上海中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试数学试题
2019-2020学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题解析
绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：________题号 一 二 三 四 总分 得分一、单选题1．已知函数()sin()(0,)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．4πB ．2π C ．2π-D ．3π-答案：C由函数()()(0)f x sin x ，ωϕωϕπ=+><的图象可知： T π=，2ω=122f ππϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故选C2．用数学归纳法证明()*11111112324n n N n n n n ++++≥+++∈+时，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ）A ．121k + B ．11211k k -++ C ．112122k k +++ D ．112122k k -++ 答案：D分别写出不等式在n ＝k ，n ＝k +1时的式子，两式相减，即可得到所求结论． 解：当n ＝k 时，有不等式11111112324k k k k k ++++≥++++， 当n ＝k +1时，不等式为11111123212224k k k k ++++≥++++， 将上面两式的左边相减可得，由n ＝k 到n ＝k +1时，不等式左边应添加的项是11111212212122k k k k k +-=-+++++. 故选：D 点评：：本题考查数学归纳法的运用，考查由n ＝k 到n ＝k +1时，不等式的左边的变化，考查运算能力，属于基础题． 3．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．32t =，s的最小值为3π答案：A 解：由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=， 可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.4．对于数列12,,x x ，若使得0n m x ->对一切*n N ∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数()()sin f x x x x R =+∈及数列12,,y y ，且()1006y y y R =∈，若()()1*1122n n n n nn n n f y y y y n N f y y y ππ-+-⎧≥⎪=∈⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则当01y =时，下列结论正确的应为（ ） A ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为2π B ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为3π C ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为4π D ．数列12,,y y 的“准最大项”不存在答案：B首先求得1y ，2y ，3y 的范围，运用导数判断()f x 的单调性，考虑当3n 时，数列{}n y 的单调性，即可得到所求m 的最小值． 解：1006()y y y R =∈，若111()()(*)()()22n n n n n n n f y y y y n N f y y y ππ-+-⎧⎪=∈⎨+-<⎪⎩，当01y =，可得16y =，2y f =（6）16sin 6y =+<，322222()sin()cos (2,3)22222y f y y y y y πππππππ=+-=+++-=+∈， 由()sin f x x x =+的导数为()1cos 0f x x '=+， 可得()f x 在R 上递增，当(2,3)x ππ∈，2sin (3)3x x x f πππ<<+<=， 可得当3n 时，13n n y y π+<<， 可得3m π， 数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为3π，故选：B ． 点评：：本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：判断单调性，以及三角函数的图象和性质，属于难题．二、填空题5．57lim 57n nn nn →∞-=+________.答案：1-由极限公式中分子、分母同时除以7n ，可得5()17lim 5()17n n n →∞-+，又由5lim()07n n →∞=即可求得结果 解：5()1577lim lim 557()17n nnn n n n n →∞→∞--=++，而5lim()07n n →∞= ∴57lim 157n nn nn →∞-=-+ 故答案为：1- 点评：：本题考查了极限，根据一个大于1小于0的数，其指数趋于无穷大时极限为0，将极限公式变形求结果，属于简单题 6．函数()22cos 31y x π=-的最小正周期为________.答案：13由余弦的倍角公式知cos(6)y x π=，结合最小正周期2||T πω=即可求出最小正周期 解：()22cos 31cos(6)y x x ππ=-=由余弦函数的最小正周期2||T πω=知：2163T ππ== 故答案为：13点评：：本题考查了已知三角函数求最小正周期，首先根据三角恒等变换中的余弦倍角公式化简，再结合三角函数的周期公式求最小正周期7．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边. 若222b c a +-=，则A ∠=________答案：4π∵222b c a +-=∴根据余弦定理可得222cos 222b c a A bc bc +-===∵(0,)A π∈ ∴4A π∠=故答案为4π.8．数列{}n a 的前n 项和23nn S =+，则其通项公式n a =________.答案：15,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩当1n =时，115a =S =；当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=；得到答案.解：当1n =时，11235a =S =+=；当2n ≥时，11123232n n n n n n a S S ---=-=+--=；故15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩故答案为：15,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩点评：：本题考查了数列的通项公式，没有考虑1a 的情况是容易发生的错误. 9．求和：111112123123n++++=+++++++___________ ．答案：21nn +易知该数列的通项12112()123(1)1n a nn n n n ===-++++++，故该数列的前n 项和111112123123n ++++++++++为1111111122[(1)()()()]2[1]22334111nn n n n -+-+-++-=-=+++ 10．已知数列{}n a 的前n 项和4nn S t =+，若{}n a 为等比数列，则t =________. 答案：1-由等比数列的前n 项和4nn S t =+，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得12484412t ==+，由此可得结果． 解：由等比数列的前n 项和4nn S t =+，可得首项114a S t ==+，()221161612a S S t t =-=+-+=， ()332641648a S S t t =-=+-+=，再由等比数列的定义可得12484412t ==+，解得t =−1，经检验符合题意. 故答案为：−1. 点评：：本题主要考查等比数列的定义，考查等比数列的项与前n 项和的关系，属于基础题.11．设无穷数列{}n a 的公比为q ，若()245lim n n a a a a →∞=+++，则q =________.答案：12推导出3111(1)(1)lim[]11n n a q a q a q q q→∞--=---，从而||1q <，31111q q q q -=---，由此能求出结果． 解：无穷数列{n a } 的公比为q ，2lim n a →∞= 45(...n a a a +++ )， 3111(1)(1)lim[]11n n a q a q a q q q →∞--∴=---，||1q ∴<，31111q q q q-=---， 由0q ≠，整理，得210q q +-=，由||1q <．． 点评：：本题考查等比数列的公比的求法，考查数列极限以及等比数列的求和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2018＝2，则2017201912a a +的最小值为________. 答案：4先通过均值不等式求出2017201912a a +≥再由等比数列等比中项即可求解。
上海市徐汇区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(2020.7)+Word版含答案
12．①②
二、选择题 13．C 14．D
15．B 16．C
三、解答题
17．（1）10；（2） Sn 2n2 ．
18．（1）
0,
6
；（2） 0
2
2 3
8 3
．
19．（1）
bn 1
an 1
2
1 2
an
1 2
1 2
an
1
1
，
bn an 2
an 2
an 2 2
∴{bn } 是首项为
1，公比为
参考答案
一、填空题 1．2 2．3 3． 1
4． [2, 0]
5． 1 2
6．10 7．2
4
8． n 2 n 2 2
9． 8 5
10． (, 3) (3, )
【第 12 题解析】数列{an } 、{bn } 的公共项恰为 an ，
11．
0,
1 2
1 2
,1
∴ S100 (b1 b2 b106 ) (a1 a2 a6 ) 11388 ．
要非充分条件，下列判断正确的是（ ）
A．甲和乙均为真命题
B．甲和乙均为假命题
C．甲为假命题，乙为真命题
D．甲为真命题，乙为假命题
三、解答题 17．设等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 2 ， ak 38 ， Sk 200 ． （1）求常数 k 的值； （2）求{an } 的前 n 项和 Sn ．
20．（1）联结 B D ，则在△B C D 中 B D 200, B D C 45
BD 由
BC
，得： B C 200sin 45 200 6 163
sin B C D sin B D C
上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．1-和4-的等比中项为__________．2．化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．3．若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的局部图像如右，则ω=_______．4．若三角式等式2cos 2cos cos x a b x c x =++（,,a b c 为常数），对于任意x R ∈都成立，则a b c -+=______． 5．lim 1n n r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________． 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量,OA OC 不平行），A C B 、、共线，则2020S =_________．7．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 8．向量,,a b c 在正方形网格中的位置，如图所示，若,(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ=_____．9．{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0,n d S ≠为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8S =_______．10．如图是由6个宽、高分别为11,b a ；22,b a ；33,b a ；…；66,b a 的矩形在第一象限紧挨拼成()1234560a a a a a a >>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b =+++．若记121,2,,,6i i T b b b i =+++=，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X =-+-++-+形式，其中代数式X =________．（用题目中元素,,i i i a b T 的最简形式表达）11．已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,02()121,2x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则不等式1(1)2f x -的解集为__________． 12．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A ．58⎛⎫⎪⎝⎭ B ．31⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．57⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D ．51⎛⎫ ⎪-⎝⎭14．已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．12 C ．13 D ．5615．等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}12na a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >16．根据下面一组等式：11s =，2235s =+=，345615s =++=，47891034s =+++=，5111213141565s =++++=，6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写岀必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在斜三角形ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()b a cA A ac A C --=+， （1）求角A 大小；（2）若sin cos B C>，求角C 的取值范围． 19．（本题满分14分）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈， （1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知12231113n n T x x x x x x ++++=+++，求n ； （3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点112A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(,)ABh k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x=上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．（3）设(,),(,)A a a B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．【答案】：2± 2．【答案】： 3．【答案】：44．【答案】：1 5．【答案】：12r >- 6．【答案】：1010 7．【答案】：4 8．【答案】：4 9．【答案】：6410．【答案】：66X a T =【解析】：()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T =+++=+-++- ()()()12123256566a a T a a T a a T a T =-+-++-+ 故66X a T =11．【答案】：1247,,4334⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【解析】：13|1|34x ≤-≤，解1243x ≤≤或4734x ≤≤，故不等式1(1)2f x -的解集为1247,,4334⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12．【答案】：0【解析】：由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得123111||||||||||||0222a HD HA eb HE HB ec HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得||||||||HD HA HE HB =，同理可得||||||||HF HC HE HB =所以||||||||||||HD HA HE HB HF HC ==所以1230ae be ce ++=二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【答案】：A14．【答案】：D15．【答案】：C16．【答案】：A【解析】：易得第(1)n -行最后一项为2(1(1))(1)22n n n n +---=，第n 行最后一项为2(1)22n n n n ++= 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n +，项数为n 的等差数列，故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭== 所以32214641n S n n n -=-+-，故选A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【答案】：（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【答案】：（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．（本题满分14分）【答案】：至少运送7趟，最少行驶14000米20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）【答案】：（1）*n x n N =∈； （2）48； （3）略．21．【答案】：（1）(2,1)； （2）(cos sin ,cos sin )h k k h θθθθ-+；（3）若2m n a +=，则,2k k Z πθπ=+∈，若2,tan ,arctan ,22m n m n m n a k k Z m n a m n a θθπ--+≠==+∈+-+-。
2019-2020学年上海市徐汇区高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市徐汇区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．函数f（x）＝sinπx的最小正周期是．2．计算：＝．3．与两数的等比中项是．4．函数f（x）＝arcsin x+1的定义域为5．若tanα＝3，则tan（﹣α）＝．6．若数列{a n}满足a n+1＝2a n（n∈N*），且a1＝2，a m＝1024，则m＝．7．已知＝4，则tanα＝．8．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝n（n∈N*），且a1＝1，则数列{a n}的通项公式a n＝．9．已如扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为．10．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n+1+k（n∈N*），且{a n}不是等比数列，则常数k的取值范围是．11．设无穷等比数列{a n}的各项和为，则首项a1的取值范围是．12．已知数列{a n}、{b n}的通项公式分别为a n＝3•2n，b n＝2n+4（n∈N*），取出数列{a n}、{b n}中的不同的项从小到大排列组成一个新的数列{c n}，设数列{c n}的前n项和为S n，则S100＝．二、选择题13．已知函数f（x）＝sin（x+φ）的图象关于y轴对称，则实数φ的取值可能是（）A．B．C．D．π14．要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位15．已知数列a n＝n•sin（n∈N*），则a1+a2+a3+…+a100等于（）A．﹣48B．﹣50C．﹣52D．﹣5416．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，对于以下两个命题：（甲）“q＞1”是“{a n}为递增数列”的充分非必要条件；（乙）“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要非充分条件，下列判断正确的是（）A．甲和乙均为真命题B．甲和乙均为假命题C．甲为假命题，乙为真命题D．甲为真命题，乙为假命题三、解答题17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，a k＝38，S k＝200．（1）求常数k的值；（2）求{a n}的前n项和S n．18．已知函数．（1）若函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[0，2π]上的所有零点．19．已知数列{a n}满足a n+1＝a n+1（n∈N*），a1＝3，b n＝a n﹣2（n∈N*）．（1）证明：数列{b n}是等比数列；（2）若c n＝﹣n•b n（n∈N*），求数列{c n}中的最小项．20．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．经测量，边界AB与AD的长都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）若∠ADC＝105°，求BC的长（结果精确到米）；（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）．21．对于数列{a n}，设数列{a n}的前n项和为S n，若存在正整数k，使得恰好为数列{a n}的一项，则称数列{a n}为“P（k）数列”．（1）已知数列1，2，3，x为“P（2）数到”，求实数x的值；（2）已知数列{a n}的通项公式为a n＝，试问数列{a n}是否是“P（k）数列”？若是，求出所有满足条件的正整数k；若不是，请说明理由．参考答案一、填空题1．函数f（x）＝sinπx的最小正周期是2．【分析】根据正弦函数的周期公式：，可以求出函数的最小正周期解：根据正弦函数的周期公式有，故答案为2．2．计算：＝3．【分析】由数列的极限的运算法则和常见数列的极限公式，计算可得所求值．解：＝＝＝＝3，故答案为：3．3．与两数的等比中项是±1．【分析】要求两数的等比中项，我们根据等比中项的定义，代入运算即可求得答案．解：设A为与两数的等比中项则A2＝（）•（）＝1故A＝±1故答案为：±14．函数f（x）＝arcsin x+1的定义域为[﹣1，1]【分析】根据反函数的定义及正弦函数的值域即可求出f（x）＝arcsin x+1的定义域．解：y＝sin x的值域为[﹣1，1]；∴f（x）＝arcsin x+1的定义域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．5．若tanα＝3，则tan（﹣α）＝﹣．【分析】由题意利用两角差的正切公式，求得tan（﹣α）的值．解：∵tanα＝3，则tan（﹣α）＝＝＝﹣，故答案为：﹣．6．若数列{a n}满足a n+1＝2a n（n∈N*），且a1＝2，a m＝1024，则m＝10．【分析】直接根据等比数列的通项公式即可求出．解：数列{a n}满足a n+1＝2a n（n∈N*），则数列{a n}为公比为2的等比数列，∴a m＝2×2m﹣1＝1024，解得m＝10，故答案为：10．7．已知＝4，则tanα＝2．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．解：∵＝＝4，∴tanα＝2．故答案为：2．8．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝n（n∈N*），且a1＝1，则数列{a n}的通项公式a n＝．【分析】利用累加求和法直接求解．解：∵数列{a n}满足a n+1﹣a n＝n（n∈N*），且a1＝1，∴a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（a n﹣a n﹣1）＝1+1+2+3+4+…+n﹣1＝1+＝．∴数列{a n}的通项公式a n＝．故答案为：．9．已如扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为．【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式计算即可．解：扇形的圆心角为，弧长为，根据弧长公式可得l＝αR，则R＝＝＝4，根据扇形面积公式，S＝lR＝×4×＝，故答案为：．10．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n+1+k（n∈N*），且{a n}不是等比数列，则常数k的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）．【分析】根据数列的递推公式可得a n＝2×3n，n≥2时，若{a n}不是等比数列，则9+k≠6，即k≠﹣3．解：∵S n＝3n+1+k，①当n＝1时，a1＝9+k，当n≥2时，∴S n﹣1＝3n+k，②①﹣②可得a n＝2×3n，此时当n＝1时，a1＝6，若{a n}不是等比数列，则9+k≠6，即k≠﹣3，∴常数k的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）．11．设无穷等比数列{a n}的各项和为，则首项a1的取值范围是．【分析】由已知可得，得0＜|q|＜1，＝，把首项用公比表示，再由公比q的范围求得首项a1的取值范围．解：∵无穷等比数列{a n}的各项和为，即，∴0＜|q|＜1，＝，∴，当﹣1＜q＜0时，∈（）；当0＜q＜1时，∈（0，）．则首项a1的取值范围是．故答案为：．12．已知数列{a n}、{b n}的通项公式分别为a n＝3•2n，b n＝2n+4（n∈N*），取出数列{a n}、{b n}中的不同的项从小到大排列组成一个新的数列{c n}，设数列{c n}的前n项和为S n，则S100＝11388．【分析】由题可知，数列{a n}、{b n}的公共项恰为a n，因此S100＝（b1+b2+…+b106）﹣（a1+a2+…+a6），再结合等差数列和等比数列的求和公式即可得解．解：数列{a n}表示6，12，24，48，……，相当于是6的倍数，而数列{b n}表示所有的偶数，∴数列{a n}、{b n}的公共项恰为a n，∴S100＝（b1+b2+…+b106）﹣（a1+a2+…+a6）＝﹣3×（21+22+ (26)＝（6+216）×53﹣3×＝11766﹣3×2×（26﹣1）＝11388．故答案为：11388．二、选择题13．已知函数f（x）＝sin（x+φ）的图象关于y轴对称，则实数φ的取值可能是（）A．B．C．D．π【分析】由题意根据正弦函数的对称性即可求出φ的一个值．解：y＝sin（x+φ）的图象关于y轴对称，则φ＝kπ+，k∈Z，当k＝0时，φ的一个值是．故选：C．14．要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：D．15．已知数列a n＝n•sin（n∈N*），则a1+a2+a3+…+a100等于（）A．﹣48B．﹣50C．﹣52D．﹣54【分析】先根据正弦函数的周期性对a1+a2+a3+…+a100进行化简运算，再采用分组求和法即可得解．解：a1+a2+a3+…+a100＝1•sin+2•sinπ+3•sin+…+98•sin+99•sin+100•sin＝（1﹣3）+（5﹣7）+…+（97﹣99）＝﹣2×25＝﹣50．故选：B．16．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，对于以下两个命题：（甲）“q＞1”是“{a n}为递增数列”的充分非必要条件；（乙）“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要非充分条件，下列判断正确的是（）A．甲和乙均为真命题B．甲和乙均为假命题C．甲为假命题，乙为真命题D．甲为真命题，乙为假命题【分析】利用等比数列的通项公式及不等式的性质判断出前者成立后者一定成立；反之后者成立推不出前者成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解：设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q＞1”成立，则a n+1＝a1q n＞a n＝a1q n﹣1即“对于任意正自然数n，都有a n+1＞a n”成立，反之若“对于任意正自然数n，都有a n+1＞a n”成立，即a n+1＝a1q n＞a n＝a1q n﹣1成立，即a1q n﹣1（q﹣1）＞0∴q＞1，∴“q＞1”是“{a n}为递增数列”的充要条件，故甲为假命题，由a2n﹣1+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＝a1q2n﹣2（1+q）＜0，∵a1＞0，∴1+q＜0，∴q＜﹣1，∴q＜0为q＜﹣1的必要而不充分条件，∴“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件．故B为真命题，故选：C．三、解答题17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，a k＝38，S k＝200．（1）求常数k的值；（2）求{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接根据求和公式即可求出k，（2）设公差为d，则a10＝a1+9d，解得d，再根据求和公式即可求出．解：（1）S k＝＝＝200，解得k＝10，（2）设公差为d，则a10＝a1+9d，可得38＝2+9d，解得d＝4，∴S n＝2n+×4＝2n2．18．已知函数．（1）若函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[0，2π]上的所有零点．【分析】（1）求出函数f（x）的单调增区间，结合函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，即可求得实数a的取值范围；（2）由f（x）＝0，求解x在[0，2π]上的值，即可得到函数f（x）在区间[0，2π]上的所有零点．解：（1）由，得，k∈Z．取k＝0，可得，∵函数在区间[0，a]上单调递增，∴实数a的取值范围是；（2）由f（x）＝sin（x+）﹣，得sin（x+）＝，则x+＝或，k∈Z．又x∈[0，2π]，∴x＝0，，2π．即函数f（x）在区间[0，2π]上的所有零点是0，，2π．19．已知数列{a n}满足a n+1＝a n+1（n∈N*），a1＝3，b n＝a n﹣2（n∈N*）．（1）证明：数列{b n}是等比数列；（2）若c n＝﹣n•b n（n∈N*），求数列{c n}中的最小项．【分析】（1）利用等比数列的定义，转化求解即可．（2）化简数列的通项公式，判断数列后项与前项的比值，然后求解数列{c n}中的最小项．解：（1）证明：，∴{b n}是首项为1，公比为的等比数列，；（2），则，①n＝1时，，c1＝c2，②n≥2时，，c n+1＞c n，∴c1＝c2＜c3＜c4＜…，即（c n）min＝c1＝c2＝﹣1．数列{c n}中的最小项为：第一项与第二项．20．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．经测量，边界AB与AD的长都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）若∠ADC＝105°，求BC的长（结果精确到米）；（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）．【分析】（1）直接根据正弦定理即可求出；（2）方法一：设，利用三角函数的变换和三角函数的性质即可求出，方法二：设BC＝x千米，CD＝y千米，（x，y∈R+），利用余弦定理和基本不等式即可求出．解：（1）连接BD，则在△BCD中BD＝200，∠BDC＝45°，由，得：，所以BC的长约为163米．（2）方法一：设，则在△BCD中，由，得：，所以，所以当时，BC+CD取得最大值，此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为千米，约为631米，方法二：设BC＝x千米，CD＝y千米，（x，y∈R+），在△BCD中，由，得x2+y2+xy﹣40000＝0所以（x+y）2﹣40000＝xy又由x+y≥2，得xy≤（x+y）2，当且仅当x＝y时等号成立所（x+y）2﹣40000≤（x+y）2，故x+y≤，所以围成该施工区域所需的板材长度最长为千米，约为631米21．对于数列{a n}，设数列{a n}的前n项和为S n，若存在正整数k，使得恰好为数列{a n}的一项，则称数列{a n}为“P（k）数列”．（1）已知数列1，2，3，x为“P（2）数到”，求实数x的值；（2）已知数列{a n}的通项公式为a n＝，试问数列{a n}是否是“P（k）数列”？若是，求出所有满足条件的正整数k；若不是，请说明理由．【分析】（1）为新定义题，由“P（2）数列”得恰为数列中一项，S4＝6+x，S3＝6，即可求x（2）根据题意先将给表示出来，得到比值小于等于三，而易知数列{a n}是一个正向数列，奇数项和偶数项分别都是递增数列，所以若为{a n}中的某一项只能为a1，a2，a3，依次验证即可．【解答】（1）由题意，为数列{a n}中的项，①，②，③，④，即实数x的值为；（2）＝，，，若为{a n}中的某一项只能为a1，a2，a3，a1＝1，a2＝2，a3＝3，其中①时，即3﹣＝1，即3k﹣1＝0无解；②，即3﹣＝2，即3k﹣1＝k2﹣1得k＝2；③＝3时，即k2﹣1＝0，又因为k为正整数，得k＝1；综上所述，k＝1或k＝2．。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角 中， ，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺 ＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列 ；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若 「二、 ，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为 门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打 中， 若且的前•项和有最小值， 则使得 |的最小 值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若 灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、 解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「 「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的 内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人 、 和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知 一万件，• 一 万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为 ，公比为，亩戏口 (1 )若 成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下 自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和 为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心 十 M 二& 3,1~-二心 二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时 试题分析：严 响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。
上海市川沙中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市川沙中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题 1.函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =______.【答案】π 【解析】 函数y =3sin （2x +π3）的最小正周期是2π2=π，故答案为：π．2.若扇形圆心角为120o ，扇形面积为43π，则扇形半径为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为2π3，设扇形半径为r ，则212π4π,2233r r ⨯==. 【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制的转化，考查扇形面积公式212S r α=⋅⋅，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，已知12a =，24a =-，则4a =________. 【答案】-16 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用通项公式求出即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，得216d a a =-=-，则()41323616a a d =+=+⨯-=-.故答案为：16-【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.4.若数列{}n a 满足：11a =，12()n n a a n N *+=∈，则前8项的和8S =_________.【答案】255 【解析】 【分析】根据已知判断数列n a 为等比数列，由此求得其前8项和.【详解】由于12n n a a +=，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，故()8811225512S ⨯-==-.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.5.已知3sin(),(,)52ππααπ-=∈，则sin 2α=_________. 【答案】2425- 【解析】 【分析】根据诱导公式求得sin α的值，根据同角三角函数的基本关系式求得cos α的值，根据二倍角公式求得sin2α的值.【详解】依题意()3sin πsin 5αα-==，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==-，所以3424sin 22sin cos 25525αα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数基本关系式，二倍角公式，属于基础题.6.函数sin()y x ϕ=+，[0,]ϕπ∈为偶函数，则ϕ=_______. 【答案】2π【解析】 【分析】根据诱导公式以及ϕ的取值范围，求得ϕ的值.【详解】根据诱导公式可知，ϕ是π2的奇数倍，而[]0,ϕπ∈，所以π2ϕ=.【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查三角函数的奇偶性，属于基础题.7.在ABC ∆中，60,16A AC ︒==,其面积S =，则BC长为________. 【答案】49 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求得AB ，然后根据余弦定理求得BC . 【详解】由三角形面积公式得1sin 602AB AC ⨯⨯⨯=o ,解得55AB =，由余弦定理得49BC ===. 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8.设n S 表示等比数列{}n a ()*n N ∈的前n 项和，已知1053S S =，则155SS =______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式化简已知条件，求得5q 的值，由此求得所求表达式的值.【详解】由于数列为等比数列，故10551055113,21S q q q S q -==+==-.15315551127112S q S q --===--. 【点睛】本小题主要考查数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.9.数列{}n a 中,111,32,n n a a a +==+则通项n a =____________. 【答案】1231n -⨯- 【解析】因为数列的首项为1，递推关系式两边加1，得到等比数列{1}n a +，其公比为3，首项为2，因此可知1113?23?21n n n n a a --+=∴=-。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
上海市北虹高级中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
题
18.已知等比数列an 为递增数列，且 a52 a10, 2a1 a3 5a2. （1）求an 的通项公式；
（2）令 cn 1 (1)n an ，不等式 ck 2019(1 k 100, k N *) 的解集为 M ，求所有
ak k M 的和.
【答案】（1） an
2n
（2）
2101 211 3
19.设数列an 和数列bn 满足： an1 2an n2 4n 1, bn an n2 2n(n N *)
（1）若 a1 2 ，求 b1 ；
（2）求证：bn 为等比数列，并求出bn 的通项公式
（3）在（2）的条件下，对于正整数 2, m, k (2 m k ) ，若 5b2, bm, bk 这三项经适当排序后能
【答案】0, 2
【解析】 【分析】 利用反函数定义域直接求解即可
【详解】由题 1 x 1 10 x 2
故答案为0, 2
【点睛】本题考查反三角函数的定义域问题，准确计算是关键，是基础题
3.若函数 f x sin x , 0, 是偶函数，则 等于______
【答案】
2
【解析】
【分析】
利用偶函数的性质直接求解即可
【答案】（1） T
，递增区间：
k
3
, k
6
,
k
Z
（2）零点是
2
,
5 6
【解析】
【分析】
（1）由二倍角公式化简得
f
x
2
sin
2x
6
1
，再求单调性和周期即可（2）解方程求
解即可
【详解】（1）
由题 f x
3 sin 2x
1 cos 2x
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】 因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项． 【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】 由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】 由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________． 【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】 因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列， 又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】 解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =， 则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________． 【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”； 第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===． 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=． 【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】 （1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭； （2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=． 【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =． （1）若a ={}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数）， 则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。
(3份试卷汇总)2019-2020学年上海市松江区高一数学下学期期末学业水平测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线:30l x y n -+=与圆22240x y x y ++-=交于,A B 两点，,A B 关于直线30x y m ++=对称，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．3-D ．32．与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)1x y -+-=D ．22(1)(1)1x y ++-=3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10305,10S S ==,则40S =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．104．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．185．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80B ．40C ．60D ．206．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出2人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．237．定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于180︒的四边形，在平面凸四边形ABCD 中，30A ∠=︒，135B ∠=︒，3AB =2AD =，设CD t =，则t 的取值范围是（ ）A ．33⎡⎤⎣⎦B ．)33⎡⎣C ．2312⎤⎥⎣⎦ D ．231⎫⎪⎪⎣⎭8．如果将直角三角形的三边都增加1个单位长度，那么新三角形( ) A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定9．要得到函数sin23y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin2y x=的图象（）A．向右平移6π个单位B．向右平移3π个单位C．向左平移3π个单位D．向左平移6π个单位10．设函数()122,11,1x xf xlog x x-⎧≤=⎨->⎩，则()()4f f=（）A．2 B．4 C．8 D．1611．如图，'''A B C∆是ABC∆的直观图，其中'''',''//A B A C A B x=轴，''//A C y轴，那么ABC∆是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形12．角α的终边经过点3,221⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，那么tanα的值为（）A．12B．3-C．33-D．3-二、填空题：本题共4小题13．已知函数()()y f x x R=∈的图象如图所示，则不等式()0xf x<的解集为______．14．实数2和8的等比中项是__________．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，点E是棱1CC上的一个动点，平面1BED交棱1AA于点F．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．16．在锐角△ABC 中，45A =︒，AC =BC =B =________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市建平中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析
上海市建平中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.若cos α=，则cos2=α______. 【答案】12【解析】 【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..【详解】因为cos α=， 所以221cos 22cos 12()122αα=-=⨯--=. 故答案为：12【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力. 2.已知1sin 3x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos x =______.【答案】3- 【解析】 【分析】根据三角函数的符号以及三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】因为,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos 0x <，根据三角函数的基本关系式，可得cos 3x ==-.故答案为：3-.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及三角函数的符号是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 3.已知{}n a 是等比数列，首项是3，公比是12，则前4项和为______. 【答案】458【解析】 【分析】由等比数列的求和公式求解即可.【详解】由等比数列的求和公式得4413[1()]115452=6(1)611616812S -=-=⨯=-. 故答案为：458.【点睛】本题主要考查等比数列的求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 4.若tan 3θ=，则sin 2θ=__________. 【答案】35【解析】由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，得22222222sin cos 2sin cos 2tan cos sin 22sin cos cos sin cos sin 1tan cos θθθθθθθθθθθθθθθ====+++，又因为tan 3θ=，则222tan 2331tan 135θθ⨯==++，即3sin 25θ=. 5.已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为______.【答案】253π【解析】 【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为23π，半径为5，所以扇形的弧长210533l ππ=⨯=，所以面积11102552233S lr ππ==⨯⨯=.故答案为：253π. 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，则7S =______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出7s . 【详解】解：()1747727722a a a S +⨯⨯===.故答案为：7.【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，属于基础题.7.已知函数()2sin 3cos f x x x =+，1x 、2x R ∈，则()()12f x f x -的最大值是______.【答案】【解析】 【分析】利用辅助角公式把函数()f x的解析式写成正弦型函数解析式形式，然后利用函数()f x 的最值进行求解即可.【详解】因为()2sin 3cos )f x x x x ϕ=+=+（其中3tan 2ϕ=）， 所以max min ()()f x f x == 因为1x 、2x R ∈，所以()()12f x f x -的最大值为：1max 2min ()()(f x f x -==故答案为：【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了正弦型函数的最值应用，考查了数学运算能力.8.在数列{}n a 中，2a 5=，()nn 1n a a 2n N*+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______．【答案】n 21+ 【解析】 【分析】由递推关系累加求和即可求解.【详解】由题意可得：n 1n n 1n 2n 1n 221a a 2a a 2a a 2-----⎧-=⎪-=⎪⎨⋯⎪⎪-=⎩，利用累加法， 得：()n 1nn 1221a a 2221---==--，1a 3=，于是：nn a 21=+．故答案为n 21+【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题.9.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.【答案】20 【解析】 【分析】先由条件求出1,a d ，算出n S ，然后利用二次函数的知识求出即可 【详解】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********d a a a a d a a ++++==++即1235a d +=，①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=即1333a d +=，②由①②联立得139,2a d ==-所以()()22139(2)40204002n S n n n n n n -=+⨯-=-+=--+故当20n =时，n S 取得最大值400 故答案：20【点睛】等差数列的n S 是关于n 的二次函数，但要注意n 只能取正整数. 10.函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______.①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减； 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先由图像的平移变换推导出()f x 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确． 【详解】解：函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位后与函数()f x 的图象重合， ()sin 2sin 2333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的一个周期为2π-，故①正确； ()y f x =的对称轴满足：232x k ππ-=π+，k Z ∈， ∴当2k =-时，()y f x =的图象关于7πx 12=-对称，故②正确； 由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，23x k ππ-=得26k x ππ=+， 76x π∴=是()f x 的一个零点，故③正确；当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故④错误． 故答案：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．11.在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()21a b b +=，1c =，b -的取值范围是______.【答案】( 【解析】 【分析】根据()21a b b +=，结合余弦定理可得6C π=，b -化简成关于A 的三角函数表达式，再根据锐角ABC 求得A 的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可.【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b c C ab +-===.又锐角ABC ，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=--=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又锐角ABC ，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，即663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：(【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.12.已知数列{}n a 满足14a =，()*1222,nn n a a n n N -=+≥∈，若不等式()2235nn n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是______. 【答案】37(,)8-∞ 【解析】 【分析】由数列递推公式，求得(1)2n n a n =+⋅，把不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，转化为2352n n λ-<-对任意*n N ∈恒成立，设()232nn f n -=，求得()f n 的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足14a =，()*1222,nn n a a n n N -=+≥∈，则11122n n n n a a --=+（常数），所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1422=为首项，以1为公差的等差数列， 所以2(1)112n na n n =+-⨯=+，整理得(1)2nn a n =+⋅， 不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，即223235(1)22n nn n n n λ---->=+⋅对任意*n N ∈恒成立， 即2352nn λ-<-对任意*n N ∈恒成立， 设()232n n f n -=，则()()112(1)323251222n n n n n n f n f n +++---++-=-=，当1,2n =时，()()10f n f n +->，此时数列为递增数列；当3,n n N +≥∈时，()()10f n f n +-<，此时数列为递减数列，又由()()132,348f f ==，所以337588λ<-=，即实数λ的取值范围是37(,)8-∞. 故答案为：37(,)8-∞. 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及恒成立问题的求解和数列的单调性的判定及应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 二、选择题 13.函数2sin 6xy π=，x ∈R 的最小正周期是（ ）A. 12B. 6C.12πD.6π 【答案】A 【解析】 【分析】直接应用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可.【详解】函数2sin6xy π=的最小正周期为：2126T ππ==.故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期公式的应用，属于基础题.14.用数学归纳法证明等式，()123...221n n n ++++=+时，由n k =到1n k =+时，等式左边应添加的项是（ ） A. 21k +B. 22k +C. ()()2122k k +++D. ()()12...2k k k +++++【答案】C 【解析】试题分析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n k =到1n k =+时，等式左边增加了()()()()()1232212112322122k k k k k k ⎡⎤++++++++-++++=+++⎣⎦，故选C.考点：数学归纳法.15.已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>在[]0,π上由两个零点，则ω的取值范围为（ ） A. 1117,66⎛⎫⎪⎝⎭B. 1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 58,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】 先化简()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再令t =π6x ω+，求出t 范围，根据2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析，求得ω的取值范围.【详解】()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[0,]x π∈，又0>ω，则可令t =π[,]666x ππωωπ+∈+， 又函数2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析：则236πωπππ≤+<，解得ω∈1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题. 16.有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报两个数字2、3，接下来C 报三个数字4、5、6，然后轮到A 报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2020个数字为（ ） A. 5979 B. 5980 C. 5981 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析出A 第n 次报数的个数，得到A 第n 次报完数后总共报数的个数，计算出A 是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当A 第0n 次报数时，3人总的报数次数m ， 再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出A 报出的第2020个数字.【详解】由题可得A 第n *()n N ∈次报数的个数为32n -，则A 第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而A 第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当A 第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==，即A 报出的第2035个数字为5995， 故A 报出的第2020个数字为5980. 故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，主要考查了学生的观察分析能力，逻辑推理能力，难度较大. 三、解答题 17.（1）解方程：sin cos 1sin cos 2x x x x +=-；（2）用数学归纳法证明：()*51nn N-∈能被4整除；【答案】（1）arctan3()x k k Z π=-∈（2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式中的商关系，结合反正切函数进行求解即可；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可. 【详解】（1）sin cos 12(sin cos )sin cos sin 3cos tan 3sin cos 2x x x x x x x x x x x +=⇒+=-⇒=-⇒=--，所以arctan(3)arctan3()x k k k Z ππ=+-=-∈；（2）当1n =时，1514-=，显然4能被4整除，故当1n =时，命题成立； 假设当()n k k N *=∈时，命题成立，即51k -能被4整除， 当1()n k k N *=+∈时，15155545(51)4k k k +-=⨯-+=-+，因为51k -能被4整除，所以5(51)k-也能被4整除，因此5(51)4k-+也能被4整除，所以当1n k =+时，命题成立， 因此对于*n N ∈，51n -能被4整除.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式中的商关系的应用，考查了反正切函数的应用，考查了用数学归纳法证明整除性问题，考查了推理论证能力和数学运算能力. 18.已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()41n n na cb +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）31n a n =-，21()2n n b -=；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用公式11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩，求出数列{}n a 的通项公式；设出等比数列{}n b 的公比，根据等比数列的通项公式结合已知求出公比，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）结合（1）求出数列{}n c 的通项公式，最后利用错位相减法，结合等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】（1）当2,n n N *≥∈时，2213131[(1)(1)]312222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-， 当1n =时，2113111222a S ==⨯+⨯=，也适合上式，故31n a n =-；设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可知：0,0n q b >>，因为12b =，所以由22333122222b b q q q +=⇒+=⇒=或32q =-， 因为0q >，所以12q =，因此1121112()()22n n n n q b b ---==⨯=，所以31n a n =-，21()2n n b -=；（2）由（1）可知：31n a n =-，21()2n n b -=，所以()2414321()2n nn n na nc n b -+⋅===⋅， 因此12311231122232(1)22(1)n n n n n T c c c c c n n --=+++++=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，23412122232(1)22(2)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，(1)(2)-得，1231112(12)222222(1)2212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，所以1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查了已知数列前n 项和求数列通项公式，考查了等比数列通项公式的应用，考查了错位相减法的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 19.如图，学校门口有一块扇形空地OMN ，已知半径为常数R ，2MON π∠=，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为体温检测使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN .取AB 的中点为E ，联结OE ，交线段CD 于点F .记AOB θ∠=，（1）用θ表示线段AB 和AD 的长度；（2）当θ取何值时，矩形ABCD 的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1) 2sin2AB R θ=，2sin 42AD R πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)当4πθ=时，面积最大为()221R -【解析】 【分析】(1)由题目已知可求出OE AB ⊥且2AOE BOE θ∠=∠=，在直角三角形中，结合三角函数值可求出2sin2AB R θ=；由题目已知可求出4MOE NOE π∠=∠=，进而可知sin2OF R θ=，结合cos2OE R θ=即可求出AD 的长度.(2)由(1)可求出面积的表达式，结合二倍角公式以及辅助角公式可求222sin 4S R R πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，结合0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可求出面积的最大值.【详解】(1)解：因为E 为AB 的中点，OA OB R ==，所以OE AB ⊥且2AOE BOE θ∠=∠=，所以22sin 2sin2AB AE AO AOE R θ==⋅⋅∠=，cos cos2OE AO AOE R θ=⋅∠=，因为//MN AB ，所以OE MN ⊥，即4MOE NOE π∠=∠=，则sin2OF DF AE R θ===，所以cossinsin 2242AD OE OF R R θθπθ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭. (2)由(1)知，矩形ABCD的面积2sinsin 242S AB AD R θπθ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭222221cos 2sin cos 2sin sin 2sin 22224R R R θθθθπθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由题意知，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以当4πθ=时，)222max 1S R R =-=.【点睛】本题考查了三角函数值的定义的应用，考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了正弦型函数最值的求解.20.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，q 为非零正常数，数列(){}lg n a 是公差为lg q的等差数列.（1）求数列{}n S 的通项公式；（2）当1q ≠时，求证：数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；（3）当1q ≠时，是否存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列？若存在，求出c 的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）,11,0,11n n n q S q q q q=⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩；（2）证明过程见解析；（3）正常数11c q =-，使得(){}lg nc S -为等差数列，且01q <<.【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式，结合对数的运算性质求出数列{}n a 的通项公式，最后根据q 是否为1进行分类讨论，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可；（2）结合（1）写出数列的通项公式，利用作差比较法，结合指数列函数的单调性进行证明即可；（3）假设存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列，根据等差数列的通项公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】（1）因为数列(){}lg n a 是公差为lg q 的等差数列，所以()11lg lg()(1)lg lg1(1)lg (1)lg n n n a a n q n q n q a q-=+-=+-=-⇒=，因为11nn n n a q q a q+-==，所以数列{}n a 是等比数列， 因此当1q =时，1n S na n ==；当1q ≠且0q >时，11nn q S q-=-，所以数列{}n S 的通项公式为：,11,0,11n n n q S q q q q =⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩；（2）由（1）可知：当1q ≠且0q >时，11nn q S q-=-，设1n n n S b S += 所以数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为：111111111nn nnn n n q S q qb q S q q+++---===---， 因此有11122121212111(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n q q q q q q q q b b q q q q q q +++++++++++---------=-==------， 当1q >时，1221,1,1,(1)0nn n q qqq ++>>>->，所以221(1)0(1)(1)n n n q q q q ++->--， 即110n n n n b b b b ++->⇒>； 当01q <<时，12201,1,1,(1)0nn n q qqq ++<<<<->，所以221(1)0(1)(1)n n n q q q q ++->--， 即110n n n n b b b b ++->⇒>，因此数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；（3）假设存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列，所以设()1lg lg()1nn n q c c S c q-=-=--，数列{}n c 是等差数列， 即()1lg 1c c =-，221lg()lg(1)1q c c c q q -=-=---，3231lg()lg(1)1q c c c q q q-=-=----， 显然有2132c c c =+，所以2lg(1)c q --2lg(1)lg(1)c c q q =-+---，2(1)c q --2(1)(1)c c q q =----，解得：11c q=-，因为0c >，所以01q <<， 这时11lg()lg 111n nn q q c q q q-=-=---， 因为11lg lg lg 11n nn n q q c c q q q++-=-=--，所以数列{}n c 是等差数列， 因此存在正常数11c q=-，使得(){}lg n c S -为等差数列，且01q <<. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的定义和通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了指数函数的单调性应用，考查了用作差比较法证明数列的单调性，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.21.数列{}n a 满足1212n n n n n n a a a a a a ++++=++()*11,n n a a n N +≠∈，且11a =，22a =.规定的{}n a 通项公式只能用()sin A x c ωϕ++0,0,2A πωϕ⎛⎫≠>< ⎪⎝⎭的形式表示. （1）求3a 的值；（2）证明3为数列{}n a 的一个周期，并用正整数k 表示ω； （3）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）33a =（2）证明见解析；()*2N 3k k πω=∈.（3）2233n a n ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）代入1n =计算即可.（2）分别令n ＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出.（3）分别由a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，可得1＝A sin （23π+φ）+c ，2＝﹣A sin （3π+φ）+c ，3＝A sin φ+c ，解得即可求出【详解】解：（1）当a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2a 3＝a 1+a 2+a 3，解得a 3＝3； （2）当n ＝2时，6a 4＝2+3+a 4，解得a 4＝1， 当n ＝3时，3a 5＝1+3+a 5，解得a 5＝2， …，可得a n +3＝a n ，当a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3； 故3为数列{a n }的一个周期， 则2k πω＝3，k ∈N *，则()*2N 3k k πω=∈； （3）由（2）可得a n ＝A sin （23πn +φ）+c ，则1＝A sin （23π+φ）+c ，2＝﹣A sin （3π+φ）+c ，3＝A sin φ+c ，即1＝A φ﹣A •12sin φ+c ，①2＝﹣A φ﹣A •12sin φ+c ，②由①+②，可得3＝﹣A sin φ+2c ， ∴c ＝2，A sin φ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A cos φ，则tan ， ∵|φ|＜2π， ∴φ＝﹣3π，∴A故2233n a n ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列的递推公式和三角函数的解析式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
上海市闸北区2019-2020学年新高考高一数学下学期期末联考试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．12．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的正切值为（ ）A ．13B ．3C ．23D 3．已知一直线经过两点()1,2A ，(),3B a ，且倾斜角为45，则a 的值为（ ）A ．-6B ．-4C ．2D ．64．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，,P Q 分别在线段,AB BO 上运动，则MPQ ∆的周长的最小值为( )A ．4B ．5C ．D 5．已知0a >，若关于x 的不等式22(1)()x ax ->的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是（） A ．43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4540,a a a <>，则使0n S >成立的最小正整数n 为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．97．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．238．已知向量()1,2a =-，()2,1b m =，若a b ⊥，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．14-D ．149．设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥③若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥A ．1B ．2C ．3D ．410． “2G ab =”是“a 、G 、b ”成等比数列的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要11．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2 B ．92 C ．143 D ．5 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题13．已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++，则此数列的通项公式为______ 14．设函数是定义在上的偶函数，且对称轴为，已知当时，，则有下列结论：①2是函数的周期；②函数在上递减，在上递增；③函数的最小值是0，最大值是1；④当时，.其中所有正确结论的序号是_________.15．已知0m >，0n >，且2m n +=，则21n m n+的最小值为________. 16．已知向量a 与b 的夹角为60︒ ，且1a =，2=b ；则⋅=a b __________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。