0, 进而在变形的一切阶段均有
d d 1 2 ( 1 2 ) d d (6 22)
(6 23)
从（6-21）式中消去 和 d ，就有：
同样地，
d d 1 2 ( 1 2 ) d d
如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路 径 ( ) 则积分（6-22）或（6-23）式就可得到
(6 15)
其余应力分量均为0。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、 扭）只与一个应力分量有关，调整P 和T 之间的比值，即可得到应力分量间的 不同比例。 假设材料是不可压缩的（v =1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下无量纲量：
z / s , z / s ,
x y z xy 0,
简单的弹塑性问题
即在塑性阶段不为零的应力分量仍只有
xz 和 yz
2 2 J1 0, J 2 xz yz , J 3 0,
6 87
6 88
且主应力为：
2 2 1 xz yz , 2 0, 3 ,
其中
为合剪应力。
可见，在扭转时柱体各点的应力状态始终是纯剪切，这是一个 简单加载过程。
简单的弹塑性问题
二、弹性扭转和薄膜比拟
从（6-85）式中消去翘曲函数，得协调方程
yz x
xz 2 , y
6 89
或由（6-86）式得到的应力分量表示的协调方程
xz 2G . x y xz yz 0. 同时，只有一个平衡方程 x y
(6 11)
(6 12)
dui d u i ;
vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面 的法向为ni ，则在 上有： (a)法向位移连续条件 dui ni dui ni ; (b)应力连续条件
(E) ( p)
(6 13)
(6 14)
d ij ni d ij ni ;
(6-3)
简单的弹塑性问题
iv) 在
ST上的应力边界条件: ijl j Ti , ST 外法线的单位向量；
ui u i
(6 4)
其中 l j 是 v) 在
S u上位移边界条件：
(6 5)
由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法 基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系（6-3）式。
0.707, 0.707
（2）用全量理论求解
(6 31)
1 亦即 2 (6 32)
C点的应变 1 代入（6-27）式得出
0.707, 0.707
由以上的结果可知：
i）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同； ii）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。