高二数学上学期期末考试试题理22

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浙江省2022学年高二上学期期末考试数学试题含解析

第一学期期末考试试题高二数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程可直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以其准线方程为.故选A 【点睛】本题主要考查抛物线的准线，属于基础题型.2.已知，，，，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式性质，即可判断出结果.【详解】因为，由不等式性质易得：.故选B.【点睛】本题主要考查不等式性质，也可用特殊值法逐项排除，属于基础题型.3.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由含绝对值不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，求解时通常去绝对值得到不等式组；也可两边同时平方进而转化为一元二次不等式求解，属于基础题型.4.直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐项判断即可.【详解】A.如果直线，都与平面相交，且直线，异面，则其投影可能互相平行，所以A 错；B.在正方体中与垂直，但与不垂直，即投影垂直，但原直线不一定垂直，所以B错；C.当空间中的两条直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影都是相互平行或重合的，又因为直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，说明，不重合，所以，只能平行，所以C正确；D.时，与可能是异面，故D错；故选C【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，以及直线在面上的投影问题，结合空间几何体分析即可，属于基础题型.5.已知函数，函数的最小值等于（）A. B. C. 5 D. 9【答案】C【解析】【分析】先将化为，由基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，当且仅当，即时，取等号.故选C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.6.某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）A. 圆锥与圆柱的组合B. 棱锥与棱柱的组合C. 棱柱与棱柱的组合D. 棱锥与棱锥的组合【答案】D【解析】【分析】直接从正视图判断即可.【详解】正视图由一个三角形和一个矩形拼接而成，因此上方可能是一个棱锥、圆锥、或三棱柱；下方可能是一个棱柱或圆柱；故这个几何体不可能是棱锥与棱锥的组合.故选D.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体是常考题型，熟记简单几何体的三视图即可，难度不大.7.如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，，所以在正三棱柱中，平面；又是的中点，所以,所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，，所以.故选C.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.8.如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】先由是的中点，是的中点,可得,；再由勾股定理求出，进而表示出，再由双曲线的定义即可求出结果.【详解】因为是的中点，是的中点，所以；又，所以有，所以，所以，由双曲线的定义知：，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义，熟记双曲线定义结合题意即可求解，属于常考题型.9.过双曲线的右焦点作斜率为的直线，交两条渐近线于，两点，若，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意求出直线的方程，再与双曲线的渐近线方程联立求出A,B两点的横坐标，根据，即可求出结果.【详解】设双曲线右焦点为，则过该点斜率为的直线方程为：；又双曲线的渐近线的方程为：，所以由题意，联立可得；联立可得；因为，所以,解得，所以离心率.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，只需要直线与双曲线渐近线方程联立，求出交点坐标，根据题中条件，即可求解，属于常考题型.10.正四面体的棱与平面所成角为，其中，点在平面内，则当四面体转动时（）A. 存在某个位置使得，也存在某个位置使得B. 存在某个位置使得，但不存在某个位置使得C. 不存在某个位置使得，但存在某个位置使得D. 既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得【答案】B【解析】【分析】由线面垂直与线面平行的判定，结合反证法，即可得出结果.【详解】当正四面体过点的高与平面垂直时，平面平面，所以平面；若平面，因为正四面体中，所以平面，或平面，此时与平面所成角为0，与条件矛盾，所以不可能垂直平面；故选B【点睛】本题主要考查直线与平面平行与垂直的判定，在验证与平面是否垂直时，可借助反证的思想来解决，属于中档试题.二、填空题（本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知，则_______，______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由向量运算的坐标表示求出的坐标，再由向量模的坐标运算即可求出.【详解】因为，，所以，所以.故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，以及向量模的坐标运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.12.南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若，则.例如，，使用一次“调日法”得到分数，范围就缩小到.若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法”________次，相应得到的的近似分数是______.【答案】 (1). 二 (2).【解析】【分析】依题意按顺序使用调日法，得到的近似数，判断与的大小关系，直到误差小于0.1即可. 【详解】第二次使用调日法可得：，所以，此时，所以需要再次使用调日法，可得：，所以，此时，满足题意，所以又使用了2次调日法，且此时的近似分数是.故答案为(1). 二 (2).【点睛】本题主要考查归纳推理，依题意合理递推即可，属于基础题型.13.若抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是_______.【答案】或【解析】【分析】先求出直线与轴以及轴交点，即抛物线的焦点，从而可写出抛物线方程.【详解】因为直线与轴交点为，与轴交点为，所以当抛物线焦点为时，抛物线方程为；当抛物线焦点为时，抛物线方程为.故答案为或【点睛】本题主要考查求抛物线的标准方程，熟记抛物线标准方程的几种形式即可求出结果，属于基础题型.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为________，表面积为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先由几何体的三视图判断该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，由公式计算表面积和体积即可.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，且球的半径为1，三棱柱的底面是直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以体积为；表面积为；故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的表面积和体积，先根据三视图确定几何体的形状，再由面积公式和体积公式求解即可，属于常考题型.15.正方体的棱长为4，点是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则_______.【答案】1【解析】【分析】由空间向量的方法，根据异面直线与所成角的余弦值为，即可求出的长.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴,方向为轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则，解得，即.故答案为1【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.16.已知.若，则当取最大值时，________；若，则的最小值______.【答案】 (1). (2). 9【解析】【分析】先将化为，即可求出的最大值，以及此时的；由化为，结合题意求出此时的范围，再由用表示出，代入，结合基本不等式即可求解.【详解】由可得，即，又，当且仅当即时，取等号；所以，整理得：，因为，所以，即最大值为，联立得；由得，由得，所以，又由得，所以，当且仅当，即时，取等号.故答案为(1)；（2）【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值的问题是比较常见的一种题型，有时需要借助基本不等式的变形，所以需要考生灵活运用基本不等式来处理，属于中档试题.17.已知椭圆的离心率大于，是椭圆的上顶点，是椭圆上的点，则的最大值_______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的参数方程设点，再由椭圆标准方程写出点坐标，由两点间距离公式，即可表示出，求解即可.【详解】因为椭圆的上顶点为，由椭圆的参数方程设，所以，所以当时，取最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程的应用，由参数方程设出点的坐标，由两点间距离公式表示出，即可求其最值，属于中档试题.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【解析】【分析】（1）依题意确定等量关系即可列出，所应该满足的条件；（2）由题意得出目标函数，结合(1)中约束条件作出可行域，结合可行域即可求出最值.【详解】（1）由题意可得：；（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；画出可行域易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，即可求解，属于基础题型.19.如图，三棱锥中，，分别是，的中点.（1）求证平面；（2）若，平面平面，，求证：.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，从而可得. 【详解】（1）由、分别是、的中点得，又在平面外，所以平面（2）由，是中点得由平面平面得点在平面内的射影在上.平面∴【点睛】本题主要考查线面平行与线面垂直，熟记判定定理和性质定理，即可判断出结果.20.已知椭圆上的点（不包括横轴上点）满足：与，两点连线的斜率之积等于，，两点也在曲线上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，求；（3）求椭圆上的点到直线距离的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题中与，两点连线的斜率之积等于列出等量关系，化简整理即可求出结果；（2）先求出过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆方程，求出交点横坐标，再由弦长公式即可求出结果；（3）设出与直线平行、且与椭圆相切的直线方程，代入椭圆方程，由判别式等于0，求出切线方程，再由两条平行线间的距离公式求解即可.【详解】（1）因为与，两点连线的斜率之积等于所以，，整理得：即为所求;（2）由题意可得过椭圆的右焦点且斜率为1的直线为，代入椭圆方程得，化简整理得，所以，或∴（3）设是椭圆的切线，代入椭圆方程得：则，即由得.直线与距离为，所以当时，距离最小为.【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，由题意列出方程化简即可求出结果；第二问求弦长，通常需要联立直线与曲线方程，结合弦长公式求解；第三问求椭圆上的点到定直线上的距离的问题，可转化为求与定直线平行切与椭圆相切的直线方程，再由两平行线间的距离公式求解即可，属于常考题型.21.如图，四棱锥中，是边长等于2的等边三角形，四边形是菱形，，，是棱上的点，.，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理，即可证明平面；（2）先证明、、两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由向量夹角余弦值即可确定线面角的正弦值.【详解】（1）取中点，连结，，因为，是的中点，所以，，又，不在平面内，在平面内，所以平面，平面，又交于点；所以平面平面，∴平面.（2）∵，，故.又，，，从而.从，可得平面平面平面，，平面以、、为、、轴建系得，，，，, 则，,,设平面的法向量为，则，即，令，则，记直线与平面所成角为，所以有，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定，以及空间向量的方法求线面角，需要考生熟记判定定理即可证明线面平行；对于线面角的求法，常用向量的方法，建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量夹角即可确定线面角，属于常考题型.22.过斜率为的直线交抛物线于，两点.（1）若点是的中点，求直线的方程；（2）设是抛物线上的定点，，不与点重合.①证明恒成立；②设，交直线于，两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】（1）由点差法求出直线的斜率，再由点斜式即可写出直线方程；（2）①依题意联立直线与抛物线方程，由韦达定理，直接求，的斜率之积即可；②由①分别设出直线，的斜率，由直线与直线联立求出横坐标，进而求出的横坐标，再由即可求出结果.【详解】（1）由题意可得：∴方程为，即（2）①联立直线与抛物线方程并整理得：∴，.所以，②设，的斜率分别为，.则由得：，所以所以或∴.的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，求直线的方程通常只需要求出斜率和定点即可；判断直线垂直，通常只需两直线斜率之积为-1，在处理此类问题时，也会用到联立直线与曲线方程，结合韦达定理求解，属于常考题型.。

宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2022高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

A.3，8，13B.2，7，12C.3，9，15D.2，6，12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．
【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5，
当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2，
因为或，所以逆命题为假命题，则否命题为假命题.
即2个真命题.
故选B
【点睛】本题考查命题的四种形式的真假判断，属于较易题.
2.命题“若，则 ”的否命题为（）
A.若，则且 B.若，则或
C.若，则且 D.若，则或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为原命题条件, 为原命题结论,则否命题:若非则非 ,即可求得答案.
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式，得或 .当时，或成立，原命题成立.当或时，不成立，逆命题不成立.根据原命题与其逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题，并且互为逆否命题的两个命题真假性相同.则可判断真命题的个数.
【详解】因为，所以或 .
因为或，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题.
【分析】
首先求得样本中心点，然后利用回归直线过样本中心点即可得最终结果.
【详解】由题意可得：
，
回归直线过样本中心点，
则，解得，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线过样本中心点，属于简单题目.
4.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二(普通班)上学期期末考试数学(理)试题解析版

OP AB（O为原点）AC，EC⊥平面ABCD，AB【解析】解法一：由解得71141767482141314722S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩1408492449a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以；21408212024217249249S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭解法二：，，7127S a a a =++⋅⋅⋅+1478914777S S a a a S d -=++⋅⋅⋅+=+⨯，所以，，成等差数21141516217714S S a a a S d -=++⋅⋅⋅+=+⨯7S 147S S -2114S S -列，公差为，由等差中项定义得，即49d ()147721142S S S S S -=+-，解得.故选：B()21272484872S ⨯-=+-2172S =6.【答案】A【解析】因为PF ⊥x 轴，所以P .又OP ∥AB ，所以，即b =c .2b b a a =于是b 2=c 2，即a 2=2c 2.所以.22c e a ==7.【答案】C【解析】因为△ABF 2的周长为8，所以|AB |+|AF 2|+|BF 2|=8⇒|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=8⇒（|AF 1|+|AF 2|）+（|BF 1|+|BF 2|）=8，由椭圆的定义可知，|AF 1|+|AF 2|=2a ，|BF 1|+|BF 2|=2a ，所以2a +2a =8⇒a =2，由题意可得，23ab ππ=解得，3b =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为.22143x y +=8.【答案】C【解析】设点，由题意知，(),P x y 222122222223y y y y b k k a y x a x a x a ab ⋅=⋅====-+-所以其渐近线方程为，故选C.3y x =±9.【答案】D【解析】由得，22214b e a =+=3ba =则双曲线的渐近线方程为，3y x =±即，抛物线的焦点坐标为，30x y ±=2C 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭则有，解得，22p =8p =故抛物线C 2的方程为x 2=16y .10.【答案】A11.【答案】C【解析】∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|=3∶4∶5，不妨令|AB |=3，|BF 2|=4，|AF 2|=5，∵|AB |2+|BF 2|2=|AF 2|2，∴∠ABF 2=90°，又由双曲线的定义得|BF 1|-|BF 2|=2a ，|AF 2|-|AF 1|=2a ，∴|AF 1|+3-4=5-|AF 1|，∴|AF 1|=3，∴2a =|AF 2|-|AF 1|=2，∴a =1，|BF 1|=6.在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=36+16=52，又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52，13,13c e ∴=∴=12.【答案】D【解析】设点P （x 0，y 0），由于点P 是抛物线x 2=8y 上任意一点，则x =8y 0（y 0≥0），∵点A （0，3），则|PA |2=x +（y 0-3）2=8y 0+（y 0-3）2=y +2y 0+9，由于点Q 是圆x 2+（y -2）2=1上任意一点，要使的值最小，∴2||PA PQ则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，PQP PQ则，()()222max 00000||218213PQ x y y y y =+-+=+-+=+.()()()222000000003431229||1234333y y y y PA y PQ y y y +-++++∴≥==++-+++，经检验满足条件，()()()000012123234333y y y y ++≥+⋅=++ 的最小值为.2||PA PQ∴434-【解析】如图，抛物线焦点为联立消去y 得x 2-2px -p 2=0，∴x 1=（1+）p ，x 2=（1-）p .2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22∴|AD |+|BC |=y 1+y 2=x 1++x 2+=2p +p =3p ，|CD |=|x 1-x 2|=2p .2p 2p2由S 梯形ABCD =（|AD |+|BC |）·|CD |=·3p ·2p =12，解得p 2=4，∴p =±2.121222∵p >0，∴p =2.17.【答案】（1）方程m ：（a +2）x +（1-2a ）y +4-3a =0可化为a （x -2y -3）+（2x +y +4）=0，要使a 有无穷多个解，必须有解得230,240,x y x y --=⎧⎨++=⎩1,2.x y =-⎧⎨=-⎩无论a 取何值，（-1，-2）都满足方程，故直线m 过定点M （-1，-2）.（2）设直线n ：，1x ya b +=则解得121,14,2a b ab --⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,4,a b =-⎧⎨=-⎩故直线n ：，即2x +y +4=0.124x y+=--所以当直线n 为2x +y +4=0时，三角形的面积为4.18.【答案】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由得4x 2+4（m -1）x +m 2=0，22,4,y x m y x =+⎧⎨=⎩由根与系数的关系，得x 1+x 2=1-m ，x 1·x 2=，24m ∴|AB |=|x 1-x 2|=21k +()22121214k x x x x ++-==，222+()22144m m --⨯()512m ⨯-∵|AB |=3，∴=3，解得m =-4.5()512m -5（2）设P （a ，0），P 到直线AB 的距离为d ，则d ==，()2220421a --+-225a -又S △ABP =|AB |·d ，则d =，∴=，122ABP S AB ⋅ 225a -2935⨯∴|a -2|=3，∴a =5或a =-1，故点P 的坐标为（5，0）或（-1，0）.19.【解析】（1）由题意得S n =n 2+2n ，当n >1时，a n =S n -S n -1=（n 2+2n ）-[（n -1）2+2（n -1）]=2n +1；当n =1时，a 1=S 1=3，满足上式，所以a n =2n +1（n ∈N *）.（2）由题意得b n =3n -1，又由（1）可知a n =2n +1，故a n b n =（2n +1）3n -1，所以T n =3×30+5×31+7×32+…+（2n +1）×3n -1，3T n =3×31+5×32+7×33+…+（2n +1）×3n ，两式相减，得-2T n =3+2（31+32+33+…+3n -1）-（2n +1）×3n=3+2×-（2n +1）×3n ，-13(1-3)1-3n =-2n ·3n所以T n =n ·3n .20.【答案】解（1）设点F （c ，0），因为直线AF 的斜率为，A （0，-2），233所以，.2233c=3c =又因为，b 2=a 2-c 2，32c a=解得a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为.2214x y +=（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx -2，联立消去得，221,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()221416120k x kx +-+=当，即时，.()2Δ16430k =->234k >1212221612,1414k x x x x k k +==++所以()22121214PQ k x x x x =++-∴·=0，∴AC⊥BF.=2（a n +a n -1）-1，=2（a n +1+a n ）-1，2-1n c 2n c 两式相减得，=2[（a n +1-a n ）+（a n -a n -1）]=2（c n +c n -1），得c n -c n -22-1n n c c -1=2（n ≥2）.故{a n +1-a n }是等差数列.（2）因为（a 2-a 1）2=2（a 2+a 1）-1，a 1=1，且a 2>a 1，所以a 2=4，故c 1=a 2-a 1=3，所以c n =c 1+（n -1）×2=2n +1，n ∈N *，所以a n =（a n -a n -1）+（a n -1-a n -2）+…+（a 2-a 1）+a 1=（2n -1）+（2n -3）+…+3+1=n 2.故b n =-，222211(1)n n n n +=+21(1)n +b 1+b 2+…+b n =+…+-.222211111223-+-21n 221(2)(1)(1)n n n n +=++。

高二数学上学期期末考试试卷理含解析试题 2(共17页)

一中2021-2021高二年级第一学期(xuéqī)期末试题高二数学〔理科〕一选择题：在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1.假设命题：， ,那么命题的否认是〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】根据特称命题的否认，换量词否结论，不变条件；故得到命题的否认是，.故答案为：C.2.与向量垂直的一个向量的坐标是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用与四个选项里面的向量求数量积，数量积为零的即是所求.【详解】对于A选项，不符合题意.对于B选项，不符合题意.对于C选项，不符合题意.对于D选项，符合题意，应选D.【点睛】本小题主要考察两个空间向量互相垂直的坐标表示，考察运算求解才能，属于根底题.3.双曲线的渐近线方程(fāngchéng)为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线实轴在轴上时，渐近线方程为，此题中，得渐近线方程为，应选A.4.抛物线的焦点坐标是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的HY方程，转化求解即可．【详解】抛物线y=-x2的开口向下，，所以抛物线的焦点坐标．应选：A．【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，考察计算才能．5.等比数列中，，，( )A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】C【解析】【分析】将转化为的形式，求得的值，由此求得的值.【详解(xiánɡ jiě)】由于数列为等比数列，故，故，应选C.【点睛】本小题主要考察利用根本元的思想求等比数列的根本量个根本量，利用等比数列的通项公式或者前项和公式，结合条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.6.设变量想x、y满足约束条件为那么目的函数的最大值为( )A. 0B. -3C. 18D. 21【答案】C【解析】【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.应选C.【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.7.假设命题“〞为真命题，那么( )A. 为假命题(mìng tí)B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】B【解析】【分析】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,进而得到结果.【详解】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,那么q为假命题,故B正确；p∨q为真命题；¬p为假命题，¬q为真命题,故得到(¬p)∧(¬q)为假命题.故答案为：B.【点睛】〔1〕由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假假设p且q真，那么p 真，q也真；假设p或者q真，那么p，q至少有一个真；假设p且q假，那么p，q至少有一个假．〔2〕可把“p或者q〞为真命题转化为并集的运算；把“p且q〞为真命题转化为交集的运算．8.在中，，，分别是三个内角、、的对边，，，，那么〔〕A. B. 或者 C. D. 或者【答案】D【解析】【分析】利用正弦(zhèngxián)定理列方程，解方程求得的值，根据特殊角的三角函数值求得的大小.【详解】由正弦定理得，解得，故或者，所以选D.【点睛】本小题主要考察利用正弦定理解三角形，考察特殊角的三角函数值，属于根底题.9.在中，分别为角的对边，假设，那么此三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或者直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得sinA=2sinBcosC，即sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，整理得sinBcosC−cosBsinC=sin(B−C)=0，即B=C，那么三角形为等腰三角形，此题选择A选项.10.均为正数，，那么的最小值( )．A. 13B.C. 4D.【答案】D【解析】【分析】通过化简后利用根本不等式求得表达式的最小值.【详解】依题意.应选D.【点睛(diǎn jīnɡ)】本小题主要考察利用“〞的代换的方法，结合根本不等式求表达式的最小值.属于根底题.11.设双曲线的渐近线方程为，那么的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为,所以，应选B.12.有以下三个命题:①“假设，那么互为相反数〞的逆命题;②“假设，那么〞的逆否命题;③“假设，那么〞的否命题. 其中真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】①写出命题的逆命题，可以进展判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性一样，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。

全新人教高二数学(理)上学期期末试卷含答案

全新人教高二数学（理）上学期期末试卷含答案
一、单选题
1．已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（）A．它们的焦距相等B．它们的焦点在同一个圆上
C．它们的渐近线方程相同D．它们的离心率相等
2．两圆与在交点处的切线互相垂直，则R=（）A．5B．4C．3D．
3．在平面直角坐标系中,直线的倾斜角大小为( ) A．B．C．D．
4．某单位在1至4月份用电量（单位：千度）的数据如下表：
已知用电量与月份之间有线性相关关系，其回归方程，由此可预测5月份用电量（单位：千度）约为（）
A．1.9B．1.8C．1.75D．
5．已知椭圆则
A．与顶点相同.B．与长轴长相同.
C．与短轴长相同.D．与焦距相等.
6．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上有一点，过点作，垂足为，且，若的面积为，则等于（）
A．B．C．D．
7．已知点，直线与直线垂直，则的值为（）
A．2B．1C．0D．
8．下列说法错误
．．的是( )
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
9．已知圆，圆，，分别是圆，上的动点.若动点在直线上，则的最小值为（）
A．3B．C．D．
10．已知点，，若直线过原点，且、两点到直线的距离相等，则直线的方程为( )
A．或B．或
C．或D．或
11．已知向量，，，则为（）A．B．C．D．
12．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．115B．116C．357D．358
第II卷（非选择题）。

广东省佛山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(答案版)

2022~2023学年上学期佛山市普通高中教学质量检测高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，直线l 的倾斜角为（）A.π4B.π3C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义分析运算.【详解】由题意可知：直线l 的倾斜角为π4的补角，即为3π4.故选：C.2.已知向量()4,2,3a =- ，()1,5,b x = ，满足a b ⊥，则x 的值为（）A.2B.-2C.143 D.143-【答案】A 【解析】【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.【详解】a b ⊥ ，()4,2,3a =-，()1,5,b x = ()412530x ∴⨯+-⨯+=，解得2x =故选：A.3.已知圆的一条直径的端点分别为()12,5P ，()24,3P ，则此圆的标准方程是（）A.()()22348x y +++= B.()()22348x y -+-=C.()()22342x y +++= D.()()22342x y -+-=【答案】D 【解析】【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.【详解】由题意可知，圆心为线段12PP 的中点，则圆心为()3,4C ，圆的半径为1CP ==故所求圆的方程为()()22342x y -+-=.故选：D.4.已知向量(a = ，()1,2,0b = ，则b 在a上的投影向量是（）A.12,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,0,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.13,0,44⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.11,,042⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的概念结合空间向量的坐标运算求解.【详解】由题意可得：110201,2a b a ⋅=⨯+⨯+===r rr，故b 在a上的投影向量为11,0,44a b a a aa ⎛⋅== ⎝⎭r r rr rr .故选：C.5.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n 个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为13，则n 的值为（）A.4B.5C.12D.15【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出n 的值．【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，n 个绿球，从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是13，则()()651653n n ⨯=++，解得4n =（负值舍去）.故选：A ．6.已知直线1:210l x ay +-=与()2:3110l a x ay ---=平行，则实数a 的值为（）A.16B.12C.0或16D.12或1【答案】C 【解析】【分析】利用两直线平行可得出关于实数a 的等式与不等式，解之即可.【详解】由已知可得()231311a a a a ⎧-=-⎨-≠⎩，解得0a =或16.故选：C.7.过点()2,1M 作斜率为1的直线，交双曲线()222210,0y x a b a b-=>>于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，则该双曲线的离心率为（）A.2B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】设点()()1122,,,A x y B x y ，代入双曲线方程后做差，整理，可得,a b 关系，再利用222c a b =+消去b 即可求得离心率.【详解】设点()()1122,,,A x y B x y ，则有22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差后整理得2121221212y y y y a x x x x b -+⋅=-+，由已知121212121,4,2y y x x y y x x -=+=+=-，2224a b ∴=，又222c a b =+，22212a c a∴=-，得ca=故选：B8.在两条异面直线a ，b 上分别取点1A ，E 和点A ，F ，使1AA a ⊥，且1AA b ⊥.已知12A E =，3AF =，5EF =，1AA =，则两条异面直线a ，b 所成的角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】设两条异面直线a ，b 所成的角为π02θθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，将等式11EF EA A A AF =++ 两边同时平方计算可得答案．【详解】如图，设两条异面直线a ，b 所成的角为π02θθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，1AA a ⊥ ，1AA b ⊥，12A E =，3AF =，5EF =，1AA =，11EF EA A A AF ∴=++ ，则2222211111111()222EF EA A A AF EA A A AF EA A A EA AF A A AF=++=+++⋅+⋅+⋅2222523223cos θ∴=++±⨯⨯，得1cos 2θ=或1cos 2θ=-（舍去）π3θ∴=故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得2分.9.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，其中()18n Ω=，()9n A =，()6n B =，()12n A B ⋃=则（）A.事件A 与事件B 互斥B.()23P A B ⋃=C.事件A 与事件B 相互独立 D.()16P AB =【答案】BC 【解析】【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.【详解】由题意可得：()()()()()()11,23P A P B n A n B n n ==ΩΩ==，则()()213P B P B =-=，∵()()()()n A B n A n B n AB ⋃=+-，∴()()()()30n A B n AB n A n B +-==≠U ，即事件A 与事件B 不互斥，A 错误；可得：()()()()Ω12n A B n n A n AB ⋃=-+=，故()()()()()()()()()()1215,,1,1Ω6Ω336n A B n AB P AB P A B P AB P A B P AB P AB n n ⋃==⋃===-⋃==-=，可知B 正确，D 错误；又∵()()()P AB P A P B =，∴事件A 与事件B 相互独立，C 正确；故选：BC.10.已知曲线C 的方程为221259x y k k+=-+，则C 可能是（）A.的圆B.焦点在xC.等轴双曲线D.焦点在y 上的双曲线，且焦距为【答案】AD 【解析】【分析】根据曲线的形状求出参数的值或取值范围，再结合各曲线的几何性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若曲线C 为圆，则259250k kk -=+⎧⎨->⎩，解得8k =，此时，曲线C 的方程为2217x y +=，A 对；对于B 选项，若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则25990k kk ->+⎧⎨+>⎩，解得98k -<<，此时，椭圆C 的长轴长为，B 错；对于C 选项，若曲线C 为等轴双曲线，则2590k k -++=，无解，C 错；对于D 选项，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则90250k k +>⎧⎨-<⎩，解得25k >，此时，双曲线C 的焦距为=，D 对.故选：AD.11.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点，且A 在x 轴上方，过A 、B 分别作C 的准线l 的垂线，垂足分别为A '、B '，则（）A.OA OB⊥B.若5AF =，则A 的纵坐标为4C.若2AFFB =，则直线AB 的斜率为D.以A B ''为直径的圆与直线AB 相切于F 【答案】BCD 【解析】【分析】设直线AB 为1x my =+及交点坐标，利用韦达定理可得12124,4y y m y y +==-，对A ：结合向量垂直的坐标表示分析判断；对B ：根据抛物线的定义运算求解；对称：结合向量的坐标运算求解；对D ：根据直线与圆的位置关系分析判断.【详解】由题意可得：抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线:1l x =-，设直线AB 为()22121121,,0,,44y y x my A y y B y ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()121,,1,A y B y ''--，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去y 可得：2440y my --=,则2121216160,4,4m y y m y y ∆=+>+==-，对A ：∵221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r ，∴()212123016y y OA OB y y ⋅=+=-≠uu r uu u r ，∴,OA OB不相互垂直，A 错误；对B ：∵21154y AF =+=，则14y =或24y =-（舍去），∴A 的纵坐标为4，B 正确；对C ：∵2212121,,1,44y y y F FB y A ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==uuu r uu r ，且2AF FB = ，∴122y y -=，则121212244y y y y m y y -=⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得1224y y m ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩1224y y m ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（舍去），故直线AB的斜率1k m==C 正确；对D ：∵124,2y y m A B +''===∴A B ''的中点()1,2M m -到直线AB的距离12d A B ''==，又∵12MF A B ''===，故以A B ''为直径的圆与直线AB 相切于F ，D 正确；故选：BCD.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为面11A ABB 的中心，E 、F 分别为BC 和11D C 的中点，则（）A.1B D ⊥平面1A EFB.平面1ACD 与平面1A EF 相交C.点О到直线1A E的距离为6D.点O 到平面1A EF的距离为4【答案】BC 【解析】【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：()()()()()()11111111,0,0,0,1,0,0,0,0,,1,0,0,,1,1,,,1,0,1,1,1,1,0,0,12222A C D E F O A B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面1A EF 的法向量为(),,n x y z =，由11111,,0,,1,122A F A E ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uuu r ，则11102102n A F x y n A E x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩ ，令2x =，则4,3y z ==，则()2,4,3n =，设平面1ACD 的法向量为(),,m a b c =，由()()11,1,0,0,1,1AC CD =-=-uuu r uuu r ，则100m AC a b m CD b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1a =，则1b c ==，则()1,1,1m =，对A ：∵()11,1,1DB = ，则243111≠≠，即1DB 与n 不共线，∴1B D 不与平面1A EF 垂直，A 错误；对B ：∵243111≠≠，则m 与n 不共线，∴平面1ACD 与平面1A EF 相交，B 正确；对C ：∵1110,,22A O ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r，则111111cos ,03A O A E A O A E A O A E ⋅==>uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，即11,AO A E uuu r uuu r 为锐角，∴111sin ,3A O A E ==uuu r uuu r ，故点О到直线1A E 的距离为1112sin ,6A O A O A E =uuu r uuu r uuu r ，C 正确；对D ：点O 到平面1A EF的距离为158AO n n=⋅r r uuu r ，D 错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从长度为4，6，8，10的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________.【答案】34或0.75【解析】【分析】利用古典模型概率即可求解.【详解】由题可得，取出的三条线段长度的可能性有：()()()()4,6,84,6,104,8,106,8,10，，，，其中能构成三角形的有()()()4,6,84,8,106,8,10，，，这三条线段能构成一个三角形的概率为34，故答案为:34.14.如图，在空间平移ABC 到A B C ''' ，连接对应顶点.设AA a '= ，AB b = ，AC c =，M 为A C ''中点，则用基底{},,a b c 表示向量BM =__________.【答案】12a b c-+【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：1122BM BA AA A M AB AA AC a b c '''=++=-++=-+uuu r uu r uuu r uuuu r uu u r uuu r uuu r r r r.故答案为：12a b c -+.15.已知F 是双曲线C ：()222103x y a a-=>的右焦点，Р是C 的左支上一动点，(0,A ，若APF 周长的最小值为10，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【解析】【分析】设出(,0)F c '-，运用双曲线的定义可得2PF PF a '-=，则APF 的周长为||||||||||2PA PF AF PA PF a '++=+++，运用三点共线取得最小值，可得,,a b c 的关系，进而可得渐近线方程．【详解】由题意可得(()0,,,0A F c ，设(,0)F c '-，由双曲线的定义可得2PF PF a '-=，2PF a PF '=+，||AF =，则APF 的周长为||||||||||2||2PA PF AF PA PF a AF a ''++=++≥++当且仅当,,A P F '共线时，取得最小值，且为2a +由题意可得210a +=，即210a +=解得1a =，则渐近线方程为by x a=±=故答案为：y =.16.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F ，与影片门1F 应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆C ：22143x y +=，椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，一束光线从2F 发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点1F ，且124tan 3F PF ∠=，则12F PF ∠的角平分线所在直线方程为__________.【答案】4210x y --=【解析】【分析】先利用同角三角函数基本关系求出12cos F PF ∠，再在12F PF ∠ 中利用余弦定理及椭圆的定义求出12,PF PF ，进而得到12F F P 为直角三角形，利用12F F P 中角的关系可求出2tan PQF ∠，再通过1P x =求出P 点坐标，则直线方程可求.【详解】如图，设12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点Q ，()2212121212112sin 4tan ,sin cos 1,0,πcos 3F PF F PF F PF F PF F PF F PF ∠∠==∠+∠=∠∈∠ ，1235cos F PF ∴=∠，设12,PF m PF n ==，则2221223cos 254m n F PF mn m n ⎧+-∠==⎪⎨⎪+=⎩，解得5232m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2221221254PF PF F F ∴==+，即12F F P 为直角三角形又212123cos 2cos125F PF F PF ∠∠=-= ，122cos 25F PF ∠∴=，121sin25F PF ∠=222π1cos cos sin 25PQF QPF QPF ⎛⎫∴∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，()2cos 0,πPQF ∠∈225sin 5PQF ∴∠=，222sin tan 2cos PQF PQF PQF ∠∠==∠当1x =时，21143y +=，得32y =±，31,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()3:212PQ l y x ∴-=-，即4210x y --=故答案为：4210x y --=四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC 的三个顶点分别为()1,2A ，()3,0B ，()4,5C ，M 是AB 的中点.（1）求边AB 上的中线CM 所在直线的方程；（2）求BCM 的面积.【答案】（1）230x y --=（2）3【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式结合直线的两点式方程运算求解；（2）根据点到直线距离公式和两点距离公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：AB 的中点M 为()2,1，则边AB 上的中线CM 所在直线的方程为125142y x --=--，即230x y --=.【小问2详解】由（1）可得：CM ==，且点()3,0B 到直线CM的距离355d ==，故BCM的面积11353225S CM d =⨯=⨯=.18.每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为23，乙每轮答对的概率为p ，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为512.（1）求p 的值；（2）求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.【答案】（1）34（2）3196【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式列方程求解；（2）分甲有两题没有答对，乙有两题没有答对，甲乙各有一题没有答对三种情况，利用相互独立事件的概率以及独立重复事件的概率的乘法公式求出概率.【小问1详解】设事件A =“甲第一轮猜对”，事件B =“乙第一轮猜对”，事件C ＝“甲第二轮猜对”，事件D =“乙第二轮猜对，∴甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为(P ABCD ABCD ABCD ABC D +++()()()()()(()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =+++()2533331212221p p p p ⎡⎤=⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯=⎢⎥⎣⎦解得34p =或54p =（舍去）34p ∴=；【小问2详解】三轮竞答活动中甲乙一共答6题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题，即总共有2题没有答对，可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对.甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率32322211223333231321213131C C +C C 344433334496P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，四点()11,1P -，(2P ，331,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，431,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）若斜率存在且不为0的直线l 经过C 的右焦点F ，且与C 交于A 、B 两点，设A 关于x 轴的对称点为D ，证明：直线BD 过x 轴上的定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.（2）设直线:1l x ty =+，0t ≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,D x y -，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理计算直线BD 与x 轴的焦点坐标即可.【小问1详解】根据椭圆对称性，点331,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，431,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭必在椭圆上，则()11,1P -不在椭圆上，()20,3P在椭圆上，2219143a b b ⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩，解得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C 的方程为22143x y +=【小问2详解】由（1）得右焦点()1,0F ，设直线:1l x ty =+，0t ≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,D x y -联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t +=-=-++又直线()212221:y y BD y x x y x x +=-+-，令0y =得()()()22122121221122212121y x x y x x y y x y x y x x x y y y y y y ----+++=+==+++又()()2211221121221212129211234114634t y ty y ty y x y x ty y t t y y y y y y t ⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭==+=+=+++-+即0y =时，4x =，直线BD 过x 轴上的定点()4,0.20.如图，在多面体ABCDE 中，平面ABC ⊥平面ACDE ，四边形ACDE 是等腰梯形，ED AC ∥，AB AC ⊥，112AE ED DC AC ====（1）若1AB =，求BD 与平面ACDE 所成角的正弦值；（2）若平面BDE 与平面BCD 的夹角为π4，求AB 的长.【答案】（1）12（2）2【解析】【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；（2）分别求平面BDE 、平面BCD 的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】由题意可知：AB AC ⊥，平面ABC ⊥平面ACDE ，平面ABC ⋂平面ACDE AC =，可得AB ⊥平面ACDE ，如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()33132,0,0,,0,,,0,2222C D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且平面ACDE 的一个法向量为()0,1,0m =，若1AB =，则()0,1,0B ，可得33,1,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，∵1cos ,2m BD m BD m BD⋅==-uu u r r uu u r r uu u r r ，故BD 与平面ACDE 所成角的正弦值为12.【小问2详解】设()0,,0B a ，平面BCD 的法向量()1,,n x y z =，∵()13,0,,2,,022CD CB a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则11102220n CD x z n CB x ay ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令x =，则y z a ==，∴取)1,n a =，设平面BDE 的法向量()2000,,n x y z =，∵()131,0,0,,,22DE BE a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uur，则20200001022n DE x n BE x ay z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令0y =000,2x z a ==，∴取()22n a =，由题意可得：2121212πcos ,cos 42n n n n n n ⋅===，解得2a =或2a =-（舍去），故AB的长为2.【点睛】21.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB 为16米，洞门最高处距路面4米.（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB 的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.【答案】（1）()()22610004x y y ++=≤≤（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）以点D 为坐标原点，AB 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在y 轴上，设圆心坐标为()0,b ，设圆的半径为r ，将点B 、C 的坐标代入圆的方程，求出b 、r 的值，结合图形可得出圆弧 AB 的方程；（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧 AB 的方程，可得出结论.【小问1详解】解：以点D 为坐标原点，AB 、DC 所在直线分别为x 、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,4C、()8,0B ，由圆的对称性可知，圆心在y 轴上，设圆心坐标为()0,b ，设圆的半径为r ，则圆弧 AB 所在圆的方程为()222x y b r +-=，因为点C 、B 在圆上，则()()222220480b r b r ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得6b =-，10r =。

2022-2023学年云南省昆明市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

昆明市2022-2023学年度上学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设函数是函数的导函数，若，则（）()f x '()f x ()cos f x x =π6f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭A.B.C.12-12【答案】B 【解析】【分析】根据余弦函数的导数公式求解.【详解】因为，()cos f x x =所以，()sin f x x '=-所以，ππ1sin 662f ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭故选：B.2. 已知等差数列的前n 项和为，若，则（）{}n a n S 76a =13S =A. 6 B. 12C. 78D. 156【答案】C 【解析】【分析】由条件根据等差数列前项和公式结合等差数列性质可求.n 13S 【详解】因为，()11313713132a a S a+==又，76a =所以，1313678S =⨯=故选：C.3. 如图，在平行六面体中，M 是的中点，设1111ABCD A B C D -11B C ，则（）1,,AB a AD b AA c===AM =A.B. C.D.12a b c ++ 12a b c++12a b c++1122a b c++ 【答案】B 【解析】【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.【详解】解：因为在平行六面体中，M 是的中点，1111ABCD A B C D -11B C 所以111111111222A cA M AB AB AB BB B M A BC AA AD a b ++=+++==+=++故选：B4. 直线与圆交于两点，则为（）22y x =+224670x y x y ++--=,MN MN C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由圆方程求圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长公式求.MN【详解】方程可化为，224670x y x y ++--=()()222320x y ++-=所以圆的圆心的坐标为，半径为224670x y x y ++--=()2,3-圆心到直线的距离，()2,3-22y x =+d 所以MN ==故选：D.5. 空间直角坐标系中，已知点，则平面的一O xyz -(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0)A B C ABC 个法向量可以是（）A. B. C. D.(1,2,1)(1,2,1)-(2,1,2)(2,1,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】解：由题知，()()0,1,2,2,1,0AB BC =-=-设平面的一个法向量为，ABC (),,n x y z =所以，即，令得00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22y z y x =⎧⎨=⎩1x =()1,2,1n = 所以，平面的一个法向量可以是.ABC ()1,2,1n =故选：A6. 在中，，则（）ABC1,5,cos2A AB AC ===BC =AD.【答案】A 【解析】【分析】先利用二倍角公式求，再运用余弦定理求即可.cos A BC 【详解】因为cos2A =所以，23cos 2cos 125A A =-=-由余弦定理可得，2222cos BC AB AC AB BC A =+-⋅因为，1,5AB AC ==所以，23125215325BC⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以BC =故选：A.7. 已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则{}n a n S n 48S =824S =16S =A. 40B. 56C. 72D. 120【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的片段求和性质求解即可.【详解】因为,,,成等比数列,所以,48S =8416S S -=128S S -1612S S -12832S S -=,,161264S S -=()()()164841281612S S S S S S S S =+-+-+-8163264120=+++=故选：D .【点睛】本题主要考查了等比数列片段求和的性质,属于基础题.8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不R ()f x ()f x '3()()0,(ln 2)1f x f x f +<='等式的解集为（）3()e 8xf x >A. B. C. D.(,2)-∞(,ln 2)-∞(ln 2,)+∞(2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】因为不等式等价于，故考虑构造函数3()e 8xf x >()33ln 2()e ln 2e x f x f >，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.()()3e x g x f x =【详解】令，函数的定义域为，()()3e x g x f x =()g x R 因为()()30f x f x '+<所以，()()33(e )e 0x x f x f x ''+<故()()3(e )0x g x f x ''=<故在R 上单调递减，()g x 又因为()ln 21f =所以，，()()3ln 2e ln 28ln 2g f ==所以不等式可化为，3()e 8xf x >()()ln 2g x g >所以，ln 2x <所以的解集为3()e 8xf x >(),ln 2-∞故选：B.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.9. 下列关于双曲线的结论中，正确的是（）221x y -=A. B. C. 两条渐近线互相垂直 D. 焦点到渐近线的距离为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.【详解】双曲线，可得，，221x y -=1a =1b =c =则双曲线的离线率为A 正确；221x y -=ce a ==焦距，故B 错误；2c =渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C 正确；y x =y x =-焦点到渐近线的距离为，故D 正确；1b =故选：ACD.10. 设是数列的前n 项和，且，，则下列结论中，正确n S {}n a 11a =()12n n a S n *+=∈N 的是（）A.是等比数列 B.是等比数列{}n a {}n S C. D.13n na -=13n n S -=【答案】BD 【解析】【分析】利用与的关系可得的递推关系即可判断A ，C ；利用与的关系可n a n S {}n a n a n S 得的递推关系即可判断B ，D ．{}n S 【详解】由，所以当时，有，两式相减得，12n na S +=2n ≥12n n a S -=13n n a a +=又，，所以数列不是等比数列，故A 错误；C 错误；11a =2122a S =={}n a 由，得，所以数列是首项为1，公比为3的等比数112n n n nS a S S ++==-13n n S S +={}n S 列，所以，故B 正确；D 正确．11133n n n S --=⨯=故选：BD ．11. 设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，2:6C y x =F 1l l F C ,A B若，则下列结论中正确的是（）3AF FB = A. 直线B. 的中点到的距离为4l AB 1lC. D. （O 为坐标原点）112||||3AF BF +=OA OB ⊥【答案】ABC 【解析】【分析】由题设直线的方程为，，进而联立方程，结合向l 32x my =+()()1122,,,A xy B x y量关系得，再依次讨论各21y y m ==-=21y y m ===选项即可.【详解】解：由题知焦点为，准线为，3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭13:2l x =-所以，设直线的方程为，，l 32x my =+()()1122,,,A x y B x y 所以，得，2632y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2690y my --=所以，，①，②，236360m ∆=+>126y y m +=129y y =-因为，即，3AF FB = 112239,,33,322AF x y FB x y ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以③，123y y -=所以，由①②③得，21y y m ==-=21yy m ===所以直线的斜率为，故A 选项正确；l 1m =所以，，故的中点的横坐标为，()212123635x x m y y m +=++=+=AB 52所以，的中点到的距离为，故B选项正确；AB 1l53422⎛⎫--= ⎪⎝⎭当，此时，21y y m ==-=91,,22A B ⎛⎛- ⎝⎝93622AF =+=，故；13222BF =+=112||||3AF BF +=当时，，此时，21y y m ===91,,22A B ⎛⎛ ⎝⎝93622AF =+=，故；故C 选项正确；13222BF =+=112||||3AF BF +=因为，故不成立，故D 选项()212121212909364y y OA OB x x y y y y ⋅=-=+≠+= OA OB ⊥错误.故选：ABC12. 已知函数，则下列结论中正确的是（）32()1f x x mx =-+A. 有两个极值点()f x B. 当时，在上是增函数1m =-()f x (0,)+∞C. 当时，在上的最大值是11m =()f x [1,1]-D. 当时，点是曲线的对称中心3m =(1,1)-()y f x =【答案】BCD 【解析】【分析】求函数的导函数，根据极值点的定义判断A ，结合导数判断函数的单调性()f x 求最值，判断B ，C ，结合奇函数的定义判断D.【详解】因为，()321f x x mx =-+所以，()()23232f x x mx x x m '=-=-当时，，当且仅当时，0m =()230f x x '=≥0x =()0f x '=函数在上单调递增，()f x (),-∞+∞函数没有极大值点也没有极小值点，A 错误；()f x 当时，，1m =-()()32f x x x '=+当时，，函数在上单调递增，B 正确；()0,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()0,∞+当时，，1m =()()32f x x x '=-令可得，或，()0f x '=0x =23x =当时，，函数在上单调递增，[)1,0x ∈-()0f x ¢>()f x [)1,0-当时，，函数在上单调递减，20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，213x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()0f x ¢>()f x 213⎛⎤ ⎥⎝⎦，又，()01f =()11f =所以函数在上的最大值为1，C 正确；()f x []1,1-当时，，3m =32()31f x x x =-+，()()323(1)131131f x x x x x +=+-++=--设，()()11g x f x =++则，，()33g x x x=-()()33g x x x g x -=-+=-所以函数为奇函数，()()11g x f x =++所以函数的图象关于原点对称，()g x 所以函数关于点对称，D 正确.()f x ()1,1-故选：BCD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线在点处的切线方程为____________.21()2x f x x +=-(1,3)-【答案】520x y +-=【解析】【分析】再结合导数的几何意义切线斜率，代入切线方程公式即可．【详解】因为，21()2x f x x +=-所以，()()()()()222221522x x f x x x --+-'==--所以．()15f '=-故切线方程为．520x y +-=故答案为：．520x y +-=14. 在直三棱柱中，，则直线与所成111ABC A B C -190,BAC AB AC AA ∠=== 1AC 1A B 角的余弦值为____________.【答案】##120.5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用向量夹角公式求两向量夹角，结合异面直线夹角定义可得两直线的余弦值.【详解】因为三棱柱为直三棱柱，且，111ABC A B C -90BAC ∠= 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系,A 1,,AC AB AA ,,x y z 设，则11AB AC AA ===，11(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B A C 所以，11(0,1,1),(1,0,1)A B AC =-=所以，1111111cos ,2A B AC A B AC A B AC ⋅===-因为异面直线所成的角在，(0,90]所以异面直线与所成的角余弦值为，1AC 1A B 12故答案为：.1215. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，(2,1)P 1-l 222:1(0)b x yC a b a +=>>,A B 若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________.P AB C 【解析】【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而()()1122,,,A x y B x y ,a b 可得离心率．【详解】解：设，，()()1122,,,A x y B x y 2211221x y a b +=①2222221x y a b +=②是线段的中点，P AB ，两式相减可得，12122,122x x y y ++∴==①②22221212220x x y y a b --+=整理得，即，()()121222420x x y y a b --+=2122122y y b x x a -=--∵弦的斜率为AB 1-，即21221221yy b x x a -∴=-=--a =．c e a ∴====．16. 已知中，，则面积的最大值为_____ABC 2,2BC AB AC ==ABC 【答案】43【解析】【分析】设，则，根据面积公式得AC x =2AB x=ABC S ∆=代入化简，由二次函cos C ABC S ∆=223x <<数的性质求得取得最大值．ABC S∆【详解】解：设，则，根据面积公式得AC x =2AB x =1sin sin 2ABC S AC BC C x C ∆=== 由余弦定理可得，2224443cos 44x xxC x x +--==可得：，ABCS ∆===由三角形三边关系有：，且，解得：，22x x +>22x x +>223x <<故当时，取得最大值，x =ABC S ∆43故答案为：．43【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．四、解答题本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17. 已知等差数列的前n 项和为.{}n a 25,3,25n S a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和.11n n n b a a +={}n b n T 【答案】（1）21n a n =-（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）设数列的公差为，列方程求，写出等差数列通项公式；{}n a d 1,a d （2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列的公差为，{}n a d 因为，253,25a S ==所以，，13a d +=151025a d +=解得，，11a =2d =所以．12(1)21n a n n =+-=-【小问2详解】，111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭因为2231n n nT b b b b b -=+++++ 所以．1111111111123352325121271n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪---+⎝⎭ 所以.11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭18. 在中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，C ，且.ABC cos 2cb a C =-（1）求角A ；（2）若面积的最大值.a =ABC【答案】（1）；2π3（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理，，据cos 2sin()2sin cos sin 2cb a C A C A C C =-⇒+=-此可得答案；（2），21122si n si n si n si n si n si n si n ABC a S bc A B C A B CA ⎛⎫=== ⎪⎝⎭又由（1）可知，则再利用辅助角公式与三π3BC +=3πsi n si n ，ABC S C C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 角函数有界性可得答案【小问1详解】由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，cos 2sin 2sin cos sin 2cb a C B A C C=-⇒=-又在三角形中，.()()si n si n π--si n B A C A C ==+则，又，2sin 2sin cos sin 2cos sin sin B A C C A C C =-⇒=-sin 0C >得，结合，知.1cos 2A =-()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由正弦定理，可知.si n ，si n si n si n a ab Bc CA A=⋅=⋅则.21122si n si n si n si n si n si n si n ABCa S bc A B C A B CA ⎛⎫=== ⎪⎝⎭又由（1）可知，π3B C +=则.2332πsi n si n si n cos si n ABC S C C C C C⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭())3212224si n cos si n cos C C C C =--=+-，因，26πsi n C ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π2,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故当，即时，ππ262C +=π6C =ABC S 19. 已知数列满足.{}n a ()112,32n n a a a n *+==+∈N （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；{}1n a +{}n a （2）设，求数列的前n 项和.n n b na ={}n b n S 【答案】（1）证明见解析，31nna =-（2）()12233214n n n nS n +-=+-⋅+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）由题知，进而根据错位相减法和分组求和法求解即可.3nn n b na n n ==⋅-【小问1详解】解：数列满足{}n a ()112,32n n a a a n *+==+∈N ，即，113(1)n n a a ++=+ 1131n n a a ++=+∴数列是以为首项，为公比的等比数列，{}1n a +113a +=3，即；11333n n n a -∴+=⋅=31n n a =-∴31nna =-【小问2详解】解：由题知，3nn n b na n n ==⋅-设的前项和为，{}3nn ⋅n nT ，231323333n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅ ，23413132333(1)33n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()23111313312233333331322n n n n n n n T n n +++--∴-=++++-⋅=-⋅=-+⋅- 1321344n n n T +-∴=+⋅∵数列的前n 项和为{}n ()2122n n n n++=∴数列的前n 项和{}n b ()1222133223212213444n n n n S n n n n T n n n n++-=-+⋅-+-⋅+++=-=20. 已知函数.()ln 2,f x x ax a =-∈R （1）当时，求函数的单调区间；1a =()f x （2）若函数有两个零点，求a 的取值范围.()f x 【答案】（1）单调增区间；减区间 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函()f x ()0f x ¢>()0f x '<数的单调递减区间；（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利()0f x =ln 2xa x =y a =()ln x g x x =用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.()g x a 【小问1详解】当时，，该函数的定义域为，1a =()ln 2f x x x=-()0,∞+，()1122xf x x x -'=-=令可得，列表如下：()0f x '=12x =x10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '取值为正0取值为负()f x 单调递增极大值单调递减所以，函数在上单调递增，在上单调递减；()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【小问2详解】由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，()0f x =ln 2xa x =y a =()ln 2x g x x =函数的定义域为，，()ln 2x g x x =()0,∞+()21ln 2xg x x -'=由，可得，列表如下：()0g x '=e x=x()0,e e()e,+∞()g x '取值为正0取值为负()g x 单调递增极大值单调递减所以，函数的极大值为，()g x ()1e 2e g =且当时，，1x >()0g x >当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，x→+∞ln y x =()0f x →且，，()0f x '<()0f x '→又，()10f =根据以上信息，作出其图象如下：当时，直线与函数的图象有两个交点，102e a <<y a =()ln 2x g x x =因此，实数的取值范围是.a 10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21. 如图，在四棱锥中，面，，且P ABCD -PA ⊥ABCD //AB CD ，，为的中点．22,CD AB BC ===90ABC ∠=︒M BC （1）求证：平面平面；PDM ⊥PAM （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P DM A --30︒PC PDM 【答案】（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1）在直角梯形中，由条件可得，即．再由ABCD 222AD AM DM =+DM AM ⊥面，得，利用线面垂直的判定可得平面，进一步PA ⊥ABCD DM PA ⊥DM ⊥PAM 得到平面平面；PDM ⊥PAM （2）由（1）知，，则为二面角的平面角,PM DM AM DM ⊥⊥PMA ∠P DM A --为，求得．以为坐标原点，分别以所在直线为30︒tan 301PA AM =⋅︒=A ,,AE AB AP 轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面的一个法向量，由与所,,x y z PC PDM PCn 成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．PC PDM 【详解】（1）证明：在直角梯形中，由已知可得，ABCD 1,2,AB CD BM CM ====可得，223,6AM DM ==过作，垂足为，则，A AE CD ⊥E 1,DE AE ==29AD =则，∴．222AD AM DM =+DM AM ⊥∵面，PA ⊥ABCD ∴，DM PA ⊥又，∴平面，PA AM A = DM ⊥PAM ∵平面，DM ⊂PDM ∴平面平面；PDM ⊥PAM （2）解：由（1）知，，则为二面角的平,PM DM AM DM ⊥⊥PMA ∠P DM A --面角为，30︒则．tan 301PA AM =⋅︒=以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，A ,,AE AB AP ,,x y z 则，，，，()0,0,1P 1,0)D-CM．1),1,1),1)PC PD PM =-=--=-设平面的一个法向量为，PDM (,,)n x yz =由，取，得．00n PD y z n PM y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1x=n ⎛= ⎝ ∴直线与平面所成角的正弦值为：PC PDM|||cos ,|||||PC n PC n PC n ⋅<>===⋅【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且2222C :1(b 0)xy a a b +=>>12F (F 该椭圆过点．1A 2⎫⎪⎭，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；C （Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点()40B ，l l C P Q ，关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值．P x P 'P Q 'x D DPQ ∆【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2214x y +=34【解析】【分析】（Ⅰ）根据，和计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意122a AF AF =+222b ac =-可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到l 4(0)x my m =+≠，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代121222812,44m y y y y m m -+==++P Q 'DPQ ∆入根与系数的关系，并求最大值.【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，解得121242a AF AF =+== .2a =又，2221b a =-=所以椭圆的标准方程为C 2214x y +=（Ⅱ）由题意可设直线的方程为 .l 4(0)x my m =+≠设，则.()()1122,,,P x y Q x y ()11,P x y '-由，消去可得22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，x ()2248120m y my +++=121222812,44m y y y y m m -∴+==++()2216120,12m m ∆=->∴> ，()21212121P Q y y y y k x x m y y '++==-- 直线的方程为.∴P Q '()()211121y y y y x x m y y ++=--令，0y =可得，()2111212121244m y y y my y x my y y y y -=++=+++22122244441884m m m m m m ⋅+=+=+=--+(1,0)D ∴ DPQ BDQ BDPS S S ∆∆∆∴=-121||2BD y y=⋅-==令，(0,)t t =∈+∞则266316164DPQ t S t t t∆==++当且仅当，即4t =m =±面积的最大值为DPQ ∴∆34【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.。

2022级高二第一学期期末考试数学试卷及详解

2022级高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD P AC 夹角的余弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且（*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =都有1n n c c +>成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1l （直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PF QFTM TN ⋅⋅的值.参考答案：8．D【详解】 1112n n n n n n a a a a a a +-++= 112a =，418a =，∴112a =，41a 1115．99100/0.99【详解】因为2312555a a a ++所以当2n ≥时，21255a a ++将1 与2 式相减得：5nn a 1，的最小距离为d r-=则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3),A B P 所以(0,1,3),(3,1,0),PB CB =-= 设平面PBC 的一个法向量(n = 令3z =，则1,3x y =-=，所以联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 后整理为(2022级高二第一学期期末考试数学试卷一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）表示的圆中，当圆面积最小时，此时k =.是边长为43的等边三角形，则251n a +，则{}n b 的前99项和为是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD 弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1（直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于,M N 两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l ，与椭圆。

黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

哈工大附中2021~2022学年度第一学期期末考试试题高二理科数学一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，再由共轭复数的定义即可得，进而可得虚部.【详解】，所以，的虚部为，故选：C.2. 已知直线和直线互相平行，则等于（）A. 2 B. C. D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得，即可求出.【详解】显然时，两直线不平行，不符合，则，解得.经检验满足题意故选：C.3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（）① 若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则13i1iz +=-z 122-1-z z ()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+12i z =--z 2-10x ay +-=410ax y ++=a 2-2±1141a a -=≠0a =1141a a -=≠2a =±,m n ,αβ,m n αβ⊂⊂//,//m n βα//αβm β⊥αβ⊥//αβ//,//m n βααβ⊥,m n βα⊥⊥A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直.【详解】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面, 不在同一平内，有可能平行，所以不正确;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确.故选：C.4. 已知双曲线：（的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果．【详解】∵双曲线的离心率，∴．又由，得，即双曲线（）的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程为．故选：A,m n C 22221x y a b-=0,0a b >>C 2y x =±y =12y x =±y x=±2b a =22220x y a b-=b y x a =±c e a ===2ba=22220x y a b-=b y x a =±22221x y a b-=0,0a b >>b y x a =±2y x =±5. 已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a 和纵截距b，面积为．【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为．令，得；令，得．故所求三角形的面积为．故选：B6. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（）A. B. 椭圆的焦距为C. 若椭圆的焦点在轴上，则 D. 若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A 错误；2()e (1)x f x x =++()y f x =(0,(0))f 12231212ab ()()()02e 21xf f x x '＝，＝＋＋()03f '＝32y x ＝＋0x ＝2y ＝0y ＝23x -＝1222233⨯⨯＝22191x y k k +=--C ()1,9k ∈C C x ()1,5k ∈C x ()5,9k ∈90k ->10k ->91k k -≠-()()1,55,9k ∈焦点在轴上时，，解得，D 错误，C 正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C7. 已知抛物线的焦点为F ，准线为，过点F与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作于点N ，连接交抛物线C于点Q ，则（）A.B.C. 3D. 2【答案】D 【解析】【分析】设出直线，与抛物线联立，可求出点坐标，在利用抛物线的定义可得，再利用抛物线的对称性求出，则可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线，得，则，与抛物线联立得，即，解得x 910k k ->->()1,5k ∈x ()291102c k k k =---=-y ()219210c k k k =---=-2:2(0)C y px p =>l l 'MN l ⊥NF ||||=NQ QF MF M 2M pMN NF MF x ∴===+FQ ||||NQ QF 2:2(0)C y px p =>(,0)2pF :)2p MF y x =-22y px =22122030x px p -+=()()6230x p x p --=3,26M A p p x x ==,60MN l MFx ︒⊥∠=，又则为等边三角形，，由抛物线的对称性可得，故选：D.8. 若点P 是曲线上任意一点，则点P 到直线的最小距离为（）A. 0B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离．【详解】点是曲线上的任意一点，设，令，解得1或（舍去），，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，点到直线的最小距离故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的（）60NMF ︒=∴∠MN MF=NMF V 22M pMN NF MF x p ∴===+=60OFA NFO ︒=∠=∠ 6Q A p x x ==24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-=||2||NQ QF ∴=2ln y x x =-1y x =-121y x =- P 2ln y x x =-()1,,2(0)P x y y x x x∴=->'121y x x'=-=x =12x =-1x ∴=1y x =-()1,1P P 1y x =-min d ()y f x =A. 为函数的单调递增区间B. 为函数的单调递减区间C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数f （x ）单调递减区间为：，，递增区间为，，且函数在和取得极小值，在取得极大值.故选：ABC.10. 已知曲线：，则（）A. 时，则的焦点是，B. 当时，则的渐近线方程为C. 当表示双曲线时，则的取值范围为D. 存在，使表示圆()1,3-()y f x =()3,5()y f x =()y f x =5x =()y f x =0x =()y f x =1x <-()0f x '<()f x 13x -<<()0f x '>()f x 35x <<()0f x '<()f x 5x >()0f x '>()f x (),1-∞-(3,5)(1,3)-(5,)+∞()f x 1x =-5x =3x =C 22142x y m m+=-+2m =C (1F (20,F 6m =C 2y x =±C m 2m <-m C【答案】ABD 【解析】【分析】AB 选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C 选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D 选项，求出曲线表示圆时m 的值.【详解】当时，曲线：，是焦点在y 轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A 正确；当时，曲线：，是焦点在在y 轴上的双曲线，则的渐近线为，B 正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C 错误；当，即时，，表示圆，D 正确故选：ABD11. 已知圆和圆相交于､两点，下列说法正确的为（）A. 两圆有两条公切线 B. 直线的方程为C. 线段的长为D. 圆上点，圆上点，的最大值为【答案】ABD 【解析】【分析】由给定条件判断圆O 与圆M 的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，，，于是得圆O 与圆M 相交，圆O 与圆M 有两条公切线，A 正确；由得：，则直线的方程为，B 正确；圆心O 到直线：的距离，则，C 不正确；m C ()()420m m -+<C 2m =C 22124x y +=2422c =-=(1F(20,F6m =C 22182-=y x C2yx =±C ()()420m m-+<4m>2m <-42m m -=+1m =223x y +=22:4O x y +=22:4240M x y x y +-+=+A B AB 24y x =+AB 65O E M F EF 3+22:4O x y +=(0,0)O 12r =22:(2)(1)1M x y ++-=(2,1)M -21r =||OM ==1212||r r OM r r -<<+222244240x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩4280x y -+=AB 24y x =+AB 240x y -+=d ==||AB ===，当且仅当点E ，O ，M ，F 四点共线时取“=”，如图，因此，当点E ，F 分别是直线OM 与圆O 交点，与圆M 交点时，，D 正确.故选：ABD12. 已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（）A. 若，则；B. 若，则满足题意的点有四个；C. 椭圆内接矩形周长的最大值为20；D. 若为钝角三角形，则；【答案】BCD 【解析】【分析】由题可得，，结合选项利用面积公式可得可判断ABD ，设椭圆内接矩形的一个顶点为，利用辅助角公式可得周长的范围可判断C.【详解】∵椭圆：，∴，∴，设，则，，若，则，所以不存在，故A错误；12||||||||||||||3EF EO OF EO OM MF r OM r ≤+≤++=++=+E 'F 'max ||3EF =C 221169x y +=P 1F 2F 12F PF θ∠=12PF F △S S 9=90θ=︒3S =P C 12PF F △S ⎛∈ ⎝4,3a b ==c =11(,)P x y 1y C (4cos ,3sin )(02πααα<<C 221169x y +=4,3a b ==c =12128,PF PF F F +==11(,)P x y 12112S F F y =⋅⋅13y ≤S 9=13y =>12PF F △若，则，可得，故满足题意的点有四个，故B正确；设椭圆内接矩形的一个顶点为，则椭圆内接矩形周长为其中，由得，∴椭圆内接矩形周长的范围为，即，故C 正确；由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时当为钝角三角形时，，所以，故D 正确.故选：BCD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 椭圆：的离心率为_____﹒【解析】【分析】根据椭圆的几何性质求解即可﹒【详解】∵椭圆为，∴，∴﹒﹒14. 已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.3S =11y y ==1x =P C (4cos ,3sin )(0)2πααα<<C 4(4cos 3sin )20sin(),αααϕ+=+43sin ,cos 55ϕϕ==02πα<<(,)2παϕϕϕ+∈+C (20sin(),20sin ]22ππϕ+(12,20]θ12PF F ∠12PF F ∠194y =12112S F F y =⋅⋅=12PF F △194y <S ⎛∈ ⎝C 22132y x +=22132y x +=1a c ===c e a ==()4,9A ()6,3B AB【答案】【解析】【分析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.15. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的解析式，得出焦点坐标，且由题意可知，进而根据向量的坐标运算求出，再根据向量的数量积求得，从而可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，抛物线的焦点坐标，且，由于是抛物线上一点，则，，，，且，解得：，所以的取值范围是.故答案为：.()()225610x x -+-=AB 2AB ()4,9A ()6,3B AB ()5,6AB ==()()225610x x -+-=()()225610x x -+-=()00,M x y 24y x =F ()1,0P -0MF MP ⋅< 0x )2⎡-⎣()1,0F ()200040y x x =≥()()00001,,1,MF x y MP x y →→=--=---200410MF MP x x →→⋅=+-<0x 24y x =()1,0F()1,0P -()00,M x y 24y x =()200040y xx =≥()()00001,,1,MF x y MP x y →→∴=--=---()()2222000000011141MF MP x x y x y x x →→∴⋅=---+=+-=+-0MF MP →→⋅< 200410x x ∴+-<00x ≥002x ≤<-0x )2⎡-⎣)2⎡-⎣16. 已知函数，若，且恒成立，则实数a 的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】由题意得到，由，得到，所以，构造函数，利用导数求出的最小值即可.【详解】由题可知当时，函数单调递增，，当时，，设，则必有，所以，所以，所以，设，则，则时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以的最小值为.所以恒成立，即，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）17. 在中，角所对的边分别为.（1）求角；（2）若，的面积为，求.1ln ,1(){11,122x x f x x x +≥=+<12x x ≠()()12122,2f x f x x x a +=+-≥12ln 2a ≤-121x x <<12()()2f x f x +=1212ln x x =-122212ln x x x x +=-+()12ln (1)g x x x x =-+>()g x 1≥x ()f x min ()(1)1f x f ==1x <()1f x <12x x <121x x <<1212121113()1(ln ln 2222)2f x f x x x x x +=+++=++=1212ln x x =-122212ln x x x x +=-+()12ln (1)g x x x x =-+>22()1x g x x x+'-=-=12x <<()0g x '<()g x 2x >()0g x '>()g x min ()(2)g x g ==12ln2232ln2-+=-12x x +32ln2-122x x a +-≥122a x x ≤+-12ln 2a ≤-12ln 2a ≤-ABC V ,,A B C ,,abc cos sin C c B =C 2b =ABC V c【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），进而得在求解即可得答案；（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.【小问1详解】，，因为，，即因为，所以.小问2详解】解：因为的面积为，，所以，即，因为，所以，所以，解得.所以.18. 1.已知圆：，其中．（1）如果圆与圆外切，求的值；（2）如果直线与圆相交所得的弦长为的值．【答案】（1）20 （2）8【解析】【分析】（1）两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和，列出方程，进行求解；（2）先用点到直线距离公式，求出圆的圆心到直线的距离，再用垂径定理列出方程，求出的值.【3C π=c =cos sin sin B C C B =tan C =8ab =2b =4a =cos sin C c B =cos sin sin B C C B =()0,,sin 0B B π∈≠sin C C =tan C =()0,C π∈3C π=ABC V 3C π=1sin 2S ab C ===8ab =2b =4a =2222201cos 2162a b c c C ab +--===c =c =C 22(3)(4)36x y m -+-=-m ∈R C 221x y +=m 30x y +-=C m C 30x y +-=m【小问1详解】圆的圆心为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，【小问2详解】圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由频率之和为1求参数a ，再根据直方图求均值.C ()3,4C 221x y +=1=+20m =C 30x y +-=d 222d =-8m =x [)50,60[)60,70[)80,90[)80,9074710（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法求古典概型的概率即可.【小问1详解】根据频率分布直方图得：∴，根据频率分布直方图得：，【小问2详解】由，和的频率之比为：1∶2∶2，故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，故概率．20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析[)50,60[)60,70[)80,90()0.0050.0120.045101a +++⨯=0.02a =()550.01650.02750.045850.02950.00510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯74=[)50,60[)60,70[)80,90[)50,60[)60,70[)80,90[)50,60a [)60,70b c [)80,90A B(),a b (),a c (),a A (),a B (),b c (),b A (),b B (),c A (),c B (),A B [)80,90710P =P ABCD -ABCD PA ⊥,60ABCD ABC ∠= E BC F PC AEF ⊥PAD 2PA AB ==AEF CEF（2）【解析】【分析】（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.【小问1详解】因为底面是菱形，，所以△为等边三角形，所以平分，所以，所以，又因为平面，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】据题意，建立空间直角坐标系如图所示：因为，所以，设平面一个法向量为，平面一个法向量为，因为，则，即，取，则，，所以，又因为，则，即，取，则，所以，所以AE AD ⊥PA AE ⊥AE ⊥PAD ABCD 60ABC ∠=︒ABC AE BAC ∠()6018060902EAD ︒∠=︒-︒-=︒AE AD ⊥PA ⊥ABCD PA AE ⊥PA AD A ⋂=AE ⊥PAD AE ⊂AEF AEF ⊥PAD 2PA AB ==())())0,0,0,,0,0,2,,A EP C1,12⎫⎪⎪⎭F AEF ()1111,,n x y z = EFC ()2222,,n x y z =)1,,12AE AF ⎫==⎪⎪⎭，01100AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111020y z =++=12y =10x =11z =-()10,2,1n =-()10,1,,,12EC EF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭0 2200EC n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220102y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩22x =220,y z ==(2n =u u r121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为21. 已知椭圆的中心是坐标原点，左右焦点分别为，设是椭圆上一点，满足轴，，椭圆（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用是椭圆上一点，满足轴，．列出方程组，求出，即可得到椭圆方程．（2）由（1）可知，设直线为，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可得到，从而得到，再根据，即可得到，再利用基本不等式求出最值即可；【小问1详解】()2222:10x y C a b a b+=>>O 12,F F P C 2PF x ⊥212PF =C C C 1F x l ,A B 2ABF V 2214x y +=12P C 2PF x ⊥21||2PF =a b 28ABF C =V l x my =-()11,A x y ()22,B x y 12y y -2121212ABF S F F y y =⋅-V 2182ABF S R =⨯⨯V R =解：由题意是椭圆上一点，满足轴，所以，解得所以．【小问2详解】解：由（1）可知，，设直线为，消去得，设，，则，所以所以，令内切圆的半径为，则，即，令，则，当且仅当，，即时等号成立，所以当时，取得最大值；22. 已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当函数有两个极值点，，且.证明：P C 2PF x ⊥21||2PF =222212c a b a c a b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2214x y +=()1F 222112248ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==V l x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩x ()22410m y +--=()11,A x y ()22,B x y 12y y +=12214y y m -=+12y y -===2121212ABFS F F y y =⋅-=V R 2182ABF S R =⨯⨯V R =t =12R ==≤=3t t =t =m =m =R 12()21ln 2f x x ax x =-+-a R ∈1a =()f x 1x =()f x ()f x 1x 2x 12x x <()()124213ln 2f x f x -≤+【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据一元二次方程根判别式，结合导数的性质进行分类讨论求解即可；（3）根据极值定义，给合（2）的结论，构造新函数，再利用导数的性质，新函数的单调性进行证明即可.【小问1详解】当时，.∴.，..∴在处的切线方程.小问2详解】的定义域.；①当时，即，，此时在单调递减；②当时，即或，（i ）当时，∴在，单调递减，在单调递增.（ii ）当时，的的【2230x y +-=1a =()21ln 2f x x x x =-+-()11f x x x'=-+-()'11f =-()111221f =-+=()()11122302y x x y -=--⇒+-=()f x 1x =2230x y +-=()f x ()0,∞+()211x ax f x x a x x-+'=-+-=-240a -≤22a -≤≤()0f x '≤()f x ()0,∞+240a ->2a >2a <-2a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()f x 2a <-∴单调递减；综上所述，当时，在单调递减；当时，在，单调递减，在单调递增.【小问3详解】由（2）知，当时，有两个极值点，，且满足：，由题意知，.∴令.则.在单调递增，在单调递减.∴.即.在()f x ()0,∞+2a ≤()f x ()0,∞+2a >()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()fx 2a >()f x 1x 2x 12121x x ax x +=⎧⎨⋅=⎩1201x x <<<()()221211122211424ln 2ln 22f x f x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫-=-+---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111222244ln 22ln x ax x x ax x =-+-+-+()()221112122122244ln 22ln x x x x x x x x x x =-++-+-++2222226ln 2x x x =-++()()2226ln 21g x x x x x=-++>()3462g x x x x'=--+=()g x ()+∞()2max 213ln 2g x g==-++=+()()124213ln 2f x f x -≤+。

青海省海南藏族自治州高级中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题

海南州高级中学2021~2022学年度第一学期期末考试高二数学（理科）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．Rt ABC △绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是（）A ．圆台B ．圆台或两个圆锥的组合体C ．圆锥或两个圆锥的组合体D ．圆柱3．双曲线C ：22124x y -=的实轴长为（）A ．B C ．4D ．24．命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x ≤C ．若1x <，则0x <D ．若1≥x ，则0x <5．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则（）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线248y x =的准线上，则双曲线的方程为()A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M相等的向量是（）A ．1122a b c--+ B ．1122a b c-++C ．1122a b c-+ D ．1122a b c++ 8．设集合()(){}110M x x x =-+>，集合()(){}110N x x x =-+>，则“x M ∈”是“x ∈N ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1e ，双曲线22222:1x yC a b-=的离心率为2e ，则（）A ．212e e =B ．112e e +=C ．22211e e =+D ．22122e e +=10．已知向量()1,2,3a =- ，()2,1,4b =--，则下列向量中，使{},,a b c 能构成空间的一个基底的向量是（）A ．()2,1,4c =-B ．()1,1,1c =-C ．()8,7,18c =-D ．()1,2,4c =--11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．54B ．45C ．27D ．8112．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，则点1C 到平面1A BD 的距离是（）A B ．3C D 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离为____14．已知直线l1：1）x +y ﹣2=0与l 2：1）x +ay ﹣4=0平行，则a =_____.15．已知圆1C ：222310x y x y ++++=，圆2C ：224320x y x y ++++=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是______．16．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点（A 在B的上方），且l 与准线交于点C ，若3CB BF = ，则||||AF BF =_________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)p ：任意两个等边三角形都是相似的；(2)q ：0x ∃∈R ，200220x x ++=.18．已知直线1l ：2240kx y k --+=，直线2l ：224480k x y k +--=.（1）若12l l //，求1l 与2l 的距离d ；（2）若12l l ⊥，求1l 与2l 的交点P 的坐标.19．已知圆N 的圆心在直线250x y -+=上，且圆N 经过点(3,1)A 与点(6,4)B .(1)求圆N 的方程；(2)过点(6,9)D 作圆N 的切线，求切线所在的直线的方程.20．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AC BC ==，AP AB ==，D 为BP 的中点.(1)证明：BC ⊥平面PAC ；(2)求平面ACD 与平面PBC 所成二面角的正弦值.21．已知椭圆22:14+=y C x ，直线:l y x m =+.(1)若直线l 与椭圆C 相切，求实数m 的值；(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ､B 两点，P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，且1||5=OP ，求实数m 的值.22．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AB |＝4．（1）求抛物线的方程；（2）过点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若△OPQ 的面积为4，求直线l 的斜率（其中O 为坐标原点）．1．D【分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D2．C【分析】讨论是按直角边旋转还是按斜边旋转【详解】按直角边选择可得下图圆锥：如果按直角边旋转可得下图的两个圆锥的组合体：故选：C3．A【分析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.【详解】因为双曲线22221x y a b-=的实轴长为2a ，而双曲线22124x y -=中，22a =，所以其实轴长为．故选：A 4．B 【分析】根据原命题的否命题是条件结论都要否定．【详解】解：因为原命题的否命题是条件结论都要否定．所以命题“若1x >，则0x >”的否命题是若1x ≤，则0x ≤；故选：B 5．D 【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．6．A 【分析】根据双曲线渐近线方程得a 和b 的关系，根据焦点在抛物线准线上得c 的值，结合a 、b 、c 关系即可求解.【详解】∵双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，∴223bb a a=⇒=，∵248y x =的准线方程是12x =-，∴12c =，∵222c a b =+，∴222144336a a a =+⇒=，2336108b =⨯=，∴双曲线标准方程为：22136108x y -=.故选：A.7．B 【分析】根据1112=+=+B M B B BM c uuuu r uuu r uuu r r uu u r代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r rr r 故选：B.8．A 【分析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【详解】(1)(1)0x x -+>，解得11x -<<，故(1,1)M =-(1||)(1)0x x -+>，可化为1010x x ⎧->⎨+>⎩或1010x x ⎧-<⎨+<⎩，解得11x -<<或1x <-，故(,1)(1,1)N =-∞-- ，故“x M ∈”是“x ∈N ”的充分不必要条件故选：A 9．D 【分析】根据给定的方程求出离心率1e ，2e 的表达式，再计算判断作答.【详解】因椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1e ，则有22221221a b b e a a-==-，因双曲线22222:1x y C a b-=的离心率为2e ，则有22222221a b b e a a +==+，所以22122e e +=.故选：D 10．D 【分析】根据向量共面基本定理只需c x a y b →→→=+无解即可满足{},,a b c构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.【详解】因为()2,1,4c b =-=- ，所以A 中的向量c 不能与a ，b 构成基底；因为()1,1,1c a b =-=+ ，所以B 中的向量c 不能与a ，b构成基底；对于()8,7,18c =- ，设c xa yb =+ ，则28,27,3418x y x y x y -+=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2x =，3y =-，所以23c a b =-，故a ，b ，c 为共面向量，所以C 中的向量c 不能与a ，b 构成基底；对于()1,2,4c =-- ，设c xa yb =+ ，则21,22,344x y x y x y -+=-⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，此方程组无解，所以a ，b ，c 不共面，故D 中的向量c 与a ，b可以构成基底.故选：D 11．B 【详解】由三视图可得该几何体是由平行六面体切割掉一个三棱锥而成，直观图如图所示，所以该几何体的体积为113363364532⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=故选B点睛：本题考查了组合体的体积，由三视图还原出几何体，由四棱柱的体积减去三棱锥的体积.12．D 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量所学点到面的距离公式求解即可.【详解】建立如下图所示空间直角坐标系，以D 为坐标原点，1DD 所在直线为z 轴，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴.因为正方体的边长为4，所以()0,0,0D ，()4,0,0A ，()14,0,4A ，()4,4,0B ，()10,4,4C ，所以()114,4,0C A =- ，()14,0,4DA =，()4,4,0DB = ，设平面1A BD 的法向量(),,n x y z = ，所以10n DA ⋅= ，0n DB ⋅=，即440440x z x y +=⎧⎨+=⎩，设1x =，所以1y =-，1z =-，即()1,1,1n =--r ，设点1C 到平面1A BD 的距离为d ，所以11C A n d n⋅==故选：D.13．14【分析】根据椭圆的定义122PF PF a +=及椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，可得2PF 的长.【详解】解：根据椭圆的定义122PF PF a +=，又椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，2620PF ∴+=，故214PF =，故答案：14.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.14．2【分析】根据两直线平行的充要条件求解．【详解】412a-=≠-，解得2a=故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1112220,0A xB yC A x B y C++=++=平行的充要条件是12210A B A B-=，1221AC AC-≠或1221B C B C-≠，在222,,A B C均不为0时，用111222A B CA B C=≠表示容易理解与记忆．15．相交【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.【详解】221:2310C x y x y++++=化为2239(1)24x y⎛⎫+++=⎪⎝⎭，222:4320C x y x y++++=化为22317(2)24x y⎛⎫+++=⎪⎝⎭，则两圆圆心分别为：131,2C⎛⎫--⎪⎝⎭，232,2C⎛⎫--⎪⎝⎭，半径分别为：3,2R r==圆心距为1d=，33122>>，所以两圆相交.故答案为：相交.16．2【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为1A，1B，由11||||||||BB AABFBC BC AC==可求.分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，设||BF x =，||AF y =，则11||||||||BB AA BF BC BC AC ==，∴133y y x x =++，∴||2||AF y BF x ==.故答案为：2.17．(1)存在两个等边三角形不是相似的，假命题(2)2,220x R x x ∀∈++≠，真命题【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.（1）解：命题:p “任意两个等边三角形都是相似的”是一个全称命题根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定:p ⌝“存在两个等边三角形不是相似的”，命题p ⌝为假命题.（2）解：根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题:q 2000,220x R x x ∃∈++=的否定为:q ⌝2,220x R x x ∀∈++≠.因为2222(1)10x x x ++=++≠，所以命题q ⌝为真命题.18．(1)d =(2)(3,3)P .分析：（1）先根据12//l l 求出k 的值，再利用平行线间的距离公式求1l 与2l 的距离d .(2)先根据12l l ⊥求出k 的值，再解方程组得1l 与2l 的交点P 的坐标.详解：（1）若12//l l ，则由242k k ⋅=-⋅，即2240k k +=，解得0k =或2k =-.当0k =时，直线1l ：240y -+=，直线2l ：480y -=，两直线重合，不符合12//l l ，故舍去；当2k =-时，直线1l ：40x y +-=，直线2l ：60x y +-=，所以d ==.（2）若12l l ⊥，则由()232480k k k ⋅+-⋅=-=，得2k =.所以两直线方程为1l ：0x y -=，2l ：60x y +-=，联立方程组060x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以1l 与2l 的交点P 的坐标为()3,3P .点睛：（1）本题主要考查直线的位置关系和距离的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)直线0ax by c ++=与直线0dx ey f ++=平行，则0ae bd -=且两直线不重合.直线0ax by c ++=与直线0dx ey f ++=垂直，则0ad be +=.19．(1)22(3)(4)9x y -+-=(2)6x =或815870x y -+=【分析】（1）由几何法联立线段AB 的垂直平分线方程70x y +-=与250x y -+=得圆心()3,4N ，∴3AN r ==.则圆N 的方程可求，（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为6x =.当切线斜率存在时，利用N 到直线的距离等于半径，解得k ，即可到切线所在直线的方程.（1）线段AB 的中点为95,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵1AB k =，由点斜式可得线段AB 的垂直平分线为70x y +-=，与250x y -+=联立得交点()3,4N ，∴3AN r ==.∴圆N 的方程为()()22349x y -+-=.（2）当切线斜率不存在时，切线方程为6x =.当切线斜率存在时，设切线方程为()96y k x -=-，即960kx y k -+-=，则N 3=，解得815k =，∴切线方程为815870x y -+=.故满足条件的切线方程为6x =或815870x y -+=.20．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据勾股定理先证明AC BC ⊥，然后证明PA BC ⊥，进而通过线面垂直的判定定理证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而求出两个平面的法向量，然后通过空间向量的夹角公式求得答案.(1)∵AB =2AC BC ==，∴222AB AC BC =+，∴AC BC ⊥，∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，∵PA BC ⊥，AC BC ⊥，AP AC A ⋂=，∴BC ⊥平面PAC .(2)以点C 为坐标原点，向量CB →，CA →的方向分别为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,2,0A，(P，(D ，设平面ACD 的法向量为()111,,m x y z →=，由()0,2,0CA →=，(CD →=，有111120,0,CA m y CD m x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1x =，可得平面ACD的一个法向量为)1m →=-.设平面PBC 的一个法向量为()222,,n x y z →=，由(0,2,CP →=，()2,0,0CB →=，有22220,20,CP n y CB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩取2y =PBC的一个法向量为()1n →=-，所以1|cos ,|3m n →→<>=，故平面ACD 与平面PBC3=.21．(1)m =(2)m或17-.【分析】（1）利用判别式0∆=直接求解；（2）用“设而不求法”表示出1||5=OP ，即可求出m .(1)联立2214y x y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 可得225240x mx m ++-=.因为直线l 与椭圆C 相切，所以()2242040m m ∆=--=，解得：m =(2)设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y .联立2214y x y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 可得225240x mx m ++-=.所以,2121224,55m m x x x x -+=-=，所以1212825m y y x x m +=++=.又由0∆>,可得m <<所以1212004,2525x x y y m m x y ++==-==.因为1||5=OP ,15，解得m =，所以实数m 或.22．（1）24y x =；（2）3.【分析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得24p =，从而可得结果；（2）设直线l 的方程为()()()11221,,,,y k x P x y Q x y =-，1y x k =+代入24y x =，得2440y y k--=，利用弦长公式，结合韦达定理可得的PQ 值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得142OPQ S PQ d =⋅⋅= ，从而可得结果.【详解】（1）由抛物线的定义得A B 、到准线的距离都是p ，所以|AB |＝2p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝4x ．（2）设直线l 的方程为y ＝k (x -1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k ≠0，得1y x k =+，代入y 2＝4x ，得2440y y k --=，且216160k ∆=+>恒成立，则124y y k+=，y 1y 2＝-4，所以()212241k PQ y y k+-=．又点O 到直线l 的距离d =所以142OPQ S PQ d =⋅⋅= ，解得213k =，即k =【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．。

高二数学第一学期期末试卷(有答案)

高二数学第一学期期末试卷（理科）一、选择题、本大题共12小题，每小题4分共48分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将你认为的正确选项填在后面答题纸上的答题栏中。

1、条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件2、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（）A 2B 3C 4D 53、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4- D. 44、以椭圆252x +92y =1的焦点为焦点，离心率e =2的双曲线方程是（）A.62x －122y =1B.62x －142y =1C.42x －142y =1D.42x －122y =1 5、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段6、若”133“”3“,22表示双曲线方程是则=+-->∈k y k x k R k 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、下列命题中，是正确的全称命题的是（）A. 对任意的,a b R ∈，都有222220a b a b +--+<；B. 菱形的两条对角线相等；C. x x ∃=；D. 对数函数在定义域上是单调函数。

8、若双曲线22a x －22by =1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心高一班姓名：学号：率是（）A.2B.3C.34D.359、一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2－6x +8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆10、已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到x 轴的距离为 ( )A.43 B. 53 C. 11、已知F 1、F 2为椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2=60°,则椭圆的离心率为（）A.21B. 22C. 33D. 2312、已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题、本大题共4小题，每小题4分共16分。

内蒙古2022学年高二数学上学期期末考试试题理

高二数学上学期期末考试试题理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知直线x-y-2=0,则该直线的倾斜角为( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°2.为了了解全校240名学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,下列说法正确的是( )A.总体是240B.个体是每一个学生C.样本是40名学生D.样本容量是403、若命题:2p x =且3y =,则p ⌝是( )A. 2x ≠或3y ≠B. 2x ≠且3y ≠C. 2x =或3y ≠D. 2x ≠或3y =4、设集合{}x ||x 1A x 0,B x 0x 3⎧⎫=<=⎨⎩⎭<-<⎬,那么“m A ∈”是“m B ∈”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在空间直角坐标系中已知点P(0,0,)和点C(-1,2,0),则在y 轴上到P 和C 的距离相等的点M 坐标是( )(A)(0,1,0) (B)（0,-,0）(C)（0,,0）(D)(0,2,0) 6.33若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切,则a 的值为( )(A)1或-1 (B)2或-2 (C)1 (D)-17.在空间给出下面四个命题(其中m,n 为不同的两条直线,α,β为不同的两个平面)①m ⊥α,n ∥α⇒m ⊥n ②m ∥n,n ∥α⇒m ∥α ③m ∥n,n ⊥β,m ∥α⇒α⊥β ④m ∩n=A,m ∥α,m ∥β,n ∥α,n ∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个8.阅读如图所示的程序框图,若输入的a ,b ,c 的值分别是21,32,75,则输出的a ,b ,c 分别是( )A.75,21,32B.21,32,75C.32,21,75D.75,32,219.已知x,y的取值如表所示:x234y645如果y与x呈线性相关且线性回归方程为1ˆ2ˆ3y bx=+,则ˆb等于( ) A.12- B.1 2C.110- D.11010.直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程是( )(A)2x-y=0 (B)2x-y-2=0(C)x+2y-3=0 (D)x-2y+3=0只有一个交点,共有3个交点,故选C.11.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.估计这次测试中数学成绩的平均分为( )A.50B.60C.72D.8012.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥DABC的体积为( )(A)a 3 (B) (C)a 3(D) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为___________.14、已知平面α,β和直线m ,给出条件:①m //α;②m α⊥;③m α⊂;④αβ⊥⑤α//β.1.当满足条件__________时,有m //β2.当满足条件__________时,有m β⊥.15.点()1,1P -到直线:32l y =的距离是__________16.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于A,B 两点,则△AOB(O 为坐标原点)的面积为 .三、解答题（本大题共6个大题。

2022-2023学年四川省安岳县周礼中学高二年级上册学期期末测数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省安岳县周礼中学高二上学期期末测数学（理）试题一、单选题1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．234+42【答案】B【分析】由三视图判断该几何体是有三条棱两两垂直是三棱锥，结合三视图的数据可得结果.【详解】由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥，其中AB ，BC ，BP 两两垂直，-P ABC 且，则和的面积都是1，的面积为2，1,2AB BC BP ===ABC ∆ABP ∆PBC ∆在中，PAC ∆PC AC AP ===则的面积为PAC ∆12⨯=所以该几何体的表面积为4+故选：B.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.2．已知圆和，则两圆的位置关系是（）221:1C x y +=222:540C x y x +-+=A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【详解】由题意，知圆的圆心，半径.1C 1(0,0)C 1r =圆的方程可化为，则其圆心，半径.2C 225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭32R =因为两圆的圆心距，故两圆外切.12531+22C C R r ===+故选：C.3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点ABC A B C ''' 是斜边的中点，且，则的边边上的高为（）O 'B C ''1A O ¢¢=ABC BCA ．1B ．2C D ．【答案】D【分析】在直观图中∥轴，可知原图形中∥轴，故,,求直观图A C ''y 'AC y AC BC ⊥12C C A A ¢¢=中的长即可求解.A C ''【详解】∵直观图是等腰直角三角形，，∴A B C '''90,1B A C A O ¢¢¢°¢¢Ð==A C ¢¢=平行于轴的长度变为原来的一半,y∴△的边上的高故选D.ABC BC 2AC A C ¢¢==【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）221221x y k k +=--x k A ．B ．C ．D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞()1,21,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.k k 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.221221x y k k +=--x 221210k k k ->-⎧⎨->⎩112k <<故选：D.5．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点SO SAC B 60BOC ∠=︒是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）M SA ABCM A ．BC ．D1334【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.,AB CM 【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，O SAC x OC OS y z 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，2OC =则根据题意可得，，，，()0,2,0A-)B ()0,2,0C (0,M -所以，，)AB = (0,CM =- 设异面直线与所成角为，AB CM θ则.3cos cos ,4AB θ= 故选：C .6．鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（）A ．B ．C ．49πD ．493π3432π3436π【答案】D【解析】将三棱锥A -BCD 可放在长方体中确定直径AD ，计算即得结果.【详解】依题意，三棱锥A -BCD 可放在长方体中，如图所示易得三棱锥A -BCD 的外接球的直径为AD ，则，故三棱锥A -BCD 的外接球的半7AD ==径，所以．72R =347343326A BCD V ππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.7．如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB ，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线.2π若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点则小虫爬行路线的最短长度是（）.A ．B ．C ．D ．23【答案】B【分析】展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.【详解】展开圆柱的侧面如图所示，由图可知小虫爬行路线的最短长度是.AC ==故选：B8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是:20l kx y --=1C x =-k （）A ．B ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦4,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】确定曲线是半圆（右半圆），直线过定点，求出直线过点时的斜率，再C l (0,2)P -l (1,0)A 求得直线与半圆相切时的斜率，由图形可得的范围．l k 【详解】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，:20l kx y --=(0,2)P- 1C x =- (1,1)C 半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，．如图，作出半圆，1x =(1,2)(1,0)C 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；l (1,0)A l C 2k =1l当，得，切线记为．l 1=43k =2l 由图形可知当时，与曲线有两个不同的交点，423k <≤l C 故选：A ．9．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线()222:104y x C a a -=>()2224x y -+=165的离心率为（）CA B C ．D 53【答案】C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.a e =【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；2a y x =±由圆的方程知：圆心为，半径；()2,02r =与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，2a y x =2a y x =-x x 两条渐近线截圆所得弦长相等，∴不妨取，即，则圆心到直线距离2a y x=20ax y -=d =弦长为，解得：，∴165==32a =双曲线离心率.∴53e ===故选：C.10．已知抛物线：的焦点为,是C 上一点，，则（）C 2y x =F 00(,)A x y 05||4AF x =0x =A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】解方程即得解.001544x x +=【详解】解：由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解14x =-014AF x =+001544x x +=得．01x =故选：A11．设l 是直线，，是两个不同的平面（）αβA ．若，，则B ．若，，则//l α//l β//αβ//l αl β⊥αβ⊥C ．若，，则D ．若，，则αβ⊥l α⊥l β⊥αβ⊥//l αl β⊥【答案】B【分析】结合空间中直线、平面的位置关系可逐一判断选项中空间中直线、平面的位置关系是否正确.【详解】若，，则，可能平行也可能相交，故A 错误；//l α//l βαβ，，则存在，，则，故，故B 正确；//l αl β⊥m α⊂//l m m β⊥αβ⊥若，，则或，故C 错误；αβ⊥l α⊥//l βl β⊂若，，则l 与相交、平行或，故D 错误.αβ⊥//l αβl β⊂故选：B.12．已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥S ABC -1SA SB SC ===SA SB SC P 外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是S ABC -P ABCA B C D 【答案】C【分析】是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,,,SA SB SC MNQB ADCS -S B 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体,,BM BQ BS x y z S ABC -的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离MNQB ADCS -P N P ABC 最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.ABC【详解】三棱锥，满足两两垂直，且，S ABC -,,SA SB SC ,,1SA SB SC =如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,∴,,SA SB SC MNQB ADCS -S 以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,B ,,BM BQ BS x y z 则，()()()()()0,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0B A C S N ，()()()1,0,1,0,1,1,1,1,0BA BC BN ===设平面的法向量，ABC (),,n x y z =则，取，得，0n BA x z n BC y z⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩1x =()1,1,1n =-三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，S ABC -MNQB ADCS -是三棱锥外接球上一动点，P S ABC -由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，∴P N 点到平面的距离最大，P ABC 点到平面的距离的最大值为故选C.∴P ABC d 【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.二、填空题13．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.22221x y a b -=【答案】y =【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.2c a =222+=a b c ,a b 【详解】解：由题可知，离心率，即，2c e a ==2c a =又，即，则22224a b c a +==223b a =ba =故此双曲线的渐近线方程为.y =故答案为：.y =14．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．221259y x +=【答案】221204y x +=【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a 2与b 2的方程组即可作答.22221y x a b +=【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y 轴上，半焦距c 有c 2=25-9=16，221259y x +=设它的标准方程为 (a ＞b ＞0)，于是得a 2-b 2=16，22221y x a b +=又点在所求椭圆上，即，22531a b +=联立两个方程得，即，解得b 2=4，则a 2=20，2253116b b +=+222()8480b b +-=所以所求椭圆的标准方程为.221204y x +=故答案为：221204y x +=15．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方22650x y x +++=226910x y x +--=程为___________.【答案】2213627x y +=【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，【详解】圆的圆心为，，22650x y x +++=(3,0)A -1=2r 圆的圆心为，，226910x y x +--=(3,0)B 210r =设动圆的圆心为，半径为，P r由题意得，，则，，||2PA r =+||10PB r =-||+||=12>212PA PB AB a =｜｜，3c =由椭圆定义得的轨迹方程为，P 2213627x y +=故答案为：2213627x y +=16．已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB 的中点为，则F 24C y x =：A B ，C (22)M ，的面积等于_______．ABF △【答案】 2【详解】设过M 的直线方程为，由∴，，由题意，于是直线方程为，，∴，焦点F （1，0）到直线的距离∴的面积是2ABF △三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且P ABCD -ABCD M PA PD ⊥ABCD ，.4PD CD ==2AD =(1)求与平面所成角的正弦；AP CMB (2)求点到平面的距离.M PBC 【答案】(1)45【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出与平面所成角的CMB AP CMB 正弦；（2）先求出平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法即可求解.PBC 【详解】（1）解：由题意，底面是矩形，平面ABCD PD ⊥ABCD 可得：、、两两垂直DA DC DP 所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D ，，是的中点4PD CD == 2AD =M PA ，，，，()2,0,0A ∴()0,0,4P ()1,0,2M ()0,4,0C ()2,4,0B ，，()2,0,4AP =-()1,4,2MB =-()2,0,0BC =-设平面的法向量CMB ()111,,n x y z =则，111142020MB n x y z BC n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令，即11y =()0,1,2n =设与平面所成角为，则AP CMBθ4sin 5θ=（2）解：由（1）知，，，()0,0,4P ()1,0,2M ()0,4,0C ，()0,4,4PC ∴=-()1,4,2MC =--设平面的法向量为，则PBC ()222,,m x y z =，22244020PC m y z BC m x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令，即21y =()0,1,1m =设点到面的距离为，则M PBCd MC m d m⋅===18．如图，的外接圆的直径垂直于圆所在的平面，ABC O 2,AB CE =O .,2,1BD CE CE BC BD ===∥(1)求证：平面平面；AEC ⊥BCED (2)若，求平面与平面夹角的余弦值.13DM DE=ACM ADM 【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）先证明出平面，利用面面垂直的判定定理可以证明；（2）以为原点，BC ⊥ACE C 直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解.CA x CB y CE z 【详解】（1）的外接圆的直径.ABC O AB AC BC ∴⊥又因为平面，平面，所以.EC ⊥ABC BC ⊂ABC EC BC ⊥又平面，平面，,AC EC C AC ⋂=⊂ ACE EC ⊂ACE 平面，BC ∴⊥ACE 又平面平面平面.BC ⊂,BCDE ∴AEC ⊥BCED （2）以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，则C CA x CB yCE z .)()()(),0,1,0,0,1,1,0,0,2AB D E设()()()1124,,,,1,10,1,10,,3333M x y z DM DE x y z M ⎛⎫=⇒--=-⇒ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为CAM ())11124,,,,0,,33m x y z CA CM ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则，不妨令，则.11100240033m CA y z m CM ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =()0,2,1m =- 设平面的法向量为，同理可求.AMD ()222,,n x y z =()n =由图可知，平面与平面夹角不是钝角.ACM ADM 因为cos m ⋅ 所以平面与平面ACM ADM 19．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.(1)求证：CE ⊥PD ；(2)在线段BD （不包括端点）上是否存在点F ，使直线AP 与平面PEF ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为靠近点的三等分点，即；F B 13BF BD=【分析】（1）取的中点，连结，取的中点，连结，利用面面垂直的性质定理证AB O PO CD G OG 明，，两两垂直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方OB OP OG 向向量的坐标，由向量垂直的坐标表示进行分析证明即可；（2）设，则，即可得到的坐标，表示出平面的法向量，(01)BF BD λλ=<< (2,2,0)BF λλ=- EFPEF 利用空间向量方程得到方程，解得即可；【详解】（1）证明：取的中点，连结，AB O PO 因为，所以，PA PB =PO AB ⊥又因为平面平面，平面平面，平面，所以底面PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PO ⊂PAB PO ⊥，ABCD 取的中点，连结，则，，两两垂直，CD G OG OB OP OG 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，OB OG OP x y z 设，则，2AB=(1,2,0),(1,1,0),(1,2,0)C P E D --所以，(2,1,0),(1,2,CE PD =--=- 则，故，220CE PD ⋅=-= CE PD ⊥ 所以；CE PD ⊥（2）解：由（1）可知，，(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,2,0)A B P E D ---所以，，(1,1,PE AP =-= (2,2,0),(2,1,0)BD BE =-=- 设，则，(01)BF BD λλ=<< (2,2,0)BF λλ=- 所以，(22,21,0)EF BF BE λλ=-=-+-设平面的法向量为，PEF (,,)n x y z = 则，即，00n PE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩0(22)(21)0x y x y λλ⎧-+=⎪⎨-++-=⎪⎩令，则1y =21,22x z λλ-==-故，2122n λλ⎛-= -⎝所以，cos ,AP n AP n AP n ⋅===整理可得，解得，29610λλ-+=13λ=所以在上存在点，使得直线与平面为靠近点的三BD F APPEF F B 等分点，即．13BF BD=20．已知圆C ：，直线l ：.228120x y y +-+=20ax y a ++=(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A，B 两点，且|AB |=l 的方程.【答案】(1)；34a =-(2)或.20x y -+=7140x y -+=【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公()0,4C 2r =式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程.【详解】（1）由圆：，可得，C 228120x y y +-+=()2244x y +-=其圆心为，半径，()0,4C 2r =若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.l C C l 2d r =43a =-34a =-（2）由（1）知：圆心到直线的距离d因为，即，解得：2222AB d r ⎛⎫+=⎪⎝⎭2222d +=d =所以，整理得：，解得：或，d 2870a a ++=1a =-7a =-则直线为或.l 20x y -+=7140x y -+=21．已知抛物线，拋物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3．()2:20C y px p =>（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交直线于点E ，直线BF 交直线()1,0-4x =-于点D ，是否存在这样的直线l ，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线=1x -//DE AF l 的方程．【答案】（1）抛物线C 的方程为，准线方程为；（2）存在直线或28y x =2x =-1)y x +．1)y x =+【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式l (1)y k x =+(0)k ≠y 大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列k //DE AF DE AF 方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程.k l 【详解】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，13132p+=4p =28y x =即准线方程为.2x =-（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.l l (1)y k x =+(0)k ≠1122(,),(,)A x y B x y 联立得，消去得. 28(1)y x y k x⎧=⎨=+⎩y 2222(28)0k xk x k +-+=由,解得所以.224(28)40k k ∆=-->k <<k <<0k ≠由韦达定理得,.212282k x x k -+=121=x x 直线的方程为,BF 22(2)2y y x x =--又,所以,所以, 1D x =-2232D y y x -=-223(1,)2y D x ---因为,所以直线与直线的斜率相等//DE AF DE AF又,所以.(4,3)E k --221133232y k x yx -+-=--整理得,即,121222y y k x x =+--1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--化简得,,即. 121211122x x x x ++=+--121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++12+7x x =所以,整理得,2282=7k k-289k =解得. 经检验,符合题意.k =k =所以存在这样的直线,直线的方程为或．ll 1)y x +1)y x =+22．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为2222:1(0)x y E a b a b +=>>(0,1)A (1)求椭圆E 的方程；(2)过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由()11,B x y ()22,C x y 直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x Nx N MMN x x =-【详解】（1）解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为；2a =2214x y +=（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y ，1222x x -≤<≤由，消去整理得，()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，，212216814k kx x k ++=-+2122161614k k x x k +⋅=+直线的方程为，令，解得，AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得，AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++，()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122x x k x x -=++()212124x x x+++⎤⎦221682414k k k ⎤⎛⎫+-+⎥ ⎪+⎝⎭⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k=4k =-。

2022高二数学(理)上学期期末试卷含答案

2022高二数学（理）上学期期末试卷含答案一、单选题1．某奶茶品牌有个连锁店，这些店铺某月的奶茶销量以及相比上个月的涨幅数据如下图所示.则下面叙述不正确的是（）A．该月奶茶销量的中位数为店和店的销量平均数B．该月只有四个店铺的奶茶销量不低于杯C．该月只有店和店的奶茶销量相比上个月有所下滑D．该月奶茶销量的涨幅由高到低排前三位的店铺依次为2．已知向量，，若，则实数的值为A．4B．或1C．D．4或13．已知点,,在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A．B．C．D．4．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（）．A．4200B．3900C．3700D．35005．已知拋物线：的焦点为，准线：，点在拋物线上，点在直线：上的射影为，且直线的斜率为，则的面积为（）A．B．C．D．6．点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是( ) A．B．C．D．7．已知椭圆方程，那么它的焦距是（）A．1B．2C．D．8．执行如图的程序框图，若输入的是，则输出的（）A．10B．15C．21D．289．已知两点，到直线的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为（）A．1B．C．2D．11．已知两点，，若圆上存在点P，使得，则正实数a的取值范围为（）A．B．C．D．12．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．二、填空题13．点P(4，4)为曲线C：上一点，过P作直线PQ交曲线C于点Q(异于P点)，P与曲线C的焦点F的连线与Q点处的切线l垂直，直线l与曲线C的准线交于点M，则____________14．2019年10月1日，盛大的阅兵仪式在北京举行.某班为增强民族自豪感，组织全班50名同学共同观看阅兵仪式.观看结束后，班主任采用系统抽样的方法抽取10名同学，分享观后感，将这50名学生随机编号1~50号，并分组，第一组1~5号，第二组6~10号，…，第十组46~50号，若在第三组中抽得号码为12号学生，则在第八组抽得号码为______________号的学生.15．甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________16．已知圆：，圆与圆关于点对称，则圆的方程。

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汉江中学2016年秋季学期期末考试
高二数学试卷（理）
卷面分值：150分考试时间：120分钟
一、选择题（12*5=60）
1．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于( )
A.5或3
B.8
C.5
D.5或3
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（）
A.60°
B.120°
C.30°
D.60°或120°
3．已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（）
A ．(10,0)，(10,0)- B.(0,10)，(0,10)-
C ．(0,3)，(0,3)-
D ．(3,0)，(3,0)-
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为
A ．y x =±
B ．3
y x =±
C ．3y x =±
D ．2
y x =±
5．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，模与向量11A B 的模相等的向量有( )
A ． 7个
B ． 3个
C ． 5个
D ． 6个
6．已知椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为（
）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
7．设p ：实数1x >且1y >，:q 实数,x y 满足2x y +>，则p 是q 的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8．,,m n l 为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）
A ．,m l n l ⊥⊥，则//m n
B ． ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥
C ．//,//m n αα，则//m n
D ．//,//αγβγ，则//αβ
9．已知双曲线()22210y x a a -=>的渐近线与圆()22314x y -+=相切，则a =（） A.2 B.5
C.3
D.22
10．P 是椭圆
上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F 1PF 2=3
π，则△F 1PF 2的面积为（）
A ．163
B ．33
C ．93
D ．9(23)+ 11．已知点F 1，F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率e 为( )
A.3
B.3或
3 C.2 D.3
12.给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量a ，b 满足=a b ，则a =b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m =n ，n =p ，则m =p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（）
A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1
二、填空题（4*5=20） 13．命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是__________.
14．已知椭圆，则此椭圆的长半轴长，离心率为。

15已知方程1232
2=-+-k
y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为． 16．α,β是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题:
①如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β．
②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n ．
③如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β．
④如果m ∥n,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）
三、解答题（70分）
17（10分）（1）已知椭圆焦距为8，长半轴长为10，焦点在x 轴上，求椭圆标准方程。

（2）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32
，则求该双曲线的标准方程。

18（12分）、如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1C 1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AB →＋BC →－C 1C →；
(2)12AB →－12
DA →－A 1A →.
19（12分）已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6
π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.
20（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 2
9＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2， P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则求△PF 1F 2的面积。

21．（12分）如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，
BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．
（1）求证：AB ⊥C 1F ；
（2）求证：C 1F ∥平面ABE ；
（3）求三棱锥E ABC 的体积．
22（12分）设圆C 与两圆222254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切. （1）求C 的圆心轨迹L 的方程.
（2）已知点3545)5M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.
高二理科数学·答案
一选择题
1A 2D 3C 4C 5A 6D 7A 8D 9C 10B 11A 12D
二填空题
1332,10x R x x ∃∈-+> 14 10,4/5
15K<2 16②③④
三解答题
17答案：双曲线中c ＝3，e ＝32，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝5，故双曲线方程为x 24－y 25＝1. 18
19解析：a=3,b=1,c=22，则F （-22，0）。

由题意知：)22(3
1:+=x y l 与1922
=+y x 联立消去y 得：01521242=++x x 。

设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x ，4
1521=⋅x x ，223221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点，所以|AB|=2151832
4)(32||31
12122121=-=-+⋅=-⋅+x x x x x x
20解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4. ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 解得|PF 1||PF 2|＝18，
∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9
21【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3） 33 22（1）设两圆222254,54x y x y +=-+=（+）（），圆心分别为），（051-F ,），（052F ，两圆相离，由题意得
||CF 1|－|CF 2||=452<=||21F F ，从而得动圆的圆心C 的轨迹是双曲线. 且2=a ，5=c ，所以12)5(22=-=b ，所求轨迹L 的方程为1422=-y x .
（2）直线MF 的方程为)5(2--=x y ，由方程组22y 2(x 5),x y 1,4⎧=-⎪⎨-=⎪⎩解得115x 525y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22145x 1525y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
由题意可得当P 的坐标为），（5
52556-时，||||||FP M P -的值最大，最大值为||MF =2.。