2012年中考数学复习考点跟踪训练48几何型综合问题
专题九几何综合体、代数和几何综合题(含答案)
2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综合题1（2011河北省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。
分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，∴DE⊥DG．（2）如图．（3）四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）=．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2（2011新疆建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。
2012年中考数学复习考点跟踪训练48几何型综合问题
考点跟踪训练48 几何型综合问题一、选择题1．(2011·潜江)如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BC E等于( )A．23°B．16°C．20°D．26°答案 C解析∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝46°.∵EF∥CD，∴∠ECD＋∠CEF＝180°，∠ECD＝26°，∴∠BCE＝∠BCD－∠ECD＝46°－26°＝20°.2．(2011·枣庄)如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是( )答案 B解析把B旋转之后平移，可以拼满拼木盘．3．(2011·桂林)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3, AC＝4，则sin A的值为( )A.34 B.43 C.35 D.45答案 C解析在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，所以AB＝5，sin A＝BCAB＝35.4．(2011·福州)如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为( )A．4 2 B．3 2 C．5 D．7答案 D解析根据图形的轴对称性，得BE＝DF＝4，所以EF＝EB＋BD＋DF＝14，如图，连MN，则MN＝EF＝14，OM＝AD＝12MN＝12×14＝7.5.(2011·鸡西)如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC 于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为( )A．3 B．2 3 C.21 D．3 5答案 C解析∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D.又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB.∴ABAD＝AEAB，AB2＝AE·AD＝3×(3＋4)＝21，∴AB＝21.二、填空题6．(2011·盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是__________．答案等腰梯形解析观察图形，易知AD∥BC，AD≠BC，且∠ABC＝∠DCB＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形．7．(2011·黄石)有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图．将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为__________．答案AB＝2BC解析设乙纸条宽为a，则甲纸条宽为2a，平行四边形的面积S＝AB·a或S＝BC·2a，所以AB·a＝BC·2a，AB＝2BC.8．(2011·宁波)如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.答案8解析延长ED交BC于F，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BFE是等边三角形，BE＝BF＝EF＝6.延长AD交BC于G.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AG⊥BC.在Rt△DFG中，DF＝6－2＝4.∴GF＝12DF＝2，∴BG＝6－2＝4，BC＝2BG＝2×4＝8.9．(2011·呼和浩特市)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为__________．答案15 7解析分别延长BA、CD交于F，易证△CBE≌△CFE，所以BE＝FE，又BE＝2AE，则FE＝2AE，F A＝EA.由AD∥BC，得△F AD ∽△FBC ，S △FBC ＝16S △F AD .设S △F AD ＝x ，则S △FEC ＝1＋x ，S △FBC ＝2＋2x .∴2＋2x ＝16x .14x ＝2，x ＝17. 故S 梯形ABCD ＝16×17－17＝157.10．(2011·盐城)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40 cm ，灯罩BC 长为30 cm ，底座厚度为2 cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE ________cm.(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.732)答案 51.6解析 过点B 作BF ⊥CD 于F ，作BG ⊥AD 于G .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°， ∴CF ＝BC ·sin 30°＝30×12＝15.在Rt △ABG 中，∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin 60°＝40×32＝20 3.∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝15＋20 3＋2＝17＋20 3≈51.64≈51.6(cm).三、解答题11．(2011·北京)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC ＝2，CE ＝4，求四边形ACEB 的周长．解∵ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE.又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2.在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝CE2－DE2＝2 3.∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝4 3.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝213.∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝4，∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋EB＋BA＝10＋213.12．(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点；(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．解(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝12AB，∴CD＝BD.∴∠BCE＝∠ABC.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB.∴△BCE∽△ACB.∴E是△ABC的自相似点．(2)①如图所示，作法如下：(i)在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；(ii)在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P. 则P为△ABC的自相似点．②连接PB、PC.∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB.∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC.∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°.∴∠A＝180°7.∴该三角形三个内角的度数为：180°7、360°7、720°7.13．(2011·天津)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(0,4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD.记旋转转角为α，∠ABO为β.(1)如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；(2)如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；(3)当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．(直接写出结果即可)解(1)∵点A(3,0)，B(0,4)，得OA＝3，OB＝4.∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB＝5.根据题意，有DA＝OA＝3.如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB. ∴△ADM∽△ABO.∴ADAB＝AMAO＝DMBO，得AM＝AD AB·AO＝95，DM＝AD AB·BO＝125.又∵OM＝OA－AM，得OM＝3－95＝65，∴点D的坐标为(65，12 5)．(2)如图②，由己知，得∠CAB＝α，AC＝AB，∴∠ABC＝∠ACB.∴在△ABC中，由∠ABC＋∠ACB＋∠CAB＝180°，得α＝180°—2∠ABC.又∵BC∥x轴，∴∠OBC＝90°，∴∠ABC＝90°—∠ABO＝90°—β，∴α＝2β.(3)直线CD的解析式为：y＝－724x＋4或y＝724x－4.。
考点跟踪训练47方程与函数相结合型综合问题
考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题一、选择题1．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－1与x 轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 B解析 令y ＝0，得x 2－1＝0，x ＝1或－1，抛物线交x 轴于点(1,0)，(－1,0)．2．(2011·兰州)如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac >0；(2)c >1；(3)2a －b <0；(4)a ＋b ＋c <0.你认为其中错误．．的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 答案 D解析 由抛物线与x 轴交于两点，可知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0；又抛物线的对标轴直线x ＝－b 2a >－1，而a <0，所以b >2a,2a －b <0；当x ＝1时，函数值y ＝a ＋b ＋c <0，信息(1)，(3)，(4)正确；抛物线与y 轴交于点(0，c )，在点(0,1)下方，c <1，信息(2)错误．3．(2011·潍坊)已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4和x 1·x 2＝3，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象有可能是( )答案 C解析 由x 1＋x 2＝4和x 1x 2＝3，可解得两根为1、3，抛物线与x 轴交点为(1,0)，(3,0)，选C.4．(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点⎝⎛⎭⎫－45，y 1、⎝⎛⎭⎫－54，y 2、⎝⎛⎭⎫16，y 3，y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ． y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3 C ． y 3<y 1<y 2 D ．y 1<y 3<y 2答案 A解析 当方程的一根为x ＝－3时，(－3)2－3b －3＝0，b ＝2，所以y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴对称轴x ＝－1，∴x ＝－54与x ＝－34时y 值相同，∵在x ＝－1右侧，y 随x 增大而增大，∴y 1<y 2<y 3，选A.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是( )A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根 答案 D解析 画直线y ＝－2，与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于两点，且在第四象限，故方程ax 2＋bx ＋c ＝－2，有两个不等的正数根．二、填空题 6．(2008·义乌)李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式____________________．答案 形如y ＝kx ＋b (k >0，b >0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b >0)7．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A 点的坐标为(0,3)，B 点的坐标为(6,5)，则从A 、B 两点到奶站距离之和的最小值是__________．答案 10解析 如图，画点A 关于x 轴的对称点A 1，其坐标为(0，－3)，根据两点之间线段最短，可知AC 、BC 距离之和的最小值为线段A 1B ，画BD ⊥y 轴于D ，在Rt △A 1BD 中，A 1D ＝3＋5＝8，BD ＝6，所以A 1B ＝62＋82＝10.8．(2010·绥化)已知关于x 的分式方程 a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是____________．答案 a ≤－1且a ≠－2解析 去分母，a ＋2＝x ＋1，∵x ≠－1，a ≠－2，x ＝a ＋1≤0，∴a ≤－1且a ≠－2.9．(2008·西宁)如图所示的是函数y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx ＋n 的解关于原点对称的点的坐标是___________．答案 (－3，－4)解析 两直线y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 交于点(3,4)，所以关于原点对标的点的坐标为(－3，－4)．10．如图，点D 的纵坐标等于______________；点A 的横坐标是方程______________的解；大于点B 的横坐标是不等式______________的解集；点C 的坐标是方程组______________的解；小于点C 的横坐标是不等式______________的解集．答案 b ；k 1x ＋b 1＝0；kx ＋b ＜0；⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝kx ＋b；kx ＋b ＞k 1x ＋b 1三、解答题11．如果一个二次函数的图象经过点A (6,10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐标为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式．解 ∵这个二次函数的图象与x 轴交于B (x 1,0)、C (x 2,0)两点，∴这个二次函数的解析式是y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，即y ＝a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]． ∵x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5， ∴y ＝a (x 2－6x ＋5)．∵这个二次函数的图象经过点A (6,10)， ∴a ×(62－6×6＋5)＝10， 解之，得a ＝2，∴所求二次函数的解析式为：y ＝2x 2－12x ＋10.12．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为(－1,0)，点B 在抛物线y ＝ax 2＋ax －2上．(1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________； (2)抛物线的关系式为________________；(3)设(2)中抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积； (4)将三角尺ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达△AB ′C ′的位置．请判断点B ′、C ′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．解 (1)A (0,2)，B (－3,1)． (2)y ＝12x 2＋12x －2.(3)如图①，可求得抛物线的顶点D ⎝⎛⎭⎫－12，－178.设直线BD 的关系式为y ＝kx ＋b ，将点B 、D 的坐标代入，求得k ＝－54，b ＝－114，∴BD 的关系式为y ＝－54x －114.设直线BD 和x 轴交点为E ，则点E ⎝⎛⎭⎫－115，0，CE ＝65. ∴△DBC 的面积为12×65×⎝⎛⎭⎫1＋178＝158.(4)如图②，过点B ′作B ′M ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ，过点C ′作C ′P ⊥y 轴于点P .在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中，∵AB ＝AB ′，∠AB ′M ＝∠BAN ＝90°－∠B ′AM ， ∴Rt △AB ′M ≌Rt △BAN .∴B ′M ＝AN ＝1，AM ＝BN ＝3，∴B ′(1，－1)．同理：△AC ′P ≌△CAO ，C ′P ＝OA ＝2，AP ＝OC ＝1， ∴C ′(2,1)．将点B ′、C ′的坐标代入y ＝12x 2＋12x －2，可知点B ′、C ′在抛物线上(事实上，点P与点N 重合)．13．已知抛物线y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m 的顶点D 在双曲线y ＝－5x上，直线y ＝kx＋c 过点D 和点C (a ，b )，且y 随x 的增大而减小，a 、b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－3＝0，2a 2－5ab ＋2b 2＝0.求直线y ＝kx ＋c 的解析式．解 ∵y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m ，∴抛物线的顶点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1m ＋3，3m 2＋10m －3m ＋3.∵点D 在双曲线y ＝－5x 上，∴⎝⎛⎭⎫－1m ＋3·⎝⎛⎭⎫3m 2＋10m －3m ＋3＝－5， 整理得：m 2＋10m ＋24＝0， 解之，得m 1＝－4，m 2＝－6，∴D 点的坐标为D 1(1，－5)或D 2⎝⎛⎭⎫13，－15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－3＝0，2a 2－5ab ＋2b 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，b 1＝－1，，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴C 点的坐标为C 1(－2，－1)或C 2(2,1)．∵直线y ＝kx ＋c 经过D 、C 两点，且y 随x 的增大而减小， ∴点C 2(2,1)不合题意，舍去．∴直线x 1y ＝kx ＋c 经过点D 1(1，－5)和点C 1(－2，－1)或点D 2⎝⎛⎭⎫13，－15和C 1(－2，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋c ＝－5，－2k ＋c ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋c ＝－15，－2k ＋c ＝－1，解之，得⎩⎨⎧k ＝－43，c ＝－113，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6，c ＝－13. ∴这条直线的解析式为y ＝－43x －113或y ＝－6x －13.。
2012年中考几何综合题_专题练习(教师版含答案).doc
几何题专项训练（24题）一、方法提点几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可以分为几何计算型综合题和几何论证型综合题，它主要是考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。
解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键。
解几何综合题，还应注意以下几点：(1)注意观察、分析图形，把复杂图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；(2)掌握常规的证题方法和思路；(3)运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题（常常借助于解直角三角形和两三角形相似的性质），还要灵活运用其它数学思想方法如数形结合、分类讨论等。
二、强化训练（一） 达标训练1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形． （2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．（1）证明：∵AE ∥BD ，∴∠E ＝∠BDC ∵DB 平分∠ADC∴∠ADC ＝2∠BDC又∵∠C ＝2∠E∴∠ADC ＝∠BCD∴梯形ABCD 是等腰梯形 3分 （2）解：由第（1）问，得∠C ＝2∠E ＝2∠BDC ＝60°，且BC ＝AD ＝5∵ 在△BCD 中，∠C ＝60°, ∠BDC ＝30° ∴∠DBC ＝90°∴DC ＝2BC ＝10 7分2.中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若四边形ABFG 是菱形，且60B ∠=°，BC=9B C D 的面积.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD =．A DG 图 5E D C BA∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成． ∴CG AD ⊥．∴90AEB CGD ∠=∠=°． ∵AE CG =，∴Rt Rt ABE CDG △≌△． ∴BE DG =．（2）∵四边形ABFG 是菱形， ∴AB=BF ．∵Rt ABE △中，60B ∠=°，∴30BAE ∠=°， ∴12BE AB ==1/2BF ． 又BE=FC∴BE=1/3BC=3.在Rt ABE △中， AE=tg 30°．BE=3 ∴ABCD=BC ．AE=9×3=933.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足AD CF =，M F M A =． （1）若120=∠MFC ，求证：MB AM 2=；（2）求证：FCM MPB ∠-=∠2190． (2010 重庆市中考题，答案见《试题研究》)4.如图，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF GH 、分割成四个小矩形，EF 与GH 交于点P ．（1）若AG AE =，证明：AF AH =；（2）若45FAH ∠=°，证明：AG AE FH +=；（3）若Rt GBF △的周长为1，求矩形EPHD 的面积．（1）证明1：在Rt ADH △与Rt ABF △中，∵AD AB DH AG AE BF ====，，∴Rt ADH △≌Rt ABF △． ∴AF AH =．证明2：在Rt AEF △中，222AF AE EF =+．在Rt AGH △中，222AH AG GH =+∵AG AE GH EF ==，，∴AF AH =．（2）证明1：将ADH △绕点A 顺时针旋转90°到ABM △的位置．A E DH G PBF CADG C B F EM PFEDC BA在AMF △与AHF △中，∵ AM AH AF AF ==，，904545MAF MAH FAH FAH ∠=∠-∠=-==∠°°°，∴AMF AHF △≌△．∴MF HF =．∵MF MB BF HD BF AG AE =+=+=+，∴AG AE FH +=．证明2：延长CB 至点M ，使BM DH =，连结AM ． 在Rt ABM △与Rt ADH △中， ∵AB AD BM DH ==，，∴Rt Rt ABM ADH △≌△．∴AM AH MAB HAD =∠=∠，． ∵45FAH ∠=°，∴904545BAF DAH BAD FAH ∠+∠=∠-∠=-=°°°．∴45MAF MAB BAF HAD BAF FAH ∠=∠+∠=∠+∠==∠°． ∴AMF AHF △≌△． ∴MF FH =．∵MF MB BF HD BF AG AE =+=+=+， ∴AG AE FH +=．（3）设BF x GB y ==，，则1FC x =-，1AG y =-．（0101x y <<<<，） 在Rt GBF △中，22222GF BF BG x y =+=+． ∵Rt GBF △的周长为1，∴1BF BG GF x y ++=++=．1()x y =-+．即22212()()x y x y x y +=-+++． 整理得22210xy x y --+=． （*） 求矩形EPHD 的面积给出以下两种方法： 方法1：由（*）得212(1)x y x -=-． ①∴矩形EPHD 的面积(1)(1)S PHEP FC AG x y ===--·· ② 将①代入②得(1)(1)S x y =--21(1)12(1)x x x ⎡⎤-=--⎢⎥-⎣⎦E D CFM G AP （2）图1(1)2(1)x x -=--12=．∴矩形EPHD 的面积是12． 方法2：由（*）得1()2x y xy +-=， ∴矩形EPHD 的面积(1)(1)S PHEP FC AG x y ===--·· 1()x y xy =-++ 112=- 12= ∴矩形EPHD 的面积是12．（二）拓展训练5．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ． (1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数．4.（2008甘肃省兰州市，9分）如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．（1）证明：当90AOF ∠= 时，AB EF ∥， 又AF BE ∥，∴四边形ABEF 为平行四边形．3分（2）证明： 四边形ABCD 为平行四边形，AO CO FAO ECO AOF COE ∴=∠=∠∠=∠，，． AOF COE ∴△≌△． AF EC ∴=5分 （3）四边形BEDF 可以是菱形． 6分理由：如图，连接BF DE ，，由（2）知AOF COE △≌△，得OE OF =， EF ∴与BD 互相平分．∴当EF BD ⊥时，四边形BEDF 为菱形．7分在Rt ABC △中，2AC ==，1OA AB ∴==，又AB AC ⊥，45AOB ∴∠= ，8分45AOF ∴∠= ，AC ∴绕点O 顺时针旋转45 时，四边形BEDF 为菱形． 9分3. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，2AB CD =，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结EF 、CE 、BF 、CF ．（1）判断四边形AECD 的形状（不需证明）；（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明； （3）若2CD =，求四边形BCFE 的面积．ABCDO F EABCD O F ED C F（1）平行四边形；（2）BEF FDC △≌△或（AFB EBC EFC △≌△≌△） 证明：连结DE ．∵2AB CD =，E 为AB 中点，∴DC EB∥． 又∵AB BC ⊥，∴四边形BCDE 为矩形．∴90AED ∠=°．Rt ABE △中，60A ∠=°，F 为AD 中点，∴12AE AD AF FD ===． ∴AEF △为等边三角形．∴18060120BEF ∠=-=°°°． 而120FDC ∠=°，得BEF FDC △≌△（S ．A ．S ．）（其他情况证明略）（3）若2CD =，则4AD =， DE BC ==23 ∵S △ECF ＝21AECD S ＝21CD ·DE ＝21×2×23＝23 CBE S △＝21BE ·BC ＝21×2×23＝23∴S 四边形BCFE ＝S △ECF +S △EBC ＝23+23＝43．4.在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 在AD 上，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ，∠GCE ＝45°.（1）求证：GE ＝BE ＋GD（2）运用（1）题解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．（1）证明：在正方形ABCD 中，图1B 图2 CA DEGD CBA FE∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ． ∴CE ＝CF ． 3分 （2）解：GE ＝BE ＋GD 成立． 4分 理由是：∵△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE ＝∠DCF ．∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD 即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°． ∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ， ∴△ECG ≌△FCG ． ∴GE ＝GF ．∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ． 8分 （3）解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ． 在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°， 又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ， ∴四边形ABCD 为正方形． ∴AG ＝BC ＝12． 已知∠DCE ＝45°， 根据（1）（2）可知，ED ＝BE ＋DG ． 10分 设DE ＝x ，则DG ＝x －4， ∴AD ＝16－x ．在Rt △AED 中， ∵222AE AD DE +=，即()222816+-=x x ．解这个方程，得：x ＝10．∴DE ＝10． 12分。
2012年中考复习考点跟踪训练《矩形、菱形与正方形》
2012年中考复习考点跟踪训练（二十四）《矩形、菱形与正方形》一、选择题1．(2011·滨州)如图，在一张△ABC 纸片中， ∠C ＝90°，∠B ＝60°，DE 是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 一定能拼成的是邻边不等的矩形、等腰梯形、有一个角为锐角的菱形． 2．(2011·衢州)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF 、AG 分别架在墙体的点B 、点C 处，且AB ＝AC ，侧面四边形BDEC 为矩形，若测得∠F AG ＝110°，则∠FBD ＝( )A ．35°B ．40°C ．55°D ．70°答案 C解析 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠F AG ＝110°，∴∠ABC ＝180°－110°2＝35°.又∵∠DBC ＝90°， ∴∠FBD ＝180°－∠ABC －∠DBC ＝55°. 3．(2011·绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分 答案 D解析 矩形的对角线相等且互相平分．4．(2011·兰州)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1＋S 2的值为( )A ．16B ．17C ．18D ．19 答案 B解析 如图，S 1占三角形面积的12，∴S 1＝⎝⎛⎭⎫12×6×6×12＝9； S 2占三角形面积的49，∴S 2＝⎝⎛⎭⎫12×6×6×49＝8； 所以S 1＋S 2＝9＋8＝17.5．(2011·重庆)如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF .下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3.其中正确结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 经过折叠，有△ADE ≌△AFE ，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°.又∵AG ＝AG ，∴△ABG ≌△AFG ；设BG ＝FG ＝x ，则CG ＝6－x ，EG ＝2＋x ，EC ＝4，由勾股定理，得(2＋x )2＝42＋(6－x )2，解之，得x ＝3，所以CG ＝BG ＝3；画FH ⊥GC 于H ，△GFH ∽△GEC ，有FH EC ＝GF GE ＝GH GC ，FH 4＝35＝GH 3，∴FH ＝125，GH ＝95.在Rt △CFH 中，tan ∠FCG ＝FH CH ＝1253－95＝2，在Rt △ABG 中，tan ∠AGB ＝ABBG＝2，∴∠FCG ＝∠AGB ，∴AG ∥CF ；S △FGC ＝12GC ·FH ＝12×3×125＝185≠3；故结论①、②、③正确． 二、填空题6．(2011·黄冈)如图：矩形ABCD 的对角线AC ＝10，BC ＝8，则图中五个小矩形的周长之和为________．答案 28解析 在Rt △ABC 中，AC ＝10，BC ＝8，所以AB ＝6，故五个小矩形的周长之和等于矩形ABCD 的周长28.7．(2011·南京)如图，菱形ABCD 的边长是2 cm ，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为________cm 2.答案 2 3解析 在Rt △ADF 中，AD ＝2，AE ＝12AB ＝1，所以DE ＝3，S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝2×3＝2 3 cm 2.8．(2011·绵阳)如图，将长8 cm ，宽4 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为__________cm.答案 2 5解析 因为折叠，设DF ＝D ′F ＝x ，则FC ＝8－x ，D ′C ＝AD ＝4，在Rt △D ′FC 中，由勾股定理，得x 2＋42＝(8－x )2，解之，得x ＝3.连接AC 交EF 于点O ，由折叠得∠FOC ＝90°，在Rt △FCO 中，CO ＝12AC ＝12×82＋42＝2 5，所以EO ＝52－(2 5)2＝5，EF＝2EO ＝2 5.9．(2011·广东)如图1，已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2(如图2)；以此下去……，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为______________．答案 625解析 因为正方形ABCD 的面积为1，所以AB ＝1，AB 1＝2，正方形A 1B 1C 1D 1的面积等于12＋22＝5；同理，正方形A 2B 2C 2D 2的面积等于(5)2＋(2 5)2＝25；正方形A 3B 3C 3D 3的面积等于52＋102＝125；正方形A 4B 4C 4D 4的面积等于(5 5)2＋(10 5)2＝625.10．(2011·德州)长为1，宽为a 的矩形纸片(12<a <1)，如图1那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的矩形如图2那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n ＝3时，a 的值为____________．答案 35或34解析 由题意，可知当12＜a ＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a ，宽为1－a ，所以第二次操作时正方形的边长为1－a ，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1－a,2a －1.此时，分两种情况：①如果1－a ＞2a －1，即a ＜23，那么第三次操作时正方形的边长为2a －1.则2a －1＝(1－a )－(2a －1)，解得a ＝35；②如果1－a ＜2a －1，即a ＞23，那么第三次操作时正方形的边长为1－a .则1－a ＝(2a －1)－(1－a )，解得a ＝34.故答案为35或34.三、解答题11．(2011·广州)如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE ＝AF .求证：△ACE ≌△ACF .解 证明：∵ AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴ ∠CAE ＝∠CAF . 在△ACE 和△ACF 中，AE ＝AF ，∠CAE ＝∠CAF ，AC ＝AC ， ∴△ACE ≌△ACF .12．(2011·衢州)如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC .(1)求证：AD ＝EC ；(2)当∠BAC ＝Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形； (3)在(2)的条件下，若AB ＝AO ，求tan ∠OAD 的值． 解 (1)解法一：证明：∵DE ∥AB ，AE ∥BC ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BD ，且AE ＝BD . 又∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD ，∴AE ∥CD ，且AE ＝CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴AD ＝CE . 解法二：证明：∵DE ∥AB ，AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∠B ＝∠EDC . ∴AB ＝DE .又∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD .∴△ABD ≌△EDC (SAS )． ∴AD ＝EC . (2)解法一：证明：∵∠BAC ＝Rt ∠，AD 是斜边BC 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD .又∵由(1)得四边形ADCE 是平行四边形， ∴四边形ADCE 是菱形． 解法二：证明：∵DE ∥AB ，∠BAC ＝Rt ∠， ∴DE ⊥AC .又∵由(1)得四边形ADCE 是平行四边形， ∴四边形ADCE 是菱形． 解法三：证明：∵∠BAC ＝Rt ∠，AD 是斜边BC 上的中线， ∴AD ＝BD ＝CD .∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ＝BD ＝CD . 又∵AD ＝EC ，∴AD ＝CD ＝CE ＝AE . ∴四边形ADCE 是菱形． (3)解法一：解：∵四边形ADCE 是菱形， ∴AO ＝CO ，∠AOD ＝90°. 又∵BD ＝CD ，∴OB 是△ABC 的中位线，则OD ＝12AB .∵AB ＝AO ，∴OD ＝12AO .∴在Rt △AOD 中，tan ∠OAD ＝OD OA ＝12.解法二：解：∵四边形ADCE 是菱形，∴AO ＝CO ＝12AC ，AD ＝CD ，∠AOD ＝90°.∵AB ＝AO ，∴AB ＝12AC .∴在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝AB AC ＝12.∵AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA .∴tan ∠OAD ＝tan ∠ACB ＝12.13．(2011·南京)如图，将▱ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE ＝DC ，连接AE ，交BC 于点F .(1)求证：△ABF ≌△ECF ；(2)若∠AFC ＝2∠D ，连接AC 、BE .求证：四边形ABEC 是矩形．解 (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD .∴∠ABF ＝∠ECF . ∵EC ＝DC, ∴AB ＝EC . 在△ABF 和△ECF 中，∵∠ABF ＝∠ECF ，∠AFB ＝∠EFC ，AB ＝EC ， ∴△ABF ≌△ECF .(2)解法一：∵AB ＝CD ＝EC ，AB ∥EC ， ∴四边形ABEC 是平行四边形． ∴AF ＝EF , BF ＝CF .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠D .又∵∠AFC ＝2∠D ， ∴∠AFC ＝2∠ABC .∵∠AFC ＝∠ABF ＋∠BAF ， ∴∠ABF ＝∠BAF . ∴F A ＝FB .∴F A ＝FE ＝FB ＝FC,∴AE ＝BC .∴▱ABEC 是矩形． 解法二：∵AB ＝EC ，AB ∥EC ， ∴四边形ABEC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠BCE . 又∵∠AFC ＝2∠D ， ∴∠AFC ＝2∠BCE .∵∠AFC ＝∠FCE ＋∠FEC ， ∴∠FCE ＝∠FEC .∴∠D ＝∠FEC .∴AE ＝AD . 又∵CE ＝DC ，∴AC ⊥DE .即∠ACE ＝90°. ∴▱ABEC 是矩形.14．(2011·宁波)如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG ∥BD 交CB 的延长线于点G .(1)求证：DE ∥BF ； (2)若∠G ＝90°，求证：四边形DEBF 是菱形．解 (1)证明：在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD . ∵E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ，∴DF ∥BE ，DF ＝BE .∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ∥BF .(2)证明： ∵AG ∥BD ， ∴∠G ＝∠DBC ＝90°. ∴△DBC 为直角三角形． 又∵F 为边CD 的中点，∴BF ＝12CD ＝DF .又∵四边形DEBF 为平行四边形， ∴四边形DEBF 是菱形．。
北京市2012年中考数学二模试题分类 几何综合(教师版)
2012年市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.（1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P. 求证：DP ＝DQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面 两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG.∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形.∴NG = NC ，DG = CM. …………………2分 ∵∠1 + ∠2 =180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º.∵∠2 + ∠3 = 240º，∴∠NGD =∠3.∴△NGD ≌△NCM .……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠M. ∴∠DNM =∠GNC= 60º.∴△DMN 是等边三角形.………………………………4分 （2）连接QN 、PM.∴QN =21CE= PM. ……………………5分Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4=∠5. ∵MN ∥EF ，∴∠5=∠6，∠7=∠8. ∵NQ ∥CE ，∴∠7=∠4. ∴∠6=∠8.∴∠QND=∠PMD. ………………………6分 ∴△QND ≌△PMD.∴DQ= DP. ……………………7分2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP=∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB=AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图 1 图224．解：（1）DE=DF ．……1分（2）DE=DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BPDN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分AEFPBD CC E B AD FP 7654321NMCD BPFEA同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分 ∴67∠=∠∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分 ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE=DF ．……7分3.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF= DC, M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB=BC, 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB=BC, 点M 、A 不重合, BN=NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN=NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3 25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CEBM证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G, 则∠EGN=90°． ∵ 矩形ABCD 中, AB=BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD, ∠A=∠ADC =∠DCB=90°．∴ EG//CD, ∠EGN =∠A, ∠CDF=90°．……………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD, ∴ GF=DG =11.22DF CD =∴1.2GE CD =FA ( M ) DNDAACEDNM B FECB FNMECB321GFEA (M )CD NB∵ N 为MD(AD)的中点， ∴ AN=ND=11.22AD CD∴GE=AN, NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB. ………2分 ∴△NGE ≌△BAN ． ∴∠1=∠2. ∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∴∠BNE=90°.∴ BN ⊥NE ． ……………………………3分 ∵∠CDF=90°, CD=DF, 可得 ∠F=∠FCD=45°， 2.CFCD.于是122.2CFCE CE CE BMBA CD CD …………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ， 交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴∠MBN=∠DGN ，∠BMN=∠GDN. ∵ N 为MD 的中点， ∴ MN=DN ． ∴△BMN ≌△GDN ． ∴ MB=DG ，BN=GN. ∵ BN=NE ，∴ BN=NE=GN. ∴∠BEG=90°． ……………5分HGABCDEM NF∵ EH ⊥CE ， ∴∠CEH=90°． ∴∠BEG=∠CEH ． ∴∠BEC=∠GEH ． 由（1）得∠DCF=45°． ∴∠CHE=∠HCE=45°． ∴ EC=EH, ∠EHG=135°． ∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°， ∴∠ECB=∠EHG ． ∴△ECB ≌△EHG ． ∴ EB=EG ，CB=HG ． ∵ BN=NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………6分 ∵CE ， ∴CEBM. ……………………7分（3）BN ⊥NE ；CEBM. ……………………8分密云25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN +的值．25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =，且112302ADC ∠=∠=∠=．∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF===．∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------- 3分（2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上． 证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ． 则90PQEPHD ∠=∠=∵60ADC ∠=，∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=． 又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=． ∴αβ∠=∠．∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠， ∴ 点P 落在对角线DB 所在直线上--- 6分 ②112DM DN +=． ---------------------- 8分旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD=∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。
2012年中考复习考点跟踪训练《分类讨论问题》
2012年中考复习考点跟踪训练（四十四）《分类讨论问题》一、选择题1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0) 答案 B解析 当P 点坐标为(4,0)时，点A 在OP 的中垂线上，OA ＝P A ；当P 点坐标为(－2 2，0)时，OP ＝OA ＝2 2；当P 点坐标为(2,0)时，OP ＝AP ＝2，所以P 点坐标不可能为(1,0)．2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．±6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 6 答案 D解析 当x ≤2时，x 2＋2＝8，x ＝±6(舍去6)；当x >2时，2x ＝8，x ＝4.综上，x ＝－6或x ＝4.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，4 答案 D解析 ∵点A 的坐标为(3,4)，∴OA ＝32＋42＝5. 当AP ＝AO 时，可知P 1(－2,4)，P 2(8,4)，当OP ＝OA 时，可知P 3(－3,4)， 当PO ＝P A 时，设PO ＝P A ＝m .有(m －3)2＋42＝m 2，m ＝256，∴m －3＝76，P 4⎝⎛⎭⎫－76，4，故选D. 4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或8 答案 C解析 如图①，S 矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S 矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.5．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22C.22D. 2 答案 B解析 A (m,1)代入y ＝k x 中，得m ＝k ，代入y ＝2kx 中，得2k 2＝1，k 2＝12，所以k ＝±22.二、填空题6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．答案 70°，70°，40°或55°，55°，70°解析 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为180°－70°2＝55°.7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC 上一定点，且MC ＝8.动点P 从C 点出发沿C →D →A →B 的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P 有________个．答案 4解析 当MC 为底边时，MC 的中垂线交CD 于一点P ，该点能满足PM ＝PC ；当MC 为腰时，分别以C 、M 为圆心，MC 长为半径画圆，⊙C 与CD 交于一点P ，⊙M 与AB 、AD 各有一个交点，因此，满足条件的点P 有4个．8．在△ABC 中 ，AB ＝AC ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1 cm 的速度沿B →A →C 的方向运动，设运动的时间为t 秒，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t 的值为________．答案 11或13解析 当0<t ≤12时，点P 在AB 上，2(t ＋3)＝12＋3＋(12－t )，t ＝11；当12<t <24时，点P 在AC 上，2[3＋(24－t )]＝3＋12＋t ，解得t ＝13.9．(2010·上海)已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1，如图所示．把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为_______．答案 1或5解析 题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F 1点，则F 1C ＝1；旋转得到F 2点，则F 2B ＝DE ＝2，F 2C ＝F 2B ＋BC ＝5.10．如图，点A 、B 在直线MN 上， AB ＝11 cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1 cm ，⊙A 以每秒2 cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (秒)之间的关系式为r ＝1＋t (t ≥0)，当点A 出发后________秒两圆相切．答案 3或113或11或13解析 两圆相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外切，由题意， 可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3； ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝113；③当两圆第二次内切，由题意， 可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11； ④当两圆第二次外切，由题意， 可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13.所以，点A 出发后3秒或113秒或11秒或13秒两圆相切．三、解答题 11．(2010·柳州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝2 cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC ＝60°.若动点E 以2 cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s)(0≤t <3)，连接EF ，当t 值为多少时，△BEF 是直角三角形．解 ∵AB 是⊙O 的直径， ∠ABC ＝60°， ∴∠C ＝90°，AB ＝2BC ＝4. 当∠BFE ＝90°时， ∵F 是BC 中点，∴BF ＝12×2＝1.在Rt △BEF 中，∠B ＝60°，∴BE ＝2BF ＝2×1＝2，AE ＝4－2＝2. 又∵AE ＝2t ，∴2t ＝2，t ＝1. 当∠BEF ＝90°时，在Rt △BEF 时，BE ＝12BF ＝12，∴AE ＝4－12＝312，∴2t ＝312，t ＝1.75.同样，当t ＝1.75＋12＝2.25时，∠BEF ＝90°.综上，t ＝1或1.75或2.25. 12．(2011·南通)已知A (1,0)，B (0，－1)，C (－1,2)，D (2，－1)，E (4,2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上； (2)点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上吗？为什么？ (3)求a 和k 的值．解 (1)证明：将C ，E 两点的坐标代入y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝2，9a ＋k ＝2，解得a＝0，∴与条件a ＞0不符，∴C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上． (2)解法一：∵A 、C 、D 三点共线(如下图)，∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上． ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A 、B 、C ； ②A 、B 、E ； ③A 、B 、D ； ④A 、D 、E ； ⑤B 、C 、D ； ⑥B 、D 、E .将①、②、③、④四种情况(都含A 点)的三点坐标分别代入y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解．所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上．解法二：抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)的顶点为(1，k )，假设抛物线过A (1,0)，则点A 必为抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A 、B 、C 、D 、E 中的三点，所以必过x 轴上方的另外两点C 、E ，这与(1)矛盾，所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上．(3)①当抛物线经过(2)中⑤B 、C 、D 三点时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋k ＝－1，4a ＋k ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－2. ②当抛物线经过(2)中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求：⎩⎨⎧a ＝38，k ＝－118.综上，a 和k 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－2或⎩⎨⎧a ＝38，k ＝－118.13．(2011·贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)为端点的线段中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)． 【运用】(1)如图，矩形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4,3)，则点M 的坐标为__________；(2)在直角坐标系中，有A (－1,2)，B (3,1)，C (1,4)三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．解 (1)∵四边形ONEF 是矩形， ∴点M 是OE 的中点． ∵O (0,0)，E (4,3)，∴点M 的坐标为(2，32)．(2)设点D 的坐标为(x ，y )．若以AB 为对角线，AC 、BC 为邻边构成平行四边形，则AB 、CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.若以BC 为对角线，AB 、AC 为邻边构成平行四边形，则AD 、BC 的中点重合， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋x 2＝1＋32，2＋y 2＝4＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.若以AC 为对角线，AB 、BC 为邻边构成平行四边形，则BD 、AC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5.综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5,3)或(－3,5)．。
2012年全国中考数学分类解析汇编专题15：综合问题
①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
②函数 y=x2 + 1 图象上的点 P（x，y）一定在第二象限 x
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
④使得|x|﹣y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为 1 13 ． 2
A．3 个
B．1 个
C．4 个
D．2 个
x
5. （2012 四川凉山 4 分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为 1，则直线 y x 2 与⊙O 的位
置关系是【 】
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上三种情况都有可能
【答案】B。
【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，在 y x 2 中，令 x=0，则 y=－ 2 ；令 y=0，则 x= 2 ，
【答案】D。
6
【考点】命题与定理，平移和旋转的性质，非负数的性质，平行投影，公式法解一元二次方程，绝对值，
二次根式有意义的条件。
【分析】①平移后对应线段平行；对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有发生变化；
旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化。
故此命题错误。 ②根据二次根式的意义得 x＜0，y＞0，故函数 y=x2 + 1 图象上的点 P（x，y）一定在第二象限。
2 012 年全国中考数学分类解析汇编 专题 15：综合问题
一、选择题 1. （2012 广东湛江 4 分）已知长方形的面积为 20cm2，设该长方形一边长为 ycm，另一边的长为 xcm， 则 y 与 x 之间的函数图象大致是【 】
A.
中考数学一轮复习 第48课 几何型综合问题
(2)证法一：延长 BA、CD 交于点 H， ∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90° ， ∴∠DBH＋∠H＝90° . ∵CE⊥AB 于 E，∴∠DCF＋∠H＝90° ， ∴∠DBH＝∠DCF. 又∵CD＝BD，∠CDF＝∠BDH， ∴△CDF≌△BDH(ASA)，∴DF＝DH, CF＝BH＝BA＋AH. ∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45° ，∠HDA＝∠DCB＝45° ， ∴∠ADF＝∠ADH. 又∵DF＝DH，DA＝DA，∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH. 又∵CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF.
探究提高
(1)过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，
所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条
件才行；(2)运用转化的数学思想来解决几何证明问题， 运用方程的思想来解决几何计算问题，还要灵活运用数形
结合、分类讨论等数学思想方法．
知能迁移 3
如图，已知△ABC 内接于⊙O，过点 B 作
⊙O 的切线，交 CA 的延长线于 E，∠EBC＝2∠C. (1)求证：AB＝AC； 1 AB (2)若 tan∠ABE＝ ，求BC的值； 2 (3)当 AC＝2 时，求 AE 的值．
【例 3】
△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相
交于点E，点F是BE的中点．
(1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE＝14，BC＝12，求BF的长．
>> 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：(1)证明：连接 OD，AD. ∵AC 是直径，∴∠ADC＝90° ， ∴AD⊥BC. △ABC 中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C，BD＝CD.[2 分] 又∵∠BED 是圆内接四边形 ACDE 的外角，∴∠C＝∠BED. 故∠B＝∠BED，即 DE＝DB.[4 分] ∵点 F 是 BE 的中点，∴DF⊥AB. ∵OA＝OC，CD＝BD，∴OD∥AB， ∴OD⊥DF，DF 是⊙O 的切线．[6 分] (2)设 BF＝x，BE＝2BF＝2x. 1 又 BD＝CD＝ BC＝6，根据 BE· AB＝BD· BC，得 2x· (2x＋14)＝6×12.[8 分] 2 化简，得 x2＋7x－18＝0，解得 x1＝2，x2＝－9(不合题意，舍去)．即 BF 的长为 2.[10 分]
2012年中考数学总复习：解题方法七：解答综合题
解答综合题综合题是指在一道题中将代数、几何等内容进行综合考查的题目，这类题目有这样一些特点：1、常常作为中考数学试卷的压轴题，通常在一个大题下，以几个小题的形式出现。
2、通常是全卷最难的题目，但每个小题的难度却不相同，往往（1）小题可能比前面的题目要简单很多，而（2）小题、（3）小题的难度会逐步以较大幅度增加。
3、题目的阅读量不一定很大，但计算量却较大，对计算的熟练程度要求较高，稍有不慎可能会做而做错。
4、题目放在最后，时间紧张，心理压力大，不容易集中精力，往往不能很好的发挥自己的水平。
根据这些题目的特点，提出以下建议：对于中等水平的考生，可以放弃这些题目的解答，将时间用在前110分的题目上，完成这些题目的解答后将剩余的时间用来检查前面题目的解答是否正确，保证将会做得题目做对，将分拿到手。
对于平时程度较好的同学，在保证前面分能够拿到手之后还有时间，不妨完成在最后这道题目的前面的小题，争取做对，多拿一些分。
对于数学成绩特别优秀的学生，完成前面的题目用不了很多时间，会留下很多时间，但不应急于解答压轴题，也应该先检查前面解答题目的过程和结果是否正确，确保前面分拿到手，然后集中精力完成最后一题的解答。
本文中选择了一些题目和解答供有能力的同学选用。
例1 如图，矩形ABCD的长、宽分别为32和1，且1OB=，点E322⎛⎫⎪⎝⎭，，连接AE ED，．（1）求经过A E D，，三点的抛物线的表达式；（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍．在下图网格中画出放大后的五边形A/E/D/C/B/；71243567654321E D CB A y x O E'D'C'B'A'71243567654321E DC B A y xO （3）经过A E D '''，，三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．解：（1）设经过A E D ，，三点的抛物线为2y ax bx c =++（a ≠0）． 333122222A E D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，． ∴32932423422a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩， 解得 2652a b c ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩．∴过A E D ，，三点的抛物线的表达式为25262y x x =-+-．确定二次函数的解析式通常使用“待定系数法”，关键是正确列、解多元方程组。
2012中考数学经典几何综合题
几何综合题在2006-2011年北京中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。
学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。
同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求（与几何内容有关的“C”级要求）图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。
二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
2012年中考数学 高分攻略之几何部分
2012年中考数学高分攻略之几何部分专题一：正方形知识考点：理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。
精典例题：【例1】如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。
求证：AH ＝AD 。
分析：因为A 是DG 的中点，故在△DGH 中，若AH ＝AD ，当且仅当△DGH 为直角三角形，所以只须证明△DGH 为直角三角形（证明略）。
评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。
本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。
例1图例2图【例2】如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ ＝450，求证：PB ＋DQ ＝PQ 。
分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。
变式：若条件改为PQ ＝PB ＋DQ ，那么∠PAQ ＝？你还能得到哪些结论？ 探索与创新：【问题一】如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。
问题一图1 O F G EDC BA问题一图2分析：对于图1通过全等三角形证明OE ＝OF ，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。
结论：（2）的结论“OE ＝OF ”仍然成立。
提示：只须证明△AOF ≌△BOE 即可。
评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。
【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。
2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题9 几何综合问题
2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题9：几何综合问题 锦元数学工作室 编辑 1. （2012某某区10分）在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3,P 是BC 上的任意一点（P 与B 、C 不重合），过点P 作AP⊥PE，垂足为P ，PE 交CD 于点E.(1)连接AE ，当△APE 与△ADE 全等时，求BP 的长；(2)若设BP 为x ，CE 为y ，试确定y 与x 的函数关系式。
当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？(3)若PE∥BD，试求出此时BP 的长.【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。
在R t△ABP 中，AB=2，∴BP=2222AP AB 325-=-=。
（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴AB BP PC CE= ，即2x 3x y =-。
∴213y x x 22=-+。
∵2213139y x x (x )22228=-+=--+ ∴当3x 2=时，y 的值最大，最大值是98。
（2）设BP=x, 由（2）得213CE x x 22=-+。
∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。
∴CP CE CB CD=， 即213x x 3x 2232-+-=， 化简得23x 13x 120-+=。
解得14x 3=或2x 3=（不合题意，舍去）。
∴当BP=43时，PE∥BD。
【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。
（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。
化为顶点式即可求得当3x2时，y的值最大，最大值是98。
（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。
考点跟踪训练45方程型综合问题
考点跟踪训练45 方程型综合问题一、选择题1．已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片．若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？( )A. 0B. 3C. 7 D ．10 答案 C解析 设这包饼干有y 片，则y >23x ＋3(x 是大于0的整数)，而10y ＝230x ＋30，因而10y23＝10x ＋3023＝10x ＋1＋723，考虑余数723，故最少剩7片．2．一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根 答案 C解析 由x 2＋x ＋2＝0，得x 2＋x ＋14＝－74，所以⎝⎛⎭⎫x ＋122＝－74，方程没有实数根．3．(2010·攀枝花)下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋1＝0B ．9x 2－6x ＋1＝0 C ．x 2－x ＋2＝0 D ．x 2－2x －1＝0 答案 D解析 x 2－2x －1＝0，x 2－2x ＋1＝2，(x －1)2＝2，x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. 4．(2010·莆田)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )A ．x (x －1)＝10 B.x (x －1)2＝10C ．x (x ＋1)＝10 D.x (x ＋1)2＝10答案 B解析 设有x 人参加聚会，则每个人需握手(x －1)次，所以x (x －1)2＝10.5．设a 、b 是方程x 2＋x －2009＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为( ) A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 答案 C解析 根据题意，有a 2＋a －2009＝0，a 2＋a ＝2009；又a ＋b ＝－1，所以a 2＋2a ＋b ＝2008.二、填空题6．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．答案 60解析 450×0.8－450÷(1＋50%)＝360－300＝60. 7．(2009·牡丹江)五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了________折优惠．答案 九解析 设贵宾卡又享受x 折优惠，则有10000×0.8×⎝⎛⎭⎫x 10＝10000－2800,800x ＝7200，x ＝9.8．(2011·铜仁)当k ________时，关于x 的一元二次方程x 2＋6kx ＋3k 3＋6＝0有两个相等的实数根．答案 ±1解析 当(6k )2－4×1×(3k 2＋6)＝0时，方程有两个相等的实数根，解这个方程，得k ＝±1.9．(2011·苏州)已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式()a －b ()a ＋b －2＋ab 的值等于________．答案 －1解析 由根与系数的关系得a ＋b ＝2，ab ＝－1，所以(a －b )(a ＋b －2)＋ab ＝(a －b )×0＋(－1)＝－1.10．(2009·江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程__________．答案 7800(1＋x )2＝9100 三、解答题11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E .(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式； (2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF ＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，得C (3,0)，D (2,2)， ∵∠ADE ＝90°－∠CDB ＝∠BCD ， 又∠AOD ＝∠COD ＝∠ADO ， ∴AD ＝AO ＝BC ＝2. 又∠DAE ＝∠B ＝90°， ∴△ADE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ＝1，∴OE ＝1， ∴E (0,1)．设过点E 、D 、C 的抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．将点E 的坐标代入，得c ＝1.将c ＝1和点D 、C 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋1＝2，9a ＋3b ＋1＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－56，b ＝136.故抛物线的解析式为y ＝－56x 2＋136x ＋1.(2)EF ＝2GO 成立，证明如下：∵点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65，∴点M 的纵坐标为125.设DM 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，将点D 、M 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b 1＝2，65k ＋b 1＝125.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b 1＝3. ∴DM 的解析式为y ＝－12x ＋3.∴F (0,3)，EF ＝2.如图①，过点D 作DK ⊥OC 于点K ，则DA ＝DK .∵∠ADK ＝∠FDG ＝90°，∴∠FDA ＝∠GDK . 又∵∠FAD ＝∠GKD ＝90°，∴△DAF ≌△DKG . ∴KG ＝AF ＝1.∴GO ＝1.∴EF ＝2GO .(3)∵点P 在AB 上，G (1,0)，C (3,0)，设P (t,2)． ∴PG 2＝(t －1)2＋22，PC 2＝(3－t )2＋22，GC ＝2.①若PG ＝PC ，则(t －1)2＋22＝(3－t )2＋22， 解得t ＝2.∴P (2,2)，此时点Q 与点P 重合，∴Q (2,2)． ②若PG ＝GC ，则(t －1)2＋22＝22，解得t ＝1，∴P (1,2)，此时GP ⊥x 轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73.∴Q ⎝⎛⎭⎫1，73. ③若PC ＝GC ，则(3－t )2＋22＝22， 解得t ＝3，∴P (3,2)，此时PC ＝GC ＝2，△PCG 是等腰直角三角形．如图②，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则QH ＝GH ，设QH ＝h ， ∴Q (h ＋1，h )．∴－56(h ＋1)2＋136(h ＋1)＋1＝h .解得h 1＝75，h 2＝－2(舍去)．∴Q ⎝⎛⎭⎫125，75.综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即Q 1(2,2)或Q 2⎝⎛⎭⎫1，73或Q 3⎝⎛⎭⎫125，75. 12．已知，如图抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 的面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)∵对称轴x ＝－3a 2a ＝－32，又∵OC ＝3OB ＝3，a >0，∴C (0，－3)． 把B (1,0)、C (0，－3)代入y ＝ax 2＋3ax ＋c 得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，a ＋3a ＋c ＝0，解得a ＝34，c ＝－3.∴y ＝34x 2＋94x －3(2)过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N .∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝152＋12·DM ·(AN ＋ON )＝152＋2DM .∵A (－4,0)，C (0，－3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入求得：y ＝－34x －3，令D ⎝⎛⎭⎫x ，34x 2＋94x －3，M ⎝⎛⎭⎫x ，－34x －3， 则DM ＝－34x －3－⎝⎛⎭⎫34x 2＋94x －3 ＝－34(x ＋2)2＋3.当x ＝－2时，DM 有最大值3，此时四边形ABCD 面积有最大值272.(3)如图①所示，讨论：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形，∵C (0，－3)，令34x 2＋94x －3＝－3得x 1＝0，x 2＝－3，∴CP 1＝3.∴P 1(－3，－3)．②如图②，平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴可令P (x,3)，由34x 2＋94x －3＝3得：x 2＋3x －8＝0，解得x 1＝－3＋412或x 2＝－3－412，此时存在点P 2⎝⎛⎭⎫－3＋412，3和P 3⎝⎛⎭⎫－3－412，3.综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2⎝⎛⎭⎫－3＋412，3，P 3⎝⎛⎭⎫－3－412，3.13．(2011·北京)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m >0)的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C .(1)求点A 的坐标； (2)当∠ABC ＝45°时，求m 的值；(3)已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P (n,0)是x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数的图象于N .若只有当－2<n <2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．解 (1)∵ 点A 、B 是二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3 (m >0)的图象与x 轴的交点，∴ 令y ＝0，即mx 2＋(m －3)x －3＝0，解得x 1＝－1, x 2＝3m.又∵ 点A 在点B 左侧且m >0，∴ 点A 的坐标为(－1,0)．(2)由(1)可知点B 的坐标为(3m，0)．∵ 二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴ 点C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC ＝45°，∴3m＝3，∴m ＝1.(3)由(2)得，二次函数解析式为y ＝x 2－2x －3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ＋b ＝5，2k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1. ∴ 一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1.。
2012年中考数学综合型问题试题考点解析归总
2012年中考数学综合型问题试题考点解析归总综合型问题一、选择题1.（2011重庆江津4分）下列说法不正确是A、两直线平行，同位角相等B、两点之间直线最短C、对顶角相等D、半圆所对的圆周角是直角【答案】B。
【考点】平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，圆周角定理。
【分析】利用平行线的性质可以判断A正确；利用两点之间线段最短的线段公理可以判断B错误；利用对顶角相等的性质可以判断C正确；利用圆周角定理可以判断D正确。
故选B。
2．（2011重庆潼南4分）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠B C），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是A、①②B、②③C、②④D、③④【答案】B。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定。
【分析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即判定该选项错误；②由ASA可证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO，该选项正确；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN，该选项正确；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误。
即②③正确。
故选B。
3.（2011浙江杭州3分）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 梯形D. 菱形【答案】 C。
【考点】剪纸问题。
【分析】此题可以直接作图，由图形求得答案，也可利用排除法求解：如图，若沿着EF剪下，可得梯形ABEF与梯形FECD，∴能剪得的图形是梯形；∵如果剪得的有三角形，则一定是直角三角形，∴排除A与B；如果有四边形，则一定有两个角为90°，且有一边为正方形的边，∴不可能是菱形，排除D。
故选C。
4.（2011浙江义乌3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD 交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；④ CD AE=EF CG；一定正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D。
2012年中考数学专题复习之十二 几何综合题
2012年中考数学专题复习之十二几何综合题几何综合题一样以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一样题目中由浅入深有1～3个咨询题，解答这种题一样用分析综合法．
【范例讲析】：
1. ⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F 是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长．
2. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O 相切于点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，连结AC .
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AD=3，AC=23，求直径AB的长。
【闯关夺冠】
1.已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
1，求⊙O的直径．
（2）若DE=2，tanC=
2
4.如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD．
（1）求证：AB2=AQ·AC：
（2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ．。
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考点跟踪训练48 几何型综合问题一、选择题 1．(2011·潜江)如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，则∠BCE 等于( )A ．23°B ．16°C ．20°D ．26° 答案 C解析 ∵AB ∥CD ， ∴∠BCD ＝∠ABC ＝46°. ∵EF ∥CD ，∴∠ECD ＋∠CEF ＝180°，∠ECD ＝26°， ∴∠BCE ＝∠BCD －∠ECD ＝46°－26°＝20°.2．(2011·枣庄)如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是( )答案 B解析 把B 旋转之后平移，可以拼满拼木盘．3．(2011·桂林)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3, AC ＝4，则sin A 的值为( )A.34B.43C.35D.45 答案 C解析 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，所以AB ＝5，sin A ＝BC AB ＝35.4．(2011·福州)如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD ＝6，DF ＝4，则菱形ABCD 的边长为( )A ．4 2B ．3 2C ．5D ．7答案 D解析 根据图形的轴对称性，得BE ＝DF ＝4，所以EF ＝EB ＋BD ＋DF ＝14，如图，连MN ，则MN ＝EF ＝14，OM ＝AD ＝12MN ＝12×14＝7.5.(2011·鸡西)如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝3，ED ＝4，则AB 的长为( )A ．3B ．2 3 C.21 D ．3 5 答案 C解析 ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C . ∵∠C ＝∠D ， ∴∠ABC ＝∠D .又∵∠BAE ＝∠DAB ， ∴△ABE ∽△ADB . ∴AB AD ＝AEAB ，AB 2＝AE ·AD ＝3×(3＋4)＝21， ∴AB ＝21. 二、填空题6．(2011·盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是__________．答案 等腰梯形 解析 观察图形，易知AD ∥BC ，AD ≠BC ，且∠ABC ＝∠DCB ＝60°，所以四边形ABCD 是等腰梯形．7．(2011·黄石)有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图．将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD ，则AB 与BC 的数量关系为__________．答案 AB ＝2BC解析 设乙纸条宽为a ，则甲纸条宽为2a ，平行四边形的面积S ＝AB ·a 或S ＝BC ·2a ，所以AB ·a ＝BC ·2a ，AB ＝2BC .8．(2011·宁波)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60°，若BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，则BC ＝________cm.答案 8解析 延长ED 交BC 于F ， ∵∠EBC ＝∠E ＝60°，∴△BFE 是等边三角形，BE ＝BF ＝EF ＝6.延长AD 交BC 于G .∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AG ⊥BC .在Rt △DFG 中，DF ＝6－2＝4.∴GF ＝12DF ＝2，∴BG ＝6－2＝4，BC ＝2BG ＝2×4＝8. 9．(2011·呼和浩特市)如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE 是∠BCD 的平分线，且CE ⊥AB ，E 为垂足，BE ＝2AE ，若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为__________．答案 157解析 分别延长BA 、CD 交于F ，易证△CBE ≌△CFE ，所以BE ＝FE ，又BE ＝2AE ，则FE ＝2AE ，F A ＝EA .由AD ∥BC ，得△F AD ∽△FBC ，S △FBC ＝16S △F AD .设S △F AD ＝x ，则S △FEC ＝1＋x ，S △FBC ＝2＋2x .∴2＋2x ＝16x .14x ＝2，x ＝17.故S 梯形ABCD ＝16×17－17＝157.10．(2011·盐城)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40 cm ，灯罩BC 长为30 cm ，底座厚度为2 cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE ________cm.(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.732)答案 51.6解析 过点B 作BF ⊥CD 于F ，作BG ⊥AD 于G . 在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin 30°＝30×12＝15.在Rt △ABG 中，∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin 60°＝40×32＝20 3.∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝15＋20 3＋2＝17＋20 3≈51.64≈51.6(cm). 三、解答题 11．(2011·北京)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC ＝2，CE ＝4，求四边形ACEB 的周长．解 ∵ACB ＝90°，DE ⊥BC ， ∴ AC ∥DE . 又∵ CE ∥AD ，∴ 四边形ACED 是平行四边形， ∴ DE ＝AC ＝2.在Rt △CDE 中，由勾股定理得CD ＝CE 2－DE 2＝2 3. ∵ D 是BC 的中点， ∴ BC ＝2CD ＝4 3. 在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝213. ∵ D 是BC 的中点，DE ⊥BC ， ∴ EB ＝EC ＝4，∴ 四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋EB ＋BA ＝10＋213. 12．(2011·南京)如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．(1)如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E .试说明E 是△ABC 的自相似点；(2)在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C .①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P (写出作法并保留作图痕迹)； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．解 (1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线，∴CD ＝12AB ，∴CD ＝BD .∴∠BCE ＝∠ABC .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝90°， ∴∠BEC ＝∠ACB . ∴△BCE ∽△ACB .∴E 是△ABC 的自相似点． (2)①如图所示，作法如下：(i )在∠ABC 内，作∠CBD ＝∠A ；(ii )在∠ACB 内，作∠BCE ＝∠ABC ，BD 交CE 于点P . 则P 为△ABC 的自相似点． ②连接PB 、PC .∵P 是△ABC 的内心，∴∠PBC ＝12∠ABC ，∠PCB ＝12∠ACB .∵P 为△ABC 的自相似点， ∴△BCP ∽△ABC .∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC ＝2∠PBC ＝2∠A ， ∠ACB ＝2∠BCP ＝4∠A .∵∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， ∴∠A ＋2∠A ＋4∠A ＝180°.∴∠A ＝180°7.∴该三角形三个内角的度数为： 180°7、360°7、720°7.13．(2011·天津)在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A (3,0)，B (0,4)．以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD .记旋转转角为α，∠ABO 为β.(1)如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标； (2)如图②，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系；(3)当旋转后满足∠AOD ＝β时，求直线CD 的解析式．(直接写出结果即可)解 (1)∵点A (3,0)，B (0,4)，得OA ＝3，OB ＝4. ∴在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝5. 根据题意，有DA ＝OA ＝3.如图①，过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，则MD ∥OB . ∴△ADM ∽△ABO . ∴AD AB ＝AM AO ＝DM BO， 得AM ＝AD AB ·AO ＝95，DM ＝AD AB ·BO ＝125.又∵OM ＝OA －AM ，得OM ＝3－95＝65，∴点D 的坐标为(65，125)．(2)如图②，由己知，得∠CAB ＝α，AC ＝AB ， ∴∠ABC ＝∠ACB .∴在△ABC 中，由∠ABC ＋∠ACB ＋∠CAB ＝180°， 得α＝180°—2∠ABC . 又∵BC ∥x 轴， ∴∠OBC ＝90°， ∴∠ABC ＝90°—∠ABO ＝90°—β， ∴α＝2β.(3)直线CD 的解析式为：y ＝－724x ＋4或y ＝724x －4.。