高中数学 三角与平面向量中档题复习(学生版)
高三数学大一轮复习 中档题型规范练 向量与三角函数课
的一个内角，若
sin
A＋cos
A＝173，则
解析
由sin A＋cos A＝173， sin2A＋cos2A＝1，
sin 得
cos
A＝1132， A＝－153
sin 或
cos
A＝－153， A＝1123
(舍去)，∴tan A＝－152.
A组 专项基础训练
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解析
∵y＝tan x(x≠π2＋kπ，k∈Z)的对称中心为k2π，0(k∈Z)， ∴可令 2x＋π6＝k2π(k∈Z)，解得 x＝－1π2＋k4π(k∈Z)． 因此，函数 y＝tan2x＋π6的对称中心为－1π2＋k4π，0(k∈Z)．
A组 专项基础训练
解析
由已知条件得 f(x)＝2cosωx＋φ＋π3， 由题意得T2＝π2，∴T＝π.∴T＝2ωπ，∴ω＝2.
又∵f(0)＝2cosφ＋π3，x＝0 为 f(x)的对称轴， ∴f(0)＝2 或－2，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.
A组 专项基础训练
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6．函数 y＝sinπ2＋xcosπ6－x的最大值为________．
A组 专项基础训练
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3．若函数 f(x)＝cos ωxcosπ2－ωx(ω>0)的最小正周期为 π，则 ω 的 值为________．
解析
A组 专项基础训练
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3．若函数 f(x)＝cos ωxcosπ2－ωx(ω>0)的最小正周期为 π，则 ω 的
高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文
则cos∠MNP＝|NN→→MM|··N|→N→PP|＝
Hale Waihona Puke －6 5×25＝－35.
由∠MNP∈[0，π]，得sin∠MNP＝ 1－cos2∠MNP＝45.
2 值；最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析 式；先由x的范围，求得2x＋ π 的范围，把ωx＋φ看作一个整
6 体，再求得fx的值域.
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R图象的一部分如图2-1.
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题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合 例2：(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R 其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象与x轴的交点中，相邻两 个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M23π，－2. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈1π2，π2时，求f(x)的值域．
对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值． 这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意：①三角函数与 而放松对整章知识系统而全面地复习． 平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题 型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
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题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1：(2012年广东)已知函数f(x)＝Acos4x＋π6
-三角函数三角形平面向量高考常考14种题型解题方法
三角函数三角形平面向量高考常考题型解题方法本专题要特别小心： 1.平面向量的几何意义应用 2. 平面向量与三角形的综合 3. 三角形的边角互化4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.三角形中角的范围7.正余弦定理综合。
【题型方法】（一）考查平面向量基本定理例1. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【解析】∵3BC CD = ∴AC −−AB =3(AD −−AC ) ∴AD =43AC −−13AB . 选C练习1．设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系 则，故练习2. 如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=（二）考察数形结合思想（如：向量与圆等图形的结合） 例2. 已知点A ,B ,C 在圆上运动，且ABBC ，若点P 的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【解析】由题意，AC 为直径，所以当且仅当点B 为（-1，0）时，取得最大值7选B练习1. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==, = = =–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】甴已知易得以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示则设由已知，得又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，选B练习2. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3 B ．22 C ．5 D ．2 【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=若满足AP AB AD λμ=+，即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12xy λμ+=-+设12x z y =-+ ，即102xy z -+-= 点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即221514z -≤+ ，解得13z ≤≤ 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，选A（三）．考查向量的数量积 例3. 已知向量,则ABC =（ ）A ．30B ．45C ．60D ．120 【解析】由题意，得，所以，选A【小结】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题练习1. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A ．B ．C ．D ．【解析】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系则A （0，2），B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ）则=（﹣x ，2﹣y ），=（﹣2﹣x ，﹣y ），=（2﹣x ，﹣y ）所以•（+）=﹣x •（﹣2x ）+（2﹣y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣4y +2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣3]所以当x =0，y =时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6，选D练习2.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB = 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==；AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒21172117299218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918BAD C E（四）考查三角形中的边角互化例 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 【解析】()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A练习1. 在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则（）A．一定是直角三角形B．一定是等腰三角形C．一定是等腰直角三角形D．是等腰或直角三角形【解析】由题，已知，由正弦定理可得：即又因为所以即由余弦定理：，即所以所以三角形一定是等腰三角形，选B练习2. 在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】因为，为的角平分线，所以在中，，因为，所以在中，，因为，所以，所以则因为，所以所以，则即的取值范围为,选A练习3. 在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知,,,则的面积（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由题，，所以所以 又因为锐角三角形ABC ，所以 由题，即根据代入可得，，即再根据正弦定理： 面积故选D练习4. 在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=33Ca，23b =a c +的取值范围为_____．【解析】cos cos 33A B C a b a +=23cos cos sin 3b A a B C ∴+= ∴由正弦定理可得： 23sin cos sin cos sin 3B A A B BC +=，可得：23sin()sin sin A B C B C +==，3sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭33A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,43]a c ∴+∈.练习5. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为________________． 【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab C a B b A a A b B c C+=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+- 即222a b c ab +-=，所以222c a b =+-2()3ab a b ab =+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为29()24a b ab +≤=， 当且仅当23==b a 时取等号，所以27304ab -≤-<， 所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3[,3)2（五）三角形与向量综合 例5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A .练习1. 已知中，为的重心，则（）A．B．C．D．【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=练习2. 下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______【解析】①在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故①错；②若时，即，即垂直，则的最大值为，故②正确；③在中，若，，即，即，，即为，由，可得，故③正确；④在中，，即为，即为，可得，即，可得锐角，可得时，的最大值为，故④正确故答案为：②③④练习3. 在ABC 中， 60A ∠=︒， 3AB =， 2AC =. 若2BD DC =， ()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________. 【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ 则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭（六）向量与三角函数综合例6. 自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a （点P ，Q 不与点O 重合），已知3AOB π∠=，7a =，则3||||PQ PO QP QOPO QO ⋅⋅+的取值范围为（ ）A ．1,72⎛⎤⎥⎝⎦B ．7,72⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．1,72⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．7,72⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【解析】设OPQ α∠=，则23PQO πα∠=- 322cos 3cos 7cos 3cos 33PQ PO QP QO PQ QP POQO ππαααα⋅⋅⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()3331337cos cos 7cos 7sin 22ααααααϕ⎫⎫=-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭其中3tan 9ϕ=，则7sin 14ϕ=20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当()sin 1αϕ-=时，原式取最大值7 ()()7sin sin 0sin 14αϕϕϕ->-=-=-，∴()77sin 2αϕ->- 37,72PQ PO QP QO PO QO ⎛⎤⋅⋅+∈- ⎥ ⎝⎦∴，选D练习1. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则， 由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得 ，（七）三角形中的最值 例7. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，设的面积为，，则的最小值为_______． 【解析】在中，由得， 因为利用正弦定理得，再根据，可得，，，由余弦定理得，求得，所以，所以 ，所以，当且仅当，即时取等，所以 的最小值为。
天津市高三数学总复习 模块专题30 平面向量与三角形心的应用举例(学生版)
1、已知P N O ,,在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且 PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点P N O ,,依次是ABC ∆的（ ）A 、重心 外心 垂心B 、重心 外心 内心C 、外心 重心 垂心D 、外心 重心 内心 2、O 是ABC ∆所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（ ）A 、三个内角的角平分线的交点B 、三条边的垂直平分线的交点C 、三条中线的交点D 、三条高的交点3、在同一个平面上有ABC ∆及一点O 满足关系式：222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为ABC ∆的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心4、已知ABC ∆，P 为三角形所在平面上的动点，且满足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=，则P 点为ABC ∆的（ ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心5、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心6、已知ABC ∆的顶点C B A ,,及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=，则P 为ABC ∆的（ ）A 、外心B 、 内心C 、重心D 、垂心7、已知O 是平面上一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A 、外心B 、 内心C 、重心D 、垂心8、已知ABC ∆，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，则P 点为ABC ∆的（ ）A 、外心B 、 内心C 、重心D 、垂心9、在ABC ∆中，动点P 满足：222CA CB AB CP =-•，则P 点一定通过ABC ∆的（ ）A 、外心B 、 内心C 、重心D 、垂心10、已知O 是平面内的一个点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足 (),[0,)AB AC OP OA AB AC λλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心 11、已知C B A ,,是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=，则点P 一定为ABC ∆的（ ） A 、AB 边中线的中点 B 、AB 边中线的三等分点（非重心） C 、重心 D 、AB 边的中点12、非零向量AB 与AC 满足且，则ABC ∆为（ ）A 、三边均不相等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形13、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH =()m OA OB OC ++，则实数m = 。
高中数学中档题1,4
高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。
微专题五：平面向量与解三角形结合的中档题类型-解析
微专题：平面向量与解三角形结合的中档题类型一、单选题1．已知12,e e 为单位向量，且1222e e +≤，若非零向量a 满足12a e a e ⋅≤⋅，则()122a e e a⋅+的最大值是（） A．4B．2C．2D ．4【答案】D 【分析】设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，由1222e e +≤，计算可得1cos 4α≤-，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，计算可得()cos cos βαβ≤-，可推出()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，计算可得()()1222cos cos a e e aβαβ⋅+=+-()3cos αβ≤-3cos β=，结合21cos cos 22cos14αββ==-≤-，可求出cos 44β-≤≤，从而可求出()122a e e a⋅+的最大值. 【详解】由题意，可设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，则()12212cos ,2sin e e αα+=+， 由1222e e +≤，可得()2212cos +4sin 4αα+≤，整理得1cos 4α≤-， 设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，可得()()()()cos ,sin 1,0cos ,sin cos ,sin r r r r ββββαα⋅≤⋅， 即cos cos cos sin sin r r r ββαβα≤+，所以()cos cos βαβ≤-，当()cos cos βαβ=-时，()2πk k βαβ=-+∈Z 或()2πk k βαβ=-++∈Z ， 即()22πk k βα=+∈Z 或()2πk k α=∈Z ， 因为1cos 4α≤-，所以()2πk k α=∈Z 不符合题意， 故()cos cos βαβ=-时，()22πk k βα=+∈Z .而()()1222cos cos cos sin sin 2cos cos a e e r r r raββαβαβαβ⋅+++==+-，因为()cos cos βαβ≤-，所以()122a e e a⋅+()3cos αβ≤-，当()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，此时()()3cos 3cos 2π3cos k αβββ-=-=， 因为()21cos cos 22πcos 22cos14k αβββ=-==-≤-，所以23cos 8β≤，即cos β≤≤，所以()122a e e a⋅+()3cos 3cos αββ≤-=≤故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量与三角函数的综合问题，解题的关键是设出题中向量的坐标，利用平面向量的坐标运算及三角函数的运算性质，将所求不等式转化为三角函数关系式，进而求出最大值.考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于难题． 2．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（ ）A．12B．2 C．3D 【答案】D 【分析】利用垂心的性质，连接CO 并延长交AB 于D ，得到CD AB ⊥，把已知条件中的式子化简，得到()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+，再两边同乘以AB ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到cos sin 2C B B +=⋅，再把cos C 化为5cos 6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，整理后得到m 值. 【详解】在ABC ∆中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，得cos cos 2sin sin C BAB AC m AO C B+=⋅， 连接CO 并延长交AB 于D ，因为O 是ABC ∆的垂心，所以CD AB ⊥，AO AD DO =+， 所以()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+ 同乘以AB 得，()cos cos 2sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B ⋅+⋅=⋅+⋅ 2cos cos cos 22cos sin sin C Bc bc A m AD AB m b A c C B+=⋅⋅=⋅⋅因为6A π=，所以2cos cos 33sin sin 2C B c bc mbc C B += 由正弦定理可得3cos sin cos sin 3sin sin 2C C B C m B C += 又sin 0C ≠，所以有3cos cos 3sin 2C B m B +=⋅， 而56C A B B ππ=--=-， 所以531cos cos cos sin 622C B B B π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以得到1sin 3sin 2B m B =， 而sin 0B ≠，所以得到36m =， 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．3．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ）A ．45B ．54C ．56D ．12【答案】A 【分析】把已知等式中,MB MC 向量用,,AB AC AM 表示后可求得,x y ，由余弦定理得,,a b c 的关系，求出a b c+的最值，再由不等式性质得结论． 【详解】∵0aMA bMB cMC ++=，∴()()a AM bMB cMC b AB AM c AC AM =+=-+-， ∴b cAM AB AC a b c a b c=+++++，又AM x AB y AC =+，∴,b c x y a b c a b c==++++，11b cx y a a b cb c++==++++，由余弦定理得2222227152cos ()44a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-， 由2()4b c bc +≤（当且仅当b c =时取等号），得222215()()()4416b c b c a b c ++≥+-⨯=， ∴14a b c ≥+，∴141514x y +≤=+，即x y +的最大值是45．故选：A.【点睛】 本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定理把,x y用,,a b c 表示出来．4．已知1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且OC 与OA 的夹角为30，设(),OC mOA nOB m n R =+∈，则mn的值为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】C 【详解】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB ==，，则 10033OA OB OC mOA nOB m n ==∴=+=（，），（，），（，），3330n tan ∴︒== 3m n ∴=． 故选C5．已知AB 是半圆O 的直径，2AB =，等腰三角形OCD 的顶点C ､D 在半圆弧AB 上运动，且OC CD =，120COD ∠=︒，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ⋅的取值范围（ ）A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【分析】由圆的参数方程，设出C ､D 点的坐标，进而找出PC PD ⋅与角的关系，通过三角转化为三角函数，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，可得(1,0),(1,0)A B -， 设(cos ,sin )(cos(120),sin(120))D C αααα++， 设(cos ,sin )P θθ，其中[0,60],[0,180]αθ∈∈，所以(cos(120)cos ,sin(120)sin ),(cos cos ,sin sin )PC PD αθαθαθαθ=+-+-=--， 所以[(cos(120)cos ](cos cos )[sin(120)sin ](sin sin )PC PD αθαθαθαθ=+--++⋅--21313(cos sin )cos (cos sin )cos cos cos cos 2222αααααθαθθ=------+21313(sin cos )sin (sin cos )sin sin sin sin 2222αααααθαθθ+-+--+-+1131(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )222αθαθαθαθ=+-++- 1131cos()sin()sin(30)2222αθαθαθ=--+-=+--， 因为[0,60],[0,180]αθ∈∈，所以30[210,30]αθ--∈-， 可得1sin(30)[1,]2αθ--∈-，即PC PD ⋅的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及圆的参数方程，三角函数的化简及三角函数的性质的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.6．在ABC ∆中，26AB AC ==，2BA BC BA ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=A ．35B ．9-C ．7D ．25-【答案】B 【分析】由题意结合平面向量的定义可得2CAB π∠=，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当222PA PB PC ++取得最小值时点P 的坐标，然后求解AP BC ⋅的值即可. 【详解】2||||cos ||BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=，||cos ||BC B BA ∴⋅=， CA AB ∴⊥，2CAB π∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则(6,0),(0,3)B C ，设(,)P x y ，则222222222(6)(3)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-222231236453(2)(1)10x x y y x y ⎡⎤=-+-+=-+-+⎣⎦，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++取最小值， 此时(2,1)(6,3)9AP BC ⋅=⋅-=-.故选B .【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、多选题7．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，则下列选项正确的是（ ）A ．1324AO AB AC =+ B ．直线AO 必过BC 边的中点C ．:3:2AOB AOC S S =△△D ．若1OB OC ==，且OB OC ⊥，则13OA = 【答案】ACD 【分析】根据题设条件，化简得到423AO AB AC =++，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到2()4OB OC AC OD +=-=-，可判定B 不正确；根据4AC OD =-，得到32BE EC =，结合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的. 【详解】如图所示，点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，可得223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=，即()()23AO OB OA OC OA =-+-， 即423AO AB AC =+，所以1324AO AB AC =+，所以A 是正确的； 在ABC 中，设D 为BC 的中点，由230AO OB OC ++=，可得()2()0AO OC OB OC +++=，所以2()4OB OC AC OD +=-=-，所以直线AO 不过BC 边的中点，所以B 不正确； 由4AC OD =-，可得4AC OD =且//AC OD ，所以14DE OD EC AC ==，所以14DE EC =，可得25EC BC =，所以32BE EC = 所以1sin 3212sin 2AOB AOCAD BE AEB S BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△，所以C 正确； 由230AO OB OC ++=，可得23OA OB OC =+ 因为1OB OC ==，且OB OC ⊥，可得222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=， 所以13OA =，所以D 是正确的. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．有下列说法其中正确的说法为（ ） A ．若a b ，b c ，则a c ：B ．若230OA OB OC ++=，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=； C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向；D ．若a b ，则存在唯一实数λ使得a b =λ 【答案】BC 【分析】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 【详解】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为230OA OB OC ++=，所以2220OM OD ⨯+=,即2OM OD =-,所以O 是MD 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得22||||a b a b -⋅= ，所以cos ,1a b <>=-，即夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 故选 B C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.三、填空题9．已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集FP FM FQ FM A F FP FQ ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若对于任意的3m ≥，当1F 、2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为________.【答案】3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】推导出PM mMQ =且FM 为PFQ ∠的角平分线，可得出PM PFm QM QF==，然后以点P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设1PM =，求出点F 的轨迹是圆，结合12F F k PQ ≤可得出21k m m≥-，求出函数21y x x=-在区间[)3,+∞上的最大值，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】111m OM OP OQ m m =+++，即111111m m OM OM OP OQ m m m m +=+++++， ()()111m OM OP OQ OM m m ∴-=-++，PM mMQ ∴=， 由于FP FM FQ FM A F FP FQ ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则cos cos FM PFM FM QFM ∠=∠， 所以，FM 为PFQ ∠的角平分线，则点M 到PF 和PQ 的距离相等，所以，PFMQFM PM PF S m S QM QF===△△， 以点P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设1PM =，则()0,0P ，()1,0M ，()1,0Q m +，设点(),F x y ，由PFm QF=()22221x y m x m y +=--+，化简可得222211m m x y m m ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 故点F 是以点2,01m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为圆心，1mm -为半径为圆上的一点，要使得不等式12F F k PQ ≤对圆上任意两点12,F F 恒成立，而1222()1mF F r m ≤=+，所以只需()211m k m m ≤+-对任意的3m ≥恒成立，22211m k m m m∴≥=--， 由于函数21y x x =-在区间[)3,+∞上单调递增，则max 231433y ==-，34k ∴≥. 因此，实数k 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题． 10．圆M 的方程为()()()2225cos 5sin 1x y R θθθ--+-=∈，圆C 的方程为()2224x y -+=，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的最小值为__________.【答案】6 【分析】设CPE α∠=，可得出2EPF α∠=，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出223212PE PF PC PC=+-⋅，利用圆的几何性质求得2PC 的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得PE PF ⋅的最小值.【详解】设CPE α∠=，则2EPF α∠=， 由切线长定理可得PE PF =，24PC PE =+，cos PE PCα=，()222222cos 22cos 114P PE PE PF PE PE P E PF E αα⎛⎫ ⎪=⋅=⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⋅+⎭()()22422222222442322416444PE PE PE PE PE PE PE PE PE ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-=-=+-+-+++()22223232412124PE PC PE PC =++-=+-+，圆心M 的坐标为()25cos ,5sin θθ+，则(25MC =+=， 由图可得11MC PC MC -≤≤+，即46PC ≤≤，则21636PC ≤≤， 由双勾函数的单调性可知，函数3212y x x=+-在区间[]16,36上单调递增， 所以，当216PC =时，PE PF ⋅取得最小值321612616+-=.故答案为：6. 【点睛】本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.11．在△ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为△ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，则2λμ-的取值范围为________【答案】[]8,1--【分析】记2ED EG =-，可得出2EF EB EG λμ=-，设直线EF 交BG 于点N ，设EN mEB nEG =+，证明出1m n +=，设EF k EN =，可得出2EF k EN λμ-==-，然后过点F 作BG的平行线交CE 于点P ，进而得出EP k EM =-，求出EP EM的最大值和最小值，进而可得出2λμ-的取值范围.【详解】 记2ED EG =-，从而2EF EB ED EB EG λμλμ=+=-，在直线BG 上任取一点N ，设EN mEB nEG =+，由于//BN BG ，则存在实数x ，使得BN xBG =，即()EN EB x EG EB -=-， ()1EN x EB xEG mEB nEG ∴=-+=+，则11m n x x +=-+=，设直线FE 交直线BG 于点N ，过点F 作直线BG 的平行线交直线CE 于点P ，则EF EPEN EM =，设EF k EN =，则EP k EM =，且()EF kEN k mEB nEG ==+，即2EB EG kmEB knEG λμ-=+， 由于EB 、EG 不共线，则2km knλμ=⎧⎨-=⎩，()2km kn k m n k λμ∴-=+=+=， 由于EP 与EM 方向相反，则k 0<且EP k EM =-， 过点A 作直线BG 的平行线交CE 于点Q ， 当点P 与点Q 重合时，此时EP EM 取得最小值，此时1EP EA EM EB==，即max 1k =-； 当点P 与点C 重合时，此时EP EM取得最大值， 设直线AQ 交BC 于点S ，直线AQ 交DG 于点T ，易证AET BEG ≅△△，可得EG ET =，2ED EG =-，可得22ED EG ET ==，所以，T 为线段ED 的中点， //AS BG ，则13DS DT BD DG ==，12BD DC =，则26DC BD DS ==， 取BS 的中点U ，连接UE ，则//UE AS ，且13BU BD =，从而8CU BU =， //AS BG ，则//EU BG ，所以，8CECUEM BU ==，所以，EP EM的最大值为8，即min 8k =-.综上所述，2λμ-的取值范围是[]8,1--.故答案为：[]8,1--.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求含参代数式的取值范围，考查了等和线性质的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于难题.12．已知正ABC 的边长为2，PQ 为ABC 内切圆O 的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为______________.【答案】[]0,1【分析】先由正ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到=MP MO OP +，=MQ MO OQ +，再结合=OQ OP -，可得到22213MP MQ MO OP MO ⋅=-=-，再根据图像利用临界值法，求出MP MQ ⋅的取值范围.【详解】如图所示，O 为正ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在BDO △中，=1BD ，=30OBD ︒∠，可求得内切圆半径3OD .又PQ 为圆O 的直径, =OQ OP ∴-， 利用向量的线性表示可得，=MP MO OP +，=MQ MO OQ MO OP +=-，2221()()3MP MQ MO OP MO OP MO OP MO ∴⋅=+-=-=-， 又M 为ABC 边上的动点，由图可知，当M 为ABC 边的中点时，MO 最小为3，即min 0MP MQ ⋅=；当M 为ABC 的顶点时，MO 最大为23，即max 1MP MQ ⋅=. MP MQ ∴⋅的取值范围为[]0,1.故答案为：[]0,1.。
专题：平面向量[学生版]
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高考专题复习：平面向量【专题要点】向量的概念、向量的表示方法、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、向量的加法和减法、实数与向量的积、向量共线定理、平面向量基本定理、向量的数量积、两向量平行、垂直的充要条件.【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，也常会与三角函数相结合，以解答题的形式出现。
例1、(湖北)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11例2、(广东)已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ ）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例3、(海南)已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。
题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义1. (09广东)已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。
λ为实数， ()a b λ+∥c ，则λ=（ ）A ． 14B ．12C ．1D ．2 2.(12广东)若向量(1,2),(3,4)AB BC == ，则AC = ( ) ()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2 ()D (,)22 题型二：平面向量的坐标表示与运算3.已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b - 平行，k 为何值（ ）A 14B －14C －31D 31 题型三：数量积运算、向量求模4. 已知向量(1sin )a θ= ，，)b θ= ，则a b - 的最大值为 . 5.已知7a = ，2b = ，a 与b 的夹角为60 ，求(3)(5)a b a b -+ = .6.已知2,1,a b == a 与b 的夹角为π3，那么4a b - 等于（ ） A ．2 B．．6 D ．127.（07广东）若向量,a b 满足||||1a b == ,a 与b 的夹角为60︒,则a a a b ⋅+⋅= （ ）A ．12B ．32C.12+ D ．2 题型四：向量平行与垂直性质的应用8.（05广东）已知向量,//),6,(),3,2(x 且==则x = .9. 已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- , 且//a b , 则b = ( )10. 平面向量(2,6)a = , (,1)b m =- , 且a b ⊥ , 则m = .题型五：平面向量在平面几何11. (09广东)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－）， 则向量+a b （ ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线 12.(06广东)如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = （A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA + 点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。
高考数学大二轮总复习增分策略高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量
高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．2．(2015·福建)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m 的取值范围；②证明：cos(α－β)＝2m25－1.3．(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围．4.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17. (1)求sin∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．5．已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x )(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最大值以及取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A 2)＝－32，a ＝3，b ＋c ＝23，求△ABC 的面积．答案精析高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 2．方法一 (1)解 将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )． (2)①解 f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25. 依题意，sin(x ＋φ)＝m 5在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m5. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ， 即α－β＝π－2(β＋φ)；当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52－1＝2m 25－1.方法二 (1)同方法一． (2)①同方法一．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 52＝2m25－1.3．(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，又B 为钝角，故sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.4．解 (1)在△ADC 中，因为cos∠ADC ＝17，所以sin∠ADC ＝437.所以sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin∠ADC cos B －cos∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BAD sin∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.5．解 (1)f (x )＝cos x (sin x －3cos x ) ＝sin x cos x －3cos 2x＝sin 2x 2－3cos 2x 2－32＝sin(2x －π3)－32.当2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12，k ∈Z ，即x ∈{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }时，f (x )取最大值1－32.(2)由f (A2)＝－32，可得sin(A －π3)＝0，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 由a ＝3，b ＋c ＝23，解得bc ＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.。
高三数学三角与向量专题训练带解析
2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）一、选择、填空题1、（2014广东高考）已知向量则下列向量中与成夹角的是A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）2、（2012广东高考）若向量，，则（）A.B.C.D.3、（2011广东高考）若向量满足∥且，则A．4B．3C．2D．04、（2014广东高考）在中，角所对应的边分别为，已知，则5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为(）A．B．C．D．6、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）已知菱形的边长为，，点分别在边上，.若，，则A．B．C．D．7、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）在中，已知,则的面积是（）A．B．C．或D．8、（惠州市2015届高三第二次调研考试）设向量，，则下列结论中正确的是()A．B．C．D．与垂直9、（江门市普通高中2015届高三调研测试）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．1010、（韶关市十校2015届高三10月联考）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）A.；B．；C.；D.11、（深圳市2015届高三上学期第一次五校联考）已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．12、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=．13、（肇庆市2015届高三10月质检）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若+++所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0二、解答题1、（2014广东高考）已知函数，且，（1）求的值；（2）若，，求。
高中数学三角函数与向量试题及详细答案
高中数学三角函数与向量试题及详细答案一．解答题（共30小题）1．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．2．设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．3．已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．4．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．5．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．6．已知tanα=a，（a＞1），求的值．7．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．8．已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．10．已知函数．（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．11．已知函数f（x）=（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．13．已知tan2θ=﹣，且3π＜2θ＜4π．求：（1）tanθ；（2）．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．15．已知，①若向量．且∥，求f（x）的值；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．16．已知O是线段AB外一点，若，．（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．17．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．（1）若，求当||取最小值时实数t的值；（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．18．经过A（2，0），以（2cosθ﹣2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（﹣2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．19．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．20．已知向量=（mcosα，msinα）（m≠0），=（﹣sinβ，cosβ．其中O为坐标原点．（I）若且m＞0，求向量与的夹角；（II）当实数α，β变化时，求实数的最大值．21．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知△OFQ的面积为，且．（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．23．在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设=，=，试用、表示、．24．正方形ABCD的边长为1，记=（1）求作，（2）求|，|25．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值．26．例3．已知27．设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x﹣2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．28．在福建省第14届运动会（2010•莆田）开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄像机，正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米．（Ⅰ）试将y表示为x的函数；（Ⅱ）求证：△ECF周长p为定值；（Ⅲ）求△ECF面积S的最大值．29．如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中A TN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．（1）求S关于θ的函数解析式；（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．30．如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的图象，且图象的最高点为S（6，4）．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120°．（1）求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离；（2）连接MP，设∠NPM=θ，y=MN+NP，试求出用θ表示y的解析式；（3）（理科）应如何设计，才能使折线段MNP最长？（文科）求函数y的最大值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．考点：三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．专题：计算题；综合题．分析：（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．解答：解：（I）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx=sinxcosx+cosxcosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期T==π（II）∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：．点评：本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．2．设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x ﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．解答：解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．3．已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．考点：正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．解答：解：（Ⅰ）由2x+≠+kπ，k∈Z．所以x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为：f （x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0 因此（cosα﹣sinα）2=即sin2α=因为α∈（0，），所以α=点评：本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．4．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．考点：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果．（II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值．解答：解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得：于是f（θ）===2（II）作出平面区域Ω（即感触区域ABC）如图所示其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）于是0≤θ≤∴f（θ）==且故当，即时，f（θ）取得最大值2当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1点评：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．5．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．考点：弦切互化；同角三角函数间的基本关系．专题：综合题．分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．解答：解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，从而得：f（x）的值域为．（2）因为=sin2x+sinxcosx+=+﹣=所以=①当tanα=2，得：，，代入①式，解得m=﹣2．点评：考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．6．已知tanα=a，（a＞1），求的值．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanα=a，求出结果即可．解答：解：原式===．即：=．点评：本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．7．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先化简函数得出的表达式，通过f（﹣）≠±f（﹣），直接证明即可．（2）先得出，然后根据正弦函数的单调性求出取值范围．解答：解：（3分）（1）∵，∴f（x）是非奇非偶函数．（3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是奇函数．（2）由，得，．（4分）所以．即．（2分）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力．8．已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入然后把求出a的值代入f（x）中，然后利用二倍角的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据公式求出结果．（II）根据x的范围求出2x﹣的范围，根据正弦函数的图象求出sin（2x﹣）的值域即可得到f（x）的最值．解答：解：（Ⅰ）由已知得即，所以a=﹣2所以f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=所以函数f（x）的最小正周期为π（Ⅱ）由，得则所以所以函数y=f（x）的最大值为；最小值为点评：本题三角函数周期的求法，又考查学生会求正弦函数的在某一范围内的最值以及会求正弦函数的值域．是一道综合题．9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用三角函数的定义求出sinα、cosα和tanα的值，利用两角和与差正弦公式化简sin2α﹣tanα并求出其值．（II）首先化简函数f（x），然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出y=2sin（2x﹣）﹣1，进而求正弦函数的特点求出结果．解答：解：（Ⅰ）因为角α终边经过点，所以，，…（3分）（Ⅱ）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R…（7分）∴y max=2﹣1=1，…（12分）此时，即…（13分）点评：此题考查了二倍角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．已知函数．（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．考点：二倍角的余弦；集合关系中的参数取值问题；二次函数的性质；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）利用三角函数的降幂公式将化为f（x）=2sinx，从而f （ωx）=2sinωx，利用f（ωx）在[，]是增函数，可得到，从而可求ω的取值范围；（2）由于f（x）=2sinx，将化为sin2x﹣2msinx+m2+m﹣1＞0，令sinx=t，则t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0，t∈[，1]，记f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1，问题转化为上式在t∈[，1]上恒成立问题，根据区间[，1]在对称轴t=m的左侧，右侧，对称轴穿过区间[，1]三种情况结合二次函数的单调性即可解决．解答：（本小题满分14分）解：（1）=2sinx（1+sinx）﹣2sin2x=2sinx．∵是增函数，∴，∴（2）=sin2x﹣2msinx+m2+m﹣1＞0因为，设sinx=t，则t∈[，1]上式化为t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0由题意，上式在t∈[，1]上恒成立．记f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1，这是一条开口向上抛物线，则或或解得：．点评：本题考查二倍角的余弦，二次函数的性质，难点在于转化与构造函数，利用f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0恒成立，t∈[，1]来解决，属于难题．11．已知函数f（x）=（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．考点：二倍角的余弦；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简，再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、连线；（Ⅱ）根据函数解析式先求出周期，再求出一个周期内的函数值的和，进而判断出2012与周期的关系，再求出式子和的值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，列表：x 0 1 2 3 40 π2π1 2 1 0 1描点画图，如图所示：（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周期为4，且2012=4×503，∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．点评：本题是关于三角函数的综合题，涉及了倍角公式、诱导公式的应用，“五点作图法”的步骤，函数周期性的应用求式子的值，考查了分析、解决问题能力和作图能力．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．考点：二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明．专题：综合题．分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；（2）a n+1=f（a n），把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据a n2大于0，即可得证；（3）把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2﹣，根据题意分别求出a2和a3的值，根据（2）所证明的结论即可得证．解答：解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；（2）∵a n+1=f（a n）=a n2+a n，∴a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1＞a n；（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，又n≥2时，∴a n+1＞a n，∴a n+1≥a3＞1，∴，∴．点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．13．已知tan2θ=﹣，且3π＜2θ＜4π．求：（1）tanθ；（2）．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：（1）由题意，可先判断角θ的取值范围，得出其是第四象限角从而确定出角的正切值的符号，再由正切的二倍角公式得到角的正切的方程，解此方程求出正切值；（2）由题意，先化简，再将tanθ=代入计算出答案．解答：解：（1）由题意3π＜2θ＜4π，得＜θ＜2π是第四象限角又tan2θ=﹣，∴=﹣，解得tanθ=（2）由题，将tanθ=代入得=点评：本题考查二倍角的正切，二倍角的余弦，同角三角函数的基本关系等，解题的关键是利用公式灵活变形，计算求值，本题中有一易错点，即没有判断角所在的象限，导致解出的正切值有两个答案，切记！三角函数化简求值题，公式较多，要注意选择公式使得解题的过程简捷．本题考查了利用公式变形计算的能力．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．考点：向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；综合题；函数思想；整体思想．分析：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，，=•，即可求得M 点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．点评：此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．15．已知，①若向量．且∥，求f（x）的值；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：①利用向量共线的充要条件，可求x的值，从而可求f（x）的值；②利用余弦定理求出B的值，确定出＜A+＜π，然后求出函数f（A）的取值范围．解答：解：①由∥，得，∴或，∴x=2kπ+π或，∴②∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，∴cosB=，B=，∴0＜A＜．∴＜A+＜π，0＜sin（A+）≤1．又∵，∴故函数f（A）的取值范围是（0，2]．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查向量共线的充要条件．16．已知O是线段AB外一点，若，．（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）由题意画出图形由于点A1、A2是线段AB的三等分点，又由于△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量、表示；（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．解答：解：（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，，同理可得：，，则==（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则；；设A1、A2、A3是AB的四等分点，则；或设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，则，层次2：设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，，层次3：设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，则；证：===点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法和减法，还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力．17．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．（1）若，求当||取最小值时实数t的值；（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：（1）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45°=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．解答：解：（1）因为a=，所以=（），，则====所以当时，取到最小值，最小值为．（7分）（2）由条件得cos45°=，又因为==，==，（）（）=5﹣t，则有=，且t＜5，整理得t2+5t﹣5=0，所以存在t=满足条件．（14分）点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模．本题的易错点在于（）（）=5﹣t中的t＜5，因为两个向量的夹角为锐角，所以向量的数量积为正得t＜5．18．经过A（2，0），以（2cosθ﹣2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（﹣2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．考点：向量在几何中的应用；数列与解析几何的综合．专题：计算题．分析：（I）根据题意知，∥（2cosθ﹣2，sinθ），根据共线向量定理可得⇒（x﹣2）sinθ=y （2cosθ﹣2），同理（x+2）sinθ=y（2cosθ+2），两式相乘，即可得到点M（x，y）的轨迹方程；（II）设p（x0，y0）在曲线C内，得，再由|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列可得并代入求得，即可求得结果．解答：解：（I），（2﹣x）sinθ+y（2cosθ﹣2）=0⇒（x﹣2）sinθ=y（2cosθ﹣2）①同理（﹣2﹣x）sinθ+y（2cosθ+2）=0⇒（x+2）sinθ=y（2cosθ+2）②①×②得x2﹣4=﹣4y2即；（II）设p（x0，y0），则③化简得：④④代入③得点评：此题是个中档题．考查向量在几何中的应用，以及数列与解析几何的综合．同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．19．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．专题：计算题；综合题．分析：（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．解答：解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．点评：此题是个中档题．考查向量的数量积的坐标运算以及向量的夹角，和三角函数的诱导公式和三角函数在定区间上的最值等基础知识，同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．已知向量=（mcosα，msinα）（m≠0），=（﹣sinβ，cosβ．其中O为坐标原点．（I）若且m＞0，求向量与的夹角；（II）当实数α，β变化时，求实数的最大值．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．（II）先将利用向量模的计算公式表示成，再利用三角函数的值域求出它的最大值即可．解答：解：（I）设它们的夹角为θ，则：=，故…（6分）（II）=…（10分）所以当m＞0时，原式的最大值是m﹣1；当m＜0时，原式的最大值是﹣m﹣1…（12分）点评：求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决；解决向量的模的最值问题，一般转化为函数的最值来解决．21．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；存在型；反证法．分析：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得，根据a2=b2+c2求出a的值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P．解答：解：（1）由题意设椭圆标准方程为．由已知得，．（2分）则，∴．解得a2=6（4分）∴所求椭圆方程为（5分）（2）令M（x1，y1），则（7分）∵点M在椭圆上，∴，故|y 1|的最大值为（8分）∴当时，的最大值为．（9分）（3）假设存在一点P，使，∵，∴，（10分）∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）又∵②（12分）∴②2﹣①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴，（13分）即=5，由（1）得最大值为，故矛盾，∴不存在一点P，使．（14分）点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．22．已知△OFQ的面积为，且．（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：（1）利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式，推出tanθ的解析式，再根据m的范围，求得tanθ的范围，进而求得θ的取值范围．（2）设出双曲线的标准方程和点Q的坐标，有三角形的面积公式求出点Q的横坐标和纵坐标（用半焦距表示），用基本不等式求出||最小时点Q的坐标，从而得到双曲线方程中的待定系数．解答：解：（1）由已知得，∴tanθ=，∵＜m＜4，∴1＜tanθ＜4，∴＜θ＜arctan4．（2）设双曲线方程为﹣=1，（a＞0，b＞0），不妨设点Q的坐标为（m，n），n＞0，则=（m﹣c，n），∵△OFQ的面积为||•n=2，∴n=．又由•=（c，0）•（m﹣c，n）=c（m﹣c）=（﹣1）c2，∴m=，||==≥，当且仅当c=4时，||有最小值，此时，点Q的坐标为（，），由此可得，解得，故所求的方程为：=1．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，用待定系数法求双曲线的方程．。
高三数学二轮复习三角函数与平面向量专题
专题一三角函数、解三角形与平面向量一知识要点整合·三角函数的图像与性质··解三角形··三角恒等变换··平面向量·二典型例题（3）例5例6．例7．．例8．例9. 例10. 三精编试题3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18（本题满分12分）.19.（本题满分12分）20. （本题满分12分）21. （本题满分12分）22. （本题满分12分）23. （本题满分12分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡24. （本题满分12分）已知ABC ∆的内角A ． B ．C 所对边分别为a 、b 、c ，设向量)2cos),cos(1(BA B A m -+-=， )2cos ,85(B A n -=，且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin c b a Cab -+的最大值.25. （本题满分12分）甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为152海里/小时,在甲船从A 岛出发的同时,乙船从A 岛正南40海里的B 岛出发,朝北偏东)21tan (,=θθ其中的方向作匀速直线航行,速度为105海里/小时.(如图所示)(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少海里?(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?【解析】:以A 为原点,BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x 1, y 1) Q (x 2,y 2). ,55sin ,552cos ,212151545cos 215111===⎩⎨⎧====θθθ可得由分则arctg t x y t t x 分5402040cos 51010sin 51022 -=-===t t y tt x θθ(I)令3=t ,P 、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)345850)2045()3045(||22==-+-=PQ .即两船出发后3小时时,相距345锂 (II)由(I)的解法过程易知:220800)4(5016004005010)154020()1510()()(||2222212212≥+-=+-=--+-=-+-=t t t t t t t y y x x PQ 分∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20 2即两船出发4小时时,相距202海里为两船最近距离.26. （本题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ．(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小；(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n｜的取值范围．【解析】27. （本题满分12分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．【解析】解法一：设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅= 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯= 解得490044511r =≈（米） 解法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米）22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）28. （本题满分12分）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点(3)P -.(1)求tan α的值; (2)定义行列式运算a bc d ad bc =-,求行列式sin tan 1cos ααα的值; (3)若函数cos()sin ()sin()cos x f x x αααα+-=+(x ∈R ),求函数23(2)2()2y x f x π-+的最大值,并指出取到最大值时x 的值【解析】:(1)∵ 角α终边经过点(3)P -,∴3tan α=. (2)1sin 2α=,3cos 2α=.1200CADsin tan 333sin cos tan 1cos 4312αααααα=-=-+= . (3)()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=+++= (x ∈R ), ∴函数23cos(2)2cos 2y x x π=-+3sin 21cos2x x =++2sin(2)16x π=++(x ∈R ),∴max 3y =, 此时()6x k k ππ=+∈Z .29. （本题满分12分）已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x⎡⎤⎛⎫=-+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ⎛⎫+-⎪⎝⎭≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 30. （本题满分12分）如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DM AC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=,2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯31（本题满分12分）在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,3m B =-,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 332. （本题满分12分）设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos cos 22A A A =++33A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.33（本题满分12分）在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B=sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21. ∵0<B <π,∴B =3π.(II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(.则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 34 （本题满分12分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++CB A .I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.abab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-. 35. （本题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 解析：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x xA ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 36. （本题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足0≤•≤6，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．解析：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤． 即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 37. （本题满分12分）如图，甲船以每小时线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解析：如图，连结12A B，22A B =，122060A A =⨯=122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得2221211121112222cos 4520220200B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯=，12B B =60=答：乙船每小时航行海里.1A2A120 105。
高一三角函数与平面向量综合题
讲座 三角形内的三角函数问题○知识梳理1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+== 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔A,B,C 成等差数列B=2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 222a b cii A B C R R R===； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3.余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.4.面积公式：222111222111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2==========++=a b cS ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c （其中r 为三角形内切圆半径,2a b cp ++=）.5.射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
三角与平面向量问题课件 高三数学二轮专题复习
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专题：平面向量
考点1答案：B、C、C、D、C
考点2答案：A、C、 ABD 填空：1.3 2.[2,3) 3. 2 4.(-1,9)∪(9,+∝) 5.2
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一、同角三角函数与三角恒等变换 行业PPT模板：/hangye/
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探究一、同角三角函数与三角恒等变分享交流 行业PPT模板：/hangye/
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2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题16三角形的五心与向量文(含解析)
专题15 三角形的五心与向量一【知识点】1.三角形的重心：三角形各边中线的交点2. 三角形的垂心：三角形各边高线的交点3. 三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点4. 三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点5. 三角形的中心：正三角形四心合一为中心 二．【学习目标】1．理解三角形五心的概念． 2．掌握五心的向量表示．3．掌握五心的向量表示的轨迹问题． 三．【题型方法】 （一）三角形的内心例1. O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【答案】A 【解析】Q ||AB AB u u u ru u u r 、AC ACu u u v u u u v 分别表示向量AB u u u v 、AC u u u v 方向上的单位向量 ∴AB ACAB AC+u u u v u u u v u u u v u u u v 的方向与BAC ∠的角平分线一致 又Q，∴∴向量AP uu u r的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．练习1. 已知ABC ∆满足，，则ABC ∆为( )A ．顶角为120︒的等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为60︒的直角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】设，则，而，所以AF 是BAC ∠的角平分线，又，所以ABC ∆为等腰三角形，，所以ABC ∆是等边三角形.练习2.O 是平面内的一定点，A,B ，C 是平面内不共线的三个点，动点P 满足则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 【答案】A 【解析】∵、分别表示向量、方向上的单位向量，∴的方向与∠BAC 的角平分线重合，又∵可得到λ（）∴向量的方向与∠BAC 的角平分线重合，∴一定通过△ABC 的内心故选：A ．（二）三角形的重心例2.已知ABC ∆中，向量，则点P 的轨迹通过ABC ∆的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【解析】设D 为BC 中点，则 ，即P 点在中线AD 上可知P 点轨迹必过ABC ∆的重心 本题正确选项：D练习1．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（ ） A ．或 B ． 或 C ．或 D ．或【答案】B 【解析】设,因为G 为的重心，所以,即. 由于三点共线，所以，即.因为，，所以，即有，解之得或.故选B.练习2.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若= , 则O 点是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连结OD ，OD 与BC 相交于G ，则BG ＝CG ，（平行四边形对角线互相平分）， ∴，又∵，可得：， ∴，∴A ，O ，G 在一条直线上，可得AG 是BC 边上的中线， 同理：BO ，CO 的延长线也为△ABC 的中线． ∴O 为三角形ABC 的重心．故选：C．练习3.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的( )A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【解析】∵＝设它们等于t，∴而表示与共线的向量,而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C．练习4.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心．【答案】重.【解析】设D为BC的中点，则，于是有，，P，D三点共线，又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，于是点P的轨迹一定通过的重心．例4.是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．【答案】重心【解析】∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三点共线，又D是AB的中点，∴CD为中线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故答案为重心．（三）三角形的外心例3. 已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以点为的重心，延长交于，则为的中点，又为外接圆的圆心，所以，则，同理可得，为等边三角形，，故选B.练习1.已知，点，为所在平面内的点，且，，，则点为的 ( ) A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】因为，所以，即又因为，所以，即所以即所以,所以，同理所以为的外心。
全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识集锦
全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识集锦单选题1、在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sinBsinC 3sinA=cosA a+cosC c，且S △ABC =√34(a 2+b 2−c 2)，则c 2a+b 的取值范围是（ ） A ．(6,2√3]B ．(6,4√3]C ．[12,√33)D ．[√3,2) 答案：D分析：根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C 及边c ，再求出a +b 的范围即可计算作答.在锐角△ABC 中，由余弦定理及三角形面积定理得：S △ABC =√34(a 2+b 2−c 2)=√32abcosC =12absinC ， 即有tanC =√3，而C ∈(0,π2)，则C =π3，又sinBsinC 3sinA=cosA a+cosC c，由正弦定理、余弦定理得，b⋅√323a =b 2+c 2−a 22bca+a 2+b 2−c 22abc，化简得：c =2√3，由正弦定理有：a sinA=b sinB=c sinC=√3√32=4，即a =4sinA ，b =4sinB ，△ABC 是锐角三角形且C =π3，有A ∈(0,π2)，B =2π3−A ∈(0,π2)，解得A ∈(π6,π2)，因此a +b =4(sinA +sinB)=4[sinA +sin(2π3−A)] =4(sinA +√32cosA +12sinA)=4√3sin(A +π6)，由A ∈(π6,π2)得：A +π6∈(π3,2π3)，sin(A +π6)∈(√32,1]， 所以c 2a+b=4√3sin(A+π6)∈[√3,2)．故选：D小提示：思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.2、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(2,4)，若a ⃑与b ⃑⃑共线，则m =（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．2 答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2m =−4，即m =−2. 故选：C3、已知平面四边形ABCD 满足AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑=DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则四边形ABCD 是（ ） A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形 答案：B分析：根据平面向量相等的概念，即可证明AB =DC ，且AB//DC ，由此即可得结论. 在四边形ABCD 中， AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以AB =DC ，且AB//DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 故选：B4、下列命题中假命题是（ ） A ．向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等 答案：D分析：利用相反向量的概念可判断A 选项的正误；利用相等向量的定义可判断B 选项的正误；利用零向量的定义可判断C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑互为相反向量，这两个向量的长度相等，A 选项正确； 对于B 选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B 选项正确； 对于C 选项，只有零向量的模等于0，C 选项正确；对于D 选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D 选项错误. 故选：D.小提示：本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.5、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc = A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A分析：利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 详解：由已知及正弦定理可得a 2−b 2=4c 2，由余弦定理推论可得 −14=cosA =b 2+c 2−a 22bc , ∴c 2−4c 22bc=−14 , ∴3c 2b=14 , ∴b c=32×4=6，故选A ．小提示：本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．6、在等腰梯形ABCD 中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，E,F 分别为AD,BC 的中点，G 为EF 的中点，则AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑等于（ ） A ．38AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+34AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．38AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+34AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．14AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+38AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：B分析：根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可. 因为在等腰梯形ABCD 中，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，E,F 分别为AD,BC 的中点，G 为EF 的中点， 所以可得：AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+38AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑． 故选：B.7、已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=1,a ⃑⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=2，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：B分析：由题意，先求出a ⃑⋅b⃑⃑，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⃑⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=a ⃑2−2a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|2−2a ⃑⋅b ⃑⃑=4−2a ⃑⋅b ⃑⃑=2，所以a ⃑⋅b⃑⃑=1， 设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ，则cosθ=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a⃑⃑||b ⃑⃑|=12， 因为θ∈[0°,180°]， 所以θ=60°， 故选：B.8、锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =7、b =8，m ⃑⃑⃑=(12,cosA)，n ⃑⃑=(sinA ，−√32)，且m ⃑⃑⃑⊥n ⃑⃑，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．3√3C ．5√3D ．10√3 答案：D分析：先由向量垂直得到A =π3，利用余弦定理求出c =3或c =5，利用锐角三角形排除c =3，从而c =5，利用面积公式求出答案. 由题意得：12sinA −√32cosA =0，故tanA =√3，因为A ∈(0,π2)， 所以A =π3，由余弦定理得：cosA =64+c 2−492×8c=12，解得：c =3或c =5，当c =3时，最大值为B ，其中cosB =49+9−642×7×3<0，故B 为钝角，不合题意，舍去； 当c =5时，最大值为B ，其中cosB =49+25−642×7×5>0，故B 为锐角，符合题意，此时S △ABC =12bcsinA =12×8×5×√32=10√3.故选：D9、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑|最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+λAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ，∴y=√3(x−2)，①直线BC的方程为y=−√32(x−3)，②，联立①②，解得{x=73y=√33，此时|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑|最大，∴|AP|=√499+13=2√133，故选：D．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题10、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．填空题11、在锐角三角形ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，且满足b2−a2=ac，则1tanA −1tanB的取值范围为___________.答案：(1,2√33)分析：由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得B=2A，由锐角三角形求得A,B的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为1sinB，由正弦函数性质可得范围．因为b2−a2=ac，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，所以ac=c2−2accosB，c=2acosB+a，由正弦定理得sinC=2sinAcosB+sinA，所以sinA=sin(A+B)−2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB−2sinAcosB=cosAsinB−sinAcosB=sin(B−A)，因为△ABC为锐角三角形，所以A=B−A，B=2A，C=π−3A，由A,B,C∈(0,π2)，得A∈(π6,π4)，B∈(π3,π2)，1 tanA −1tanB=cosAsinA−cosBsinB=sinBcosA−cosBsinAsinAsinB=sin(B−A)sinAsinB=sinAsinAsinB=1sinB，sinB∈(√32,1)，所以1tanA−1tanB∈(1,2√33)．所以答案是：(1,2√33)．小提示：本题考查都得用正弦定理和余弦定理求三角函数的取值范围，解题关键是由正弦定理和余弦定理变形化简得出三角形中角的关系，从而再由锐角三角形得角的范围．再把待求式化为某个角的函数，从而求得取值范围．12、若单位向量a⃗,b⃑⃑满足a⃗⊥b⃑⃑，且(2a⃗+3b⃑⃑)⊥(ka⃗−4b⃑⃑)，则实数k的值为___________.答案：6分析：根据两向量垂直，可得到(2a⃗+3b⃑⃑)⋅(ka⃗−4b⃑⃑)=0，展开化简即可求出k值.因为a⃗⊥b⃑⃑，所以a⃗⋅b⃑⃑=0，因为(2a⃗+3b⃑⃑)⊥(ka⃗−4b⃑⃑)，所以(2a⃗+3b⃑⃑)⋅(ka⃗−4b⃑⃑)=0，即2ka⃗2−12b⃑⃑2=0，又a⃗,b⃑⃑是单位向量，所以2k=12，即k=6.所以答案是：613、设两个向量a⃗=(λ+2，λ2−cos2α)和b⃑⃗＝(m,m2+sinα)，其中λ、m、α为实数.若a⃗=2b⃑⃗，则λm的取值范围是________.答案：[−6,1]分析：由a⃗=2b⃑⃗可得λ+2=2m，且λ2−cos2α=m+2sina，整理得4m2−9m+4=1−sin2α+2sinα，结合三角函数和二次函数性质求出1−sin 2α+2sinα范围，即可得m 范围，同时将λ代换成关于m 表达式，即可求解. ∵2b ⃑⃗＝(2m,m +2sina)，a ⃗ =(λ+2，λ2−cos 2α)， ∴λ+2=2m ，且λ2−cos 2α=m +2sina ，∴(2m −2)2−m =cos 2α+2sinα，即4m 2−9m +4=1−sin 2α+2sinα， 又∵1−sin 2α+2sinα=−(sinα−1)2+2，sinα∈[−1,1]， ∴−(sinα−1)2+2∈[−2,2]， ∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4，又∵λ＝2m －2， ∴λm=2−2m ，∴−6≤2−2m ≤1， ∴λm 的取值范围是[−6,1]. 所以答案是：[−6,1]. 解答题14、如图，已知正方形ABCD 的边长等于单位长度1，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=a ⃗，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=b ⃑⃗，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=c ⃗，试着写出向量.（1）a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗；（2）a ⃗−b ⃑⃗+c ⃗，并求出它的模. 答案：（1）2c ⃗；（2）2AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗，2. 分析：（1）由a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗即得解； （2）由a ⃗−b ⃑⃗+c ⃗=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)即得解. （1）a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2c ⃗；（2）a ⃗−b ⃑⃗+c ⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗. ∴|a ⃗−b ⃑⃗+c ⃗|=2|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=2. 小提示：本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15、在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b =3,c =3√3,bcosA =c −√32a ． （1）求a 的值；（2）若A >B ，求AC 边上的高的长． 答案：（1）a =3或6；（2）3√3. 分析：（1）利用余弦定理将bcosA =c −√32a 化为b ⋅b 2+c 2−a 22bc=c −√32a ，化简后再利用余弦定理可求出B =π6，由c 2+a 2−b 2=√3ac 结合已知条件可求出a 的值；（2）由于A >B ，所以a >b ，可得a =6，然后利用三角形的面积公式可求出面积，再利用面积法可求出AC 边上的高的长解：因为bcosA =c −√32a ，所以b ⋅b 2+c 2−a 22bc=c −√32a ， 所以b 2+c 2−a 2=2c 2−√3ac ，即c 2+a 2−b 2=√3ac ． 由余弦定理可得cosB =c 2+a 2−b 22ac =√32， 因为B ∈(0,π)，所以B =π6．（1）因为c 2+a 2−b 2=√3ac,b =3,c =3√3， 所以a 2−9a +18=0，解得a =3或6． （2）因为A >B ，所以a =6， S △ABC =12acsinB =9√32，所以AC 边上的高的长为2S △ABCb=3√3．。
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三角函数与平面向量三角函数:内容：三角函数、三角恒等变换、解三角形 【试题特点】加强对三角函数图象和性质的考查，重点转移到对基础知识和基本技能的考查．热点是恒等变换与解三角形，特点是三角形中的三角函数问题要充分重视，解答题考查内容大致可以分为以下四类：（１）利用三角变换和诱导公式，考查求值、化简问题；（２）转化为()sin() f x A x ωϕ=+型函数，考查与其图像、性质（如周期性、奇偶性、单调性、最值等）有关问题； （３）三角变换及解三角形；（利用正余弦定理和相应的三角变换，考查三角形的边角关系及解三角形与实际应用问题）；（４）穿插考查函数概念和性质、向量运算等知识． 试题如下：（１）利用三角变换和诱导公式，考查求值、化简问题； 1.（08天津）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x . （Ⅰ）求x sin 的值； （Ⅱ）求⎪⎭⎫⎝⎛+32sin πx 的值.解：（Ⅰ）x sin =54 （Ⅱ）5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+πππx x x 2．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43(,)55-，AOC α∠=．（Ⅰ）求圆O 的半径及C 点的坐标；（Ⅱ）若1BC =2sin cos 222ααα-的值． 解：（Ⅰ）半径1)53()54(22=-+==OB r ，点C 的坐标为(cos ,sin )αα； （Ⅱ）由（1）可知1OB OC BC ===，3BOC π∴∠=2sincos222ααα-3sin 5BOA =∠=3．已知α为锐角，且tan()24πα+=.（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2αααα-的值.解：（Ⅰ）1tan 3α=.（Ⅱ）sin 2cos sin cos 2αααα-=（２）转化为()sin() f x A x ωϕ=+型函数，考查与其图像、性质（如周期性、奇偶性、单调性、最值等）有关问题；1．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,22A ππωϕ>>-<<),其部分图象如图所示. (I)求()f x 的解析式; (II)求函数)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的 最大值及相应的x 值.解：（I ）)4sin()(π+=x x f .（II ）当4π=x 时，)(x g 取得最大值21. 2．已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x解：（Ⅰ）22==T πω， 2πϕ-=∴，（Ⅱ）函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈ 3．已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+>π，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点30M π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称，且在区间0π⎡⎤⎢⎥2⎣⎦，上是单调函数．求ϕ和ω的值． 解：cos 02πϕϕ=∴=．∵333sin cos 4f ωωππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪442⎝⎭⎝⎭，∴3cos 0ωπ=4， 又0ω>，得3k ωππ=+π42，012k =，，， ∴2(21)0123k k ω=+=，，，，当0k =时，23ω=，2()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪2⎝⎭在0π⎡⎤⎢⎥2⎣⎦，上是减函数； 当1k =时，2ω=，()sin 2f x x π⎛⎫=+⎪2⎝⎭在0π⎡⎤⎢⎥2⎣⎦，上是减函数； 当2k ≥时，103ω≥，()sin f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪2⎝⎭在0π⎡⎤⎢⎥2⎣⎦，上不是单调函数． 综上可知，23ω=或2ω=．4．设函数1()cos cos sin()22f x x x x x π=-+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．解：（Ⅰ）22T ππ==， （Ⅱ）当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最大值0，当662ππ-=-x ，即0x =时，)(x f 有最小值32-．5．已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I ）求实数a 、b 的值； （II ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值.解：（I ）1,3==b a（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分6．已知函数.cos sin )32cos()(22x x x x f -+-=π（I ）求函数)(x f 的最小正周期及图象的对称轴方程； （II ）设函数),()]([)(2x f x f x g +=求)(x g 的值域. 解：（I ）ππ==22T 函数图象的对称轴方程为).(32Z k k x ∈+=ππ（II ）)(x g 取得最大值2，所以)(x g 的值域为].2,4[1-7.已知函数2()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）. （I ）求ϕ （II ）计算)2011(...)2()1(f f f +++解：（I ）4πϕ∴=.（II ）20110125024)2011(...)2()1(=+++⨯=++∴f f f （ 3 ）三角变换及解三角形；（利用正余弦定理和相应的三角变换，考查三角形的边角关系及解三角形与实际应用问题）1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C π=，sin A =. （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若5c a -=，求ABC ∆的面积. 解：（Ⅰ）（Ⅱ）sin B =15sin522ABCS ac B∆===.2．（文）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且34Cπ=，sin5A=.（Ⅰ）求cos A，sin B的值；（Ⅱ）若ab=a，b的值.解：（Ⅰ）cos A==.则sin sin()sin cos cos sin444B A A Aπππ=-=-22=-=.（Ⅱ）.2a=，b=3．在ABC∆中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，满足sin2A=，且ABC∆的面积为2．（Ⅰ）求bc的值；（Ⅱ）若6=+cb，求a的值．解：（Ⅰ）5=bc.（Ⅱ）52=a.4．在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1a=，c=3cos4C=．（Ⅰ）求)sin(BA+的值；（Ⅱ）求Asin的值；（Ⅲ）求⋅的值．解：（Ⅰ）47)sin(=+BA.（Ⅱ）1sinsin8a CAc===.（Ⅲ） 33cos 1242CB CA CB CA C ⋅=⨯⨯=⨯⨯=. 5．已知ABC △的三个内角A B C ，，，求当A 满足何值时cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值． 解：cos 2coscos 2cos 22B C AA A +π-+=+ 2cos 2sin 12sin 2sin 222A A AA =+=-+．∵(0)A ∈π，，∴02A π⎛⎫∈ ⎪2⎝⎭，， ∴令sin 2A t =，则(01)t ∈，，原式可化为221321222t t t ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭． 当12t =，即26A π=，A π=3时，原式取得最大值32 6．已知点D 是Rt ABC ∆斜边BC 上一点，且AB AD =,CAD ABC αβ∠=∠=1）证明：sincos 20αβ+= 2）若AC =，求β的值 略解：1）易知：() cos 2sin 224παπβαβββα=+-∴=+∴=- 得证2）sin()sin 3sin cos 2AC DC πββαβ-===- 2sin 0 sin 23πββββ∴-=∴=∴= 7．某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 分析：本题可培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力和灵活运用正、余弦定理的能力． 解：轮船从点C 到点B 耗时80分钟，从点B 到点E 耗时20分钟，而船始终匀速行进，∴4BC EB =．设EB x =，则4BC x =． 在AEC △中，由正弦定理sin sin EC AE EAC C =∠．即sin 1sin 2AE EAC C EC x∠==．在ABC △中，由正弦定理sin120sin BC AB C =即14sin 432sin120sin120xBC C x AB ===． 在ABE △中，由余弦定理222312cos303BEAB AE AB AE =+-=．∴BE =． ∴轮船的速度为2060υ==． 8． 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船. （Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA 成θ角，求()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ= (x∈R )的值域. 解：（Ⅰ）BC=107.（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ== ()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75.9. 如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。
试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ≈1.414≈2.449）北2010 A B••C解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，,AB C sin CB C A sin ∠=∠A AB即AB=,2062315sin ACsin60+=因此，BD=。