2018届河南省南阳市第一中学高三第二十次考试数学(理)试题(解析版)
河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试数学(理)试题(精编含解析)
南阳一中2018届高三第二十次考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先由求出复数的代数形式，再由共轭复数定义得到。
详解：由变形可得,所以。
故选C.点睛：本题主要考查复数代数形式的四则运算，以及共轭复数的概念，属于基础题。
2. 命题，命题，真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的有关性质，分别判断出命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可得结果.详解：因为命题p：恒成立，故命题p为真命题；对于命题q：当时，，从而得到，故命题q是假命题，根据复合命题真值表可知是真命题，故选C.点睛：该题考查的是有关判断命题真假的问题，在解题的过程中，注意首先判断命题p,q的真假，之后应用复合命题的真值表得到结果.3. 若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用诱导公式以及余弦的倍角公式，将转化为，之后将其代入求得结果.详解：因为，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，余弦的倍角公式，正确使用公式是解题的关键.4. 某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为,两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设“第一个路口遇见红灯”为事件，“第二个路口遇见红灯”为事件，，则故选5. 已知成等差数列，成等比数列，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用成等差数列，成等比数列，推出的关系，然后求解椭圆的离心率，从而求得结果.详解：由题意成等差数列，知，所以，成等比数列，则，所以，所以，所以，所以，又椭圆，所以，从而有，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等差数列的性质，等比数列的性质，以及椭圆的离心率的求解问题，属于简单题目.6. 执行如图所示的程序框图，若输入,输出的，则空白判断框内应填的条件可能是（）A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】B【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会结束，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行，，，返回；第二次执行，，，，返回；第三次执行，，，，要输出x，故满足判断框，此时，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进行模拟运行，结合题的条件，求得结果.7. 在中，，，，若，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据得，利用以及向量的数量积建立关于的等量关系式，从而求得结果.详解：由，得，所以，又因为，，，所以，解得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的问题，在解题的过程中，还可以有另一种解法，建立相应的坐标系，将向量坐标化，利用向量数量积的坐标公式求得结果.8. 设，函数的图象向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位后所以有故选C9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体如图所示，它是边长为1的正方体割去一个角（沿面对角线割开），再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为1的等腰直角三角形，高也为1，该几何体的体积为，选D.10. 已知二项式，则展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先将式子中的三项中将后两项看作一个整体，之后借助于二项式定理将其展开，对式子进行分析，得到常数项所出现的位置，合并求得结果.详解：因为，因为和的展开式中没有常数项，展开式中的常数项是，展开式中的常数项是，所以二项式展开式的常数项为，故选D.点睛：该题考查的是有关展开式中常数项的值的问题，在解题的过程中，需要将某两项当作一个整体，之后对式子进行分析，得到常数项可能出现的位置，之后合并，从而求得结果.11. 如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将对应的线段转化到一个平面图形内解决，根据条件，得到正棱锥的侧棱长，之后借助于正棱锥的外接球的球心的位置，列出相应的式子，求得其半径，之后应用表面积公式求得结果.详解：根据正四棱锥的性质，将点取在上，根据题意，有当点M取在边时，有，从而有，所以有，所以该四棱锥的外接球的球心落在上，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其外接球的表面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关正棱锥的外接球的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要明确球的半径，结合正四棱锥的外接球的球心的位置，得到其满足的条件，利用相关公式求得结果.12. 已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，构造函数，利用导数判断函数的极值点在，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..详解：因为所以函数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，设，令，令恒成立，单调递减，又，存在，使递增，递减，若解集中的整数恰为个，则是解集中的个整数，故只需，故选B.点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】或【解析】分析：根据函数为偶函数，观察其特征，可得为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点有定义，可得一定有，得到相应的关系式，求得结果.详解：令，根据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.点睛：该题考查的是根据函数的奇偶性判断求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.14. 已知双曲线的离心率为，左焦点为，当点在双曲线右支上运动、点在圆上运动时，则的最小值为__________．【答案】【解析】依题意可知a=1,b=,设B(0,1),由得,问题转化为求点到圆B上点的最小值,即,故．故答案为：.15. 若满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】作可行域，则直线过点A(3,3)时取最大值9.16. 已知为锐角的外心，，若，且，记，则的大小关系为__________．【答案】【解析】分析：首先根据题中的条件，利用向量的平方，结合三角形外心所满足的条件，得到其对应的结果，利用向量的数量积的定义式，得到对应的式子，求得三角形外接圆的半径，结合正弦定理得到对应的结果.详解：若，则，由于O为锐角的外心，所以D,E为边的中点，分别是两边的中垂线，，同样地，所以，所以，根据正弦定理，可得，所以有，从而得到，从而得到，进一步求得，从而可求得，之后借助于余弦函数的单调性得到结果，从而可以求得.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的大小关系的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，正弦定理，余弦函数的单调性，正确应用结论，求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 各项均为正数的数列的前项和为，满足，各项均为正数的等比数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）利用已知条件转化求解数列是等差数列，求解其通项公式，利用等比数列求数列的通项公式；（2）化简，利用错位相减法求解数列的前项和.详解：（1）∴∴又各项为正∴为公差为的等差数列∴∴（2）∴点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列项与和的关系，利用数列的递推公式求其通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和，在解题的过程中，正确使用公式是解题的关键. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，（1）求证：平面平面，（2）若，，，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）根据菱形的性质，得到，结合题中所给的线线垂直的条件，利用线面垂直的判定定理证得底面，之后借助于面面垂直的判定定理证得结果；（2）根据题中所给的相关条件，结合异面直线所成角的概念，利用余弦定理求得结果.详解：（1）证明：∵四边形为菱形，∴∴平面，∴底面.∵平面，∴平面平面.（2）解：连接，∵四边形为菱形，∴为的中点.∵∴在菱形中，∴为等边三角形,∴∴，即∵平面平面∴面∴∴垂直平分∴，∵∴∵∴是异面直线与所成角（或其补角）在中，，∴异面直线与所成角的余弦值为点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有线面垂直的判定，面面垂直的判定，异面直线所成角的概念，余弦定理求角的余弦值，属于中档题目.19. 某工厂每日生产一种产品吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过段时间的产销，得到了的一组统计数据如下表:日产量12345日销售量512161921（1）请判断与中，哪个模型更适合到画之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出关于的回归方程，并估计当日产量时，日销售额是多少?参考数据：，线性回归方程中，，，【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）根据函数增长的规律，分析可以得到更适合刻画间的关系；（2）利用有关公式，结合题中所给的条件，求得结果.详解：（1）更适合刻画之间的关系，理由如下: 值每增加，函数值的增加量分别为，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故更适合刻画间的关系.（2）令，计算知所以.所以所求的回归方程为当时，销售额为(万元)点睛：该题考查的是有关回归分析的问题，在解题的过程中，注意对题意进行分析，对知识点正确理解，对公式的正确使用.20. 如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点，为左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长交于点为上一动点，且在之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好是三个连接的自然数，求面积的最大值.【答案】(1)，.(2).【解析】分析：（1）用表示出，根据基本不等式得出的值，从而得出的方程；（2）用表示出椭圆的方程，联立方程组得出P点坐标，计算出的三边关于的式子，从而确定的值，求出的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出三角形面积的最大值.详解：（1）因为，，则，，所以取最小值时，此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为.（2）因为，，则，，设椭圆的标准方程为，，，由，得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以，此时抛物线方程为，则直线的方程为，联立，得或（舍去）于是.所以，设到直线的距离为，则当时，，所以的面积最大值为.点睛：该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有基本不等式求最值，曲线方程的求解，有关面积的最值，注意相关公式的正确使用.21. 已知函数.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：分析题意，该题可借助于利用导数求函数的单调性和最值的方法进行解答，对于详解：（1）因为对恒成立，等价于对恒成立，设得，故在上单调递增，当时，由上知，所以，即.所以实数的取值范围为；（2）对求导得记由（1）知在区间内单调递增，又，所以存在唯一正实数，使得，∴当时，，函数在区间单调递减；时，，函数在区间单调递增；所以在内有最小值，有题设即，又因为，所以根据（1）知，在内单调递增，，所以，令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在求解的过程中，注意恒成立问题的处理方式，构造新函数，应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，进一步求解即可得结果.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为，(为参数)。
河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第三次考试数学(理)试卷及答案
南阳市第一中学2018届高三上学期第三次考试数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}22|230,|log 12A x x x B x x =--≥=-<，则()R C A B =I （ ） A ．()1,3 B ．()1,3- C ．()3,5 D ．()1,5- 2.命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（ ）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ D ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ 3.函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ． ()2,e D ． ()3,44.函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．-1 C. -5 D ．125.下列四个结论，其中正确结论的个数是（ ）①命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；②命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆否命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④若0x >，则sin x x >恒成立.A ．4个B ． 3个 C. 2个 D ．1个6.函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13,,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．132,2,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ C. 13,,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．132,2,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 7.若121ln 2,5,sin 4a b c xdx π-===⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．a b c <<B ．b a c << C. c b a << D ．b c a << 8.已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．518 B ．518- C. 79 D ．79- 9. 已知函数()()()21sin ,02f x x ωω=->的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位()0a >；所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ． πB ．34π C. 2π D ．4π 10.设正实数,x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．2 B ． 42．1611.已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()1k x f x -<对任意的1x >恒成立，则k 的最大值为（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．5 12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C.存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.函数()()0,0x f x a a a a =->≠的定义域和值域都是[]0,1，则548log log 65aa += ． 14.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3,201422f x f x f ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，则()1f -= ． 15.若函数()1,021,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．16.如图所示，已知ABC ∆中，090C ∠=，6,8,AC BC D ==为边AC 上的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC = ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin α=()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.18. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos b A c a B π=+-. （1）求角B 的大小；（2）若4b =，ABC ∆ABC ∆的周长. 19. 已知(),,2m n R f x x m x n +∈=++-.（1）求()f x 的最小值；（2）若()f x 的最小值为2，求224n m +的最小值.20.已知函数()()243,52f x x x a g x mx m =-++=+-.（1）若()y f x =在[]11-，上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使()()12f x g x =，求实数m 的取值范围.21. 已知函数()()()212ln f x a x x =---. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 最小值. 22. 设函数()()2ln f x ax x a R =--∈.（1）若()f x 在点()(),e f e 处的切线为0x ey b -+=，求,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >.试卷答案一、选择题1-5:ADBAB 6-10:DDCDC 11、12：BC二、填空题13. 3 14. -2 15. 12-16. 73三、解答题17.解：（1）∵02πα<<，且sin 2α=，∴cos α=，∴()()111cos sin cos 222222f αααα⎛=+-=+-= ⎝⎭; （2）∵函数()()21111cos 21cos sin cos sin cos cos sin 222222x f x x x x x x x x +=+-=+-=+- ()1sin 2cos 22224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为22T ππ==；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 解得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈；∴()f x 的单调增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 18.解：（1）∵()()cos 2cos b A c a B π=+-，∴()()cos 2cos b A c a B =+-， 由正弦定理可得：()sin cos 2sin sin cos B A C A B =--，∴()sin 2sin cos sin A B C B C +=-=，又角C 为ABC ∆内角，sin 0C >，∴1cos 2B =-， 又()0,B π∈，∴23B π=， （2）有1sin 2ABC S ac B ∆==4ac =， 又()222216b a c a a c ac =++=+-=，∴a c +=ABC ∆的周长为4+19.解：（1）∵()3,,23,2x m n x m n f x x m n m x n x m n x ⎧⎪--+≤-⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，∴()f x 在,2n ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭是减函数，在,2n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，∴当2nx =时，()f x 取最小值22n n f m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，()f x 的最小值为2n m +，∴22nm +=， ∵2222211,,2242424n n n m n R m m m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+=+≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g ，当且仅当2nm =，即1,2m n ==时，取等号.∴2244n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为2.20.解：（1）∵()243f x x x a =-++的对称轴是2x =，∴()f x 在区间[]1,1-上是减函数，∵()f x 在[]1,1-上存在零点，则必有：()()1010f f ≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，即080a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得：80a -≤≤，故实数a 的取值范围为[]8,0-；（2）若对任意[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使()()12f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集.当0a =时，()[]243,1,4f x x x x =-+∈的值域为[]1,3-，下面求()[]52,1,4g x mx m x =+-∈的值域，①当0m =时，()5g x =，不合题意，故舍；②当0m >时，()52g x mx m =+-的值域为[]5,52m m -+， 只需要[][]1,35,52m m -⊆-+，即51523m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6m ≥；③当0m <时，()52g x mx m =+-的值域为[]52,5m m +-，只需要[][]1,352,5m m -⊆+-，即52153m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-；综上实数m 的取值范围为(][),36,-∞-⋃+∞. 21.解：（1）当1a =时，()12ln f x x x =--，则()21f x x=-，由()0f x >，得2x >，由()0f x <，得02x <<， 故()f x 的单调减区为(]0,2，单调增区间为[)2,+∞. （2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >恒成立，即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>-⎪-⎝⎭恒成立，令()2ln 12,0,12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()222ln 2ln 1x x l x x +-'=-，再令()212ln 2,0,ln 2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()()2221220x m x x x x --'=-+=<，故()m x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，从而()0l x >，于是()l x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22l x l ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，故要使2ln 21x a x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-. 22.解：（1）∵()()2ln f x ax x a R =--∈，∴()11ax f x a x x-'=-=， 又()f x 在点()(),e f e 的切线的斜率为1e ，∴()11ae f e e e -'==，∴2a e=，∴切点为(),1e -把切点代入切线方程得：2b e =-；（2）由（1）知：()()110ax f x a x x x-'=-=>①当0a ≤时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立， ∴()f x 在()0,+∞上是单调减函数，②当0a >时，令()0f x '=，解得：1x a=，当x 变化时，()(),f x f x '随x 变化情况如下表：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调减，当1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，单()f x 单调增，综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调减区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的单调减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调增区间为1,+a⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.(3)当0x >时，要证()0xf x ax e -+>，即证ln 20x e x -->，令()()ln 20xh x e x x =-->，只需证()0h x >，∵()1x h x e x '=-由指数函数及幂函数的性质知：()1x h x e x'=-在()0,+∞上是增函数又()110h e '=->，131303h e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，∴()1103h h ⎛⎫''<< ⎪⎝⎭，()h x '在1,13⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点，也即()h x '在()0,+∞上有唯一零点设()h x '的零点为t ，则()10h t e t''=-=，即1113e t t ⎛⎫'=<< ⎪⎝⎭，由()h x '的单调性知：当()0,x t ∈时，()()0h x h t ''<=，()h x 为减函数当(),x t ∈+∞时，()()0h x h t ''>=，()h x 为增函数，所以当0x >时，()()11ln 2ln 2h x h t e t t e '≥=--=--'，又113t <<，等号不成立，∴()102220h x t t>=+-≥-=.。
2018年河南省南阳市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1．（5分）已知集合，B={x|lgx＜1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3]C．（0，1]D．（0，3]2．（5分）复数z满足，则z=（）A．3+4i B．3﹣4i C．4+3i D．4﹣3i3．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤04．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．245．（5分）若x，y是正数，且+=1，则xy有（）A．最小值16 B．最小值C．最大值16 D．最大值6．（5分）在△ABC中，a=8，b=10，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解7．（5分）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），函数若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．C．（﹣1，2）D．8．（5分）已知y=f（x）是定义域为，值域为的函数，则这样的函数共有（）个．A．6 B．27 C．64 D．819．（5分）若函数f（x）=有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，0]C．（﹣4，0]D．（﹣∞，0）10．（5分）已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心11．（5分）已知有穷数列{a n}中，n=1，2，3，…，729．且a n=（2n﹣1）•（﹣1）n+1．从数列{a}中依次取出a2，a5，a14，…．构成新数列{b n}，容易发现数列{b n}n是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列．记数列{a n}的所有项的和为S，数列{b n}的所有项的和为T，则（）A．S＞T B．S=TC．S＜T D．S与T的大小关系不确定12．（5分）4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、填空题：13．（5分）已知sinθcosθ=，则tanθ=．14．（5分）在△ABC中，AB=7，AC=25．若O为△ABC的外心，则=．15．（5分）下列结论：①“a＞1“是“a＞“的充要条件②∃a＞1，x＞0，使得a x ＜log a x；③函数的最小正周期为；④任意的锐角三角形ABC中，有sinB＞cosA成立．其中所有正确结论的序号为．16．（5分）已知k＞0，b＞0，且kx+b≥ln（x+2）对任意的x＞﹣2恒成立，则的最小值为．三、解答题：17．（10分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}中，b n=log2 a n，求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA （1）求A；（2）若，求△ABC的面积的最值．20．（12分）已知函数，k∈R．（1）如果对任意x＜0，f（x）＜0恒成立，求k的取值范围；（2）若函数f（x）有两个零点，求k的取值范围；（3）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，证明：x1+x2＜﹣2．21．（12分）讨论函数在定义域（0，+∞）上的单调性．22．（12分）已知函数f（x）=﹣mlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若m≥1，试讨论关于x的方程f（x）=x2﹣（m+1）x的解的个数，并说明理由．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）已知集合，B={x|lgx＜1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3]C．（0，1]D．（0，3]【解答】解：∵集合={x|﹣1＜x≤3}，B={x|lgx＜1}={x|0＜x＜10}，∴A∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：D．2．（5分）复数z满足，则z=（）A．3+4i B．3﹣4i C．4+3i D．4﹣3i【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵，∴a﹣bi+=8﹣4i，∴a+=8，﹣b=﹣4，联立解得b=4，a=3．则z=3+4i．故选：A．3．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．4．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1﹣2（11﹣1）=0，解得a1=20．故选：B．5．（5分）若x，y是正数，且+=1，则xy有（）A．最小值16 B．最小值C．最大值16 D．最大值【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴1=≥2=4，当且仅当4x=y=8时取等号．∴，即xy≥16，∴xy有最小值为16．故选：A．6．（5分）在△ABC中，a=8，b=10，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【解答】解：在△ABC中，∵a=8，b=10，A=45°，∴由正弦定理得：，即sinB===，∵A=45°，可得0°＜B＜135°，∴则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选：B．7．（5分）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），函数若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．C．（﹣1，2）D．【解答】解：∵奇函数g（x）满足当x＜0时，g（x）=﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（﹣x）=﹣ln（1+x）=﹣g（x），得当x＞0时，g（x）=﹣g（﹣x）=ln（1+x）∴f（x）的表达式为，∵y=x3是（﹣∞，0）上的增函数，y=ln（1+x）是（0，+∞）上的增函数，∴f（x）在其定义域上是增函数，由此可得：f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，解之得﹣2＜x＜1故选：A．8．（5分）已知y=f（x）是定义域为，值域为的函数，则这样的函数共有（）个．A．6 B．27 C．64 D．81【解答】解：∵={0，，1}，故y=f（x）的定义域和值域均有3个元素，故y=f（x）是一一映射，故有：3×2×1=6个，故选：A．9．（5分）若函数f（x）=有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．（﹣∞，0]C．（﹣4，0]D．（﹣∞，0）【解答】解：由题意得：x≤0时，f（x）=﹣kx2，令g（x）==1+，h（x）=kx2，当x＞0时，f（x）=lnx，函数f（x）过（1，0）点，有一个零点，∴只需g（x）和h（x）有一个交点即可，如图示：，∴k的范围是：（﹣∞，0]．故选：B．10．（5分）已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【解答】解：∵分别表示，方向上的单位向量∴的方向与∠BAC的角平分线一致∵∴∴的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：D．11．（5分）已知有穷数列{a n}中，n=1，2，3，…，729．且a n=（2n﹣1）•（﹣1）n+1．从数列{a}中依次取出a2，a5，a14，…．构成新数列{b n}，容易发现数列{b n}n是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列．记数列{a n}的所有项的和为S，数列{b n}的所有项的和为T，则（）A．S＞T B．S=TC．S＜T D．S与T的大小关系不确定【解答】解：S=1﹣3+5﹣…﹣（2×728﹣1）+（2×729﹣1）=﹣728+2×729﹣1=729．由|﹣3×（﹣3）n﹣1|≤2k﹣1，k≤729，解得：n≤6，可取n=6，﹣3×（﹣3）5=729=（2×365﹣1）×（﹣1）366，∴T==546．∴S＞T．故选：A．12．（5分）4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：设1枝玫瑰花与1枝茶花的价格分别为x元和y元；则有：，对应的平面区域如图：令z=2x﹣3y当过点A时，2x﹣3y有最大值，由，解得A（3，2）此时z=2×3﹣3×2=0．故选：B．二、填空题：13．（5分）已知sinθcosθ=，则tanθ=2或．【解答】解：∵sinθcosθ===，解得tanθ=2，或，故答案为：2或．14．（5分）在△ABC中，AB=7，AC=25．若O为△ABC的外心，则=288．【解答】解：设BC中点为D，则OD⊥BC，=（），∴=（）•==（）（）=﹣=（252﹣72）=288．故答案为：288．15．（5分）下列结论：①“a＞1“是“a＞“的充要条件②∃a＞1，x＞0，使得a x ＜log a x；③函数的最小正周期为；④任意的锐角三角形ABC中，有sinB＞cosA成立．其中所有正确结论的序号为①②④．【解答】解：①“a＞1“时，“a＞“成立，“a＞“时，“a＞1“也成立，即①“a＞1“是“a＞“的充要条件，正确；②当a=1.1，x=1.21时，满足a x＜log a x，故∃a＞1，x＞0，使得a x＜log a x，正确；③函数=tan2x（x≠，且x≠）的最小正周期为π，故错误；④任意的锐角三角形ABC中，有A+B，即A＞﹣B，则cos（﹣B）＞cosA，即sinB＞cosA成立，故正确；故答案为：①②④．16．（5分）已知k＞0，b＞0，且kx+b≥ln（x+2）对任意的x＞﹣2恒成立，则的最小值为1．【解答】解：因为k＞0，b＞0，且kx+b≥ln（x+2）令f（x）=ln（x+2）﹣kx﹣b则f′（x）=，令f′（x）=0，得x=，显然x＞﹣2．∴f（x）的最大值为ln（﹣2+2）﹣k（2）﹣b，即ln（﹣2+2）﹣k（2）﹣b=0，∴b=﹣lnk﹣1+2k，那么：==2﹣，令g（k）=，g′（k）=，（k＞0），当0＜k＜1时，g（k）是递增函数，当k＞1时，g（k）是递减函数，当k=1时，g（k）取得最大值为1，∴=2﹣的最小值为1．故答案为：1．三、解答题：17．（10分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】（1）证明：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}中，b n=log2 a n，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，又数列{a n}成等比，设公比q，则+4q=10，∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），∴q=2，a n=4×2n﹣5=2n﹣3；（Ⅱ）b n=n﹣3，∴a n•b n=（n﹣3）×2n﹣3，T n=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，2T n=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，相减得T n=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2=（n﹣4）×2n﹣2+1，19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA （1）求A；（2）若，求△ABC的面积的最值．【解答】解：（1）由题意知，c=acosB+bsinA，由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，∵sin（A+B）=sinC，∴化简得，sinBcosA=sinBsinA，∵sinB＞0，∴cosA=sinA，则tanA=1，由0＜A＜π得，；…6分（2）∵，，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得，，因为b2+c2≥2bc，故可得（当且仅当b=c时取等号），∴△ABC的面积∴△ABC的面积的最大值是．没有最小值．…12分．20．（12分）已知函数，k∈R．（1）如果对任意x＜0，f（x）＜0恒成立，求k的取值范围；（2）若函数f（x）有两个零点，求k的取值范围；（3）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，证明：x1+x2＜﹣2．【解答】解：（1）∵对∀x＜0，f（x）＜0恒成立∴k＜xe x，对∀x＜0恒成立令g（x）=xe x，则g'（x）=（x+1）e x，易知：g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增．∴，∴k的取值范围是．…4分（2）f（x）有两个零点，等价于y=k与y=g（x）=xe x有两个不同的交点，由（1）知，．…6分（3）证明：由（2）知：不妨设x1＜﹣1＜x2＜0，则，，即g（x1）=g（x2）=k令h（x）=（x+2）e﹣x﹣2+xe x，x∈（﹣1，0）h'（x）=（x+1）（e x﹣e﹣x﹣2）＞0，即h（x）为增函数∴h（x）＞h（﹣1）=0，即xe x＞（﹣x﹣2）e﹣x﹣2因为x2∈（﹣1，0），故g（x2）＞g（﹣x2﹣2）由g（x1）=g（x2），得g（x1）＞g（﹣x2﹣2）由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，故x1＜﹣x2﹣2，即：x1+x2＜﹣2…12分．21．（12分）讨论函数在定义域（0，+∞）上的单调性．【解答】解：∵f'（x）=（k﹣1）（x2+1）+2x，x＞0，∴①当k≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；又，f'（x）=k（x2+1）﹣（x﹣1）2，∴②当k≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减；③当0＜k＜1时，方程f'（x）=0的判别式△=4k（2﹣k）＞0，该方程有两根，且0＜x1＜x2，则当x变化时，f（x）和f'（x）的变化情况如下表：所以f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减．22．（12分）已知函数f（x）=﹣mlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若m≥1，试讨论关于x的方程f（x）=x2﹣（m+1）x的解的个数，并说明理由．【解答】解：（1）依题意得，，x∈（0，+∞）当m≤0时，f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值； (2)分当m＞0时，令f'（x）=0，或（舍）当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当时，f'（x ）＞0，函数f （x ）在上单调递增．故函数f （x ）有极小值．…5分综上所述：当m ≤0时，f （x ）无极值； 当m ＞0时，f （x ）有极小值，无极大值． …6分（2）令F （x ）=f （x ）﹣x 2+（m +1）x=﹣x 2+（m +1）x ﹣mlnx ，x ＞0， 问题等价于求F （x ）函数的零点个数． 易得当m=1时，F'（x ）≤0，函数F （x ）为减函数，因为，F （4）=﹣ln4＜0，所以F （x ）有唯一零点； …8分当m ＞1时，则当0＜x ＜1或x ＞m 时，F'（x ）＜0，而当1＜x ＜m 时，F'（x ）＞0，所以，函数F （x ）在（0，1）和（m ，+∞）上单调递减，在（1，m ）单调递增， 因为，F （2m +2）=﹣mln （2m +2）＜0，所以函数F （x ）有唯一零点．综上，若m ≥1，函数F （x ）有唯一零点，即方程方程f （x ）=x 2﹣（m +1）x 有唯一解．…12分．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn mna a a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmn n na a m n Na a-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
河南省南阳市第一中学高三数学第二十次考试试题 理
南阳一中2018届高三第二十次考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+2.命题:,sin cos p x R x x ∀∈+≥:0,1xq x e -∃<<，真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3.若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+的值为（ ） A ．79- B ．79 C ．13 D ．13-4.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75,两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）A ．0.85B ．0.80 C.0.60 D ．0.565.已知,,m n m n +成等差数列，,,m n mn 成等比数列，则椭圆2222+1x y m n=的离心率为（ ）A ．2 B ．12 C.23D ．3 6.执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==,输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件可能是（ ）A ．1m n -<B ．0.5m n -< C. 0.2m n -< D ．0.1m n -<7.在ABC ∆中，60A ∠=，3AB =，2AC =，若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为（ ） A ．1127 B ．311 C.611 D ．798.设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图象向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A ．23 B ．43 C.32D ．3 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 10.已知二项式41(12)x x+-，则展开式的常数项为（ ） A ．49 B ．47- C.1- D ．111.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点,M N 分别为线段,PD PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163π B ．92π C.254π D ．649π12.已知函数()(1)(0)xf x e ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数(1,2)i x i =，使得()0i f x <，则a 的取值范围为（ ）A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C.211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦ D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数21()(1)1xa f x x e +=-+为偶函数，则a = ． 14.已知双曲线2221y x b-=左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上运动、点Q在圆22(1)1x y +-=上运动时，则1PQ PF +的最小值为 ．15.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为 ．16.已知O 为锐角ABC ∆的外心，3,23AB AC ==AO xAB y AC =+，且，记123,,l OA OB l OB OC l OA OC =⋅=⋅=⋅，则123,,l l l 的大小关系为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2214,691n n a a S n +==++，*n N ∈各项均为正数的等比数列{}n b 满足1132,b a b a == （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若(32)n n c n b =-⋅，数列{}n c 的前n 项和n T ，求n T .18.如图，在三棱柱'''ABC A B C -中，侧面为''BB C C 菱形，'',B'C BC'O AB B C ⊥⋂=， （1）求证：平面''BB C C ⊥平面'ABC ，（2）若'AC AB ⊥，'60CBB ∠=，2AB BC ==，求异面直线'AB 与BC 所成角的余弦值.19. 某工厂每日生产一种产品(1)x x ≥吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过段时间的产销， 得到了,x y 的一组统计数据如下表: 日产量x 1 2 3 4 5 日销售量y512161921（1）请判断ˆˆˆybx a =+与ˆˆˆln y d x c =+中，哪个模型更适合到画,x y 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计当日产量6x =时，日销售额是多少? 参考数据：ln1ln 2ln 3ln 4ln 50.965++++≈，22222(ln1)(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5) 6.2++++≈5ln112ln 216ln319ln 421ln586,ln 6 1.8++++≈=线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，ˆˆˆay bx =-， 20. 如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F ，1F 为左焦点，椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长1PF 交1C 于点,Q M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动. （1）当2a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连接的自然数，求MPQ ∆面积的最大值.21.已知函数2()(4)(x f x x emx m R -=-+∈）.（1）当2x >时，()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）证明：当[)0,1a ∈时，函数22()(2)(2)x e ax ag x x x --+=>-有最小值，设()g x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(0,1)P -，其参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，(t 为参数)。
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南阳一中2018届高三第二十次考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先由求出复数的代数形式，再由共轭复数定义得到。
详解：由变形可得,所以。
故选C.点睛：本题主要考查复数代数形式的四则运算，以及共轭复数的概念，属于基础题。
2. 命题，命题，真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的有关性质，分别判断出命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可得结果.详解：因为命题p：恒成立，故命题p为真命题；对于命题q：当时，，从而得到，故命题q是假命题，根据复合命题真值表可知是真命题，故选C.点睛：该题考查的是有关判断命题真假的问题，在解题的过程中，注意首先判断命题p,q的真假，之后应用复合命题的真值表得到结果.3. 若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用诱导公式以及余弦的倍角公式，将转化为，之后将其代入求得结果.详解：因为，故选A.点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，余弦的倍角公式，正确使用公式是解题的关键.4. 某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为,两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设“第一个路口遇见红灯”为事件，“第二个路口遇见红灯”为事件，，则故选5. 已知成等差数列，成等比数列，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用成等差数列，成等比数列，推出的关系，然后求解椭圆的离心率，从而求得结果.详解：由题意成等差数列，知，所以，成等比数列，则，所以，所以，所以，所以，又椭圆，所以，从而有，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等差数列的性质，等比数列的性质，以及椭圆的离心率的求解问题，属于简单题目.6. 执行如图所示的程序框图，若输入,输出的，则空白判断框内应填的条件可能是（）A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】B【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会结束，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行，，，返回；第二次执行，，，，返回；第三次执行，，，，要输出x，故满足判断框，此时，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进行模拟运行，结合题的条件，求得结果.7. 在中，，，，若，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据得，利用以及向量的数量积建立关于的等量关系式，从而求得结果.详解：由，得，所以，又因为，，，所以，解得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的问题，在解题的过程中，还可以有另一种解法，建立相应的坐标系，将向量坐标化，利用向量数量积的坐标公式求得结果.8. 设，函数的图象向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位后所以有故选C9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体如图所示，它是边长为1的正方体割去一个角（沿面对角线割开），再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为1的等腰直角三角形，高也为1，该几何体的体积为，选D.10. 已知二项式，则展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先将式子中的三项中将后两项看作一个整体，之后借助于二项式定理将其展开，对式子进行分析，得到常数项所出现的位置，合并求得结果.详解：因为，因为和的展开式中没有常数项，展开式中的常数项是，展开式中的常数项是，所以二项式展开式的常数项为，故选D.点睛：该题考查的是有关展开式中常数项的值的问题，在解题的过程中，需要将某两项当作一个整体，之后对式子进行分析，得到常数项可能出现的位置，之后合并，从而求得结果.11. 如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将对应的线段转化到一个平面图形内解决，根据条件，得到正棱锥的侧棱长，之后借助于正棱锥的外接球的球心的位置，列出相应的式子，求得其半径，之后应用表面积公式求得结果.详解：根据正四棱锥的性质，将点取在上，根据题意，有当点M取在边时，有，从而有，所以有，所以该四棱锥的外接球的球心落在上，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其外接球的表面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关正棱锥的外接球的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要明确球的半径，结合正四棱锥的外接球的球心的位置，得到其满足的条件，利用相关公式求得结果.12. 已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，构造函数，利用导数判断函数的极值点在，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..详解：因为所以函数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，设，令，令恒成立，单调递减，又，存在，使递增，递减，若解集中的整数恰为个，则是解集中的个整数，故只需，故选B.点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】或【解析】分析：根据函数为偶函数，观察其特征，可得为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点有定义，可得一定有，得到相应的关系式，求得结果.详解：令，根据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.点睛：该题考查的是根据函数的奇偶性判断求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.14. 已知双曲线的离心率为，左焦点为，当点在双曲线右支上运动、点在圆上运动时，则的最小值为__________．【答案】【解析】依题意可知a=1,b=,设B(0,1),由得,问题转化为求点到圆B上点的最小值,即,故．故答案为：.15. 若满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】作可行域，则直线过点A(3,3)时取最大值9.16. 已知为锐角的外心，，若，且，记，则的大小关系为__________．【答案】【解析】分析：首先根据题中的条件，利用向量的平方，结合三角形外心所满足的条件，得到其对应的结果，利用向量的数量积的定义式，得到对应的式子，求得三角形外接圆的半径，结合正弦定理得到对应的结果.详解：若，则，由于O 为锐角的外心，所以D,E 为边的中点，分别是两边的中垂线，，同样地，所以，所以，根据正弦定理，可得，所以有，从而得到，从而得到，进一步求得，从而可求得，之后借助于余弦函数的单调性得到结果，从而可以求得.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的大小关系的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，正弦定理，余弦函数的单调性，正确应用结论，求得结果.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 各项均为正数的数列的前项和为，满足，各项均为正数的等比数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）利用已知条件转化求解数列是等差数列，求解其通项公式，利用等比数列求数列的通项公式；（2）化简，利用错位相减法求解数列的前项和.详解：（1）∴∴又各项为正∴为公差为的等差数列∴∴（2）∴点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列项与和的关系，利用数列的递推公式求其通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和，在解题的过程中，正确使用公式是解题的关键.18. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，（1）求证：平面平面，（2）若，，，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）根据菱形的性质，得到，结合题中所给的线线垂直的条件，利用线面垂直的判定定理证得底面，之后借助于面面垂直的判定定理证得结果；（2）根据题中所给的相关条件，结合异面直线所成角的概念，利用余弦定理求得结果.详解：（1）证明：∵四边形为菱形，∴∴平面，∴底面.∵平面，∴平面平面.（2）解：连接，∵四边形为菱形，∴为的中点.∵∴在菱形中，∴为等边三角形,∴∴，即∵平面平面∴面∴∴垂直平分∴，∵∴∵∴是异面直线与所成角（或其补角）在中，，∴异面直线与所成角的余弦值为点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有线面垂直的判定，面面垂直的判定，异面直线所成角的概念，余弦定理求角的余弦值，属于中档题目.19. 某工厂每日生产一种产品吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过段时间的产销，得到了的一组统计数据如下表:日产量日销售量（1）请判断与中，哪个模型更适合到画之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出关于的回归方程，并估计当日产量时，日销售额是多少?参考数据：，线性回归方程中，，，【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）根据函数增长的规律，分析可以得到更适合刻画间的关系；（2）利用有关公式，结合题中所给的条件，求得结果.详解：（1）更适合刻画之间的关系，理由如下: 值每增加，函数值的增加量分别为，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故更适合刻画间的关系.（2）令，计算知所以.所以所求的回归方程为当时，销售额为(万元)点睛：该题考查的是有关回归分析的问题，在解题的过程中，注意对题意进行分析，对知识点正确理解，对公式的正确使用.20. 如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点，为左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长交于点为上一动点，且在之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好是三个连接的自然数，求面积的最大值.【答案】(1)，.(2).【解析】分析：（1）用表示出，根据基本不等式得出的值，从而得出的方程；（2）用表示出椭圆的方程，联立方程组得出P点坐标，计算出的三边关于的式子，从而确定的值，求出的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出三角形面积的最大值.详解：（1）因为，，则，，所以取最小值时，此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为.（2）因为，，则，，设椭圆的标准方程为，，，由，得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以，此时抛物线方程为，则直线的方程为，联立，得或（舍去）于是.所以，设到直线的距离为，则当时，，所以的面积最大值为.点睛：该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有基本不等式求最值，曲线方程的求解，有关面积的最值，注意相关公式的正确使用.21. 已知函数.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：分析题意，该题可借助于利用导数求函数的单调性和最值的方法进行解答，对于...详解：（1）因为对恒成立，等价于对恒成立，设得，故在上单调递增，当时，由上知，所以，即.所以实数的取值范围为；（2）对求导得记由（1）知在区间内单调递增，又，所以存在唯一正实数，使得，∴当时，，函数在区间单调递减；时，，函数在区间单调递增；所以在内有最小值，有题设即，又因为，所以根据（1）知，在内单调递增，，所以，令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在求解的过程中，注意恒成立问题的处理方式，构造新函数，应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，进一步求解即可得结果.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为，(为参数)。