3.1.2 瞬时速度与导数
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
第三章 3.1.2瞬时速度与导数
导
数
3.1.2 瞬时速度与导数
学习目标
1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.
3.掌握函数在某一点处的导数的定义.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考1
答案
瞬时变化率
物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这
Δs ∴Δ lim ＝ lim (2 t 0＋1＋Δt)＝2t0＋1. → → t 0 Δt Δt 0
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
解答
反思与感悟
(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导
致无从下手解答本题的常见问题. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). Δs ②求平均速度 v ＝ Δt .
f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的
速度为0.6 μg/(mL· min).
解答
达标检测
1.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那
么其在1.2 s末的瞬时速度为
A.－4.8 m/s √
C.0.88 m/s 解析
B.－0.88 m/s
Δs ③求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时， Δt 无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练 2
一质点M按运动方程 s(t) ＝at2＋1做直线运动 ( 位移单位： m，
时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
3.1.2导数的概念
§导数的概念【运用课时】：1课时【学习目标】：1.驾驭用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度.【学习重点》导数概念的形成，导数内涵的理解【学习方法】：分组探讨学习法、探究式.【学习过程》一、课前打算(预习教材月J月6,找出怀疑之处)复习1：气球的体积V与半径r之间的关系是“V)=括，求当空气容量V从O增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度。
与起跳后的时间，的关系为：∕z⑺=-4.9/+6.5/+10.求在l≤f<2这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为.一般地，若物体的运动规律为S=/(/),则物体在时刻t的瞬时速度V就是物体在t至M+∆Λ这段时间内，当____________ 时平均速度的极限，即1. ∆5V=Iun—= _________________ - .As。
Δ/Ac问题2：瞬时速度是平均速度空当，趋近于0时的得导数的定义：函数y=/(尢)在4=%处的瞬时改变率是八"。
+AV)-D=Iim包,我们称它z→o∆xA"→o∆r为函数y=/(x)在X=Xo处的导数，记作∕,(⅞)或y,∖x,xn即Γ(Λ0)=Iim.(少〜(.)’" ∆v→o∆Λ,留意：(1)函数应在点与的旁边有定义，否则导数不存在..(2)在定义导数的极限式中，AX趋近于O可正、可负、但不为0,而Ay可以为0・(3)”是函数y=/(x)对自变量X在&范围内的平均改变率，它的几何意义是过曲线∆xy=/(尢)上点(冗OJ(XO))及点(XO+∆xj&o+∆x))的割,线斜率♦(4)导数f7(x0)=Iim/3，+AV Uo)是函数y=f(x)在点X0的处瞬时改变率，它反映—∆x的函数y=/(x)在点/处改变的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，须要对原油进行冷却和加热.假如在第Xh时，原油的温度(单位：0C)⅜∕(X)=X2-7X+15(0≤X≤8).计算第2h和第6h.时，原油温度的瞬时改变率，并说明它们的意义.总结：函数平均改变率的符号刻画的是函数值的增减；它的肯定值反映函数值改变的快慢.例2已知质点材按规律所2y+3做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),(1)当Q2,Δ户O.O1时，求a.NNs⑵当Q2,4户0.001时，求——.∖t(3)求质点"在片2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量Ay=/(X t)+∆x)-f(%)；其次步：求平均改变率丝=∕α°+Aγ);∆x Ax第三步：取极限得导数/'(Λ0)=R%之.当堂检测1.在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时改变率,并说明它们的意义.2.已知函数y=f(x),下列说法错误的是()A、Ay=/(Xo+∆x)-f(Xo)叫函数增量B、包一/(/,A0一/一°)叫函数在［%,4+Ar］上的平均改变率∆x∆xC、f(x)在点X0处的导数记为y,D、/(X)在点/处的导数记为广(XO)3.求函数y=Vx在X=1处的导数4.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是S(Z)=J(位移单位：m,时间单位：s),求小球在/=5时的瞬时速度. 学习小结①导数即为函数片/U)在下M处的瞬时改变率；与上一节的平均改变率不同/.⑴尸Ii m旦二Ii m/(戈。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1的全部内容。
3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
【数学】3.1.2《导数的概念》
在物体运动过程中,平均速度不一定能反映 物体在某一时刻的运动状态，需要用瞬时 速度描述运动状态。我们把物体在某一时 刻的速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
设一质点沿直线运动，经过的路程s是关于时间t的函数：s=s(t)．
为研究质点在时刻t的瞬时速度，先考虑在时刻t到t+t这 段时间内质点的平均速度 ． 时间间隔t越小， 质点运动的速度变化越小，平均速度 就越接近时刻t的瞬时速度，于是该瞬时速度v(t)就是平均速 度的极限,即:
注意:瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
例 : 求 函 数 y = x 在 x 2时 的 瞬 时 变 化 率 .
2
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数(瞬时变化率) 的一般方法:
1. 求函数的改变量 y f ( x0 x) f ( x0 );
2. 求平均变化率
x 0
lim
f (x0 Δx) f ( x0 ) x
lim
y x
x 0
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
y | x x , 即 f ( x ) lim f ( x0 Δx) f ( x0 ) . 或 0 0 x 0 x
y x y f ( x0 ) lim . x 0 x f ( x0 x) f ( x0 ) x ;
3. 求值
一差、二化、三极限
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬Байду номын сангаас变化率就是 f ( 2)和 f (6). 根据导数的定义,
瞬时速度与导数
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4．求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数．
解： Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx ＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴ ＝ ＝2＋Δx. Δx Δx ∴y′|x＝1＝liΔx→0 (2＋Δx)＝2. m
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1．平均变化率刻画函数在 x1 到 x2 之间变化的快慢 程度． 瞬时变化率刻画函数在某一点附近变化的快慢程度． 2．求瞬时变化率，就是求平均变化率当自变量的“增 量”趋近于 0 时的极限值． 3．求函数的导数分三步： Δy (1)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)计算 ； Δx Δy (3)计算lim . Δx→0 Δx
第 三 章
理解教材新知 3.1 3.1. 2瞬 时速 度与 导数 考点一
导 数 及 其 应 用
把握热点考向
考点二
应用创新演练
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3．1.2
瞬时速度与导数
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在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队
以“零米零秒”的误差通过天安门上空． 问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度． 问题2：当Δt逐渐变小时，梯队在t0到t0＋Δt之间的平均
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3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 的瞬时变化率定义为函数 y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) 或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx→0 Δx
.
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4．函数的导数 (1)可导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x 导数都存在 ，则称f(x)
在区间(a，b)可导．
(2)导函数定义 若f(x)在区间(a，b)可导，则对开区间(a，b)内每个值x， 都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构 成一个 新的函数 ，把这个 函数 称为函数y＝f(x)的导函数，
3.1.2瞬时速度与导数
Δs 1．求瞬时速度应先求平均速度 v ＝ Δt ，再用公式 v Δs ＝ lim Δt ，求得瞬时速度． Δx→0 2．如果物体的运动方程是 s＝s(t)，那么函数 s＝s(t) 在 t＝t0 处的导数，就是物体在 t＝t0 时的瞬时速度． 3．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变 量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不 是变数.
一、瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率 f (t0 t ) f (t0 ) t 当 Δt 趋近于 0 时，趋近于常数 我们把这个常数称为物体在 t0 时刻的瞬时速度
探究二：导数的概念
求函数在某点处的导数
求函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数．
解法一：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴f′(1)＝ lim Δx＝ lim ＝ lim (2＋Δx)＝2， Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 即 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝2.
高中新课程数学选修1-1 第三章 导数及其应用
3.1.2
瞬时速度与导数
探究一：瞬时速度
已知物体作变速直线运动，设物体运 动路程与时间的关系是S=f(t),
问题 1 求从 t0 到 t0＋Δt 这段时间内物体的平均速度。 f (t0 t ) f (t0 ) s v0 t t
问题 2 求物体在 t0 时刻的速度。
【答案】 C
4．一物体运动的方程是 s＝3＋t2，求物体在 t＝2 时的 瞬时速度．
【答案】 4
1 5、求函数 y＝x＋x在 x＝1 处的导数．
高中数学选修1课件：3.1.2导数的几何意义
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
v lim s lim st t st
t0 t
内解的：平设均在速[3，度3（.1位]内移的的平单均位速为度m为）v。1，则 △t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
所以
v1
s1 t1
0.305 g 0.1
3.05 g(m /
s)
同理v2
s2 t2
0.03005 0.01
t 0
t
例２、 y
y f (x)
相交
oP
x
再来一次
y f (x)
y
Q
Q
Q
P
o
x3 x2x1
T
再来一次
x
上面我们研究了切线的斜率问题, 可以将以上的过程概括如下：
设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
h t
v0
gt0
1 2
gt
当t
0时，h
t
v0
gt0
所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0
3.1.2导数的概念
3.1.2导数的概念【知识点总结】1.瞬时变化率的概念：物体在运动中，在不同的时刻其速度是不同的。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
2.在上一节课中， 我们学习了求函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率： 00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆ 当0x ∆→时，区间00[,]x x x +∆→点0x ，此时函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率→函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率。
可以表示如下：0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率 或表示如下：函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆ 注意：由以上说法，我们可以求函数在任一时刻0x 的瞬时变化率.（‘→’表示无限趋近于）3.定义导数的概念：一般地，函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆， 我们称它为函数函数()y f x =在点0=x x 处的导数，记作：0()f x '或0=x x y '.即：00000()()()lim=lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆ 或记作： 000=00()()=lim =lim x x x x f x x f x y y x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆ 注意1：导数的概念，初听起来有些玄乎，其实就是函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率，或者说就是0x ∆→时00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值。
这样我们可以利用求极限的方法去求函数()y f x =在点0=x x 处的导数，也即函数()y f x =在点0=x x 处的瞬时变化率. 注意2：一般情况下0()f x '反映的是函数()y f x =在点0=x x 附近的变化情况.4.利用导数定义，求函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）的步骤： 第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）:00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆； 第三步：当0x ∆→时，计算00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值 （即计算：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆∆∆）； 第四步：写出函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）.5.区分0()f x 与0()f x '：0()f x 是函数()f x 当0=x x 时的函数值；而0()f x '是函数()f x 在0=x x 处的导数，同时也是函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率.【典型例题】例题一：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.9 6.510h t t t =-++，求运动员1t s =时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.解：=(1)(1)h h t h ∆+∆-22[ 4.9(1) 6.5(1)10][ 4.91 6.5110]t t =-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9 3.3t t =-∆-∆ 24.9 3.3= 4.9 3.3h t t t t t∆-∆-∆=-∆-∆∆ 00(1)lim lim( 4.9 3.3) 3.3t t h h t t ∆→∆→∆'==-∆-=-∆ 所以，运动员1t s =时的瞬时速度为 3.3-，这说明运动员在1t s =附近以3.3m s 的速度下降。
人教B版高中数学选修1-1创新设计练习3.1.2瞬时速度与导数(含答案详析)
双基达标 （限时20分钟）1．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )． A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/sD ．4.8 m/s解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A2．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )． A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b解析 ∵Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝a ＋Δx .∴f ′(x 0)＝ (a ＋Δx )＝a . 答案 C3．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( )． A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0解析 f ′(0)＝f （0＋Δx ）－f （0）Δx＝（Δx ）2－3ΔxΔx＝(Δx －3)＝－3. 答案 C4．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．解析 v 初＝s ′|t ＝0＝ s （0＋Δt ）－s （0）Δt＝ (3－Δt )＝3.答案 35．已知函数f (x )在x ＝1处可导，且f ′(1)＝1，则f （1＋x ）－f （1）x＝________．解析 根据导数的定义， f （1＋x ）－f （1）x ＝f ′(1)＝1.答案 16．利用导数的定义，求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x ＋Δx ）2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2＝－2x Δx －（Δx ）2（x ＋Δx ）2·x 2，∴Δy Δx ＝－2x －Δx （x ＋Δx ）2·x 2，∴y ′＝Δy Δx ＝ －2x －Δx （x ＋Δx ）2·x 2＝－2x 3，∴y ′|x ＝1＝－2. 综合提高 （限时25分钟）7．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )． A ．(1，10) B ．(－1，－2) C ．(1，－2) D ．(－1，10)解析Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝3（x 0＋Δx ）2＋6（x 0＋Δx ）＋1－3x 20－6x 0－1Δx＝3Δx ＋6x 0＋6，∴f ′(x 0)＝ΔyΔx＝(3Δx ＋6x 0＋6)＝6x 0＋6＝0，∴x 0＝－1.把x 0＝－1代入y ＝3x 2＋6x ＋1，得y ＝－2.∴P 点坐标为(－1，－2)．答案 B8．设函数f (x )可导，则f （1＋Δx ）－f （1）3Δx等于( )．A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)解析 根据导数的定义：f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝f ′(1)，f （1＋Δx ）－f （1）3Δx＝13f ′(1)． 答案 C9．某物体作匀速运动，其运动方程是s ＝v t ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________(填“相等”或“不相等”)． 解析 v 0＝Δs Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt＝v （t 0＋Δt ）－v t 0Δt＝v ·Δt Δt＝v .答案 相等10．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________．解析 由图及已知可得函数解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2（x －2），0≤x ≤2，x －2，2＜x ≤6.利用导数的定义，所以f ′(1)＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝－2（1＋Δx －2）＋2（1－2）Δx＝－2.答案 －211．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解 设运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴瞬时速度v ＝ Δs Δt ＝at 0. 由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3， 故v a t 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.12．(创新拓展)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝Δf （x ）Δx ＝（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，g ′(x )＝Δg （x ）Δx＝（x ＋Δx ）3－x 3Δx＝3x 2.∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。
高中数学 瞬时速度与导数
例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 0 的温度 单位 : C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计 算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
例1 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度 为100m/s.试求小球何时速度为9.
1 2 解：小球的运动方程为 h(t ) 100 t gt 2
h(t ) 1 100 t gt gt 在t附近的平均变化率为 t 2
t时刻的0t gt,
/
100 10.2( s). 令h (t ) 100 gt 0, 解得t g
t 0 时, 在 2,2 t 这段时间内 h2 t h2 4.9t 2 13.1t v 4.9t 13.1 t 2 t 2 当t 0.01时, v 13.149 ;
当t 0.001 时, v 13.1049 ; 当t 0.0001 时, v 13.10049 ; 当t 0.00001 时, v 13.100049 ; 当t 0.000001 时, v 13.1000049 ;
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
探究 1. 运动员在某时刻 t0的瞬时速度怎样表示 ? 2. 函数 f x 在x x0处的瞬时变化率怎样表 示?
一般地,函数 y f x 在x x0处的瞬时变化率是 f x0 x f x0 f lim lim , 我们称它为函数 x 0 x 0 x x y f x 在x x0处的导数derivative, f x0 x f x0 ' ' 记作 f x 或 y | x x0 即 lim . x 0 x
3.1.2瞬时变化率---导数
s s ff ((tt00 tt)) ff ((tt00)) v 。 v 。 tt tt
s 近似的程度就越好。所以当t0时，比值 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
f (t0 t ) f (t0 ) v在t0的瞬时速度 t
解:
v f (t0 t ) f (t0 ) a ． t t
2t 0 x
当t无限趋于0时， a无限趋于2t 0 ,即a 2t 0
H ( 2.1) H ( 2) v 13.59( m / s ) 2.1 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])
内的平均速度。
时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] 当△t→0时，
数学运用：
例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t s时
v(t ) t 2 3 ，求当 的速度为
t t0 s时轿车的瞬时
加速度．
分析:
1 s s(t0 t ) s(t0 ) 2 g t g (t ) 2 2 __ s s(t0 t ) s(t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
当t 0时
1.曲线在某一点切线的斜率
y
y=f(x)
Q
割 线
T
回顾
P
切线
o
x
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x
(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P处切 斜率)
3.物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. （即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率） 以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过 取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速 度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
瞬时速度与导数的关系
瞬时速度与导数的关系瞬时速度与导数之间存在密切的关系。
首先，我们来解释一下瞬时速度和导数的概念。
1. 瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一时刻的即时速度，也可以理解为物体通过一小段时间内所移动的距离与该时间段的长度的比值。
瞬时速度可以用以下公式表示：v = lim Δt→0 (Δx/Δt)，其中v表示瞬时速度，Δx表示物体在时间段Δt内移动的距离。
2. 导数：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
在物理学中，瞬时速度与时间的关系可以用函数表示，这个函数就是速度函数。
速度函数的导数就是瞬时速度的导数，也叫作加速度。
加速度表示单位时间内速度的变化量。
接下来，我们来说明瞬时速度与导数之间的关系。
3. 瞬时速度与导数的关系：根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。
在物理学中，瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过速度函数的导数，我们可以得到在某一时刻物体的加速度。
如果物体在某一时刻的加速度为正值，那么物体的速度在这一时刻是增加的；如果加速度为负值，那么速度在这一时刻是减小的。
当加速度为零时，速度保持不变。
反过来，如果我们已知物体在某一时刻的速度函数，我们可以通过求导数得到该时刻的加速度。
这个加速度可以告诉我们物体在这一时刻的速度是增加还是减小，以及速度的变化有多快。
综上所述，瞬时速度与导数之间存在紧密的关系。
瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过导数，我们可以确定物体在某一时刻的加速度，从而了解物体速度的变化情况。
高二数学(人教A版)《3.1.2导数的概念》导学案
§3.1.2导数的概念[自学目标]:1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数.[重点]: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. [难点]: 导数的概念 [教材助读]:1. 一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作即： 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-[预习自测]1、一铅球沿斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =（s 的单位：m ，t 的单位：s ）则小球在t=5时的瞬时速度为2、一物体的运动方程是2()1s t t t =-+求物体在3s 末的瞬时速度.上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：导数的定义例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim探究二：导数的应用例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[当堂检测]1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[拓展提升]1、一物体的运动方程是23s t =则在2t =时刻的瞬时速度是（ ）A 、3B 、4C 、7D 、5 2、根据导数的定义求下列函数的导数 （1） 求函数23y x =+在1x =处的导数.(2)求函数1y x=在(0)x a a =≠处的导数.[课后作业]1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim0x △△△△--+→。
高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时变化率导数7111数学
第一页，共二十二页。
学习目标：
1、理解(lǐjiě)导数的概念，学会求函 数在一点处的导数的方法； 2、理解掌握开区间内的导数概念， 会求一个函数的导数；
3、了解导数与导函数的关系。
第二页，共二十二页。
课前自主学案
温固夯基
1．函数f(x)在区间(qū jiān)[x1，x2]上的平均变化率为
是自变量x的函数，该函数称为f(x)的_______，导也简函称数
_____，记导作数_______． f′(x)
(hánshù)
第七页，共二十二页。
问题探究
1．“Δx无限趋近于0”的含义是什么？ 提示：Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以(kěyǐ)小 于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
第十一页，共二十二页。
课堂互动讲练
求函数在x＝x0处的导数(dǎo shù) 确定函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般(yībān)有两种方
法：一是应用导数定义法；二是导函数的函数值法。
第十二页，共二十二页。
例 1、已知函数 y x2 ，求（1）在 x 1处的导数，
（2）在 x a 处的导数， （3） y 。
导数。1、理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法。2、理解掌握开区间内的导数概念，会求 一个函数的导数。斜率为kPQ＝______________＝_______________.。2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝
No 0时的平均变化率吗。确定函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般有两种方法：一是应用导数定义(dìngyì)法。二是导
(dǎo shù)
第六页，共二十二页。
(2)几何意义：导数____f′__(_x的0) 几何意义就是曲线y＝f(x)
3.1.2瞬时速度与瞬时加速度
班级 姓名学习目标：1、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；2、了解求瞬时速度和瞬时加速的的方法。
学习重难点：1、瞬时速度和瞬时加速的定义2、求瞬时速度和瞬时加速的的方法。
一、课前自主学习1．设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t 到t+△t 这段时间内的平均速度为t s ∆∆= ，如果△t 无限趋近于0， ts ∆∆无限趋近于某个常数v 0，这时v 0就是物体在时刻t 的 。
2．设物体运动的速度函数()v t ν=，则物体在t 到△t 这段时间内的平均变化率为t v ∆∆= ，如果△t 无限趋近于0，tv ∆∆无限趋近于某个常数a ，这时a 就是物体在时刻t 的 。
3．已知一动点的运动规律满足等式232s t =-（t 的单位：s ，s 的单位：m ），则t=3s 的瞬时速度是小结：求运动物体在某一时刻的速度，即求瞬时速度的步骤： (1)设非匀速直线运动的规律为：s ＝s (t )；(2) 时间改变量Δt ，位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)平均速度v ＝ΔsΔt.二、例题讲解例1：设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为3)(2+=t t v ,（1）求t=3s 时轿车的加速度；（2）求t=0t s 时轿车的加速度。
例2：．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系式是23s t t =-。
（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t=2时的瞬时速度；（3）求t=0到t=2的平均速度。
1．一质点沿直线运动的方程为221y x =-+（x 表示时间，y 表示位移），则该质点从12x x ==到的平均速度为2．某物体的运动方程为4134s t =-（t(s)表示时间，s(m)表示位移），则t=5s 时该物体的瞬时速度为 .3．一物体做直线运动，在时刻ts 时，该物体的位移是2182s t =-（单位：m ），则当t=3s 时物体的瞬时速度为 .4. 已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2，求：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度； (2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2秒到t 1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t 0＝2秒时的瞬时速度．5. 若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s) s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3(t －3)20≤t <3 ②. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．学习目标：1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及内涵; 2.掌握导数的概念.学习重难点：导数的概念.一、课前自主学习1.导数的概念:设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处_____，并称该常数A 为f (x )在x ＝x 0处的_____，记作_______，导数______的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的_______． 2. 求函数y ＝f (x )在x 0处的导数的步骤： ①求函数的增量Δy ＝________________； ②求平均变化率ΔyΔx＝_________________；③当Δx 无限趋近于0时，确定ΔyΔx 无限趋近的常数A ，则___________.3.导函数的概念:若函数f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的____ __，也简称__ __，记作__ __ 4.)(0x f '与)(x f '之间的关系：5．设函数()f x 可导，则△x 无限趋近于0时，()()xf x f ∆-∆+11无限趋近于二．例题讲解例1. 已知 ()f x =2x +2.（1）求()f x 在x=1处的导数。
瞬时速度与导数
观察 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?
时间区间
△t
平均速度
[1.9，2]
－0.1
-12.61
[1.99,2]
－0.01
-13.051
[1.999,2] －0.001 -13.0951
[1.9999,2] －0.0001 -13.09951
x
x
x1 x0
引例
已知物体运动位移和时间关系为 s f t
从t0到t0 t这段时间内函数的平均变化率为
v
f t0 t
t
f t0
s t
即为物体运动的平均速度。
当t 0时，st 常数l
则l叫做物体在t0时刻的瞬时速度
（ 读作“趋近于”）
s
s f t s
t
t
t0 t0 t
问题情境:
h（t
0
t）
h（t
）
0
t
当t趋近于0时，趋于常数 9.8t0 6.5
我们把它称为
t
时刻的瞬时速度
0
瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv
ss tt
ff((tt00
tt)) tt
ff ((tt00))
。。
所以当t0时，比值
s t
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。
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在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
计算填表：
情感态度与价值观
让学生感受事物之间的联系，体会数学的美
教学重点
1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
教学难点
1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用
教学方法
启发式
教具
多媒体
教学过程
设计意图
师生活动
一、复习提问，引入新知
1、平均变化率的定义？
2、求函数 在 平均变化率？
温故知新，做好铺垫
P82练习A1 P85习题A１，２
巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。
学生课后完成
板书
设计
1、平均速度例1、例2、
2、瞬时速度
3、函数平均变化率
4、导数的概念
课后
反馈
三、例题剖析、巩固新知
例1．火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？
例2.求函数 在点x=3处的导数。
解：火箭的运动方程为h(t)=100t－ gt2，
在t附近的平均变化率为
当△t→0时，上式趋近于100－gt。
可见t时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。
趋近于一个常数 ，那么常数 称为函数 在点 的瞬时变化率。
4.导数的定义
定义：y=f(x)在x0点附近有定义，对自变量任一改变量△x，函数改变量为△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限
存在，称该极限值为f(x)在x0点的导数。
表示方法： 或
5.利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量
；
第二步：求平均变化率
二、探索研究、获得新知
（一）速度问题
1.平均速度：
即
平均速度 就是函数 在区间 的平均变化率。
2.瞬时速度
通过实例探索研究，获得概念
通过实例，体会化曲为直的极限思想
一汽车3小时走了120公里，则它的平均速度为40公里/小时。即在时间t内，物体运动了距离s，则它的平均速度为
瞬时速度怎么定义，又如何求出呢？
；
第三步：取极限得导数
.
由上表可以看出，当时间隔间越来越小时，平均速度趋于常数-13.1，这个常数被视为该运动员在2s时的瞬时速度，即 。
这里“—”号表示这个运动员在2s时的瞬时速度的方向是竖直向下的。我们把上述关于2s时的瞬时速度用函数平均变化率的变化趋势描述如下：
当 趋近于0时， 趋近于
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导。这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f’(x)。于是，在区间(a，b)内，f’(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，记为f’(x)或y’(或 )。
第单元
课型
授课日期
课题
3.1.2瞬时速度与导数
教学
目标
知识与技能
1、通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；
2、理解导数的概念及符号记法，体会导数的思想及其内涵。
过程与方法
先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力
时间区间
时间间隔
平均速度
[2,2.1]
[2,2.01]
[2,2.001]
[2,2.0001]
……
0.1
0.01
0.001
0.0001
……
时间区间
时间间隔
平均速度
[1.9,2]
[1.99,2]
[1.999,2]
[1.9999,2]
……
0.1
0.01
0.001
0.0001
……
3.函数的瞬时变化率
定义：y=f(x)在x0点附近有定义，对自变量任一改变量△x，函数改变量为△y=f(x0+△x)－f(x0)，当 趋近于0时，平均变化率
令h’(t)=100－gt=0，解得
所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.
解：因为△y=(3+△x)2－32=6△x+(△x)2.
所以
令△x→0，
所以函数 在点x=3处的导数为6.
四、课堂练习，落实新知
：P82练习A 2，3
学生独立完成，教师检查、反馈。
五、归纳总结，贯通新知
平均变化率
6、布置作业