黑龙江省大庆市第四中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学(理)试题 含解析

大庆四中2018～2019学年度第二学期第二次检测高二年级数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}223A x x x =-≤，{}21xB x =>，则A B =（ ）A. [0,3]B. (0,3]C. [1,)-+∞D. [1,1)-【答案】B 【解析】集合{}223{|13}A x x x x x =-≤=-<<，{}{}210xB x x x =>=， 则{}(]|030,3A B x x ⋂=<≤=. 故选B.2.已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，则22i z +=B. 2D. 10【答案】C 【解析】复数1z 对应复平面上的点()1,1-，所以11i z =-+. 由122z z =-得：()212122112i z i z i --=-===+-+. 2213z i i +=+，所以22i z +=故选C.3.设a R ∈，则1a >是11a<的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【解析】本题考查不等式,充分条件,必要条件,充要条件及判定.1111100(1)001;a a a a a a a a 或-⇔-⇔>⇔->⇔所以有 1111;11;a a a a >⇒≠则则1a >是11a<的充分但不必要条件.故选A4.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A. 3y x = B. 1y x =+ C. 21y x =-+D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，逐一分析四个函数在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案.【详解】对于A:3y x =是奇函数，对于B:1y x =+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增；对于C:21y x =-+为偶函数，但在(0,)+∞上单调递减；对于D:12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数； 所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，()()f x f x -=±（正为偶函数，负为减函数）；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()1()f x f x -=±（1为偶函数，-1为奇函数）.5.甲、乙、丙三人参加某公司面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A. 丙被录用了 B. 乙被录用了C. 甲被录用了D. 无法确定谁被录用了【答案】C若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾， 据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了. 本题选择C 选项.6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。

遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。

借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）A.34B.78 C. 45D.1516【答案】B 【解析】 【分析】先执行程序，依次求出每次的输出结果，当输出结果为0时，求出此时S 的值，因此输入框里的输入的值是此时S 的值，从中选出正确的答案. 【详解】模拟程序的运行，可得当1i =时，21S S =-，1i =满足条件3i <，执行循环体； 当2i =时，2(21)1S S =--，2i =满足条件3i <，执行循环体；当3i =时，2[2(21)1]1S S =---，3i =不满足条件3i <，退出循环体，输出0S =， 所以2[2(21)1]10S ---=，78S =.所以本题答案为B.【点睛】本题考查了通过输出结果写出输入框中输入的值，正确按程序框图写出每次循环后的结果，是解题的关键.7.命题0:,0p x R ∃∈≥；命题122:(0,),q x x x ∀∈+∞>，下列命题中为真命题的是（ ）A. ()p q ⌝∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】 【分析】分别判断两个命题的真假，再判断命题的否定的真假，从而根据逻辑联结词的定义确定复合命题的真假.【详解】命题0:,0p x R ∃∈，当0=1x时，0=符合结论，故命题p 是真命题，命题122:(0,),q x x x ∀∈+∞>，当0=1x 时，12211=，不符合结论，故命题q 是假命题；所以p ⌝是假命题，q ⌝是真命题，则()()p q ⌝∨⌝是真命题. 所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查命题真假的判断和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，其中判断基本命题的真假是关键，属基本题.8.下列三个数：2ln 3a =，33log 2b =-，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，大小顺序正确的是（ ）A. c a b >>B. a b c >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数与指数函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 与0比较，再利用换底公式比较a 和b 即可. 【详解】由对数函数定义得：2lnln103a =<=，33332log log log 1023b =-=<=， 显然13023c ⎛⎫ ⎪⎝⎭>=，又3333322log log 2233ln log 3log log 33a b e ==<==， 故可得：c b a >>. 所以本题答案为D.【点睛】对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底；②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”；③图象法，根据图象观察得出大小关系.9.函数()[]()2cos 2,21x xf x x x =∈-+的大致图象是（ ） A.B.C. D.【答案】A 【解析】 ∵22cos()cos ()()()11x x x xf x f x x x ---==-=--++，∴函数()f x 为奇函数，故排除D ． 又cos12cos2(1)0,(2)025f f =>=<，故排除B,C ． 选A ．点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行： （1）求出函数的定义域，对图象进行排除； （2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除； （3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断．10.已知函数log ,3()8,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩，若(2)4f =，且函数()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. (]1,2C. (0,3D. )+∞【答案】D 【解析】 【分析】先得m ＝﹣2，然后根据题意得x≥3时，f （x ）必为增函数且f （3）≤2．解不等式可得．【详解】∵f（2）＝2m+8＝4，解得m ＝﹣2，∴f（x ）＝log ,328,3a x x x x ⎧⎨-+<⎩…，当x ＜3时，f （x ）＝﹣2x+8是递减函数，f （x ）＞f （3）＝2，此段无最小值，所以当x≥3时，f （x ）必存在最小值，所以f （x ）＝log a x 必为[3，+∞）上的递增函数， 所以a ＞1，且f （3）≤2，∴log a 3≤2，解得a ≥ 故选：D ．【点睛】本题考查了分段函数的最值及其单调性，属于中档题．11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()41xf x =-，则21()2f =（ ） A. 0 B. 1C. 1-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性分析得到函数()f x 的周期，再利用对称性和周期性求解. 【详解】由题意知()f x 关于原点对称，且对称轴为1x =， 故()f x 是周期为4的周期函数，则0.521()(2.58)(2.5)(2 2.5)(0.5)(0.5)(41)12f f f f f f =+==-=-=-=--=-， 所以本题答案为C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性和周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，其中根据函数的对称性求出函数的周期是本题的关键.12.当直线y kx =与曲线ln(1)2x y e x +=--有3个公共点时，实数k 的取值范围是（ ）A. 3(0,)2B. 3(0,]2C. 3(,)2+∞D. 3[,)2+∞【答案】A 【解析】 【分析】当2x >时，曲线3y =；当02x <≤ 时，曲线21y x =-；当10x -<≤时，曲线121y x x =+-+，根据数形结合可得实数k 的取值范围. 【详解】当2x >时，曲线ln(1)21(2)3x y x e x x +=+----==；当02x <≤时，曲线ln(1)21(2)21x x x x y ex +=+--=---=；当10x -<≤时，曲线ln(1)11(2)2112x y e x x x x x +=--=+-++=--. 如图所示：直线y kx =与曲线ln(1)2x y e x +=--有3个公共点时，实数k 的取值范围是302k <<， 所以本题答案为A.【点睛】本题主要考查函数图像的绘制，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，解题的关键是要准确作出含有绝对值函数的图像.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.若i 是虚数单位，则复数231ii++的虚部为________. 【答案】12【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数为z a bi =+的形式，由此求得复数的虚部. 【详解】因为23(23)(1)511(1)(1)22i i i i i i i ++-==+++-， 所以复数231ii ++的虚部为12， 所以本题答案为12.【点睛】本题考查复数的除法运算、实部与虚部的概念，解题的关键在于计算要准确，属基础题.14.函数213()log (6)f x x x =--的单调增区间为__________．【答案】1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先求函数的定义域，要求函数y ＝13log （6-x ﹣2x ）的单调增区间，只要求解函数g （x ）＝6-x ﹣x 2在定义域上的单调递减区间即可.【详解】由题意可得，6-x ﹣x 2＞0 ∴函数的定义域为﹣3＜x ＜2 令g （x ）＝6-x ﹣x 2，y ＝log 0.6g （x ） ∵y ＝13log t 在t ∈（0，+∞）上单调递减，而g （x ）＝6-x ﹣x 2在（﹣3，12-]上单调递增，在[12-，2）上单调递减 由复合函数的单调性可知，函数y ＝13log （6-x ﹣2x）的单调增区间（12-，2）故答案为：（12-，2）【点睛】本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是复合函数单调性原则的应用，但不要漏掉函数定义域的求解.15.已知函数1()424xx f x a +=+⋅+没有零点，则实数a 的取值范围为_________.【答案】(2,)-+∞ 【解析】 【分析】利用换元法，设2x t =，得到2240t at ++=在(0,)+∞上无解，然后分离参数，求出224y tt--=的范围，从而得到a 的取值范围.【详解】设2x t =，2240t at ++=在(0,)+∞上无解，分离参数得22()242t ta t t ==-+--，则2()22t t -+≤-，当且仅当22t t=，即2t =时取等号， 因为y a =与2()2t y t =-+在(0,)+∞上没有交点， 所以2a >-，故本题答案为(2,)-+∞.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中把方程的根的个数问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档题.16.设函数()212xf x e x =-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是________. 【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先确定()f x 的奇偶性，再确定()f x 的单调性，最后根据单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式（组）的问题，求解即可.【详解】由题意知()f x 的定义域为R ， 又()2211()()22xxf x ee f x x x --=-=-=-++，故()f x 是偶函数，当0x >时，()212xf x e x =-+， x y e =是单调递增函数，212y x =-+在(0,)+∞是单调递增函数， 根据复合函数的单调性可得()f x 在(0,)+∞是单调递增函数， 则函数()f x 偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，原不等式等价于(||)(|21|)f x f x >-，|||21|x x >-，解得113x <<，所以本题答案为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式（组）的问题，若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17.在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 上存在点P 到l ，求t 的值. 【答案】（Ⅰ）2x y +=；（Ⅱ）2t =.【解析】 【分析】（1）根据cos ,sin ,x y ρθρθ==将直线的极坐标方程转为直角坐标系方程，（2）利用点到直线的距离公式求出C 上的点(cos ,sin )t αα到l 的距离d =，结合三角函数辅助角公式求得结果.【详解】解：（1）因为直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点(cos ,sin )t αα到l 的距离d =，故d=，解得t =. 又因为0t >，所以t =.【点睛】本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到直线的距离时，利用三角函数的方法在计算中更为简单.18.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2OP OM =（Ⅰ）求点P 的轨迹方程2C ；（Ⅱ）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线6πθ=与曲线1C 、2C 交于不同于极点的A B 、两点，求AB .【答案】（Ⅰ）22(4)16x y -+=；（Ⅱ）23【解析】 【分析】（1）设(,)P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22cos 22sin 2xy αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数可得2C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=；（2）根据cos ,sin ,x y ρθρθ==分别求出曲线1C ，2C 的极坐标方程，将6πθ=分别这两个方程，求得交点A B 、的极径1ρ，1ρ，根据极坐标的几何意义，因此求得21AB ρρ=-=【详解】（I ）设(,)P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.因为M 点在1C 上，所以22cos 22sin 2xy αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）即44cos 4sin x ay α=+⎧⎨=⎩（α为参数）从而2C 的轨迹方程为 22(4)16x y -+=.（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8cos ρθ=射线6πθ=与1C 的交点A 的极径为14cos6πρ=射线6πθ=与2C 的交点B 的极径为.18cos6πρ=所以21AB ρρ=-=.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标的几何意义的应用问题，其中解答中熟记极坐标几何意义的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数()ln f x a x bx =+，213()44g x x =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=． （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）证明：()()f x g x ≤. 【答案】（Ⅰ）11,2a b ==-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据切线方程得出(1)f 的值，利用导数的几何意义和点(1,(1))f 构造关于a ，b 的二元一次方程组，解出a ，b ，从而得到的解析式；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，然后求导，研究()h x 的范围，从而证明()()f x g x ≤.【详解】解（Ⅰ）：'()a f xb x =+，则12a b +=，1(1)2f b ==- 解得11,2a b ==-（Ⅱ）2113()ln 244h x x x x =--+， 111(2)(1)'()222x x h x x x x-+-=--=则()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，()(1)0,()()h x h f x g x ≤=≤成立.【点睛】本题考查导数的综合应用及不等式的证明，解决问题的关键是化不等式恒成立问题为函数的最值，属基础题.20.已知函数21()(2)()2x f x e x a x x =---，讨论()f x 的单调性.【答案】详见解析【解析】 【分析】先求出导函数()'()(1)xf x x e a =--，然后对a 分四种情况讨论：（1）0a ≤；（2）a e =；（3）0a e <<；（4）a e >，分别求出每种情况的单调性. 【详解】解()()2122xf x ex a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭的定义域为R ()'()(1)x f x x e a =--（1）当0a ≤时， ()f x 减区间为(,1)-∞，增区间为(1,)+∞ （2）当a e =时， ()f x 增区间为(,)-∞+∞（3）当0a e <<时， ()f x 减区间为(ln ,1)a ，增区间为(,ln )a -∞， (1,)+∞ （4）当a e >时， ()f x 减区间为(1,ln )a ，增区间为(,1)-∞，(ln ,)a +∞【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析法与不等式的性质，确定参数的讨论范围是解题的关键，属于中档题.21.已知函数3()3f x x x a =-+的图象与x 轴相切，且切点在x 轴的正半轴上.（1）求曲线()y f x =与y 轴，直线1x =及x 轴围成图形的面积S ；（2）若函数()()g x f x mx =+在(3,)a -上的极小值不大于1m -，求m 的取值范围.【答案】（1）34S =；（2）159,4m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦ 【解析】试题分析：（1）先求导，求出函数的极值点，即可求出a 的值，再根据定积分的几何意义即可求出面积；（2）先求导，得到()2'33g x x m =+-，分类讨论，判断函数的极小值，求出极小值，得到关于m 的不等式解得即可.试题解析：（1）∵()2'33f x x =-∴令()'0f x =得1x =±，由题意可得()120f a =-=，解得2a =故()332f x x x =-+，()142100131332|242424S f x dx x x x ⎛⎫==-+=-+= ⎪⎝⎭⎰.（2）∵()()333232g x x x mx x m x =-++=+-+∴()2'33g x x m =+-，当30m -≥时，()g x 无极值；当30m -<，即3m <时，令()'0g x <得x <<；令()'0g x >得x <x >∴()g x 在x =处取得极小值.2≥，即9m ≤-时，()g x 在()3,2-上无极小值， 故当93m -<<时，()g x 在()3,2-上有极小值，且极小值为3321m g m m m m m -⎫=+-+≤- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即3m ≤-∵3m <32≥，154m ≤-又∵93m -<<∴159,4m ⎛⎤∈--⎥⎝⎦. 点睛：本题考查的是利用导数研究函数的极值，求导后出现二次函数形式，一般的讨论方法有：先看二次项系数是否为0，然后看能否因式分解，能分解的话，直接比较两根的大小，不能分解就由判别式和图象结合判断导函数的正负.22.已知函数ln ()xxf x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1k ….【解析】试题分析：（I ）求出()()21ln '1xxf x x e x -=++，先证明()f x 在区间()01，上为增函数，又1210ee ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，0f I e =>（），所以()f x 在区间()01，上恰有一个零点，而()0f x >在()1+∞，上恒成立，在()1+∞，上无零点，从而可得结果；（II ））设()f x 的零点为0x ，即0000ln 0x x x e x +=．原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥，令00x x e t =若1t >，可得()01l n x t t -=，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =，()0000000ln 1ln 1x x e x xg x x x --==-=，即1k …求所求．试题解析：（I ）()()21ln '1xxf x x e x -=++， 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1210ee ef e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，0f I e =>（） 因此10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点，由题可知()0f x >在()1+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，上存在唯一零点． （II ）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0x x x e x +=．原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥， 令()ln 1x xe x g x x--=，则()ln 'x x xe x g x x+=，由（I ）可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，+∞上单调递增，故只求()0g x ，，设00x x et =，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则00ln xt x =-， 可得0000lnx tx lnx x lnt=-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =．因此()0000000ln 1ln 1x x e x xg x x x --==-=，即1k …求所求． 【方法点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．。