9.26 最新数列
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：数列在日常经济生活中的应用课件
解析：由题意知9年后的价格为640×
1−1
4
3
＝270(元)．
5．1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水， 那么24 min可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间 关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后 1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，问最后关
{an}(1≤n≤10)． 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)， 故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝1+1p为公比的等比数列．
所以2028年初这个家庭应取出的钱数为
a
S10＝
1+p
10
1−
1 1+p
1−1+1p
10
＝pa[(1＋p)11－(1＋p)](元)．
2．某钢厂的年产值由1999年的40万吨，增加到2009年的50万吨，经
历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2019年的年产值将
接近( )
A．60万吨
B．61万吨
C．63万吨
D．64万吨
答案：C
解析：设年增长率为x，则2009年为：40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝54. 2019年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2 ＝40×54 × 54＝62.5≈63(万吨)．故选C.
易错辨析 实际问题与所建数学模型不符致误 例4 某林场去年年底森林中的木材存量为a，从今年起每年以25% 的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20 年达到木材存量至少翻两番的目标，求b的最大值(取lg 2＝0.3)．
【易错警示】
数列与数表的规律知识点总结
数列与数表的规律知识点总结数列和数表作为数学中常见的概念，是研究数的排列规律的一种方法。
在数学中，数列是按照一定的规律排列的一组数，而数表则是数列的集合，它们在数学运算、数学模型以及解决实际问题中都有广泛的应用。
本文将总结数列与数表的规律知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列与等差数表等差数列是指数列中相邻项之间的差值固定的数列，其中公差是指相邻项之间的差值。
等差数表也是类似的概念，只不过它是由多个等差数列组成的表格。
1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n 项的和。
3. 等差数表的构成等差数表可以通过将等差数列依次排列得到，每一行都是一个等差数列，相邻行之间的公差相等。
二、等比数列与等比数表等比数列是指数列中相邻项之间的比值固定的数列，其中公比是指相邻项之间的比值。
等比数表也是类似的概念，只不过它是由多个等比数列组成的表格。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个项，a1表示首项，r表示公比。
2. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)，其中Sn表示前n项的和。
3. 等比数表的构成等比数表可以通过将等比数列依次排列得到，每一行都是一个等比数列，相邻行之间的公比相等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
1. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中Fn表示第n个斐波那契数。
2. 斐波那契数列的性质斐波那契数列具有许多有趣的性质，如黄金分割性质、逼近性质等，在数学和自然科学中有广泛的应用。
数学人教A版(2019)选择性必修第二4.1.1数列的概念(共33张ppt)
1
4
3．- 的 n 次幂按 1次幂、2 次幂、3 次幂、次幂
2
1 1
1
1
排成一列数． - ， ，- ， ， ．③
2
4
8
依次
16
思考? 你能仿照上面的叙述, 说明③也是具有确定顺序
的一列数吗？
1
1
即p 1 = - 是排在第 1 位的数，
记 - 的第 i 次幂为 pi ，
2
2
1
1
p 2 = 是排在第 2 位的数，p 3 = - 是排在第 3 位的数，
项)，常用符号a1表示, 第二个位置上的数叫做这个数列的
第2项, 用符号a2表示…,第n个位置上的数叫做这个数列的
第n项, 用符号an表示.
数列的一般形式是 : a1 , a2 , ... , an , ... 简记为{an}.
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做
无穷数列
数列{an }中的每一项 an与它的序号n有下面的对应关系：
128
记王芳第i岁时的身高为hi , 那么h1=75, h2=87, ┉, 120
116
h17=168. 我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的 110
103
顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数，
96
h2=87是排在第2位的数, ┉, h17=168是排在第17位的数，它87
序号 1
2
项
a2 a3 … an …
a1
3
…
…
n
所以数列{an }是从正整数集N (或它的有限子集 { 1 ，
2 ， ，n } )到实数集R的函数，其自变量是序号n ，对应
分布数列的编制
统计表和统计图
一、统计表 二、统计图 （一）分布图 主要用来展现统计资料所描述的次数分布和
类型特征，常用的图形有：直方图、折线图、曲 线图、累计曲线图 （二）形象图 主要用来展现统计资料所描述的数量多少、 速度快慢和结构特征等，常用的图形有：实物图、 饼形图、柱形图。
1、物形图
首先将数据从小到大进行排列，使 之系列化
810 840 870 920 990 1050 1070 1080 1100 1120 1120 1240
1280 1300 1310 1330 1350 1350 1360 1360 1390 1400 1420 1460 1460 1490 1500 1540 1540 1550 1570 1580 1590 1630 1650 1670 1710 1720 1730 1750 1770 1840 1860 1870 1880 1940 1970 2060 2080 2120 2300 2380
1600—1800 8
14.82 43 79.63 19 35.26
1800—2000 6
11.11 49 90.74 11 20.37
2000—2200 3
5.56
52 96.30 5 9.26
2200—2400 2
3.70
54 100.00 2 3.70
合 计 54 100.00
（一）单项式数列次数分布图 以变量为横轴，以次数为纵轴，在坐标上描出各
组的变量值和相应的分配次数所对应的坐标点， 并用折线连接各坐标点，即得分布曲线（折线） 图． 如见前面的工人日产量次数分布表的例子绘图．
（二）组距式数列次数分布图
数列全集
1、256 ，269 ，286 ，302 ，（）解析： 2+5+6=13 256+13=269 2+6+9=17 269+17=286 2+8+6=16 286+16=302 302+3+2=3072、72 , 36 , 24 , 18 , ( )解析：（方法一）相邻两项相除,72 36 24 18\ / \ / \ /2/1 3/2 4/3(分子与分母相差1且前一项的分子是后一项的分母)接下来貌似该轮到5/4,而18/=5/4. 选C（方法二）6×12=72， 6×6=36， 6×4=24， 6×3 =18， 6×X 现在转化为求X12，6，4，3，X12/6 ，6/4 ， 4/3 ，3/X化简得2/1，3/2，4/3，3/X，注意前三项有规律，即分子比分母大一，则3/X=5/4 可解得：X=12/5 再用6×12/5=3、8 , 10 , 14 , 18 ,（）A. 24B. 32C. 26D. 20分析：8，10，14，18分别相差2，4，4，？可考虑满足2/4=4/?则？＝8所以，此题选18＋8＝264、3 , 11 , 13 , 29 , 31 ,（）分析：奇偶项分别相差11－3＝8，29－13＝16＝8×2，？－31＝24＝8×3则可得？＝55，故此题选D5、-2/5，1/5，-8/750，（）。
A 11/375B 9/375C 7/375D 8/375解析： -2/5，1/5，-8/750，11/375=> 4/(-10)，1/5，8/(-750)，11/375=>分子 4、1、8、11=>头尾相减=>7、7分母 -10、5、-750、375=>分2组(-10,5)、(-750,375)=>每组第二项除以第一项=>-1/2,-1/2 答案为A1. 16 , 8 , 8 , 12 , 24 , 60 , ( )分析：相邻两项的商为，1，，2，，3，所以选1802. 2 ，3 ，6 ，9 ，17 ，（）分析：6+9=15=3×53+17=20=4×5 那么2+?=5×5=25 所以?=23 所以选B3. 3 ，2 ，5/3 ，3/2 ，（）5 6 5 4分析：通分 3/1 4/2 5/3 6/4 ----7/5所以选A4. 20 ，22 ，25 ，30 ，37 ，（）分析：它们相差的值分别为2，3，5，7。
北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 数列 1.1 数列的概念
1 2 3 4 5
5.写出下列数列的一个通项公式,使它的前5项分别是下列各数:
(1)√3,3,√15, √21,3√3,…;
4 1 4 2
(2)2,- , ,- , ,…;
5 2 11 7
(3)2,22,222,2 222,22 222,….
1 2 3 4 5
解 (1)数列可化为√3, √9, √15, √21, √27,…,
写出这个关系式.
提示 能,an=2n+2,n∈N+.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)数列的通项公式就是相应函数的解析式.( √ )
(2)每个数列都有通项公式.( × )
(3)数列的通项公式的形式是唯一的.( × )
+1
2.[2024湖南长沙期末]已知数列{an}的通项公式为 an=sin 2 π
知识点1 数列及其有关概念
具有次序性,与集合中的元素性质不同
1.按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列
的 项 .数列中的每一项都和它的序号有关,各项依次叫作这个数列
第1项
叫数列的 首项
第2项
第n项 ,…,其中数列的第1项也
,第n项也叫数列的 通项 .
a1,a2,a3,…,an,…
即√3 × 1, √3 × 3, √3 × 5, √3 × 7, √3 × 9,….
虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)这个数列的前
7
7
7
7
4 项可以变为 ×9, ×99, ×999, ×9
9
9
9
高等数学题目汇总有难度
函数和极限部分1、 求下列复合函数的表达式： 1.1、已知函数()f x =设(){[()]}()n f x f f f x n f =个求：()n f x =1.2、设()1xf x x =-，试证明：1{[()]},(0,1)1()f f f x x f x x f x ⎡⎤=≠=-⎢⎥⎣⎦并求 2、设lim n n x A →∞=，试证明：12limnn x x x A n→∞++=3、证明：若0(1,2,)k p k >=且12lim0,lim nn n n np a a p p p →∞→∞==+++，那么：121112limn n n n np a p a p a a p p p -→∞+++=+++4、证明是数列：{}n x 满足20()n n x xn --→→∞。
证明：1lim 0n n n x x n-→∞-=5、证明下列数列极限： 5.1：1n =5.2：3lim 0,(1)nn n q q →∞=<5.3：2ln lim0n nn →∞=6、设lim n n a a →∞=，证明：当122,lim 12nn n n a a na x x a n→∞+++==+++时7、设数列1cos (1)nn k kx k k ==-∑收敛。
8、设{}n a 是一个数列，若：12lim nna a a a n→∞+++=，则lim0nn a n→∞=9、求下列极限:9.1、211cos 1n n ⎫-⎪= 9.2、20(1cos )1lim(1)sin 2x x x x e x →-=- 9.3、0arctan lim1ln(1sin )x xx →=+9.4、设有限数,,a b A 均不为零，证明：()limx a f x bA x b→-=-的充要条件是()lim f x b b x a e e Ae x a →-=-9.5、23cos cos cos cos 12222n n x x xxx =→ 9.6、22351721224162nnn x +=→ 9.7、312nn i x i ==→++ 9.8、111(1)(2)4nn i x i i i==→++∑9.9、lim nn →∞=⎝⎭9.10、设11212,,,0(2)(),x xxxn n a a a a a a n f x n ⎡⎤+++>≥=⎢⎥⎣⎦且 2lim ()n x f x a →=求9.11、135(21)0246(2)n n x n ⋅⋅-=→⋅⋅ 9.12、22(1)2n n k n x +==→∑9.13、()()111112nk kk k n k x n n --=⎡⎤=++-→⎢⎥⎣⎦∑9.14、21(!)1nn x n =→ 9.15、2220112lim 12(cos )sin x x x x e x→+=-- 9.16、03x x →=- 9.17、1lim 12n n e n e n →∞⎡⎤⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 9.17、()()()1lim nf a f a n f a n e f a '+→∞⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中()f x a 在可导，且()0f a '≠） 9.18、111lim ln 212n n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦9.19、2)()4n n n e→∞+=9.20、2)(21)4limn n e →∞-= 9.21、1lim n n e→∞=9.22、2sin sin sin2lim 12n n n n n n n n n n n n ππππ→∞⎡⎤⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦9.23、()5!02n n nn x n =→9.24、lim 3nn →∞⎛= ⎝⎭9.25、120lim x e +-→= 9.26、2221lim 122n n n nn n n n n nn →∞⎡⎤+++=⎢⎥++++++⎣⎦9.27、21lim 1n n →∞⎡⎤-=-- 9.28、2201limsin 26xt x x e dtx x →-=-⎰ 9.29、lim 0x →+∞=10、若数列n x 收敛，且0n x >，则2lim n nn n x x →∞=11、若0n x >且1limn n nx x +→∞存在，则1lim n n n n xx +→∞=12、若lim ,lim n n n n x a y b →∞→∞==，证明：1211limn n n n x y x y x y ab n-→∞+++=13、已知：0(1,2,)i a i n >=，试计算1111lim n n p p p p i i n i i a a -→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑14、设()f x '在[0,)+∞上连续且：[]lim ()()0x f x f x →+∞'+=，证明：lim ()0x f x →+∞=（提示：构造函数：()()xF x e f x =）连续和微分部分1、 设2()(2,3,4,)n n f x x x x n =+++=。
八大类数列及变式总结(公考资料)
八大类数列及变式总结数字推理的题目通常状况下是给出一个数列，但整个数列中缺少一个项，要求仔细观察这个数列各项之间的关系，判断其中的规律。
解题关键：1，培养数字、数列敏感度是应对数字推理的关键。
2，熟练掌握各类基本数列。
3，熟练掌握八大类数列，并深刻理解“变式”的概念。
4，进行大量的习题训练，自己总结，再练习。
下面是八大类数列及变式概念。
例题是帮助大家更好的理解概念，掌握概念。
虽然这些理论概念是从教材里得到，但是希望能帮助那些没有买到教材，那些只做大量习题而不总结的朋友。
最后跟大家说，做再多的题，没有总结，那样是不行的。
只有多做题，多总结，然后把别人的理论转化成自己的理论，那样做任何的题目都不怕了。
谢谢！一、简单数列自然数列：1，2，3，4，5，6，7，……奇数列：1，3，5，7，9，……偶数列：2，4，6，8，10，……自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，……自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，……等差数列：1，6，11，16，21，26，……等比数列：1，3，9，27，81，243，……二、等差数列1，等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。
例题：12，17，22，27，（），37解析：17-12=5，22-17=5，……2，二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。
例题1：9，13，18，24，31，（）解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……例题2.：66，83，102，123，（）解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。
例题1：0，1，4，13，40，（）解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比为3的等比数列例题2：20，22，25，30，37，（）解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二级为质数列4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。
新教材适用2023_2024学年高中数学第一章数列复习课课件北师大版选择性必修第二册
bn},
1
,{2 },{an·
仍是等比数列.
(4)若{an}是等比数列,则
ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)
成等比数列
6.等差(比)中项是怎样定义的?
提示:如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的
等差中项,且A=
+
复习课
第1课时 数列
内
容
索
引
01
知识梳理 构建体系
02
专题归纳 核心突破
知识梳理 构建体系
【知识网络】
【要点梳理】
1.数列的概念是什么?
提示:按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列
的项.
2.数列是如何分类的?请完成表1-1.
表1-1
分类原则
项数
项与项间的
大小关系
类型
1 2
-1
求形如 an+1=g(n)an 的递推数列的通项公式的基本方法(数列{g(n)}可求前 n
项积).
(5)构造法:形如 an+1=pan+q(p,q≠0,且 p≠1)的递推数列,可构造等比数列
{an+-1},其中该等比数列的首项是 a1+-1,公比为 p.
4
【变式训练2】 已知数列{an}满足a1=4,an+1= + 4 ,求数列{an}的通项公
(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;
(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.
解:(1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,所以12 =1×(a1+2),即
学案5数列求和[1].9.26doc
![学案5数列求和[1].9.26doc](https://img.taocdn.com/s3/m/fd169327a5e9856a5612602f.png)
学案：常见数列的求和学习目标:掌握一些数列求和的方法,并能利用数列求和解决一些数列问题. 学习重点:注意观察数列的特点与规律,对数列通项进行有效变形转化. 学习过程:1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩（3）12+22+32++ n 2=())12(161++n n n2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。
3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的裂项公式有： (1)=+)1(1n n (2)=+-)12)(12(1n n(3)=++)2)(1(1n n n (4)=++21n n二 过关练习：1.=-++-+-=100994321100 S2.求和1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ .3.数列1×4，2×5，3×6，…，n ×(n+3)，…则它的前n 项和n S = .4.=+++++++++++=nS n 3211321121115.若1161152642)12(531=++++-++++nn ,则n 的值为 . 6若数列{n a }的通项公为11++=n n a n ,则前n 项和=n S三 典例探究例1.设),,(,)1()(为常数a Z x a x f x f ∈=-+求的值)6()5()1()0()4()5(f f f f f f ++++++-+-例2.求和nn nx x x x S ++++= 3232例3.在数列{},中n a 11211++++++=n n n n a n ,12+=n n n a a b 又,求数列{}n b 的前n 项和n S .四 课堂练习：1.求和=-++++=nn n S 2128543212.)21(813412211nn +++++ = ；3.数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++ 前n 项和n S = .4..等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n a a a a ++++ ＝_______________.5.已知数列⎩⎨⎧-=)(n 2)(n 56为偶数为奇数nn n a 求n S6. 求：)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++。
北师大版高中数学选择性必修2第一章1.1数列的概念课件PPT
第一章 数列
§1：数列的概念
知识与技能：
（1）通过实例，理解数列的概念； （2）理解数列的项和项数,通项的含义,了解数列的分类， 理解数列与函数的关系。
过程与方法：
（1）让学生从日常生活中的实际问题出发，引导学生通 过视察，推导，归纳抽象出数列的概念； （2）通过实例说明项,项数,通项的含义。
（2）数列中的数是可以重复出现，而数集中的元素 具有互异性，不能有相同的元素出现。
情情境境导导入入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
2、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数
列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首
项)，第 2项，…，第 n 项，….
项 a1 a2
a3 a4 a5 a6
（－1）n或（－1）n＋1常常用来表示正负相间的变化规律． （4）对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答．
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
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1、下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ D ）
A．1，2，3，…，20 B．－1，－2，－3，…，－n，… C．1，2，3，2，5，6，…
《庄子·天下篇》
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
情境二：大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列...... 都遵循了某种数学规律.
斐波那契数
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
情境导入 新课讲授 讲练巩固 课堂小结 课后作业
大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列...... 都遵循了某种数学规律. 斐波那契数 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......
广西专版2024_2025学年新教材高中数学第四章数列4
4.1数列的概念第1课时数列的概念与简洁表示法课后·训练提升基础巩固1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C.数列是递增数列D.数列是递减数列答案:D解析:数列是有序的,而数集是无序的,故选项A,B不正确;选项C中的数列是递减数列;选项D中的数列是递减数列.2.(多选题)下列数列中,既是递减数列又是无穷数列的是()A.-1,-2,-3,-4,…B.-1,,-,…C.-1,-2,-4,-8,…D.1,,…,答案:AC解析:A,B,C中的数列都是无穷数列,D是有穷数列,且A,C中的数列是递减数列,故选AC.3.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-50,则-8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项答案:C解析:由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).4.已知数列{a n}的通项公式为a n=则a2a3等于()A.70B.28C.20D.8答案:C解析:由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,故a2a3=20.5.一系列有机物的结构简图如图所示,图中的“小黑点”表示原子,两基点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第个图中化学键的个数为()A.6nB.5n+1C.5n-1D.4n+2答案:B解析:由题图知,第①个图中有6个化学键;第②个图中有11个化学键;第③个图中有16个化学键;视察可得,后一个图比前一个图多5个化学键,则第个图有6+5(n-1)=5n+1个化学键.6.数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是()A.a n=(-1)n·(2n-1)B.a n=(-1)n·(2n-1)C.a n=(-1)n+1·(2n-1)D.a n=(-1)n+1·(2n-1)答案:A解析:数列各项正、负交替,故可用(-1)n来调整,又1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,……故通项公式为a n=(-1)n·(2n-1).7.已知数列{a n}的通项公式是a n=,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.以上说法均不正确答案:A解析:a n==1-,当n≥2时,a n-a n-1=1->0,故数列{a n}是递增数列.8.(多选题)若数列{a n}的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式可以是()A.a n=1+(-1)n+1B.a n=1-cos nπC.a n=2sin2D.a n=1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)答案:ABC解析:将前4项代入选项检验可得只有D不符合.9.323是数列{n(n+2)}的第项.答案:17解析:由a n=n2+2n=323,解得n=17或n=-19(舍去).故323是数列{n(n+2)}的第17项.10.若数列{a n}的通项公式是a n=3-2n,则a2n=,=.答案:3-4n解析:依据通项公式可以求出这个数列的随意一项.因为a n=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n,.11.在数列{a n}中,a n=n(n-8)-20,请回答下列问题:(1)这个数列共有几项为负数?(2)这个数列从第几项起先递增?(3)这个数列中有没有最小项?若有,求出最小项;若没有,请说明理由.解:(1)因为a n=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当0<n<10时,a n<0,所以数列{a n}共有9项为负数.(2)因为a n+1-a n=2n-7,所以当a n+1-a n>0时,n>,故数列{a n}从第4项起先递增.(3)a n=n(n-8)-20=(n-4)2-36,依据二次函数的性质知,当n=4时,a n取得最小值-36,即数列中有最小项,最小项为-36.实力提升1.第七届国际数学教化大会(简称ICME-7)的会徽图案如图①所示,会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的,如图②,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,假如把图②中的直角三角形接着作下去,记OA1,OA2,…,OA n,…的长度构成数列{a n},那么此数列的通项公式为()A.a n=nB.a n=C.a n=D.a n=n2答案:C解析:∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OA n=,…,∴a1=1,a2=,a3=,…,a n=.2.设数列{a n}的通项公式为a n=+…+,那么a n+1-a n等于()A.B.C.D.答案:D解析:∵a n=+…+,∴a n+1=+…+,∴a n+1-a n=.3.设数列{a n}的通项公式为a n=-2n2+29n+3,则数列{a n}的最大项是()A.103B.C. D.108答案:D解析:∵a n=-2+2×+3,∴当n=7时,a n取得最大值,最大值为a7=-2×72+29×7+3=108.故选D.4.已知数列,…,那么0.94,0.96,0.98,0.99中,是该数列中某一项值的数有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C解析:数列,…的通项公式为a n=,0.94=,0.96=,0.98=,0.99=,即都在数列中,故有3个.5.已知数列{a n}的通项公式是a n=则a3+=.答案:解析:由题意,知a3=2-3=,a4=,即,故a3+.6.已知数列{a n}中,a n=n2-kn,且数列{a n}为递增数列,求实数k的取值范围.解:因为a n+1=(n+1)2-k(n+1),a n=n2-kn,所以a n+1-a n=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.因为数列{a n}为递增数列,所以应有a n+1-a n>0,即2n+1-k>0恒成立,分别变量得k<2n+1,所以k<3即可,故k的取值范围为(-∞,3).7.已知数列{a n}的通项公式为a n=.(1)求证:该数列是递增数列;(2)在区间内有没有数列{a n}中的项?若有,有几项?若没有,请说明理由.(1)证明:∵a n==1-,∴a n+1-a n=>0,∴数列{a n}是递增数列.(2)解:令<a n=,则解得即<n<,即当且仅当n=2时,上式成立,故在区间内有数列{a n}中的项,且只有一项,为a2=.。
1.1.1数列的概念2023-2024学年高二数学同步精品课堂(北师大版2019选择性必修第二册)
6,
10, .…..
正方形数
1, 4,
9,
16, ……
提问：这些数有什么规律吗？
5
实例分析02：：
1： 一个工厂生产的所有钢管堆成图1--1 从最上面一层起，各排钢管数依次为：
图1--1
从最上面一层起，各排钢管数依次为：
4，5，6，7，8，9，10. (1)
2.2013年一2017年我国国内生产总值依次排列为 595 244,643 974,689 052,743 585,827 122 ②
无
随堂检测 B A
C
小结
本节课学习的主要内容有： 1.数列的有关概念； 2.数列的通项公式； 3.数列与函数的关系； 4.本节课的能力要求是： (1) 会由通项公式求数列的任一项； (2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式.
变式1： 写出下面数列的一个通项公式，使它 的 前4项分别是下列各数：
（1）1,3,5,7;
an 2n 1
（2）4，9， 16，25； an (n 1)2
(3)1，
1 ，1 ， 23
1 ；an 4
(1)n1
1 n
（4）2，0，2，0。
an 1 (1)n1
变式2：写出下列数列的一个通项公式：
1.1.1 数列的概念
导入新课
87
8
8
7
6 5
64个格子你 什想 么得 样34 到的
6 54 3
陛下，赏小
赏赐？2
1 1
7 请请子子请请人子子就在在放放在在放放一依第第48第第可612颗 颗三 四颗 颗次些一二以麦 麦个 个麦 麦类个 个麦粒 粒格 格粒 粒。格 格推5粒… 4
3
斐波那契数列循环周期表
2016/9/20 2017/2/11 2017/5/11 2017/7/5 2017/8/8 2017/8/29 2017/9/11 2017/9/19 2017/9/24 2017/9/27 2017/9/29 2017/9/30 2017/10/1
2016/9/21 2017/2/12 2017/5/12 2017/7/6 2017/8/9 2017/8/30 2017/9/12 2017/9/20 2017/9/25 2017/9/28 2017/9/30 2017/10/1 2017/10/2
2016/10/2 2017/2/23 2017/5/23 2017/7/17 2017/8/20 2017/9/10 2017/9/23 2017/10/1 2017/10/6 2017/10/9 2017/10/11 2017/10/12 2017/10/13
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 第11天 第12天 第13天 第14天 第15天 第16天 第17天 第18天
2016/10/6 2017/2/27 2017/5/27 2017/7/21 2017/8/24 2017/9/14 2017/9/27 2017/10/5 2017/10/10 2017/10/13 2017/10/15 2017/10/16 2017/10/17
2016/10/7 2017/2/28 2017/5/28 2017/7/22 2017/8/25 2017/9/15 2017/9/28 2017/10/6 2017/10/11 2017/10/14 2017/10/16 2017/10/17 2017/10/18
2016/9/16 2017/2/7 2017/5/7 2017/7/1 2017/8/4 2017/8/25 2017/9/7 2017/9/15 2017/9/20 2017/9/23 2017/9/25 2017/9/26 2017/9/27
数列中的知识交汇和创新型问题(解析)-2024年高考数学
数列中的知识交汇和创新型问题1王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)参考数据1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.437【答案】(1)290000元(2)王先生该笔贷款能够获批【分析】(1)由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；(2)利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论.【详解】(1)由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列a n，S n表示数列a n的前n项和.则a1=15000,a120=6500，故S120=15000+65002×120=1290000.故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.(2)设王先生每月还货额为x元，则有x+x(1+0.003)1+x(1+0.003)2+⋯+x(1+0.003)119=1000000×(1+0.003)120，即x 1-1.0031201-1.003=1000000×(1+0.003)120，故x=1000000×(1+0.003)120×0.0031.003120-1≈9928.因为9928<23000×12=11500，故王先生该笔贷款能够获批.2佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m(m∈N*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1、3a2、4a3、⋯⋯、m+1a m表示高度为a m的方体连续堆叠m+1层的总高a m(m+1度)，请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.【答案】(1)a n=36-2.4n(答案不唯一，符合题意即可)(2)可以，理由见详解【分析】(1)根据等差数列的通项公式运算求解，并检验24和19.2是否符合；(2)根据题意求S7，并与310比较大小，分析判断.【详解】(1)由题意可知：a1=33.6，注意到33.6-24=9.6,24-19.2=4.8，取等差数列的公差d=-2.4，则a n=33.6-2.4n-1=36-2.4n，令a n=36-2.4n=24，解得n=5，即24为第5项；令a n=36-2.4n=19.2，解得n=7，即19.2为第7项；故a n=36-2.4n符合题意.(2)可以，理由如下：由(1)可知：m≤7,a1=33.6,a2=31.2,a3=28.8,a4=26.4,a5=24,a6=21.6,a7=19.2，设数列n+1的前n项和为S n，a n∵S7=2a1+3a2+4a3+...+8a7=856.8>310，故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.3在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:表1次数消费者还价商家讨价第一次b1=12a c1=b1+12(a-b1)第二次b2=c1-12(c1-b1)c2=b2+12(c1-b2)第三次b3=c2-12(c2-b2)c3=b3+12(c2-b3)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n次b n=c n-1-12(c n-1-b n-1)c n=b n+12(c n-1-b n)消费者每次的还价b n(n∈k)组成一个数列b n.(1)写出此数列的前三项，并猜测通项b n的表达式并求出limn→+∞b n；(2)若实际价格b与定出a的价格之比为b:a=0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润?【答案】(1)答案见解析(2)8%【分析】(1)根据条件即可得到数列b n的通项公式，进而可直接计算limn→+∞b n；(2)根据价格比得a,b关系，代入(1)中limn→+∞b n计算即可.【详解】(1)b1=12 a，b2=c1-12c1-b1=12a+14a-18a=-12a+-122a+-123a+a，b3=c2-12c2-b2=-12a+-122a+⋯+-125a+a，观察可得，b n=c n-1-12c n-1-b n-1=-12a+-122a+⋯+-122n-1a+a=-13a1+122n-1+alim n→∞b n=limn→∞-13a1+122n-1+a=-13a+a=23a.(2)因为b:a=0.618:1，所以a=b0.618，故23a=2b3×0.618≈1.08b故商家将有约8%的利润.4近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若a=100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？(结果精确到0.1万元)【答案】(1)936万元(2)3000万元【分析】(1)用a n表示第n年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算a1,a2,a3可得；(2)由已知写出a1,a2,a3,⋯,a6，然后由a6≥3000求得a的范围．【详解】(1)记a n为第n年年底扣除运营成本后直播平台的资金，则a1=500×1.4-100=600，a2=600×1.4-100=740a3=740×1.4-100=936故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.(2)a1=500×1.4-a，a2=500×1.4-a×1.4-a=500×1.42-1.4a-a⋯a6=500×1.46-1.45+1.44+⋯+1a=500×1.46-a⋅1-1.461-1.4由a6≥3000，得a≤46.8，故运营成本最多控制在46.8万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.5甲、乙两人同时分别入职A,B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量(精确到1元)(2)设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为a n、b n元，记c n=a n-b n，讨论数列c n的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．【答案】(1)甲的基础工资收入总量606000元；乙的基础工资收入总量603739元(2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析【分析】(1)易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可(2)根据题意可得c n=3400+300n-4000×1.05n-1，再求解c n+1-c n>0分析c n的单调性，并计算c n <0时n的取值范围即可【详解】(1)甲的基础工资收入总量S1=3700×10+12×10×9×300×12=606000元乙的基础工资收入总量S2=4000× 1.0510-11.05-1×12=603739元(2)a n=3700+300n-1，b n=4000×1.05n-1c n=3400+300n-4000×1.05n-1，c n+1=3400+300n+1-4000×1.05n，设c n+1-c n=300-200×1.05n-1>0，即1.05n-1<1.5，解得1≤n≤8所以当1≤n≤8时，c n递增，当n≥9时，c n递减又当c n<0，即3400+300n<4000×1.05n-1，解得5≤n≤14，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．6治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n n∈N*的表达式；(2)设A n为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【答案】(1)a n=200-20n,1≤n<5 100×34n-5,n≥6(2)有效，理由见详解【分析】(1)分别求出当n≤5时和n≥6时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；(2)先根据A n=S nn，利用作差法，可证明数列A n为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势【详解】(1)设治理n年后，S市的年垃圾排放量构成数列a n.当n≤5时，a n是首项为a1=200-20=180，公差为-20的等差数列，所以a n=a1+n-1d=180-20n-1=200-20n；当n≥5时，数列a n是以a5为首项，公比为34的等比数列，所以a n=a5q n-5=100×34n-5，所以，治理n年后，S市的年垃圾排放量的表达式为a n=200-20n,1≤n<5 100×34n-5,n≥6(2)设S n为数列a n的前n项和，则A n=S n n．由于A n+1-A n=S n+1n+1-S nn=nS n+1-n+1S nn n+1=n S n+a n+1-n+1S nn n+1=na n+1-S n n n+1=a n+1-a1+a n+1-a2+⋅⋅⋅+a n+1-a nn n+1由(1)知，1≤n≤5时，a n=200-20n，所以a n为递减数列，n≥6时，a n=100×34n-5，所以a n 为递减数列，且a6<a5，所以a n为递减数列，于是a n+1-a1<0,a n+1-a2<0,...,a n+1-a n<0因此A n+1-A n<0，所以数列A n为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的7为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后(滤除之前)这种药物在人体内的含量是a n毫克，(即a1=m).(1)已知m=12，求a2､a3；(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.【答案】(1)a2=14.4，a3=14.88；(2)20毫克【分析】(1)由a2=m+a1⋅20%，a3=m+a2⋅20%计算可得．(2)由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的20%可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得．【详解】(1)a2=m+a1⋅20%=12+12×0.2=14.4，a3=m+a2⋅20%=12+14.4×0.2=14.88；(2)依题意，a n+1=m+15a n-1，所以a n+1-54m=15a n-54m，a1-54m=-14m，所以a n-5 4 m是等比数列，公比为15，所以a n-54m=-14m×15n-1，a n=54m-14×5n-1m，5 4m-14×5n-1m≤25，m≤2554-14×5n-1，数列54-14×5n-1是递增数列，且54-14×5n-1<54，所以2554-14×5n-1>2554=20，即m≤20，所以m的最大值是20毫克．8保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?【答案】(1)2030；(2)2026﹒【分析】(1)设保障性租赁住房面积形成数列{a n}，由题意可知，{a n}是等差数列，其中a1=25，d=5，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意可知，{b n}是等比数列，其中b1=40，q=1.08，则可得{b n}的通项公式，通过求解a n>0.85b n不等式，即可求解．【详解】(1)设保障性租赁住房面积形成数列{a n}，由题意可知，{a n}是等差数列，其中a1=25，d=5，则S n=25n+n n-12×5=125n2+45n，令125n2+45n≥475，即n2+9n-190≥0，而n为正整数，解得n≥10，故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米；(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意可知，{b n}是等比数列，其中b1=40，q=1.08，则b n=40×(1.08)n-1，由题意知，a n>0.85b n，则25+(n-1)×5>40×(1.08)n-1，满足上式不等式的最小正整数n=6，故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．9某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0．5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列a n，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列b n，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=b1=2b2=3b3=．b4=(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【答案】(1)表格见解析，a n=10.5-0.5n,n≤200,n≥21n∈N*;b n=2×32 n-1，n≤46.75,n≥5,n∈N*(2)2033年【分析】(1)由已知数列a n是等差数列，数列b n是等比数列通过观察得到结果(2)利用等差、等比求和公式，分段将两部分分组求和后列出不等式关系求出结果【详解】(1)由已知，由已知数列a n是等差数列，数列b n是等比数列因此列举前四项可填表如下a1=10a2=9.5a3=9a4=8.5b1=2b2=3b3=4.5．b4=6.75由题意，当1≤n≤20时a n=10+(n-1)×(-0.5)=10.5-0.5n当n≥21时，a n=0因此a n=10.5-0.5n,n≤200,n≥21n∈N*;而根据题意a4+b4=15.25≥15因此数列b n的通项公式为b n=2×32n-1，n≤46.75,n≥5,n∈N*(2)由(1)可知记S n为数列a n的前n项和，T n为数列b n的前n项和,设累计各年发放的牌照数为M n,则M n=S n+T n=-14n2+41n4+2-2×32n1-32,n≤4,nϵN*-14n2+41n4+16.25+6.75×n-4,5≤n≤20 105+124.25+6.75×n-20,n≥21由题意，M n ≥200，因此,可以得到当n =20时M n =229.25，所以当n ≥20时满足要求即2033年累计各年发放的牌照数开始超过200万张10市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每月的还款额均相同．银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款)．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%．(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息．(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)．参考数据：1.0042.61．(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式．【答案】(1)289200(元)；(2)小张申请该笔贷款能够获批；(3)小张应选择等额本金的还款方式．【分析】(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n 项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；(2)根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x 元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；(3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.【详解】(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为a n ，用S n 表示数列a n 的前n 项和，则a 1=4900，a 240=2510，则S 240=2404900+2510 2=889200，故小张的该笔贷款的总利息为889200-600000=289200(元)．(2)设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，则x +x 1+0.004 +x 1+0.004 2+⋯+x 1+0.004 239=600000×1+0.004 240，所以x 1-1.0042401-1.004=600000×1.004240，即x =600000×1.004240×0.0041.004240-1≈600000×2.61×0.0042.61-1≈3891，因为3891<10000×12=5000，所以小张该笔贷款能够获批.(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3891×240-600000=333840(元)，因为333840>289200，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式．11流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+19≤k≤29,k∈N*日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.(1)若k=9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；(2)若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.【答案】(1)2480人；(2)11月13日新感染者人数最多为630人.【分析】(1)根据题意数列a n(1≤n≤9)是等差数列，a1=20，公差为50，又a10=410，进而根据等差数列前n项和公式求解即可；(2)11月k日新感染者人数最多，则当1≤n≤k时，a n=50n-20，当k+1≤n≤30时，a n=-20n+ 70k-20，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.【详解】解：(1)记11月n日新感染者人数为a n(1≤n≤30)，则数列a n(1≤n≤9)是等差数列，a1=30，公差为50，又a10=30+50×8-20=410，则11月1日至11月10日新感染者总人数为：a1+a2+⋅⋅⋅+a9+a10=9×30+9×82×50+410=2480人；(2)记11月n日新感染者人数为a n(1≤n≤30)，11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，a n=50n-20.当k+1≤n≤30时，a n=(50k-20)-20(n-k)=-20n+70k-20，因为这30天内的新感染者总人数为11940人，所以(30+50k-20)k2+[50k-40+(70k-620)](30-k)2=11940，得-35k2+2135k-9900=11940，即k2-61k+624=0解得k=13或k=48(舍)，此时a13=50×13-20=630所以11月13日新感染者人数最多为630人.【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当1≤n ≤k 时，a n =50n -20，当k +1≤n ≤30时，a n =-20n +70k -20，进而求和解方程.12某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A ，B ，C ，D 这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为13，并且规定若第i i =1,2,⋯,n -1 题正确选项为两个，则第i +1题正确选项为两个的概率为13；第i i =1,2,⋯,n -1 题正确选项为三个，则第i +1题正确选项为三个的概率为13.(1)若第二题只选了“C ”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n 题正确选项为两个的概率；(3)若第n 题只选择B 、C 两个选项，设Y 表示第n 题得分，求证：E Y ≤1718.【答案】(1)分布列见解析；119(2)12+12×-13n(3)证明见解析【分析】(1)设事件C 2表示正确选项为2个，事件C 3表示正确选项为3个，P n C 2 表示第n 题正确选项为2个的概率，P n C 3 表示第n 题正确选项为3个的概率.由全概率公式可求出P 2C 2 ，继而P 2C 3 可求，再由全概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；(2)根据(1)中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论P n +1C 2 =13P n C 2 +23P n C 3 化简可得P n +1C 2 -12=-13P n C 2 -12 ，可知P n C 2 -12为等比数列,求通项可得P n C 2 ；(3)根据(2)求出的P n C 2 可得P n C 3 =1-P n C 2 ，在利用全概率公式即可求得Y 的分布列，计算出E Y =1112-112×-13n,则结论可证.【详解】(1)设事件C 2表示正确选项为2个，事件C 3表示正确选项为3个，P n C 2 表示第n 题正确选项为2个的概率，P n C 3 表示第n 题正确选项为3个的概率.设事件C 表示选项“C ”为第二题的一个正确选项，用随机变量X 表示第二题得分.依题得，X 可能取值为0， 2.因为P 2C 2 =13P 1C 2 +23P 1C 3 =13×13+23×23=59，P 2C 3 =1-P 2C 2 =49，所以P X =0 =P C C 2 P 2C 2 +P C C 3 P 2C 3 =C 23C 24×59+C 33C 34×49=12×59+14×49=718P X =2 =P C C 2 P 2C 2 +P C C 3 P 2C 3 =C 13C 24×59+C 23C 34×49=12×59+34×49=1118所以X 的分布列为:X 02P7181118所以E X =0×718+2×1118=119.(2)依题得，P n +1C 2 =13P n C 2 +23P n C 3 =13P n C 2 +231-P n C 2 =23-13P n C 2 ，所以P n +1C 2 -12=-13P n C 2 -12 ，又因为P 1C 2 -12=13-12=-16，所以P n C 2 -12 是以-16为首项，以-13为公比的等比数列. 所以P n C 2 -12=-16 ×-13n -1=12×-13n，P n C 2 =12+12×-13n.(3)由(2)可知，P n C 2 =12+12×-13n，P n C 3 =1-P n C 2 =12-12×-13n.依题得，Y 可能取值为0，2， 5.P Y =0 =5C 24×P n C 2 +2C 34×P n C 3 =56×12+12×-13n+12×12-12×-13n=23+16×-13nP Y =2 =0×P n C 2 +2C 34×P n C 3 =12×12-12×-13n=14-14×-13n，P Y =5 =1C 24×P n C 2 +0×P n C 3 =16×12+12×-13 n=112+112×-13 n，所以E Y =2×14-14×-13n+5×112+112×-13n=1112-112×-13n<1718.【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，然后用数列手段去处理求解.13甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X ，求X 的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若P i i =0,1,⋯,6 表示“在甲所得筹码为i 枚时，最终甲获胜的概率”，则P 0=0,P 6=1.证明：P i +1-P i i =0,1,2,⋯,5 为等比数列.【答案】(1)分布列见解析，E(X)=3.1.(2)0.0525(3)证明见解析【分析】(1)求出X的所有可能取值以及取值的概率，可得分布列，由期望公式可求出期望；(2)根据互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果；(3)根据全概率公式和等比数列的定义可证.【详解】(1)X的所有可能取值为2,3,4，P(X=2)=0.2，P(X=3)=0.5，P(X=4)=0.3，则X的分布列为：X234P0.20.50.3E(X)=2×0.2+3×0.5+4×0.3=3.1.(2)当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，其概率为：C23⋅0.32⋅0.5⋅0.3=0.0405.当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，其概率为：C23⋅0.22⋅0.5⋅0.2=0.012，所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012=0.0525.(3)因为P i(i=0,1,2,3,4,5,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，P0=0，在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2，在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为0.2P0，根据全概率公式得P1=0.3P2+0.5P1+0.2P0，所以P1=0.3P2+0.5P1+0.2P0，变形得0.3(P2-P1)=0.2(P1-P0)，因为P1-P0>0，所以P2-P1P1-P0=23，同理可得P3-P2P2-P1=P4-P3P3-P2=P5-P4P4-P3=P6-P5P5-P4=23，所以P i+1-P ii=0,1,2,⋯,5为等比数列.【点睛】关键点点睛：第(3)问中，正确理解题意，利用全概率公式得到数列{P i}中相邻三项之间的关系是解题关键.14已知数列a n的前n项和为S n,a1=2，对任意的正整数n，点a n+1,S n均在函数f x =x图象上.(1)证明：数列S n是等比数列；(2)问a n中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】(1)由题意，得到S n=a n+1=S n+1-S n，求得S n+1S n=2，结合等比数列的定义，即可求解；(2)由(1)得到S n=2n，求得a n=2,n=12n-1,n≥2，假设存在2≤m<n<p使得a m,a n,a p成等差数列，化简得到2n+1-m≠1+2p-m，即可求解.【详解】(1)证明：对任意的正整数n，点a n+1,S n均在函数f x =x图象上，可得S n=a n+1=S n+1-S n，即S n+1=2S n，又因为a1=2，可得S1=a1=2，所以数列S n表示首项为2，公比为2的等比数列.(2)解：不存在.理由：由(1)得S n=2⋅2n-1=2n，当n≥2时，可得a n=S n-S n-1=2n-2n-1=2n-1，又因为a1=2，所以a n=2,n=12n-1,n≥2 ，反证法：因为a1=a2，且从第二项起数列a n严格单调递增，假设存在2≤m<n<p使得a m,a n,a p成等差数列，可得2a n=a m+a p，即2n=2m-1+2p-1，两边同除以2m-1，可得2n+1-m=1+2p-m因为2n+1-m是偶数，1+2p-m是奇数，所以2n+1-m≠1+2p-m，所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.15如果数列a n对任意的n∈N*，a n+2-a n+1>a n+1-a n，则称a n为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列a n的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列a n为“速增数列”，且任意项a n∈Z，a1=1，a2=3，a k=2023，求正整数k的最大值.【答案】(1)a n=2n(答案不唯一)，证明见解析；(2)63【分析】(1)取a n=2n，验证a n+2-a n+1>a n+1-a n即可；(2)当k≥2时，a k=2023=a k-a k-1+a k-1-a k-2+⋯+a3-a2+a2-a1+a1，根据速增数列的定义可得a k-a k-1>a k-1-a k-2>⋯a3-a2>a2-a1=2，从而可得a k-a k-1+a k-1-a k-2+⋯+a3-a2+ a2-a1+a1≥k+k-1+⋯+3+2+1，进而可求解.【详解】(1)取a n=2n，则a n+2-a n+1=2n+2-2n+1=2n+1，a n+1-a n=2n+1-2n=2n，因为2n+1>2n，所以a n+2-a n+1>a n+1-a n，所以数列2n是“递增数列”.(2)当k ≥2时，a k =2023=a k -a k -1 +a k -1-a k -2 +⋯+a 3-a 2 +a 2-a 1 +a 1，因为数列a n 为“速增数列”，所以a k -a k -1>a k -1-a k -2>⋯a 3-a 2>a 2-a 1=2，且a n ∈Z ，所以a k -a k -1 +a k -1-a k -2 +⋯+a 3-a 2 +a 2-a 1 +a 1≥k +k -1+⋯+3+2+1，即2023≥k (k +1)2,k ∈Z ，当k =63时，k (k +1)2=2016，当k =64时，k (k +1)2=2080，故正整数k 的最大值为63 .16设数列a n 的前n 项和为S n ，若12≤a n +1a n≤2n ∈N * ，则称a n 是“紧密数列”.(1)若a n =n 2+2n4n，判断a n 是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列a n 前n 项和为S n =14n 2+3n ，判断a n 是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列a n 是公比为q 的等比数列.若数列a n 与S n 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.【答案】(1)a n 不是“紧密数列”，理由见解析(2)数列a n 是“紧密数列”，理由见解析(3)12,1【分析】(1)利用“紧密数列”的定义判断即可；(2)利用a n =S 1,n =1S n-Sn -1,n ≥2求得数列a n 的通项公式，再证得12≤a n +1a n≤2，由此证得a n 是“紧密数列”；(3)先根据a n 是“紧密数列”，求得q 的一个取值范围，对于S n 对q 分成q =1、12≤q <1和1<q≤2三种情况，利用12≤S n +1S n ≤2列不等式组，由此求得q 的取值范围.【详解】(1)a 1=34,a 2=12,a 3=1564,∵a 3a 2=1532<12，所以a n 不是“紧密数列”；(2)数列a n 为“紧密"数列；理由如下：数列a n 的前项和S n =14n 2+3n n ∈N *，当n =1时，a 1=S 1=14×1+3 =1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=14n 2+3n -14(n -1)2+3n -1 =12n +12，又12+12=1=a 1，即a 1=1满足a n =12n +12，因此a n =12n +12n ∈N * ，所以对任意n ∈N *,an +1a n =12n +1 +1212n +12=n +2n +1=1+1n +1，所以12<a n +1a n =1+1n +1<2，因此数列a n 为“紧密”数列；(3)因为数列a n 是公比为q 的等比数列，前n 项和为T n ，当q =1时，有a n =a 1,S n =na 1，所以12≤a n +1a n =1≤2,12≤S n +1S n=n +1n =1+1n ≤2，满足题意；当q ≠1时.a n =a ,qn -1,S n =α11-q n1-q，因为a n 为“紧密"数列，所以12≤a n +1a n =q ≤2.即12≤q <1或1<q ≤2，当12≤q <1时，S n +1S n =1-q n +11-q n >1-q n 1-q n=1，S n +1S n =1-q n +11-q n <1-q 2n 1-q n =1+q n 1-q n1-qn =1+q n <2，所以12≤S n +1S n =1-q n +11-q n≤2，满足S n 为“紧密”数列；当1<q ≤2时，S 2S 1=1-q 21-q =1+q >2，不满足S n 为“紧密"数列；综上，实数q 的取值范围是12,1.17已知a n 和b n 是各项均为正整数的无穷数列，若a n 和b n 都是递增数列，且a n 中任意两个不同的项的和不是b n 中的项，则称a n 被b n 屏蔽．已知数列c n 满足1c 1+3c 2+⋅⋅⋅+2n -1c n=n n ∈N * ．(1)求数列c n 的通项公式；(2)若d n 为首项与公比均为c 1+1的等比数列，求数列c n ⋅d n 的前n 项和S n ，并判断S n 能否被c n 屏蔽，请说明理由．【答案】(1)c n =2n -1(2)S n =2n -3 ⋅2n +1+6，能，理由见解析【分析】(1)利用作差法即可求得c n ;(2)利用错位相减法求和，再根据题干定义判断即可．【详解】(1)由1c 1+3c 2+⋅⋅⋅+2n -1c n=n ，令n =1，可得c 1=1，当n ≥2时，1c 1+3c 2+⋅⋅⋅+2n -1c n =n ，1c 1+3c 2+⋅⋅⋅+2n -3c n -1=n -1，上述两式作差可得c n =2n -1(n ≥2)，因为c 1=1满足上式，可知c n =2n -1(n ∈N *)．(2)因为c 1=1，所以d n =2n ，所以c n ⋅d n =2n -1 ⋅2n ，S n =1×21+3×22+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅2n ，2S n =1×22+3×23+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅2n +1，作差得，-S n =2+2×22+23+⋅⋅⋅+2n -2n -1 ⋅2n +1=2+2×221-2n -11-2-2n -1 ⋅2n +1=-6+3-2n ⋅2n +1.所以S n =2n -3 ⋅2n +1+6．显然，S n 是递增数列，且各项均为偶数，而递增数列c n 的各项均为奇数，所以S n 中的任意两项的和均不是c n 中的项，所以S n 能被c n 屏蔽．18设y =f (x )是定义域为R 的函数，如果对任意的x 1、x 2∈R x 1≠x 2 ,f x 1 -f x 2 <x 1-x 2均成立，则称y =f (x )是“平缓函数”.(1)若f 1(x )=1x 2+1,f 2(x )=sin x ，试判断y =f 1(x )和y =f 2(x )是否为“平缓函数” ?并说明理由;(参考公式:x >0时，sin x <x 恒成立)(2)若函数y =f (x )是“平缓函数”，且y =f (x )是以1为周期的周期函数，证明:对任意的x 1、x 2∈R ，均有f x 1 -f x 2 <12;(3)设y =g (x )为定义在R 上函数，且存在正常数A >1使得函数y =A ⋅g (x )为“平缓函数”. 现定义数列x n 满足:x 1=0,x n =g x n -1 (n =2,3,4,⋯)，试证明:对任意的正整数n ,g x n ≤A |g (0)|A -1.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)利用y =f (x )是“平缓函数”判断可得答案；(2)设x 1、x 2∈0,1 ，分x 1-x 2 ≤12、x 1-x 2 >12，根据y =f x 为R 上的“平缓函数”可得答案；(3)由y =g x 为R 上的“平缓函数”得g x 1 -g x 2 <1Ax 1-x 2 ，对任意的n ≥2，利用g x n -g x n -1 <1A x n -x n -1 =1A g x n -1 -g x n -2 <1A2x n -1-x n -2 <...<1A n -1x 2-x 1 =1An -1g 0 证明可得答案.【详解】(1)对于函数y =f 1x ，由对任意的x 1、x 2∈R ，sin x 1-sin x 2 =2sinx 1-x 22cos x 1+x 22≤2sin x 1-x 22 <2x 1-x22=x 1-x 2 ，可知函数y =f 1x 是R 上的“平缓函数”. 对于函数y =f 2x ，由对任意的x 1、x 2∈R ，1x 21+1-1x 22+1=x 2-x 1 x 2+x 1 x 21+1 x 22+1=x 2-x 1 ⋅x 2+x 1x 21+1 x 22+1<x 2-x 1 x 1x 21+1 x 22+1 +x 2x 21+1 x 22+1<x 2-x 1x 1x 21+1+x 2x 22+1<x 2-x 1x 12x 1+x 22x 2=x 2-x 1，因此函数y =f 2x 也是R 上的“平缓函数”；(2)由已知可得f 0 =f 1 ，由于函数y =f x 是周期函数，故不妨设x 1、x 2∈0,1 .当x 1-x 2 ≤12时，由y =f x 为R 上的“平缓函数”得f x 1 -f x 2 <x 1-x 2 ≤12；当x 1-x 2 >12时，不妨设0≤x 1<x 2≤1，x 2-x 1≥12，此时由y =f x 为R 上的“平缓函数”得f x 1 -f x 2 =f x 1 -f 0 +f 1 -f x 2 ≤f x 1 -f 0 +f 1 -f x 2<x 1-0 +1-x 2 =x 1-x 2+1≤-12+1=12.综上所述，命题得证；(3)由y =g x 为R 上的“平缓函数”，且A >1得g x 1 -g x 2 <1Ax 1-x 2 ，则对任意的n ≥2，g x n -g x n -1 <1A x n -x n -1 =1A g x n -1 -g x n -2 <1A2x n -1-x n -2 <...<1A n -1x 2-x 1 =1A n -1g 0 ，因此g x n =g x n -g x n -1 +g x n -1 -g x n -2 +...+g x 1 <g x n -g x n -1 +...+g x 2 -g x 1 +g x 1 <1+1A +1A 2+...+1A n -1g 0 <11-1Ag 0 =A A -1g 0 .【点睛】思路点睛：本题主要是根据y =f (x )是“平缓函数”的定义和性质进行判断，考查了学生的逻辑推理能力、运算能力.19若项数为N N ≥3 的数列A N :a 1,a 2,⋯,a N 满足：a 1=1,a i ∈N *i =2,3,⋯,N ，且存在M ∈2,3,⋯,N -1 ，使得a n +1-a n ∈1,2 ,1≤n ≤M -1-1,-2 ,M ≤n ≤N -1，则称数列A N 具有性质P .(1)①若N =3，写出所有具有性质P 的数列A 3；②若N =4,a 4=3，写出一个具有性质P 的数列A 4；。
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领航教育 2015年暑假3-8人班 VIP 精品教案 —— 夏数列1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.【【(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，1-=n nS S 偶奇.】】2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =±.前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……①，求n a 解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = 2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122nn a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ ［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a 注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠加法由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥ 时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++…… 2n ≥ ∴0(2)(3)()naa f f f n =++++……（3）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n na na a n +==+，，求n a 解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n =又13a =，∴3n a n =.（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法 如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+ 附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk kk a a=+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n +++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………， （2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……① ()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x=+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦练习.1.在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10,7a =19,求1a 与d ; （2）已知3a =9, 9a =3,求12a .解：（1）由题意得：⎩⎨⎧=+=+19610311d a d a , 解之得：⎩⎨⎧==311d a .（2）解法一：由题意可得：⎩⎨⎧=+=+389211d a d a , 解之得⎩⎨⎧-==1111d a∴该数列的通项公式为：n a =11+（n －1）×（－1）=12－n ,∴12a =0 解法二：由已知得：9a =3a +6d ,即：3=9+6d ,∴d =－1 又∵12a =9a +3d ,∴12a =3+3×（－1）=0.2. 已知数列{}n a 中，前n 项和)(82+∈+-=Z n n n S n （1）求数列的通项公式n a ； （2）证明：数列{}n a 是等差数列。
3．在等差数列{a n }中，若a 1＝25且S 9＝S 17，求数列前多少项和最大.《数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1nn n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
例:已知数列{}n a 中，21=a ,1122+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与例：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .高考试题解析 一、选择题1.【福建文11】数列{a n }的通项公式2cosπn a n =，其前n 项和为S n ，则S 2012等于 A.1006 B.2012 C.503 D.0 【答案】A ．考点：数列和三角函数的周期性。