3 双变量模型：假设检验

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
E(u | X i ) 0
因此，给定 X ，随机扰动项 u i 的均值为零。由此可以得到 下图（见下一页）：
i
扰动项 u i 的条件分布
4.随机误差项 u i 的方差为常数，或同方差；否则称为异方差。 即：
var(ui ) E(ui 2 ) 2
同方差
异方差
5.两个误差项之间不相关，即：
四、判定系数

r2
2
判定系数（Coefficient of Determination）r 用来度量 2 回归线拟合真实Ｙ值的优劣程度。r 的计算过程如下：
首先有：
ˆ e Y i Y i i
恒等变化后得到： ˆ Y ) (Y Y ˆ )(即e ) Yi Y (Y i i i i

相关系数与判定系数
根据以前的知识可知：
r
(X
i 2 i
i
X )(Yi Y )
( X i X ) 2 (Yi Y ) 2
x y x y
i
2 i

可知判定系数与相关系数之间的关系为：
r r2
五、回归结果的报告

对于教材来说，回归分析结果（博彩一例）常写成如下形式：
该模型参数 B1 和 B2 的最小二乘估计量分别是
b1 Y b2 X
b2

x y x
i 2 i
i

X Y nXY X nX
i i 2 i 2
更详细地说，OLS估计量具有如下性质： (1)b1和b2是线性估计量，即它们是随机变量Y的线性函数。 E (b1 ) B1 和 (2) b1 和 b2 分别是 B1 和 B2 的无偏估计量，即有： E (b2 ) B2。 (3)b1和b2是有效估计量。即 var(b ) 小于任何一个 B 的线性无 var (b2 ) 小于任何一个 B 的线性无偏估计 偏估计量的方差， 量的方差。因此，与其他任何能够得到真实参数无偏估计 量的方法相比，OLS法更准确地估计了 B1 和 B2 。 ˆ 2 ) 2 ；即误差方差的OLS估计量是无偏的。 (4) E(
博彩一例的Eviews输出显示

博彩一例Eviews输出结果的实际Y值、估计的Y值以及残差 图：
正态性检验 1.残差直方图



残差直方图是用于获知随机变量密度函数（PDF）形状的一种简单工 具。图中，横轴是经过区间划分的残差，纵轴是对应于每一个区的频 数。 例如：博彩一例的残差直方图如下图
Series: RESID Sample 1 10 Observations 10
ˆ2 e
2 i
n2
ˆ ) 为残差平方和（RSS）。 ˆ 2 常作为 2 的 其中， e (Y Y 估计量。需要指出的是：
2 i 2 i
ˆ ˆ2
称为回归标准误(standard error of the regression,SER)，ˆ ˆ 值越小，Y的实际值 常用来度量估计回归线的拟合优度。 越接近根据回归模型得到的估计值。
残差平方和（residual sum of squares,RSS ） ，Ｙ变异未被解释
e
2 i
的部分。

根据以上分析，可以有如下式：
TSS ESS RSS

如果选择的ＳＲＦ很好地拟合了样本数据，则ESS远大于 RSS。如果所有真实的Ｙ值都落在了SRF上，则ESS等于TSS， RSS等于０；另一方面，如果SRF拟合得不好，则RSS远大 于ESS。一般来讲，如果ESS相对比RSS大，则SRF能够在很大 程度上解释Y的变异；如果RSS相对大一些，则SRF只能够部 分解释Y的变异。 为了便于分析，将上式进行变换如下：

例如博彩支出一例，结果见下表：

估计的博彩支出一例的函数：
ˆ 7.6182 0.0814 X Y i i
se (3.053) (0.0112)
三、OLS估计量的抽样分布及假设检验

根据古典线性回归模型的假定，参数估计量的抽样分布为：
b1~ N ( B1 , )
2 b1
2 b2 ~ N (B2 , b ) 2

它服从自由度为 n 2 的ｔ分布。 例如博彩一例。可以计算得到ｔ统计量的值为：
t 0.0814 7.2624 0.0112
对于显著性水平分别为１％、５％、１０％来说，得到 t 的临界值见 下图：

由临界值和ｔ值的对比可以得到结论：拒绝零假设。
3.利用P值进行检验
本例ｔ统计量的ｐ值约为0.0001。如果在ｐ值这个水平上拒绝零假设， 则犯错误的机会只有万分之一。
第三章 双变量模型：假设 检验
上海立信会计学院
1.古典线性回归模型的假设 2.普通最小二乘估计量的方差、标准误以及高斯-马
尔柯夫定理
3.OLS估计量的抽样分布或概率分布 4.假设检验 5.判定系数 6.回归分析结果的报告

上一章用最小二乘法对计量经济模型的待估参数进行了估 计，并得到了解释变量与被解释变量之间的数量关系。例 如博彩一例得到如下需求函数：
假设有如下一元线性回归模型
Yi B 1 B 2 X i ui
则对它的假定如下： 1.回归模型是参数线性的。 2.解释变量与扰动项不相关，即有：
C ov(ui , X i ) E([ui E(ui )][ X i E( X i )]) E(ui X i ) 0
3.给定 X i ，扰动项的期望值为零，即：
1
1
2


2.普通最小二乘估计量的方差和标准误
那么，依照我们对模型做出的假设可以有如下结论：
var(b1 )
2 b1
X n x
2
2 i 2 i
2
se(b1 ) var(b1 )
var(b2 )
2 b2

x
2 i
se(b2 ) var(b2 )
其中，se 表示标准误. 2 一旦知道了 ，就可以根据上式计算各统计量的方差等，但 一般情况下 2 是一个需要估计的参数。常常根据下式估计 2 ：
2
2
2
2 i
t
b2 B2 ˆ/
其中，2为包括截距在内的参数 的个数
2 i
x
~
tn 2
1.置信区间法 设显著性水平为 ，则可以得到如下式子：
P ( t / 2 b2 B2 ˆ/
x
2 i
t / 2 ) 1
继而得到 B2 的一个显著性水平为 的置信区间
cov(ui , u j ) E(ui u j ) 0, i j
由于任何两个扰动项不相关，所以任何两个Y也是不相关 的，即：cov(Y , Y ) 0. 。见下图：
i j
自相关的几种情况
6.回归模型是正确设定的。或者说，实证分析的模型不存 在设定误差或设定错误。 7.在总体回归函数 Yi B1 B2 X i ui 中，随机误差项 u i 服 从均值为0，方差为 2 的正态分布。即：
上式中出现的各种平方和定义如下： 均值Y 的总变异。

y
2 i
总平方和（total sum of squares,TSS） ，真实Ｙ值围绕其
ˆ 的变异，也称为回归平方和（由解释变量解释的部分）。 其均值 Y

ˆ y
2 i
，估计的Ｙ值围绕 解释平方和（explained sum of sqrares,ESS）
ui
N (0, )
2
注意：这个假设的理论基础来自中心极限定理（Central Limit Theorem,CLT）
二、高斯-马尔柯夫定理以及普通最 小二乘估计量的方差、标准误

由于普通最小二乘估计量是随机变量，所以我们想了解这 些随机变量的概率分布、方差和标准误等数字特征，同时 也想了解普通最小二乘估计量的性质。
P (b2 t / 2

ˆ
x
2 i
B2 b2 t / 2
ˆ
x
2 i
) 1
例如博彩一例，如果设 5% ，则可以得到 B2 的一个 置信区间为：
0.0814 2.306(0.0112) B2 0.0814 2.306(0.0112)
即：
0.0556 B2 0.1072
Yi 的变异
由 X 变异所 解释的部分 未解释部分

如图：
Yi 变异的分解图


用小写字母表示与均值的离差，得： ˆi ei yi y ˆi b2 xi，得到： 由于 y
yi b2 xi ei
对上上式两边同时平方再求和，经过简单数学变换，得：
y

2 i

ˆ y
2 i
2 ei
ˆ 7.618 0.081X Y i i

现在的问题是：如何根据一个样本，确定估计的回归 函数（样本回归函数）确实是真实总体回归函数的一个好 的近似？ 怎么判断最小二乘法是否是一个拟合样本数据 的好的方法？ 在对以上问题做出回答以前，我们必须对总体回归函数做 出一些必要的假设。
一、古典线性回归模型的假设
1.高斯-马尔柯夫定理 高斯-马尔柯夫定理：如果满足古典线性回归模型的基