2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020年陕西西安长安区高三一模数学试卷(文科)
上恒成立，
．
∴
，
14
解得：
，
∴ 的取值范围为 ．
22.（ 1 ）
，
（
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）直线 的参数方程为
）． （其中 为参数，且
时，得点
，即点 的直角坐标为 ，
又曲线 的极坐标方程为
，
∴
，
∴
，
∴
（
），
即曲线 的直角坐标方程为
（
）．
（ 2 ）将直线 的参数方程代入 整理得
（
），
，其中
， ，
， ． ． ．
7. C 解析:
7
若直线 无斜率，则 ， 关于 轴对称，
故 的中点纵坐标为 ，不符合题意，
设直线 的斜率为 ，则 的方程为
，
即
，
代入
可得：
，
即
，
∵ 的中点纵坐标为 ，
∴
，即
，
∴直线 的方程为：
．
故选 ．
8. B
解析:
∵在
， ， 都有
，
∴在
上为增函数．
，
，
，
∴
．
∴
．
即
，
故选 ．
9. B 解析: 连结 ， ，
则
，
∴
，
8
． 故选 ．
10. A 解析:
，
令
，得
，
∴ 在 上单调递增，在
上单调递减，
又
在
上递增，
∴ 的最大值为 ．
故选 ．
11. D 解析: 如图，设 的中点为 ，连接 ，设 的中点为 ，连接 ．
2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学(文)试题
由已知可得，PB=2 ，PC=2 ，PD=2 ，则四个侧面均不全等，故③错误；
把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为 PC= ，其表面积为4π× =24π，故④正确．
∴其中正确的命题是①②④．
故答案为①②④．
点评：本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为 ；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π．
其中正确的描述为____．
三、解答题
17．已知等比数列 的各项均为正数， ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 证明： 为等差数列，并求 的前n项和 ．
18．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 面 ， 为 的中点．
所以 ，即
因为
所以
故选：A
点评：本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.
6．A
解：由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.
7．A
根据周期性和奇偶性，即可求解.
解：由f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝﹣f（x），
17．（Ⅰ） （Ⅱ）见解析，
（1）利用 及 求得 ，从而得到通项公式．
（2）利用定义证明 等差数列，并利用公式求和．
解：（Ⅰ）设等比数列 的公比为 ，依题意 ．
由 得 ，解得 ．
故 ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得 ．
故 ，所以 是首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ．
点评：一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明 ；（2）证明： .
2020年2月陕西省西安市第一中学2020届高三下学期高考模拟测试数学文科答案
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所以预测$"$!年全国硕士研究生报考人数约为002!3万人! ………………………………………… !$分
陕西省西安市西安中学2020届高三仿真模拟(一)考试数学(文)试卷
文科数学1、已知复数z 满足1z ii i+=-+，则复数z=（ ） .12A i -- .12B i -+ .12C i - .1+2D i2、已知集合113P x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()=R C P N I ( ) {}.03A x x << {}.03B x x <≤ {}.0,1,2,3C {}.1,2,3D3、下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个相关变量进行分析：方案一：根据图中的所有数据，得到线性回归直线方程为11y b x a =+ ,相关系数1r ; 方案二：剔除点()10,21 ，根据剩余数据得到线性回归直线方程为22y b x a =+ ,相关系数2r ;则（ ）1221.01.01A r r B r r <<<<<<1221.10.10C r r D r r -<<<-<<<4、已知向量()1,1a =r ，()2,b x =r ，若()a ab -r r r ∥，则实数x 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．25、已知,a b a b ”是“ln ln a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．167、如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23．则阴影区域的面积约为（ ） A ．83B ．43C ．23D ．无法计算8、已知 1.32a = , 0.74b = ，3log 8c = ，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b <<9、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里． 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图． 若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ） A ．6?i > B ．7?i > C ．8?i >D ．9?i >10、已知函数()y f x =与xy e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为（ ） A ．1eB ．1e-C ．eD ． e -11、如图1，直线EF （不与CD 平行）将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和CDEF 不重合），下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得CD ∥平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立12.已知双曲线C 过点2)且渐近线为3y x =，则下列结论错误的是( ).A 曲线C 的方程为2213x y -=,.B 左焦点到一条渐近线距离为1，.C 直线210x --=与曲线C 有两个公共点； .D 过右焦点截双曲线所得弦长为3正确答案的个数为（ ） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省西安中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试卷
陕西省西安中学2020届高三上学期第一次月考数学（文）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第1卷一、选择题1.若43z i =+，则zz=（ ） A. 1 B. -1 C.4355i + D.4355i - 2.若集合{}1,2,3,4,5A =,集合{}|(4)0B x x x =-<，则图中阴影部分表示（ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}4,5D. {}1,43.设,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设0.440.4log 8,log 8,2a b c ===,则（ ） A. b c a <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c <<试卷第2页，总13页5.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是A. 9B. 4C.12D.146.函数()2cos f x x x =⋅在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像大致是（ ）A. B.C. D.7.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB AD ===，点E F G 、、分别是11DD AB CC 、、的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是A.B.C.D.08.在ABC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为2,,,cos 22A b ca b c c+=，则ABC △的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形9.若函数x a x x x f ln 221)(2+-=有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1>aB. 01<<-aC. 1<aD. 10<<a10.如图,在ABC △中,已知15,6,,42AB AC BD DC AD AC ===⋅=,则AB BC ⋅=（ ）A. -45B. 13C. -13D. -3711.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()3f x f x -=-,对[]12,0,3x x ∀∈且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-,则有（ ）A. ()()()496481f f f <<B. ()()()498164f f f <<C. ()()()644981f f f <<D. ()()()648149f f f <<12.设函数f x （）的定义域为D ，若满足条件：存在[]a b D ⊆，，使f x （）在[]a b ，上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称f x （）为“倍缩函数”．若函数ln f x x t =+（）为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A. (),ln 21-∞- B. (],ln 21-∞- C. ()1ln 2,-+∞ D. [)1ln 2,-+∞二、填空题13.已知向量,a b 的夹角为60︒,且1a b ==,则a b +=__________.14.若,x y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z34x y =-的最小值为__________．15.在ABC ∆中，边a b c ，，所对的角分别为A B C ，，，若222sin 2cos a b c C B +==,，则B 的大小为___________.16.已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是___________. ①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 的图像向左平移()0m m >个单位长度后,所得的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是6π；试卷第4页，总13页④若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解123,,x x x 则1237πx x x ++=． 三、解答题17.已知()2131sin ,,cos ,cos 22m x n x x x R ⎛⎫⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,且函数()f x m n =⋅． （1）求()f x 的对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()40,sin ,5f A B a ===,求b 的值．18.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，n a b c d=+++ ，19.在平面直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线L ：:cos sin 10L ρθθ+=,曲线C 的参数方程为5cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求直线L 和曲线C 的普通方程；（2）在曲线C 上求一点Q ,使得Q 到直线L 的距离最小,并求出这个最小值 20.已知函数()223f x x a x =-++,()12g x x =-+. (1).解不等式()5g x <;(2).若对任意的1R x ∈,存在2R x ∈,使得()()12f x g x =成立,求实数a 的取值范围.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M N ,两点，且2MNF △的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx b =+与椭圆C 分别交于,A B 两点，且OA OB ⊥，试问点O 到直线AB 的距离是否为定值，证明你的结论22.已知函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =---∈ （1）求函数(x)y f =的单调区间（2）当 1a =时,证明:对任意的20,()2xx f x e x x >+>++.。
2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，A={y|y=|x|,x∈U}，则∁U A=()A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−1,−2}D. {1,2}2.已知i为虚数单位，m∈R，若复数(2−i)(m+i)在复平面内对应的点位于实轴上、则复数mi的1−i 虚部为()A. 1B. iC. −1D. −i3.条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%．则上述说法中，正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得()A. 一鹿、三分鹿之一B. 一鹿C. 三分鹿之二D. 三分鹿之一5.在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为()A. 1−√3π6B. 1−√3π12 C. 1−√3π9 D. 1−√3π186. 已知函数f(x)满足f(x)+f(1−x)=1.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A.20192B. 1010C.20212D. 201920207. 一个几何体的三视图如图所示，其体积为( )A. 116 B.116√3C. 32D. 128. 已知函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,13)C. [16,13)D. (16,13)9. 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2−y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( )A. 34 B. 14C. 45D. 3510. 函数的单调递增区间是( )A. [0,5π12]B. [π6,2π3]C. [π6,11π12] D. [2π3,11π12]11. 过抛物线x =14y 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，抛物线的准线与x 轴交于点M ，若|AF|=4，则△AMB 的面积为( )A. 5√33B. 7√33C. 8√33D. 3√312.已知a，b∈R，直线y=ax+b+π2与函数f(x)=tan x的图象在x=−π4处相切，设g(x)=e x+bx2+a，若在区间[1,2]上，不等式m≤g(x)≤m2−2恒成立，则实数m有()A. 最大值eB. 最大值e+1C. 最小值−eD. 最小值e二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,0), b⃗ =(2,1)，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.若sin(π3−α)=45，则cos(2α+π3)=______ ．15.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.在数列{a n}中，a3=12，a11=−5，且任意连续三项的和均为11，则a2017=(1)；设S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n≤100成立的最大整数n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，BC⊥AB，PD=PA=CD=BC=12AB，PB=PC．(1)求证：平面PAD⊥平面PBD；(2)若三棱锥B−PCD的体积为2√23，求PC的长．18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB=√3b.(1)求角A的大小；(2)若0<A<π2，a=6，且△ABC的面积S=73√3，求△ABC的周长．19.为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对300名学生做了问卷调查，列联表如下：已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为415．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；(3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．20. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =√22，已知以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x −y +2=0相切． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过F 1的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=ax 2−lnx +1(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a =1时，f(x)>12x 2+32在(1,+∞)上恒成立．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={0,1，2}；∴∁U A={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数的四则运算，复数的概念，复数的代数形式表示及其几何意义，属于基础题．解：因为复数(2−i)(m+i)=(2m+1)+(2−m)i，又因为复平面内对应的点位于实轴上，所以2−m=0，即m=2，所以复数mi1−i =2i1−i=2i(1+i)2=−1+i，所以虚部为1．故选A．3.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．解：对于①，根据图像可知2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；对于②，根据图像可知中位数为24336元，平均数为28338元，则；对于③，根据图像可得2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%故正确的个数有3个，故答案为D．4.答案：B解析：本题主要考查等差数列的通项公式，以及等差数列的求和． 根据题意得{a 1=535a 1+5×42d =5，求得公差，即可得到答案． 解：根据题意得{a 1=535a 1+5×42d =5，解得d =−13， 所以a 3=a 1+2d =53−23=1， 所以是一鹿． 故选B ．5.答案：A解析：先求出正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到三角形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于三角形边长一半的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：设边长为2， 其中正三角形ABC 的面积S △ABC =√34×4=√3．满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1−√3π6．故选A．6.答案：A解析：本题主要考查程序框图的应用．比较基础．根据程序框图，让数值进行循环，找到满足条件时，输出的S即为所求．解：S=f(12020)+f(22020)+⋯+f(20192020)，因为f(12020)+f(20192020)=1，f(22020)+f(20182020)=1，…，f(20192020)+f(12020)=1，所以S=20192．故选A．7.答案：A解析：解：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，则其体积为：V=12×2×1×2−1 3×12×1×1×1=116．故选：A．画出三视图对应的几何体的图形，判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．8.答案：C解析：解：∵函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，∴{3a −1<00<a <13a −1+4a ≥a ，求得16≤a <13， 故选：C ．利用分段函数以及函数的单调性，列出不等式组，求得a 的范围．本题主要考查函数的单调性的性质，指数函数、一次函数的单调性，属于基础题．9.答案：A解析：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．根据双曲线的定义，结合|PF 1|=2|PF 2|，利用余弦定理，即可求cos∠F 1PF 2的值． 解：将双曲线方程x 2−y 2=2化为标准方程x 22−y 22=1，则a =√2，b =√2，c =2，设|PF 1|=2|PF 2|=2m ，则根据双曲线的定义，|PF 1|−|PF 2|=2a 可得m =2√2， ∴|PF 1|=4√2，|PF 2|=2√2， ∵|F 1F 2|=2c =4， ∴cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=32+8−162×4√2×2√2=2432=34． 故选A ．10.答案：B解析：本题考查三角函数的单调区间的求法，将看作一个整体，根据y =sinx 的单调减区间求解．解：函数，由2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3(k ∈Z)，令k =0得．故选B ．11.答案：C解析：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A，B的坐标是解题的关键．利用抛物线的定义，求出A，B的坐标，再计算△AMB的面积．解：抛物线x=14y2即为y2=4x的准线l：x=−1．∵|AF|=4，∴点A到准线l：x=−1的距离为4，∴1+x A=4，∴x A=3，∴y A=±2√3，不妨设A(3,2√3)，∴S△AFM=12×2×2√3=2√3，∵F(1,0)，∴直线AB的方程为y=√3(x−1)，∴{y=√3(x−1) y2=4x，解得B(13,−2√33)，∴S△BFM=12×2×2√33=2√33，∴S△AMB=S△AFM+S△BFM=2√3+2√33=8√33，故选：C12.答案：B解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，解方程可得b =−1，a =2，求出g(x)的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m 的最值． 解：∵f(x)=tanx =sinxcosx ，∴f′(x)=cosx 2−sinx⋅(−sinx)cos 2x=1cos 2x ，∴a =f′(−π4)=2，又点(−π4,−1)在直线y =ax +b +π2上， ∴−1=2⋅(−π4)+b +π2，∴b =−1，∴g(x)=e x −x 2+2，g′(x)=e x −2x ，g′′(x)=e x −2， 当x ∈[1,2]时，g′′(x)≥g′′(1)=e −2>0， ∴g′(x)在[1,2]上单调递增，∴g′(x)≥g(1)=e −2>0，∴g(x)在[1,2]上单调递增，∴{m ≤g(x)min =g(1)=e +1m 2−2≥g(x)max =g(2)=e 2−2⇒m ≤−e 或e ≤m ≤e +1， ∴m 的最大值为e +1，无最小值， 故选：B ．13.答案：2解析：解：由已知a ⃗ =(1,0), b ⃗ =(2,1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2+0×1=2； 故答案为：2．利用平面向量的数量积公式的坐标运算进行计算即可．本题考查了平面向量的数量积公式的坐标运算；熟记公式是关键．14.答案：725解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由条件利用诱导公式求得cos(π6+α)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2α+π3)的值．解：∵sin(π3−α)=cos(π6+α)=45，∴cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×1625−1=725，故答案为：725．15.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x−1x 的导数为f′(x)=2+1x，可得切线的斜率为k=3，切点为(1,1)，即有在x=1处的切线方程为y−1=3(x−1)，即为3x−y−2=0，由切线与圆x2+y2=R2相切，可得d=√10=R，解得：R=√105．故答案为√105．16.答案：429解析：解：由题意可得a n+a n+1+a n+2=11，将n换为a n+1+a n+2+a n+3=11，可得a n+3=a n，可得数列{a n}是周期为3的数列．a3=12，a11=−5，即有a2=−5，a1=11−12+5=4，可得a2017=a3×672+1=a1=4；当n=3k，k为自然数，时，S n=11k；当n=3k+1，k为自然数时，S n=11k+4；当n=3k+2，k为自然数时，S n=11k+4−5=11k−1；使得S n≤100成立，由11k≤100，可得k的最大值为9，此时n=27；由11k+4≤100，可得k的最大值为8，此时n=25；由11k−1≤100，可得k的最大值为9，此时n=29．则使得S n≤100成立的最大整数n为29．故答案为：4，29．将a n+a n+1+a n+2=11中n换为n+1，可得数列{a n}是周期为3的数列．求出a2=−5，a1=4，即可得到a2017=a1，讨论n为3的倍数或余1或余2，计算n的最大值，即可得到所求值．本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：证明：(1)取AD的中点O，BC的中点F，连接PO，OF，PF．∵底面ABCD是直角梯形，AB//CD，BC⊥AB，∴OF//AB，OF⊥BC．又∵PB=PC，∴PF⊥BC，且PF∩OF=F，PF，OF⊂平面POF，∴BC⊥面POF．∵PO⊂面POF，∴BC⊥PO，又PA=PD，∴PO⊥AD，又直线AD与BC相交，且AD、BC在平面ABCD内，∴PO⊥面ABCD．∵BD⊂面ABCD，∴PO⊥BD．∵BC=CD，BC⊥CD∴BD=√2BC，，又AB=2BC，AD=BD=√2BC,AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD，∵PO∩AD=O，PO,AD⊂面PAD，∴BD⊥面PAD，且DB⊂面PDB，∴平面PAD⊥平面PBD；解：(2)设BC=a，则PO=√22a，∵V B−PCD=V P−BCD=13PO×S BCD=13×√22a×a22=√212a3=2√23．∴a=2，从而PO=√2, OF=2+42=3 ，PF=√(√2)2+32=√11 ， PC=√(√11)2+12=2√3，故PC=2√3．解析：本题考查面面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，属于一般题．(1)易证PO⊥面ABCD，又BD=√2BC，AB=2BC，可得AD⊥BD，即可证明面PAD⊥平面PBD；(2)利用棱锥B−PCD的体积为2√23，求得BC，再求PC．18.答案：解：(1)由题意2asinB=√3b.由正弦定理得：2sinAsinB=√3sinB．∵0<B<π，sinB≠0∴sinA=√32．∵0<A<π．∴A=π3或2π3．(2)∵△ABC的面积S=73√3，即12bcsinA=73√3，可得：bc=283．由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−3bc，即36=(b+c)2−28，从而b+c=8故△ABC的周长l=a+b+c=14．解析：(1)由2asinB=√3b，根据正弦定理化简即可求角A的大小．(2)利用“整体”思想，利用余弦定理求解b+c的值，即可得△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用能力．属于基础题．19.答案：解：(1)设学习积极性不高的学生的学生共x名，则x300=415，解得x=80．则列联表如下：(2)有理由：由已知数据可求K2=300×(180×60−20×40)2200×100×220×80≈85>7.879，因此有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关．(3)根据题意，可设抽出的学习积极性高的同学为A、B，学习积极性不高的同学为C、D、E，则选取的两人可以是：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．所以至少有一名同学学习积极性不高的概率为910．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．(1)根据条件计算并填写列联表；(2)由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．20.答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e=ca =√1−b2a2=√22，则a=√2b，由b=√12+12=√2，则a=2，∴椭圆的标准方程为：x24+y22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：椭圆的焦点F1(−√2,0)，F2(√2,0)，当直线l 斜率不存在时，则x =−√2，则A(−√2,1)，B(−√2,−1)，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,−1)(−2√2,1)=7≠6，不符合题意，舍去，当直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为：y =k(x +√2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +√2)x 24+y 22=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2+4√2k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−4√2k 22k 2+1，x 1x 2=4k 2−42k 2+1，y 1y 2=k 2(x 1+√2)(x 2+√2)=k 2(x 1x 2+√2(x 1+x 2)+2)=−2k 22k +1，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−√2,y 1)(x 2−√2,y 2) =x 1x 2−√2(x 1+x 2)+2+y 1y 2=4k 2−4+8k 2−2k 22k 2+1+2=6，则k 2=4，解得：k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2(x +√2).解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程； (Ⅱ)分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，可求得直线l 的方程．21.答案：解(1)由于f(x)=ax 2−lnx +1故f′(x)=2ax −1x=2ax 2−1x(x >0)…(1分)当a ≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立， 所以f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数…(2分) 当a >0时，令f′(x)=0，得x =√12a …(3分)当x 变化时，f′(x)，f(x)随的变化情况如表：x(0 , √12a )√12a(√12a , +∞ )f′(x)−0+ f(x)↘极小值↗由表可知，f(x)在(0 , √12a )上是单调递减函数，在(√12a , +∞ )上是单调递增函数..(5分)综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为( 0 , √12a ),单调递增区间为(√12a,+∞)…(6分)(2)当a=1时，F(x)=x2−lnx+1−12x2−32=12x2−lnx−12…(7分)则F′(x)=x−1x =x2−1x=(x+1)(x_1)x>0在(1,+∞)上恒成立，…(9分)所以F(x)在(1,+∞)上为增函数，且F(1)=0…(10分)即F(x)>0在(1,+∞)上恒成立所以当a=1时,f(x)>12x2+32在(1,+∞)上恒成立…(12分)解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x<1}；(2)当x∈[−a2,1)时，f(x)=|x−2a|+2x+a，f(x)<g(x)即为|x−2a|<3−a恒成立，∵0<a<3，∴3−a>0，∴a−3<x−2a<3−a，即3a−3<x<3+a在x∈[−a2,1)上恒成立，∴{−a2>3a−31≤3+a0<a<3，解得0<a<67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
2020届陕西省西安中学高三年级上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前陕西省西安中学2020届高三上学期第一次月考检测数学(文)试题(解析版)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若43i z =+，则z z =（ ） A. 1 B. 1- C. 4355i + D. 4355i - 【答案】D【解析】由题意可得 ：22435z =+=,且：43z i =-,据此有：()()()54354343434343554i z i i z i i i ++====+--+. 本题选择C 选项.【此处有视频,请去附件查看】2.若集合{1,2,3,4,5}A =,集合(){}|40B x x x =-<,则图中阴影部分表示()A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}4,5D. {}1,4 【答案】A【解析】【分析】将阴影部分对应的集合A B 、的运算表示出来,然后根据集合A B 、表示元素的范围计算结果.【详解】因为阴影部分是：()R A C B I ；又因为()40x x -<,所以4x >或0x <,所以{4B x x =或}0x <,所以{}|04R C B x x =≤≤,又因为{1,2,3,4,5}A =,所以(){}1,2,3,4R A C B =I , 故选：A.【点睛】本题考查根据已知集合计算Venn 图所表示的集合,难度较易.对于Venn 图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算,然后再去求解相应值.3.设a r ,b r 是非零向量,“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r ,由已知得cos ,1a b =r r ,即,0a b =r r ,//a b r r .而当//a b r r 时,,a b r r 还可能是π,此时a b a b ⋅=-r r r r ,故“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a b r r ”的充分而不必要条件,故选A.考点：充分必要条件、向量共线【此处有视频,请去附件查看】4.设40.48,8a log b log ==,0.42c =,则( )A. b c a <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.【详解】因为4233log 8log 222a ===,0.40.4log 8log 10b =<=,0.40.53222c =<=<, 所以b c a <<,故选：A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小,难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时,注意利用中间量比较大小,常用的中间量有：0,1.。
2020年陕西西安高三一模数学试卷(文科)
2020年陕西西安高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为（ ）．A. B. C. D.3.函数的零点个数为（ ）．A. B. C. D.4.若实数，满足，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.5.在一次技能比赛中，共有人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（ ）．A.B.C.D.6.已知（为自然对数的底数），若，则函数是（）．A.定义域为的奇函数B.在上递减的奇函数C.定义域为的偶函数D.在上递增的偶函数7.已知点到抛物线（）的准线的距离为，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A.B.C.D.8.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A.B.C.D.9.若为实数，则“”是“”成立的（ ）．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.函数的单调递增区间为（ ）．A.B.C.D.11.已知双曲线的左焦点为，过且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为(为双曲线的离心率)，则双曲线的渐近线方程为（ ）．A.B.C.D.12.陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在［，］，［，］，［，］，［，］的爱看人数比分别是，，，现用各年龄的中间值代表年龄段，如代表［，］，由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为，那么，年龄在［，的爱看人数比为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，且，则 ．14.在与之间插入个数，使这个数成等差数列，则插入的个数的和等于 ．15.从，，，，，中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为 ．16.金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是，则该工艺品共有 个面，表面积是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，边上的中线的长为．求角、的大小．求的面积．（1）（2）18.已知四棱锥中，底面四边形为平行四边形，为的中点，为上一点，且（如图）．证明：平面．当平面平面，，时，求三棱锥的体积．（1）（2）19.已知数列的前项和为，设．若，，且数列为等差数列，求数列的通项公式．若对任意，都成立，求当为偶数时的表达式．（1）（2）20.已知函数在区间上单调递减．求的最大值．若函数的图象在原点处的切线也与函数的图象相切，求的值．21.【答案】解析:集合，集合，则．故选．（1）（2）已知，，顺次是椭圆 （）的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆的离心率，且．.求椭圆的方程．若斜率的直线过点，直线与椭圆交于，两点，试判断：以为直径的圆是否经过点，并证明你的结论．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和极坐标方程．若直线与曲线有公共点，求的取值范围．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若存在，使成立，求的取值范围．D1.解析:，∴复数在复平面上对应的点的坐标为．故选．解析:∵，∴，令，则或，为增函数，令，则，为减函数，∴极小值，极大值，∴有个零点．故选：．解析:实数，满足，作二元一次不等式所表示的平面区域，即可行域，如图所示，四边形所在区域，A 2.C 3.A 4.即可行域．目标函数变形为，为斜率为，随变化的一旋直线为直线在轴的截距，如图所示，直线经过可行域中点时最小，即最小，解方程组，解得点坐标为，则．故选．解析:如图茎叶图中，人得分为：，，，，，，，，，，，．中位数为：．∵平均数为：．∴ 方差为：B 5.，故方差为：，中位数为．故正确．解析:∵，∴，∴，∴，（），∴为奇函数，在上递减．故选．解析:抛物线（）变形为，准线方程为，点到距离为，则，即，解得，抛物线方程为，则抛物线焦点坐标为．故选．解析:如图，设，，B 6.C 7.B 8.∵，∴ ，又，∴﹐在中，，得：，∴，∴．故选：．解析:由，令函数，则，，则函数在上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，当时，，∴时，，则是的充分条件，球B 9.当时，则即，解得，∵，∴不是的必要条件，综上所述，是的充分不必要条件．故选：．解析:函数，令，，，，，，所以函数单调递增区间为（）．故选．解析:如图双曲线C：，左焦点，由题意垂直于轴，，解得：，则，，则，A 10.D 11.由题意过，且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为，则，即，令，得，即，∵，∴渐近线为，故正确．解析:∵，，且过点，则，∴，∴，∴当时，．故选．解析:∵平面向量，且，∴，D 12.13.，即，解得．所以．解析:由题意可得，设，，则．故答案为：．解析:从，，，，，，这七个数中，随机抽取个不同的数，基本事件总数，这个数的和为偶数包含的基本事件个数 ，则这个数的和为偶数的概率．故答案为：．解析:由三视图还原几何体，14.15. ;16.（1）（2）（1）如图，可以将该半正多面体分为三层，上层个面，中层个层面，下层各层面，上下底各个面，共个面．设三视图中正八边形的边长为m.∴，∴，∴，∴原几何体的边长均有，∴，，故答案为；．解析:由，得．∴．∵，∴由得，∴，由此得．又，∴，即．由知，，则，在中，由余弦定理，得，解得，故．解析:取的中点，连接，，，连接，表（1），．（2）．17.（1）证明见解析．（2）．18.（2）（1）∵四边形为平行四边形，，分别为，的中点，∴根据平行线分线段成比例定理得，又 ， 得，∴，又在平面内，不在平面内，∴平面．由题意，得，．．连接，(为的中点)，则，，且 ， ，∵平面平面，，在平面内，，∴平面，∵，得点到平面的距离就是 ，又 ，∴到平面的距离为，∴．解析:∵，，，∴，，设等差数列为的公差为，则．（1）．（2）．19.（2）（1）（2）（1）∴数列的通项公式为．对任意都成立，即，①当时，，②①②得．令，则，∴，故（为偶数）．解析:∵，∴，∵函数在区间上为减函数．∴即就是在上恒成立，当时，，则当即时，取最小值，∴，∴的最大值为．的定义域为，的定义域为，由，得．∴函数的图象在原点处的切线方程为，由，得，设函数的图象在处的切线为．则①，且过原点，，将，代入①，解得．∴．解析:由题意得：，，，，（1）．（2）．20.（1）．（2）以为直径的圆经过点；证明见解析．21.（2）∴即，设椭圆的半焦距为（），得方程组，解得，∴椭圆的方程为．方法一：以为直径的圆经过点，理由如下：∵椭圆，，直线的斜率，且过点，∴直线，由，消去，并整理得，直线与椭圆有两个交点．设，，则，，∵，以为直径的圆经过点．方法二：同方法一，得，，∴．设的中点为，则，，∴以为直径的圆经过点，∴．（1）普通方程为，极坐标方程为．22.（1）（2）（1）（2）解析:显然，参数，由得，代入并整理，得，将，代入，得，即．∴曲线的普通方程为，极坐标方程为．曲线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，半径为的圆．当时，直线与曲线没有公共点．当时，设直线的方程为．圆心到直线的距离为．由，得．∴，即的取值范围为．解析:∵，∴不等式等价于下列不等式组，①或②或③，由①得，得，由②得，得，由③得，得．∴不等式的解集为．在区间上，当时，，当时，，当时，，∴在区间上，，由存在使成立，得，得或．（2）．（1）．（2）．23.∴的取值范围为．。
2020届陕西省西安市长安一中高三上学期第一次质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届陕西省西安市长安一中高三上学期第一次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}11A x N x =∈-<≤，{}11B x Z x =∈-≤<，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．∅C ．{}0D ．()1,1-【答案】C【解析】化简集合A ，B ，求交集即可. 【详解】{}{}110,1A x N x =∈-<≤=，{}11={1,0}B x Z x =∈-≤<-，{0}A B ∴=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．已知复数1i z =--（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则2z z +的虚部为（ ） A ．i B ．3C ．1D ．3i【答案】B【解析】根据复数的乘法及加法运算化简，由复数概念即可求解. 【详解】1i z =--,22(1)(1)13z z i i i ∴+=--+-+=-+, ∴复数的虚部为3，故选：B . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.3．如图，有四个形状的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则转盘的阴影面积与转盘面积比最大即可． 【详解】根据几何概型的概率公式可知，中奖的概率等于阴影部分面积与游戏转盘面积之比， 由图形知，则A 转盘的中奖概率小于12，B 转盘的中奖概率是34，C 转盘的中奖概率是58，D 转盘的中奖概率是23， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，属于容易题．4．已知著名的狄利克雷函数() 1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，其中R 为实数集，Q 为有理数集，若m R ∈，则()()()f f f m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法求【答案】B【解析】分别讨论m Q ∈和R m Q ∈可求解． 【详解】若m Q ∈，则()1f m =，()()()()()()111f f f m f f f ∴===，若R m Q ∈，则()0f m =，()()()()()()011f f f m f f f ∴===，故选：B ． 【点睛】本题以狄利克雷函数为载体，考查了函数的概念与性质的应用问题，属于容易题.5．以()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线()2220x y a a -=>两条渐近线相交于M 、N 两点，若OMN ∆的面积为4，则抛物线C 的标准方程为（ ） A ．28y x = B ．28x yC ．24x y =D ．28x y =【答案】D【解析】根据抛物线的准线方程，以及双曲线的渐近线方程，得出OMN 为等腰直角三角形，根据面积为4列式计算，得出p 的值，即可得出抛物线的标准方程． 【详解】抛物线C 的准线为2py =-，双曲线222(0)x y a a -=>， 两条渐近线为y x =±，OMN ∴为等腰直角三角形，则2114224OMNp Sp p =⋅⋅==， 4p ∴=，抛物线C 的标准方程为28x y =， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的性质及几何意义，属于容易题． 6．已知,x y 的对应值表为：且,x y 线性相关，由于表格污损，y 的对应值看不到了，若6119.2ii y==∑，且线性回归直线方程为0.6y x a =+，则8x =时，y 的预报值为（ ） A ．6.1 B ．22.1C ．12.6D ．3.5【答案】A【解析】求出,x y ，由线性回归方程必经过点（,x y ）即得a ，代入8x =求解即可.由表格知，196x =， 6119.2ii y==∑3.2y ∴=，代入0.6y x a =+得：193.20.66a =⨯+， 1.3a ∴=，则回归方程为0.6 1.3y x =+， 当8x =时，0.68 1.3 6.1y =⨯+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用， 属于中档题.7．如图所示的程序框图是求3333---的值的程序，则判断框中应填入（ ）A ．1i ≥B ．5i ≤C ．5i >D ．7i ≤【答案】B【解析】根据框图，模拟程序的运算即可求解. 【详解】由程序框图得，3S =1i =，满足条件得33S =-3i =，满足条件得333S =--， 5i =，满足条件3333S =---， 7i =，否，输出S 的值，结束程序，因此判断框应该是5i ≤， 故选：B ．本题主要考查了算法的程序框图，基本逻辑结构中的循环结构，属中档题.8．已知命题:p x R ∀∈，40x x +≥，则下列判断正确的是（ ）A ．:p x R ⌝∀∈，40x x +<是真命题B ．:p x R ⌝∀∈，40x x +≤是假命题 C ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +≥是真命题 D ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +<是假命题【答案】D【解析】根据命题p 的真假及含量词的命题的否定即可求解. 【详解】命题p 是真命题，p ∴⌝是假命题，且命题的否定为：，4000x x +<，故选：D . 【点睛】本题考查了全称量词命题的否定及真假判定,属于容易题.9．如图所示，是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83π-B ．283π-C ．8π-D ．82π-【答案】B【解析】根据三视图可得几何体的形状及数据，计算即可求值. 【详解】由三视图知，该几何体为一个正方体挖去两个半圆锥得到的几何体，∴体积为3211222128323V ππ=-⨯⨯⋅⨯=-，故选：B ． 【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键属于中档题.10．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且面积2S =，2c a=，则角B 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由三角形面积公式得211csin sin24S a B c B ==，又由2S =可得221sin4c B =化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可．【详解】2ca=， 211csin sin 24S a B c B ∴==，又2S =，221sin4c B ∴= 即221sin4c B =cos 2B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，7666B πππ<+<， 62B ππ∴+=，则3B π=，故选：C ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于中档题．11．已知函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，()g x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，则AOB ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．4π B ．2π C ．πD ．14【答案】A【解析】根据题目条件，逐步分析，首先得出()f x 的解析式，再变换为()g x 的解析式，求出点A 、B ，易得AOB 的面积． 【详解】由题设知，()f x 的周期为π，22ππωω∴=⇒=，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()02g ∴=，即()0,2A ，()g x 的图象与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，,04B π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，1122244AOBSOA OB ππ=⋅=⨯⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质，属于中档题．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N ，且2OM OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．3C ．2D 1【答案】D【解析】由椭圆的性质可先求得ON =，故可得130NF O ∠=︒，再由椭圆的定义得a ，c 的关系，故可得答案． 【详解】21||OM OF OF ==，1290F MF ∴∠=︒，又2OF =，3ON c ∴=，则11tan ON NFO OF ∠==， 130NF O ∴∠=︒，则2MF c =，1MF =，2c a +=， 1e ∴=，故选：D . 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，属于中档题.二、填空题13．已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C ，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB 的模为______.【答案】【解析】由OB OA OC =+得出向量的坐标，再求模即可． 【详解】由向量的平行四边形法则知，()()()2,01,33,3OB OA OC =+=+=，23OB ∴==故答案为： 【点睛】本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题.14．设不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为M ，则M 的面积是______.【答案】2【解析】作出不等式组所表示的区域，即可求解. 【详解】作出不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的可行域如图所示，则M 为正方形ABCD 2，M ∴的面积是2．故答案为：2． 【点睛】本题考查线性规划所表示的可行域面积问题，属于中档题． 15．sin 75tan195=______. 62-【解析】根据诱导公式化简即可求值. 【详解】sin 75tan195cos15tan15sin15=︒︒=︒,62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=, 62sin 75tan1954-∴=, 故答案为：624【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于容易题.16．已知函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，且函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，若[]1,x e ∈时，不等式()()()2ln 121ln 12f m x f f x m --≤++-恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立，故解得m 的取值范围．【详解】函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，∴函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即函数()y f x =为奇函数，不等式()()()212112f m lnx f f lnx m --≤++-变为:()()()211221f m lnx f lnx m f ---+-≤，即()()()212121f m lnx f m lnx f --+--≤，()()211f m lnx f --≤，又()f x 函数在[)0,+∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，则12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立， 11ln 2y x =+在[]1,e 上递增，max 131ln 22y e ∴=+=，故32m ≥．故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.三、解答题17．在“互联网+”时代的今天，移动互联快速发展，智能手机（Smartphone ）技术不断成熟，尤其在5G 领域，华为更以1970件专利数排名世界第一，打破了以往由美、英、日垄断的前三位置，再次荣耀世界，而华为的价格却不断下降，远低于苹果；智能手机成为了生活中必不可少的工具，学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一，越来越多的学生在学校里使用手机，为了解手机在学生中的使用情况，对某学校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查，针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如下的数据：（1）求表中a 的值；（2）从该学校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由；（3）若从使用手机1小时和7小时的两组中任取两人，调查问卷，看看他们对使用手机进行娱乐活动的看法，求这2人都使用7小时的概率.【答案】（1）25％（2）抽取到高二的学生能估计，概率为0.53，抽取到高一高三的学生不能估计（3）115【解析】()1由已知易知100410311612225a =------=％％％％％％％％；()2分情况讨论，当抽到的是高二年级时可以估计，若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3抽取6人中编号，写出所有基本事件，找出满足事件A 的结果数，求解．【详解】()1由题设知，100410311612225a =------=％％％％％％％％． ()2样本是从高二年级抽取的，∴根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况． 若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为：0.040.10.310.080.53+++=；若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3由题设知，使用1小时的人共有：10044⨯=％人，设为A ，B ，C ，D ，使用7小时的共有10022⨯=％人，设为a ，b ，从中任选2人有：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种情况，其中，这2人都使用7小时的只有ab ，∴所求概率为115P =． 【点睛】本题考查样本估计总体，古典概型求概率，属容易题．18．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n =，12b =，1112n n b a a b a +=+-.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n T 是数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数n ，使2019n n S T +=，若存在，求出正整数n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）24n b n =-+（2）存在正整数n 的值为673.【解析】()1取1n =，2时求得首项1a ，2a ，代入1112n n b a a b a +=+-，整理得到数列{}n b 是等差数列，再求通项公式;()2由等差数列求和公式求得数列{}n b 的前n 项和为T n ，结合2n S n =，再带入数值可求． 【详解】()21n S n =，11a ∴=，221413a S S =-=-=，代入1112n n b a a b a +=+-得，12n n b b +=-，又12b =，∴数列{}n b 是以2为首项，以2-为公差的等差数列，故24n b n =-+；()2由()1知，()()12224322n n n b b n n T n n +-+===-，又2n S n =，2233n n S T n n n n ∴+=+-=，由2019n n S T +=得，32019n =，673n ∴=，故存在正整数n 的值为673． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，属于中档题．19．如图，在半圆柱W 中，12,O O 分别为两底面半圆的圆心，平面ABCD 是半圆柱的轴截面，M 、N 分别是两底面半圆弧的中点.（1）求证：平面BMC ⊥平面2MNO ；（2）求半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值. 【答案】（1）证明见解析（2）34π【解析】（1）由面面垂直的判定定理可得； （2）根据圆柱、四棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】()1证明：M 、N 分别是上下底面圆弧的中点，//MN AB ∴，又平面ABCD 是半圆柱的轴截面，∴四边形ABCD 是矩形，则BC AB ⊥，BC MN ∴⊥，2O 为底面半圆的圆心，N 是底面半圆弧的中点， 2BC O N ∴⊥，又2MN O N N ⋂=，BC ∴⊥平面2MNO ，BC BMC ⊂平面， ∴平面BMC ⊥平面2MNO ；()2设半圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为AB ，∴半圆柱的体积为2112V r AB π=⋅，连结1MO ，由题设知，1MO ⊥平面ABCD ，∴四棱锥M ABCD -的体积为2211122333ABCD V S MO r AB r r AB =⋅=⋅⋅⋅=⋅， 则半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值为：2122132243r AB V V r AB ππ⋅==⋅． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、棱柱、圆柱体积的计算，考查推理能力和计算能力，属中档题．20．已知函数()()1xf x x e =-，()()21g x a x =+，a R ∈.（1）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，求函数()h x 的单调区间；（2）当1a =时，令()()()ln F x g x g x t x '=-+（t 为常数），若函数()F x 有两个极值点(),m n m n <，求证：()11ln 2042F n -<<. 【答案】（1）单调递减区间(),0-∞和()2,ln +∞，单调递增区间()0,ln2（2）证明见解析【解析】()1通过函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程求解的出()'2xh x xe x =-+，讨论x 的取值范围可确定()f x 的单调区间；()2函数()F x 由两个极值点m ，n 等价于()2220G x x x t =-+=有两个相异实根m ，n ，得出112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，利用单调性即可证明不等式． 【详解】()1由题设知，()()()211x h x x e a x =-++，函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，∴(0)12h a =+=，即1a =()()()'1222x x x x h x e x e x xe x x e ∴=-+-+=-+=-，x ∈R ，令()'0h x =，则0x =或ln2x =，∴当0x <或ln 2x >时，()0h x '<，当0ln 2x <<时，()0h x '> ∴函数()h x 在(),0-∞和()2,ln +∞上单调递减，在()0,ln2上单调递增.() 2证明：当1a =时， ()21g x x =+，()212F x x x tlnx ∴=+-+，0x >，则()222'22t x x t F x x x x-+=-+=，0x >，令()222G x x x t =-+，则()G x 为开口向上且对称轴为12x =的抛物线， 由题设知，()0G x =在()0,∞+上有两个相异实根m ，()n m n <，102m >> 即2220n n t -+=且112n <<，222t n n ∴=-+，112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，()()()'22422242F n n n lnn n n lnn ∴=-+-+-+=-+，112n <<， ()420n lnn ∴-+>，则函数()F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()112F F n F ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()11ln2042F n -<<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21．已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为两切线的斜率，若12311k k =，求点P 的坐标. 【答案】（1）24x y =（2）()±【解析】()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2 设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简后利用根与系数的关系即可求解． 【详解】()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，1MF MN ∴=+，又MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =，∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线， 则12p=， 2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，200122021y yk k x -∴=-，由题设知，2002023111y y x -=-，又()00,P x y 为曲线C 上的一点， 由()1知，2004x y =，2000234111y y y -∴=-，即20113430y y -+=， 解得，0111y =或03y =， 02y >，03y ∴=，则0x =± ∴点P的坐标为()±．【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+-+=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过曲线2C 的圆心且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于A 、B 两点，求22C A C B ⋅的值.【答案】（1）24y x =；22(2)(1)1x y ++-=（2）152【解析】()1消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程；()2由直线l 的参数方程代入24y x =整理得221502t -+=，再运用几何意义可得答案． 【详解】()1由24x t y t=⎧⎨=⎩消去参数t 得，曲线1C 的普通方程为24y x =；222x y ρ=+，x cos ρθ=，y sin ρθ=，∴圆2C 的直角坐标方程为224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-=；()2曲线2C 的圆心为()2,1-，直线l 的倾斜角为4π， ∴直线l的参数方程为22(12x t ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)， 将其代入24y x =整理得，22150t +=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 则2212152C A C B t t ⋅==． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，属于中档题. 23．已知函数()223x a a f x x -+++=.（1）当0a =时，若()f x m ≥恒成立，求m 的最大值； （2）()15f -<，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3（2）11a <<-【解析】()1当0a =时，()3f x x x =++，根据绝对值三角不等式可得()3f x ≥，则3m ≤；()()221122f a a -=+++，原不等式即为24220a a -++<，讨论1a ≤-，1a >-两种情况分别求解即可．【详解】()1当0a =时，()3f x x x =++，()333x x x x ++≥-+=，()3f x ∴≥，则3m ≤，m 的最大值为3；()()22211123122f a a a a -=--+-++=+++，()15f ∴-<即为24220a a -++<，当1a ≤-时，24220a a ---<，即2260a a --<，解得11a -<<，11a ∴-，当1a >-时，24220a a -++<，即2220a a +-<，解得11a --<<-11a ∴-<<-+，综上，实数a 的取值范围是11a <<-． 【点睛】本题考查绝对值不等式及不等式恒成立问题,属于中档题.。
2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)
2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁U A＝（）A．{﹣2，1}B．{1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2} 2．（5分）设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A．乙分8两，丙分8两，丁分8两B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D．乙分9两，丙分8两，丁分7两5．（5分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（）A．45B．35C．147D．757．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A．128B．104C．80D．568．（5分）已知函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．9．（5分）已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E的焦距的取值范围是（）A．B．[2，3]C．（1，2]D．（1，3]10．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'＝f（x）的图象关于直线对称；②函数y'＝f（x）的图象关于点对称；③函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递增．A．①④B．②③C．①③D．②（④11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|＝（）A．4B．8C．D．12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1，e]B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝．14．（5分）若sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣）＝．15．（5分）函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，则a n ＝；{a n}的前10项和S10＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828 K2＝•n＝a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E 的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•＝0，+＝2，+＝2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＝4，且，求证：．(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁U A＝（）A．{﹣2，1}B．{1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2}【解答】解：∵U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{﹣1，2}，∴∁U A＝{﹣2，1}．故选：A．2．（5分）设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意得z＝4﹣3i，所以＝，＝，因此在复平面内对应的点（）位于第一象限，故选：A．3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍【解答】解：对于A，观察统计图可知，选项A正确；对于B，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.05÷49.7≈568倍，所以选项B正确；对于C，2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均数为（21966.19+23820.98+25973.79+28228.05）≈24997.25 （元），所以选项C正确；对于D，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.19÷49.7≈442倍，所以选项D错误，故选：D．4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A．乙分8两，丙分8两，丁分8两B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D．乙分9两，丙分8两，丁分7两【解答】解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1＝10.4，a5＝5.6，所以a5＝a1+4d＝5.6，即10.4+4d＝5.6，解得d＝﹣1.2，可得a2＝a1+d＝10.4﹣1.2＝9.2；a3＝a1+2d＝10.4﹣1.2×2＝8；a4＝a1+3d＝10.4﹣1.2×3＝6.8，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．5．（5分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得图形外侧的6个小三角形均全等，且为正三角形．设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S，所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率P＝＝，故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（）A．45B．35C．147D．75【解答】解：由题得所以f（3）+f（6）＝f（7）+f（6）＝72﹣5+62﹣5＝44+31＝75，故选：D．7．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A．128B．104C．80D．56【解答】解：根据三视图可得吊柜的立体图如图所示，其体积可看作三个长方体的体积之和，则该吊柜的体积V＝4×4×2+4×2×3+4×4×3＝104，故选：B．8．（5分）已知函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．【解答】解：因为函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y ＝x对称，所以f（x）＝log a x．因为在（﹣∞，+∞）上是减函数，所以解得，故选：C．9．（5分）已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E的焦距的取值范围是（）A．B．[2，3]C．（1，2]D．（1，3]【解答】解：设双曲线E的焦距为2c，因为点M在双曲线右支上，所以|MF1|﹣|MF2|＝2a，|MF1|＝|MF2|+2a，则＝＝＝＝≤＝，当且仅当|MF2|＝，即|MF2|＝2a时取等号，所以＝，解得a＝．因为|AA1|≥|A2F2|，所以2a≥c﹣a可得3a≥c，所以1≤3，所以1＜≤3，即1＜2c≤3，即双曲线E的焦距的取值范围为（1，3]，故选：D．10．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'＝f（x）的图象关于直线对称；②函数y'＝f（x）的图象关于点对称；③函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递增．A．①④B．②③C．①③D．②（④【解答】解：由题意可知，令2x+＝kπ，k∈Z，求得，可得函数f（x）的图象的对称轴为直线，故①正确；令2x+＝kπ+，k∈Z，求得x＝+，可得函数f（x）的图象的对称中心为点，k∈Z，②不正确；在区间上，2x+∈（0，），函数f（x）单调性递减，故③正确；在区间上，2x+∈（，），函数f（x）没有单调性，故④错误，故选：C．11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|＝（）A．4B．8C．D．【解答】解：根据题意，不妨设点A在第一象限，过点A作准线的垂线，垂足为A1．由题意可得F（1，0），K（﹣1，0）．因为|AF|＝|AA1|，所以＝sin∠AKA1，若最小，则sin∠AKA1最小，即∠AKA1最小，由题知当AK与抛物线y2＝4x相切时，∠AKA1最小．设直线AK的方程为y＝k（x+1），则k＞0．与抛物线方程联立，得消去x得ky2﹣4y+4k＝0，由△＝16﹣16k2＝0，得k＝1，所以∠AKA1＝，A点坐标为（1，2），所以|AF|＝|AA1|＝|A1K|＝|KF|＝2，此时四边形AFKA1是正方形，AB⊥x轴，所以|AK|＝|BK|＝2，|AK|+|BK|＝4，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1，e]B．C．D．【解答】解：根据题意，将﹣x代入x，得．由得f（x）＝﹣mx﹣，函数f（x）＝﹣mx﹣的图象恒过点（0，﹣）．设g（x）＝lnx，当函数f（x）＝﹣mx﹣的图象和g（x）＝lnx的图象相切时，设切点坐标为（x0，y0），由g′（x）＝，得切线斜率k＝g′（x0）＝＝，解得x0＝．此时k＝＝，则要使f（x）≥lnx，只需﹣m≥，解得m≤﹣，所以实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝±3．【解答】解：由•＝9得﹣12+2t2+3＝9，解得t＝±3．故答案为：±3．14．（5分）若sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣）＝﹣．【解答】解：因为cos（）＝cos（α+﹣）＝sin（α+）＝﹣，所以cos（2α﹣）＝2cos2（）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故答案为：﹣．15．（5分）函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是[﹣6，2]．【解答】解：根据题意，函数，其导数f′（x）＝lnx+，则f′（1）＝1；即切线的斜率k＝f′（1）＝1；又由f（1）＝a，即切点的坐标为（1，a），所以函数f（x）在x＝1处切线方程为y＝x+a﹣1，圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，变形可得（x﹣1）2+（y+2）2＝9，则C的圆心为（1，﹣2），半径r＝3，则圆心到切线的距离d＝，则切线被圆截得的弦长为，则有2≤≤6，解可得：﹣6≤a≤2，即a的取值范围为[﹣6，2]；故答案为：[﹣6，2]．16．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，则a n＝；{a n}的前10项和S10＝93．【解答】解：依题意，由a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，可得（a n a n+1﹣2n）（a n+a n+1）＝0．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n a n+1﹣2n＝0，即a n a n+1＝2n．∵a1＝1，∴a2＝2．∵当n≥2时，有a n﹣1a n＝2n﹣1，则＝2．∴数列{a n}的奇数项是以1为首项、2为公比的等比数列；偶数项是以2为首项、2为公比的等比数列．∴a2k﹣1＝1•2k﹣1＝2k﹣1，令2k﹣1＝n，得k＝，则当n为奇数时，a n＝；a2k＝2•2k﹣1＝2k，令2k＝n，得k＝，则当n为偶数时，a n＝．综上所述，可得a n＝．∴S10＝a1+a2+…+a10＝（a1+a3+…+a9）+（a2+a4+…+a10）＝（1+2+...+24）+（2+22+ (25)＝+＝93．故答案为：；93．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E．因为CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4，所以四边形ABCD是等腰梯形，可得AE＝1，BE＝3，DE＝，BD＝2，所以AB2＝AD2+BD2，所以DB⊥AD．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DB⊥PD．因为AD∩PD＝D，PD、AD⊂平面P AD，所以BD⊥平面P AD．因为BD⊂平面PBD，所以平面P AD⊥平面PDB．（Ⅱ）S△ECD＝＝．因为三棱锥C﹣PDB的体积为，所以V C﹣PED＝V P﹣ECD＝＝，解得PD＝3．在R△PDB中，BD＝2，PD＝3，所以PB＝＝．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由得a2+c2＝1﹣ac，在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝＝﹣又因为B∈（0，π），所以B＝．（Ⅱ）因为△ABC的周长为1+2，所以a+b+c＝1+2，即a+c＝2，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝24．又因为a2+c2＝1﹣ac，所以c＝23，由（Ⅰ）知sin B＝，所以△ABC的面积S△ABC＝＝．19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828 K2＝•n＝a+b+c+d．【解答】解：（Ⅰ）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）．理由如下：根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为y．则×（2+8+10）+（y﹣70）×＝，解得y＝76≈74.17，显然74.17＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）；考生的理由如下亦可：平均成绩＝×（2×45+8×55+10×65+12×75+10×85+8×95）＝73.8，（或＝45×0.04+55×0.16+65×0.2+75×0.24+85×0.2+95×0.16＝73.8）显然73.8＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）．（Ⅱ）①填表如下：合格不合格合计男生26430女生14620合计401050②K2＝＝≈2.08＜2.7.6，故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关．（Ⅲ）从50人随机抽取5人的比例为＝，从合格的40名学生中抽取40×＝4（人），记为a、b、c、d；从不合格的10名学生中抽取10×＝1（人），记为x，则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下：ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx，共有10种情况，其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6种情况，故恰好2人都合格的概率P＝＝．20．（12分）已知椭圆，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E 的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•＝0，+＝2，+＝2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，mx+y﹣m＝0可化为m（x﹣1）+y＝0，所以直线mx+y﹣m＝0恒过点（1，0），所以点F（1，0），可得c＝1．因为离心率为，所以，解得a＝2，由b2＝a2﹣c2＝3得，所以E的标准方程为．（Ⅱ）因为•＝0，所以AC⊥BD．由+＝2，+＝2，得M，N分别是AC，BD的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线AC的倾斜角的余弦值为，得直线AC的斜率为2，所以AC的方程：y＝2（x﹣1），直线BD的方程：，联立，消去y，得19x2﹣32x+4＝0．显然，△＞0，且，y1+y2＝2（x1﹣1）+2（x2﹣1）＝2（x1+x2）﹣4＝，所以，，可得，同理可得，所以，所以，直线MN的方程：．令y＝0，得，所以直线MN与x轴交点的坐标为．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＝4，且，求证：．【解答】解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣x＝，当a＜0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由解得0＜x＜，由，解得x＞，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当a＝0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）证明：当a＝4时，f（x）＝lnx﹣x2，f′（x）＝，则f（x）＝lnx﹣x2在（0，1）上单调递增．设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），即lnx1﹣＜lnx2﹣，所以ln＜，可得＜．因为x∈（0，），所以0＜sin x＜cos x＜1，所以＜，即tan x＜．因为x∈（0，），所以2x∈（0，），所以cos2x∈（，1），﹣cos2x∈（﹣，﹣），所以＜．综上可得tan x＜＜，且tan x＞0，即．(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．【解答】解：（Ⅰ）由（t为参数），得x≠1．消去参数t，得l的普通方程为x﹣2y+1＝0（x≠1）；将去分母得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，将y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2代入，得，所以曲线C的直角坐标方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到l的距离，当，即时，，此时，，所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为，该点坐标为．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|＝当x＜﹣1时，解得x＜﹣3；当﹣1≤x≤1时，解得；当x＞1时，解得x＞1，综上，原不等式的解集为．（Ⅱ）当a≤﹣1时，∴f（x）max＝f（﹣1）＝﹣a﹣1＝3，解得a＝﹣4；当a＞﹣1时，∴f（x）max＝f（﹣1）＝a+1＝3，解得a＝2，∴a的值为﹣4或2．。
陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题及答案
【分析】
（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；
（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.
故答案为：4.
14．
【分析】
根据平均数，中位数，众数的定义求出 后可判断．
【详解】
平均效 ，
中位数 ，众数 ，则 .
故答案为： .
15．
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出 的最大值即得解.
【详解】
由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，
设 ，它表示斜率为 ，纵截距为 的直线系，
【详解】
底面 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱 可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为： ，
所以球O的表面积为 ，
故选：C．.
13．4
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影分所示.
令 ，作直线 ，向下平移，
易知当直线经过点 时z最大，所以 .
12．三棱柱 中，棱 两两垂直， ，底面 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）
A．8B． C． D．
二、填空题
13．已知 满足约束条件 ，则 的最大值为__________.
14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是 ，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则 由大到小的顺序为________.
.
故答案为：84
【点睛】
方法点睛：本题考查数列的递推关系及等差数列的求和公式，利用数列递推关系求数列通项公式常用的方法：（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的转化与化归思想及运算能力，属于基础题.
陕西省西安中学2020届高三仿真考试(一)数学(文)试题+Word版含答案
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 sin( A C) 2 3 sin2 B . 2
（1）求 B ；（2）若 a c 6 ， ABC 的面积为 3 ，求 b .
18、（本题满分 12 分）
如图，已知 AF 面 ABCD ，四边形 ABEF 为矩形， 四边形 ABCD 为直角梯形， DAB 90 ， AB / /CD, AD AF CD 1, AB 2
;
14、已知一组数据分别是10, 2,5, 2, 4, 2 则这组数据的中位数与众数的等比中项为
；
15、圆 x+12 y2 4 关于直线 y x 1 对称的圆的方程
；
16、关于函数
f
(x)
2 sin
x
sin(
x)
x
有下述四个结论：
2 22
函数 f ( x) 的图象把圆 x2 y2 1 的面积两等分； f ( x) 是周期为的函数；
件
6、已知等比数列 an 中有 a3a11 4a7 ，数列 bn 是等差数列，且 a7 b7 ，则 b5 b9 （ ）
A．2
B．4 C．8 D．16
7、如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域 内的概率为 2 ．则阴影区域的面积约为（ ） 3
-1-
A． 8 3
D. 1, 2, 3
3、下图是相关变量 x, y 的散点图，现对这两个相关变量进行分析：
方案一：根据图中的所有数据，得到线性回归直线方程为 y b1x a1 ,相关系数 r1 ;
方案二：剔除点 10, 21 ，根据剩余数据得到线性回归直线方程为 y b2x a2 ,相关系数
陕西省西安中学2020届高三下学期仿真考试(一)数学(文)试题含解析
A。 B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 ,利用向量平行的条件解得x的值.
【详解】∵ ， ，
∴ ，又
∴
∴
故选D
【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行，垂直以及夹角和模长等问题,是基础题．
5.已知 、 都是实数，那么“ "是“ ”的（ ）
故选D．
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用,考查计算能力．
7。如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 .则阴影区域的面积约为 ( ）
A. B. C。 D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】
求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积。
【分析】
（1)在 中，根据 ,结合内角和定理利用二倍角公式化简求解.
(2）由 的面积为 ,由 ，求得 ，再结合 ,利用余弦定理求解.
【详解】（1)在 中, ,
即: ,
，
,
.
（2）由 的面积为 得： ，
所以 ，又
由余弦定理得： ，
.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力。属于中档题。
【答案】C
【解析】
【分析】
解分式不等式得到P，再进行补集和交集运算
【详解】由题 或
则
故选：C
【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及分式不等式解法，是基础题
3。相关变量 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程 ，相关系数为 ；方案二：剔除点 ,根据剩下数据得到线性回归直线方程： ，相关系数为 。则（ )
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.
16．我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵， 其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以 棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形 的边长为 1，对该几何体有如下描述： ①四个侧面都是直角三角形； ②最长的侧棱长为 2 6 ； ③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④外接球的表面积为 24π． 其中正确的描述为____．
a
出方程组确定 p 的值即可确定焦点坐标.
【详解】
e2
c2 a2
a2 b2 a2
1
b2 a2
5 ，∴
b a
2，
设点 A 位于第一象限，且 A m, n ，结合图形的对称性可得：
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n 2 m mn 32
，解得：
p 8 ，∴抛物线的焦点为 4, 0 ，故选 B.
n2 2 pm
2,
2
，
f
x1
f
x2 4 ，且
x1 x2
的最小值为 π ，故 T 2
2
2, 2 2
g
x
f
x
2
sin
2x
3
2
sin
2x
3
当
x
0,
π 6
时，
2
x
3
3
,
2 3
，函数有增有减，故
AB
错误；
当
x
π 3
,
π 12
时，
2x
3
3
,
2
，函数单调递减，故
D
正确，
C
错误；
x y 0
由图可知，目标函数的最优解为 A，
x 2y 1 联立 2x y 1 ，解得 A（﹣1，1）．
∴z＝3x﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5． 故答案为：﹣5．
【点睛】 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．已知某民营车企 1 月份生产了 A，B，C 三种型号的新能源汽车，台数依次为 120，
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选
A.
7．已知函数 f（x）满足 f（﹣x）＝﹣f（x），且 f（x+2）＝f（x），当 0≤x≤1 时，f（x）
＝2x（1﹣x），则 f（ 5 ）＝（ ） 2
A． 1 2
B． 1 4
1
C．
4
1
D．
2
【答案】A
【解析】根据周期性和奇偶性，即可求解.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的判断，涉及了线面平行的判定定理和性质的应用，属
于基础题.
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9．曲线 y lnx 2 在 x 1 处的切线的倾斜角为 ，则 cos(2 ) 的值为（ ）
x
2
4
A．
5
B． 4 5
3
C．
5
D．- 3 5
【答案】D
【解析】根据已知条件，求出切线斜率 tan 3 ，再根据同角三角函数的基本关系可
210，150. 现用分层抽样的方法从中随机抽取 16 台车进行安全测试，则某一台 B 型号
的新能源汽车被抽取的概率为_______.
1
【答案】
30
【解析】根据分层抽样的概率，即可容易求得. 【详解】
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由题可知， B 型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等，
则其概率
P
120
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【答案】①②④ 【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面 ABCD，PA＝2，底 面 ABCD 为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案． 【详解】 由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面 ABCD，PA=2， 底面 ABCD 为矩形，AB=2，BC=4， 则四个侧面是直角三角形，故①正确；
又 为锐角，
∴ sin 2 , 45 ．选 C． 2
4．有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中
任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为
4
A．
5
3
B．
5
2
C．
5
1
D．
5
【答案】C
【解析】选取两支彩笔的方法有 C52 种，含有红色彩笔的选法为 C41 种，
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据线面平行的判定定理和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即
可.
【详解】
由 m , n ， m//n ，则由线面平行的判定定理得 m / / 由 m / / 不能得出 m 与 内任意直线平行，则 m / / 不能得出 m//n 即“ m//n ”是“ m / / ”的充分不必要条件
6．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定 第 2 页 共 18 页
四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ）
A．小钱
B．小李
C．小孙
D．小赵
【答案】A
【解析】 由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
利用对数式的运算性质得到 c 大于 1，从而得到结论．
【详解】
因为 y＝x0.5 在（0，+∞）上是为增函数，且 0.5＞0.3，所以 0.50.5＞0.30.5，即 a＞b． c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，而 1＝0.50＞0.50.5． 所以 b＜a＜c．
故选 C．
【点睛】
本题考查了不等关系，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．
【详解】
由 f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝﹣f（x），
得 f ( 5) f ( 5) f (1 ) 2 1 1 1 .
2
2
2
22 2
故选:A
【点睛】
本题考查函数的性质应用，属于基础题.
8．已知平面 ，直线 m, n 满足 m , n ，则“ m//n ”是“ m / / ”的（ ）
三、解答题
17．已知等比数列an 的各项均为正数， a2 8，a3 a4 48 ． ( Ⅰ ) 求数列an 的通项公式； ( Ⅱ ) 设 bn log4an.证明：bn 为等差数列，并求bn 的前 n 项和 Sn ．
些.
5．设 a 0.50.5 ， b 0.30.5 ， c log0.3 0.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是( )
A． c b a
B． a b c
C． b a c
D． a c b
【答案】C
【解析】利用幂函数的性质比较 a 与 b 的大小，利用指数函数的性质比较 a 与 1 的大小，
16 210
150
1 30
.
1
故答案为： .
30
【点睛】
本题考查分层抽样的概率计算，属基础题.
15．在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 ABC 的面积为 3 15 ， b c 2, cos A 1 ，则 a 的值为___________．
4 【答案】 8
最长棱为 PC，长度为 2 6 ，故②正确；
由已知可得，PB=2 2 ，PC=2 6 ，PD=2 5 ，则四个侧面均不全等，故③错误；
1
把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为 PC=
2
6 ，其表面积为 4π×
6 2 =24π，故
④正确．
∴其中正确的命题是①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．
【解析】试题分析：因
,故
,由题设可得
,
即
,所以
,所以
,应填 .
【考点】余弦定理及三角形面积公式的运用． 【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所 学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦
定理探究出三边
的关系
及
,先求出
,在运用余弦定理得到
y2 b2
1(a
0,b
0)
的渐近线于
A ，B
两
点（异于坐标原点 O ），若双曲线的离心率为 5 ， AOB 的面积为 32，则抛物线的焦
点为（ ）
A． (2, 0)
B． (4, 0)
C． (6, 0)
D． (8, 0)
【答案】B
【解析】由题意可得 b 2 ，设点 A 位于第一象限，且 A m, n ，结合图形的对称性列
故选： D
【点睛】
本题考查了三角函数的最值，周期，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应
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用.
12．已知
F1
，
F2
分别是双曲线
x2
-
y2 b2
1(b
0) 的左、右焦点，过点 F1 与双曲线的一
条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 P，若点 P 在以线段 F1F2 为直径的
1, 2,1, 2,3,1, 2, 4 ，共 3 种可能.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.
2．若 z 4 3i ，则
z z
（
）
A．1
【答案】D