桥梁结构振动与稳定分析
桥梁的结构稳定与振动
用干扰力产生的初始变形代替它
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
y
P
x
y P
x
x
M
P
P
P
y
x M P
到原有直线状态，图 c 压力P大类似凸面作用
二、压杆失稳与临界压力 1.理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直,压力绝对沿轴线
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡
稳
P
定
平
衡
横向扰动
100P 横向扰动
不 稳 定 平 衡
哪个杆会有 失稳现象？
—— 斜撑杆
3.压杆失稳
4.压杆的临界压力
干扰力是随机出现的，大小也不确定 —— 抓不住的、来去无踪
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Hale Waihona Puke 长度系数μ =1 0.7
=0.5
=2
=1
虽然梁弯曲与柱稳定都用了 但是含义不同，对于梁弯曲：
力学上 —— 载荷直接引起了弯矩 数学上 —— 求解是一个积分运算问题
对于柱屈曲（压杆稳定）：
力学上 ——载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩
同长度、截面性质、支撑条件有关
二、欧拉公式的适用范围 着眼点 —— 临界应力在线弹性内（小于比例极限）
三、经验公式、临界应力总图 1.直线型经验公式
①P < <S 时：
②S< 时：
桥梁结构的振动与减震控制
桥梁结构的振动与减震控制桥梁结构的振动问题一直以来都备受关注。
随着现代桥梁的跨度和高度不断增加，桥梁结构在遭受外力作用时所产生的振动也日益显著。
对于大跨度、高自振频率的桥梁结构而言，其振动问题已经成为限制工程性能和使用寿命的重要因素。
因此，研究桥梁结构的振动特性，并采取相应的减震控制措施成为提高桥梁结构安全性和舒适性的关键。
1. 桥梁结构的振动特性桥梁结构在遭受外界荷载时，会发生自由振动或强迫振动。
自由振动是指桥梁结构在没有外界激励作用下的自然振动，其振动频率与桥梁的固有特性相关。
强迫振动是指桥梁结构在受到外界激励作用下的振动，外界激励可以是车辆行驶产生的载荷、风速、地震等。
桥梁结构由于体积大且刚性高，振动特性往往比较复杂，可能存在多种振动模态。
了解桥梁结构的振动特性对于进行减震控制具有重要意义。
2. 桥梁结构的减震控制方法（1）被动减震控制：被动减震控制是指通过添加有效阻尼器、质量块等被动元件来消耗桥梁结构振动能量的一种方法。
被动减震控制的主要原理是利用附加的阻尼器阻尼桥梁结构的振动，从而减小结构的加速度响应。
常见的被动减震控制方法包括液体减振器、摩擦阻尼器等。
（2）主动减震控制：主动减震控制是指将传感器、执行器等主动元件应用于桥梁结构，通过采集结构振动响应并进行实时控制，实现对结构振动的主动抑制。
主动减震控制系统具有反馈闭环、自适应调节等特点，能够根据桥梁结构的实时振动状态进行有效的控制，从而减小结构的振动响应。
主动减震控制方法包括电液伺服减震、电流控制阻尼器等。
3. 减震控制技术的应用案例减震控制技术在实际工程中已经得到广泛应用。
例如，日本的“神户大桥”在1995年的阪神大地震中因减震控制系统的作用，减少了地震对桥梁产生的破坏。
另一个例子是位于美国旧金山湾区的“新金门大桥”，该桥梁采用了主动减震控制系统，可以实时监测桥梁的振动状态，并使用伺服阀进行控制，从而减小了桥梁结构的振动响应。
4. 减震控制技术的发展趋势随着科技的不断进步和减震控制技术的研究深入，人们对于桥梁结构振动控制技术的要求也越来越高。
桥梁结构的振动特性与实践案例分析
桥梁结构的振动特性与实践案例分析桥梁结构是现代社会重要的基础设施，它们承载着交通运输的重任，保障着人们的出行安全和经济的发展。
然而，桥梁结构的振动特性对于其稳定性和安全性具有重要影响。
因此，深入了解桥梁结构的振动特性，并通过实践案例分析来探讨解决方法，对于提高桥梁工程的质量和安全性具有重要意义。
首先，桥梁结构的振动特性是指在受到外界激励或自身系统内部激励下，结构会发生振动。
振动特性包括振动频率、振动模态和振动幅值等参数。
振动频率是指桥梁结构在特定的条件下的振动周期，它与结构的刚度和质量密切相关。
振动模态是指桥梁结构在不同振动频率下的振动形态，它与结构的固有频率和振动模态形式有关。
振动幅值是指桥梁结构振动的幅度大小，它与激励的力度和结构的阻尼特性有关。
其次，桥梁结构的振动特性会对结构的稳定性和安全性产生影响。
当桥梁受到外界激励（如风荷载、地震等）时，如果结构的振动频率与激励频率接近甚至相同，就会出现共振现象。
共振会导致结构振幅增大，从而可能引起结构的破坏和倒塌。
此外，结构的振动还会导致桥梁的舒适性下降，对行人和车辆的安全造成威胁。
针对桥梁结构的振动问题，我们可以采取一系列的措施来保障桥梁的稳定性和安全性。
首先，通过结构设计和分析，合理选择结构材料和断面形状，提高桥梁的抗振能力。
其次，进行结构的振动监测与评估，了解结构的振动性能，及时采取相应的措施，如增加阻尼器、加强刚度等。
同时，制定科学合理的维护养护计划，及时发现和修复结构的损伤，防止进一步的振动放大。
本文将通过实践案例分析来探讨桥梁结构的振动特性及其对结构的影响。
以北京市某桥梁为例，该桥梁于1990年建成，经过多年的使用，出现了明显的振动问题。
通过实测数据和有限元分析，我们发现该桥梁的固有频率与甚至接近风荷载频率，导致桥梁受到风荷载时出现共振现象，振幅增大，威胁到行车安全。
因此，我们采取了增加阻尼器和加强结构刚度的措施，在不改变原有结构的情况下有效控制了振动问题。
桥梁结构震动监测方案与处理措施
桥梁结构震动监测方案与处理措施桥梁作为城市交通与交通网络的重要组成部分，其安全性和稳定性对人们的出行安全至关重要。
然而，桥梁结构本身会受到外界因素的影响，其中之一就是震动。
为了确保桥梁的稳定性和可靠性，需要采取适当的监测方案和相应的处理措施。
本文将就桥梁结构震动监测方案和处理措施进行探讨。
一、桥梁结构震动监测方案桥梁结构震动监测方案的目的是实时了解桥梁结构的运行状况，及时发现潜在的问题并采取相应的维修和处理措施。
以下是一些常见的桥梁结构震动监测方案：1. 安装振动传感器：在桥梁结构的关键位置，如支座、梁体等部位，安装振动传感器。
振动传感器能够感知桥梁结构受到的外力和震动，将相关数据传输给监测系统。
2. 架设监测系统：采用专业的数值化监测系统，将振动传感器采集的数据进行实时传输和处理。
监测系统应具备高精度、高灵敏度和稳定性，能够对数据进行分析和比对。
3. 建立监测数据库：将监测系统采集到的数据进行整理和存储，建立桥梁结构震动监测数据库。
监测数据库应具备较大的存储容量，并能够随时提供数据查询和分析功能。
4. 制定监测计划：根据桥梁结构的具体情况和使用状况，制定合理的监测计划。
监测计划应包括监测频率、监测时间段、监测参数等内容，以确保监测工作的有效性和可行性。
二、桥梁结构震动处理措施一旦桥梁结构出现震动问题，需要及时采取相应的处理措施来保障桥梁的完整性和稳定性。
以下是一些常见的桥梁结构震动处理措施：1. 桥梁加固增强：根据桥梁结构受到的震动特点和程度，进行相应的加固增强措施。
可以采取加厚梁体、增强支座、加固桥墩等方式，提升桥梁的抗震能力。
2. 疏导震动能量：在桥梁结构中设置缓冲层，将震动能量进行转化和分散。
通过减震装置、橡胶支座等方式，降低桥梁受力程度，保护桥梁结构的稳定性。
3. 监测预警系统：建立桥梁结构震动监测预警系统，实现对桥梁结构震动的预警、预测和预防。
通过监测预警系统，能够在桥梁出现问题之前，提前采取相应的处理措施，降低事故发生的概率。
桥梁结构的稳定性分析与设计
桥梁结构的稳定性分析与设计一、绪论桥梁是连接两地之间的重要基础设施，桥梁结构的安全和稳定性对公众交通安全至关重要。
因此，对桥梁结构的稳定性分析和设计成为工程师们的重要任务。
二、桥梁结构的力学基础桥梁结构的力学基础主要包括力和应力、力学平衡和结构分析。
1.力和应力力是指物体之间的相互作用，包括重力、弹性力和摩擦力等。
应力则是指单位面积内物体所受的力的大小。
桥梁结构的稳定性取决于结构所承受的应力大小是否超过材料强度。
2.力学平衡力学平衡指桥梁结构所受的所有外力与内力之间的平衡关系。
在桥梁结构设计中，工程师必须满足静力平衡原理，即对于一个静止的体系，所受的合外力和合内力必须相等。
3.结构分析结构分析是指通过数学模型和力学分析方法对桥梁结构进行分析、设计和评估的过程。
结构分析包括模型建立、载荷计算、应力计算和变形计算等。
三、桥梁结构的稳定性分析桥梁结构的稳定性分析主要包括静力分析、动力分析、稳定性分析和疲劳分析。
1.静力分析静力分析是指对桥梁结构承受恒定载荷时的应力、变形及其稳定性的分析。
静力分析过程中需要计算桥梁结构的应力分布、变形情况和位移的大小，以判断桥梁结构的稳定性。
2.动力分析动力分析是指对桥梁结构承受动载荷时的应力、变形及其稳定性的分析。
动力分析过程中需要预测桥梁结构在风、地震、车辆和列车掠过时的振动、变形和应力等情况，以判断桥梁结构在动载荷下的稳定性。
3.稳定性分析稳定性分析是指对桥梁结构在受力状态下产生的屈曲、侧移和倾覆等现象进行分析。
稳定性分析过程中需要计算桥梁结构的刚度、屈曲力和扭转稳定性等指标，以判断桥梁结构在受力状态下的稳定性。
4.疲劳分析疲劳分析是指对桥梁结构在长期承载重载车辆和风雨等恶劣环境下的疲劳寿命进行评估。
疲劳分析过程中需要计算桥梁结构的疲劳强度、疲劳损伤和疲劳寿命等指标，以判断桥梁结构的使用寿命和安全性。
四、桥梁结构的设计桥梁结构的设计主要包括材料选择、截面设计、支座设计和荷载规定等。
复杂结构的桥梁稳定性分析及优化设计
复杂结构的桥梁稳定性分析及优化设计一、引言桥梁是人类工程学的杰作之一，它们连接着不同的地区，促进了商业和文化的发展。
然而，复杂结构的桥梁在建造和维护中面临着巨大的挑战，尤其是在面对各种自然灾害时。
因此，分析桥梁的稳定性并进行优化设计是必不可少的。
二、桥梁稳定性分析桥梁的稳定性取决于其结构的复杂程度、材料的强度、荷载的类型和大小，以及环境的因素等诸多因素。
其中，桥梁的结构是其稳定性的最主要因素之一，因此，掌握桥梁结构的基本原理是进行稳定性分析的前提。
常见的桥梁结构包括宽肩梁式桥、拱桥、悬索桥和斜拉桥等。
这些桥梁都有其独特的结构形式和设计原理，需要针对性地进行稳定性分析。
桥梁的荷载是另一个重要因素。
荷载的类型通常包括静载荷、动载荷和地震荷。
静力分析可以通过受力分析和位移分析来预测桥梁的稳定性。
动力分析能够对桥梁在行驶过程中受到的动态荷载进行评估，确定桥梁桥面在振动时的反应。
地震荷是桥梁稳定性分析中必须考虑的一种特殊荷载，需要通过地震动力学分析方法进行计算。
除了桥梁结构和荷载，环境因素也会对桥梁稳定性产生影响。
例如，气候因素如风速、大气压力和温度变化等可能会导致桥梁的振动和变形。
水文条件如洪水、气涨潮和洪水波浪等也会影响桥梁的稳定性。
因此，在进行桥梁稳定性分析时需要同时考虑这些环境因素的影响。
三、桥梁稳定性优化设计针对桥梁的稳定性问题，我们可以通过优化设计来解决。
桥梁的优化设计需要考虑的因素包括材料的优化、结构的优化和组合的优化等。
材料的优化是指选择合适的材料来提高桥梁的稳定性。
一般来说，材料的强度越高，桥梁的稳定性就越好。
在选择材料时，需要考虑其弹性模量、热膨胀系数、抗压强度、抗拉强度和韧性等参数。
结构的优化是指通过改善桥梁的结构来提高其稳定性。
如使用三角形或梁柱结构来提高桥梁的抗震性能，或者增加支撑结构来强化桥梁的抵御能力。
组合的优化是指针对特定情况选择合适的桥梁结构和材料的组合设计方法。
例如，斜拉桥适合跨越较大河流，但在地震等自然灾害中易发生不稳定现象，需要根据具体情况灵活设计。
钢结构桥梁的振动与控制
钢结构桥梁的振动与控制钢结构桥梁是现代交通建设中常见的重要组成部分，它具有承载能力高、结构刚性好等优点。
然而，由于桥梁自身的重量和弯曲刚度，以及外界因素的影响，钢结构桥梁在使用过程中会发生振动现象。
这种振动会给桥梁的稳定性和安全性带来潜在威胁，因此对钢结构桥梁的振动进行控制是非常必要的。
一、振动的类型与原因钢结构桥梁主要存在以下几种振动类型：自由振动、迫振动、共振振动和非线性振动。
这些振动主要由以下原因引起：1. 风荷载引起的振动：风是一个重要的外界力，当风速超过一定范围时，会产生较大的气动力，导致桥梁出现迫振动或共振振动。
2. 频率激励引起的振动：当桥梁受到与其固有频率相近的激励时，会发生共振振动，如行车载荷、地震等。
3. 施工活动引起的振动：在桥梁的施工过程中，机械设备和爆炸声等都会对振动产生影响，尤其是钢结构的安装会引起自由振动。
二、振动对桥梁的影响钢结构桥梁的振动对其结构的稳定性和安全性产生直接影响：1. 疲劳破坏：桥梁长期受到振动作用，会引起材料的疲劳破坏，进而导致桥梁的结构失效。
2. 振动放大：桥梁受到外部激励时，如果其频率与桥梁的固有频率相近，会引起共振现象，使得振动幅度放大，进而加剧桥梁的损伤程度。
3. 几何非线性效应：在较大振动幅度下，钢结构桥梁会产生几何非线性效应，导致桥梁的刚度和承载能力减小。
三、振动控制方法为了保证钢结构桥梁的正常运行和安全性，有必要对其振动进行控制。
以下是一些常用的振动控制方法：1. 袈振动控制：增加阻尼器等装置，通过吸收振动能量来降低桥梁的振动幅度。
2. 增加重量：通过增加桥梁的自重来提高其固有频率，从而使得外界频率激励难以引起共振。
3. 改变刚度：通过调整桥梁的刚度参数来改变其固有频率和振动模态，达到减小振动幅度的效果。
4. 综合控制方法：综合运用多种控制手段，如主动控制、半主动控制和被动控制等方法，以达到最佳的振动控制效果。
需要注意的是，在进行振动控制时，应综合考虑桥梁的结构特点、环境条件和经济效益等因素，确保达到可行和有效的控制效果。
桥梁振动特性研究
桥梁振动特性研究桥梁振动是工程结构中一个重要的研究领域。
随着城市化进程和交通工具的发展，桥梁作为城市交通的重要组成部分，其安全性和稳定性问题日益受到关注。
振动是指桥梁在受到外界力作用或自身固有频率激励下产生的结构动态响应。
振动特性研究主要包括振动模态、频率、振型等方面的分析，其目的是为了评估桥梁的振动性能，优化设计与维护工作。
一、桥梁振动的分类桥梁振动可分为静态振动和动态振动两种类型。
静态振动是指桥梁在受到静力荷载作用下产生的变形和位移，其特点是振动幅度相对较小，频率较低。
而动态振动是指桥梁在受到动力荷载作用下产生的振动现象，其特点是振动幅度较大，频率较高。
二、桥梁振动的原因桥梁振动产生的原因主要有以下几个方面：车辆荷载、风荷载、地震荷载、涡激振动等。
其中，车辆荷载是主要的振动激励源，车辆在桥梁上行驶时会产生载荷和激励力，导致桥梁产生振动。
而风荷载和地震荷载则是外部环境因素引起的桥梁振动，其振幅和频率与风速和地震强度等因素相关。
三、桥梁振动特性的研究方法1. 实测方法：通过在实际桥梁上安装振动传感器，采集桥梁的振动数据，然后通过数据分析和处理，得到桥梁的振动特性。
这种方法能够直接获取桥梁的实际运行情况，具有较高的准确性。
2. 计算模拟方法：通过建立桥梁的数学模型，运用有限元分析或其他相应的计算方法，对桥梁的振动特性进行模拟和计算。
这种方法可以通过调整参数或条件，对比不同情况下的振动特性，为桥梁的设计和改进提供参考。
四、桥梁振动特性的评估与优化通过研究和分析桥梁的振动特性，可以评估其安全性和稳定性，找到振动问题的症结所在。
根据评估结果，可以采取相应的优化措施。
常见的优化方法包括：调整桥梁的结构参数、改进桥梁的材料和施工工艺、优化桥梁的支座和铺装等。
五、桥梁振动特性的研究意义桥梁振动特性的研究不仅对于桥梁的设计和改进具有重要的参考价值，而且对于提高桥梁的使用寿命、保障交通运输安全、保护环境和节约资源等方面也具有积极的意义。
桥梁结构动力特性分析
桥梁结构动力特性分析桥梁结构是城市交通建设中必不可少的重要组成部分。
为了确保桥梁的安全性和可靠性，在设计和施工过程中，必须对桥梁的动力特性进行充分的分析。
本文将对桥梁结构的动力特性进行详细讨论，包括桥梁结构的固有频率、自由振动、强迫振动以及可能引起的共振现象等。
一、固有频率固有频率是指桥梁结构在没有外力作用的情况下，自身固有特性所具有的振动频率。
桥梁结构的固有频率是通过结构的质量、刚度和几何尺寸来确定的。
一般来说，桥梁的固有频率越高，结构的刚度越大，相应地，结构的稳定性和抗风、抗震能力也会更高。
二、自由振动自由振动是指桥梁结构在受到外力激励之前的自由振动行为。
当桥梁结构受到外力干扰后，会出现固有频率下的自由振动。
自由振动是桥梁在没有外力干扰下的自然振动，也是研究桥梁动力特性的重要基础。
三、强迫振动强迫振动是指桥梁结构在受到外力激励时的振动行为。
在桥梁的正常使用过程中，会受到行车荷载、风力、地震等各种外力的作用，从而引起结构的强迫振动。
通过对桥梁结构的强迫振动进行分析，可以评估结构的动力响应和力学性能。
四、共振现象共振是指外力激励频率与桥梁结构的固有频率非常接近，从而导致结构发生巨大振幅的现象。
共振是桥梁结构动力特性中非常重要和危险的现象，因为共振会导致结构的破坏和失效。
因此，在桥梁设计和施工过程中，必须避免共振的发生。
五、动力特性分析方法为了分析桥梁结构的动力特性，工程师们可以采用多种分析方法。
常见的方法包括模态分析、频率响应分析和时程分析等。
模态分析是通过计算桥梁结构的固有振型和固有频率来进行分析，可以预测结构在不同固有频率下的振动情况。
频率响应分析是通过施加频率变化的外力激励，来分析桥梁结构的响应情况。
时程分析是通过实测或模拟不同的时间历程，来研究桥梁结构在动力加载下的响应和变形情况。
六、桥梁结构动力特性在实际工程中的应用在实际桥梁工程中，准确分析桥梁结构的动力特性对于设计和施工至关重要。
首先，通过分析桥梁的固有频率和自由振动，可以确定结构的稳定性和抗风、抗震能力。
振动与波动：桥梁的共振效应
振动与波动：桥梁的共振效应桥梁作为连接两个地点的重要交通工程，承载着车辆和行人的重量，扮演着至关重要的角色。
然而，在桥梁的设计和使用过程中，振动问题一直备受关注。
振动是指物体在受到外力作用时产生的周期性运动，而波动则是振动在介质中传播的过程。
当桥梁受到外部振动作用时，如果振动频率与桥梁的固有频率相近，就会引发共振效应，从而对桥梁的安全性和稳定性造成威胁。
本文将探讨振动与波动对桥梁的影响，以及如何避免共振效应对桥梁结构的破坏。
振动是桥梁结构中不可避免的现象。
当车辆通过桥梁时，桥面会受到动载荷的作用而产生振动。
此外，风力、地震等外部因素也会引起桥梁的振动。
振动会导致桥梁结构的变形和疲劳，进而影响桥梁的使用寿命和安全性。
为了减小振动对桥梁结构的影响，工程师们通常会在桥梁设计中考虑振动吸收和减震措施，以提高桥梁的稳定性和安全性。
波动是振动在介质中传播的过程。
在桥梁中，振动会以波的形式在桥梁结构中传播。
波动的特点是能量传递迅速，当波动达到一定强度时，就会引发共振效应。
共振效应是指外部振动频率与桥梁的固有频率相匹配时，桥梁结构会受到更大的振幅，从而导致结构破坏。
因此，共振效应是桥梁结构中需要重点关注和避免的问题。
为了避免共振效应对桥梁结构的破坏，工程师们通常会采取一系列措施。
首先，通过合理的设计和施工，可以降低桥梁的固有频率，使其远离外部振动频率，减小共振效应的发生几率。
其次，可以在桥梁结构中设置减震装置，如减震器、阻尼器等，用于吸收和消散振动能量，减小振动对桥梁结构的影响。
此外，定期检测和维护桥梁结构也是避免共振效应的重要手段，及时发现和处理潜在的安全隐患，确保桥梁的正常运行。
总之，振动与波动对桥梁结构的影响不可忽视。
共振效应是桥梁结构中需要重点关注和避免的问题，工程师们需要通过合理的设计和施工、设置减震装置以及定期检测和维护等手段，保障桥梁的安全性和稳定性。
只有在不断改进和完善的过程中，我们才能建造更加安全可靠的桥梁，为人们的出行提供更好的保障。
桥梁施工中的振动影响及对策
桥梁施工中的振动影响及对策桥梁是现代交通基础设施的重要组成部分，然而，在桥梁施工过程中，振动可能会对桥梁结构造成一定的影响。
本文将讨论桥梁施工中的振动影响以及对策，以确保桥梁结构的安全性和稳定性。
1. 桥梁施工中的振动影响桥梁施工过程中，主要存在以下几种振动影响：1.1 地面振动桥梁施工所产生的振动会通过地面传导，进而对周围建筑物和地质环境造成影响。
地面振动可能导致附近房屋的结构受损，地下管道破裂等问题。
1.2 桩基振动在桥梁施工中，施工机械和设备的振动可能会对桩基产生影响。
桩基振动会对桩身和土壤产生动力效应，进而影响桩基的承载能力和稳定性。
1.3 结构振动桥梁施工中，施工工艺和施工机械的震动可能会对桥梁结构本身产生振动。
这种振动可能导致桥梁结构的疲劳破坏，从而影响其使用寿命和结构安全性。
2. 桥梁施工中的振动对策为了减少桥梁施工中振动对周围环境和桥梁结构的影响，可以采取以下对策：2.1 预测与评估在桥梁施工前，应通过计算和模拟等方法预测施工振动对桥梁结构和周围环境的影响。
同时，需要评估施工振动的强度和频率，以确定可能的风险和潜在问题。
2.2 合理施工工艺设计在桥梁施工中，应采用合理的施工工艺和方法，以减少振动的产生和传导。
例如，可以采用分阶段施工，减少一次性对桥梁结构造成的振动量。
2.3 振动监测与控制在桥梁施工过程中，应设置振动监测装置，实时监测施工振动的强度和频率。
当振动超过安全限制时，应采取相应的控制措施，例如调整施工机械的工作参数，减少振动产生。
2.4 隔振与减振措施针对影响桥梁结构的振动，可以采取隔振和减振措施。
通过在桥梁结构中设置特殊设计的隔振装置，可以有效减少振动的传递和反射。
此外，可以使用减振材料和减振器等技术，降低桥梁结构的振动幅度。
3. 桥梁施工中的振动管理除了采取具体的对策来减少振动影响外，还需要进行综合的振动管理：3.1 建立健全的技术规范在桥梁施工领域，应建立健全的技术规范，明确振动限值和管理要求。
桥梁结构振动监测及问题分析
桥梁结构振动监测及问题分析桥梁结构是连接两岸的重要交通通道，其安全稳定性对于保障交通的畅通和人民的生命财产安全至关重要。
由于受到自然因素、人为因素等多种因素的影响，桥梁结构在长期使用过程中会发生振动。
这些振动可能造成桥梁结构的损伤和破坏，因此对于桥梁结构的振动监测和问题分析显得尤为重要。
桥梁结构的振动监测可以通过传感器等装置进行实时检测和数据采集。
传感器能够感知桥梁结构的振动情况，并将数据传输到监测系统中进行分析和处理。
监测系统会对传感器采集到的数据进行实时监测和处理，以便及时发现潜在的结构问题。
在振动监测中，常用的参数包括振动幅值、频率、相位等。
通过监测这些参数的变化，可以了解桥梁结构的健康状态和振动特性。
桥梁结构振动监测的目的是早期发现问题，及时采取措施进行修复和加固。
一旦发现振动异常，监测系统会立即发出警报，并通知相关人员进行处理。
在振动监测系统中，还可以设置自动化控制，当振动超过一定程度时，自动触发紧急措施，以保障桥梁结构的稳定性和安全性。
这种自动化控制的监测系统可以充分发挥技术的优势，提高监测效率和准确性。
除了实时监测外，还需要对桥梁结构的振动问题进行深入的分析。
振动问题的分析可以从多个方面进行，例如通过有限元方法对桥梁结构进行模拟和计算，以了解其振动特性和强度分布情况。
还可以通过振动测试和实验研究，验证模拟结果的准确性并获得更多的振动参数和数据。
通过这些分析方法，可以全面了解桥梁结构存在的问题，为后续的修复和加固提供科学依据。
振动问题的分析也可以结合桥梁结构的设计和施工过程来进行。
有些振动问题可能是由于设计不合理或者施工过程中存在的问题造成的。
通过对设计和施工过程的审查和分析，可以找出问题的根源，并提出相应的改进和解决方案。
这种结合设计和施工的分析方法，能够从源头上预防和解决振动问题，提高桥梁结构的安全性和可靠性。
除了振动监测和问题分析，桥梁结构的振动控制也是一项重要的工作。
振动控制的目的是减小桥梁结构的振动幅值，提高其稳定性和舒适性。
桥梁设计中的动力与振动分析
桥梁设计中的动力与振动分析在桥梁设计中，动力与振动分析是一个至关重要的环节。
随着现代化交通建设的快速发展，桥梁作为连接城市和区域的重要交通设施，其安全性和可靠性需求日益提高。
因此，对桥梁的动力与振动特性进行准确分析和预测，是确保桥梁正常运行及其结构安全性的关键。
动力与振动分析在桥梁设计中的作用不可忽视。
首先，动力分析可以帮助设计者了解桥梁结构在受外力作用下的响应情况。
如车辆经过桥梁时产生的荷载以及风荷载等外力，都会对桥梁结构造成影响。
通过动力分析，设计者可以预测桥梁在不同条件下的振动频率、振型以及振幅等重要参数，进而对桥梁结构的疲劳寿命和安全性进行评估和改进。
其次，振动分析能够帮助设计者优化桥梁结构，提高其动力性能。
通过对桥梁结构进行振动模态分析，可以发现结构的固有频率和振型。
这些信息可以帮助设计者合理调整结构参数，以避免共振现象的发生。
共振是指外力频率与结构的固有频率相近或相等时，桥梁结构受到的振幅放大，甚至引发破坏。
因此，通过振动分析，设计者可以有针对性地进行结构改进，以增强桥梁的抗振能力，提高其运行安全性。
在桥梁动力与振动分析中，常用的工具与方法众多。
其中，有限元方法是最常用的一种手段。
有限元方法将复杂的连续体分割为若干个离散单元，通过建立结构的数学模型，计算各离散单元的运动情况，并通过相应的求解算法得到整体结构的运动响应。
通过有限元软件，设计者可以对各种工况下的桥梁结构进行动力与振动分析，得到准确的结果，并进行相应的设计调整。
此外，动力与振动分析还涉及到大量的理论知识和专业技术。
例如，动力学、振动理论等学科的知识是进行桥梁动力分析的基础。
同时，需要结合桥梁材料的力学性能、荷载参数以及环境因素等进行综合考虑。
设计者在进行动力与振动分析时，还应注意模型的简化与精确性之间的权衡，以及计算结果的可靠性与工程经济性之间的平衡。
综上所述，动力与振动分析在桥梁设计中具有重要作用。
通过准确的动力分析和振动分析，设计者可以预测桥梁的动力响应，评估结构的安全性，并进行合理的结构优化和改进。
预应力混凝土桥梁结构的振动分析与优化设计
预应力混凝土桥梁结构的振动分析与优化设计一、引言预应力混凝土桥梁是现代桥梁工程中一种重要的结构形式，具有高强度、高刚度、耐久性好等特点。
但是，随着交通工具的不断更新和改进，桥梁结构需要承受更大的荷载和更高的速度，同时也需要更好的抗震性能和舒适性能。
因此，对预应力混凝土桥梁进行振动分析和优化设计，成为了当前桥梁工程领域的研究热点。
二、预应力混凝土桥梁结构的振动分析1.振动的基本概念振动是指物体在一定的时间内，围绕平衡位置做周期性的往复运动。
在工程设计中，振动是指结构在受到外力作用时，发生的固有振动或迫振动。
2.预应力混凝土桥梁结构的振动特性预应力混凝土桥梁结构的振动特性是指在受到外力作用时，结构所发生的振动情况。
预应力混凝土桥梁结构的振动特性主要由结构的固有频率、振动模态和阻尼比等参数来描述。
3.振动分析的方法振动分析的方法可以分为经验公式法、解析法和数值模拟法三种。
其中，数值模拟法是目前较为常用的方法，它可以通过计算机模拟结构的振动响应，进而得到结构的振动特性。
4.振动分析的步骤振动分析的步骤一般包括建立结构模型、确定边界条件、求解结构固有频率和振动模态、计算阻尼比和模态质量等参数。
三、预应力混凝土桥梁结构的优化设计1.优化设计的基本概念优化设计是指在满足结构功能和安全性能的前提下，通过优化结构形态、材料及尺寸等因素，使结构的重量、成本或其他指标达到最优化的设计方法。
2.优化设计的方法优化设计的方法可以分为数学规划法、遗传算法和神经网络等方法。
其中，遗传算法是近年来比较有效的优化设计方法之一，它可以通过模拟生物进化过程，不断优化结构的形态和参数。
3.优化设计的步骤优化设计的步骤一般包括确定设计目标和限制条件、建立结构模型、选择优化算法、进行参数优化、验证优化结果等步骤。
四、结论预应力混凝土桥梁结构的振动分析和优化设计是提高桥梁工程质量和安全性的重要手段。
在实际工程中，需要根据具体情况，选择合适的振动分析和优化设计方法，以达到最佳的设计效果。
桥梁结构中的振动控制与减震措施
桥梁结构中的振动控制与减震措施桥梁结构是现代交通运输的重要组成部分，其安全性与稳定性对人们的出行和生活至关重要。
然而，桥梁在使用过程中会面临各种不可预料的挑战，其中之一就是振动问题。
本文将探讨桥梁结构中的振动控制与减震措施，以辅助提高桥梁的稳定性与安全性。
桥梁振动是指桥梁在受到外部荷载作用下，因自身特性而产生的振荡现象。
振动问题一方面可能影响桥梁的正常使用，另一方面也可能对桥梁的结构完整性造成威胁。
因此，控制和减震举措就显得至关重要。
一种常见的振动控制方法是采用调谐质量阻尼器。
调谐质量阻尼器是一种将振动能量吸收并以其他形式释放的装置。
它通常由质量块、弹簧和阻尼器组成。
当桥梁受到外力作用而发生振动时，调谐质量阻尼器能够通过质量块的移动将振动吸收，从而减少桥梁的振动幅度。
另一个常用的振动控制方法是使用主动控制技术。
主动控制技术是指通过外部激励力对桥梁进行控制，以减少桥梁的振动。
这种技术可以根据实时的振动情况调整力的大小和方向，从而实现振动的控制。
主动控制技术需要通过传感器监测桥梁的振动状态，并通过计算机算法进行实时控制。
在振动控制之外，减震措施也是提高桥梁稳定性与安全性的重要手段。
一种常见的减震措施是采用减震器。
减震器是一种能够吸收和释放振动能量的装置。
在桥梁结构中，减震器通常用于吸收由地震等外力引起的振动能量。
当地震发生时，减震器能够通过内部的弹簧和阻尼器将部分振动能量吸收，从而减少桥梁的振动幅度。
此外，结构设计中的某些特殊措施也可以用来减轻振动影响。
例如，采用抗振加固技术可以提高桥梁的整体刚度，从而减少振动幅度。
而在桥梁结构的材料选择中，采用具有优良振动特性的材料也可以降低振动的影响。
虽然桥梁结构中的振动控制与减震措施可以有效减少振动的影响，但我们也应该意识到振动控制与减震并非万能之策。
在实际工程中，振动控制与减震措施需要根据具体情况和需求进行合理选择和设计。
因此，在桥梁结构设计与施工过程中，需要考虑桥梁的使用条件、设计参数、材料特性以及工程成本等因素。
桥梁结构振动与稳定 - 01
1.3 桥梁倒塌事故
桥梁倒塌事故
第一类冲击——设计理论的缺失 由于设计理论的不完善造成桥梁的倒塌一直延续到二十世纪，倒塌原因主要 有失稳、风动和应力腐蚀。也正是这些桥梁的倒塌才激励工程界对桥梁设计的基本 理论加强研究。 失稳桥梁实例
“三类冲击”是构成桥梁倒塌的基本要素： “第一类冲击——设计理论的缺失” “第二类冲击——失误” “第三类冲击——老化”
失稳至毁 随着桥梁构件的轻型化，低应力屈曲一直是桥梁倒塌的关键。虽然欧拉在十八世纪 就建立了弹性压杆屈曲理论，但是实用的屈曲理论直到二十世纪上半叶才得以完善 。失稳致使桥梁毁塌差不多延续了100多年。
May 13, 2014 湖南大学 土木工程学院 桥梁工程系 17 May 13, 2014
稳定问题?
稳定平衡状态 不稳定平衡状态 中性平衡状态
构件在外力作用下，保持其原有平衡状态(configuration)的能力。
P 什么是结构失稳？
结构失稳是指结构在外力作用下，稳定平衡状态开始丧失，受垂直 受力方向的微小扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的 现象。
P
q
受横向载荷的窄梁平面弯曲
湖南大学 土木工程学院 桥梁工程系 4 May 13, 2014 湖南大学 土木工程学院 桥梁工程系
横向均布压力作用下的扁拱
5 May 13, 2014
桥梁结构振动与稳定 桥梁结构稳定 桥梁结构稳定概述 结构稳定的基本概念
桥梁结构振动与稳定 桥梁结构稳定 桥梁结构稳定概述 结构稳定的基本概念
轴向压力作用下的薄板
横向均布压力作用下的薄壳
Nx
一阶屈曲模态
二阶屈曲模态
三阶屈曲模态
湖南大学 土木工程学院 桥梁工程系 6 May 13, 2014
桥梁结构的稳定性分析方法
桥梁结构的稳定性分析方法引言：桥梁结构的稳定性是评估其在受到外力作用时抵抗变形和倒塌的能力。
稳定性分析方法对于确保桥梁的安全和可靠性至关重要。
本文将探讨桥梁结构的稳定性分析方法，介绍常用的计算模型，以及实际中常见的稳定性问题和相应的解决方法。
一、桥梁结构的受力特点：桥梁结构的受力特点包括：自重、动力荷载（如车辆荷载）、温度荷载、风荷载、水荷载等。
在稳定性分析中，我们需要把握这些力的作用方式、力的大小以及力的变化规律。
二、桥梁结构稳定性分析的计算模型：1. 静力分析模型：静力分析模型适用于桥梁结构受静力荷载作用时的稳定性分析。
在这种模型中，我们通常采用有限元方法，将桥梁结构离散化为多个小单元，建立相应的方程求解结构的内力分布和变形情况，从而评估其稳定性。
2. 动力分析模型：动力分析模型适用于桥梁结构在动力荷载（如车辆通过）作用下的稳定性分析。
在这种模型中，我们需要考虑结构的固有振动频率及其幅值，以及外界荷载的频率与结构固有频率之间的关系。
通过分析结构与外界荷载的相互作用，我们可以评估结构的稳定性。
3. 热力分析模型：热力分析模型适用于桥梁结构在温度变化等热荷载作用下的稳定性分析。
在这种模型中，我们需要考虑结构的热传导和热膨胀行为，以及结构与环境之间的热交换。
通过分析结构的温度分布和变化情况，我们可以评估结构在不同温度条件下的稳定性。
三、桥梁结构稳定性分析中常见问题及解决方法：1. 桥墩的稳定性分析：桥墩是桥梁结构的支座，其稳定性对于整个桥梁的安全至关重要。
常见的桥墩稳定性问题包括侧翻、滑移和失稳等。
为解决这些问题，我们可以采用增加墩身截面面积、增加墩肢宽度、改善土基承载力等方法来提高桥墩的稳定性。
2. 桥面板的稳定性分析：桥面板是桥梁结构上的行车面，其稳定性直接影响着车辆行驶的安全性。
常见的桥面板稳定性问题包括振动、脱落和沉降等。
为解决这些问题，我们可以采用增加面板厚度、加固梁肋和减小梁间距等方法来提高桥面板的稳定性。
桥梁结构的振动分析
桥梁结构的振动分析桥梁作为重要的交通工程设施，承担着道路、铁路等交通运输的重要任务。
然而，在桥梁使用过程中，会遇到各种自然、人为因素引起的振动问题。
因此，对桥梁结构的振动进行准确分析和评估，对于确保桥梁的安全性和稳定性具有重要意义。
一、振动类型及特点桥梁结构的振动类型可以分为自然振动和强迫振动两种。
自然振动是指桥梁在受到外力作用下所产生的固有频率振动。
桥梁结构具有多个振动模态，每种模态都对应着不同的固有频率。
通过对桥梁结构进行模态分析，可以确定不同频率下的振动模态及其振型，并对其进行评估。
强迫振动是指桥梁在外力作用下发生的非自由振动。
外力包括风、交通荷载、地震等。
这些外力作用于桥梁结构时，会引起桥梁结构的振动响应。
通过对桥梁结构的响应分析，可以评估桥梁在不同条件下的振动响应情况，从而判断桥梁是否满足振动性能要求。
二、振动分析方法在桥梁结构振动分析中，常用的方法包括模态分析、频率响应分析和时程分析。
1. 模态分析模态分析是通过求解桥梁结构的固有振动特性，得到桥梁的振动模态及其固有频率。
通过模态分析可以判断桥梁的固有振动特性，了解桥梁的振动模态及其影响因素，为后续的响应分析提供基础数据。
2. 频率响应分析频率响应分析是利用桥梁结构的模态参数，分析桥梁在外力作用下的振动响应。
通过频率响应分析，可以评估桥梁在不同荷载条件下的振动响应情况，确定振动幅值、位移响应等参数，判断桥梁的安全性。
3. 时程分析时程分析是采用实测的交通荷载、地震波等真实载荷数据，分析桥梁在时变载荷作用下的振动响应。
时程分析可以更为真实地反映桥梁在实际使用条件下的振动响应情况，对于振动响应较为敏感的桥梁结构尤为重要。
三、振动分析的影响因素桥梁结构的振动响应受到多种因素的影响，包括桥梁的几何形状、材料特性、边界约束条件等。
1. 桥梁的几何形状桥梁的几何形状会影响桥梁结构的振动特性。
比如，跨度大的桥梁通常具有更低的固有频率，而拱桥则具有较低的纵向振动频率。
桥梁结构稳定性验算
桥梁结构稳定性验算1. 引言桥梁是连接两边地理环境的重要基础设施，它承载着车辆和行人的交通需求。
为了确保桥梁能够安全稳定地承载荷载，必须对桥梁结构进行稳定性验算。
本文将介绍一种常用的桥梁结构稳定性验算方法，并对其进行详细说明。
2. 桥梁结构稳定性验算方法桥梁结构稳定性验算是通过对桥梁结构的静力学和动力学特性进行分析，来评估桥梁结构在各种外力作用下的稳定性能。
常用的桥梁结构稳定性验算方法包括：2.1 静力学分析静力学分析是一种基于平衡条件的稳定性分析方法。
在这种分析方法中，通过建立桥梁结构的力学模型，分析各个构件受力状态，以确定结构的稳定性。
具体包括以下步骤：1. 建立桥梁结构的有限元模型。
2. 应用各种外力荷载，如重力、车辆荷载等。
3. 通过求解结构方程，计算各个构件的受力状态。
4. 判断桥梁结构是否满足平衡条件和强度要求。
2.2 动力学分析动力学分析是一种基于结构振动特性的稳定性分析方法。
在这种分析方法中，通过考虑结构的固有振动频率和外力激励，评估结构在动力荷载下的稳定性。
具体包括以下步骤：1. 建立桥梁结构的振动方程。
2. 求解振动方程，得到结构的固有振动频率和模态形态。
3. 应用外力激励，考虑结构的动力响应。
4. 通过比较振动响应和结构强度要求，判断结构的稳定性。
3. 结论桥梁结构稳定性验算是确保桥梁安全可靠运行的关键步骤。
通过静力学分析和动力学分析的方法，可以评估结构在静力和动力荷载下的稳定性。
在进行桥梁验算时，还应考虑结构的强度和刚度等因素，以确保结构具备足够的稳定性能。
这些方法可以为桥梁设计和施工提供重要的技术支持。
以上是桥梁结构稳定性验算的基本介绍，希望对相关工程师和设计师有所帮助。
在实际应用中，需要根据具体桥梁的情况和工程要求，结合相关标准和规范进行具体分析。
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东南大学(2014～2015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成绩：姓名：高明天学号：145511专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2015年1月目录2薄板的振动理论及应用2.1薄板的自由振动薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。
（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。
（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。
设薄板在平衡位置的挠度为),(y x w w e e =，这时，薄板所受的横向静荷载为),(y x q q =。
则薄板的弹性曲面微分方程为：q w D e =∇4 （a)式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力e w D 4∇和它所受的横向荷载q 成平衡。
设薄板在振动过程中的任意瞬时t 的挠度为),,(t t y x w w t =，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力t 4w D ∇，将与横向荷载q 及惯性力i q 成平衡，即i q q w D +=∇t 4 （b)薄板的加速度是22tw t∂∂，因而每单位面积上的惯性力是 22tw m q ti ∂∂-=其中m 为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b ）可以改写为22t 4tw m q w D t∂∂-=∇ (c)将式（c ）与式（a)相减，得到22t 4)(tw m w w D te ∂∂-=-∇由于),(y x w w e e =不随时间改变，02e2=∂∂t w ，所以上式可以改写成为 )()(22t 4e t e w w tm w w D -∂∂-=-∇ (d)命薄板在任意瞬时的挠度为e t w w w -=，而式(d)成为224twm w D ∂∂-=∇或0224=∂∂+∇t wD m w （2-1） 这就是薄板自由振动的微分方程。
微分方程(2-1)有如下形式的解答：),()sin cos (11y x W t B t A ww m m m m m m m mωω+==∑∑∞=∞= （2-2）在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 标示的。
为了求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入式(2-1),然后消去因子)sin cos (t B t A ωω+，得出所谓振形微分方程024=-∇W Dm W ω （2-3） 如果由这一微分方程求得W 的满足边界条件的非零解，即可由关系式WWm D 42∇=ω （e ）求得相应的频率ω。
自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。
实际上，只有当薄板的m 为常量时，才有可能求得函数形式的解答。
这时，命42γω=Dm（2-4)则方程（2-3)简化为常系数微分方程044=-∇W W γ （2-5）现在就可能比较简便地求得W 的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的γ值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。
将求出的那些振形函数及相应的频率取为m W 及m ω，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数m A 及m B 。
设初始条件为。
),(),,()(0000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 则由（2-2）式得。
),(),(),,(),(0101y x y x WB y x w y x WA m mmmmm mνω==∑∑∞=∞=于是可见，为了求得m A 及m B ，必将已知的初挠度0w 及初速度0v 展为m W 的级数，这在数学处理上是比较困难的。
因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。
在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。
2.2四边简支的矩形薄板的自由振动取振形函数为bsins xn a x m inW ππ= （2a ） 其中m 及n 为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-10b sin s -a m 4222224=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x n a x m in b n ππγπ 为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x 和y 取任意值时都满足，必须有22222444222224a m 0-a m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n b n πγγπ （2b ）将式（b ）代入（2-4）式，得出自然频率的公式m D b n m D 22222442am ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==πγω （2c ） 命m 及n 取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率m D b n mn⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222a m πω （2-6）当薄板以这一频率振动时，振形函数为bsin s xn a x m inW mn ππ= 而薄板的挠度为bsins )sin cos (mn xn a x m int B t A w mn mn mn ππωω+= （2d) 则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为∑∑∞=∞=+=11mn bsin s )sin cos (m n mn mn mn xn a x m int B t A w ππωω （2e) 初挠度0w 及初速度0v 标示成振形函数的级数为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=。
b sin s v ,b sin s C w 1111011110x n a x m in D W D x n a x m inC W m n mn mnm n mn m n mn mn m n mn ππππ （2f) 按照级数展开的公式，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰⎰⎰。
dxdy x n a x m in ab D dxdy xn a x m in ab mn mn b sin s 4,b sin s w 4C a 0b00a 0bππνππ （2-7） 根据初始条件。
),(),,()(0000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 由式（2e)及式（2f)得，，b sin s b sin s b sin s b sin s 11111111mn xn a x m in D x n a x m inB xn a x m in C x n a x m in A m n mn m n mn mn m n mnm n ππππωππππ∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞===由此得。
，mnmn A ωmnmn mn D B C ==代入式（2e),即得完整的解答如下：,bsin s )sin cos C (11mn ∑∑∞=∞=+=m n mn mnmnmn xn a x m int D t w ππωωω （2-8） 2.3两对边简支的矩形薄板的自由振动设薄板的x=0及x=a 的两边为简支边。
取振形函数为 ,s Y axm inW m π= （3a) 其中Y m 只是y 的函数，可以满足该简支边的边界条件。
将式（3a ）代入（2-5），得出常微分方程,02dy Y d 24442222244=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m m Y a m dy Y d a m γππ （3b ） 它的特征方程式 图2-2,022********=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-γππa m r a m r 而这个代数方程的四个根是22222222,γππγ-±+±am am （3c ） 大多数情况，2222a m πγ>，而式（3c)所示的四个跟是两实两虚，可以写做。
22222222,am i am πγπγ-±+± 注意D m ωγ=2，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,,22222222222222a m D m a m a m D m a m πωπγβπωπγα （3d)则上述四个跟成为α±及βi ±，而式（b)的解答可以写成y C y C y C y C Y m ββααsin cos sinh cosh 4321+++=从而得振形函数的表达式()。
axm y C y C y C y C πββααsinsin cos sinh cosh W 4321+++= （2-9） 在少数情况下，2222a m πγ<，而式（3c)所示的四个跟都是实根。
这时，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,',22222222222222D m a m a m am D m a m ωπγπβπωπγα （3e ）则振形函数的表达式成为()。
axm y C y C y C y C πββααsin'sin 'cos sinh cosh W 4321+++= （2-10） 其中1C 至4C 由y=0及y=b 处的四个边界条件求出。
2.4圆形薄板的自由振动薄板的自由振动微分方程仍然是（2-1），即0224=∂∂+∇twD m w （4a) 但其中),,(w t w ϕρ=，而 222222411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇ρρρρρ仍把方程（4a ）的解答取为无数多简谐振动的叠加，即),()sin cos (11ϕρωωm m m m m m m m W t B t A w w +==∑∑∞=∞= （4b ）为了求出m W 及相应的m ω，取),()sin cos A (ϕρωωW t B t w += （4c ） 代入方程（a)，仍得 044=-∇W W γ（其Dm24ωγ=） （4d ）方程（4d ）可以改写为 0))((2222=+∇-∇W γγ 也就是01111222222222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂W γρρρρργρρρρρ （4e ） 显然（4e ）的解也是（4d)的解。
取 ϕρn W cos )(F =， n=0,1,2,... （4f ） 将式（4f)代入式（4e ）,得常微分方程0F 122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±++ργρρρn d dF d F d 或引用量纲一的变量γρ=x 而得()0F 22222=-±++n x dxdF x dx F d x这一微分方程的解答是 )()()()(4321x K C x I C x N C x J C F n n n n +++= （4g ） 其中)(x J n 及)(N x n 分别为实宗量的、n 阶的第一种及第二种贝塞尔函数，)(I x n 及)(K x n 分别为虚宗量的、n 阶的第一种及第二种贝塞尔函数。