金榜名师推荐高中数学北师大选修同课异构练习 第二章 圆锥曲线与方程 课时提升作业 十二 含答案

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课时提升作业十二抛物线的简单性质一、选择题(每小题5分，共25分)1.抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且焦点到准线的距离为4，则该抛物线的方程为( )A.x2=4yB.x2=-4yC.x2=±4yD.x2=±8y【解析】选D.由题意知所求抛物线方程为x2=±2py(p>0)形式，又p=4，所以x2=±8y.2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为( )A.y2=xB.x2=3yC.x2=yD.y2=3x【解题指南】利用点(x，y)关于y=x的对称点为(y，x)进行求解. 【解析】选B.因为点(x，y)关于y=x的对称点为(y，x)，所以y2=3x 关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.3.(2016·九江高二检测)已知抛物线y2=4x，A(-1，0)，F(1，0)，点B 在抛物线上，且|BF|=5，则cos∠BAF=( )A. B. C. D.【解题指南】根据抛物线方程可知F为抛物线焦点，A为准线方程与x 轴的交点，进而根据|BF|=5求得点B的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，进而求得|AB|，最后利用余弦定理求得cos∠BAF的值. 【解析】选A.依题意2p=4，所以p=2，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x=-1，即F为抛物线的焦点，A为准线方程与x轴的交点.根据抛物线的对称性可知，B点在x轴的上方与在x轴的下方∠BAF是一样的，不妨令B点在x轴上方，x B=5-1=4，所以y B==4，所以|AB|==.因为|BF|=5，|AF|=1+1=2，所以cos∠BAF===.4.已知抛物线C的通径端点为A，B，且|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.48【解析】选C.由题意知|AB|=2p=12.所以p===6.又P到AB的距离始终为p，所以S△ABP=×12×6=36.5.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )A. B. C. D.3【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)，该点到直线4x+3y-8=0的距离为，当m=时，取得最小值为.【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为：4x+3y+n=0，由消去y得，3x2-4x-n=0，由Δ=0得，16+12n=0，解得n=-.所以l的方程为4x+3y-=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.【补偿训练】若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则|PQ|的最小值是( )A.2B.C. D.【解析】选D.如图所示，要求|PQ|min只须以A为圆心，以b为半径的圆与抛物线相切，则|PQ|的最小值为b-1.把(x-3)2+y2=b2(b>1)与y2=x联立得：x2-5x+9-b2=0，Δ=25-4(9-b2)=0，解得：b2=.所以|PQ|min=-1=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016·宝鸡高二检测)一个正三角形的顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________.【解析】由正三角形与抛物线的对称性可知A，B两点关于x轴对称(如图).设A(m，n)，则B(m，-n)，且所以所以S△AOB=×8×12=48.答案：487.(2016·延安高二检测)设抛物线y2=16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|=________.【解析】设P(x，12)，代入y2=16x得x=9，所以|PF|=x+=9+4=13.答案：138.(2016·景德镇高二检测)对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1).能使这条抛物线的方程为y2=10x的条件是________(要求填写适合条件的序号).【解析】由抛物线的方程为y2=10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合.①不适合.又因为抛物线的焦点坐标为F，原点O(0，0)，设点P(2，1)，可得k PO·k PF=-1，所以⑤也适合.通过计算可知③④不合题意.所以应填②⑤.答案：②⑤三、解答题(每小题10分，共20分)9.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.【解题指南】解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可.【解析】椭圆的方程可化为+=1，其短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，所以设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，即=3，所以p=6，所以抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x，其相应的准线方程分别为x=-3或x=3.10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，A(x0，y0)，由题意知M.因为|AF|=3，所以y0+=3，因为|AM|=，所以+=17，所以=8，将=8，y 0=3-，代入方程=2py 0得，8=2p，解得p=2或p=4.所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2016·南昌高二检测)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=( )A.4B.8C.8D.16【解析】选B.设A(-2，y)，F(2，0)，所以k AF==-，所以y=4，所以y P=4.因为点P在抛物线上，所以=8x P，所以x P===6.由抛物线定义可得|PF|=|PA|=x P-x A=6-(-2)=8.2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A，B是C的准线与E的两个交点，则=( )A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为(c，0)，依题意得解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为+=1，因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到+=1，解得A(-2，3)，B(-2，-3)，故=6.二、填空题(每小题5分，共10分)3.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________. 【解析】将y=x-1代入y2=4x，整理，得x2-6x+1=0.由根与系数的关系，得x1+x2=6，=3，所以===2.所以所求点的坐标为(3，2).答案：(3，2)4.已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.【解题指南】点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为的圆，数形结合即可.【解析】联立直线y=a与抛物线y=x 2得x=±，满足题设条件的点C 的轨迹是以(0，a)为圆心，以为半径的圆，其方程为x 2+(y-a)2=a.由数形结合可知当r=≤a时满足题设要求，解得a≥1.答案：[1，+∞)三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2016·赣州高二检测)如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】(1)由得x2-4x-4b=0，(*)因为直线l与抛物线相切，所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0，所以b=-1.(2)由(1)知b=-1，方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2，代入x2=4y中得，y=1，所以A(2，1).因为圆A与抛物线准线y=-1相切，所以r=|1-(-1)|=2.所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.6.(2016·咸宁高二检测)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.因为点P(1，2)在抛物线上，所以22=2p·1，得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB.则k PA=(x1≠1)，k PB=(x2≠1).因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA=-k PB.所以=-.所以y1+2=-(y2+2).所以y1+y2=-4.由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，得=4x 1，①=4x2，②由①-②得直线AB的斜率k AB ===-=-1(x1≠x2).关闭Word文档返回原板块。