高考数学总复习高考研究课(五)函数零点的命题3角度_求个数、定区间、求参数课件理

合集下载

高考数学零点知识点

高考数学零点知识点高考是每个中国学生都不可逃避的大事件，而数学科目则是许多学生的噩梦。

与其他科目相比，数学有着更多的细节和技巧，需要掌握各种知识点。

本文将为大家介绍一些高考数学中的零点知识点，希望能对广大考生在备考中有所帮助。

一、函数的性质高考数学中，函数是一个重要的概念。

在解题过程中，常常会用到函数的性质。

首先，函数的奇偶性是要掌握的重要内容。

如果一个函数满足$f(x)=f(-x)$，那么它是一个偶函数；如果一个函数满足$f(x)=-f(-x)$，那么它是一个奇函数。

除此之外，函数的单调性也是一个需要关注的内容。

函数的递增区间和递减区间，以及最值点的判断都需要掌握。

二、二次函数高考数学中的二次函数是一个非常重要的知识点。

首先，二次函数的图像是一个抛物线，对于二次函数的图像的形态和性质要有一个清晰的认识。

其次，二次函数的最值点的求解是一道常考的题目。

对于$y=ax^2+bx+c$的二次函数，最值点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。

此外，还要注意二次函数与坐标轴的交点以及与直线的交点的求解方法。

三、三角函数三角函数是高考数学中的另一个重要内容。

熟练掌握基本的三角函数的定义和性质对于解题至关重要。

首先，要了解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义以及对应的图像。

其次，要掌握三角函数的周期性和对称性，这样才能准确地求解函数的值。

最后，利用三角函数的性质，解决一些实际问题也是高考中的一个重点。

四、立体几何立体几何是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的难点之一。

对于几何体的面积和体积的计算，要掌握各个几何体的公式和计算方法。

此外，还要了解相似三角形和相似立体的性质。

这样才能在解决实际问题时，灵活运用几何知识，得出正确的答案。

五、概率概率是数学中的一门重要分支，它在高考数学中也占有一席之地。

对于概率的计算，首先要掌握基本的概率公式，包括事件的概率、独立事件的计算等。

其次，要了解互斥事件和对立事件的概念和计算方法。

高考复习专题函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。

[例1] 求函数2223+--=x x x y 的零点.[解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴11x x x=-==或或即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y xy x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。

画图可知只有一个。

[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=,解得372a -±=①当372a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。

2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第5节：利用导数研究函数的零点问题(教师版)

2023年高考数学总复习第三章导数及其应用利用导数研究函数的零点问题题型一判断、证明或讨论函数零点的个数例1已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1).(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点.(1)解当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减.(2)证明由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增.故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点.又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－a －162－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点.综上，f (x )只有一个零点.感悟提升利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置.(3)数形结合法分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.训练1设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m 为正数.试讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0).转化为函数y ＝m 与y ＝－13x 3＋x 的图像的交点情况.设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当实数m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.题型二根据零点个数确定参数范围例2(2021·全国甲卷)已知a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝x a ax (x ＞0).(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间；(2)若函数φ(x )＝f (x )－1有且仅有两个零点，求a 的取值范围.解(1)当a ＝2时，f (x )＝x 22x ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x （2－x ln 2）2x(x ＞0)，令f ′(x )＞0，则0＜x ＜2ln 2，此时函数f (x )单调递增，令f ′(x )＜0，则x ＞2ln 2，此时函数f (x )单调递减，所以函数f (x )(2)函数φ(x )＝f (x )－1有且仅有两个零点，则转化为方程x a a x ＝1(x ＞0)有两个不同的解，即方程ln x x ＝ln a a 有两个不同的解.设g (x )＝ln x x (x ＞0)，则g ′(x )＝1－ln x x2(x >0)，令g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，当x ＞e 时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，故g (x )max ＝g (e)＝1e，且当x ＞e 时，g (x )g (1)＝0，所以0＜ln a a ＜1e，所以a ＞1且a ≠e ，故a 的取值范围为(1，e)∪(e ，＋∞).感悟提升在解决已知函数y ＝f (x )有几个零点求f (x )中参数t 的取值范围问题时，经常从f (x )中分离出参数t ＝g (x )，然后用求导的方法判断g (x )的单调性，再根据题意求出参数t 的值或取值范围.解题时要充分利用导数工具和数形结合思想.训练2已知函数f (x )＝ax －2ln x －a x(a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数h (x )＝1－a 2x －f （x ）2恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数f(x)＝ax－2ln x－ax的定义域是(0，＋∞)，求导可得f′(x)＝a－2x＋ax2＝ax2－2x＋ax2.当a≤0时，f′(x)<0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.当a≥1时，4(1－a2)≤0，此时f′(x)＝ax2－2x＋ax2≥0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当0<a<1时，4(1－a2)>0，令f′(x)＝0，得x1＝1－1－a2a，x2＝1＋1－a2a，所以函数f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减.综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a≥1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，函数f(x)(1－1－a2a，1＋1－a2a)上单调递减.(2)由题意得函数h(x)＝1－a2x－f（x）2＝1－a2x＋ln x(x>0)，则函数h(x)＝1－a2xf（x）2恰有两个不同的零点即方程1－a2x＋ln x＝0恰有两个不同的根.由1－a2x＋ln x＝0得a＝2（1＋ln x）x，所以直线y＝a与函数g(x)＝2（1＋ln x）x的图像有两个不同的交点.由g(x)＝2（1＋ln x）x，得g′(x)＝－2ln xx2，当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝2.又e－2<1，g(e－2)＝2（1＋ln e－2）e－2＝－2e－2<0，x>1时，g(x)>0，所以实数a的取值范围为(0，2).题型三可化为函数零点的个数问题例3已知函数f(x)＝ln x(0<x≤1)与函数g(x)＝x2＋a的图像有两条公切线，求实数a的取值范围.解设公切线与函数f(x)＝ln x的图像切于点A(x1，ln x1)(0<x1≤1)，因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝1 x，所以在点A(x1，ln x1)处切线的斜率k1＝f′(x1)＝1 x1，所以切线方程为y－ln x1＝1x1(x－x1)，即y＝xx1＋ln x1－1，设公切线与函数g(x)＝x2＋a的图像切于点B(x2，x22＋a)，因为g(x)＝x2＋a，所以g′(x)＝2x，所以在点B(x2，x22＋a)处切线的斜率k2＝g′(x)＝2x2，所以切线方程为y－(x22＋a)＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x22＋a，1x1＝2x2，ln x1－1＝－x22＋a.因为0<x1≤1，所以1x1＝2x2≥1，x2≥12.又a＝－ln2x2＋x22－1，令t＝x2∈12，＋∞，则h(t)＝－ln2t＋t2－1＝－ln2－ln t＋t2－1，所以h′(t)＝2t2－1 t.令h′(t)>0且t≥12，得t>22；令h ′(t )<0且t ≥1，得12≤t <22.所以h (t )在12，所以函数f (x )＝ln x (0<x ≤1)与函数g (x )＝x 2＋a 有两条公切线，满足h (t )≤ln2－12<h (t )≤－34，所以a ln 2－12，－34.感悟提升解决曲线的切线条数、两曲线的交点个数、方程根的个数等问题的关键是转化为对应函数的零点个数问题，利用数形结合思想，通过研究函数的零点个数解决相关问题.训练3已知函数f (x )＝1＋ln x x.(1)求函数f (x )的图像在x ＝1e 2处的切线方程(e 为自然对数的底数)；(2)当x >1时，方程f (x )＝a (x －1)＋1x(a >0)有唯一实数根，求a 的取值范围.解(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x x 2，所以f 2e 4，又e 2，所以函数f (x )的图像在x ＝1e2处的切线方程为y ＋e 2＝2e 即y ＝2e 4x －3e 2.(2)当x >1时，f (x )＝a (x －1)＋1x，即ln x －a (x 2－x )＝0.令h (x )＝ln x －a (x 2－x )，有h (1)＝0，h ′(x )＝－2ax 2＋ax ＋1x.令r (x )＝－2ax 2＋ax ＋1(a >0)，则r (0)＝1，r (1)＝1－a ，①当a≥1时，r(1)≤0，r(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以x∈(1，＋∞)时，r(x)<0，即h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，故当x>1时，h(x)<h(1)＝0，所以方程f(x)＝a(x－1)＋1x无实根.②当0<a<1时，r(1)＝1－a>0，r(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以存在x0∈(1，＋∞)，使得x∈(1，x0)时，r(x)>0，即h(x)单调递增；x∈(x0，＋∞)时，r(x)<0，即h(x)单调递减.所以h(x)max＝h(x0)>h(1)＝0.取x＝1＋1(x>2)，则1＋1a ln1＋1a a1＋1a＋a1＋1a ln1＋1a－1＋1a.令t＝1＋1a>0，故m(t)＝ln t－t(t>2)，则m′(t)＝1t－1<0，所以m(t)在(2，＋∞)单调递减，所以m(t)<ln2－2<0，即h 1＋1a故存在唯一x1x0，1＋1a，使得h(x1)＝0.综上，a的取值范围为(0，1).隐零点问题在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫作隐零点；若x0容易求出，就叫作显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.例1设函数f(x)＝e x－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.解(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝e x－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间.当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln a，令f′(x)>0，得x>ln a，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞). (2)由题设可得(x－k)(e x－1)＋x＋1>0，即k<x＋x＋1e x－1(x>0)恒成立，令g(x)＝x＋1e x－1＋x(x>0)，得g′(x)＝e x－1－（x＋1）e x（e x－1）2＋1＝e x（e x－x－2）（e x－1）2(x>0).由(1)的结论可知，函数h(x)＝e x－x－2(x>0)是增函数.又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点).当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(α)＝α＋1eα－1＋α.又h(α)＝eα－α－2＝0，所以eα＝α＋2且α∈(1，2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2，3)，所以k的最大值为2.例2已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax的图像在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.(1)求a，b的值；(2)求证函数f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－32.(1)解因为f′(x)＝x e x－a，由f′(0)＝－1得a＝1，又f(0)＝－1，所以切线方程为y－(－1)＝－1(x－0)，即x＋y＋1＝0，所以b＝1.(2)证明令g(x)＝f′(x)＝x e x－1，则g′(x)＝(x＋1)e x，所以当x<－1时，g(x)单调递减，且此时g(x)<0，则g(x)在(－∞，－1)内无零点；当x≥－1时，g(x)单调递增，且g(－1)<0，g(1)＝e－1>0，所以g(x)＝0有唯一解x0，f(x)有唯一的极值点x0.由x0e x0＝1⇒e x0＝1 x0，f(x0)＝x0－1x0－x0＝1x又＝e2－1<0，g(1)＝e－1>0⇒12<x0<1⇒2<1x0＋x0<52，所以f(x0)>－3 2 .1.已知函数f(x)＝e x＋(a－e)x－ax2.(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.解(1)当a＝0时，f(x)＝e x－e x，则f′(x)＝e x－e，f′(1)＝0，当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝0，无极大值.(2)由题意得f′(x)＝e x－2ax＋a－e，设g(x)＝e x－2ax＋a－e，则g′(x)＝e x－2a.若a＝0，则f(x)的最大值f(1)＝0，故由(1)得f(x)在区间(0，1)内没有零点.若a<0，则g′(x)＝e x－2a>0，故函数g(x)在区间(0，1)内单调递增.又g(0)＝1＋a－e<0，g(1)＝－a>0，所以存在x0∈(0，1)，使g(x0)＝0.故当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.因为f(0)＝1，f(1)＝0，所以当a<0时，f(x)在区间(0，1)内存在零点.若a>0，由(1)得当x∈(0，1)时，e x>e x.则f(x)＝e x＋(a－e)x－ax2>e x＋(a－e)x－ax2＝a(x－x2)>0，此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a的取值范围为(－∞，0).2.设函数f(x)＝12x2－m ln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图像的交点个数.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝（x＋m）（x－m）x.当0<x<m时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>m时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.综上，函数f(x)的单调递增区间是(m，＋∞)，单调递减区间是(0，m).(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－12x2＋(m＋1)x－m ln x，x>0，题中问题等价于求函数F(x)的零点个数.F′(x)＝－（x－1）（x－m）x，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，因为F(1)＝32>0，F(4)＝－ln4<0，所以F(x)有唯一零点；当m>1时，0<x<1或x>m时，F′(x)<0；1<x<m时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，因为F(1)＝m＋12>0，F(2m＋2)＝－m ln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点.综上，函数F(x)有唯一零点，即函数f(x)与g(x)的图像总有一个交点.3.已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax2＋b＋12.(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝12时，f(x)的图像与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围.解(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2＋b＋12(x∈R)，则f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2).令f′(x)>0，解得x<0或x>ln2；令f′(x)<0，解得0<x<ln2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(ln2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln2).(2)因为a＝12，所以f(x)＝(x－1)e x－12x2＋b＋12.由(x－1)e x－12x2＋b＋12＝bx，得(x－1)e x－12(x2－1)＝b(x－1).当x＝1时，方程成立.当x≠1时，只需要方程e x－12(x＋1)＝b有2个实根.令g(x)＝e x－12(x＋1)，则g′(x)＝e x－12.当x <ln 12时，g ′(x )<0，当x >ln 12且x ≠1时，g ′(x )>0，所以g (x )∞，ln 12，(1，＋∞)上单调递增，因为＝12－12＋＝12ln 2，g (1)＝e －1≠0，所以b 2，e －(e －1，＋∞).4.已知函数f (x )＝ax cos x －1在0，π6上的最大值为3π6－1.(1)求a 的值；(2)证明：函数f (x )2个零点.(1)解f ′(x )＝a (cos x －x sin x )，因为x ∈0，π6，所以cos x >sin x ≥0，又1>x ≥0，所以1·cos x >x sin x ，即cos x －x sin x >0.当a >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在区间0，π6上单调递增，所以f (x )max ＝a ·π6×32－1＝3π6－1，解得a ＝2.当a <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在区间0，π6上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)＝－1，不符合题意，当a ＝0时，f (x )＝－1，不符合题意.综上，a ＝2.(2)证明设g (x )＝cos x －x sin x ，则g ′(x )＝－2sin x －x cos x x所以g (x )又g (0)＝1>0，＝－π2<0，所以存在唯一的x0g(x0)＝0，当0<x<x0时，g(x)>0，即f′(x)＝2g(x)>0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增；当x0<x<π2时，g(x)<0，即f′(x)＝2g(x)<0，所以f(x)0又f(0)＝－1<0，＝2π4－1>0，1<0，所以f(x)综上，函数f(x).。

2025年高考数学总复习课件26第三章第二节第5课时利用导数研究函数的零点问题

又因为x1ln x1＝x2ln x2，即证x1ln x1－k
x1+
1 e2x1
>x2ln x2－k
x2+
1 e2x2
，k>0.
设h(x)＝x ln x－kx－ek2x，
要使x1>x2时，h(x1)>h(x2)，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以有h′(x)＝ln x＋1－k＋e2kx2≥0在(0，＋∞)上恒成立．令H(x)＝ln x＋1－k＋e2kx2，则H′(x)＝1x － e22xk3(x＞0)．
ln
x
x，
令g′(x)＝0，可得x＝e2<16.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(0，e2)
e2
(e2，16]
g′(x)
＋
0
－
g(x)
单调递增
2
单调递减
e
所以函数g(x)在区间(0，16]上的极大值为g(e2)＝2e，且g(16)＝ln 2，g(x)的大体图
象如图所示．
由图可知，当ln 2≤2a<2e，即当e<a≤ln22时，直线y＝2a与曲线y＝g(x)在(0，16]上
所以f (1)＝－2，f ′(1)＝1，因此，曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.
第5课时利用导数研究函数的零点问题
核心考点提升“四能”
课时质量评价
(2)若函数f (x)在(0，16]上有两个零点，求a的取值范围．
解：由题可得f ′(x)＝ax － 1x(x＞0)．
所以f (x)在(－∞，0)，(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
第5课时利用导数研究函数的零点问题

函数零点问题课件高三数学一轮复习

h（x）＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝x（x－4sin x）＋4（1－cos x）.
当x∈[4，＋∞）时，x－4sin x＞0，4（1－cos x）≥0，
∴h（x）＞0，∴h（x）无零点；
当x∈（0，4）时，h'（x）＝2x－4xcos x＝2x（1－2cos x），
当x∈
π0,Biblioteka 3时，h'（x）＜0；当x∈

当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增；
当x∈（e，＋∞）时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减.
1
故g（x）max＝g（e）＝，且当x＞e时，g（x）∈
e
1
0,
e
，又g（1）＝0，
【关键】准确判断g（x）的范围
ln 1
＜，解得a的取值范围是（1，e）∪（e，＋∞）.

e
解曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，

ln ln
可转化为方程＝1（x＞0）有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解.

【技巧】将曲线的交点问题转化为对应方程的根
ln
1−ln
令g（x）＝（x＞0），g'（x）＝ 2 （x＞0）.

1−ln
令g'（x）＝ 2 ＝0，解得x＝e.
解：方程f（x）＝g（x）在[1，e]上有两个不相等的解，
2ln
即a＝ 2 在[1，e]上有两个不同的解，

2ln
∴y＝a与φ（x）＝ 2 ，x∈[1，e]有两个不同的交点，

2(1−2ln)
φ'（x）＝
，
3

高考数学函数专题、函数的零点与值域

函数专题（五）、函数的零点与值域1.函数的零点：（1）定义：使得f (x )=0的实数x 叫做函数f (x )的一个零点。

（2）判定定理：对于在区间[a ，b]上连续不断的的函数f (x )，如果有f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间 (a ，b)内必有零点存在。

2.求函数值域的数学思想：（1）利用函数单调性求函数值域：（2）利用函数图像求函数值域；注意：求函数值域时要先关注函数定义域，时刻体现“定义域优先”原则。

3.求函数值域的方法：观察法、判别式法、双勾函数法、换元法、平方法、分离常数法、数形结合法、单调性法、构造法。

()f x 满足：①在定义域D 内是单调函数；②存在[,]a b D ⊆ （a b <），使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]b a --，那么()y f x =叫做对称函数。

现有()f x k =是对称函数，则实数k 的取值范围是例2.已知函数1log )(2-=x x f ，且关于x 的方程02)()]([2=++b x af x f 有6个不同的实数解，若最小的实数解为-3，则b a +的值为_________例3.（2015普陀区一模）函数),(3sin 2sin )(R t x t x x x f ∈+++=的最大值记为)(g t ，则函数)(g t 的最小值为____________例4.函数x x x f -+-=6453)(的最大值为_________变式训练：1.已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数)2(+x f 的定义域和值域分别是（）A. [0，1] ，[1，2]B. [2，3] ，[3，4]C. [-2，-1] ，[1，2]D. [-1，2] ，[3，4]2.已知函数22)(2+-=x x x f ，)()(1x f x f =，))(()(12x f f x f =…))(()(1x f f x f n n =+，则)(2016x f 在[1，2]上的最小值，最大值分别是________ 3.（2017浙江）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m （）A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关4.（2015重庆）若函数a x x x f -++=21)(的最小值为5，则实数a=_______5.（2014江苏）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意的]1,[+∈m m x 都有0)(<x f ，则实数m 的取值范围为______________6.函数22)(42---=x x x x f ．给出函数)(x f 下列性质：（1）函数的定义域和值域均为[﹣1，1]；（2）函数的图像关于原点成中心对称；（3）函数在定义域上单调递增；（4）A 、B 为函数)(x f 图像上任意不同两点，则2＜|AB|≤2．请写出所有关于函数)(x f 性质正确描述的序号__________7.（2015湖南）若函数b x f x--=22)(有两个零点，则实数b 的取值范围是_____ 8.已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)2(,1)2(21)(x x x x f .若关于x 的方程0)()(2=++b x af x f 有三个不同的实根321,,x x x ，则232221x x x ++的值为（）A. 10 B .12 C. 14 D.169.（2014青浦区一模）设函数N n n n x n x f ∈+∈-=),1,[,1)(，函数x x g 2log )(=，则方程)()(x g x f =实数解的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.（2016闵行区一模）函数a x x f -=2)(在区间[-1，1]上的最大值为a ，则实数a 的取值范围是___________11．（2015松江区一模）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有)2()2(+=-x f x f ，且当x ∈[﹣2，0]时，1)21()(-=xx f .若函数)1)(2(log )()(g >+-=a x x f x a 在区间（﹣2，6]恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是__________12．（2016奉贤区一模）方程539=++b x x 有一个正实数解，则b 的取值范围为____________13.（2015嘉定区一模）对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭；如果)0(1)(≠+=k xkx x f 在R 上封闭，则k 的取值范围是___________14.（2014四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数)(x ϕ组成的集合：对于函数)(x ϕ，存在一个正数M ，使得函数)(x ϕ的值域包含于区间],[M M -. 例如，当31)(x x =ϕ，inx x s )(2=ϕ时，A x ∈)(1ϕ，B x ∈)(2ϕ.现有如下命题：（1）设函数)(x f 的定义域为D ，则“A x f ∈)(”的充要条件是“对于任意R b ∈，存在R a ∈，b a f =)(”；（2）若函数B x f ∈)(，则)(x f 有最大值和最小值；（3）若函数)(x f ，)(g x 的定义域相同，且A x f ∈)(，B x ∈)(g ，则B x x f ∉+)(g )(；（4）若函数)(1)2ln()(2R a x x x a x f ∈+++=有最大值，则B x f ∈)(. 其中的真命题有____________（填序号）15.设函数)8)(8)(8)(8()(42322212c x x c x x c x x c x x x f +-+-+-+-=，集合{}+∈==N x x f x M ,0)(的子集有128个，设4321c c c c ≥≥≥，则41c c -=_________16.（2016静安区一模）已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞U 上的奇函数，且当0>x 时，=)(x g ⎩⎨⎧>-≤<)1(),1()10(,2x x g x x ，)0(log )(2>=x x k x h ，若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则实数k 的取值范围为_____________17.设a 为实数，函数a x a x x x f --+=)(2)(2，记32-)(2-=x x x g ，若存在]4,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求a 的取值范围。

掌握高考数学中的函数零点与单调性判断技巧有哪些关键点

掌握高考数学中的函数零点与单调性判断技巧有哪些关键点函数是高考数学的基础知识之一，而在求解函数的零点以及判断函数的单调性时，掌握相应的技巧对于解题至关重要。

本文将探讨在高考数学中，掌握函数零点与单调性判断的关键点。

一、函数零点的判定函数的零点是指函数取零值的点，也就是函数图像与x轴的交点。

在高考数学中，常用的方法有以下几种关键点：1. 方程法：将函数表达式置为零，通过解方程求解。

例如，对于一次函数y=ax+b，零点即为方程ax+b=0的解。

此方法适用于一次函数和二次函数等较简单的函数，但对于高次多项式函数可能较为繁琐。

2. 二分法：对于连续函数，若f(a)和f(b)异号，则函数在(a, b)内至少存在一个零点。

通过不断将区间一分为二，并判断分割后的两个新区间中f(x)的取值情况，可以逐步缩小零点所在的范围。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x+1，f(-2)=-13，f(0)=1，故函数在(-2,0)之间存在一个零点。

3. 中间值定理：若连续函数f(x)在区间[a, b]内，且f(a)和f(b)异号，则函数在(a, b)内至少存在一个零点。

该方法常用于判断函数零点的存在性。

例如，对于函数f(x)=x^2-4，在区间(-2,2)内f(-2)=-4，f(2)=0，因此函数在(-2,2)内存在一个零点。

二、单调性判断的技巧判断函数的单调性是在高考数学中常见的问题，以下是几个关键点：1. 导数法：对于可导函数，导数的正负性直接与函数的单调性相关。

当导函数f'(x)大于零时，函数在该区间内单调递增；当导函数f'(x)小于零时，函数在该区间内单调递减。

例如，对于函数f(x)=x^2，导函数f'(x)=2x，因此函数在x>0时单调递增。

2. 函数值法：对于一些无法直接求导的函数，可以通过计算函数在不同区间上的取值来判断函数的单调性。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x+1，在函数图像上找到拐点、极值点及与x轴的交点，根据函数图像的变化来判断函数的单调性。

2023年高考数学一轮复习讲义——函数的零点与方程的解

§2.9函数的零点与方程的解考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案－2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________．答案 (3,6)解析设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增，又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析设f(x)＝log3x－3＋x，当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－2，又∵f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，故f(2)·f(3)<0，故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案 2解析依题意x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)(2022·绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数，因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______．答案 6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)，由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0， f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0，得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)，结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0，得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)，若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案－1解析由f (x )＝x x ＋2－kx 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件．当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ，则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0. 因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32，因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0，所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D 解析由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a cC ．x 0<cD ．x 0>b 答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0，得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是() A ．1 B ．2 C ．4 D ．6答案 ABC解析由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数；选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e 2，f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x，设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ，解得t ＝e.∴k 2＝1e . 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b 答案 B解析令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12解析当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k ＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解，必须－4<－1k <0，所以k >14.所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。

高考数学函数零点专题

专题2.函数的零点高考解读求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．知识梳理1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破考点一函数的零点判断例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A. )21,0(B.)1,21( C ．(1,2) D ．(2,3)(2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4 【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．【变式探究】设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 考点二、二次函数的零点例2、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．考点三函数零点的应用例3、【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【变式探究】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，?x －2?2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.),47(+∞ B.)47,(-∞ C. )47,0( D.)2,47( 【方法规律】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【变式探究】对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎨⎧－m 2＋2mn －1?m ≤n ?，n 2－mn ?m >n ?，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．考点四、分段函数的模型例4、【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝错误!(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)【方法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？高考链接1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.2.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x mf x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.3.【2016高考上海理数】已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.4.【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+5.【2015高考湖南，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .6.【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为7.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭ 8.【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．9.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ο）满足函数关系bkx e y +=（Λ718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

函数零点题型归纳讲义

专题四《函数》讲义5.9函数的零点知识梳理.函数的零点1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．题型一.零点所在的区间1．函数f（x）＝3x−3−2的零点所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：由于函数f（x）＝3x−3−2，∴f（1）＝3﹣3﹣2＝﹣2＜0，f（2）＝9−32−2＞0，∵f（1）•f（2）＜0，函数是连续增函数，∴函数f（x）＝3x−3−2的零点所在的区间是（1，2），故选：C．2．函数f（x）＝log2x+x+2的零点所在的一个区间是（）A．(0，18)B．(18，14)C．(14，13)D．(13，12)【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且其图象在定义域上是一条不间断的曲线，又o18)=−3+18+2=−78＜0，o14)=−2+14+2=14＞0，由函数零点存在性定理可知，函数f（x）在(18，14)上有零点．故选：B．3．设函数y＝x3与y＝（12）x﹣2的图象交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（3，4）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：函数y＝x3在R上单调递增，y=(12)K2在R上是减函数．∵x≤1时，函数y＝x3的图象在y=(12)K2的下面；x≥2时，函数y＝x3在y=(12)K2的上面．∴x0所在的区间是（1，2）．故选：C．题型二.零点的个数1．函数f（x）＝4x|log0.5x|﹣1的零点个数为2．【解答】解：函数的零点满足|l0.5U=(14)，则零点的个数即函数y＝|log0.5x|与=(14)交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可得，交点个数为2，故函数零点的个数为2．故答案为：2．2．函数f（x）=2−2，≤12−3+2，＞1的图象与函数g（x）＝ln（x+1）的图象的交点的个数是2．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：由两个函数的图象可知两个函数有2个交点，故答案为：2．3．若偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），在x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则关于x的方程f（x）＝（110）x在[0，4]上根的个数是4．【解答】解：因为偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），所以函数f（x）的图象关于y 轴对称，同时以2为周期．根据x∈[0，1]时，f（x）＝x2得该函数在[0，4]上的图象为：再在同一坐标系中做出函数=(110)的图象，如图，当x∈[0，4]时，两函数图象有四个交点．所以方程f（x）＝（110）x在[0，4]上有4个根．故答案为4．4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，函数g（x）=l(−1)＞12≤1，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，5）C．（1，5）D．（1，4）【解答】解：函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点即函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上有8个交点，由f（x+1）＝﹣f（x）＝f（x﹣1）知，f（x）是R上周期为2的函数，作函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上的图象如下，由图象知，当x∈[﹣5，1]时，图象有5个交点，故在[1，5]上有3个交点即可；故l(3−1)＜1l(5−1)＞1；解得，2＜a＜4；故选：A．题型三.已知零点个数求参1．若函数f（x）＝e x﹣x2+ax﹣1在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．[5−22，+∞)B．（﹣∞，2﹣e] C．(5−22，2−p D．[5−22，2−p【解答】解：依题意，−=−−1在x∈[1，2]上有且仅有一个解，设op=−−1，则n(p=⋅K2−1+12=(K1)(−K1)2，由e x≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）可知，当x∈[1，2]时，函数g（x）单调递增，∴当x∈[1，2]时，op m=o1)=−2，op B=o2)=22−2−12=2−52，∴−∈[−2，2−52]，∴∈[5−22，2−p．故选：D．2．若函数f（x）＝log a x﹣x+a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，e）D．（e，+∞）【解答】解：令f（x）＝0，有log a x＝x﹣a，①当a＞1时，函数y＝log a x单增，函数y＝x﹣a相当于函数y＝x向下至少移动了1个单位，故函数y＝log a x与y＝x﹣a的图象有两个交点；②当0＜a＜1时，函数y＝log a x与y＝x﹣a的图象显然仅有一个交点，综上，a＞1．故选：B．3．已知函数f（x）=3，∈(−1，0]∈(0，1]，且函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（−94，﹣2]∪（0，32]．【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），分别作出函数f（x）（图中红色曲线），和y＝h（x）＝m（x+1）的图象（图中绿色曲线），为一条过点（﹣1，0）的直线，如图：由图象可知f（1）＝3，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，3）时，m=32，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤32①．当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）＝﹣2，解得m＝﹣2，此时两个函数有两个交点．当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时1r3x+3＝m（x+1），即m（x+1）2+3（x+1）﹣1＝0，当m＝0时，只有1解；当m≠0，由△＝9+4m＝0得m=−94，此时直线和f（x）相切．∴要使函数有两个零点，则−94＜m≤﹣2②．综上可得，函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（−94，﹣2]∪（0，32]，故答案为：（−94，﹣2]∪（0，32]．4．已知函数f（x）＝e2x﹣a（x+2）．当a＝2时，f（x）的增区间为（0，+∞）；若f （x）有两个零点，则实数a的取值范围为（2e﹣3，+∞）．【解答】解：当a＝2时，f（x）＝e2x﹣2（x+2），f′（x）＝2e2x﹣2，令f′（x）＞0，解得x＞0，则f（x）的增区间为（0，+∞）．f′（x）＝2e2x﹣a，x∈R．①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，至多有一个零点，不合题意；②当a＞0时，令f′（x）＝0⇒x=12ln2，可得f（x）在（﹣∞，12ln2）单调递减，在（12ln2，+∞）单调递增，故f（x）的最小值为f（12ln2）=2−a（12ln2+2）=−2ln2−32．∵f（x）有两个零点，当x→±∞时，f（x）→+∞，∴f（2ln2）＜0⇒2ln2+32＞0，解得a＞2e﹣3，所以实数a的取值范围为（2e﹣3，+∞）故答案为：（0，+∞）；（2e﹣3，+∞）．5．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+12|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，12）．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+12|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知∈(0，12)．故答案为：（0，12）．6．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x2，g（x）＝log a|x﹣1|（2＜a＜2），则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），可得对称轴x＝1，所以可得周期T＝2，又g（x）＝log a|x﹣1|（2＜a＜2），可得g（x）也是关于x＝1对称，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，可得g（x）＝f（x），在同一坐标系中在作y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示：因为2＜a＜2，g（x）＝log a|x﹣1|，所以g（2）＝0，g（5）＝log a4∈（2，4），与f（x）无交点，g（3）＝log a2∈（1，2）与f（x）有两个交点，所以x＞1时，g（x）与f（x）有3个交点，所以x∈R时，g（x）与f（x）有3对关于x＝1对称的点，所以所以交点之和为2+2+2＝6，即函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为6，故选：D．7．已知函数g（x）＝a﹣x2（1≤x≤e（e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，1+2]B．[12+2，e2﹣2]C．[e2﹣2，+∞）D．[1，e2﹣2]【解答】解：因为h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的函数为：f（x）＝﹣2lnx，所以可得g（x）＝f（x）有零点，即a＝x2﹣2lnx（1≤x≤e）有解，令t（x）＝x2﹣2lnx（1≤x≤e），则t'（x）＝2x−2=2⋅(K1)(r1)，当x∈（1，1）时，t'（x）＜0，则t（x）单调递减，x∈（1，e）时，t（x）＞0，t（x）单调递增，而t（1）=12−2ln1=12+2，t（1）＝12﹣2ln1＝1，t（e）＝e2﹣2lne＝e2﹣2＞o1)，所以t（x）∈[1，e2﹣2]．所以a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选：D．8．已知函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a＝（）A．−13B．−12C．﹣3D．﹣2【解答】解：函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，设x﹣1＝t，则函数f（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）﹣a2有唯一零点，则3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝a2，设g（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t），∵g（﹣t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝g（t），∴g（t）为偶函数，∵函数f（t）有唯一零点，∴y＝g（t）与y＝a2有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，∴3﹣2a＝a2，解得a＝﹣3或a＝1（舍去），故选：C．题型四.复合函数的零点1．已知f（x）＝x2e x，若函数g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，42+24）C．（82，2）D．（42+24，+∞）【解答】解：f′（x）＝2xe x+x2e x＝x（x+2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣2，∴当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值f（﹣2）=42，当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝0．作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）＝t，则当t＝0或t＞42时，关于x的方程f（x）＝t只有1解；当t=42时，关于x的方程f（x）＝t有2解；当0＜t＜42时，关于x的方程f（x）＝t有3解．∵g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，∴关于t的方程t2﹣kt+1＝0在（0，42）上有1解，在（42，+∞）∪{0}上有1解，显然t＝0不是方程t2﹣kt+1＝0的解，∴关于t的方程t2﹣kt+1＝0在（0，42）和（42，+∞）上各有1解，∴164−42+1＜0，解得k＞42+24．故选：D．2．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）＝x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．以上都有可能【解答】解：由题意可得，f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有两个不同的实数根x1，x2，不妨设x1≠x2，所以3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根f（x）＝x1，f（x）＝x2，若x1＜x2，易得函数f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，此时f（x）＝x2有2个根，f（x）＝x1可能的根3或2或1，此时关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数5或4或3个，当x1＞x2，同理可得关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数3个，故选：D．3．已知函数f（x）=(12)−4，≤−1B(+1)，＞−1，若f（f（x））＜0，则x的取值范围为（）A．（﹣2，0）B．(−∞，12−1) C．(−2，12−1)D．(−2，−1)∪(12−1，0)【解答】解：令f（x）＝t，则f（t）＜0，t≤﹣1时，(12)−4＜0，所以2﹣t＜4，解得﹣2＜t≤﹣1；t＞﹣1时，ln（t+1）＜0，解得﹣1＜t＜0；综上知，t的取值范围是﹣2＜t＜0，即﹣2＜f（x）＜0．由f（x）＝﹣2，x≤﹣1时，(12)−4＝﹣2，解得x＝﹣1；x＞﹣1时，ln（x+1）＝﹣2，解得x=12−1；综上知，x＝﹣1或=12−1，画出函数f（x）的图象，如图所示：根据分段函数f（x）的图象得，f（f（x））＜0的解集为(−2，−1)∪(12−1，0)．故选：D．4．已知函数f（x）＝x3﹣3x，则函数h（x）＝f[f（x）]﹣c，c∈[﹣2，2]的零点个数（）A．5或6个B．3或9个C．9或10个D．5或9个【解答】解：设t＝f（x），则由y＝f[f（x）]﹣c＝0，得f[f（x）]＝c，即f（t）＝c，t＝f（x），函数f（x）的导数f′（x）＝3﹣3x2，由f′（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，即函数在x＝1，取得极大值f（1）＝3﹣1＝2，函数在x＝﹣1，取得极小值f（﹣1）＝﹣3+1＝﹣2，又由f（﹣2）＝﹣2，f（2）＝2得：若f（t）＝c，c∈（﹣2，2），则方程有三个解，满足﹣2＜t1＜﹣1，0＜t2＜1，1＜t3＜2，则当﹣2＜t1＜﹣1时，方程t＝f（x），有3个根，当0＜t2＜1时，方程t＝f（x），有3个根，当1＜t3＜2时，方程t＝f（x），有3个根，此时共有9个根，若f（t）＝c，c＝2，则方程有两个解，满足t1＝﹣2，t2＝1，则当t1＝﹣2时，方程t＝f（x），有2个根，当t2＝1，有3个根，此时共有5个根，同理f（t）＝c，c＝﹣2时，也共有5个根故选：D．课后作业.函数的零点1．设定义在R上的函数op=2，≤0|l2U，＞0，g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a ＜1时，函数y＝g（x）的零点个数为3个．【解答】解：定义在R上的函数op=2，≤0|l2U，＞0，函数的图象如图：g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y＝g（x）的零点个数，就是y ＝f（x）与y＝a图象的交点个数，由图象可知，零点个数为3个．故答案为：3．2．已知函数f（x）=|+1|，≤0|l2U，＞0，若方程f（x）＝a（a∈R）有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）x4的取值范围是[﹣4，﹣2）．【解答】解：由题意作函数f（x）=|+1|，≤0|l2U，＞0与y＝a的图象如下，，结合图象可知，x1+x2＝﹣2，0＜log2x4≤1，故x1+x2＝﹣2，1＜x4≤2，故﹣4≤（x1+x2）x4＜﹣2，故答案为：[﹣4，﹣2）．3．已知函数op=|BU，＞0|2+4+3|，≤0，若g（x）＝ax（a∈R）使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为[0，1)∪{23−4}．【解答】解：由已知得f（x）得图象如图（1），（1）当a＞0时，要使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同根，则需存在x＞1，使得lnx ＞ax，即a＜B，又y=B的图象如图（2），故0＜a＜1；（2）当a＜0时，由图象（1）知y＝ax需与函数f（x）＝|x2+4x+3|＝﹣x2﹣4x﹣3相切，设切点为（m，n），则y﹣f（m）＝f'（m）（x﹣m），即y﹣（﹣m2﹣4m﹣3）＝（﹣2m﹣4）（x﹣m）过点（0，0），故m2＝3，因为m＜0，故m=−3，所以a＝f'（m）=23−4，（3）当a＝0时，显然符合题意，综上，实数a的取值范围为[0，1)∪{23−4}．故答案为：[0，1)∪{23−4}．4．已知函数f（x）=3−34+32，0≤≤122+12，12＜≤1，g（x）＝e x﹣ax（a∈R），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e﹣2]C．（﹣∞，e−54]D．（﹣∞，e]【解答】解：①当0≤x≤12时，f（x）＝x3−34+32，则f′（x）＝3x2−34≤0在[0，12]上恒成立，所以函数f（x）在区间[0，12]上单调递减，则f（12）≤f（x）≤f（0），即54≤op≤32，②当12＜≤1时，f（x）＝2x+12，函数在区间（12，1]上单调递增，所以f（12）＜f（x）≤f（1），即32＜op≤52，综上，函数f（x）的值域为[54，52]；又g′（x）＝e x﹣a，x∈[0，1]，若a≤0时，则g′（x）＞0，函数g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）≤g （1），即g（x）∈[1，e﹣a]，此时若要满足题意，只需[1，e﹣a]∩[54，52]≠∅，当a≤0时恒成立；若a＞0时，令g′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当0＜a＜e时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g （x）≤e﹣a，又因为[1，e﹣a]∩[54，52]≠∅，所以−≥540＜＜，解得0＜a≤−54，当a＞e时，g（x）在[0，1]上单调递减，所以g（1）≤g（x）≤g（0），即e﹣a≤g（x）≤1，此时[e﹣a，1]∩[54，52]=∅，所以不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）＝g（x2），综上，实数a的取值范围为（−∞，−54]，故选：C．5．已知函数f（x）=，=1(12)|K1|+1，≠1，若方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有5个不同的实数解，则a的范围是（）A．（1，32）∪（32，2）B．（1，2）∪（2，3）C．（1，+∞）D．（1，3）【解答】解：方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0，解得f（x）＝a或f（x）=32，若a=32，f（x）=，=1(12)|K1|+1，≠1，可得x＝1或0或2，不满足题意；则a≠32，由f（x）=32，可得原方程有3个不等实根；只要1+（12）|x﹣1|＝a有2个不等实根即可．由|x﹣1|＞0可得0＜（12）|x﹣1|＜1，即有1＜a＜2，综上可得a∈（1，32）∪（32，2）．故选：A．6．已知f（x）=2−4，≤−1，＞（其中a＜0，e为自然对数的底数），若g（x）＝f[f（x）]在R上有三个不同的零点，则a【解答】解：（1）当x≤a时，f（x）＝x2﹣4，①当x2﹣4≤a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）＝（x2﹣4）2﹣4＝0得x=−2；②当x2﹣4＞a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）=2−4−1＝0得x＝﹣2（2）当x＞a时，f（x）＝e x﹣1，①当e x﹣1≤a时，由f（f（x））＝f（e x﹣1）＝（e x﹣1）2﹣4＝0得e x＝﹣1无解，②当e x﹣1＞a时，由f（f（x））＝f（e x﹣1）=−1−1＝0解得x＝0，因为g（x）＝f（f（x））在R上有三个不同的零点，所以−2≤−2≤0＞，解得：−2≤a＜0，故答案为：[−2，0）．。

高考数学函数零点问题3类题型4种方法讲解！你觉得零点问题难吗？

高考数学函数零点问题3类题型4种方法讲解！你觉得零点问题难吗？函数零点问题的4种解题方法一、依据概念化为方程求根对于函数y=f(x)，我们把f(x)=0使的实数x叫做函数y=f(x)的零点，因此，该方法就是将函数的零点问题转化为方程f(x)=0的问题来解答。

二、由数到形实现零点交点的互化函数y=f(x)的零点，即函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。

因此，求函数的零点问题可转化为函数y=f(x)图像与x轴的交点的横坐标，或将方程f(x)=0整理成f1(x)=f2(x)形式，然后在同一直角坐标系下，画出两函数的图像，交点的横坐标即为函数的零点，交点的个数即为函数的零点个数。

注：在解题中，若遇到函数形式复杂难以作图时，则不妨先整理表达式，一般以所涉及的函数能作其图像为整理要求。

接着在同一坐标系下，规范作图，然后确定交点的位置或个数，特别在部分区间上是否存在交点，要细心对待，有时还需计算相关的函数值（函数值的趋势）来确定是否有交点。

三、依存定理凭号而论如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像时联系不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。

通常将此论述称为零点存在性定理。

因此，该解题策略就是将函数零点分布问题转化为判断不等式f(a)f(b)<0是否成立。

四、借助单调确定问题如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像时连续不断的一条具有单调性曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点，即存在唯一的c∈(a,b)，使得f(c)=0。

通常将此论述称为零点唯一性定理。

因此，该策略解题需要考虑两个条件：条件一是f(a)f(b)<0是否成立；条件二是否具有单调性。

题型一：已知零点个数求参数范围题型二：求零点所在区间题型三：求零点个数。

高考数学复习课件：利用导数解决函数的零点问题

利用导数解决函数的零点问题
01 探本朔源·技法示例
技法阐释 1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路 (1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； (2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.
[解] (1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ex(x＞0)，则f′(x)＝ x－x2 e，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2， ∴f(x)的极小值为2.
(2)方法一：由题意知，方程 kx－ln x＝0 仅有一个实根，
由 kx－ln x＝0，得 k＝lnxx(x＞0)．令g(x)＝lnxx(x＞0)，则g′(x)＝1－xl2n x，当x＝e时，g′(x)＝0；当0＜x＜e时，g′(x)＞0；当x＞e时， g′(x)＜0.
∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， ∴g(x)max＝g(e)＝1e. 当x→＋∞时，g(x)→0. 又∵k＞0，∴要使f(x)仅有一个零点，则k＝1e.
谢谢观论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
高考示例 (2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点12，f 12处的切线与y轴垂直． (1)求b； (2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

高三数学函数零点的判定定理知识点

⾼三数学函数零点的判定定理知识点函数零点问题是⾼等数学中的重要问题，⾼中数学课程中有基本的介绍，下⾯是店铺给⼤家带来的⾼三数学函数零点的判定定理知识点，希望对你有帮助。

⾼三数学函数零点的判定定理知识点(⼀) 函数零点存在性定理：⼀般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f(a)。

f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x)=0的根。

特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不⼀定唯⼀。

(2)并不是所有的零点都可以⽤该定理来确定，也可以说不满⾜该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2-3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点。

(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)。

f(b)<0，则fx)在(a，b)上有唯⼀的零点。

函数零点个数的判断⽅法: (1)⼏何法：对于不能⽤求根公式的⽅程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利⽤函数的性质找出零点。

特别提醒：①“⽅程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为⼀谈，如⽅程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，⽽函数f(x)=x2-2x +1在[0，2]上只有⼀个零点 ②函数的零点是实数⽽不是数轴上的点。

(2)代数法：求⽅程f(x)=0的实数根。

⾼三数学函数零点的判定定理知识点(⼆) 判断函数零点个数的常⽤⽅法 (1)解⽅程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有⼏个解就有⼏个零点。

(2)零点存在性定理法：利⽤定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点。

高中数学基础之函数零点

高中数学基础之函数零点函数零点的考查往往以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，特别是有关导数的解答题中也经常考查零点问题．根据高考试题的考查特点，建议掌握好函数零点的求法、含参数问题的解决办法以及常用的二次函数零点问题的求法．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条□01连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、函数零点及其所在区间的判断例1 函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析解法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在定理可知，函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．故选B.解法二(图象法)：将函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝log 3x 和h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数的图象如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2).故选B.例2 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝．答案 5解析因为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5. 总结：判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程． (2)利用零点存在定理求解．(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．二、函数零点个数的判断例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.例4 若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．又x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，所以作出函数f (x )的图象如图所示．因为x ＝±10时，y ＝lg |±10|＝1，所以由数形结合可得函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为8.例5 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析当x ＞1时，令f (x )＝ln (x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1，故f (x )的零点个数为2.例6 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个答案 B解析分别作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图可知y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．总结：函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．令f (x )＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理．要求函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，且f (a )f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数判断．作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．三、函数零点的应用例7 已知方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4D ．(－5，－2) 答案 C解析令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （2）>0，f （3）<0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2（m －2）＋5－m >0，9＋3（m －2）＋5－m <0，16＋4（m －2）＋5－m >0，解不等式组可得－133<m <－4，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4.故选C. 例8 设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]答案 D解析函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得－2＜x ≤0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1.故选D.例9 若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2解析因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，令2x＝t ，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，0≤t －12≤32，0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122≤94，－14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14≤2，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.总结：已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．。

2019届一轮复习理数：第3单元高考研究课(5) 函数零点的命题3角度——求个数、定区间、求参数

03
目录
04
课堂真题集中演练
05
高考达标检测
[方法技巧]
直接求令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几
零点个零点利用定理不仅要求函数在区间 [a， b] 上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函
零点存
在性定理
数有多少个零点
高考研究课(五) 函数零点的命题3角度 ——求个数、定区间、求参数
[全国卷 5 年命题分析]
考点函数零点的个数函数零点定区间已知函数零点求参数值或范围
考查频度未考查未考查
考查角度
5年2考
已知零点求参数值或范围
01 02
题型一判断函数零点的个数
题型二确定零点所在区间
题型三已知函数零点求参数值或范围
性定理
数形结合法
[即时演练]
x y
－3 6
－2 m
－1 －4
0 －6
1 －6
2 －4
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4 6
n
[方法技巧]
[方法技巧]
课堂真题集中演练
“高考达标检测”见“高考达标检测（十）” (单击进入电子文档)
谢
谢
观
看
THANK YOU FOR WATCHING
利用图画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中象交点交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的个数的零点
[即时演练]
零点存在
首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断

高考数学一轮复习第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用高考研究课(五)函数零点的命题3角度——求个数

所以k＝0,1，－1.若k＝0，则x＝ π2 或x＝ 32π ；若k＝1，则x＝ 0或x＝2π；若k＝－1，则x＝π，故零点个数为5. 答案：C
2．若偶函数f(x)的图象关于x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝
x，则函数g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数为
()
A．14
B．16
C．18
角度二：已知零点个数求参数范围
2．已知函数f(x)＝
D．20
解析：函数g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数，即为函数y＝f(x)的
图象与y＝lg|x|的图象的交点个数，由偶函数f(x)的图象关于x
＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，作出函数y＝f(x)的图象
与y＝lg|x|的图象如图所示，由图象可知，交点个数为18.
答案：C
3．函数f(x)＝ex＋12x－2的零点个数为________．解析：∵f′(x)＝ex＋12>0，∴f(x)在R 上单调递增，
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] (1)用“直接法”解题由f(x)＝0得xx≤ 2＋0x，－2＝0 或x－＞10＋，ln x＝0，解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点．
(2)用图象法解题作出 g(x)＝12x 与 h(x)＝cos x 的图象，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3，故选 C.
利用图画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中象交点交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的个数的零点
[即时演练]
1．函数f(x)＝sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是 ( )

高考达标检测(十) 函数零点的命题3角度学生版

高考达标检测（十）函数零点的命题3角度——求个数、定区间、求参数学生版一、选择题1．函数f (x )＝x 13－12x 的零点所在的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫14，13 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12．(2018·吉林白山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >1，x 2＋4x ＋2，x ≤1，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为( )A ．0B ．－1，－2C ．－1,0D ．－2，－1,03．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( ) A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于04．(2018·玉溪统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)5．若y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且满足：①f (x )是偶函数；②f (x ＋2)是偶函数；③当0<x ≤2时，f (x )＝log 2 017x ，当x ＝0时，f (x )＝0，则方程f (x )＝－2 017在区间(1,10)内的所有实数根之和为( )A ．0B ．10C ．12D ．246．设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝l n x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<07．(2018·安徽六安模拟)已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－38，18 B.⎝⎛⎭⎫－38，18 C.⎣⎡⎭⎫－38，18 D.⎝⎛⎦⎤－18，38 8．定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x －2|，x ≠2，1，x ＝2，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0恰有5个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝( )A ．1B ．3lg 2C ．2lg 2D ．0 二、填空题9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________． 10．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．11．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则m 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝|x －a |－3x ＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为________．三、解答题13．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值；(3)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1，2)和(2,4)内，求m 的取值范围．1．已知函数f (x )满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1,3]，f (x )＝l n x ，若在区间⎣⎡⎦⎤13，3内，曲线g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎫0，12e C.⎣⎡⎭⎫ln 33，1e D.⎣⎡⎭⎫ln 33，12e2．已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1－3，－1<x ≤0，x 2－3x ＋2，0<x ≤1，若方程g (x )－mx －m ＝0有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪[0,2] B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪[0,2] C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪[0,2) D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪[0,2)。

2022年新高考数学总复习：函数的零点

2022年新高考数学总复习：函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__.3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点二二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．考点一函数的零点考向1确定函数零点所在区间——自主练透例1(1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是(D)A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点(2)(2021·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(C)A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(3)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间(B)A ．(－∞，a )和(a ，b )内B ．(a ，b )和(b ，c )内C ．(b ，c )和(c ，a )内D ．(c ，＋∞)和(－∞，a )内[解析](1)因为f (1)·f (2)·f (4)<0，所以f (1)、f (2)、f (4)中至少有一个小于0.若f (1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f (2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f (4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D ．(2)解法一：利用零点存在性定理因为函数f (x )是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故选C ．解法二：数形结合函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点所在区间转化为g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f (x )的零点在(2,3)内．(3)易知f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )．又a 0，f (b )<0，f (c )>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选B ．名师点拨确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考向2函数零点个数的确定——师生共研例2(1)函数f (x )2＋x －2，x ≤0，1＋ln x ，x >0的零点个数为(B)A ．3B ．2C ．7D ．0(2)(理)已知f (x )x |，x >0，|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数为__5__.(文)(2021·云南昆明一中摸底)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－log 12|x |的零点个数是(D )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个[解析](1)解法一：(直接法)由f (x )＝0得≤0，2＋x －2＝0>0，1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．解法二：(图象法)函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)(理)令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0，解得f (x )＝1或f (x )＝12，作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1或f (x )＝12时，分别有3个和2个交点，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为5.(文)在同一坐标系中作出f (x )＝|x |、g (x )＝log 12|x |的图象，由图可知选D ．名师点拨函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．〔变式训练1〕(1)已知函数f(x)x2－2x，x≤0，1＋1x，x>0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(C)A．0B．1C．2D．3(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x－3，则f(x)的零点个数为(C)A．1B．2C．3D．4(3)(理)(2020·河南名校联考)函数f(x)|log2x|，x>0，2x，x≤0，则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是(A)A．5B．4 C．3D．6(文)(2021·郑州质检)已知函数f(x)12－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为__3__.[解析](1)由已知得y＝f(x)＋3x x2＋x，x≤0，1＋1x＋3x，x>0.令x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.令1＋1x＋3x＝0(x>0)可得3x2＋x＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x2＋x＋1＝0无实根．所以y＝f(x)＋3x的零点个数是2.(2)f(x)＝e x＋x－3在(0，＋∞)上为增函数，f 12＝e12－52<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C．(3)(理)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系．函数g (x )＝3[f (x )]2－8f (x )＋4＝[3f (x )－2][f (x )－2]的零点，即方程f (x )＝23和f (x )＝2的根．函数f (x )2x |，x >0，x ，x ≤0的图象如图所示，由图可得方程f (x )＝23和f (x )＝2共有5个根，即函数g (x )＝3[f (x )]2－8f (x )＋4有5个零点．(文)如图，作出g (x )与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.考向3函数零点的应用——多维探究角度1与零点有关的比较大小例3已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －log 12x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为(D )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 2>x 1>x 3C ．x 1>x 3>x 2D ．x 3>x 2>x 1[解析]由f (x )＝2x ＋x ＝0，g (x )＝x －log 12x ＝0，h (x )＝log 2x －x ＝0，得2x ＝－x ，x ＝log 12x ，log 2x ＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x 与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12x的图象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0,0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2已知函数的零点或方程的根求参数例4(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )x ，x ≤0，x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是(C)A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析]令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点．由图知－a ≤1，∴a ≥－1.名师点拨1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小；(2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·安徽蚌埠月考)已知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为(B )A ．a b >cD ．c >a >b(2)(角度2)(2021·杭州学军中学月考)已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是(D)A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1,0)D ．(0,1][分析](1)解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x 、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可．[解析](1)解法一：∵f (－1)＝3－1－1＝－23，f (0)＝1，∴a －23，log 313＋13＝－23，g (1)＝1，∴b c ＝0，∴a <c 0，a <0，c <0，∴b 最大，选B ．(2)∵当x >0时，f (x )＝2x －1，由f (x )＝0得x ＝12，∴要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有解．又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]．故所求a 的取值范围是(0,1]．考点二二分法及其应用——自主练透例5(1)用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈__(0,0.5)__，第二次应计算__f (0.25)__.(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为(3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__7__.[解析](1)因为f (0)<0，f (0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0,0.5)；第二次应计算f (0.25)．(2)区间(1,2)的中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，则根(3)设至少需要计算n次，由题意知1.5－1.4<0.001，即2n>100.由26＝64,27＝128，知n2n＝7.名师点拨1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

解析：由f(f(x))＝0得f(x)＝1，作出函数 f(x)的图象，如图所示，当a<0,0<a<1 时，直线y＝1与函数f(x)的图象有且只有一个交点，所以实数a的取值范围是 (－∞，0)∪(0,1)，故选B. 答案：B
D．(－1,3)和(4，＋∞) 1 解析：由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a＞0. 2
又∵f(－3)· f(－1)＜0，f(2)· f(4)＜0可得f(x)的零点所在区间为 (－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在区间是(－3，－1)和(2,4)．答案：A
2．函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是
角度二：已知零点个数求参数范围 2．已知函数f(x)＝
x a · e ，x≤0，－ln x，x>0，
其中e为自然对数的底数，
若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为 A．(－∞，0) C．(0,1) B．(－∞，0)∪(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞) ( )
1 2．函数f(x)＝e ＋ x－2的零点个数为________． 2
x
1 解析：∵f′(x)＝e ＋ >0，∴f(x)在R上单调递增， 2
x
3 又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－ >0， 2 ∴函数f(x)在定义域内有零点且只有一个．答案：1
确定零点所在区间
[典例] (2017· 温州十校联考)设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f (x) ( B．(1,2) D．(3,4) )
[方法技巧]
确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)· f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a， b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
的零点所在的区间为 A．(0,1) C．(2,3)
[解析]
法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，
f(2)＝ln 2>0， ∴f(1)· f(2)<0， ∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的， ∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)． [答案] B
B
(2)(2017· 郑州质量预测)已知函数 [0,2π]上的零点个数为 A．1
[解析]
1 f(x)＝2x－cos
x，则 f(x)在 ( )
B．2
作出
1 g(x)＝2x 与
C．3
D．4
h(x)＝cos x 的图象，可以看到其
在[0,2π]上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3，故选 C.
[即时演练] 1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x y
－3 6
－2 m
－1 －4
0 －6
1 －6
2 －4
3 n
4 6
( )
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是 A．(－3，－1)和(2,4) C．(－1,1)和(1,2) B．(－3，－1)和(－1,1)
[即时演练] 1．函数f(x)＝sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是( A．3 C．5 B．4 D．6 )
解析：令f(x)＝0，得πcos x＝kπ(k∈Z)⇒cos x＝k(k∈Z)，所 π 3π 以k＝0,1，－1.若k＝0，则x＝或x＝；若k＝1，则x＝0 2 2 或x＝2π；若k＝－1，则x＝π，故零点个数为5. 答案：C
[答案]
C
[方法技巧]
函Hale Waihona Puke 零点个数的3种判断方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)· f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
角度一：已知零点求参数值 1．(2017· 吉林模拟)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间 (n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
解析：求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2<ln e ＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2. 答案：2
的零点个数为( D．0
)
B．2
C．7
x＞0，或－1＋ln
法一：用“直接法”解题解得x＝－2或x＝e.
x≤0，由f(x)＝0得 2 x ＋x－2＝0
x＝0，
因此函数f(x)共有2个零点．法二：用“图象法”解题函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．[答案]
1 A.2，1
(
)
B．(1,2) D．(3,4)
C．(2,3)
解析：因为f(2)＝log22＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23－1>0，所以 f(2)· f(3)<0，故函数f(x)的零点所在的一个区间为(2,3)．选C. 答案：C
已知函数零点求参数值或范围
已知函数零点求参数值或范围是常考内容，主要考查零点的应用及数形结合思想与等价转化思想的应用. 常见的命题角度有： 1已知零点求参数值； 2已知零点个数求参数范围； 3二次函数的零点应用问题.
高考研究课（五）函数零点的命题3角度——求个数、定区间、求参数
[全国卷5年命题分析]
考点
函数零点的个数
考查频度
未考查
考查角度
函数零点定区间
已知函数零点求参数范围
未考查
5年1考已知零点求参数范围
判断函数零点的个数
[典例] A．3
[解析]
2 x ＋x－2，x≤0， (1)函数 f(x)＝－1＋ln x，x＞0