湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上-期中数学(理)含答案
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试高三数学理科试卷(有答案)
2018年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学理科试卷考试时间：2018年11月9日上午8：00－10：00 试卷满分：150分★祝考试顺利★2018年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学(理科)参考答案一、选择题：每题5分，共50分.1~5 BADCB 6~10 CAADD 11~12 BC二、填空题：每小题4分，共20分，请将答案填入相应栏内.13.0 14.1 15.21616log 33+(或 228log 33-)16.74 1.B 【解析】由于[](,1)(2,),1,2R A C A =-∞-+∞∴=-,又B ={}4x x x <≤∴集合]()(0,2R C A B =.选B.2.A 【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y =可得sin sin x y =; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)p 真q 假，(i i)p 假q 真，(iii) p 假q 假； C.“” 是“”成立的充分不必要条件;D 否定是：“对任意，均有210x x ++≤”.故选A.3.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 4.C 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()111f x --≤≤等价于()()()111f f x f --≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,111x ∴--≤≤ 0x ∴≤≤2. 故选C. 5.B 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.选B.6.C 【解析】由12n n n a a a +=+得1121,n n a a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n nb n a +=+==.故选C. 7.A 【解析】∵函数()sin(23)2f x x πϕ=+-是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，∴6πϕ=， ∴f （x ）=sin2x=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣ϕ）=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数f （x ）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时 512x π=-,B 错.()03g π=，故选A ． 8.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排除B,C. 21()0,f e e e=->211()0,f e e e =+> 211()0f e e e -=-<.故选A ． 9.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为(0,2),所以0,0n m ><,2,c c a ==,所以双曲线的方程是2213y x -=.渐近线方程是y =.选D. 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+2.AC <<所以④错误. 故选B.12. C 【解析】沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC =,过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得DF =.①平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;②由于111(84sin 120)4332D A B C A B C D B C D V V S AD --==⋅=⨯⨯=,B 错;③易知AFD ∠为二面角A B C D --的平面角,tan 3AD AFD DF ∠===,C 对;④BC 与平面ACD 所成的角是BCD ∠,sin 6021sin 14BD BCD BC ⋅∠==,D 错．故选.C 13.0 【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=．14.1【解析】22sin cos 1,cos sin 1,sin cos 2sin cos 1,αβαβαβαβ+=+=∴++=22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得22(sin cos cos sin )4αβαβ++=,sin()1αβ∴+=.15.21616log 33+(或228log 33-)【解析】22612(log 12)(log )2f f =23(log )16f == 21616log 33+228(log 3)3=-. 16. 74【解析】设椭圆方程是2222111x y a b +=,双曲线方程是2222221x y a b -=,由定义可得1212,PF PF a +=1221122122,,PF PF a PF a a PF a a -=∴=+=-,在12F PF ∆中由余弦定理可得22212121212(2)()()2()()c o s 3c a a a a a a a a π=++--+-,即2221243,c a a =+ 22222222221212212122222222121212123332321171712(2)(16)()26444444a a a a a a a a c c a a a a a a a a +++=+=+++=++≥+742=+. 三、解答题:本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 考点：同角三角函数关系,辅助角公式,正、余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求角；解三角形及三角形面积的计算．【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等.【试题简析】解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-=== ..................................................................................... 2分 由()0,πB ∈，得π=3B . ................................................................................................... 5分 （2）由cos A =，()0,πA ∈得，sin 10A ==， 在ABC △中，sin sin()sin cos cos sin C B A B A B A =+=+110210=+⨯= ....................................... 7分 由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin a b B A =⋅== ............... 8分 所以1sin 2ABC S ab C =△12==．. ................................................ 10分 点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A 的大小，已知三角形面积求三角形的另两边长．着重考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属于容易题．18.考点：线线垂直与线面垂直的相互转换．专题：计算与证明题；距离的转换;线面角,二面角的求解．【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD BC ===可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， ．．．．．．．．．．．．．．2分 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， ．．．．．．．．．．．．．．4分又AP AC A =,所以AB ⊥平面PAC ，所以AB PC ⊥（2）建立如图所示空间直角坐标系，则())()0,0,0,,,A C D())()0,0,2,,2.P B PD =- 设()01PM tPD t =<<，则M的坐标为(),22t -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设(),,n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则 00n AC n AM ⎧=⎨=⎩，得()0220t z ⎧=⎪+-=，则可取1,1,2(1)n t ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭．．．．．．．．．．．．．10分 又()0,0,1m =是平面ACD 的一个法向量， 所以02(cos ,cos 45m n m n m n ===，23t = 2.3PM PD ∴= ．．．．．．．．．．．．．．12分点评：本题是立几综合题;线面垂直性质与判定定理，利用空间向量研究二面角及线面角; 属于容易题．19. 考点：三角函数的诱导公式,和差倍角公式;辅助角公式,化简三角函数式子．专题：求三角函数的周期,求单调区间．解：（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.．．．．．．．．．．．．．．2分 1()4tan sin()cos()4sin(cos )32f x x x x x x x ππ=-++=+22sin cos sin 2cos2)x x x x x =-=-sin 222sin(2)3x x x π=+=+ ．．．．．．．．．．．．．．5分 所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ== ．．．．．．．．．．．．．．6分 (2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由 222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈． ．．．．．．．．．．．．8分 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭, 易知,.312A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ．．．．．．．．．．．．．．10分所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. ．．．．．．．．．．．．．．12分点评：本题利用两角和的余弦公式及降幂公式,辅助角公式把三角函数化为一个复角的形式,再求周期及单调区间．本题属于容易题．20. 考点：等差等比数列的定义及通项公式的求法;错位相减法．专题：数列综合题,数列求和问题．解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．．．．．．．．．．．．6分（2）由（Ⅰ）知n n n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T 12312341T 2333433(1)3(1)3T 2333433(1)3(2)n n n n n n n n n n -+=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ 12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅ ．．．．．．．．．．．8分 13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+- 333T ()3244n n n ∴=+⋅- ．．．．．．．．．．．．．．12分 点评：数列的通项公式及错位相减法是解决数列问题的基础; 本题属于容易题．21. 考点：函数的应用题,列式解不等式;分离常数法,利用函数的单调性求最值．专题：考察数学建模,分析问题解决问题的能力及数学运算能力．解：（1）由题意得36(100)(1)6100,100x x -+≥⨯ ．．．．．．．．．．．．．．．2分 220032000,03x x x -≤∴<≤， ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又*x N ∈，所以066x <≤(*x N ∈)； ．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为36()50x a x -万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入36(100)(1)100x x -+万元，依题意得36()50x a x -≤36(100)(1)100x x -+恒成立， ．．．．．．．．．．．．．．．．8分231002100ax x x ≤++，10032100x a x ≤++恒成立，1003100x y x =+在上递减，在⎫⎪⎭递增，10035757,2157100x y ⨯==++=++=，10035858,2 1.72 1.742 5.4658100x y ⨯==++=++=， 5.46a ∴≤ . ．．．．．．．．．．．．．．．．12分点评：本题第(1)问要分别求出动员前后从事蔬菜种植的总收入(户数不同); 第(2)问要求出动员后,从事蔬菜加工与从事蔬菜种植的两个总收入代数式,再列不等式求解.属于中档题．22. 考点：求椭圆的方程;弦长、面积的计算．专题：平面几何综合题，椭圆的定义，换元法求最值问题．【解析】(1)设动圆的半径为r ，则2CF r =，1,CF r =所以1212,CF CF F F +=>由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以12,F F为焦点的椭圆，1a c ==所以b =C 的轨迹方程是22132x y +=； ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (2)当直线MN 斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,易得4,MN PQ ==四边形PMQN的面积S = ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当直线MN 斜率存在时,设其方程为(1)(0),y k x k =-≠联立方程得2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,消元得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,),M x y N x y 则12212421x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩24 4.MN k==+ ．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ,PQ MN ⊥ ∴直线PQ 的方程为1(1),y x k=-- 221(1)132y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得222(23)6360k x x k +-+-= 设3344(,),(,),P x y Q x y 则34221226233623x x k kx x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩PQ ==四边形PMQN的面积2114(22S MN PQ k ==+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令21k t +=,1t >,上式222()224S t t t ===--+-+++11,01t t >∴<<,由二次函数图像可知2111()224t -+++的范围是(0,2)2S >=综上可得S ≥．．．．．．．．．．．．．．．．12分点评：经典题型,椭圆方程与直线联立求弦长及面积;属于中档题．。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x|x<5}，集合A={x|x−2≤0}，则∁U A=()A. {x|x≤2}B. {x|x>2}C. {x|2<x<5}D. {x|2≤x<5}2.已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1−z2|=√3，则|z1+z2|等于()A. 2B. √3C. 1D. 33.下列函数中为偶函数的是()A. y=√xB. y=xC. y=x2D. y=x3+14.双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()A. x±2y=0B. 2x±y=0C. √3x±y=0D. x±√3y=05.执行如图所示的程序框图，若输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为()A. 4，7B. 4，56C. 3，7D. 3，566.已知α∈(π2 , π),cosα=−45，则tan(α+π4)=()A. 17B. 7 C. −17D. −77.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. 12B. 13C. 16D. 1128.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC=CA=2CC1，则BD1与AF1所成的角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和a m(0<a<12)，不考虑树的粗细。
现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD。
设此矩形花圃的最大面积为u(单位：m2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f(a)的图像大致是()A. B. C.D.10.设函数f(x)=√2sin(ωx+ϕ+π4)(ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则()A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减C. f(x)在(0,π2)单调递增 D. f(x)在(π4,3π4)单调递增11.在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=12，则△ABC的面积为()A. √3B. 12C. √32D. 112.已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式不一定成立的是A. ae a>be bB. alnb>blnaC. alna>blnbD. be a>ae b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，则|2a⃗−3b⃗ |=______ ．14.设x，y满足约束条件{x−y≥1x+y≥12x−y≤4，则z=x2+(y+2)2的最小值为_______．15.已知点M(0,2)，过抛物线y2=4x的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若∠AMF=π2，则点B坐标为______．16.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，a1+a2=4，a3−a2=6．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若ka n，S n，−1成等差数列对于n∈N+都成立，求实数k的值．18.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=CD=4，AD1=5，M是B1D1的中点．(1)求证：BM//平面D1AC；(2)求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0).当l⊥x轴时，△ABM的面积为√22．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM、BM的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2=0．20.某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中1道多选题，2道单选题.得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．(1)通过分析可以认为学生初试成绩X 服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=66，σ2=144，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为23，多选题的正答率为12，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X <μ+3σ)=0.9974．21. 已知f(x)=e x +ln x ．(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若不等式f(x)>e +m(x −1)对任意x ∈(1,+∞)恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =sinα(α为参数)，将C 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 1.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1的极坐标方程；(2)设M ，N 为C 1上两点，若OM ⊥ON ，求1|OM|2+1|ON|2的值．23. 若关于x 的不等式|x −1|−|x +m|≥a 有解时，实数a 的最大值为5，求实数m 的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x≤2}，U={x|x<5}；∴∁U A={x|2<x<5}．故选：C．先解出集合A={x|x≤2}，然后进行补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及补集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数的模及运算，属于基础题.根据题目可知求|z1+z2|需要得到z1,z2的模长及z1·z2的值即可.根据|z1−z2|=求得z1·z2从而求解．【解答】解：根据题意，∵|z1|=|z2|=1，|z1−z2|=，∴|z1|2−2z1z2+|z2|2=3，∴2z1z2=2−3=−1；∴|z1+z2|=√(z1+z2)2=√z12+z22+2z1·z2=√1+1−1=1．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查函数奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．判断每个选项函数的奇偶性即可．【解答】解：对于A，函数y=√x的定义域为[0,+∞)，所以A不正确；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，但f(−x)=−x=−f(x)，故该函数为奇函数，所以B 不正确；对于C，函数的定义域为R，定义域关于原点对称，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，故为偶函数，所以C正确；对于D，函数的定义域为R，其定义域关于原点对称，但f(−x)=−x3+1≠f(x)，故y=x3+1不是偶函数，所以D不正确．故选C．4.答案：C解析：解：由已知，双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2，∴√a2+b2a =2，∴ba=√3．该双曲线的渐近线方程为：y=±√3x，即：√3x±y=0．通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．5.答案：C解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，属于基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k，m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：如果输入m=168，n=112，k=0;k=1，m=84，n=56;k=2，m=42，n=28;k=3，m=21，n=14;d=7，m=14，n=7;d=7，m=7，n=7;故输出k，m值为3，7．故选C．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数和两角和差公式．【解答】由题意得：sinα=35，tanα=−34，tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−34+11+34=17，故选A.7.答案：B解析：【分析】本题考查古典概型的计算与应用，属基础题．分别找出基本事件总数与事件“乙、丙两人恰好参加同一项活动“包含的基本事件数，直接利用公式即可得到最后结果．【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组，共有3种分法，分别是：(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁)，(甲丁，乙丙)，事件“乙、丙两人恰好参加同一项活动“包含一个基本事件，所以乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为13．故选B．8.答案：D解析：取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D ，AD ，由D 1B//DF ，知∠DF 1A 就是BD 1与AF 1所成角，由此能求出BD 1与AF 1所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 【解答】解：取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D ，AD ， ∴D 1F 1= //12B 1C 1,BD = //12B 1C 1，∴四边形BDF 1D 1为平行四边形， ∴D 1B//DF 1，∴∠DF 1A 就是BD 1与AF 1所成角， 设BC =CA =2CC 1=2，∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BCA =90°， 点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴AD =√4+1=√5，AF 1=√1+1=√2， DF 1=BD 1=√1+(√4+42)2=√3，在△DF 1A 中，cos∠DF 1A =3+2−52×√2×√3=0． ∴∠DF 1A =90°．故选：D ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查函数的实际应用，解决本题的关键是将S 的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出S 的解析式． 【解答】解：设AD 长为x ，则CD 长为16−x ， 又因为要将P 点围在矩形ABCD 内，∴a ≤x ≤12则矩形ABCD 的面积为x(16−x)，当0<a ≤8时，当且仅当x =8时，u =64 当8<a <12时，u =a(16−a) u ={64,0<a ≤8a(16−a),8<a <12，分段画出函数图形可得其形状与C 接近， 故选B ．10.答案：A解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于中档题．根据周期算出ω，然后根据f(−x)=f(x)求出ϕ．【解答】解：由于f(x)=√2sin(ωx+ϕ+π4)(ω>0,|ϕ|<π2)，由于该函数的最小正周期为π=2πω，得出ω=2，又根据f(−x)=f(x)，以及|ϕ|<π2，得出ϕ=π4．因此，f(x)=√2sin(2x+π2)，若x∈(0,π2)，则2x+π2∈(π2,3π2)，从而f(x)在(0,π2)单调递减，若x∈(π4,3π4)，则2x+π2∈(π,2π)，此时函数f(x)不是单调的，故B,C,D都错，故选A．11.答案：C解析：解：△ABC中，∵AC=2，BC=1，cosC=12=BCAC，B=π2，∴AB=√AC2−BC2=√3，∴△ABC的面积为12AB⋅BC=12×√3×1=√32，故选：C．由条件可得cosC=12=BCAC，故有B=π2，勾股定理求得AB=√AC2−BC2的值，可得△ABC的面积为12AB⋅BC的值．本题主要考查直角三角形中的边角关系，判断B=π2，是解题的关键，属于基础题．12.答案：B解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属中档题．设f(x)=lnxx (x>1)，则f′(x)=1−lnxx2，研究单调性，比较大小．【解答】解：设f(x)=lnxx (x>1)，则f′(x)=1−lnxx2，令f′(x)>0，解得1<x<e，令f′(x)<0，解得x>e，故f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以alnb，blna的大小不确定，故选B．13.答案：√53解析：解：∵向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，∴a⃗2=5，b⃗ 2=1，a⃗⋅b⃗ =−2+0=−2，∴|2a⃗−3b⃗ |=√(2a⃗−3b⃗ ) 2=√4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=√53，故答案为√53．求出a⃗2，b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ 的值，由|2a⃗−3b⃗ |=√(2a⃗−3b⃗ ) 2=√4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2求得结果．本题考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模的方法，求出a⃗2，b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ 的值，是解题的关键．14.答案：92解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，属于中档题．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求解最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为区域内的点到定点C(0,−2)的距离的平方，则由图象可知，当z=x2+(y+2)2所表示的圆与直线x+y−1=0相切时，距离最小，即C(0,−2)到直线x+y−1=0的距离d=√2=√2，所以z=d2=92，故答案为92．15.答案：(14,−1)解析：【分析】本题考查了抛物线与直线的位置关系，属于中档题；直线AM 的方程为：y =12x +2，联立抛物线方程⇒A(4,4)可得直线AB 的方程为4x −3y −4=0，联立y 2=4x 可得y 2−3y −4=0⇒B(14,−1)【解答】解：根据题意，点M(0,2)，F(1,0)，∵∠AMF =π2，则直线AM 的方程为：y =12x +2 由{y =12x +2y 2=4x⇒A(4,4) 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线AB 的方程为4x −3y −4=0联立y 2=4x 可得y 2−3y −4=0⇒B(14,−1)故答案为(14,−1)． 16.答案：2√6解析：【分析】本题考查了平面的基本性质以及应用，直接由平面的基本性质求解即可．【解答】解：如图，取AB ，C 1 D 1的中点E ，F ，连接A 1 E ，A 1 F ，EF ，则平面A 1 EF //平面BPC 1． 在△A 1EF 中，A 1F =A 1E =√5，EF =2√2，S △A 1EF =12×2√2×√(√5)2 −(√2)2 =√6， 从而所得截面面积为2S △A 1EF =2√6．故答案为2√6．17.答案：解：(Ⅰ)等比数列{a n }的公比q >0，a 1+a 2=4，a 3−a 2=6，可得a 1+a 1q =4，a 1q 2−a 1q =6，解得a 1=1，q =3，则a n =a 1q n−1=3n−1，n ∈N ∗；(Ⅱ)若ka n ，S n ，−1成等差数列对于n ∈N +都成立，可得2S n =ka n −1，当n =1时，2×1=k −1，即k =3，可得2S n =3a n −1，由a n =3n−1，S n =1−3n1−3=3n −12，可得2S n =3a n −1恒成立，则k 的值为3．解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． (Ⅰ)等比数列{a n }的公比q >0，由等比数列的通项公式可得首项和公比的方程组，解方程可得所求通项；(Ⅱ)由等差数列中项性质，可令n =1求得k ，再由等比数列的通项公式和求和公式，检验可得k 的值．18.答案：【解答】证明：(1)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中∵AD =4，AD 1=5，∴DD 1=√AD 12−AD 2=3以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，设AC 的中点为N ，连结ND 1，根据题意得A(4,0，0)，B(4,4，0)，C(0,4，0)，D(0,0，0)，B 1(4,4，3)，D 1(0,0，3)，B 1D 1的中点为M(2,2，3)，AC 的中点为N(2,2，0)．∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,3)，ND 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,3)，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //ND 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM//ND 1．∵BM ⊄平面D 1AC ，ND 1⊂平面D 1AC ，∴BM//平面D 1AC ．解：(2)DD 1=(0,0，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4，0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0，3)，设平面D 1AC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 根据已知得{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +4y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +3z =0， 取x =1，得n⃗ =(1,1，43)是平面D 1AC 的一个法向量， ∴cos <DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3417， ∴直线DD 1与平面D 1AC 所成角的正弦值等于2√3417．解析：【分析】(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能证明BM//平面D 1AC ．(2)求出平面D 1AC 的一个法向量和平面D 1AC 的一个法向量，利用向量法能求出直线DD 1与平面D 1AC 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)依题意得c 2=a 2−b 2=1，即b 2=a 2−1，所以当x =1时，解得y =±a 2−1a，当l ⊥x 轴时，|AB|=2(a 2−1)a ， 因为|MF|=1，所以S △ABM =12|AB|×|MF|=a 2−1a =√22，解得a =√2， 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)当l 与x 轴重合时，k 1=k 2=0，满足条件；当l 与x 轴垂直时，满足条件，当l 与x 轴不重合且不垂直时，设l 为y =k(x −1)(k ≠0)，设点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，把l 的方程代入x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1， 因为k 1+k 2=y 1x 1−2+y 2x 2−2=2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)， 而2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k =2k(2k 2−2)2k 2+1−3k−4k 22k 2+1+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0，所以，k 1+k 2=0．解析：(1)由已知条件得b 2=a 2−1，利用通径公式得出|AB|的表达式，再由△ABM 的面积得出有关a 的方程，求出a 的值，可得出椭圆C 的标准方程；(2)对直线l 与x 轴垂直、与y 轴垂直以及与斜率存在且不为零三种情况讨论．在前两种情况下可直接进行验证；在第三种情况下，设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理，通过化简计算得出结论成立．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查计算能力与推理能力，属于难题．20.答案：解：(1)因为μ=66，σ2=144，所以μ+2σ=66+2×12=90，所以P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)=12(1−0.9544)=0.0228，所以估计初试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000=114(人)；(2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，则P(Y=0)=12×13×13=118，P(Y=2)=C21×23×13×12=418=29，P(Y=3)=13×13×12=118，P(Y=4)=23×23×12=418=29，P(Y=5)=C21×23×13×12=418=29，P(Y=7)=23×23×12=418=29，Y所以数学期望E(Y)=0×118+2×29+3×118+4×29+5×29+7×29=256．解析：本题主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望与方差和正态曲线及其性质，属于基础题．(1)由题意得P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)=12(1−0.9544)，即可估计初试成绩不低于90分的人数;(2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，故可得Y的分布列，即可求得数学期望．21.答案：解：(1)由f(x)=e x+lnx，则f′(x)=e x+1x,f′(1)=e+1，切点为(1,e)，所求切线方程为y−e=(e+1)(x−1)，即(e+1)x−y−1=0．(2)由f(x)=e x+lnx，原不等式即为e x+lnx−e−m(x−1)>0，记F(x)=e x+lnx−e−m(x−1),F(1)=0，依题意有F(x)>0对任意x∈(1,+∞)恒成立，求导得F′(x)=e x +1x −m,F′(1)=e +1−m,设g(x)=F′(x)=e x +1x −m ，g′(x)=e x −1x 2，当x >1时，g′(x)>0，则F′(x)在(1,+∞)上单调递增，有F′(x)>F′(1)；若m ≤e +1，则F′(x)>F′(1)≥0，得F(x)>F(1)=0，若m >e +1，则F′(1)<0，又，故存在x 1∈(1,lnm)使F′(x)=0，当1<x <x 1时，F′(x)<0，得F(x)在(1,x 1)上单调递减，得F(x)<F(1)=0，综上，实数m 的取值范围是(−∞,e +1]．解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．(2)由f(x)=e x +lnx ，原不等式即为e x +lnx −e −m(x −1)>0，记F(x)=e x +lnx −e −m(x −1)，通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值，转化求解m 的范围即可．22.答案：解：(1)直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =sinα(α为参数)，将C 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 1．则：{x =αy 2=sinα(α为参数)， 转换为直角坐标为：x 2+y 24=1．转换为极坐标方程为：ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ4=1． (2)不妨设M(ρ1,θ)、N(ρ2,θ+π2)，则：ρ12cos 2θ+ρ12sin 2θ4=1， ρ22cos 2(θ+π2)+ρ22sin 2(θ+θ2)4=1， 则：1ρ12=cos 2θ+sin 2θ4，1ρ22=sin 2θ+cos 2θ4， 则：1|OM|2+1|ON|2=1ρ12+1ρ22=sin 2θ+cos 2θ4+cos 2θ+sin 2θ4=54．解析：(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用三角函数的关系式的变换和极径求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换．23.答案：解：令f(x)=|x −1|−|x +m|，由|x−1|−|x+m|≤|(x−1)−(x+m)|=|m+1|，可得f(x)的最大值为|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|．又实数a的最大值为5，则|m+1|=5，解得m=4或−6．解析：本题主要考查绝对值不等式的性质及解法，令f(x)=|x−1|−|x+m|，求出其最大值|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|，进而求出m．。
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2020届高三上学期期中考试理科数学)参考答案
则 f (x) 在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a , +) 上单调递增…………………………………8 分
i）当 a 1时， f (x) 在[0,1] 上单调递减，则 f (x)min = f (1) = −3a ……………………9 分
ii）当 0 a 1时， f (x) 在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a ,1) 上单调递增
x +1 f (x) 0 ，得 x − 1− a 或 x 1− a f (x) 0 ，得 − 1− a x 1− a i）− 1− a −1即 a 0 时， f (x) 在 (−1, 1− a ) 单调递减，( 1− a, +) 单调递增…4 分 ii） − 1− a −1即 0 a 1时， f (x) 在 (− 1− a，1− a ) 单调递减，
法二：由正弦定理，
在 ABC 中， AB = AC ………………………………………………………2 分 sin BCA sin ABC
在 BCD中， BD = CD ……………………………………………………4 分 sin BCD sin DBC
由 D 为 AC 的中点， sin ABC = sin DBC
则 f (x)min = f ( a) = −2a a −1…………………………………10 分
−1, a 0
综上得，
f
( x)min
=
−3a, a 1
．………………………………………………12 分
−2a a −1, 0 a 1
21．解：（1）法一： SABC
=
1 2
AB BC sin ABC
−3 x −1 x −2或x 3
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2019届高三数学上学期期中联考试题 文
宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期中联考高三（文科）数学（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁R B )＝( )A ．[0,1]B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[－1,0]D ．[1,2]2.已知条件p ：x ＋y ≠2，条件q ：x ，y 不都是1，则q 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.已知函数f (x )＝x 2-4x ＋3，x ∈[－4, 6]．则f (x )的值域为（ ）A. [15,35]B. [-1,35]C. [-1,15]D. [3,15]4．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(－sin θ，cos θ)B ． (sin θ，cos θ)C ．(－cos θ，sin θ)D ． (cos θ，sin θ)5.在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝15－a 3，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．5B ．15C ．25D ．756.已知函数()f x ＝sin(ωx ＋φ)+1(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有()f x ≤()3f π成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是( )A. 2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 2,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知函数f (x )为奇函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)=f (x )，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( ) A ． －4 B ．－8 C ．0 D ．－168.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a==，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形9.已知函数f (x )( )A ．(－∞，1]B ．[-1，1)C ．(1，3]D ．[1，＋∞)10.已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有()f x '＋()f x x>0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当b >a 时，有( )A ． af (b )>bf (a )B ．af (b )<bf (a )C ． af (a )<bf (b )D ．af (a )>bf (b )11.已知函数2610(3)1,3(),3x x a x x f x ax -+⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ (a >0，且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3) B. (0,1) C ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(2,3)12.设f (x )＝|ln x |，若函数f (x )－ax=0在区间(0,4)上有三个根，则实数a 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1eB. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 22C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eD. ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，e二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan α，tan β是方程x 2-33x ＋4＝0的两根，且,αβ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则αβ+＝________.14.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝242，则n ＝________.15．已知命题p ：2,0x R x a ∀∈-≥；命题q ：2000,220x R x ax a ∃∈++-=.若命题“p ∨q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．16. 若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题10分）已知命题p ：函数()f x 为定义在R 上的单调递减函数，实数m 满足不等式(1)(32)f m f m +<-. 命题q ：当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,方程2sin 2sin 1m x x =--+有解. 求使“p 且q ”为真命题的实数m 的取值范围.18.（本小题12分）已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的对称轴和单调递增区间； (2)当x ∈,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的值域．19.（本小题12分）已知函数f (x )＝x +a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．20.（本小题12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝a tan B ，且A 为钝角．(1)证明：A －B ＝π2；(2)求sin B ＋sin C 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为3()2f x x '=+， 数列{}n a 的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数()y f x =的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝11n n a a +，试求数列{b n }的前n 项和T n .22．（本小题12分）已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R)，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e 2]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－1,0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期中联考高三（文科）数学参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、 2π314、5 15、(－∞，0]∪[1,+∞) 16、三．解答题(本大题共6小题，共75分）17.解：对于命题p :由函数f (x )为R 上的单调递减函数得132m m +>- 解得23m >………………………2分 对于命题q :当x ∈时,sin x ∈[0,1],m=cos 2x-2sin x=-sin 2x-2sin x +1=-(sin x +1)2+2∈[-2,1], ………………………6分综上,要使“p 且q ”为真命题,只需p 真q 真,即232m m ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤≤1解得实数m 的取值范围是. ………………………10分18. 解：(1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. ………………2分 所以函数f (x )的对称轴为x ＝5,212k k ππ+∈Z . ………………………4分 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z. (7)分 (2)当x ∈,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，2x －π3∈20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[]0,1，………………………10分f (x )∈⎣⎦. ………………………11分故f (x )的值域为,122+⎣⎦。
2019年秋季湖北省普通高中联考协作体期中考试数学答案
2019年秋季湖北省普通高中联考协作体期中考试高一数学参考答案及评分细则一、选择题：二、填空题：13． 3 14．4- 15． （1,2） 16． ② ④三、解答题： 17．解：（1）原式=1251-31)27125(--=1---212)5(31))35((3--=115-1)35(--=-15153-51= …………………………………………………………………………………5分 （2）原式=5lg )10lg 4(lg +)5lg 10(lg 2lg 2-+=5lg （2lg2+1）)5lg 10lg 21(2lg 2-+ =25lg lg2+5lg -+2lg 22lg lg5=5lg 2lg +1= ………………………………………………………10分 18．解：=A }1122{≤-≤-x x =}121|{≤≤-x x ． …………………………………1分 （1）当1=a 时，=B }20{<<x x ∴=⋃B A }121|{≤≤-x x ⋃}20{<<x x =}221|{<≤-x x …………………………………………………………………………………3分)(B A C R ⋃=21|{-<x x 或}2≥x ………………………………………4分 又=A C R 21|{-<x x 或}1>x ，=B C R 0|{≤x x 或}2≥x ………………………………………………………………………………5分∴)()(B C A C R R ⋂=21|{-<x x 或}2≥x ……………………………………………6分 ∴)(B A C R ⋃=)()(B C A C R R ⋂．……………………………………………………7分（2）若φ=⋂B A ，则：211-≤+a 或11≥-a ……………………………………9分 ∴23-≤a 或2≥a ……………………………………………………………………10分 ∴φ≠⋂B A 时，223<<-a ，即实数a 的取值范围)2,23(-．………………………………………………………………………………………12分19．解：（1）由题意：2==AB AC ，OA =1∴OC =322=-OA AC ∴C 点坐标为（0，3）．…………………………1分 将A 、B 、C 的坐标代入二次函数解析式，得：⎪⎩⎪⎨⎧==++=++30390c c b a c b a ，解之，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==333433c b a ， 故=)(x f 3334332+-x x ． …………………………………………………………………………………6分（2）由（1）知：=)(x f 33)2(332--x ，其顶点坐标为（2，33-） …………………………………………………………………………………7分又A （1，0），B （3，0），D 在AB 之间的抛物线段上∴3333221|33|||21|max =⨯⨯=-⋅=∆AB S ABD ……………………9分 而33221||||21=⨯⨯=⋅=∆OC AB S ABC ………………………………………11分 ∴ABC ABD S S ∆∆<，即在AB 之间的抛物线段上不存在D 点，使ABD ∆与ABC ∆的面积相等．………………………………………………………………………………12分20．解：由题意：当120≤≤x 时，x y 3=；当1812≤<x 时，366)12(636-=-+=x x y ； 当18>x 时，909)18(93636-=-++=x x y ．…………………………………………………………………………………3分∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤≤=18,9091812,366120,3x x x x x x y ，其图像如图所示：…………………………………………………………………………………7分（2）由（1）知：用水量]12,0[∈x 时，应交纳水费36≤y ；用水量]18,12(∈x 时，应交纳水费72≤y ；…………………………………………8分故小张家十月份用水量18>x 3m ， …………………………………………………9分 令90909=-=x y ，得：20=x …………………………………………………11分 所以，小张家十月份用水量为203m ．………………………………………………12分 （说明：为了作图的方便，本题中x 轴与y 轴的单位长度取作不一致） 21．解：（1） )(log )1(log )(22a x ax x f --+=是奇函数 ∴0)()(=-+x f x f 对其定义域内任意自变量x 的值恒成立∴0)(log )1(log )(log )1(log 2222=---+-+--+a x ax a x ax ∴)(log )(log )1(log )1(log 2222a x a x ax ax --+-=+-++∴)(log )1(log 222222x a x a -=-，∴22221x a x a -=-∴12=a ，∴1±=a ．…………………………………………………………………4分当1=a 时，)1(log )1(log )(22--+=x x x f ，由⎩⎨⎧>->+0101x x ，得：1>x此时)(x f 的定义域),1(+∞不关于0=x 对称，不合题意；当1-=a 时，)1(log )1(log )(22+--=x x x f ，由⎩⎨⎧>->+0101x x ，得：11<<-x此时)(x f 的定义域)1,1(-关于0=x 对称，符合题意。
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2019-2020高三9月月考数学(理)试题(解析版)
宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋9月联考高三（理科）数学一、选择题1.i 是虚数单位，()25z i i -=，z =（ ）A.B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数除法运算，求得z 的表达式，再求z 的模.【详解】依题意()()()52512222i i i z i i i i +===-+--+，所以z == D. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的运算，属于基础题.2.全集{}0,1,2,3,4,5,6U =,集合6{|}1A x N N x =∈∈+，则U C A =（ ） A. {2,3,4,5,6} B. {3,4,5,6}C. {3,4,6}D. {3,4,5}【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合A 的元素，再求得集合A 的补集.【详解】依题意{}0,1,2,5A =，故{}3,4,6U C A =，故选C.【点睛】本小题主要考查集合元素，考查集合补集的运算，属于基础题.3.命题“矩形的对角线相等”的否定及真假，描述正确的是（ ） A. 矩形对角线都不相等，真B. 矩形的对角线都不相等，假C. 矩形的对角线不都相等，真D. 矩形的对角线不都相等，假【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的知识写出原命题的否定，并判断出真假性.【详解】命题的否定是否定结论，故原命题的否定为“矩形的对角线不都相等”，为假命题. 【点睛】本小题主要考查命题的否定，考查矩形的几何性质，属于基础题.4.如果,x y 是实数，那么“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】将两者相互推导，根据能否推导的情况判断出正确选项. 【详解】当“x y ≠”，可能cosx cosy =，如ππcos cos 33⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当“cosx cosy ≠”，则“x y ≠”成立.故“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的性质.5.小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）A. 1%B. 2%C. 3%D. 5% 【答案】C【解析】由题意3030%3%30+40+100+80+50⨯=，故选C．6.椭圆22221(0)x ya ba b+=>>22221x ya b-=的离心率为（）A. 2B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆离心率求得ba的值，再根据双曲线离心率公式，求得双曲线的离心率.=，故214ba⎛⎫=⎪⎝⎭=，故选D.【点睛】本小题主要考查椭圆离心率、双曲线离心率有关计算，属于基础题.7.设曲线11xyx+=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y++=垂直,则a=( )A. 2B. 2-C.12- D.12【答案】B【解析】 【详解】因为22(1)y x -='-，所以22()12,(31)a a -⋅-=-⇒=--选B.考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点；（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.8.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，若(1)1f =，则(2020)f 的值是（ ） A. 0 B. 1C. 505D. 2020【答案】A 【解析】 【分析】根据(1)(1)f x f x +=-求得函数的对称轴，结合函数为奇函数，求得函数的周期，再根据周期性求得()2020f 的值.【详解】由于(1)(1)f x f x +=-，所以函数图像关于直线1x =对称，而函数是奇函数，图像关于原点对称，故函数是周期为4的周期函数，故()()()20200450500f f f =+⨯==，故选A. 【点睛】本小题主要考查函数对称轴、周期性，考查抽象函数求值，属于基础题.9.函数2()(1)sin f x x x x x =+-+的零点的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将函数()f x 因式分解.利用导数求得函数()sin g x x x =-的单调区间，判断出函数()sin g x x x =-零点个数.由此判断出()f x 零点个数.【详解】依题意()()()1sin f x x x x =+-，故1x =-是函数()f x 的零点.构造函数()sin g x x x =-，注意到()00g =，且()'1cos 0g x x =-≥，所以()g x 在R 上递增，只有唯一零点0x =.所以()f x 有两个零点1x =-或0x =.故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点，考查利用导数研究函数的零点，考查因式分解，属于中档题.10.函数3()3f x x x =-在区间()2,m -上有最大值，则m 的取值范围是（ ）A.1,)-+∞（ B. 1,1]-（ C. 1,2)-（ D.1,2]-（ 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间()2,m -上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】由于()()()'233311fx x x x =-=+-，故函数在(),1-∞-和()1,+∞上递增，在()1,1-上递减，()()122f f -==，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间()2,m -上有最大值，根据图像可知(],B A m x x ∈，即(]1,2m ∈-，故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知函数()f x 是定义在R 上函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到()()(),()()xxF x f x e F x f x f x e ⎡'⎤=+⎣⎦'=>0, 函数F （x ）是单调递增函数，则F （1）>F(ln2)>F(0),化简后得到结果. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x'+>,设()()(),()()x x F x f x e F x f x f x e ⎡'⎤=+⎣⎦'=>0,故函数F （x ）是单调递增函数，则F （1）>F(ln2)>F(0),的()()()012ln 20ef f e f >>,() 1ef >() 22f ln >() 0f . c b a >>.故答案为：A.【点睛】本题考查了函数单调性应用，解抽象函数不等式问题，通常需要借助于函数的单调性和奇偶性和周期性，或者需要构造函数再求导,两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.12.若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为( ) A. 3B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长，利用体积列方程求得四棱锥的高，计算出四棱锥外接球半径的最小值，求得此时对应的四棱锥的高.【详解】设正方形的边长为a ，则四棱锥的高为227h a =，正方形对角线长为，则其外接圆的半径2r a =.设球的半径为R ，则()222h R r R -+=，解得44222272727210844108a a R a a a =+=++94≥=，当且仅当42274108a a =，即3a =时等号成立，此时，四棱锥的高为2272739h a ===.故选A.【点睛】本小题主要考查四棱锥外接球半径的最小值的计算，考查四棱锥的体积公式，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.二、填空题：13.计算：122231(lg lg8)4log 3log 4125--÷+⋅=________.【答案】20 【解析】 【分析】根据对数运算、指数运算有关公式，化简所求表达式. 【详解】依题意，原式()1232223lg104log 3log 2-=⨯+⨯()223322log 3log 2=-⨯+⨯⨯18220=+=.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.幂函数222(22)m y m m x -=--在(0,)+∞上增函数，则m =________.【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性，求得m 的值.【详解】由于函数为幂函数，所以2221m m --=，解得3m =或1m =-，当1m =-时，函数为1y x=，不满足在(0,)+∞上递增，故舍去.当3m =时，7y x =符合题意.综上所述，m 的值为3.【点睛】本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性，属于基础题.15.函数2()cos 2sin 2f x x a x =--+的最大值为3，则a =________.【答案】12± 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简，结合二次函数的性质及最大值列方程，解方程求得a 的值. 【详解】依题意()()222sin 2sin 1sin 1f x x a x x a a =-+=-+-，由于二次函数()()22111y t a a t =-+--≤≤开口向上，故在区间的端点取得最大值.若1t =-时取得最大值，即()221113,2a a a --+-==，此时二次函数对称轴12t a ==，根据二次函数性质可知1t =-时取得最大值，符合题意.若1t =时取得最大值，即()22113a a -+-=，解得12a =-，此时二次函数对称轴12t a ==-，根据二次函数性质可知1t =时取得最大值，符合题意.故12a =±.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二次函数的性质以及最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.16.在一段线路中有4个自动控制的常用开关A 、B 、C 、D ，如图连接在一起，假定在2019年9月份开关A ，D 能够闭合的概率都是0.7，开关B ，C 能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为________.【答案】0.9676 【解析】 【分析】先计算线路不能正常工作的概率，用1减去这个概率，求得正常工作的概率.【详解】,B C 段不能正常工作的概率为10.80.80.36-⨯=.线路不能正常工作的概率为0.30.30.36⨯⨯，故能正常工作的概率为10.30.30.360.9676-⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件的方法计算概率，属于基础题.三、解答题17.设函数()f x 与()g x 的定义域是x ∈R 且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1f xg x x +=-.（1）求()f x 和()g x 的解析式 ；（2）求111()()()(2)(3)(4)432g g g g g g +++++的值. 【答案】（1）21()1f x x =-， 2()1xg x x =-；（2）0. 【解析】 【分析】（1）将x -代入题目所给函数方程1()()1f xg x x +=-，根据函数的奇偶性化简，解方程组求得()f x 和()g x 的解析式.（2）计算证得1()()0g x g x+=，由此求得表达式的值为0.【详解】(1)∵1()()1f x g x x +=- , ①∴1()()1f xg x x -+-=--,∵()f x 是偶函数，()g x 是奇函数,∴1()()1f xg x x --=+,② ①②相加得21()1f x x =-， 进而2()1xg x x =-.（2）∵2()1x g x x =- ∴21()1xg x x -=-,∴1()()0g x g x += ,∴111()()()(2)(3)(4)0432g g g g g g +++++= .【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，考查倒序相加法，属于基础题.18.如图直三棱柱111ABC A B C -中，截面11AB C ⊥平面11AA B B .（1）求证：1111A B B C ⊥；（2）记二面角111A B C A --的大小为α，直线1AC 与平面111A B C 所成的角为β，试比较α与β的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）αβ>.【解析】【分析】（1）在平面11AA B B 内作11A D AB ⊥，根据面面垂直的性质定理得到111B C A D ⊥，结合直三棱柱的几何性质，得到111 B C A A ⊥，由此证得11B C ⊥平面11AA B B ，进而证得1111B C A B ⊥.（2）根据二面角和线面角的定义，得到11AB A α=∠,11AC A β=∠，利用sin sin αβ>，以及两个角为锐角，证得αβ>.【详解】（1）在平面11AA B B 内作11A D AB ⊥，易证111B C A D ⊥，111B C A A ⊥ , 从而11B C ⊥平面11AA B B ,所以1111B C A B ⊥.（2）11AB A α=∠,11AC A β=∠设1AA a =,1AB b = ,1AC c = ,则a b c << 于是sin sin a a b cαβ=>=， 由于α，β都是锐角，所以αβ>.【点睛】本小题主要考查线面垂直证明线线垂直，考查线面角、面面角的定义，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点(1,2)P ，11(,)A x y ，22(,)B x y 均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y +的值及直线AB 的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是24y x =, 准线方程是1x =-．；（2）1．【解析】试题分析：（I ）设出抛物线的方程，把点P 代入抛物线求得p 则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（2）设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，则可分别表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，进而求得的值，把A ，B 代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB 的斜率．试题解析：（I ）由已知条件，可设抛物线的方程为22(0)y px p =>因为点(1,2)P 在抛物线上,所以2221p =⨯，得2p =. 2分故所求抛物线的方程是24y x =, 准线方程是1x =-. 4分（2）设直线PA 的方程为2(1)(0)y k x k -=-≠， 即：21y x k-=+，代入24y x =，消去x 得： 24840y y k k-+-=. 5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得：142y k +=，即：142y k =-. 7分 将k 换成k -，得242y k =--，从而得：124y y +=-， 9分 直线AB 的斜率1212221212124144AB y y y y k y y x x y y --====--+-. 12分.考点：抛物线的应用．20.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平 均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y ，求变量Y 13.4≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=【答案】（1）60x =,2180s =；（2）（i ）0.3415；（ii ）详见解析.【解析】【分析】(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案；（2）（i ）由(1)知，~(60180X N ，)，从而可求出(6073.4)P X <<； （ii ）可得Y 可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出Y 的分布列，求出其Y 的数学期望.【详解】解：（1）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()222222300.05200.1100.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯⨯+⨯+⨯+⨯= （2）（i ）由（1）知，()~60180X N ，， 从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152P X P X <<=-<<+=； （ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[]4555，内有3人，在[]6575，内有4人， 故Y 可能的取值为0，1，2，3()0334374035C C P Y C ===，()12343718135C C P Y C ===， ()21343712235C C P Y C === ()3034371335C C P Y C === 所以Y 的分布列为所以Y 数学期望为()41812190123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型.21.已知函数()xe f x x a=-（其中常数0a <）. （1）求函数()f x 的定义域及单调区间；（2）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1){}|x x a ≠，()f x 的单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为(),a -∞，(),1a a +；(2)的1ln 12a ≤-.【解析】【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}|x x a ≠，[]22(1)()1'()()()x x x e x a e x a e f x x a x a -+--⋅==--，由'()0f x >，解得1x a >+，由'()0f x <，解得1x a <+且x a ≠,()f x ∴的单调递增区间为(1,)a ++∞，单调递减区间为(,)a -∞和(,1)a a +；（2）由题意可知，当且仅当0a <， 且()xe f x x a =-在(],0a 上的最小值小于或等于12时，存在实数(],0x a ∈，使得不等式1()2f x ≤成立 ，若10a +<即1a <-时，()f x ∴在(],0a 上的最小值为1(1)a f a e ++=， 则112a e +≤，得1ln 12a ≤-，若10a +≥，即1a ≥-时，()f x 在(],0a 上单调递减，则()f x 在(],0a 上的最小值为1(0)f a =-， 由112a -≤，得2a ≤-（舍） ，综上所述，1ln12a ≤-. 选做题：22.已知直线l 的极坐标方程是πsin()03ρθ-=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩,（α为参数）. （1）求直线l 被曲线C 截得的弦长； （2）从极点作曲线C 的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）（2）2sin (0)ρθρ=≠.【解析】【分析】（1）求得直线l 和曲线C 的直角坐标方程，利用弦长=求得弦长.（2）根据曲线C 的参数方程，求得中点的参数方程，消去参数后求得中点轨迹的直角坐标方程，并转化为极坐标方程.【详解】（1）由题意可知,直线l 的直角坐标系方程是y =,曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=,则圆心C 到直线l 的距离1d ==,故所求的弦长是=（2）从极点作曲线C 的弦,弦的中点的轨迹'C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩,（α为参数）, 且3π3π[0,)(,2π)22α∈⋃,其普通方程为22(1)1(0)x y y +-=≠, 极坐标方程为22sin 0ρρθ-=,化简得2sin (0)ρθρ=≠.【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的相互转化，考查直线和圆相交所得弦长计算，考查中点的轨迹方程的求法，属于中档题.23.已知0a >，0b >，0c >.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为2.(1)求a b c ++的值；(2)证明：11194a b b c c a ++≥+++. 【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先根据绝对值三角不等式得()f x 的最小值为a b c ++ ，再根据0a >，0b >，得结果.(2)先构造()()()11111114a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭，再利用均值不等式可得结论.详解：（1）∵ ()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =++-+≥+--+=++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，∴ ()f x 的最小值为a b c ++，∴ 2a b c ++=.（2）由（1）可知，2a b c ++=，且a ，b ，c 都是正数， 所以()()()11111114a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭， 134b c a b b c c a a b a c a b b c c a b c c a a b ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()19322244≥+++= 当且仅当1a b c ===时，取等号， 所以11194a b b c c a ++≥+++得证. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i2.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}3.已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为()A. 16B. 310C. 35D. 564.已知向量a⃗=(−2,−1)，b⃗ =(2,−2)，则(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )等于()A. 7B. −6C. −10D. −135.设圆的方程为(x−1)2+(y+3)2=4，过点(−1,−1)作圆的切线，则切线方程为()A. x=−1B. x=−1或y=−1C. y+1=0D. x+y=1或x−y=06.若曲线x2m +y21−m=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为()A. m<1B. m<0C. −12<m<0 D. 12<m<17.设l、m、n是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是()A. 若l⊥α，l//β，则α⊥βB. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC. 若l⊥n，m⊥n，则l//mD. 若α⊥β，l⊂α，n⊂β则l⊥n8.根据如图程序框图，当输入5时，输出的是()A. 6B. 4.6C. 1.9D. −3.99.函数f(x)满足当x⩾4时，f(x)=(12)x，当x<4时，f(x)=f(x+1)，则为()A. 124B. 112C. 18D. 3810.已知3,a,12成等比数列，则a=()A. 6B. ±6C. −6D. 7.5 11. 在△ABC 中，“C =π2”是“sinA =cosB ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 12. 若函数f (x )={ln (x +1)−x,x ≥0,2x 2+2x,x <0,则函数f (x )的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为______．14. 若直线y =x +b 在x 轴上的截距在[−3,3]范围内，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是______．15. 已知函数y =acos(2x +π3)+3，x ∈[0,π2]的最大值为4，则正实数a 的值为______ ．16. 已知实数x ，y 满足{x ≥y,x ≤2y,x +y −6≤0,则z =2x +y 取得最大值的最优解为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w应至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18.在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n−2，求b1+b2+b3+⋯+b10的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，BC=PC，DB=2√2，(1)证明PA//平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求四棱锥P−ABCD的体积．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√2,1)，且离心率为√22． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON(O 为坐标原点)的斜率之积为−12，若动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试探究，是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|+|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标，若不存在，请说明理由．21. 已知函数．(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若方程f (x )=g (x )+m 有唯一解，试求实数m 的值．22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22． (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A,B 两点，M 是圆C 上不同于A,B 两点的动点，求ΔMAB 面积的最大值．23.若关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解时，实数a的最大值为5，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代入(z −1)i =1+i ，根据复数相等即可．【解答】设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代入(z −1)i =1+i得(a −1+bi)i =1+i ，即−b +(a −1)i =1+i ．根据复数相等可得{−b =1a −1=1得a =2,b =−1，所以复数z =2−i ．故选C ．2.答案：B解析：解：B ={x|2≤x ≤5}；∴A ∩B ={3,5}．故选：B ．可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用． 利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，∴第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p =35×24=310．故选B ．4.答案：D解析：解：向量a ⃗ =(−2,−1)，b ⃗ =(2,−2)，a ⃗ −b ⃗ =(−4,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(2,−5)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=−8−5=−13．故选：D．求出相关向量，利用向量的数量积运算法则求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积，考查计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：∵圆的方程为(x−1)2+(y+3)2=4，故圆心为(1,−3)，半径等于2，如图：故过点(−1,−1)作圆的切线，则切线方程为x=−1或y=−1，故选B．根据圆的方程，求出圆心和半径，结合图形写出切线方程．本题考查直线和圆的位置关系，求圆的切线方程，体现了数形结合的数学思想，求出圆心和半径是解题的关键．6.答案：B解析：解：∵曲线x2m +y21−m=1表示焦点在y轴上的双曲线，∴将曲线化成标准方程，得y21−m −x2−m=1，由此可得1−m>0且−m>0，解得m<0．故选：B将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准方程，得y21−m −x2−m=1，由此建立关于m的不等式组，解之可得m<0．本题已知曲线表示焦点在y轴上的双曲线，求参数m的范围．着重考查了圆锥曲线与方程、双曲线的标准方程等知识，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查了空间位置关系的判定、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．A.利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理即可判断出；B.由α⊥β，l⊂α，推不出l⊥β；C.由l⊥n，m⊥n，可得l//m、相交或为异面直线都有可能；D.由α⊥β，l⊂α，n⊂β，可得l//n、相交或为异面直线都有可能．【解答】解：A.由l⊥α，l//β，利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理可得α⊥β；B.由α⊥β，l⊂α，不一定l⊥β，不正确；C.由l⊥n，m⊥n，则l//m、相交或为异面直线，不正确；D.由α⊥β，l⊂α，n⊂β，则l//n、相交或为异面直线，不正确．故选：A．8.答案：A解析：解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是计算y={1.2x x≤71.9x−4.9x>7的值．∵当输入5<7，满足条件x≤7，∴y=1.2×5=6．故选：A．当输入5<7，满足条件x≤7，执行y=1.2x运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查了函数性质与对数运算，属于基础题．【解答】解：，，故选A．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查等比数列的概念，属于基础题．【解答】解：∵3,a,12成等比数列，∴a2=36，即a=6或a=−6．故答案为B．11.答案：A解析：解：“C=π2”⇔“A+B=π2”⇔“A=π2−B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=π2，或A=π2+B，“C=π2”不一定成立，∴A+B=π2是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论．本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．【解答】解：根据函数可做出如下图像：当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1−1，令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：20π3解析：解：几何体上部是圆锥，下部是圆柱，所以几何体的体积为：π⋅12×4+1 3×22π×2=20π3．故答案为：20π3．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14.答案：13解析：解：所有的基本事件构成的区间长度为3−(−3)=6，∵直线在y轴上的截距b大于1，∴直线横截距小于−1，∴“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为−1−(−3)=2，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P=26=13故答案为：13求出所有的基本事件构成的区间长度；再求出“直线在y轴上的截距大于1”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N(A)N求解15.答案：2解析：【分析】由x∈[0,π2]⇒2x+π3∈[π3,4π3]，利用余弦函数的单调性，结合题意即可求得实数a的值．本题考查复合三角函数的单调性，考查转化与运算能力，属于中档题．【解答】解：∵x∈[0,π2]，∴2x+π3∈[π3,4π3]，∴−1≤cos(2x+π3)≤12，当a>0时，−a≤acos(2x+π3)≤12a，∵y max=4，∴12a+3=4，∴a=2；当a<0时，12a≤acos(2x+π3)≤−a同理可得3−a=4，∴a=−1．综上所述：正实数a的值为2．故答案为2．16.答案：(4,2)解析：解：实数x，y满足{x≥y,x≤2y,x+y−6≤0,的如图所示区域，把y=−2x+z，平移，当直线经过点(4,2)时，z取最大值，最大值为z=10．故答案为：(4,2)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义得到最优解，即可．本题考查简单的线性规划的简单应用，是基本知识的考查．17.答案：解：(1)如题图所示，用水量在[0.5,3)立方米内的频率的和为(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)×0.5=0.85．∴用水量小于或等于3立方米的频率为0.85，又w 为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 应至少定为3．(2)当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.15×3×4+[0.05×(3.5−3)+0.05×(4−3)+0.05×(4.5−3)]×10=7.2+1.8+1.5=10.5(元)．∴当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为10.5元．解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题．(1)根据图形求出用水量在[0.5,3)立方米内的频率的和即可得结果；(2)当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.15×3×4+[0.05×(3.5−3)+0.05×(4−3)+0.05×(4.5−3)]×10，计算即可得．18.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得{a 1+d =4a 1+3d +a 1+6d =15， 解得{a 1=3d =1…(3分) ∴a n =3+(n −1)×1，即a n =n +2.…(5分)(2)由(1)知b n =2n ，∴b 1+b 2+b 3+⋯+b 10=21+22+⋯+210=2(1−210)1−2=2046.…(10分)解析：(1)利用等差数列的通项公式即可得出．(2)利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：(Ⅰ)证明：设AC ∩BD =H ，连接EH ，在△ADC 中，因为AD =CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，从而EH//PA ，因为HE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA//平面BDE ；(Ⅱ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，由(Ⅰ)知BD ⊥AC ，PD ∩BD =D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，从而AC ⊥平面PBD ：(Ⅲ)解：在△BCD 中，DC =1，DB =2√2，∠BDC =45°得BC 2=12+(2√2)2−2×1×2√2cos45°=5，∴BC =√5．在Rt △PDC 中，PC =BC =√5，DC =1，从而PD =2，则S ABCD =2S △BCD，故四棱锥P −ABCD 的体积V P−ABCD =13S ABCD ×PD =43．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．(Ⅰ)设AC ∩BD =H ，连接EH ，说明H 为AC 的中点，证明EH//PA ，利用直线与平面平行的判定定理证明PA//平面BDE ；(Ⅱ)通过直线与平面垂直证明PD ⊥AC ，然后证明AC ⊥平面PBD ：(Ⅲ)求出S ABCD ，然后求四棱锥P −ABCD 的体积．20.答案：解：(Ⅰ)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√2,1)，且离心率为√22， ∴{ e =c a =√222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =√2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(Ⅱ)设P(x,y)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x =x 1+2x 2，y =y 1+2y 2， ∵M ，N 都在椭圆x 24+y 22=1上，∴x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4，∴x 2+2y 2=(x 12+4x 1x 2+4x 22)+2(y 12+4y 1y 2+4y 22)=(x 12+2y 12)+4(x 22+2y 22)+4(x 1x 2+2y 1y 2)=20+4(x 1x 2+2y 1y 2)，设k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=−12， ∴x 1x 2+2y 1y 2=0，∴x 2+2y 2=20，∴点P 是椭圆x 220+y 210=1上的点， ∴由椭圆的定义知存在点F 1，F 2，满足|PF 1|+|PF 2|=2√20=4√5为定值，又∵|F 1F 2|=2√20−10=2√10，∴F 1，F 2的坐标分别为F 1(−√10,0)，F 2(√10,0)．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查向量与圆锥曲线轨迹问题的综合，是较难题．(Ⅰ)由椭圆经过点(√2,1)，且离心率为√22，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程． (Ⅱ)由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x =x 1+2x 2，y =y 1+2y 2，由M ，N 都在椭圆x 24+y 22=1上，再结合k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=−12，得到点P 是椭圆x 220+y 210=1上的点，由此能求出F 1，F 2的坐标． 21.答案：解：(1)因为f′(x)=2x −8x ，所以切线的斜率k =f′(1)=−6，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=−6(x −1)，即y =−6x +7．(2)原方程等价于，令，则原方程即为ℎ(x)=m.因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y =ℎ(x)与的图象在y 轴右侧有唯一的交点， ℎ′(x)=4x −8x −14=2(x−4)(2x+1)x 且x >0，所以当x >4时，ℎ′(x)>0；当0<x <4时， ℎ′(x)<0．即ℎ(x)在(4,+∞)上递增，在(0,4)上递减．故ℎ(x)在x =4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是．解析：本题主要考查切线方程、方程的解，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．(1)因为f′(x)=2x −8x ，所以切线的斜率k =f′(1)=−6，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=−6(x −1)，即y =−6x +7．(2)原方程等价于，令，则原方程即为ℎ(x)=m. 根据当x >0时原方程有唯一解，求实数m 的值22.答案：解：(1)圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)，圆C 的普通方程为(x −1)2+y 2=4，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22， 直线l 的方程可化为ρsinθ−ρcosθ=√2−1，即：直线l 的直角坐标方程为x −y +√2−1=0；(2)圆心C 到l 的距离为d =√2−1|√2=1，所以|AB|=2√4−1=2√3，又因为圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为：r +d =2+1=3，所以(S △MAB )max =12×|AB|×3=12×2√3×3=3√3，即△MAB 面积的最大值为3√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．(1)直接利用转换关系，把参数方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转换；(2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．23.答案：解：令f(x)=|x−1|−|x+m|，由|x−1|−|x+m|≤|(x−1)−(x+m)|=|m+1|，可得f(x)的最大值为|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|．又实数a的最大值为5，则|m+1|=5，解得m=4或−6．解析：本题主要考查绝对值不等式的性质及解法，令f(x)=|x−1|−|x+m|，求出其最大值|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|，进而求出m．。
2019届湖北省宜昌市示范高中协作体高三上学期期中联考化学试题(解析版)
绝密★启用前湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三年级上学期期中联合考试化学试题（解析版）（全卷满分：100分考试用时：90分钟）可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Mg－24 Al－27 K－39 Cr－52 Cu－64 I－127第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共16小题,每小题3分。
在每小题给出的四个选项中,只有—项是符合题目要求的。
1.化学与生活息息相关,下列说法不正确的是( )A. 二氧化硫是主要的大气污染物,能形成酸雨,其pH小于5.6B. 中国瓷器驰名世界,它是以黏土为原料,经高温烧结而成C. 凡是含有食品添加剂的食物对人体健康均有害D. 河南安阳出土的司母戊鼎充分体现了我国光辉的古代科技,它属于铜合金【答案】C【解析】【分析】A. 酸雨pH小于5.6；B.瓷器是以黏土为原料的硅酸盐产品；C.并非所有含有食品添加剂的食物对人体健康均有害；D.司母戊鼎属于铜合金；【详解】A.通常情况下正常雨水因溶解二氧化碳而导致雨水pH约为5.6,当pH小于5.6时,为酸雨,二氧化硫可形成硫酸型酸雨,故A项正确；B．瓷器属于硅酸盐产品,它是以黏土为原料,经高温烧结而成,故B项正确；C. 我国把营养强化剂也归为食品添加剂的范畴,包括对人体有益的某些氨基酸类,盐类,矿物质类,膳食纤维等,并非所有含有食品添加剂的食物对人体健康均有害,故C项错误；D.司母戊鼎属于铜合金,故D项正确。
综上,本题选C。
2.屠呦呦因发现青蒿素获得诺贝尔生理学或医学奖,是中医药成果获得的最高奖项。
古代文献《肘后备急方》中内容：“青蒿一握,以水二升渍,绞取汁,尽服之。
”对她的研究有很大帮助。
该叙述中涉及的主要分离提纯操作是( )A. 蒸馏B. 萃取C. 渗析D. 结晶【答案】B【解析】【分析】青蒿一握,以水二升渍,绞取汁,尽服之涉及的主要分离提纯操作是萃取。
【详解】一把青蒿用水浸泡,使有效成分溶解,然后再用力拧绞,使青蒿中可溶性组分尽量释放到溶液中。
2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三(上)期中数学试卷(理科)(PDF版 含答案)
)
5
A． 1 3
B． log3 5
C． log5 3
D． 1 5
【解答】解：把函数 y 3x 的图象向右平移 t 个单位长度，
得
y
3xt
3x 3t
，此时由
3x 3t
3x 5
得 3t
5 ，得 t
log3 5 ，
故选： B ．
10．函数 y ln cos x( x ) 的图象是 (
15．已 知 ABC 内角 A ， B ， C 的对 边分别为 a ， b ， c ， c 2 ， 3a 2c sin A ，则
abc
．
sin A sin B sin C
16．关于以下结论：
① n N * ， n22n ；
②函数 f (x) sin4 x cos4 x 的最小正周期为 ；
)
2
2
A．
B．
C．
D．
【解答】解：cos(x) cos x ，
y ln cos x( x ) 是偶函数，
2
2
可排除 B 、 D ，
由 cos x1 ln cos x0 排除 C ，
故选： A ． 11．关于函数 f (x) | cos x | cos | 2x | 有下列四个结论： ① f (x) 是偶函数；② f (x) 的最小正周期为 2 ；③ f (x) 在 [3 , 5 ] 上单调递增；④ f (x) 的
D． p q
6．若幂函数 f (x) x 过点 (2, 1 ) ，则下列说法正确的是 (
)
4
A． f （7） f (5) B． f (5) f ( )
湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上学期期中考试物理试题
宜昌市部分示范高中教学协作体2019届高三期中联考高三物理★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。
其中1～8小题只有一个选项正确，9～12小题有多个选项正确，选不全的得2分，错选或不选得0分。
将选项填涂在答题卡中) 1、在物理学的发展历程中，下面哪位科学家首先建立了平均速度、瞬时速度和加速度等概念用来描述物体的运动，并首先采用了实验检验猜想和假设的科学方法，把实验和逻辑推理和谐地结合起来，从而有力地推进了人类科学的发展。
（）A．伽利略 B．爱因斯坦 C．牛顿 D．亚里士多德2．明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之，曰：无烦也，我能正之。
”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力F N，则( )A．若F一定，θ大时F N大B．若F一定，θ小时F N大C．若θ一定，F大时F N小D．若θ一定，F小时F N大3、A、B两个物体在水平面上沿同一直线从同一位置同时运动，它们的v－t图象如图所示。
B物体仅在摩擦力作用下做匀减速运动，加速度大小为2 m/s2，A做匀速直线运动。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(理)---精校解析Word版
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过运算分别得到集合A和B，再根据交集并集的运算得到结果即可.【详解】由于,又=集合.故选B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.下列命题正确的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；B. 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；C. “”是“”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.【答案】A【解析】【分析】A.逆否命题与原命题同真同假,故判断原命题即可；B命题“”为假命题，则两个命题至少有一个是假命题即可；C举出反例即可；D，根据特称命题的否定是全称命题可得到选项不正确.【详解】A.逆否命题与原命题同真同假，由可得故命题为真; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)真假，(i i)假真，(iii) 假假； C.；则“a<b”，反之当m=0，，故“”是“”成立的充分不必要条件;D否定是：“对任意，均有”.故选A.【点睛】本题考查了命题的真假的判断，其中涉及特称命题和全称命题的判断，要判定特称命题“”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．判断特称命题的真假时，一定要结合生活和数学中的丰富实例，通过相关的数学知识进行判断．3.记为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. 10 D.【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到，进而得到d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列的公差为,解得,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到等价于，再由函数的单调性得到，进而得到结果.【详解】因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减,.故选C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.5.如图，在平行四边形中，相交于点，为线段的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的图像特点得到＝λ＋2μ，又因为＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.【详解】∵＝2，＝λ＋μ，∴＝λ＋2μ.∵E为线段AO的中点，∴＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等∴λ＝，2μ＝，解得μ＝，∴λ-μ＝.故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量的主要应用体现在以下几方面：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.6.已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题干得到变形为，故是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到，进而得到.【详解】由得所以,故是等比数列,公比为,,.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.7.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于轴对称C. 可由函数的图象向右平移个单位得到D. 可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】根据函数是奇函数得到，进而得到函数的解析式，根据左加右减的原则得到CD是错误的，由，得到B错误，A正确.【详解】∵函数是奇函数，其中，∴，∴f（x）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g（x）=cos（2x﹣）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，C,D错;由,得时,B错.因为，故A正确.故选A．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x 本身进行加减和伸缩.8.已知函数，则函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的概念得到BC错误，再由特殊值得到答案.【详解】故函数非奇非偶，排除B,C..故选A．【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.9.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题干得双曲线的焦点在y轴上，再由离心率得到进而求得a,b,c得到方程，再得到渐近线.【详解】由已知得抛物线的焦点为,所以双曲线的焦点在y轴上，故,,故a=,b=1,所以双曲线的方程是.渐近线方程是.选D.【点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程和几何意义的应用，以及抛物线的几何意义，将两个圆锥曲线结合到一起，要善于发现两者的共同点，建立等量关系.10.已知函数，，若存在两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将存在两个零点,等价于有两个不同的实根，函数的图象与直线有两个交点即可.【详解】由已知存在两个零点,等价于有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作图可得直线y=-x+2a,斜率固定，只需要上下平移即可，在y轴上的截距小于等于2即可，.选D.【点睛】这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.11.中有：①若，则；②若，则—定为等腰三角形；③若，则—定为直角三角形；④若，且该三角形有两解，则的范围是.以上结论中正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据或可得到结论不正确；③可由余弦定理推得，三角形为直角三角形; ④根据正弦定理得到：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：，进而得到b的范围.【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理知①正确；②，则或是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得，化简得，所以③正确；④在△ABC中，∵B=60°，c=2，若满足条件的三角形恰有两个，由正弦定理得：变形得：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：，解得：＜b＜2，则b的取值范围是（，2）．故④错误.故答案为：B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（）A. 平面平面B. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. 与平面所成角的正弦值是【答案】C【解析】【分析】先由图形的位置关系得到是二面角的平面角，，故A不正确；B 由于故得到B错误；易知为二面角的平面角,，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，sin∠BCO=.【详解】沿折后如图,,易知是二面角的平面角,,由余弦定理得,可得,过作于,连接,则,由面积相等得,可得.根据,易知是二面角的平面角, 故A 平面与平面不垂直,错;B由于,错;C易知为二面角的平面角,,对;D故如图，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，AF=，BD=4，DC=8，AD=4，过O作BO垂直BO⊥CO于O，则∠BCO就是BC与平面ACD 所成角，BO=2，OD=2，BC=，sin∠BCO=．选【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)
湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x ∈Z|0≤x ≤2}，则A ∩B 等于( )A. {0}B. {2}C. {0,1，2}D. ⌀2. 若复数z =1+i3−4i ，则|z −|=( )A. 25B. √25C. √105D. 2253. 设f(x)为奇函数，且在(−∞,0)上递减，f(−2)=0，则xf(x)<0的解集为( )A. (−∞,−2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,2)4. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=4，S 9=72，则a 10=( )A. 20B. 23C. 24D. 285. 已知ab >0，则ba +ab 的最小值为( )A. 1B. √2C. 2D. 2√26. 设a =ln3,b =log 312,c =0.21.1，则( )A. b <c <aB. b <a <cC. a <b <cD. c <b <a7. 平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μDB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= A. 43B. 53C. 2D. 38. 函数f(x)=sin2(x −π3)在[0,π]上的图象大致是( )A.B.C.D.9. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.10. 设定义在(0,+∞)上的函数f(x)={−12x −2x,0<x ≤1x 2−2x −32,x >1，g(x)=f(x)+a ，则当实数a 满足2<a <52时，函数y =g(x)的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 若(a +b +c)(b +c −a)=3bc 且sinA =2sinBcosC ，则△ABC 是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形12. 若函数f(x)=x 2+2x +a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A. a <1B. a >1C. a ≤1D. a ≥1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1log 2x,x >1，则 f(4)= ______ ．14. 若平面向量b ⃗ 与向量a ⃗ =(1,−2)的夹角为180°，且|b ⃗ |=3√5，则b ⃗ =________． 15. 已知α∈(π,2π)，cosα=35，则tan(α+π4)等于______ ．16. 把数对(x,y)(x,y ∈N +)按一定规律排列成如图所示的三角形数表，令a ij 表示数表中第i 行第j个数对．(1)a64表示的数对为______ ．(2)已知a ij对应的数对为(2m,n)(m,n为正整数)，则i+j=______ (结果用含m，n的式子表示)．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，已知∠A=30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a=4，b=4√3，求边c的长．18.已知函数，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．19.已知数列{b n}与等差数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=log2b n(n∈N∗)，且a1=2，b3=64b2．(Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(Ⅱ)设c n =a n ·√b n n ，n ∈N ∗，求数列{c n }的前n 项和T n ．20. 某企业在科研部门的支持下，启动减缓气候变化的技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物(PM2.5)转化为一种可利用的化工产品．已知该企业处理成本P(x)(亿元)与处理量x(万吨)之间的函数关系可近似地表示为P(x)={x +4x−3320,x >10x 216+x4,0≤x≤10另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元．(1)当0≤x ≤10时，若计划在A 国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量x 的取值范围是多少？(2)该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？ 附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本=投入总成本处理量．21. 眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操不做操做操是否近视近视4432不近视618(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22. 如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的折线图．注：年份代码1∼7分别表示对应年份2012∼2018．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r(|r |>0.75线性相关较强)加以说明；(2)建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量．(参考数据)∑y i =9.327i=1，∑(t i −t)(y i −y )7i=1≈2.89，√∑(y i −y )27i=1≈0.55，√∑(t i −t)27i=1≈2×2.646，∑(t i −t)27i=1≈28， 2.892×2.646×0.55≈0.99，2.8928≈0.103． (参考公式)相关系数r =i −t)i −y )n i=1√∑(t i −t)∑(y i −y )n i=1n i=1y ̂=b ̂t +a ̂中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=i −t)i −y )ni=1∑(t −t)2ni=1，a ̂=y −b ̂t ．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：集合A 和集合B 的公共元素构成集合A ∩B ，由此利用集合A ={−1,2}，B ={x ∈Z|0≤x ≤2}={0,1，2}，能求出A ∩B ．本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 解：∵集合A ={−1,2}，B ={x ∈Z|0≤x ≤2}={0,1，2}， ∴A ∩B ={2}． 故选B ．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：C解析：解：∵f(x)为奇函数，且在(−∞,0)内是减函数，f(−2)=0， ∴f(−2)=−f(2)=0，在(0,+∞)内是减函数 ∴x f(x)<0，则{x >0f(x)<0=f(2)或{x <0f(x)>0=f(−2) 根据在(−∞,0)内是减函数，在(0,+∞)内是减函数 解得：x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 故选：C ．根据函数的奇偶性求出f(2)=0，x f(x)<0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解．本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．4.答案：D解析：本题主要考查，数列的等差数列中的等差数列的通项公式，等差数列的概念，属于基础题．解：设公差为d，由题可知{a4=a1+3d=4S9=9a1+9×82d=72，解得{a1=−8d=4，∴a10=a1+9d=28故选D．5.答案：C解析：解：∵ab>0，∴ba +ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时取等号．∴ba +ab的最小值是2．故选：C．利用基本不等式的性质即可得出．本题查克拉基本不等式的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵a=ln3>1，b=log312<log31=0，0<c=0.21.1<0.20=1．∴b<c<a．故选：A．利用有理指数幂与对数的运算性质比较a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．7.答案：A解析：。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三数学上学期期中试题理2018112002219
湖北省重点高中联考协作体 2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．设集合， Bx x，则集合（ ） A x xxlog2C AB22 02RA ．x 0 x 4B ．x 0 x 2C ．x x 2D ．x x 42．下列命题正确的是（ ） A.命题“若 x y ，则sin xsin y ”的逆否命题为真命题；B.命题“p q ”为假命题，则命题 p 与命题 q 都是假命题；C.“am 2bm 2 ”是“a b ”成立的必要不充分条件；D.命题“存在 ，使得 ”的否定是：“对任意，均有 ”.xR 2x 0 x 01 0 x R x2 x10 03．记 为等差数列的前 项和，若 ，则 （ ）Sa n3SSS ,a 2 annn2416A ． 12B ． 10C ．10D ． 134．函数 f x在,上单调递减，且为奇函数.若 f 11，则满足 1 f x11的 x的取值范围是（ ） A ．2,2B ．1,1C ．0,2D ．1, 35．如图，在平行四边形 ABCD 中， AC ,BD 相交于点O ， E 为线段 AO 的中点，若BEBABD, R，则（ ）3 1 1 A ． B ．C ．D ．3 44 44a16．已知数列a 满足:.若，则数列 的通项公a 1 1,a1nn N *bblog1nnnn2a2ann- 1 -式是（）1A．B．C．D．n n1n2n27．已知函数sin23是奇函数，其中，则函数cos2的f x x0,g x x22图象（）A.关于点,0对称35x6B. 关于轴对称C.可由函数f x的图象向右平移个单位得到6D.可由函数f x的图象向左平移个单位得到32ln x8．已知函数，则函数y f x的大致图象为（）f x xxA．B．C．D．x y23229．设双曲线1的离心率为，且一个焦点与抛物线x28y的焦点相同，则此双曲m n3线的渐近线方程是（）3A．B．C．D．y x y2x y x y3x3x2e,x010. 已知函数，g x f x x2a，若g x存在两个零点，则a的取值范f xln x,x围是（）A．,1B．1,C．1,D．,1（11．ABC中有：①若A B，则sinA sinB；②若sin2A sin2B，则ABC—定为等腰三角形；③若acosB b cos A c，则ABC—定为直角三角形；④若B,AB2，且该三角3- 2 -形有两解，则 AC 的范围是3,.以上结论中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 412．将直角三角形 ABC 沿斜边上的高 AD 折成120 的二面角，已知直角边 AB 4 3, AC 4 6 ，那么下面说法正确的是（ ） A.平面 ABC平面 ACDB.四面体 D ABC 的体积是8 642C.二面角 A BC D 的正切值是D.BC 与平面 ACD 所成角的正弦值是3217第Ⅱ卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量 a1, 2,b2,2,c1,，若 c / /a b，则．14．已知sincos 1，cossin3 ，则sin．x15．定义在 R 上的函数 f x 满足 f x6 f x ，当x 3, 3时，，则f x1x2f log 122．16．已知 F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F PF，椭圆、 1, 2123双曲线的离心率分别为 e 1,e 2 ，则 12 2 22 的最小值是．e e三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，且b 2c 2 a 2 ac .（1）求 B ； 7 2 （2）若，求的面积. a 2,cos AABC1018．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD / /BC , AD CD ，且AD CD 2 ， BC 2 2,PA 2 .- 3 -（1）求证： AB PC ；（2）在线段 PD 上，是否存在一点 M ，使得二面角 M ACD 的大小为 45，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理 由.19.已知函数4 tansincos3 . f xxxx23（1）求 f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论 fx在区间 , 上的单调性.3 320.已知数列中，，其前 项和 S 满足.a12, 2 3 aanS 1S12S 1 n 2,nN*nnnnn（1）求证：数列a为等差数列，并求的通项公式；ann（2）设3n ，求数列 b 的前 n 项和T . bannnn21.党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农 民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有 100户农 民，且都从事 蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为 6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分 农民从事蔬菜加工.据统计，若动员 xx0户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3x % ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为3x万元.6a a050（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使剩下100x户从事蔬菜种植的所有农民总年收入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的取值范围；x x0,x N*（2）在（1）的条件下，要使这x户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于100x户从事- 4 -100100100蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a的最大值.（参考数据：57.7, 1.75, 1.72)35758及57 5822.已知动圆C过定点F，并且内切于定圆F x y..21,01:11222（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）若y24x上存在两个点M,N，（1）中曲线上有两个点P,Q，并且M,N,F三点共线，2P,Q,F PQ MN PMQN三点共线，，求四边形的面积的最小值.2试卷答案一、选择题1-5: BADCB 6-10:CAADD 11、12：BC1.B【解析】由于A(,1)(2,),C A1,2,又B=x x x4集合R(C A)B(0,2.选B.R2.A【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y可得sin x sin y;B.命题“”为假命题有三种情况，(i) p真q假，(i i) p假q真，(iii) p假q假；C.“”是“”成立的充分不必要条件;D否定是：“对任意，均有x2x10”.故选A.323.D【解析】设等差数列的公差为,a d3(3a d)2a3S S S,n324112433a12,d3,a6a15d13d4a d,d a解得,.故选D.11224.C 【解析】因为f x为奇函数，所以f1f11，于是1≤f x1≤1等价于f1≤f x1≤f1f x，1≤x1≤10≤x≤2 ,又在单调递减, . 故选C.→→→→→→→→→5.B【解析】∵BD＝2BO，BE＝λBA＋μBD，∴BE＝λBA＋2μBO.∵E为线段AO的中点，∴BE＝1 → → 1 1 1 1 (BA ＋BO )，∴λ＝ ，2μ＝ ，解得 μ＝ ，∴λ-μ＝ .选 B.2 2 2 4 4a 1 21 111an1,1 2(1)6.C 【解析】由得所以,故是等比数n1a2aaaaa nn 1nn 1nn11 1 列,公比为2 ,12n 1(1) 2n ,blog (1)log 2nn .故选 C.n 122aaan1n- 5 -7.A 【解析】∵函数 f (x ) sin(2x 3 )是奇函数，其中(0, )，∴， 22 6∴f （x ）=sin2x=cos （2x ﹣ ）=cos2（x ﹣），则函数 g （x ）=cos （2x ﹣）=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数 f （x ）的图象向左平移 个单位得到的，C,D 错;由k 2xk, k1x,得时6 1225xg ( ) 0,B 错.，故选 A ．123 8.A 【解析】f (x ) f (x ), f (x )f (x ), 排除 B,C. f (e ) e 2 1 0,e1 1 1 1f ( ) e 0, f ( )ee ee e.故选 A ．229.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为 (0, 2) ,所以 n0,m 0, 2,2 ,所以双曲线的 cc a3y2方程是 .渐近线方程是 .选 D.x 21y3x310.D 【解析】由已知 f (x )x 2a 有两个不同的实根，即函数 f (x ) 的图象与直线yx 2a2a 2,a 1有两个交点，作图可得.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；② A B 或 AB, ABC 是直角三2角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得 ac bbca222222a b c2ac 2bc，化简得 ，所以③正确；④由画圆弧法得a 2b 2c 2 a 2 b 2c 23AC2.所以④错误. 故选 B.12. C 【解析】沿 AD 折后如图, AD BC ,易知 CDB 是二面角C AD B 的平面角,CDB 120CD 12, BD 4, AD 4 2,BC2CD 2 BD 2 2CD,由余弦定理得BD cos120BC 4 7D DF BC FAF AF BC,可得 ,过 作于 ,连接 ,则,由面积相等114 21得,可得.①平面与平面不垂直,CD BD sin120 DF BC DF ABC ACD A227 11 1 32 6VVSADAB( 8 4 sin120 )4 2错;②由于, 错;③易知D ABC A BCDBCD3 3 2 3- 6 -A BC D tan4242AFD AFDC BC为二面角的平面角, , 对;④与ADDF42137平面ACD所成的角是BCD,sin sin6021, 错．故选BCDD C.BDBC14二、填空题13.0【解析】a b (3,0),由c A(a b)得，0．14.1【解析】sin cos1,cos sin1,sin2cos22sin cos1, cossin2cos sin322(sin coscos sin )4 22,相加得,sin()1.16162815. (或)【解析】log log322333161628log (log3).2233312f(log12)f(log)22623f(log)21676x y x y11222216. 【解析】设椭圆方程是,双曲线方程是,由定义可得42a b a b222 21122PF1PF22a1,P F1PF22a2,PF1a1a2,PF2a1a2F PF,在中由余弦12定理可得(2c)2(a a)2(a a)22(a a)(a a)cos,即4c2a23a2,12121212123c c1a a a a1a a71a a712233323222222222A 2(12212)(1216)(21)26a a4a a4a a44a a442222222 2 12121212 7642.三、解答题17.解：（1）由已知得cos Bc2a2b2ac 12ac2ac 2π由B0,π，得.B=37222（2）由cos，得，sin A 1cos A ，AA0,π1010在△ABC中，sin C sin(B A)sin B cos A cos B sin A- 7 -3 7 2 1 2 2 7 62102 1020，ab asin 2 103 5 3 由正弦定理得，，bBsin A sin Bsin A221 Sab sin C 所以△ABC2127 63 21 25 32204. 18. 【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形 ABCD 是直角梯形，由已知 AD CD 2, B C 2 2 ，可得 ABC 是等腰直角三角形，即 AB AC ， 又 PA 平面 ABCD ，则 PA AB ， 又 AP ACA ,所以 AB平面 PAC ，所以 ABPC ;（2）建立如图所示空间直角坐标系，则zPMAD0, 0, 0, 2,2,0,0, 2,0, ACDy0,0,2,2,2,0,0,2,2. P BPDB Cx 设PMtPD0t 1，则M 的坐标为0,2t,22t设nx,y,z是平面AMC的一个法向量，则A n AC02x2y0n，得，则可取n A AM 02ty 22t z 02t1,1,2(1t)- 8 -又m0,0,1是平面ACD的一个法向量，2t2(t1)m A n2cos m,ncos45t所以，m n t23222(t 1)PMPD23.19. 解：（1）f(x)的定义域为x xk,k Z.21 3f(x)4tan x sin(x)A cos(x )34s in x(cos xsin x) 3 23222s in x cos x 23sin x 3sin2x 3(1cos2x)32sin2x 3cos2x 2sin(2x )32所以f(x)的最小正周期是T.2(2)令z 2x,易知y 2s in z的单调递增区间是2k,2k,k Z,由3225, 2k2x2k,k xk k Z得23212125B x kx k ,kZ设 A,, ,12123 3易知 AB , .3 12所以,当,时, f (x ) 在区间,上单调递增, 在区间, 上单调递减.x3 33 12 12 320.解：（1）由已知，SSSS（ n 2 ， ），n N* nnnn111 2 11即 （， ），且．a 1a1 n2 *a anN nn∴数列是以为首项，公差为 1的等差数列．∴aaan 1nn12 （2）由（Ⅰ）知b n(n 1)2n 它的前 n 项和为Tn- 9 -T2 3 3 3 4 3n 3(n 1) 3(1)123n 1n n3T2 3 3 34 3n 3 (n 1) 3(2)nn2341n(1) (2) : 2T n 2333 3 3n(n 1)3n123413(13 )33 n3(1)3 (3)3nn 1nn13223 3 3T n( n )3n2 443x21. 解：（1）由题意得6(100 x )(1 ) 6100,1002200 3x 200x 0,0 x，3又 xN * ，所以 0 x 66(x N * )；3x（2） x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为 6(a )x 万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年506(a 3 )x 6(100)(1 3 ) 3xxx 收入万元，依题意得恒成立，6(100 x )(1)x10050100ax3 xx 100 3x 2100 3x 1001002ay(0,)，恒成立，在上递减，在2100x100x 100 3100100 357,100 x 57, y21.751.71 2 5.46递增，，357100100358x58,y2 1.72 1.742 5.46a 5.46，.5810022. 【解析】(1)设动圆的半径为r，则CF2r，所以CF r123,C F1CF223F1F2,CF F1,2由椭圆的定义知动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，x y221a3,c1b2C3 2 所以，动圆圆心的轨迹方程是；(2)当直线MN斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,易得MN4,PQ23,四边形PMQN S4 3.的面积当直线MN斜率存在时,设其方程为y k(x1)(k0),联立方程得- 10 -y k (x 1)y 4x 2,消元得 k 2 x 2 (2k 2 4)x k 24x x设 M (x 1, y 1), N (x 2 , y 2 ), 则122kx x 11 224 4 MN 1k (2)44.22kk22PQPQ MN , 直线的方程为1y (x1),k1y (x 1)k xy221 32,得(2k 2 3)x 2 6x 36k 2 06x x3 422k3设 P (x 3, y 3 ),Q (x 4 , y 4 ), 则3 6k2x x 1 222k 3PQ1636k43(k1)221()42k2k32k32k3222211443(k 1)(k 1)222四边形PMQN的面积SMN PQ(4)()83, 22k2k 3k(2k 3)2222令k21t,t 1,上式St8383832(t1)(2t1)2()2111112t t t242t11111,01()2,由二次函数图像可知的范围是2(0,2)t t2483S24 3.综上可得S 43，最小值为43.- 11 -。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(精编含解析)
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过运算分别得到集合A和B，再根据交集并集的运算得到结果即可.【详解】由于,又=集合.故选B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.下列命题正确的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；B. 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；C. “”是“”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.【答案】A【解析】【分析】A.逆否命题与原命题同真同假,故判断原命题即可；B命题“”为假命题，则两个命题至少有一个是假命题即可；C举出反例即可；D，根据特称命题的否定是全称命题可得到选项不正确.【详解】A.逆否命题与原命题同真同假，由可得故命题为真; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)真假，(i i)假真，(iii) 假假；C.；则“a<b”，反之当m=0，，故“”是“”成立的充分不必要条件;D否定是：“对任意，均有”.故选A.【点睛】本题考查了命题的真假的判断，其中涉及特称命题和全称命题的判断，要判定特称命题“”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．判断特称命题的真假时，一定要结合生活和数学中的丰富实例，通过相关的数学知识进行判断．3.记为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. 10 D.【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到，进而得到d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列的公差为,解得,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到等价于，再由函数的单调性得到，进而得到结果.【详解】因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减,.故选C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.5.如图，在平行四边形中，相交于点，为线段的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的图像特点得到＝λ＋2μ，又因为＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.【详解】∵＝2，＝λ＋μ，∴＝λ＋2μ.∵E为线段AO的中点，∴＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等∴λ＝，2μ＝，解得μ＝，∴λ-μ＝.故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量的主要应用体现在以下几方面：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.6.已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题干得到变形为，故是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到，进而得到.【详解】由得所以,故是等比数列,公比为,,.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.7.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于轴对称C. 可由函数的图象向右平移个单位得到D. 可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】根据函数是奇函数得到，进而得到函数的解析式，根据左加右减的原则得到CD是错误的，由，得到B错误，A正确.【详解】∵函数是奇函数，其中，∴，∴f（x）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g（x）=cos（2x﹣）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，C,D错;由,得时,B错.因为，故A正确.故选A．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.8.已知函数，则函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的概念得到BC错误，再由特殊值得到答案.【详解】故函数非奇非偶，排除B,C..故选A．【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.9.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题干得双曲线的焦点在y轴上，再由离心率得到进而求得a,b,c得到方程，再得到渐近线. 【详解】由已知得抛物线的焦点为,所以双曲线的焦点在y轴上，故,,故a=,b=1,所以双曲线的方程是.渐近线方程是.选D.【点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程和几何意义的应用，以及抛物线的几何意义，将两个圆锥曲线结合到一起，要善于发现两者的共同点，建立等量关系.10.已知函数，，若存在两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将存在两个零点,等价于有两个不同的实根，函数的图象与直线有两个交点即可.【详解】由已知存在两个零点,等价于有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作图可得直线y=-x+2a,斜率固定，只需要上下平移即可，在y轴上的截距小于等于2即可，.选D.【点睛】这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.11.中有：①若，则；②若，则—定为等腰三角形；③若，则—定为直角三角形；④若，且该三角形有两解，则的范围是.以上结论中正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据或可得到结论不正确；③可由余弦定理推得，三角形为直角三角形;④根据正弦定理得到：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC 有两个，所以：，进而得到b的范围.【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理知①正确；②，则或是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得，化简得，所以③正确；④在△ABC中，∵B=60°，c=2，若满足条件的三角形恰有两个，由正弦定理得：变形得：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：，解得：＜b＜2，则b的取值范围是（，2）．故④错误.故答案为：B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（）A. 平面平面B. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. 与平面所成角的正弦值是【答案】C【解析】【分析】先由图形的位置关系得到是二面角的平面角，，故A不正确；B由于故得到B错误；易知为二面角的平面角,，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，sin∠BCO=.【详解】沿折后如图,,易知是二面角的平面角,,由余弦定理得,可得,过作于,连接,则,由面积相等得,可得.根据,易知是二面角的平面角, 故A 平面与平面不垂直,错;B由于,错;C易知为二面角的平面角,,对;D故如图，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，AF=，BD=4，DC=8，AD=4，过O作BO垂直BO⊥CO于O，则∠BCO就是BC与平面ACD所成角，BO=2，OD=2，BC=，sin∠BCO=．选【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三数学上学期期中试题理(含答案)
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B ⋂=（ ） A ．{}04x x <≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}2x x ≥ D ．{}4x x ≤ 2．下列命题正确的是（ ）A.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；B.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C.“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D.命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”. 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2413,2n S S S a =+=，则6a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．13-4．函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且为奇函数.若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]1,1-C ．[]0,2D ．[]1,35．如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(),BE BA BD R λμλμ=+∈，则λμ-=（ ）A ．34 B ．14 C ．14- D ．34- 6．已知数列{}n a 满足:()*111,2n n n a a a n N a +==∈+.若21log 1n n b a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n b 的通项公式是（ ）A ．12n B ．1n - C ．n D ．2n7．已知函数()sin 232f x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A.关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 关于轴56x π=-对称C.可由函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到 D.可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8．已知函数()2ln x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设双曲线221x y m n+=且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．y x =±D ．y = 10. 已知函数()2,0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()2g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],1-∞（11．ABC ∆中有：①若A B >，则sinA sinB >；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形；④若,23B AB π∠==，且该三角形有两解，则AC 的范围是)+∞.以上结论中正确的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边AB AC == ）A.平面ABC ⊥平面ACDB.四面体D ABC -的体积是C.二面角A BC D --D.BC 与平面ACD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()()()1,2,2,2,1,a b c λ==-=，若()//c a b +，则λ= ．14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则()sin αβ+= ．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当[)3,3x ∈-时，()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()2log 12f = ．16．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则22122e e +的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222b c a ac =+-. （1）求B ；（2）若a A =ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且AD CD ==2BC PA ==.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理 由.19.已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.20.已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足()*11212,n n n S S S n n N +-+=+≥∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员()0x x >户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为()36050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使剩下()100x -户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求()*0,x x x N >∈的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这x 户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于()100x -户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a 的最大值.10010057.7, 1.75, 1.725758===)及 57 5822.已知动圆C 过定点()21,0F ，并且内切于定圆()221:112F x y ++=.. （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，（1）中曲线上有两个点,P Q ，并且2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5: BADCB 6-10:CAADD 11、12：BC 1.B 【解析】由于[](,1)(2,),1,2R A C A =-∞-+∞∴=-,又B ={}4x x x <≤∴集合]()(0,2R C A B =.选B.2.A 【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y =可得sin sin x y =; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)p 真q 假，(i i)p 假q 真，(iii) p 假q 假； C.“”是“”成立的充分不必要条件;D 否定是：“对任意，均有210x x ++≤”.故选A.3.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 4.C 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()111f x --≤≤等价于()()()111f f x f --≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,111x ∴--≤≤ 0x ∴≤≤2. 故选C. 5.B 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.选B. 6.C 【解析】由12nn n a a a +=+得1121,n n a a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n nb n a +=+==.故选C. 7.A 【解析】∵函数()sin(23)2f x x πϕ=+-是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，∴6πϕ=，∴f （x ）=sin2x=cos （2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣ϕ）=cos （2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f （x）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时 512x π=-,B 错.()03g π=，故选A ．8.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排除B,C. 21()0,f e e e=->211()0,f e e e =+> 211()0f e e e-=-<.故选A ．9.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为(0,2),所以0,0n m ><,2,c c a ==,所以双曲线的方程是2213y x -=.渐近线方程是y =.选D. 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc +-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确；④由画圆弧法得2.AC <<所以④错误. 故选B.12. C 【解析】沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得DF =.①平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;②由于111(84sin120)423323D ABC A BCD BCDV V S AD --==⋅=⨯⨯=,B 错;③易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,tan 3AD AFD DF ∠===,C 对;④BC 与平面ACD 所成的角是BCD ∠,sin 6021sin BD BCD BC ⋅∠==,D 错．故选.C二、填空题13.0【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=．14.1【解析】22sin cos 1,cos sin 1,sin cos 2sin cos 1,αβαβαβαβ+=+=∴++=22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得22(sin cos cos sin )4αβαβ++=,sin()1αβ∴+=.15.21616log 33+(或228log 33-)【解析】22612(log 12)(log )2f f =23(log )16f == 21616log 33+228(log 3)3=-.16. 74+2222111x y a b +=,双曲线方程是2222221x y a b -=,由定义可得1212,PF PF a +=1221122122,,PF PF a PF a a PF a a -=∴=+=-,在12F PF ∆中由余弦定理可得22212121212(2)()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-,即2221243,c a a =+22222222221212212122222222121212123332321171712(2)(16)()26444444a a a a a a a a c c a a a a a a a a +++=+=+++=++≥+74=+三、解答题17.解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-===由()0,πB ∈，得π=3B . （2）由cos 10A =，()0,πA ∈得，sinA ==，在ABC △中，sinsin()sin cos cos sinC B A B A B A =+=+121021020=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin 2a b B A =⋅==所以1sin 2ABC S ab C =△12==.18. 【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，由已知AD CD BC===可得ABC∆是等腰直角三角形，即AB AC⊥，又PA⊥平面ABCD，则PA AB⊥，又AP AC A=,所以AB⊥平面PAC，所以AB PC⊥;（2）建立如图所示空间直角坐标系，则)2.则M的坐标为),22t-设(),,n x y z=是平面AMC的一个法向量，则n ACn AM⎧=⎨=⎩，得()220t z⎧=⎪+-=，则可取1,1,2(1)nt⎛⎫=-⎪⎪-⎝⎭又()0,0,1m=是平面ACD的一个法向量，所以2(cos,cos45m nm nm n===，23t=2.3PM PD ∴= 19. 解：（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 1()4tan sin()cos()4sin (cos )2322f x x xx x x x ππ=-+=-22sincos sin 2cos 2)x x x x x =-=-+sin 222sin(2)3x x x π==+所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ==(2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,易知,.312AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.20. 解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+（2）由（Ⅰ）知nn n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T12312341T 2333433(1)3(1)3T 2333433(1)3(2)n n n n n n n n n n -+=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+- 333T ()3244n n n ∴=+⋅- 21. 解：（1）由题意得36(100)(1)6100,100x x -+≥⨯ 220032000,03x x x -≤∴<≤， 又*x N ∈，所以066x <≤(*x N ∈)； （2）x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为36()50x a x -万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入36(100)(1)100x x -+万元，依题意得36()50x a x -≤36(100)(1)100x x -+恒成立， 231002100ax x x ≤++，10032100x a x ≤++恒成立，1003100x y x =+在上递减，在⎫⎪⎭递增，10035757,2 1.75 1.712 5.4657100x y ⨯==++=++=，10035858,2 1.72 1.742 5.4658100x y ⨯==++=++=， 5.46a ∴≤ . 22. 【解析】(1)设动圆的半径为r ，则2CFr =，1,CF r =所以1212,CF CF F F +=>由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，1a c ==所以b =C 的轨迹方程是22132x y +=；(2)当直线MN 斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,易得4,MN PQ ==四边形PMQN 的面积S =当直线MN 斜率存在时,设其方程为(1)(0),y k x k =-≠联立方程得2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,消元得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,),M x y N x y 则12212421x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩244.MN k ==+,PQ MN ⊥ ∴直线PQ 的方程为1(1),y x k =--221(1)132y x k x y⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得222(23)6360k x x k +-+-=设3344(,),(,),P x y Q x y 则34221226233623x x k kx x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩221)23k PQ k +==+四边形PMQN的面积2221141)(4)()2223k S MN PQ k k +==+=+ 令21k t +=,1t >,上式22111112()224S t t t ===--+-+++11,01t t >∴<<,由二次函数图像可知2111()224t -+++的范围是(0,2)S >=综上可得S ≥。
湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)
湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x −1)(3−x)>0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−2,3)B. (−2,1)C. (−2,1]D. (1,2)2. 下列命题中正确的是( )A. 命题“∀x ∈R ，x 2−x ≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 2−x ≥0”B. 命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件C. 若“am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为假命题D. 已知图象连续不断的函数y =f(x)在区间(a,b)(其中b −a =0.1)上有唯一零点，若“二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值，则将区间(a,b)等分的次数至少是10次． 3. 已知等差数列{a n }满足：a 5+a 8−a 10=2，则{a n }的前5项和S 5=( )A. 10B. 9C. 8D. 74. 定义在R 上的奇函数f(x)在[0,+∞)是减函数，且f(−2)=1，则满足−1≤f(x −1)≤1的x 的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−2,1]C. [−1,3]D. [0,2]5. 平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= A. 43B. 53C. 2D. 36. 已知数列{a n }满足关系：a n+1=1+1a n，a 7=2113，则a 5=( )A. 32B. 53C. 85D. 1387. 已知函数f (x )=sin (2x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于点(π3,0)对称，则f (−π3)的值是( )A. −12B. 12C. −√32 D. √328. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知双曲线x 2−y 2m=1与抛物线y 2=8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |=5，则双曲线的渐近线方程为( )A. x ±2y =0B. 2x ±y =0C. √3x ±y =0D. x ±√3y =010. 设定义在(0,+∞)上的函数f(x)={−12x −2x,0<x ≤1x 2−2x −32,x >1，g(x)=f(x)+a ，则当实数a 满足2<a <52时，函数y =g(x)的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 在△ABC 中，(a +b )(sinA −sinB )=(c −b )sinC ，∠A = ( )A. π6B. π4C. π3D. π212. 在直角坐标系xOy 中，设A(−2,3)，B(3,−2)，沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时|AB|=2√11，则θ的大小为( )A. 120°B. 60°C. 30°D. 45°二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(−2,−x).若两向量方向相反，则x =________． 14. 若cosα+2cosβ=1,sinα−2sinβ=−1，则cos(α+β)=_________．15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=−f(x+2)，当x∈(0,2]时，f(x)=2x+log2x，则f(2019)=________．16.已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为e1，e2，则e1⋅e2=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为√2，求cos A与a的值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2√2，PA=2，点M在线段PD上．(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAC；(Ⅱ)若二面角M−AC−D的大小为45°，试确定点M的位置．19.已知函数f(x)=2sinxcos(x−π3)+sin(2x+π3)(x∈R)(Ⅰ)求f(π12)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和最小值．20.已知数列{3n·a n}为等差数列，其前n项和为S n，且满足a1=1，S3=9．3(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求a1+a2+⋯+a n．21.某地区有100户农民，都从事水产养殖.据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事水产加工.据估计，如果能动员x(x>0)户农民从事水产加工，那么剩下的继续从事水产养殖的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事水产加工的农民)(a>0)万元．平均每户的年收入将为3(a−3x50(1)在动员x户农民从事水产加工后，要使从事水产养殖的农民的总年收入不低于动员前从事水产养殖的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)若0<x≤25，要使这100户农民中从事水产加工的农民的总年收入始终不高于从事水产养殖的农民的总年收入，求a的最大值．22.已知点H(−1,0)，点P在y轴上，动点M满足PH⊥PM，且直线PM与x轴交于点Q，Q是线段PM的中点．(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)若点F是曲线E的焦点，过F的两条直线l1，l2关于x轴对称，且l1交曲线E于A、C两点，l2交曲线E于B、D两点，A、D在第一象限，若四边形ABCD的面积等于5，求直线l1，l2的方2程．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．B={x|1<x<3}；∴∁R B={x|x≤1，或x≥3}；∴A∩(∁R B)=(−2,1]．故选：C．2.答案：D解析：解：对于A，命题“∀x∈R，p(x)”的否定是：“∃x∈R，非p(x)”因此命题“∀x∈R，x2−x≤0”的否定是“∃x∈R，x2−x>0”，故A项不正确；对于B，由于p∧q为真，则p∨q必为真，故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，故B项不正确；对于C，命题“若p，则q”的否命题是：“若非p，则非q”因此命题“am2≤bm2，则a≤b”的否命题为“am2>bm2，则a>b”，由于“am2>bm2，则a>b”为真命题，故C项不正确；对于D，设须计算n次，则n满足b−a2n =0.12n<0.0001，即2n>1000.由于29=512<1000，210=1024>1000，那么将区间(a,b)等分的次数至少是10次，故D正确．故选：D．A.根据命题的否定的意义即可判断出；B.根据复合命题的真假即可判断出；C.根据否命题的意义即可判断出；D.根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足b−a2n<精确度确定等分次数，可判断真假．本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定，属于基础题．3.答案：A解析：解：∵数列{a n }为等差数列，a 5+a 8−a 10=2， ∴a 3=2，又由等差数列的性质知，S 5=5a 3=10． 故选A ．依题意，由a 5+a 8−a 10=2，可求得a 3，利用等差数列的性质即可求得S 5． 本题考查等差数列的通项公式与求和公式，求得a 3=2是关键，属于中档题．4.答案：C解析：本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，属于中档题． 根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x 的范围即可．解：因为定义在R 上的奇函数f(x)在[0,+∞)是减函数，所以在(−∞,0)上也是减函数，又f (0)=0，则函数f(x)在(−∞,+∞)单调递减， 由f(−2)=−f(2)=1，于是−1≤f(x −1)≤1等价于f(2)≤f(x −1)≤f(−2)， 又f(x)在(−∞,+∞)单调递减， ∴−2≤x −1≤2， ∴−1≤x ≤3． 故选C ．5.答案：A解析：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量基本定理、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 解：设AB →=a →,AD →=b →，∵AB →=λAM →+μDB →，M 为DC 的中点，∴a →=λ(b →+12a →)+μ(a →−b →)=(12λ+μ)a →+(λ−μ)b →，∴{λ−μ=012λ+μ=1，解得{λ=23μ=23， ∴λ+μ=43， 故选A ．6.答案：C解析：本题主要考查根据递推式不断代入求值，本题比较简单，属基础题． 本题已知a 7求a 5，可根据递推式先通过a 7求出a 6，再根据a 6求出a 5即可． 解：由题意，可知： a 7=1+1a 6=2113，解得：a 6=138，又：a 6=1+1a 5=138，解得：a 5=85， 故选：C ．7.答案：C解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 由题意可得2x +φ=kπ,k ∈Z ，从而可得φ=π3，进而可得f (−π3)的值． 解：∵函数f (x )=sin (2x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于点(π3,0)对称， ∴2x +φ=kπ,k ∈Z ， ∴2×π3+φ=kπ， ∴φ=kπ−2π3，当k =1时，φ=π3，则，。
湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上-期中数学(理)(有答案)(精选)
宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（理科）数学（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．{5}B ．{1,3,7}C ．{2,4}D ．{6}2．已知命题2:,10p a R a a ∀∈++≥，则p ⌝为（ ）A ．2000,10a R a a ∃∈++≤B ．2,10a R a a ∀∈++≤C ．2000,10a R a a ∃∈++<D ．2,10a R a a ∀∈++<3．已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，若c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ）A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,3)-D ．(0,1)4．函数01()()2f x x =-+）A ．112,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．[)2,-+∞C ．112,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2,-+∞5．已知函数2()ln 2f x x x =+-，则()y f x =的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,3)6．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）A ．16B ．13C ．23D．123±7．在平面直角坐标系中，AB 、CD 、EF 、GH 是单位圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH8．设函数2|1|2,||1()1,||11x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ，则((1))f f =（ ） A ．1- B ．13 C ．14 D ．159．为了得到函数3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象沿x 轴（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移18π个单位 D ．向左平移18π个单位10．下列四个图中，函数ln |1|1x y x +=+的图象可能是（ ）11．函数(1)f x +是偶函数，且1x ≤时，()2xf x =，若()1f a <，则a 的取值范围是（ ）A ．(0)(2,)-∞⋃+∞，B ．(0)(1,2)-∞⋃，C ．(,0)-∞D ．(0)(3,)-∞⋃+∞，12．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],m n D ⊆使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()xa f x a t =+，（0,1a a >≠）是“成功函数”，则t 的取值范围是（ ）A ．11[,)42B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．1(0,]4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上． 13．函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 14．在ABC ∆，120,5,7A AB BC =︒==，则sin sin BC的值为 ．15．平面向量(1,0),(1,3)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ．16．已知函数4()2f x x x =+-，若存在1231,,,,[,4]4n x x x x ∈，使得1()f x +2()f x ++1()n f x -()n f x ，则正整数n 的最大值为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本题满分10分）已知命题:||3p x <，命题2:450q x x --≤，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围．18．（本题满分12分）在△ABC 中，c b a ,,分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足,2sin a b c b a B >>=．（1）求A 的大小；（2）若2a b ==，求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）已知函数2()cos sin 2f x x x x x R =⋅-+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最值及相应x 的值．20．（本题满分12分）已知0a b c ++=，3a =，5b =，7c =． （1）求a 与b 的夹角；（2）是否存在实数k ，使a b +与a kb -垂直？21．（本题满分12分）已知函数()()33xxf x R λλ-=+⋅∈．（1）是否存在实数λ使得()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的结论下，若不等式(41)(2)0ttf f m -+->在[]1,1t ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本题满分12分）设R a ∈，函数()ln f x a x x =-． （1）若()f x 无零点，求实数的取值范围；（2）若()f x 有两个相异零点12x x ，，求证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<．宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（理科）数学参考答案一、选择题13．y x = 14．3515．12- 16．8三、解答题17．解：:33p x -<<，…………………2分:15q x -≤≤，…………………4分p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 一真一假…………………5分（1）若p 真q 假，则33{15x x x -<<<->或，31x -<<-…………………7分（2）若p 假q 真，则33{15x x x ≤-≥-≤≤或，35x ≤≤…………………9分所以31x -<<-或35x ≤≤…………………10分 （另解请酌情给分．．．．．．．）18．解：（1）∵2sin b a B =，∴由正弦定理化简得：sin 2sin sin B A B =，…………………………2分 ∵sin 0B ≠，∴1sin 2A =，…………………………3分 ∵a b c >>，∴A 为钝角，…………………………4分 则56A π=．…………………………6分（2）∵a =2b =，cos 2A =-，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即241222c c =+-⨯⨯，整理得：280c -=，…………………………8分计算得出：c =，…………………………10分则111sin 2222S bc A ∆==⨯⨯⨯=12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）19．解：（1）11cos 2()sin 2sin(2)2223x f x x x π+=+=-…………2分 ∴=T π………………4分 （2）[,]44x ππ∈-，52[,]366x πππ-∈-………………6分 当236x ππ-=即4x π=时，max 1()sin62f x π==………………9分 当232x ππ-=-即12x π=-时，min ()sin()12f x π=-=-………………12分（另解请酌情给分．．．．．．．）20．解：（1）∵a b c +=-，∴22()a b c +=，……………1分 则2222a a b b c +⋅+=，即得152a b ⋅=，…………3分 ∴1cos ,2a b a b a b⋅<>==，,[0,]a b π<>∈，…………5分 ∴a 与b 的夹角为3π．…………7分 （2）∵a b +与a kb -垂直，∴()()0a b a kb +⋅-=，…………8分 则22(1)0a k a b kb +-⋅-=，15159+25022k k --=，…………10分∴3365k =．…………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）21．解：（1）若()f x 为奇函数，则(0)0f =，…………1分 即1+=0λ，解得1λ=-，…………2分()33(33)()x x x x f x f x ---=-=--=-，则存在1λ=-，使得()f x 为奇函数………4分 （2）()33xxf x -=-（x R ∈），()(33)l n 30xxf x -'=+>，…………5分则()f x 在R 上为增函数，…………6分 ∵()f x 为奇函数，(41)(2)0ttf f m -+->，即(41)(2)ttf f m ->-，…………7分又()f x 在R 上为增函数，∴412t t m ->-，…………8分 则2421(2)21,([1,1])ttt tm t <+-=+-∈-恒成立， 令12[,2]2t n =∈，则22151()24m n n n <+-=+-，…………10分 令215()()24g n n =+-， min 1()4g n =-，…………11分∴14m <-…………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）22．解：（1）①若0<a 时，则()10af x x'=-<，()f x 是区间()0,+∞上的减函数， ∵11(1)10,()1,aaf f e e =-<=-而10a<，则101a e <<，即11()10a a f e e =->∴1(1)()0af f e ⋅<，函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ②若0,()a f x x ==-，在区间()0,+∞无零点； ③若0>a ，令()0f x '=，得x a =，在区间(0,)a 上， ()0f x '>，函数()f x 是增函数； 在区间(,)a +∞上，()0f x '<，）是减函数；函数x f ( 故在区间上，),0(+∞的最大值为)(x f ()ln ,f a a a a =-无零点，由于)(x f 则()ln 0f a a a a =-<，解得0a e <<， 故所求实数a 的取值范围是[)0,e ………………5分（2）因为1x ， 2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根． ∴()()112201{02alnx x alnx x -=-=两式相减得()1212ln ln ()0a x x x x ---=，解得1212ln x x a x x -=要证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<，即证： 212x x a <，即证： ()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，………………8分 不妨设12x x <，令12(0,1)x t x =∈．只需证21ln 2t t t<-+． 设()21ln 2g t t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭； 令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，∴()h t 在()01，上单调递减，∴()()1h t h > 0=，∴()0g t '>，∴()g t 在()01，为增函数，∴()()10g t g <=．即21ln 2t t t<-+在()01，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a -+<．………………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三数学上学期期中试题 理
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B ⋂=（ ） A ．{}04x x <≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}2x x ≥ D ．{}4x x ≤ 2．下列命题正确的是（ ）A.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；B.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C.“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D.命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”. 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2413,2n S S S a =+=，则6a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．13-4．函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且为奇函数.若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]1,1-C ．[]0,2D ．[]1,35．如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(),BE BA BD R λμλμ=+∈，则λμ-=（ ）A ．34 B ．14 C ．14- D ．34- 6．已知数列{}n a 满足:()*111,2n n n a a a n N a +==∈+.若21log 1n n b a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n b 的通项公式是（ ）A ．12n B ．1n - C ．n D ．2n7．已知函数()sin 232f x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A.关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 关于轴56x π=-对称C.可由函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到 D.可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8．已知函数()2ln x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设双曲线221x y m n+=且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．y x =±D ．y = 10. 已知函数()2,0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()2g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],1-∞（11．ABC ∆中有：①若A B >，则sinA sinB >；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形；④若,23B AB π∠==，且该三角形有两解，则AC 的范围是)+∞.以上结论中正确的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边AB AC == ）A.平面ABC ⊥平面ACDB.四面体D ABC -的体积是C.二面角A BC D --D.BC 与平面ACD 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()()()1,2,2,2,1,a b c λ==-=，若()//c a b +，则λ= ．14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则()sin αβ+= ．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当[)3,3x ∈-时，()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()2log 12f = ．16．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则22122e e +的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222b c a ac =+-. （1）求B ；（2）若a A =ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且AD CD =2BC PA ==.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理 由.19.已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.20.已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足()*11212,n n n S S S n n N +-+=+≥∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员()0x x >户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为()36050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使剩下()100x -户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求()*0,x x x N >∈的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这x 户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于()100x -户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a 的最大值.10010057.7, 1.75, 1.725758===)及 57 5822.已知动圆C 过定点()21,0F ，并且内切于定圆()221:112F x y ++=.. （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，（1）中曲线上有两个点,P Q ，并且2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5: BADCB 6-10:CAADD 11、12：BC 1.B 【解析】由于[](,1)(2,),1,2R A C A =-∞-+∞∴=-,又B ={}4x x x <≤∴集合]()(0,2R C A B =.选B.2.A 【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y =可得sin sin x y =; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)p 真q 假，(i i)p 假q 真，(iii) p 假q 假； C.“”是“”成立的充分不必要条件;D 否定是：“对任意，均有210x x ++≤”.故选A.3.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 4.C 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()111f x --≤≤等价于()()()111f f x f --≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,111x ∴--≤≤ 0x ∴≤≤2. 故选C. 5.B 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.选B. 6.C 【解析】由12nn n a a a +=+得1121,n n a a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n nb n a +=+==.故选C.7.A 【解析】∵函数()sin(23)2f x x πϕ=+-是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，∴6πϕ=，∴f （x ）=sin2x=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣ϕ）=cos （2x﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数f （x ）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时 512x π=-,B 错.()03g π=，故选A ．8.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排除B,C. 21()0,f e e e=->211()0,f e e e =+> 211()0f e e e-=-<.故选A ．9.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为(0,2),所以0,0n m ><,2,c c a ==,所以双曲线的方程是2213y x -=.渐近线方程是y =.选D. 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc +-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确；④由画圆弧法得2.AC <<所以④错误. 故选B.12. C 【解析】沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得DF =.①平面ABC 与平面ACD 不垂直,A错;②由于111(84sin120)423323D ABC A BCD BCDV V S AD --==⋅=⨯⨯=,B 错;③易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,tan 37AD AFD DF ∠===,C 对;④BC 与平面ACD 所成的角是BCD ∠,sin 6021sin 14BD BCD BC ⋅∠==,D 错．故选.C二、填空题13.0【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=． 14.1【解析】22sin cos 1,cos sin 1,sin cos 2sin cos 1,αβαβαβαβ+=+=∴++=22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得22(sin cos cos sin )4αβαβ++=,sin()1αβ∴+=.15.21616log 33+(或228log 33-)【解析】22612(log 12)(log )2f f =23(log )16f == 21616log 33+228(log 3)3=-. 16. 74+2222111x y a b +=,双曲线方程是2222221x y a b -=,由定义可得1212,PF PF a +=1221122122,,PF PF a PF a a PF a a -=∴=+=-,在12F PF ∆中由余弦定理可得22212121212(2)()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-,即2221243,c a a =+22222222221212212122222222121212123332321171712(2)(16)()26444444a a a a a a a a c c a a a a a a a a +++=+=+++=++≥+74=+三、解答题17.解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-===由()0,πB∈，得π=3B . （2）由cos A =()0,πA ∈得，sin 10A ==，在ABC △中，sin sin()sin cos cos sin C B A B A B A =+=+121021020=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin a b B A =⋅==所以1sin 2ABC S ab C =△12==. 18. 【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD BC ===可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 又APAC A =,所以AB ⊥平面PAC ，所以AB PC ⊥; （2）建立如图所示空间直角坐标系，则)2.则M 的坐标为),22t -设(),,n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧=⎨=⎩，得()0220t z ⎧=⎪+-=，则可取1,n ⎛=- ⎝⎭ 又()0,0,1m =是平面ACD 的一个法向量，所以02(cos ,cos 45m nm n m n===，23t = 2.3PM PD ∴= 19. 解：（1）()f x的定义域为,2x xk k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 1()4tan sin()cos()4sin(cos )232fx x x x xx x ππ=-+=-22sin cos sin 2cos 2)x x x x x =-=-+sin 222sin(2)3x x x π==+所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ==(2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,易知,.312AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.20. 解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+（2）由（Ⅰ）知nn n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T12312341T 2333433(1)3(1)3T 2333433(1)3(2)n n n n n n n n n n -+=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+-333T ()3244n n n ∴=+⋅-21. 解：（1）由题意得36(100)(1)6100,100xx -+≥⨯220032000,03x x x -≤∴<≤， 又*x N ∈，所以066x <≤(*x N ∈)；（2）x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为36()50xa x -万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入36(100)(1)100x x -+万元，依题意得36()50x a x -≤36(100)(1)100xx -+恒成立，231002100ax x x ≤++，10032100x a x ≤++恒成立，1003100xy x =+在上递减，在⎫⎪⎭递增，10035757,2 1.75 1.712 5.4657100x y ⨯==++=++=，10035858,2 1.72 1.742 5.4658100x y ⨯==++=++=， 5.46a ∴≤ . 22. 【解析】(1)设动圆的半径为r ，则2CFr=，1,CF r =所以1212,CF CF F F +=>由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，1ac ==所以b =C 的轨迹方程是22132x y +=；(2)当直线MN 斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,易得4,MN PQ ==四边形- 11 - PMQN的面积S = 当直线MN 斜率存在时,设其方程为(1)(0),y k x k =-≠联立方程得 2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,消元得2222(24)0k x k x k -++=设1122(,),(,),M x y N x y 则12212421x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩244.MN k ==+,PQ MN ⊥ ∴直线PQ 的方程为1(1),y x k =--221(1)132y x k x y⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得222(23)6360k x x k +-+-=设3344(,),(,),P x y Q x y 则34221226233623x x k kx x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩PQ ==四边形PMQN的面积2221141)(4)()2223k S MN PQ k k +==+=+ 令21k t +=,1t >,上式22111112()224S t t t ===--+-+++11,01t t >∴<<,由二次函数图像可知2111()224t -+++的范围是(0,2)2S >=综上可得S ≥。
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宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（理科）数学（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．{5}B ．{1,3,7}C ．{2,4}D ．{6}2．已知命题2:,10p a R a a ∀∈++≥，则p ⌝为（ ）A ．2000,10a R a a ∃∈++≤B ．2,10a R a a ∀∈++≤C ．2000,10a R a a ∃∈++<D ．2,10a R a a ∀∈++<3．已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，若c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ）A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,3)-D ．(0,1)4．函数01()()22f x x x =-++ ）A ．112,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．[)2,-+∞C ．112,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2,-+∞5．已知函数2()ln 2f x x x =+-，则()y f x =的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,3)6．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ．23D ．1223±7．在平面直角坐标系中，AB 、CD 、EF 、GH 是单位圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH8．设函数2|1|2,||1()1,||11x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ，则((1))f f =（ ） A ．1- B ．13 C ．14 D ．159．为了得到函数33cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象沿x 轴（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移18π个单位 D ．向左平移18π个单位10．下列四个图中，函数ln |1|1x y x +=+的图象可能是（ ）11．函数(1)f x +是偶函数，且1x ≤时，()2xf x =，若()1f a <，则a 的取值范围是（ ）A ．(0)(2,)-∞⋃+∞，B ．(0)(1,2)-∞⋃，C ．(,0)-∞D ．(0)(3,)-∞⋃+∞，12．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],m n D ⊆使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()xa f x a t =+，（0,1a a >≠）是“成功函数”，则t 的取值范围是（ ）A ．11[,)42B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．1(0,]4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上． 13．函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 14．在ABC ∆，120,5,7A AB BC =︒==，则sin sin BC的值为 ．15．平面向量(1,0),(1,3)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ．16．已知函数4()2f x x x =+-，若存在1231,,,,[,4]4n x x x x ∈，使得1()f x +2()f x ++1()n f x - =()n f x ，则正整数n 的最大值为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本题满分10分）已知命题:||3p x <，命题2:450q x x --≤，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围．18．（本题满分12分）在△ABC 中，c b a ,,分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足,2sin a b c b a B >>=． （1）求A 的大小；（2）若23,2a b ==，求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）已知函数23()cos sin 3f x x x x x R =⋅∈． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最值及相应x 的值．20．（本题满分12分）已知0a b c ++=，3a =，5b =，7c =． （1）求a 与b 的夹角；（2）是否存在实数k ，使a b +与a kb -垂直？21．（本题满分12分）已知函数()()33xxf x R λλ-=+⋅∈．（1）是否存在实数λ使得()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的结论下，若不等式(41)(2)0ttf f m -+->在[]1,1t ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本题满分12分）设R a ∈，函数()ln f x a x x =-． （1）若()f x 无零点，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个相异零点12x x ，，求证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<．宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（理科）数学参考答案一、选择题二、填空题13．y x = 14．35 15．12- 16．8三、解答题17．解：:33p x -<<，…………………2分:15q x -≤≤，…………………4分p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 一真一假…………………5分（1）若p 真q 假，则33{15x x x -<<<->或，∴31x -<<-…………………7分（2）若p 假q 真，则33{15x x x ≤-≥-≤≤或，∴35x ≤≤…………………9分所以31x -<<-或35x ≤≤…………………10分 （另解请酌情给分．．．．．．．）18．解：（1）∵2sin b a B =，∴由正弦定理化简得：sin 2sin sin B A B =，…………………………2分 ∵sin 0B ≠，∴1sin 2A =，…………………………3分 ∵a b c >>，∴A 为钝角，…………………………4分 则56A π=．…………………………6分 （2）∵23a =2b =，3cos 2A =-，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即23412223c c =+-⨯ 整理得：2+2380c c -=，…………………………8分 计算得出：113c =，…………………………10分则111113sin 2(113)2222S bc A ∆==⨯⨯⨯=．…………………………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．） 19．解：（1）11cos 23()sin 23sin(2)223x f x x x π+=+=-…………2分 ∴=T π………………4分（2）[,]44x ππ∈-，52[,]366x πππ-∈-………………6分 当236x ππ-=即4x π=时，max 1()sin 62f x π==………………9分当232x ππ-=-即12x π=-时，min ()sin()12f x π=-=-………………12分（另解请酌情给分．．．．．．．）20．解：（1）∵a b c +=-，∴22()a b c +=，……………1分 则2222a a b b c +⋅+=，即得152a b ⋅=，…………3分 ∴1cos ,2a b a b a b⋅<>==，,[0,]a b π<>∈，…………5分 ∴a 与b 的夹角为3π．…………7分 （2）∵a b +与a kb -垂直，∴()()0a b a kb +⋅-=，…………8分 则22(1)0a k a b kb +-⋅-=，15159+25022k k --=，…………10分 ∴3365k =．…………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）21．解：（1）若()f x 为奇函数，则(0)0f =，…………1分 即1+=0λ，解得1λ=-，…………2分()33(33)()x x x x f x f x ---=-=--=-，则存在1λ=-，使得()f x 为奇函数………4分（2）()33x xf x -=-（x R ∈），()(33)l n 30x x f x -'=+>，…………5分则()f x 在R 上为增函数，…………6分 ∵()f x 为奇函数，(41)(2)0ttf f m -+->， 即(41)(2)tt f f m ->-，…………7分又()f x 在R 上为增函数，∴412t t m ->-，…………8分 则2421(2)21,([1,1])ttt tm t <+-=+-∈-恒成立， 令12[,2]2t n =∈，则22151()24m n n n <+-=+-，…………10分 令215()()24g n n =+-， min 1()4g n =-，…………11分∴14m <-…………12分（另解请酌情给分．．．．．．．）22．解：（1）①若0<a 时，则()10af x x'=-<，()f x 是区间()0,+∞上的减函数， ∵11(1)10,()1,aaf f e e =-<=-而10a<，则101a e <<，即11()10aa f e e =-> ∴1(1)()0af f e ⋅<，函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ②若0,()a f x x ==-，在区间()0,+∞无零点；③若0>a ，令()0f x '=，得x a =，在区间(0,)a 上， ()0f x '>，函数()f x 是增函数； 在区间(,)a +∞上，()0f x '<，）是减函数；函数x f ( 故在区间上，),0(+∞的最大值为)(x f ()ln ,f a a a a =-无零点，由于)(x f 则()ln 0f a a a a =-<，解得0a e <<， 故所求实数a 的取值范围是[)0,e ………………5分（2）因为1x ， 2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根． ∴()()112201{02alnx x alnx x -=-=两式相减得()1212ln ln ()0a x x x x ---=，解得1212ln x x a x x -=要证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<，即证： 212x x a <，即证： ()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，………………8分 不妨设12x x <，令12(0,1)x t x =∈．只需证21ln 2t t t<-+． 设()21ln 2g t t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭； 令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，∴()h t 在()01，上单调递减，∴()()1h t h > 0=，∴()0g t '>，∴()g t 在()01，为增函数，∴()()10g t g <=．即21ln 2t t t<-+在()01，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a -+<．………………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）。