19世纪的几何与分析I
欧几里得几何学的公理体系
欧几里得几何学的公理体系.欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译）几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中.“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题.于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学.十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理.在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对于G来说不变的性质，这就是几何学.在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目.欧几里得几何学：以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设”两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两条直线必在此侧相交.它等价于过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且仅有一条.最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想.《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世纪后半叶，D.Hilbert（就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系.欧几里得《几何原本》的简单介绍——全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何.《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义. 前6个定义是：（1）点没有大小；（2）线有长度没有宽度；（3）线的界是点；（4）直线上的点是同样放置的；（5）面只有长度没有宽度；（6）面的界是线.其次是5个共设：（1）从任一点到另一点可以引一直线；（2）有限直线可以无限延长；（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；（4）所有直角都相等；（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.然后是5个公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量其和相等；（3）等量减等量其差相等；（4）可重合的图形全等；（5）全体大于部分.公理之后是一些重要的命题.要强调两点——1、“第五共设”等价于“平行公理”：2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作.19世纪末，德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系.希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系.希尔伯特《几何基础》的简单介绍——希尔伯特公理体系：一、结合公理 （incidence axioms ）——结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为 “在上”或“通过”. （1） 对于两点A 、B ，存在通过A 、B 的直线L ； （2） 当两点A 、B 不相同时，通过此两点的直线L 是唯一的；（3） 每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不在同一条直线上；（4） 对于不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，存在通过这三点的唯一的一个平面π； （5） 每个平面上至少有一个点；（6） 若直线L 上有两点在平面π上，则直线L 上的每一点都在平面π上； （7） 若两平面1π、2π通过一点A ，则它们必通过 另一点B ；（8） 至少存在4个点不在同一个平面上.二、顺序公理（order axioms ）顺序性确定了几何元素的顺序关系，叙述为 “在之间”. （1） 若A 、B 、C 在同一直线L 上，且“点B 在A 与C 之间”，则“B 在C 与A 之间”； （2） 对于不同的两点A 、C ，在通过它们的直线L上至少存在一点B L ∈，使得C 在A 与B 之间；（3） 对于在一条直线上L 的三点A 、B 、C 中，至多有一点在另两点之间；（亦即，若B 在A 、C 之间，则A 不可能在B 、C 之间；由以上三条，由此得到： ① 在直线L 上的点可以赋予线性的序；② 在直线L 上，可以定义线段，以A 、B 为端点的线段记为AB 或BA ；定义线段AB的内部，外部） （4） 设A 、B 、C 是不在同一直线上的三点， π是 通过三点的平面，也记为ABC ，L 是平面ABC 上的直线，但不通过A 、B 、C 中的任何一点. 若直线L 通过线段AB 上的点，则L 或通过线 段AB 上的一点，或通过线段BC 上的一点；（Pasch ，帕施公理）.B ∙ LC ∙A ∙ L三、合同公理（congruence axioms ）合同性确定了线段或角的合同关系，叙述为“合同于”或“等于”. （1） 如果两点A 、B 在直线L 上，点'A 在同一条或另一条直线'L 上，则直线'L 上的点'A 的一 侧存在点'B ，使得线段''A B “合同”于AB ， 记为''A B AB ≡；A ∙B ∙'L L（2） 线段的合同关系是一个等价关系；AB BA ≡；''A B AB ≡ ⇒ ''AB A B ≡；''A B AB ≡、''''A B AB ≡ ⇒ ''''''A B A B ≡；（3） 设AB 、BC 是直线L 上的两线段，没有公共内点，又设''A B 、''B C 是直线'L （'L 与L 可同， 或不同）上的两线段，也没有公共内点. 若''AB A B ≡、''BC B C ≡，则''AC A C ≡；（4） 设平面π上有一个角(),h k ∠，又在平面'π（'π 与π可同，或不同）上有一条直线''L π⊂，并且指定了平面'π被直线'L 分为两侧. 取直线'L 上的一点''O L ∈，并从'O 出发、在直线'L 上引射线'h ，则在平面'π的该侧上，有且仅有一 条射线'k ，使得角()','h k ∠合同与角(),h k ∠， 记为 ()()',',h k h k ∠≡∠；（5） 角的合同关系也是等价关系. 【注】 角的定义：设平面π上通过同一点O 的 两不同直线为1L 、2L . 由点O 出发，分别在1L 与2L 上引两条射线，记为k 、h .B ∙’ A ∙’A ∙h 1L (),h k ∠O k2L将这一对射线的所决定的集合称为平面π上的角，记 为(),h k ∠或(),k h ∠；若A 、B 分别为射线h 与射线k 上的点，也记此角为AOB ∠. O 称为角(),h k ∠的顶点；射线h 、k 称 为角(),h k ∠的边.角的合同关系用几何语言叙述为： ① 设(),h k ∠是平面π上的角，1L 是平面1π上的直线（π与1π可同、可不同）；过1L 上的一点1O ， 作1L 上一射线1h . 则在1π上必存在过1O 的唯一一条射线1k ，使得 ()()',',h k h k ∠≡∠.1O ∙ 1k(),h k ∠ ()','h k ∠1h1L② 角的合同关系是一个等价关系；③ 设A 、B 、C 与1A 、1B 、1C 分别为不在一直线上的三点，如果有B ∙11AB A B ≡、11AC A C ≡、111BAC B AC ∠=∠，则必有111ABC A B C ∠=∠.四、平行公理（parallel axioms ）平行公理确定了直线的平行关系，叙述为 “平行于”. 对于任意直线L 与不在L 上的一点A ，则在L 与A 确定的平面π上，有且仅有一条直线'L 通过点A 且不与直线L 相交.五、连续公理（continuity axioms ）（1） 对于任意两线段AB 、CD ，在通过线段AB 的直线L 上，存在有限多个点1A 、2A 、、 n A ，使得1AA 、12A A 、、1n n A A -都合同于线段DC ， 1121n n CD AA A A A A -====， 并且使得“B 在A 与n A 之间”（阿基米德公理（Archimedes ）；或称直线的连续性公理）；（2） 一直线L 上的点的集合，在保持结合公理的（2），顺序公理的（2），合同公理的（1）-（5）与连续公理的（1）的条件下，不可能再扩充 ；（直线的完备性公理）.由Hilbert 建立的五个公理体系可以推得欧几里得几何的全部内容.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.仿射几何 ——（一） n 维仿射空间：设X 是一个n 维线性空间，A 是一个集合，A 中的元素称为“点”，如果A 中的两点P 、Q 对应于X 中的唯一的向量PQ ，满足：（1） PP 等于X 中的零向量；（2） 任给A 中一点P ，任给X 中的向量a ，则在A 中存在唯一的点Q ，使得PQ a =；（3） 对于A 中的三点P 、Q 、R ，有等式PR PQ QR =+；则称A 为一个n 维仿射空间；特别地，1n =时，称A 为仿射直线；2n =时，称A 为仿射平面；3n =时，称A 为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量.仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对于一维、二维、三维欧氏空间，若不使用欧氏距离，仅仅视为集合，则它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间.（二） 仿射几何学： 主要研究仿射空间中的图形在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、平行性、单比，等.三维仿射空间中A 的仿射坐标系： 设1e 、2e 、3e 是三维仿射空间A 中三个不共面的向量，称它们为A 中的一组基. 可以证明，空间A 中的任意向量m A ∈，可用基1e 、2e 、3e 表示123m x e y e z e =++，把有序实数(),,x y z 称为向量m 的仿射坐标. 空间A 中的一个点O 与一组基{}123,,e e e ，合在一起{}123;,,O e e e 称为空间的一个仿射坐标系 （也称为仿射标架）. 也常用记号123OM m x e y e z e ==++.仿射坐标系中的1e 、2e 、3e 只需不共面，不必相互垂直. 若两两互相垂直，则仿射坐标系就是直角坐标系.仿射变换： 设仿射空间A 中有两组仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 、{}123:';',','II O e e e ，点'O 在仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 中的坐标为()000,,x y z ，'j e 在{}123:;,,I O e e e 中的坐标为 ()123,,,1,2,3j j j a a a j =， ① {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的点的仿射坐标变换公式： 设点P A ∈在I 、II 中的坐标分别为(),,x y z 、()',','x y z ， 则111213021222303132330'''x a a a x x y a a a y y z a a a z z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ② {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的向量的仿射坐标变换公式： 设向量OM 在I 、II 中的坐标分别为()123,,u u u 、 ()123',','u u u ，则111121312212223233132333'''u a a a u u a a a u u a a a u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.射影几何 ——（一） 射影平面、射影空间在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，则称它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间.在扩大了的射影平面、射影空间中，若将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间.在射影空间中，任意两条直线必定相交（平行直线相交于无穷远点）、任意两个平面必定相交（平行平面相交于无穷远直线）、任意直线与平面必定相交（平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点）.（二）射影几何学在定义齐次坐标、射影坐标、射影变换之后，就可以讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将“欧几里得平行公理”改为“罗巴切夫斯基公理”，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.11。
解析几何的诞生
二、笛卡尔和《几何学》
3.笛卡尔的《几何学》
笛卡尔引进了本质上可以代表任何一种量的符号体系。 在《几何学》中，他用字母表中的小写字母a ，b ，c等 代表已知量，x， y ，z等代表未知量，这种用法一直延 续至今。
笛卡尔顺着用代数方程研究曲线的思路，得到一系列 新颖的想法与结果：曲线的次数与坐标的选择无关；轴系 的选取应使曲线对应的方程尽量简单；把几何曲线定义为 可以用x 和y的有限次代数方程表出的曲线；依据代数方 程的次数对相应的几何曲线分类；求平面曲线的法线的方 法等。
数学史是研究数学发展规律的科学
第六章 解析几何的诞生
数学中转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运 动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有 了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.
——恩格斯
只要代数同几何分道扬镳，他们的进展就缓 慢，他们的应用就狭窄。但是当这两门科学结 合成伴侣时，他们就相互吸取新鲜的活力，从 那以后，就以快速的步伐走向完善。
在他《平面和立体轨迹引论》这部关于解析几何的最早 著作中，已经有了解析几何的两个基本概念：坐标概念以 及通过坐标把代数方程同曲线相联系的概念。
三、费马与他的解析几何
2.费马的解析几何
费马考虑任意曲线和它上面的一般点I，I的位置用A、E 两个字母定出：A是从原点O沿底线到点J的距离，E是从J 到I的距离，它所用的坐标，就是我们现在用的斜坐标，它 的A,E就是我们现在的x，y。但是y轴没有明确出现，而且 不用负数。
二、笛卡尔和《几何学》
1616年获该校博士学位.取得学位之后,他就暗下决心:今 后不再仅限于书本里求知识,更要向“世界这本大书”求 教,以“获得经验”,而且要靠理性的探索来区别真理和 谬误.
1618年起,先在军队里当过几年兵,离开军队之后便到德 国,丹麦,荷兰,瑞士,意大利等国游历,所见所闻丰富了 他的见识,更重要的是对当时科学的最新成果增强了了 解.
复数的概念发展过程
复数的概念发展过程复数的概念发展过程经历了多个阶段，从早期对负数的困惑到最终复数作为数学体系中的基本元素的确立，以下是其主要发展历程概要：1. 古希腊时期：-在古希腊数学中，数学家们最初仅考虑正数和零，对于负数以及后来的虚数持怀疑态度，因为它们当时被认为缺乏直观的几何解释或物理意义。
2. 负数的接受：-到了中世纪，随着数学问题解决的需求增加，负数逐渐被接受并在代数运算中开始应用。
3. 虚数的萌芽：-在解代数方程的过程中，尤其是遇到像x²=-1这样的二次方程无实数解时，数学家们开始意识到需要扩展数系。
16世纪初，意大利数学家Scipione del Ferro和NiccolòFontana Tartaglia等人在解三次方程时，实际上已经涉及到类似于虚数的运算。
4. 正式引入：-16世纪中期，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺在探讨代数方程的解时，首次提出了“想象数”（imaginary numbers）的概念，这可以看作是虚数的初步形式。
5. 虚数的符号化：-17世纪，笛卡尔在自己的工作中，虽然他本人对虚数持保留意见，但首次使用了类似“实”和“虚”的术语来区分不同的数，并将虚数表示为直角坐标系中的垂直轴上的量。
6. 复数的规范化：-18世纪，欧拉在1777年开始使用现在通用的符号"i" 表示虚数单位，即i²= -1，并明确地提出了形如a + bi 的复数表达方式。
7. 理论完善：-19世纪，德国数学家高斯对复数进行了系统的理论研究，建立了复数的代数和几何基础，包括引入极坐标形式、复共轭、复数的加法和乘法法则等，并且证明了每一个复系数多项式都可以分解成线性因子（一次和二次的复数因子），这是复数理论的重大突破。
8. 广泛接受与应用：-随着复数理论的成熟，它逐渐被数学界接受并成为现代数学的基础之一。
到了19世纪及以后，复数在工程、物理学（特别是电磁学和量子力学）、信号处理、控制论以及现代数学的各个分支，如复分析、泛函分析等领域中找到了丰富的应用，从而确立了复数在现代数学和科学技术中的重要地位。
代数学的发展
第一节代数学的发展一、伽罗瓦理论及群论的发展长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了．不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．则该方程可用根式求解．阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换x i和x j就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程x p-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是x p-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traitédes Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号G i/G i+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．…，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，…，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．二、四元数与向量在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi 与c＋di，他这样定义复数的运算：(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq--111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响．正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：1．等量各加上第三个等量得到等量；2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；4．等量加等量给出等量；5．等量加不等量给出不等量；6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；7．ab＝ba (乘法交换律)；8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b ≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，…，x n)与一个x1e1＋x2e2＋…＋x n e n这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，…，e n的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名．1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量c为实数，称为分量．规定这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；从而建立了向量代数．数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了梯度公式写成了希维赛德把麦克斯韦方程写成了物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．三、线性代数四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”1815年柯西给出了行列式乘法：|a ij|·|b ij|=|c ij|，其中|a ij|、|b ij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数其中a ij是t的函数，A ij是a ij的代数余子式．行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中分也有类似结果．1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，F M(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明y2s+1-…-y2r-s了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p 矩阵去乘．凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如AB≠BA．的公式凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1(其中A ij为行列式|A|中a ij的代数余子式．)他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足A n=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足A n=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵A M＝0与幂等矩阵Am＝A．19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵A T的逆，即M＝(M T)．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S-1－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1们也这样定义了相似行列式．1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：+…＋(-1)n C n．F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑a ij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，C n＝|A|．西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是f AB(λ)，BA的特征多项式是f BA(λ)，则f AB(λ)=λM·f BA(λ)．-n1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型J称为约当标准型，J i称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式矩阵的约当标准型的完整理论．1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如e M，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．四、数论数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范。
庞加莱微分方程定性理论分析初探
中文摘要数学分析从一开始就是求解微分方程。
而非线性微分方程没有普遍解法以及一些天体力学问题的未决，促使庞加莱在微分方程求解过程中引入定性思想，创立了常微分方程实域定性理论这一新分支，突破了原有的微分方程求解的思维束缚，是微分方程研究历史上的一次重大飞跃。
本文简要阐明了１９世纪庞加莱定性理论产生的思想背景和根源，重点介绍了庞加莱定性理论的创新之处，并进一步比较了与恩里克斯研究思想的异同，探讨了与李雅普诺夫运动稳定性理论的联系。
这些不仅对于全面了解和掌握庞加莱定性理论具有一定的参考价值，而且还可以使我们对科学历程中新思想、新理论的产生和发展规律有所启悟。
关键词：庞加莱定性理论定性分析李雅普诺夫运动稳定性ＡＢＳＴＲＡＣＴＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｂｅｇａｎｗｉｔｈｓｅａｒｃｈｉｎｇｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｔｔｈａｔｔｉｍｅ，ｈｏｗｅｖｅｒ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｈａｄｎｏｕｎｉｖｅｒｓａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｓｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｃｅｌｅｓｔｉａｌｍｅｃｈａｎｉｃｓｗｅｒｅ．ｓｔｉｌｌｒｅｑｕｉｒｅｄｔｏｂｅｒｅｓｏｌｖｅｄ．ＩｔｉｎｓｐｉｒｅｄＰｏｉｎｃａｒｔｏｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｉｄｅａｏｆｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｉｎｓｏｌｖｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｉｎｉｔｉａｔｅａｎｅｗｂｒａｎｃｈｏｆｔｈｅｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｔｈｅｏｒｙｏｆｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｒｅａｌｆｉｅｌｄＴｈｉｓｔｈｅｏｒｙｂｒｏｋｅｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｏｂｓｔａｃｌｅｓｉｎｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｔｈｏｕｇｈｔｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ’ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｉｔｗａｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔａｄｖａｎｃｅｍｅｎｔｉｎｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ’ｒｅｓｅａｒｃｈＴｈｉｓｐａｐｅｒｂｒｉｅｆｌｙｒｅｃｏｕｎｔｓｔｈｅｂａｃｋｇｒｏｕｎｄａｎｄｏｒｉｇｉｎｏｆＰｏｉｎｃａｒ’Ｓｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｔｈｅｏｒｙｉｎｔｈｅ１９也ｃｅｎｔｕｒｙ，ａｎｄｅｍｐｈａｓｉｚｅｓｔｈｅｉｎｎｏｖａｔｉｏｎｓｉｎｈｉｓｔｈｏｕｇｈｔｓ．ＩｔａｌｓｏａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｈｉｓｔｈｏｕｇｈｔｓａｎｄＥｎｒｉｑｕｅｓ’，ａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｈｉｓｔｈｅｏｒｙａｎｄＬｉａｐｕｎｏｖ’Ｓｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙｏｆｍｏｔｉｏｎ．Ｉｔｎｏｔｏｎｌｙｈａｓｓｏｍｅｖａｌｕｅｏｆｒｅｆｅｒｅｎｃｅｔｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄａｎｄｇｒａｓｐｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｔｈｅｏｒｙｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｌｙ，ｂｕｔａｌｓｏｉｎｓｐｉｒｅｓＵＳｔｏｐｏｎｄｅｒｏｖｅｒｔｈｅ订ａｃｋｏｆｔｈｅｅｍｅｒｇｅｎｃｙａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｎｅｗｔｈｏｕｇｈｔｓａｎｄｔｈｅｏｒｉｅｓｉｎｔｈｅｃｏｕｒｓｅｏｆｓｃｉｅｎｃｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｏｉｎｃａｒ４，ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｔｈｅｏｒｙ，ｑｕｓｌｉｔａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓＩＬｉａｐｔｍｏｖ，ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｍｏｔｉｏｎ．３微分方程是伴随微积分一起发展起来的数学分支，是微积分在数学物理研究领域最重要的应用之一。
[最新]《数学史》习题
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《数学史》习题总体要求每一讲写一600字左右的读书笔记，30%,,,,,记录学期总成绩。
第一讲,,,,,,,,,,数学的起源与早期发展1、您对《数学史》课程的期望。
2、谈谈您的理解：数学是什么?3、数学崇拜与数学忌讳。
4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。
5、数的概念的发展给我们的启示。
6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。
第二讲古代希腊数学1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。
2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？3、简述欧几里得《原本》的现代意义？4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。
5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长，计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。
6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？第三讲：中世纪的东西方数学I1、简述刘徽的数学贡献。
2、用数列极限证明：圆内椄正6•2^{n}边形的周长的极限是圆周长。
3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。
5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。
6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。
第四讲：中世纪的东西方数学II1、印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要贡献？2、有关零号“0”的历史。
3、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。
4、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数学的作用。
5、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为中心的实用化数学。
6、求斐波那契数列的通项公式。
第五讲：文艺复兴时期的数学1、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。
2、简述符号“＋”、“－”的历史。
3、通过具体例子说明16世纪的意大利数学家是如何求解三、四方程的。
4、学习珠算有现实作用吗？5、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。
结构力学平面体系的几何构造分析高教书苑
高级教育
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2.方法
§2-2 几何不变体系的组成规律
㈠计算自由度法
m—刚片总数； g—单刚结点总数；
高级教育
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§2-3 平面杆件体系的计算自由度
例2-3-4 求图示体系的计算自由度。
解：
m 2 g 1 h 1 b 5
I A II
W 3 2 (31 2 1 5)
6 10 4
1
3
2
45
例2-3-5 求图示体系的计算自由度。
A
1
B
解：
j 5 b 10
2 34 5
W 2 5 10 0
四、约束（联系）
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
约束
非多余约束：能真正减少体系自由度的约束。 多余约束：加上此约束体系的自由度并不因此而减少。
1）链杆约束
①单链杆约束（连接两个点的链杆）
结论：一根单链杆可减少一个自由度相当于一个约束或联系。
②复链杆约束（连接两个以上点的链杆） 结论：连接n个点的复链杆相当于（2n-3）根单链杆的作用。
21
§2-2 几何不变体系的组成规律
例2-2-1 试分析图示体系的几何构造。
解：
A
3
6
I
B
1 II
III
2C
5
4
刚片I、 II用链杆1、2相连， （瞬铰A)；
刚片I、 III用链杆3、4相连， （瞬铰B)；
刚片II、III用链杆5、6相连， （瞬铰C)。
数学史概论1
❖ 又经历了数万年的发展,这些办法用得 多了，就逐渐形成数的概念和记数的符 号,直到距今五千多年前,终于出现了书写 记数系统. 书写记数的出现使数与数之间 的书写运算成为可能.
❖ 数的概念最初不论在哪个地区都是从 1、2、3、4……这样的自然数开始的， 但是记数的符号却大不相同。
❖ 从古埃及紙草书象形文字记载中知道:
数学史概论
李文林 著
目录
❖ 第 0 章. 绪论
❖ 第 1 章. 河谷晨曦—数学的起源与早期发展
❖ 第 2 章. 喷薄出海—古希腊数学
❖ 第 3,4 章. 日照东方—古代与中世纪的东方数学
❖ 第 5 章. 冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起
❖ 第 6 章. 走向无穷—微积分的创立
❖ 第 7 章. 分析时代—18世纪数学略影
❖ 阿拉伯数字容易通过改变小数点位置而 产生变化。所以在特殊场合（如银行） 不能完全替代大写的汉字。
几何知识
古埃及陶罐
半坡遗址陶器残片
半坡遗址房屋基础
西汉彩帛女娲伏羲图案(新疆出土)
❖ 古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重 新丈量；
❖ 古代印度几何学的起源与宗教实践密切相关；
❖ 古代中国，几何学起源更多地与天文观测相 联系。
二、河谷文明与早期数学
河谷文明：历史学家常把兴起于埃及、美索不 达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为河谷文 明。早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉 底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先 发展起来的。
1、埃及数学
罗赛塔石碑 (1799 发现)
• 莱茵德纸草书：84个问题 • 莫斯科纸草书：25个问题
❖ 基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好 是1120，即1120中含有14个80．
高斯，欧拉，黎曼，庞加莱，格罗藤迪克比较--转载于一个个人看法
⾼斯，欧拉，黎曼，庞加莱，格罗藤迪克⽐较--转载于⼀个个⼈看法NO5. 格罗藤迪克等级：半神类型：超越时代风格: ⼀个⽅向⾛到极致，代数⼏何的极致，抽象的极致，结构化的极致！进⽽影响数学全局！留给数学家就业岗位:1梦想中的动机理论，2代数⼏何中的标准猜想(远阿贝尔代数⼏何)，3. ABC猜想4. 30%左右的菲尔兹奖得主的研究领域都⼏乎直接和间接和格罗藤迪克研究的代数⼏何相关，格罗藤迪克为中国乃⾄世界数学家留下了许多研究的饭碗，创造⼒⼤量数学家就业岗位，从这⼀点看，格罗藤迪克功德⽆量。
主要成果：1.⾮交换代数⼏何(当代数学最重要的主流⽅向，未来数学的⼀⼤趋势，史上抽象结构化数学的巅峰)2.motive动机理论(⽆⼈能够完全解读，未来数学的可能性，意义重⼤，⼀旦成⽴，将会对基础数学⼏乎所有数学分⽀研究产⽣⾰命性影响，被誉为数学中的乌托邦。
)3.概型理论(⼀旦成⽴，概型有可能是⽐流形更接近数学本质的东西，国际许多数学⼤佬都感到⾮常深奥难懂，对他的研究⽬前仍然毫⽆头绪)4.拓扑斯理论5.黎曼－洛赫－格罗滕迪克定理(连接分析与⼏何拓扑的中⼼定理)简评：代数⼏何的上帝，当代数学的统治者，其思想与成就将引领数学下⼀个百年！格罗腾迪克进⼊第五，或许有点令⼈奇怪，毕竟⼀个2014年才去世的当代数学家，还没有经过历史时间长河的考验，凭什么排在这么⾼的位置？不过要我说，再过五⼗到⼀百年，就学术成就⽽⾔，上帝还可能超越⾼斯，排名第三！就⽬前来看，格罗藤迪克的的数学影响⼒已经有和⾼斯王⼦，欧拉⽼师，希尔伯特叫板的本钱了。
⽽上帝还只是个当代数学家，在可以想见的未来⾥，他学术印记必定会进⼀步加深！上帝的风格很奇特，属于⼀个⽅向⾛到极致，代数⼏何的极致，抽象的极致，结构化的极致！从⼀个⽅向出发，进⽽全⾯辐射影响到了数学的各个⽅向和分⽀，代数，⼏何，数论，拓扑，分析，很难找到当代数学哪个⽅向没有受到上帝的启发！上帝并不全⾯，不以全才著称，他主要只专注于代数⼏何，却影响了了全局！其抽象结构化的能⼒与天赋，史上第⼀！没有争议！放眼数学史上，除了黎曼，庞加莱，加罗华，⽜顿等了了⼏⼈之外，还有谁⼀开创⼀种数学⼯具，⽴刻解决⼤量当代最重要的数学问题？费马⼤定理，韦伊猜想，莫德尔猜想，⾕⼭志村猜想，当代最重要的数学突破进展都来源于他的代数⼏何，超过⼀半的菲尔茨奖与上帝的⼯作直接或间接相关！当代最伟⼤的数学家，没有之⼀！把他排在第五位，考虑到历史长度，他还需要⾄少⼀百年的时间，来加深他对数学的印记，才能名正⾔顺的超越⾼斯王⼦和欧拉⽼师，这个是个⼤概率事件！(因为到了博⼠⽣阶段，前沿数学领域，⾼斯和欧拉的数学理论慢慢⽆法解决许多数学和物理⼤问题，慢慢⾛下神坛，给了其他数学家增加影响⼒的机会。
高等数学总结.ppt
➢多元函数 ➢邻域、区域、聚点、内点、外点 ➢多元函数的极限 ➢多元函数的连续性
➢多元函数微分法及应用 ➢偏导数与全微分
➢偏导数本质上也是一个极限概念：当其它变 量不动，函数值相对于某一个变量的改变量。
➢偏导数数学定义：
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，则称
➢函数图像的描绘
➢几个人物 罗尔，1652-1719，法，只受过初等教育，年轻时穷 困潦倒，后因为数学成求进入法国科学院。主要成就在 方程方面，“微积分是巧妙的谬论的汇集”。
拉格朗日，1763-1813，法，19岁被聘为教授，数学各 个领域均有建树，微分方程的常数变易法为其提出，“死 亡并不可怕，它只不过我遇到的最后一个函数”。(13)a x来自x ax C ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a
2dx
1 2a
ln
x x
a a
C
(22)
a2
1
x 2 dx
➢牛顿和莱布尼茨的争论使得英国的数学家认牛顿为 他们的导师，割断了于欧洲大陆的联系，有人估计， 这使英国数学落后了一百年。
➢历史上看，微积分是为了解决实际问题的需要而产 生的一种计算方法，它的产生为近现代数学和物理学 提供了强大的工具。没有微积分就不可能有现代自然 科学的发展。
➢我们现在学习的微积分理论，已经经过数学家们长 期的补充、完善，无论从理论还是逻辑基础、符号表 达，都和牛顿，莱布尼茨等人当时的描述方式有很大 的改进，当时他们对微积分的叙述和论证建立在大量 的直观的、没有严格、统一的数学定义的基础上。
几何拓扑学 近代微分几何
几何拓扑学近代微分几何一.微分几何在20世纪之前的状况在20世纪前，微分几何基本上是研究流形的局部性质，这是因为微分几何是以微分作为主要的工具而发展起来的，因此它的研究多为小范围的。
在18、19世纪，微分几何主要的研究对象是三维空间中的光滑曲面。
为了刻画曲面的几何形状和弯曲程度，数学家们引入了曲率的概念，其中就包括了曲面的法曲率、高斯曲率和测地曲率等各种曲率。
在19世纪初，Gauss（高斯）证明了“高斯曲率仅与曲面的内在度量有关”这一十分重要的内蕴几何定理。
曲面上每一点处的高斯曲率是两个主曲率（即在该点处最大和最小的法曲率）的乘积，而这个定理表明：虽然主曲率不是内蕴的几何量（依赖于曲面在三维空间中的嵌入方式），但是它们的乘积却可以仅仅用曲面内在的度量来确定。
在大学微分几何课程里，这个定理被称为“绝妙的定理”，它是后来Riemann（黎曼）创立高维的黎曼几何的思想基础。
Riemann（黎曼）在他著名的1854年的就职演讲中，提出了高维的黎曼流形的惊人思想，这种高维的微分流形完全独立于外在的几何空间而存在，并且局部又类似于欧氏空间（这就像光滑的曲面在局部很小邻域内的形状类似于切平面一样）。
用今天的微分几何语言来表达，在Riemann（黎曼）所定义的黎曼流形上，是微分流形，而是给定的黎曼度量，如果是上的任意一点，那么就是在点处切空间上的对称正定的双线性形式（也就是内积），并且映射是可微的。
黎曼度量的主要作用是计算上的切向量的长度和交角、以及其他的各种几何量和测地线方程。
黎曼几何就是黎曼流形的几何学，它是对Gauss（高斯）曲面论的一般性推广，而高斯曲率的进一步抽象化则是著名的黎曼曲率张量，这个张量可以用来刻画黎曼流形内在几何性质，特别是的“弯曲”形状。
在19世纪的后期和20世纪初，以Christoffel（克里斯托费尔）、Levi-Civita（列维-齐维塔）和Ricci（里奇）为代表的一些数学家为了深入解读Riemann（黎曼）深刻的几何思想，提出了一整套张量分析的方法，其中就包含了张量的协变导数的基本概念，它是微积分中偏导数概念的自然推广。
关于麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组▽-----乐天10518关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。
麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。
它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。
麦克斯韦方程组Maxwell's equations麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。
方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。
该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。
麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。
麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的电磁场理论体系。
这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。
以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。
它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。
另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。
[编辑本段]历史背景1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。
场概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。
1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、安培—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。
现代数学发展简介
超越数理论是“数学精 神最令人惊羡的花朵, 人类智力活动最精美的
成果.”… “没有人能 把我们从康托所创 造的天国中赶走!”
康托尔（G.Cantor, 1845~1918） 德国数 学家.1845年生于俄国圣彼得堡，卒于哈雷， 是丹麦犹太商人之子.集合论的创始人，受 教于数学家库默尔、外尔斯特拉斯和克罗内 克等人.1867年获博士学位.
在世纪之交世界数学是法德争雄的格局, 法 国数学有着许多骄人的成果, 其代表人物有:
★埃尔米特(C. Hermite, 1822-1901): 毕业
于巴黎综合工科学校, 1862年进入该校任讲 师, 1867年升任教授, 分析学家. 早年工作涉 及椭圆函数论, 著名工作是证明e的超越性.
对后来影响最大的是他的复二次型的工 作, 在物理学、几何学、算子理论中, 埃尔米 特已成为复共轭、复对称的代名词.
克罗内特(L.K. Kronecker, 1815-1891)在代数学、 数论、椭圆函数论方面成就显著,并有非常广泛的 社会和学术关系, 被称为德国数学的无冕之王;
而对后世影响更大是魏尔斯特拉斯(Karl T.W.
Weierstrass,1815-1897).
3. 对近代数学影响的德国的三位数学家
俄国的十九世纪开始有了自己的数学研 究,罗巴切夫斯基的工作引起国际瞩目, 切比雪夫(P.L. Chebyshev, 1821-1894) 在概率论的研究也得到世人关注. 但与 欧洲各国相比仍有差距.
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案主讲人：林寿导言主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。
1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。
拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。
1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。
个人主页：/ls.asp一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。
对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。
数学史的分期：1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。
二、教学工作安排授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。
第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学：分析时代；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选讲：数学论文写作初步。
几何构造分析练习题
） ）
4、在工程中，瞬变体系不能作为结构的原因是（ A．会发生微小位移 B．约束的数量不足 C．正常荷载作用下，可能产生很大的内力 D．会产生较大的位移 5、下图中链杆 1 和链杆 2 的交点可视为虚铰。 （
1
） 。 （福州大学 2012）
） （河北工业大学 2012）
2
6、下图所示体系虽有 3 个多余约束，但未保证其几何不变，哪两根链杆是不能同时去掉的。 （ （中国矿业大学 2012） A．a 和 e B. a 和 b
B 1 A 2 C
瞬变体系与常变体系的两个判定规则： 1） 微小变形规则 让体系发生微小变形，如果三个铰还在同一直线上，则是常变体系，不在同一直线上，则是瞬 变体系。 2） 平行等长规则（特别注意平行等长的对象是谁） 组成无穷远铰的两根平行链杆与另外两铰的连线平行且等长，则为常变体系，否则为瞬变体系。 【例题】图示体系的计算自由度 W 1 ，是几何_________变体系；若在 A 点加一竖向链杆支座，则 称为几何_____________变体系；若在 A 点加一固定铰支座，则称为______变体系。 （哈尔滨工业大 学 2010 年）
J
C
D
E
F
A
B
【练习题】试对图示体系作几何组成分析。 （东南大学 2015，湖南大学 2
J
E A B C
F D
【练习题】试对图示体系作几何组成分析。(东南大学 2013)
D E G H
F
A
B
C
9 / 19
§1-4 计算自由度
所有体系都是由部件加约束组成的。但约束可分为必要约束和多余约束。 体系所有的部件自由度之和减去所有的约束，就是体系的计算自由度。之所以叫计算自由度，是为 了与体系的真实自由度区分开来。体系的真实自由度等于所有部件自由度之和减去必要约束。 1. 单约束与复约束 约束可以分为单约束和复约束，两个刚片间的结合为单结合，三个刚片间的结合相当于两个单 结合。一般说来，n 个刚片间的复结合相当于（n-1）个单结合。 举例说明：用 1 个铰连接 5 个链杆，相当于（5-1）个单铰约束。因为 5 个独立的链杆共有（5×3） 个自由度，用一个铰连接起来后，整体有 2 个平动自由度，外加每根杆有 1 个转动自由度，共有 7 个自由度，因此体系获得了（15-7）=8 个约束，即（5-1）=4 个单铰约束。满足 n 个刚片间的复结 合相当于（n-1）个单结合这一结论。
数学分析课程中的一个反例处处连续处处不可导的函数
Ｏ Ｏ
Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ
７
（ａ）
（ｂ）
（ｃ）
（ｄ）
图２．Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ函数（口＝１／２，ｂ一３）图像的整体与局部．其中图（ａ）表示在区间［ｏ，１］上函数的图象；图（ｂ）表示
在区间［ｏ．６４，０．７０］上函数的图象（即图（ａ）小方块中图象的放大）；图（ｃ）表示在区间［ｏ．６７２５，０．６７５２］上函数的图
karlweierstrass18151897是19世纪德国数学家他在数学的许多领域如分析学代数学解析函数论变分学微分几何等众多学科都作出了重大贡献其中不少成果是在他做中学教师时取得1856年柯尼斯堡大学授于他名誉博士学位1865年他被聘为柏林大学教授后来成为法国巴黎科学院院士
２
■墨圜
高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ例子的证明较为复杂，不适合放到数学分析课程的教学中．在１９３０年，荷兰数学家 Ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ给出了另外一个例子．Ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ的例子在思想方法上与Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ的 例子是一致的，但它的证明却很简单，而且初等．Ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ的例子使得在数学分析课程中 介绍处处连续处处不可导的函数成为可能．
象（ｅＰ图（ｂ）小方块中图象的放大）；图（ｄ）表示在区问［ｏ．１００００００１，０．１００００００２＂］上函数的图象．
万方数据
第９卷第１期
陈纪修，邱维元：数学分析课程中的一个反例
５
廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等．这些变化无穷的曲线，虽然处处 连续，但可能处处不可导．Ｂ．Ｂ．Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ通过对这些不规则图形的研究，创建了一门新的学科 “分形几何”．所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性．“形” 的这种性质又称为“自相似性”．而Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ函数的图像就是一种典型的分形，它已成为“分形几 何”中最基本的例子之一．“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一 门具有广泛应用前景的新学科．
欧姆定律的演变与推导
欧姆定律的演变与推导欧姆定律是电学中的基本定律之一，描述了电流、电压和电阻之间的关系。
它的发现和演变经历了多位科学家的贡献和推导过程。
本文将介绍欧姆定律的历史背景、演变过程以及推导方式，帮助读者更好地理解这一重要定律。
1. 历史背景在19世纪初，科学家们开始对电流和电压进行系统的研究。
当时，电流是通过金属导体流动的电荷数量，而电压则是电荷在导体中流动时所经历的电势差。
然而，电阻与电流和电压之间的关系仍未被完全理解。
2. 奥姆的实验证据安德烈-玛丽·安培（André-Marie Ampère）是第一个提出了电流与电压之间的关系的科学家。
他在1826年进行了一系列实验，并发现电流与电压之间存在一种定量的关系，这为欧姆定律的发现奠定了基础。
3. 欧姆定律的发现1845年，德国物理学家乔治·西蒙·欧姆（Georg Simon Ohm）通过实验证实了电流、电压和电阻之间的定量关系，并总结了欧姆定律。
欧姆定律的最基本形式可以表示为：U = R × I，其中U代表电压，R代表电阻，I代表电流。
4. 推导欧姆定律的方式欧姆定律可以通过多种方式进行推导，其中一种常见的推导方式是使用几何分析。
假设一个导体呈现为一个均匀的圆柱体，其长度为L，横截面积为A。
假设电流I通过导体，导体两端的电压差为V。
根据导体的几何特征和电场的规律，可以获得以下关系：电流I = 电荷q / 时间t电荷q = A × d，其中d代表电荷密度电压差V = 电场强度E × L电场强度E = 电压差V / L电荷密度d = q / V将上述等式联立并整理，可以得到电流与电压之间的关系：I = (A × d) / tI = (A × q / V) / tI = A × q / (V × t)I = (A / V) × (q / t)I = (A / V) × (电荷q / 时间t)I = (A / V) × I通过以上推导可以发现，电流与电压之间的比值（A/V）为一个常数，即R，即电阻。
数学中最有意思的符号之一虚数单位i，中科大实验i可能有物理意义
数学中最有意思的符号之一虚数单位i，中科大实验i可能有物理意义文艺复兴时期17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔《几何学》提出了虚数的概念，用i表示。
当时的观念认为这是真实不存在的数字。
后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。
人们一般认为虚数只是数学家的玩具（数学工具），并无现实意义，但最近一项研究表明虚数可能是有实际的物理意义。
什么是虚数在丹·布朗（Dan Brown）2003年的畅销悬疑惊悚小说《达芬奇密码》中，书中的主人公罗伯特·兰登（Robert Langdon）和密码学家索菲·奈芙（Sophie Neveu）之间有一点巧妙的应答，她在书中表达了对“信仰中包含奇迹般的事件”的宗教信徒的价值的怀疑。
她冷笑道：“看来他们的真实是假的。
”兰登笑着说：“这些想法就像数学密码学家相信虚数'i’能帮助他们破解密码一样。
”对于我们这些不懂数学的人来说，兰登的笑话有点令人费解。
当他说一个数是虚数时，他到底在说什么？这怎么可能呢？虚数（imaginary number）就是-1的平方根。
虚数到底是什么？它有什么用？虚数的诞生虚数是数学中的一种东西，最早是在15世纪和16世纪被发现的，用来解决某些令人困惑的方程。
虽然最初被认为是一种数学把戏，但在此后的几个世纪里，它们被视为一种以复杂的方式将世界概念化的工具。
如今，它们在从电子工程到量子力学等领域都很有用。
人们发明虚数的原因和发明负数的原因是一样的。
如果透支信用卡去买东西，但没有足够的钱来支付，我们的银行账户就会出现负余额。
另一种看待负数的方法，这稍后会派上用场，是想象在城市附近散步。
如果你从我们的目的地向相反的方向拐错了弯。
比方说，向南走了5个街区，而你本来应该向北走，你就可以把它想象成向北走了5个负的街区。
通过发明负数，它可以扩展你的数学世界，使你能够谈论以前很难的事情。
虚数和复数，也就是包含虚数成分的数字，是这种创造性思维的另一个例子。
19世纪出现的数学符号
19世纪出现的数学符号
在19世纪，数学领域出现了许多重要的符号和概念，其中一些著名的符号包括：
1.施莱夫利符号（Schläfli symbol）：这是一个可以表示一特定正多胞体若干重要特性的符号，命名是为了纪念19世纪数学家路德维希·施莱夫利在几何和其他领域的许多重要贡献。
2.圆周率（π）：圆周率是一个数学常数，表示圆的周长与直径的比值，它在数学和物理中都有广泛的应用。
3.自然对数（ln）：自然对数是以数学常数e（约等于2.71828）为底数的对数，常用在数学和物理学中。
4.虚数单位（i）：虚数单位是虚数的符号，表示为i，它与实数单位-1的关系是i^2 = -1。
5.微积分符号（dx, dy, d/dx, d/dy）：微积分符号用于表示函数在某一点的变化量，包括微分和积分。
6.求和符号（∑）：求和符号用于表示对一组值进行求和，常用于数学分析和数列求和等领域。
7.矩阵符号（[]）：矩阵符号用于表示一个二维数组，常用在代数、线性代数和概率论等领域。
8.罗素符号（->, <-）：罗素符号用于表示函数的一元和二元运算，如函数f(x)在点x的极限定义为lim(x->a) f(x) = L。
此外，19世纪数学领域还出现了许多其他的符号和概念，如高斯积分、欧拉公式、傅里叶变换等等。
梅涅劳次定理
梅涅劳次定理梅涅劳次定理，也称为梅涅劳次-柯西定理，是解析几何中的一个重要定理。
该定理由法国数学家梅涅劳次和柯西在19世纪初发现，它描述了两个复变量函数的积分路径无关性。
在解析几何中，我们经常遇到对复变量函数的积分问题。
例如，我们需要计算一条曲线上的积分，或者计算一个区域内的复变量函数的积分。
在这些问题中，积分路径的选择通常会影响最终的计算结果。
但是，梅涅劳次定理告诉我们，对于某些特定类型的复变量函数，积分路径的选择并不重要。
具体来说，梅涅劳次定理指出，如果存在一个区域内的解析函数f(z)，并且C1和C2是该区域内两个不同的路径，它们的起点和终点都相同，那么这两条路径上f(z)的积分相等。
也就是说，积分与路径无关。
这个定理的证明比较复杂，需要运用到复变量函数的一些基本性质。
但是，我们可以通过一些简单的例子来理解这个定理的应用。
例如，考虑一个简单的积分问题：计算沿着单位圆周C的路径积分∫Czdz。
如果我们按照参数方程z=eit（0≤t≤2π）来计算这个积分，那么可以得到：∫Czdz=∫02πei·ei·idt=∫02πeidt=0但是，如果我们按照参数方程z=cos(t)+isin(t)（0≤t≤2π）来计算这个积分，那么可以得到：∫Czdz=∫02π(cos(t)+isin(t))·(−sin(t)+icos(t))dt=∫02πi·dt=2πi这两个结果不同，看起来好像与梅涅劳次定理相矛盾。
但是，事实上这两个参数方程所对应的路径是不同的，因此梅涅劳次定理并不适用于这个例子。
另一个例子是计算沿着单位圆周C的路径积分∫Cz2dz。
这个积分可以用参数方程z=eit（0≤t≤2π）来计算：∫Cz2dz=∫02π(eit)2·ieitdt=∫02πe3itidt=0因为e3it在0到2π之间正好转了一圈，所以它的积分为0。
但是，如果我们把路径改为z=reit（0≤t≤2π），其中r>0是一个常数，那么可以得到：∫Cz2dz=∫02π(reit)2·ireitdt=ir3∫02πe3itidt=2πir3这两个结果不同，但是它们都满足梅涅劳次定理。
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非欧几何
几何学上的哥白尼
1813年高斯(德, 17771855)：非欧几里得几何
蒙日(法国, 1953)
卡尔诺(法国, 1950)
射影几何
连
综合方法
续 性
原
理
1822年庞斯列(法,
1788-1867)的《论图
形的射影性质》
对 偶 原 理
射影几何
代数方法
1827年默比乌斯(德, 1790-1868)的 《重心计算》 1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标
惠更斯(荷, 1629-1695)
洛比塔(法, 1661-1704)
微分几何
• 18世纪的空间曲线、曲面理论 1697年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)《关于双重曲率曲线的研究》： 弧长、曲率
克莱罗(法, 1713-1765)
以其酷爱批判《的分精析神教和程深》遽(1的8洞21察) 力，为数学分析 建概清立念了了，关坚他于实排无的除穷《《基 了 大无微础微和穷分。积无小学通分穷分教过中小析程澄仍的教》清在各(程1极涌种8概小现混2论9、的乱)》函各观(1数种念8、异，23导议决) 数，定等扫性 地克服魏了尔起斯源特于拉无斯穷(德大,和18无1穷5-1小8概97念) 的困难．…… 今天分析达到这ε-样δ语和言谐、可靠和完美的程度，…… 本质上应归功“于现魏代尔分斯析特之拉父”斯的科学活动。”
第九讲思考题
1、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。 2、非欧几何的诞生有何意义？ 3、魏尔斯特拉斯对于分析的严格化有哪些重要贡献？ 4、如何化解第一次数学危机? 5、如何化解第二次数学危机?
欧氏几何
若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那么把
平两行直公线无理限的延研长,究它们(公都元在同前旁3内世角纪和至小于18两0直0角年的)一侧相交.
欧几里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833) A+B+C=2π
欧氏几何
勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：这条关于三角 形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这 些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。 (1832)
希尔伯特(德, 1862-1943)
选择和组织公理系统的原则
相容性
独立性
完备性
关联公理
顺序公理 合同公理
平行公理
连续公理
分析的严格化
分析的算术化 实数理论 集合论
分析的算术化
分析：关于函数的无穷小分析 问题：第二次数学危机 核心：函数、无穷小 希贡尔献伯：特柯（西德(法，, 1876829－-18159742)年）：“魏尔斯特拉斯
微分几何
1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 《关于曲面上曲线的研究》：曲率、 绕率，建立了曲面理论
1771年欧拉(瑞, 1707-1783)关于可展曲面，1771和1775年蒙日 (法, 1746-1818)关于可展曲面与直纹面
1795年蒙日(法, 1746-1818) 《关于分析的几何应用的活页论文》 借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究
1872年克莱因(德, 1849-1925)的《爱尔朗根纲领》
•1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生物
• 1所866谓-18几68何年普学吕，克就(德是, 1研801究-18几68何)的图博士 • 1形869对-18于86某年:类哥变廷根换大群学保、柏持林不大变学、的普 法战性争质、的埃尔学朗科根，大学或、者慕说尼黑任工何业一大学种、 莱比几锡何大学学、只哥是廷研根大究学与特定的变换 •德克国群莱大有因学使关更哥富的廷有不根科这变学座魅量具力。有，高吸斯引、了黎一曼批传有统杰的
函数
初等函数
狄
里
解析函数
克 雷
函
1837年狄里克雷(德, 1805-1859)
数
的处 连处 续不 函可 数微
算术化
• 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续 • 1821年柯西(法, 1789-1857)《分析教程》定义了极限、连续、
导数
1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出ε-δ语言 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和
几何学的公理化
• 1899年希尔伯特《几何基础》
“建立几何的公理和探究它们之间的关系，是一个 历史悠久的问题；关于这个问题的讨论，从欧几里得以 来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就 是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。”
本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完 备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推 证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地 表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”
出才华的年青数学家，使之成为20世纪初世 界数学的中心之一
统一的几何学
《爱尔朗根纲领》
射影几何
仿射几何 单重椭圆几何 二重椭圆几何 欧几里得几何 其它仿射几何
双曲几何
克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目， 诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质 生活，但数学能给予以上的一切。”
ak 0. pk1 pk 2 pk3 ,
对 k 1, 2, 3, , 若 pkk 1, 令 bk 9, 若 pkk 1, 令 bk 1. 再令b 0. b1b2b3. 则b (0,1],但是b ak , k 1, 2, 3,. 矛盾. 故(0,1]是不可数集.
集合论
康托对角线法证明: (0, 1]是不可数集.
若(0, 1]中的实数是可数的, 记其全体为ak , k 1, 2, 3, .
把每一ak写成10进小数形式. 设
a1 0. p11 p12 p13 , a2 0. p21 p22 p23 ,
a3 0. p31 p32 p33 ,
1871-1956)提出“有限覆盖定理” 1872年戴德金(德, 1831-1916)提出“分割理论” 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出“区间套原理”
实数理论
波尔查诺 (捷克斯洛伐克，1981）
实数理论
柯
魏
西
尔
斯
特
拉
斯
• 1834年进入波恩大学学习法律与商业，放弃法学博士候选人
1733年萨凯里(意, 1667-1733) 《欧几里得无懈可击》
非欧几何
1763年，克吕格尔(德, 1739-1812)第 一位对平行线公设是否能由其它公理加 以证明表示怀疑的数学家
1766年兰伯特(法, 1728-1777)《平行线理论》不认为锐角假设 矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛ห้องสมุดไป่ตู้, 就提供了一种可能的几何
1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)《简要论述平 行线定理的一个严格证明》
π(α)
1832年J•鲍约(匈, 18021860)《绝对空间的科学》
非欧几何
罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教 授、校长
1815年着手研究平行线理论，试图给出平行 公设的证明
1826年在物理数学系会议宣读《简要论述平 行线定理的一个严格证明》
级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物 理、物理学
非欧几何
模型与相容性
1868年贝尔特拉米(意, 1835-1899)
曳物线
伪球面
非欧几何
1871年克莱因(德, 1849-1925) 1882年庞加莱(法, 1854-1912)
克莱因-庞加莱圆
射影几何
早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662) 1799年蒙日(法, 1746-1818)的《画法几何学》 1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的《位置几何学》
1829年论文《几何学原理》在《喀山大学通
报》全文发表
罗巴切夫斯基(苏联, 1951)
直至罗巴切夫斯基去世的30年内，没能赢得
社会的承认和赞美
非欧几何
鲍
约
父
鲍约(罗马尼亚, 1960)
子
之
墓
非欧几何
1854年黎曼(德, 1826-1866)《关于几何基础的假设》
正常曲率(黎曼几何)
常曲内率蕴空几间何 负，常流曲率形(罗曲氏率几何)
默比乌斯(德, 1790-1868)
普吕克(德, 1801-1868)
射影几何
1847年施陶特(德, 1798-1867)的《位置几何学》 凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几 何和非欧几何
施陶特(德, 1798-1867)
凯莱(英, 1821-1895)
统一的几何学
第九讲 19世纪的几何与分析I
几何学的变革 分析的严格化
几何
现实空间与思维空间 微分几何 非欧几何 射影几何 统一的几何 公理化方法
微分几何
• 平面曲线理论17世纪基本完成 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：渐伸线、渐屈线 1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径 1691年和1692年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了 平面曲线理论