桥梁结构振动与稳定分析

东南大学(2014～2015)年第一学期

桥梁结构振动与稳定分析

研究报告

成绩：

姓名：高明天

学号：145511

专业：桥梁与隧道工程

授课教师：万水

日期：2015年1月

目录

2薄板的振动理论及应用

2.1

薄板的自由振动

薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。

设薄板在平衡位置的挠度为),(y x w w e e =，这时，薄板所受的横向静荷载为

),(y x q q =。则薄板的弹性曲面微分方程为：

q w D e =∇4 （a)

式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力e w D 4∇和它所受的横向荷载q 成平衡。 设薄板在振动过程中的任意瞬时t 的挠度为),,(t t y x w w t =，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力t 4w D ∇，将与横向荷载q 及惯性力i q 成平衡，即

i q q w D +=∇t 4 （b)

薄板的加速度是2

2t

w t

∂∂，因而每单位面积上的惯性力是 2

2t

w m q t

i ∂∂-=

其中m 为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b ）可以改写为

22t 4

t

w m q w D t

∂∂-=∇ (c)

将式（c ）与式（a)相减，得到

22t 4

)(t

w m w w D t

e ∂∂-=-∇

由于),(y x w w e e =不随时间改变，02

e

2=∂∂t w ，所以上式可以改写成为 )()(22

t 4

e t e w w t

m w w D -∂∂-=-∇ (d)

命薄板在任意瞬时的挠度为e t w w w -=，而式(d)成为

224

t

w

m w D ∂∂-=∇

或

02

24

=∂∂+

∇t w

D m w （2-1） 这就是薄板自由振动的微分方程。 微分方程(2-1)有如下形式的解答：

),()sin cos (1

1

y x W t B t A w

w m m m m m m m m

ωω+==

∑∑∞

=∞

= （2-2）

在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是m ω。另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 标示的。

为了求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的频率m ω，我们取

),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=

代入式(2-1),然后消去因子)sin cos (t B t A ωω+，得出所谓振形微分方程

02

4

=-∇W D

m W ω （2-3） 如果由这一微分方程求得W 的满足边界条件的非零解，即可由关系式

W

W

m D 42

∇=ω （e ）

求得相应的频率ω。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄

板的固有特性，而与外来因素无关。

实际上，只有当薄板的m 为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命

42γω=D

m

（2-4)

则方程（2-3)简化为常系数微分方程

04

4

=-∇W W γ （2-5）

现在就可能比较简便地求得W 的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的γ值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为m W 及m ω，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数m A 及m B 。

设初始条件为

。),(),

,()(00

00y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=== 则由（2-2）式得

。

),(),(),

,(),(01

01y x y x W

B y x w y x W

A m m

m

m

m

m m

νω==∑∑∞

=∞

=

于是可见，为了求得m A 及m B ，必将已知的初挠度0w 及初速度0v 展为m W 的级数，这在数学处理上是比较困难的。因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。

2.2四边简支的矩形薄板的自由振动

取振形函数为

b

sin

s x

n a x m in

W ππ= （2a ） 其中m 及n 为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-1

0b sin s -a m 4

222224=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x n a x m in b n ππγπ 为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x 和y 取任意值时都满足，必须有

2

2222

4442

22224a m 0-a m ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n b n πγγπ （2b ）

将式（b ）代入（2-4）式，得出自然频率的公式

m D b n m D 2

2222

442a

m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==πγω （2c ） 命m 及n 取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率

m D b n mn

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=22222

a m πω （2-6）

当薄板以这一频率振动时，振形函数为

b

sin s x

n a x m in

W mn ππ= 而薄板的挠度为

b

sin

s )sin cos (mn x

n a x m in

t B t A w mn mn mn ππωω+= （2d) 则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为

∑∑∞=∞

=+=11

mn b

sin s )sin cos (m n mn mn mn x

n a x m in

t B t A w ππωω （2e) 初挠度0w 及初速度0v 标示成振形函数的级数为：