透视跟椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题
角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的 两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定 理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质，如顶点、对称 轴等，求出最值；
椭圆的几种最值问题
椭圆中的几种最值问题一：求离心率的最值问题1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
二：求点点（点线）的最值问题3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦 点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
4：定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。
三：求角的最值问题 5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的 长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1。
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 上的动点，使∠F PF 最大的点 P 记为Q ，求点Q 的坐标 (并用m 表示) 。
四：求面积的最值问题例6：（05年全国II ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．五：求线段之和（或积）的最值问题 7：若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 （ ）A．(3± B．(3C ．3(1,)2± D ．3(1,)28：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？9已知点F 是椭圆192522=+y x 的右焦点，M求|MA|+|MF|的最小值。
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
破解椭圆中最值问题的常见策略
破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以 解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。
圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且 常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。
要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形 结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、 各种平面几何中最值的思想来解决。
第一类：求离心率的最值问题2 2例1：若A, B 为椭圆 笃•爲=1（a b 0）的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使 /AQB = 120°， a b求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立a,b,c 之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思 想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭 圆中x, y 的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设 A(a,0), B( -a,0),Q(x, y)，则 k AQ = —^,k BQx + a故于沃"）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）a,b,c 之间的关系。
常用椭圆上的点 （x, y ）表示成a,b,c ，并利用椭圆中x, y 的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围2 2例2：已知椭圆C :务•占=1@ b 0）两个焦点为F1,F2，如果曲线C 上存在一点Q,使FQ _ F?Q ， a b 求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：2c 二 PF1 _ PF2 _ PF 「PF2 _ 2a sin900sin ： sin ： sin ： cos ：sin ： cos ：利用到角公式及 NAQB =120。
椭圆考点中的定值与最值问题
第1练 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值．破题切入点 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出PF →·P A →，根据椭圆的性质确定变量的取值范围．解 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. 所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.当x 0＝2时，PF →·P A →取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4. 题型二 直线与椭圆相交问题例2 已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，求弦|MN |的长． 破题切入点 根据条件写出直线l 的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，8x 2＋9y 2＝72，得11x 2－18x －9＝0. 由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝1811，x M ·x N ＝－911.由弦长公式|MN |＝1＋k 2|x M －x N |＝5·(1811)2＋4×911＝3 600112＝6011. 题型三 点差法解题，设而不求思想例3 已知椭圆x 22＋y 2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．破题切入点 设出弦的两端点，利用点差法求解．解 设弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为R (x ，y )，则x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，两式相减并整理可得，y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x2y ，①将y 1－y 2x 1－x 2＝2代入式①，得所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0(－2<x <2)． 题型四 轨迹问题例4 △ABC 的一边的顶点是B (0,6)和C (0，－6)，另两边斜率的乘积是－49，求顶点A 的轨迹方程．破题切入点 直接设出A 点坐标，根据条件求出轨迹，注意挖点．解 设A (x ，y )，由题设得y －6x ·y ＋6x ＝－49(x ≠0)．化简得x 281＋y 236＝1(x ≠0)．即顶点A 的轨迹方程为x 281＋y236＝1(x ≠0)．总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值．(2)直线和椭圆相交问题：①常用分析一元二次方程解的情况，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”．(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解．(4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等，根据条件选择恰当的方法．1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的________条件．2．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是________．3．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆方程为________．4．(2014·大纲全国改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．5．(2014·福建改编)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．6.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________.9．(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．10．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．1答案 必要不充分解析 若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2答案 椭圆解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故P A ＝PN .又AM 是圆的半径， 所以PM ＋PN ＝PM ＋P A ＝AM ＝6>MN ，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．3答案 x 28＋y 26＝1解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，即2a ＝2·2c ，c a ＝12. 又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.4答案 x 23＋y 22＝1解析 由e ＝33，得c a ＝33.①又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.5答案 62解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2.6答案 62解析 设AF 1＝m ，AF 2＝n ，则有m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，因此12＋2mn ＝16，所以mn ＝2，而(m －n )2＝(2a )2＝(m ＋n )2－4mn ＝16－8＝8，因此双曲线的a ＝2，c ＝3，则有e ＝32＝62.7答案55解析 由椭圆的性质可知：AF 1＝a －c ，F 1F 2＝2c ，F 1B ＝a ＋c ，又AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得c a ＝55.8答案 12解析 椭圆x 29＋y24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则DF 1＋DF 2＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴BN ＝2DF 2， AN ＝2DF 1，∴AN ＋BN ＝2(DF 1＋DF 2)＝12.9答案 22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.10答案 x 2＋32y 2＝1解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵AF 1＝3F 1B ，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.11．(2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN ＝5F 1N ，求a ，b .11解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M (c ，b 2a )，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由MN ＝5F 1N ，得DF 1＝2F 1N .设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 12．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．12解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15，因此e ＝55.第37练 圆锥曲线中的探索性问题题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．破题切入点 (1)待定系数法．(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →.把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交于点M ，故斜率存在，又F 坐标为(1,0)，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，设l 交椭圆A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 21－8k23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83.所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83. 题型二 定直线问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点． (1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．破题切入点 假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解． 解 方法一 (1)依题意，点N 的坐标为N (0，－p )，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋p ，与x 2＝2py 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p .消去y 得x 2－2pkx －2p 2＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p 2.于是S △ABN ＝S △BCN ＋S △ACN ＝12·2p |x 1－x 2|＝p |x 1－x 2|＝p (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝p 4p 2k 2＋8p 2＝2p 2k 2＋2，∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ，AC 的中点为O ′，l 与以AC 为直径的圆相交于点P ，Q ，PQ 的中点为H ，则O ′H ⊥PQ ，Q ′点的坐标为(x 12，y 1＋p2)．∵O ′P ＝12AC ＝12x 21＋(y 1－p )2＝12y 21＋p 2，O ′H ＝⎪⎪⎪⎪a －y 1＋p 2＝12|2a －y 1－p |，∴PH 2＝O ′P 2－O ′H 2 ＝14(y 21＋p 2)－14(2a －y 1－p )2＝(a －p 2)y 1＋a (p －a )，∴PQ 2＝(2PH )2＝4[(a －p 2)y 1＋a (p －a )]．令a －p 2＝0，得a ＝p2，此时PQ ＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝p2，即抛物线的通径所在的直线．方法二 (1)前同方法一，再由弦长公式得AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·4p 2k 2＋8p 2＝2p 1＋k 2·k 2＋2，又由点到直线的距离公式得d ＝2p 1＋k 2.从而S △ABN＝12·d ·AB ＝12·2p 1＋k 2·k 2＋2· 2p 1＋k 2＝2p 2k 2＋2.∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2. (2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ，则以AC 为直径的圆的方程为 (x －0)(x －x 1)－(y －p )(y －y 1)＝0，将直线方程y ＝a 代入得x 2－x 1x ＋(a －p )(a －y 1)＝0，则Δ＝x 21－4(a －p )(a －y 1)＝4[(a －p 2)y 1＋a (p －a )]． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则有PQ ＝|x 3－x 4|＝ 4[(a －p 2)y 1＋a (p －a )]＝2(a －p2)y 1＋a (p －a ).令a －p 2＝0，得a ＝p2，此时PQ ＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝p2，即抛物线的通径所在的直线．题型三 定圆问题例3 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12，圆C k ：x 2＋y 2＋2kx －4y －21＝0(k ∈R )的圆心为点A k . (1)求椭圆G 的方程；(2)求△A k F 1F 2的面积； (3)问是否存在圆C k 包围椭圆G ？请说明理由．破题切入点 (1)根据定义，待定系数法求方程．(2)直接求．(3)关键看长轴两端点．解 (1)设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12，c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝6，c ＝33， 所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.所以所求椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.(2)点A k 的坐标为(－k,2)，S △A k F 1F 2＝12×|F 1F 2|×2＝12×63×2＝6 3.(3)若k ≥0，由62＋02＋12k －0－21＝15＋12k >0，可知点(6,0)在圆C k 外； 若k <0，由(－6)2＋02－12k －0－21＝15－12k >0，可知点(－6,0)在圆C k 外． 所以不论k 为何值，圆C k 都不能包围椭圆G .即不存在圆C k 包围椭圆G .总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )． (3)定直线问题一般都为特殊直线x ＝x 0或y ＝y 0型．1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知条件，得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得(12＋k 2)x 2＋22kx ＋1＝0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4(12＋k 2)＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为(－∞，－22)∪(22，＋∞)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2 2.③而A (2，0)，B (0,1)，AB →＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝22.由(1)知k <－22或k >22，故不存在符合题意的常数k .2．已知双曲线方程为x 2－y22＝1，问：是否存在过点M (1,1)的直线l ，使得直线与双曲线交于P 、Q 两点，且M 是线段PQ 的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．解 显然x ＝1不满足条件，设l ：y －1＝k (x －1)．联立y －1＝k (x －1)和x 2－y 22＝1，消去y 得(2－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －3＝0，由Δ>0，得k <32，x 1＋x 2＝2(k －k 2)2－k 2，由M (1,1)为PQ 的中点，得x 1＋x 22＝k －k 22－k 2＝1，解得k ＝2，这与k <32矛盾， 所以不存在满足条件的直线l .3．设椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，所以⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →，设该圆的切线方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得x 2＋2(kx ＋m )2＝8，即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)>0，即8k 2－m 2＋4>0.故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2(2m 2－8)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2. 要使OA →⊥OB →，需使x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝0，所以3m 2－8k 2－8＝0，所以k 2＝3m 2－88≥0.又8k 2－m 2＋4>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2>2，3m 2≥8，所以m 2≥83，即m ≥263或m ≤－263，因为直线y ＝kx ＋m 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r ＝|m |1＋k 2，r 2＝m 21＋k 2＝m 21＋3m 2－88＝83，r ＝263，所求的圆为x 2＋y 2＝83， 此时圆的切线y ＝kx ＋m 都满足m ≥263或m ≤－263，而当切线的斜率不存在时切线为x ＝±263与椭圆x 28＋y 24＝1的两个交点为(263，±263)或(－263，±263)满足OA →⊥OB →，综上，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝83，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →.4．(2014·重庆)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，F 1F 2DF 1＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由F 1F 2DF 1＝22，得DF 1＝F 1F 222＝22c ， 从而S △DF 1F 2＝12DF 1·F 1F 2＝22c 2＝22，故c ＝1，从而DF 1＝22.由DF 1⊥F 1F 2，得DF 22＝DF 21＋F 1F 22＝92，因此DF 2＝322. 所以2a ＝DF 1＋DF 2＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2. 由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→＝(－x 1－1，y 1)，再由F 1P 1⊥F 2P 2，得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1x 1＋1＝－1.而求得y 1＝13，故y 0＝53.圆C 的半径CP 1＝ (－43)2＋(13－53)2＝423.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2＋(y －53)2＝329.5．(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：MN 22－MN 21为定值，并求此定值．(1)证明 依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ， 得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2. 解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2. 因此动点D 在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)解 依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1(2a ＋a,2)，N 2(－2a＋a ，－2)， 则MN 22－MN 21＝(2a －a )2＋42－(2a＋a )2＝8，即MN 22－MN 21为定值8. 6．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解 方法一 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20， 由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0， 所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A (12x 0,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M (12x 0＋6x 0，3)． 又N (0,3)，所以圆心C (14x 0＋3x 0，3)，半径r ＝12MN ＝|14x 0＋3x 0|， AB ＝AC 2－r 2＝ [12x 0－(14x 0＋3x 0)]2＋32－(14x 0＋3x 0)2＝ 6. 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．方法二 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y >－3，所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1， 化简，得曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)同方法一．。
处理椭圆最值问题的八大策略
处理椭圆最值问题的八大策略数学组 陈东生圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广，处理方法灵活等特点为高考命题者在此知识点设计综合问题提供了理论依据。
如何选用恰当方法，明晰解题思路，是多数考生亟待解决的问题， 笔者，教你八招”。
一：探求变量间的相关函数22例1:点A 、B 分别是椭圆 二+匕=1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，36 20且位于x 轴上方，PA_L PF 。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于| MB |,求椭圆上的点到点 M 的距离d 的最小值。
解：（1）略厂m +6（2）直线 AP 的方程是 x — V3 y +6=0。
设点M （ m ,0），则M 到直线 AP 的距离是 一—。
由于一6vm <6,x = 9时,d 取得最小值 jT52点评：本题求解难点是如何将动点 M 与椭圆上点P 间的距离表示成某个变量的函数， 常见处理方法是大胆引入变量，利用设而不求方法或直接换元变多元为一元函数进行求解 :寻求椭圆特征量a, b,c 的等式或不等式22例2：若A,B 为椭圆与+与 a b求此椭圆离心率的最小值。
解：不妨设 A(a,0), B (2,0),Q(x,y)，则 k AQ =*,k BQ =^,利用到角公式及 £AQB=120°得： 上尝一=tan120° (x = 土a),1左左2222a 2 口 2ab 「 * 2ab .., _ a = - 2 y , 化间碍 y =］及尹又y b 即~j^2 - bf —3e 4 +4e 2 -4 占 0 解得业 < e < 1。
3 ■ 6------ O于是=m +6，又一65 < 解得 m =2。
设椭圆上的点（x ,y ）到点M 的距离d2X -4 X-2V+51,2-9 - 2-4 - 9= 1（a 》bA0）的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使 ZAQB = 1200,又点A 在椭圆上，故x 2则 4a2（a 2 -c 2） 一3c 4,故椭圆离心率的最小值为点评：对于此类最值问题求解关键是如何建立椭圆中的三大特征量 法是通过对椭圆上的特殊点（如顶点、焦点）的连线或由其围成的图形进行。
与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。
对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。
而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。
能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。
下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1．定义法例1。
P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 122a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8结论1：设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
例2：P(-2,6),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。
例析椭网中最值求解的六种策略
y2 -2 2(
=3
|
8-4
s
i
n(
α+
π
)
|≥3|8-4|=1
2,
4
π
当且仅当 α= 时 取 等 号。 故 3|x2 -x1|+
4
6
|
2。
y2 -y1|的最小值为 1
例 4
已 知 椭 圆 C 的 焦 点 分 别 为 F1 、
若 椭 圆 C 上 存 在 点 M ,使 得
F2 ,
|F1F2|=2,
∠F1MF2 =9
逻 辑 推 理、
数学运算等核心素养。解 决 这 类 问 题 可 采 用
函数 f (
y)
max = f
1
2
1-a
2
1
2
=(
1- a )·
2
1-a
2
1
2
2
=
2 +a +1=a +1+ 2
1-a
a -1
。
解得 a= 2(
舍去)
4,
综上所述,
1<a≤ 2。故选 A。
以下几种解题策略,
下面分类进行例析。
策略一、
|ME|-|MN|取 最 大 值,且 最
(
责任编辑
徐利杰)
33
要求|MF|+|MN|的 最 小 值,只 需 求
相关 数 学 知 识、思 想 方 法、综 合 运 用 能 力,能
。
|MN|=6- (
|ME|-|MN|)
有效提升学习备考的 针 对 性、
有 效 性,
提高对
|ME|-|MN|的 最 大 值。 显 然,当 M ,
与椭圆有关的最值问题的例析
与椭圆有关的最值问题的例析例：设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 3，过点(1,0)C -的直线交椭圆E 于两点A 、B ，满足2CA BC =。
求当A O B ∆面积达到最大值时直线l 和椭圆E 的方程。
解：3e =得2223b a =，又直线过点(1,0)C -，设椭圆方程为2223(0),x y t t +=>直线方程为1my x =+。
由2223,1,x y t my x ⎧+=⎨=+⎩得22(23)420.m y m y t +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122242,.2323m t y y y y m m -+==++2CA BC =，122.y y ∴=-则122284,.2323m my y m m -==++122166322322AO B m S y y m m m∆∴=-==≤++当且仅当32m m=，即2m =±时，A O B ∆面积取得最大值，此时直线l 的方程为102x y ++=或10.2x y -+=由232m =代入122223t y y m -=+得10t =，∴椭圆方程为222310.x y +=例：已知椭圆2221(1)x y a a+=>，直线l 过点(,0)A a -，(,)(0)B a ta t >交椭圆于M ，直线O M 交椭圆于N 。
（1）用,a t 表示A M N ∆的面积.S（2）若[]1,2t ∈，a 为定值，求S 的最大值。
解：（1）设直线l 的方程为(),2t y x a =+代入2221x y a+=得222(4)40a t y aty +-=，解得0y =或224.4at y a t =+所以点M 的纵坐标为224,4M at y a t =+22242.4AOM M a t S S OA y a t ∆==⋅=+（2）由（1）22244a t S a t =+(0)t >，令24.V a t t=+244a t a t+≥= （当且仅当2t a=时，等号成立），又[]1,2t ∈当12a ≤≤时，[]21,2,a∈即当2t a=时，S 的最大值为.a当2a >时，24V a t t=+在[]1,2上是增函数，因此S 在[]1,2上是减函数，所以当t=1时，2max 24.4aS a=+综上所述，2m ax2,124,24a a S a a a≤≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩。
椭圆有关的最值问题
第二章 2.2.2 曲线与方程 椭圆有关的最值问题 第 四课时
新知探究
椭圆中的几个最值： 椭圆中的几个最值：
x2 y2 1.对于椭圆 1.对于椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) a b
解：设M(x, y )是椭圆上任意一点， y 2 = b 2 − 则
椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是 最大值为a，最小值为b. 2 b
y
值范围. 值范围.
B
1 e Î [ ,1) 2
P F1 O x F2
练习：已知 椭圆的左右焦点， 练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点， 椭圆上存在点M使得 使得MF1⊥MF2, 求椭 椭圆上存在点 使得 圆的离心率的范围. 圆的离心率的范围
y
BM
F1 O x F2
2 [ ,1) 2
构造函数法： 构造函数法： 2 x 2 例3 已知椭圆 + y = 1 的两个焦点
3 | MA | + 5 | MF 1 |
专题： 专题：求变量的取值范围或最值
思想方法： 思想方法： 1.函数法： 1.函数法： 化归为求函数值域或最值 函数法 2.不等式法： 2.不等式法： 不等式法 建立变量不等式并求解 3.几何法：从几何图形中确定临界值 3.几何法： 几何法
作业： 作业： P50习题2.2B P50习题2.2B组：1，2，3. 习题2.2B组
∴当x0 = −a， 2 | 有最大值a + c; | MF
Q−a ≤ x0 ≤ a
当x0 = a， MF2 | 有最小值a − c; |
y
B2
M 近日点
F2 A2
远日点
A1 F
知识总结椭圆最值问题
专 题:椭 圆 最 值类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
{22} 2. 21F F 、为椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠9021PF F求离心率e 的取值范围。
（思考：将角度改成150） {⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，} 3. 若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
{136<≤e }类型2：一动点两定点最值 ①||1||MF e MP +：最小值为M 到对应准线的距离-----运用第二定义，转点距到线距突破 ②︱MP ︱+︱MF 2︱：最大值2a+︱PF 1︱,最小值2a –︱PF 1︱---运用第一定义，变加为减突破 1. 若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 （思考：将题中的2去掉会怎样呢？） 26(,1)32. 已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
3 点M 为椭圆1162522=+y x 的上一点，1F 、2F 为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值 （提升：||||||||1||''1AM MM MA MF eMA =+=+ 第二定义）4. 定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上，则13||5||PA PF +的最小值 5. P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最值 （提示：||2||||2|||||PF |2a-1121PF a MF MP a MF MP +≤-+=+≤ ( 第一定义法 ） 最大值12，最小值86. P(-2,6),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上，求︱MP ︱+︱MF 2︱最值。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题一．椭圆中线段的最值（1）椭圆中最长的直径为122A A a =，最短的直径为122B B b =；（2）椭圆中最长的焦点弦为122A A a =，最短的焦点弦为通径（2b a）；（3）椭圆中最大的焦半径为a c +，最小的焦半径为a c -；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -； 二．椭圆中常见角的最值设点P 为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角12F PF ∠的最大值为12F BF ∠，且212cos 12F PF e ∠≥-， 12F PF S ∆的最大值为bc ； 12A PA ∠的最大值为12A BA ∠；例1．P 为椭圆22194x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠最小值为三．平面内任一点到两定点的距离之和（差）的最值问题 设P 为平面内一动点，A 、B 为两定点，则||||||PA PB AB +≥ 当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2例2．（1）已知点(3, 3)A -，点(5, 1)B ，点P 在x 轴上移动，使得||||PM PB +最小，则点P 的坐标为 ．（2）已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，(3, 2)M ，点P 在椭圆上，则||||PM PF +的最小值是 ；||||PM PF -的最大值是 ．例3．已知椭圆22143x y +=内有一点(1, 1)P -，F 为右焦点，在椭圆上有一动点M ，则||||MP MF +的最大值为 ，最小值为 ．四．平面内一动点P 到一定点M 和定直线l 的距离之和的最小值问题设P 为平面内一动点，M 为定直线l 外的一定点，d 为P 到l 的距离，0d 为M 到l 的距离，则 ||PM d +的最小值为0d ．例4．已知定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22: 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上的动点，则13||5||PA PF + 的最小值为 ．五．直线上一动点与两定点的视角的最大值问题 A 、B 是直线l 同侧两定点，且直线AB l ⊥， 点P 为直线l 上一动点，则APB ∠有最大值．使APB ∠最大的点P 有何几何意义呢？由于点A 、B 是定点，l 为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A 、B 、P 的圆，（如图5、6）当点P 在直线l 上运动时，过三点A 、B 、P 的圆O 与直线l 的关系是相交或相切，当圆O 与直线l 相交时，l 上总存在点Q 在圆内且使AQB APB ∠>∠；当且仅当圆O 与直线l 相切时，直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系，此时APB ∠最大，切点即为所求．lP 'PQ图5MBAOlP 'P图 6MBAOlAB M图 4P例5．12F F 、是椭圆22142x y +=的左右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，求12F PF ∠的最大值．（30）解法2：因为当过12F F 、、P 三点的圆与准线l 相切时，12F PF ∠最大，由切割线定理得 212||||||6KP KF KF =⋅=，故||KP =六．当直线l 与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线l 的距离有最大（小）值的点 方法1：设(cos ,sin )P a b θθ，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值； 方法2：设与l 平行的直线系l '——与椭圆方程联立消元——令0∆=——得出与l 平行的椭圆的两条切线1l 、2l ——求出l 与1l 、l 与2l 的距离即为所求．例6．设(2, 0)F 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右焦点，以F 为圆心，5为半径的圆与椭圆相交于A 、B 两点，且||AB =（1）求椭圆的方程； （2）设直线2y kx =+交椭圆于M 、N 两点，O 为原点，求△MON 面积的最大值．练习1．（ ）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是 （A ）112 （B ）4 （C ）92（D ）5练习2．已知抛物线28y x =和一点(3,2)A ，在抛物线上求一点M ，使得此点到点A 与到焦点F 的距离之和最小．。
解答椭圆中最值问题策略
解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分。
与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数,利用函数性质例1设P(x，y)是椭圆错误!＋错误!＝1上的一点，F1为椭圆的左焦点，求|PF1|的最大值和最小值。
分析：由于点F的坐标为(－6,0），因此只须设出点P的坐标(x，y)，结合椭圆方程即可建立|PF1｜关于横坐标x的目标函数,再结合函数的即可求解。
解：椭圆的左焦点F1坐标为（－6，0），根据两点的距离公式,得|PF1｜＝（x＋62＋y2）＝错误!＝错误!＝错误!|x＋错误!｜,由已知，得x∈［－8，8]，函数错误!|x＋错误!｜在[－8，8］上为增函数,故｜PF1｜max＝错误!｜8＋错误!｜＝14，｜PF1|min＝错误!|－8＋错误!|＝2.点拨:函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视。
同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化,结合平面几何性质例2已知A（4，0)、B（2，2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求｜MA｜＋｜MB｜的最大与最小值.分析：由于A（4，0）是椭圆的焦点,因此可以利用椭圆的定义对｜MA｜＋｜MB|转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析:如图所示，由题意，知点A(4，0）恰为椭圆右焦点，则A关于O的对称点A1(－4，0）（左焦点)，由椭圆的第一定义，得｜MA|＋|MA1｜＝2a，｜MA｜＝2a－|MA1|，∴｜MA｜＋|MB｜＝（2a－｜MA1｜）＋|MB｜=2a＋（｜MB－|MA1｜），在△A1BM中，|｜MB｜－|MA1｜｜≤|A1B｜＝210，－2错误!≤｜MB｜－｜MA1｜≤2错误!,又2a＝10.故|MA|＋|MB｜的最大值是10＋210，最小值为10－210.点评:(1）涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2）注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值。
高考数学复习点拨：例析椭圆中的三种最值问题
例析椭圆中的三种最值问题与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性，涉及到数学知识的多种知识点,诸如：几何、三角、函数等，同时与椭圆的定义、方程联系紧密，思维能力要求比较高.下面对与椭圆的最值有关的问题作简单的探究： 一、利用定义转化为几何问题处理最值：例1、已知1F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上的动点，()1,1A 为定点，则1PA PF +的最小值是（ ）A、9 B、6 C、3+ D 、6解析：连接2F A 并延长交椭圆P '是椭圆上一动点，连接12,,PF PF PA ∵1212PF PA AF PF PF ++≥+，而121212PF PF P F P F P F P A AF ''''+=+=++， ∴1212PF PA AF P FP A AF ''++≥++，∴111226PF PA P FP A P F P F AF ''''+≥+=+-=（当P 与P '重合时取“=”号） 故答案：选B 。
二、利用椭圆的标准方程三角换元求最值：例2、已知点P 是椭圆221169x y +=上任意一点，则点P 到直线70x y +-=的距离最大值为解析：由椭圆的方程221169x y +=，则可设4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 设点()4cos ,3sin P θθ，则点P到直线的距离为d ==当()sin 1θϕ+=-，距离d的最大值为max d == 点评：本题利用里椭圆的标准方程的结构形式，把椭圆的最值问题，转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的性质求解。
三、利用函数的最值探究方法：例3、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2e =，已知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭到这个，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 坐标。
解析：设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，由2e =，即2c a =，又222a b c =+ ∴2a b =，故椭圆的方程是()2222104x y b b b+=>。
最新专题26--椭圆中定值和最值问题
专题26--椭圆中定值和最值问题一、椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程；(2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程．3．与椭圆有关的参数的定值问题二、椭圆中的最值问题1．参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．2．长度和面积的最值由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k或(x，y))的函数，运用函数或基本不等式求最值．要点热点探究► 探究点一 与椭圆有关的定值问题在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题．例1 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．【解答】 (1)当直线AM 的斜率为1时， 直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得：5x 2＋16x ＋12＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45.(2)设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1，化简得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.因为此方程有一根为－2，所以x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k 4－4k 2.所以k MP ＝k PN ，M 、P 、N 三点共线，所以直线MN 过x 轴上的一个定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.例2 椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．【解答】 (1)由题意，即可得到椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为：x ＝ky －65，联立直线MN和椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x 24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝12k 5k 2＋4，y 1y 2＝－6425k 2＋4，又A (－2,0)，则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝－64k 2＋125k 2＋4＋4k 5·12k5k 2＋4＋1625＝0，即可得∠MAN ＝π2.► 探究点二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题，一般建立两类函数：一是关于k的函数；二是关于点(x ，y )的函数．例3 如图26－1，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A ，B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1)求证：A ，C ，T 三点共线；(2)如果BF →＝3FC →，四边形APCB 面积的最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和点P 的坐标．图26－1【解答】 (1)证明：设椭圆方程为x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，①AT ：x a 2c＋y b ＝1，② BF ：x c ＋y－b＝1，③解得AT 与BF 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋a 2－c 22a 2＋c 22＝1，满足①式，则AT 与BF 的交点在椭圆上，即为点C ，则A ，C ，T 三点共线．(2)过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，则△OBF ∽△ECF .∵BF→＝3FC →，∴CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，b 3，代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫43c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32b 2＝1，∴a 2＝2c 2，b 2＝c 2.设P (x 0，y 0)，则x 20＋2y 20＝2c 2，此时C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c ·4c 3＝43c 2，直线AC 的方程为：x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c |5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c＝x 0＋2y 0－2c3·c .所以只需求x 0＋2y 0的最大值即可．法一：∵(x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴x 0＋2y 0≤6c ，当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c .法二：令x 0＋2y 0＝t ，代入x 20＋2y 20＝2c 2得： (t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0， 即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.Δ＝(－4t )2－24(t 2－2c 2)≥0，得－6c ≤t ≤6c ，当t ＝6c 时，代入原方程解得x 0＝y 0＝63c .由法一、法二知四边形APCB 的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1.此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63. 【点评】 本题所建立的函数与点P 坐标(x 0，y 0)有关．在计算最值时，方法一用的是基本不等式；方法二用的是代入消元和方程有解来计算最值．本题还可以用三角换元的方法或者构造z ＝x 0＋2y 0的几何意义用线性规划的思想来解决问题．►探究点三椭圆和圆的综合问题椭圆和圆的综合问题中，题目中存在多种曲线混合的现象，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值的问题．例4 如图26－2，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其右准线l与x轴的交点为T，过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线，垂足为D，四边形AF1F2D为平行四边形．(1)求椭圆的离心率；(2)设线段F2D与椭圆交于点M，是否存在实数λ，使TA→＝λTM→？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；(3)若B是直线l上一动点，且△AF2B外接圆面积的最小值是4π，求椭圆方程．图26－2【解答】(1)依题意：AD＝F1F2，即a2c＝2c，所以离心率e ＝22.(2)由(1)知：a ＝2c ，b ＝c ，故A (0，c )，D (2c ，c )，F 2(c,0)，T (2c,0)，TA →＝(－2c ，c )，所以椭圆方程是x 22c2＋y 2c2＝1，即x 2＋2y 2＝2c 2， 直线F 2D 的方程是x －y －c ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2c 2，x －y －c ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－c(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43c ，y ＝13c ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43c ，13c ，TM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23c ，13c ，所以TA →＝3TM →， 即存在λ＝3使TA →＝3TM →成立．(3)解法一：由题可知圆心N 在直线y ＝x 上，设圆心N 的坐标为(n ，n )，因圆过准线上一点B ，则圆与准线有公共点，设圆心N 到准线的距离为d ，则NF 2≥d ， 即n －c 2＋n 2≥|n －2c |，解得n ≤－3c 或n ≥c ，又r 2＝(n －c )2＋n 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －c 22＋c 22∈[c 2，＋∞)，由题可知，(πr 2)min ＝c 2π＝4π，则c 2＝4， 故椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. 解法三：设B (2c ，t )，△AF 2B 外接圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又A (0，c )，F 2(c,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＋cD ＋F ＝0，c 2＋cE ＋F ＝0，4c 2＋t 2＋2cD ＋tE ＋F ＝0，D ＝E ＝－c －Fc ，r 2＝14(D 2＋E 2－4F )＝12c 2＋F 22c 2.由4c 2＋t 2＋2cD ＋tE ＋F ＝0，得4c 2＋t 2＋(2c ＋t )⎝⎛⎭⎪⎫－c －F c ＋F ＝0，4c 2＋t 2－2c 2－ct －2F －tF c＋F ＝0,2c 2－ct ＋t 2－t ＋c F c＝0，F ＝c ⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋c ＋4c 2t ＋c －3c ， 所以F ≥c 2或F ≤－7c 2，所以r 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋F 2c 2≥c 2，所以(πr 2)min ＝c 2π＝4π，所以c 2＝4. 所求椭圆方程是x 28＋y 24＝1.【点评】 本题的第三小问从多种角度建立了半径与圆心的坐标之间的关系，无论哪一种方法，本题关键是求出r 2的取值范围，方法一用的是几何法；方法二和方法三用的是代数法．例 [2011·江苏卷] 如图26－3，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意k >0，求证：PA ⊥PB .图26－3【解答】 (1)由题设知a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，得线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)k ＝2时，直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43.于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2， 记μ＝21＋2k 2.则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )，于是C (μ，0)，故直线AB 的斜率为0＋μkμ＋μ＝k2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ3k 2＋22＋k 2或x ＝－μ，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ3k 2＋22＋k2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率k PB ＝μk 32＋k 2－μkμ3k 2＋22＋k 2－μ＝k 3－k 2＋k 23k 2＋2－2＋k 2＝－1k.因此k PB k ＝－1，所以PA ⊥PB .。
椭圆的最大值和最小值问题
椭圆的最大值和最小值问题
嘿呀，那咱就来说说椭圆的最大值和最小值问题哈！比如说，一个椭圆像个扁扁的大鸡蛋，那你想想，在这个“大鸡蛋”上，哪里是最大的地方，哪里又是最小的地方呢？
比如说，咱来研究一个椭圆方程，那它的长半轴和短半轴不就决定了一些最值嘛！就好像你去一个游乐场，有的游乐设施刺激度最大，有的就比较温和，最值不就出来啦！
再想想看，如果给这个椭圆加上一些条件，比如限制在某个区域内，那这最大值和最小值不就更有意思了嘛！就跟你玩游戏有规则一样，在特定规则下找到最值，是不是超有挑战性呀！
哎呀，我就问你，这椭圆的最大值和最小值问题是不是特别神奇，特别值得好好琢磨琢磨呀！。
高中数学：椭圆相关角度的最值问题
高中数学：椭圆相关角度的最值问题圆锥曲线中的最值问题主要包括长度最值、角度最值及面积最值等。
例题：如图1，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，。
（1）求椭圆的方程；（2）若直线，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）。
图1解：（1）设椭圆方程为半焦距为c，则由题意，得解得故椭圆方程为（2）设当时，当时，所以只需求的最大值即可。
直线的斜率直线的斜率所以当且仅当时，最大。
所以最大值点Q的坐标为显然，第二问是考查和椭圆有关的角度最值问题，可联想椭圆中的两种特殊情况。
特殊情况（1）已知椭圆的两个焦点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。
图2解：如图2，设准线交x轴于点M则又所以（其中）于是（当且仅当时等号成立）故的最大值为此时点P的坐标为同理，当点P在右准线时的最大值不变，最小值均为0另外由可得，当椭圆的离心率e一定时，的最大值为定值；若给出的值时，可由求出椭圆的离心率e的范围。
（2）已知椭圆的两个顶点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。
图3可用与问题（1）类似的方法求解（如图3）：（当且仅当时等号成立。
）证明过程请自己完成。
推广及本质两种特殊情况分别研究了椭圆准线上任意一点P到两焦点、两顶点所得张角的最值问题，而例题是将准线推广到非准线位置，通过问题（1）的解决方法不难看出这类问题其实就是一个平面几何中的最值问题，如图4，A、B是直线同侧两定点，且直线，点P为直线上一动点，则∠APB有最大值。
使∠APB最大的点P有何几何意义呢？由于点A、B是定点，为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A、B、P的圆，当点P在直线上运动时，过三点A、B、P的圆O与直线的关系是相交或相切，当圆O与直线相交时，（如图5），上总存在点Q在圆内且使∠AQB＞∠APB；当且仅当圆O与直线相切时（如图6），直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系可知，此时∠APB最大，切点即为所求。
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透视跟椭圆有关的最值问题
作者：黄鑫胡梓露
来源：《高中生·高考指导》2015年第02期
1.涉及椭圆焦点的最值问题
例1 已知椭圆的方程为 ; ;+ ; ;=1，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点A的坐标为（2，1），P为椭圆上的一点，求|PA|+|PF2|的最大值和最小值.
透视角度涉及椭圆上的点与两焦点的问题（且所求式中距离系数的绝对值相等时），我们常常先运用椭圆的第一定义，再通过数形结合思想，借助绝对值三角不等式或三角形三边的关系等知识进行转化.
解∵P为椭圆上的一点，依题意有|PF1|+|PF2|=6，即|PF2|=6-|PF1|，∴|PA|+|PF2|=6 +|PA|-|PF1|.
易知点F1的坐标为（-1，0）.在△APF1中，||PA|- |PF1||<|AF1|，可得||PA|-
|PF1||≤|AF1|= ; ;，当A、P、F1三点共线时取等号.
所以有6- ; ;≤|PA|+|PF2|≤6+ ; ;.
故所求|PA|+|PF2|的最大值为6+ ; ;，最小值为6- ; ;.
2.涉及椭圆准线或离心率的最值问题
例2 椭圆 ; ;+ ; ;=1（a>b>0）的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，求离心率的最小值.
透视角度首先利用中垂线定理得到|PF|与|FA|的等量关系，然后考虑到离心率e= ; ; 以及椭圆的右准线方程x= ; ;，用a、c来表示|PF|与|FA|，最后通过不等关系，求出离心率的取值范围，再取其最小值即可.
解根据题意有|PF|=|FA|，|FA|= ; ;-c，|PF|≤a +c，即a2≤ac+2c2，整理得2e2+e≥1，于是有（2e-1）（e+1）≥0.又0<e<1，所以; ;≤e<1.故emin= ; ;.
1.椭圆上的点与定点的距离最值问题
例3 若点Q在椭圆 ; ;+y2=1上移动，点P的坐标为（0， ; ;），求|PQ|的最值.
透视角度目标是求两点间的距离的最值，即动点（x，y）与定点P（0， ; ;）的距离的最值，直接用两点间的距离公式求出|PQ|的二元函数，再利用椭圆方程进行消元（注意定义域），然后用函数思想结合图像求得|PQ|的取值范围，从而求出最值.
解由 ; ;+y2=1，得x2=4（1-y2）.设点Q的坐标为（x，y），于是有|PQ|= ; ;= ; ;（-
1≤y≤1）.
设f（y）=-3y2-3y+ ; ;，对称轴y=- ; ;， f（1）= ; ;， f（- ; ;）=7，∴|PQ|∈[ ; ;， ; ;]（如图1）.
∴|PQ|min= ; ;，|PQ|max = ; ;.
2.椭圆上的点与直线的距离最值问题
例4 在椭圆 ; ;+ ; ;=1上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最短，并求出最短距离.
透视角度解答此类问题可以从运动学的观点出发，运用平移的思想来解决.当平移后的直线与圆相切时，求出M，再用两条平行线的距离公式求出最短距离.
解设与椭圆相切、与x+2y-10=0平行的直线为x+2y+m=0.
由4x2+9y2=36，x=-（2y+m），整理得25y2+16my+4m2-36=0.
当Δ=0时，有（16m）2-4×25（4m2-36）=0，解得m2=25.
由图2可知，m<0，∴m=-5.
∴yM=- ; ;= ; ;，xM= ; ;.∴点M的坐标为（ ; ;， ; ;），d= ; ;= ; ;.
∴存在M（ ; ;， ; ;），使点M到直线x+2y-10=0的距离最短，且最短距离为 ; ;.
3.与距离有关的面积最值问题
例5 已知点A（1， ; ;）是离心率为 ; ;的椭圆C： ; ;+ ; ;=1（a>b>0）上的一点，斜率为 ; ;的直线BD交椭圆于B、D两点，且A、B、D三点不重合.
（1）求椭圆的方程.
（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由.
透视角度根据离心率与a、b、c的关系，可将方程中的a、b用c代替，再代入定点A的坐标，即可求得椭圆的方程.联立直线方程与椭圆方程，用弦长公式求出BD，再求出点A到直线的距离d，并将其作为△ABD的高，接着利用均值不等式即可求出面积的最大值.（绘图时应注意焦点在椭圆的y轴上）
解（1）依题意有e= ; ;= ; ;，则a= ; ;c，b2=a2-c2=c2.于是可得椭圆的方程为 ; ;+ ; ;=1.
又点A（1， ; ;）在椭圆上，将点A的坐标代入上述椭圆的方程，得c2=2，于是有a=2，b= ; ;.
故椭圆的方程为 ; ;+ ; ;=1.
（2）设直线的方程为y= ; ;x+b.
由y= ; ;x+b，2x2+y2=4，得4x2+2 ; ;bx+b2-4=0.
由Δ=-8b2+64>0，解得-2 ; ;<b<2 ; ;.
设点B的坐标为（x1，y1），点D的坐标为（x2，y2），则有x1+x2=- ; ;b，x1x2= ; ;.
所以|BD|= ; ;·|x1-x2|= ; ;· ; ;= ; ;· ; ;.
设d为点A到直线y= ; ;x+b的距离，则有d= ; ;.
所以S△ABD = ; ;·|BD|·d = ; ;· ; ;≤ ; ;· ; ;= ; ;，当且仅当b=±2∈（-2 ; ;，2 ; ;）时，△ABD 的面积最大，且最大值为 ; ;.
（作者系湖南浏阳市田家炳实验中学1201班学生）。