空间向量及其加减与数乘运算

3.1.1～3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算
教学目标：（1）学生通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握
空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。

（2）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思
想方法，并体验数学在结构上的和谐性。

教学重点：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。

教学难点：空间向量加减法和数乘运算律的灵活应用。

一．新知预习
1.在 ，我们把 ，叫做空间向量.
____________叫做向量的长度或模.
2.与平面向量一样，空间向量也用 表示，此表示法为空间向量的 . 如右图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作 ，
也可记作 .其模长记为__________或 .
3. 叫做零向量，记为 ,
零向量的方向是 .当有向线段的起点A 与终点B 时，0AB =
4. 的向量称为单位向量.
5.与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为-a .
6. 的向量称为相等的向量.
因此，在空间， 的有向线段表示 或 .
7.类似于平面向量，定义空间向量的加减运算如下：
OB = = ,
AB = = .
推广
:
. 为什么平面向量的加减法运算法则能推广到空间? 你是如何理解的?
8.空间向量的加法运算满足：
交换律： ; 结合律： .你能尝试利用图形来进行说明吗?
9.实数λ与a 的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为：
(1)长度是 .
(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . =++++-n n A A A A A A A A 1433221
10.空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.
分配律： . 结合律： .
二．典例分析
例1、已知平行六面体,''''D C B A ABCD -化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量
堂堂清：
⑴ 花简: AB CD BC ++= . AP MN NP +-= .
EF OF OE +-= .
⑵ 已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.
①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++ ； ③12AB AD CC '++ ； ④ 1()3
AB AD AA '++
作业布置：
课后习题及《学海导航》
；
⑴BC AB +；
⑵'AA AD AB ++。