2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(三十)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(十六)数学(理)试题
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（十六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（共12小题）.1.若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N 的集合X 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.2.复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A. iB. ﹣2iC. 2iD. ﹣i【答案】B 【解析】 【分析】复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B .【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题. 3.下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4.公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=①.125,,a a a 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =. 故选：B .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.5.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A.85B.65C.45D.25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =，3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．6.如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A.23B.25C.16D.34【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+（1﹣m ）AB ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-， 又，23AN NC =，所以25AN AC =，∴25AP mAC =+（1﹣m ）AB ， 又AP =t 13AB AC +，所以12153m tm -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.7.已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A.54π B.34π C.2π D.3π 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选C ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A. 132 B. 299C. 68D. 99【答案】B 【解析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++()332432299=+++=.故选：B .【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.9.在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|P A |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( )A.13B. 3C.3D.【答案】D 【解析】 【分析】设点()1,P my y -，由2PA PB =，得关于y 的方程.由题意，该方程有解，则0∆≥，求出正实数m 的取值范围，即求正实数m 的最小值. 【详解】由题意，设点()1,P my y -.222,4PA PB PA PB =∴=，即()()222211414my y my y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，整理得()2218120m y my +++=，则()()22841120m m ∆=-+⨯≥，解得m ≥或m ≤.min 0,m m m >∴∴=.【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.10.三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.33B.6 C.34D.3 【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c=，AB a =，AC b =，根据向量线性运算法则可表示出1AB 和1BC ；分别求解出11AB BC ⋅和1AB ，1BC ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ⋅=，12b c ⋅=，12a c ⋅= 1AB a c =+，11BC BC BBb ac =+=-+()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++= 又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=11111116cos ,6AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅ 即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：66本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.11.已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A.1B.1C. 2D.【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.12.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [0,)+∞D. (,0]-∞【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>， 又()()()()x x g x e f x e f x g x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a e f a e f a g a g a +++≥++≥+，因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B .【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（共4小题）13.已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____. 【答案】0 【解析】 【分析】由题意()()'2,3f e e fe ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .【详解】∵在点()(),e f e 处的切线方程为3y x e =-，()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①.又()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.联立①②解得：1,1a b ==-.0a b ∴+=.故答案为：0.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1=1，且2S n =a n （a n +t ），n ∈N *，则S 10=_____. 【答案】55 【解析】 【分析】由()111122a S a a t ==+求出1t =.由()21n n n S a a =+，可得()11121n n n S a a ---=+，两式相减，可得数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，即求10S .【详解】由题意，当n =1时，()111122a S a a t ==+，11,21,1a t t =∴=+∴=当2n ≥时，由()21n n n S a a =+， 可得()11121n n n S a a ---=+，两式相减，可得()()11211n n n n n a a a a a --=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，110,10n n n n a a a a --+>∴--=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，101091011552S ⨯∴=⨯+⨯=. 故答案为：55.【点睛】本题考查求数列的前n 项和，属于基础题.15.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF =60°，则|FR |等于_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意知：2FH =，PF PQ =，//MN QF ，//PQ OR .由∠NRF =60°，可得PQF △为等边三角形，MF ⊥PQ ，可得F 为HR 的中点，即求FR .【详解】不妨设点P 在第一象限，如图所示，连接MF ，QF .∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点∴2FH =，PF PQ =. ∵M ，N 分别为PQ ，PF 的中点， ∴//MN QF ， ∵PQ 垂直l 于点Q ， ∴PQ //OR ，∵PF PQ =，∠NRF =60°， ∴PQF △为等边三角形， ∴MF ⊥PQ ，易知四边形MQHF 和四边形MQFR 都是平行四边形， ∴F 为HR 的中点， ∴2FR FH ==， 故答案为：2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.16.已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==，AC AD BC BD ====，则a =__________．【答案】 【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上， 设长方体的长宽高为,,x y z ，由题意可得：222222255x y a y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，据此可得：()222221022a x y z R +++==， 则球的表面积：2210492a S R πππ+==⨯=，结合0a >解得：a =点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，01203AB BC ABC AB >∠==，，，ABC ∠的角平分线与AC 交于点D ，1BD =.（Ⅰ）求sin A ； （Ⅱ）求BCD ∆的面积.【答案】21;33. 【解析】试题分析：（Ⅰ）在ABD ∆中，由余弦定理得7AD =sin sin BD ADA ABD=∠，可得解； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知cos A ，进而得sin C ，在BCD ∆中，由正弦定理得BC ，所以BCD ∆的面积1sin 2S BD BC CBD =⨯⨯⨯∠即可得解.试题解析：（Ⅰ）在ABD ∆中，由余弦定理得22212cos 9123172AD AB BD AB BD ABD =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=， 所以7AD =sin sin BD AD A ABD =∠，所以sin 321sin 1427BD ABD A AD ⨯∠===. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2cos 1sin 27A A =-=.在ABC ∆中，()sin sin 120C A =+=31321272727-=. 在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BC C A =，所以sin 3sin 2AB A BC C ⨯==. 所以BCD ∆的面积113333sin 1222S BD BC CBD =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，H 为棱AB 的中点，E为棱DC 上任意一点，且不与D 点、C 点重合．212AB AD PA PH ====，，．（1）求证：平面APE ⊥平面ABCD ；（2）是否存在点E 使得平面APE 与平面PHC 6？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）存在，E 为DC 中点 【解析】 【分析】（1）证明AP ⊥面ABCD ，即证明平面APE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AP 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量方法得11211126cos 3341m n m n λθλ⋅+===⋅⋅+，解得12λ=，所以E 为DC 中点．【详解】（1）由于H 为AB 中点，112AH AB ==． 又2PH =，故222PH AP AH =+，所以PAH 为直角三角形且90PAH ∠=︒， 即PA AB ⊥．又因为PA ⊂面PAB ，面PAB 面ABCD AB =，面PAB ⊥面ABCD ， 故AP ⊥面ABCD ，又PA ⊂面PAE ，所以面PAE ⊥面ABCD ．（2）由（1）知AP ⊥面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，则APAD AB ，，两两垂直． 以A 为坐标原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AP 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则(0,0,0),P(0,0,1),(0,1,0),(1,2,0)A H C ，设()()12001E λλ∈,,，,， 则()()()()0,0,11,2,00111,1,0AP AE PH HC λ===-=，，，，，，设平面APE 的法向量为()m x y z =，，，则有00200z m AP x y m AE λ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩，令2x λ=-，则1y =，则平面APE 的一个法向量为()1210m λ=-,,， 同理可得平面PHC 的一个法向量为()1111n =-,,， 设平面APE 与平面PHC 所成角为θ，则由题意可得1111cos 33m n m n θ⋅===⋅，解得12λ=，所以点E 为DC 中点．【点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间二面角的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）14；（2）20. 【解析】 【分析】（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；（2）X 的可能取值为：0，10，20，30，40．分别求出X 取各个值时的概率，即可求出分布列和数学期望. 【详解】（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率1131114314C C P C C ==．（2）X 的可能取值为：0，10，20，30，40．()()()111111111211121111111111443434321110,10,20466C C C C C C C C P x P x P x C C C C C C C C ========+=,()()()111111111122113211111111143243211130,4064C C C C C C C C C P x P x C C C C C C C +====== ∴随机变量X 的分布列为： X 0 10 20 30 40 P数学期望()111110102030402046664E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点()()1,0,0,1A B ，点P 满足22OA OB OP +=（其中O 为坐标原点），点,B P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线(): 0,0l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,M N 两点.且与圆221x y +=相切.MNF 的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）是，22【解析】 【分析】（1）设(),P x y ,根据条件可求出P 的坐标，再利用B P ，在椭圆上，代入椭圆方程求出a b ，即可; （2）设()()()112212,,,0,0M x y N x y x x >> 运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出MQ ，NQ ,再利用焦半径公式表示出MF NF ，,进而求出周长为定值． 【详解】(1)设(),P x y ,因为22OA OB OP +=, 即(1,0)(0,1)(,),2x y+=则1,2x y ==,即1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为,B P 均在C 上,代入得2221011121b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得222,1a b ==,所以椭圆C 的方程为2212x y +=; (2)由(1)得(1,0),F e a ==作出示意图, 设切点为()()()112212,,,,0,0Q M x y N x y x x >>, 则2222221111||||||12MQ OM OQ x y x =-=+-=, 同理2222222112NQ x y x =+-=即12||,||22MQ x NQ x ==,所以12||()2MN x x =+,又1122MF a ex x NF a ex x =-==-=，, 则MNF的周长)1212||||MN MF NF x x x x ++=++=所以周长为定值【点睛】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.21.已知函数()ln 1x ax f x x++=.（1）若对任意x >0，f （x ）<0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2（x 1<x 2），证明：2212212x x x x +>. 【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()'fx ，判断函数()f x 的单调性，求出函数()f x 的最大值，即求a 的范围；（2）由（1）可知， ()()120,1,1,x x ∈∈+∞.对2x 分()21,2x ∈和[)22,x ∈+∞两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论． 【详解】（1）由()ln 1ln 1x ax x f x a x x x ++==++，得()'2ln xf x x=-.令()'0,1fx x =∴=.当01x <<时，()'0fx >；当1x >时，()'0f x <；()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()()max 11f x f a ∴==+.对任意()0,0x f x ><恒成立，10,1a a ∴+<∴<-.（2）证明：由（1）可知，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()120,1,1,x x ∴∈∈+∞.若()21,2x ∈，则()220,1x -∈， 令()()()()ln 2ln 112,0122x x g x f x f x x x x x x-=--=+--<<-- ()()()()()2'22222ln 11ln 2ln 2ln ln 02x x x x x g x x x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦∴=-->--=->- ()g x ∴在()0,1上单调递增，()()()()10,2g x g f x f x ∴<=∴<-，()()()1122f x f x f x ∴->=.()110,1,21,x x ∈∴->又21>x ，()f x 在()1,+∞上单调递减，12122,2x x x x ∴-<∴+>.若[)22,x ∈+∞，则122x x +>显然成立.综上，122x x +>.又22122112212,2x x x x x x x x +≥=+≥= 以上两式左右两端分别相加，得()22122112212x x x x x x x x +++≥+，即22121221x x x x x x +≥+， 所以2212212x x x x +>. 【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为2x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2,π，PM PN +=a 的值. 【答案】（1）()()22211x a y a -+-=+，20x y -+=；（2）2. 【解析】 【分析】 （1）由2sin 2cos a ρθθ=+得22sin 2cos a ρρθρθ=+，求出曲线C 的直角坐标方程.由直线l 的参数方程消去参数t ，即求直线l 的普通方程；（2）将直线l的参数方程化为标准式222x y ''⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（'t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程，韦达定理得''''1212,t t t t +，点P 在直线l 上，则''12PM PN t t +=+，即可求出a 的值.【详解】（1）由2sin 2cos a ρθθ=+可得22sin 2cos a ρρθρθ=+，即2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，∴曲线C 的直角坐标方程为()()22211x a y a -+-=+，由直线l的参数方程2x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去t 得20x y -+=，即直线l 的普通方程为20x y -+=.（Ⅱ）点P 的直角坐标为()2,0P -，则点P 在直线l 上.将直线l的参数方程化为标准式222x t y ''⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（'t 为参数），代入曲线C的直角坐标方程，整理得()'2'440t t a -++=，直线l 与曲线C 交于,M N 两点，()()24440a ∴∆=-+>，即()210,1a a ->∴≠.设点,M N 所对应的参数分别为''12,t t ，由韦达定理可得''''1212,44t t t t a +==+，''''''1212120,0,0,0,0a t t t t t t >∴+>>∴>>.点P 在直线l上，''''1212PM PN t t t t ∴+=+=+== 2a ∴=.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.选修4-5：不等式证明选讲23.已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(十三)数学(理)试题
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（十三）数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，{}(1)(3)0,B x x x x z =+->∈，则()U A C B ⋂=（ ） A. {}1,2 B. {}2,3 C. {}1,2,3 D. {}1,2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】 计算{1,0,1,2,3}UB =-，再计算()U A B ∩得到答案.详解】由题{|(1)(3)0,}{|13,}{1,0,1,2,3}UB x x x x Z x x x Z =+-∈=-∈=-，则(){1,2,3}UA B ⋂=，故选：C .【点睛】本题考查了集合的交集和补集的计算，意在考查学生的计算能力.2.已知12iz i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i +C. 1355i -- D. 1355i -+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论.【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3.函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A. B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.考点：函数图象的平移.4.()61-2(1)t t +的展开式中，3t 项的系数（ ）A. 20B. 30C. 10-D. 24-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】6(1)t +展开式的通项为16r rr T C t +=.所以6(12)(1)t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-，故选：C .【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生对于二项式定理的应用.5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.13【答案】B 【解析】 【分析】根据题意共包含2828C =个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==. 故选：B .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 6.如图所示的程序框图，则输出的,,x y z 的值分别是（ ）A .13009，600，11203B. 1200，500，300C. 1100，400，600D. 300，500，1200【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图得：①300,1y i ==，满足3i <；②400,2y i ==，满足3i <； ③500,300y z ==，1200,3x i ==，不满足3i <.故输出的1200,500,300x y z ===. 故选：B .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力. 7.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=8θ，则sin θ= A.35B.45C.74D.34【答案】D 【解析】 【详解】11cos 232cos 2=-,sin 422824πππθθθπθθ-⎡⎤⎡⎤∈∴∈∴==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，【考点定位】本题从常规角度看考查了三角函数的求值，其中重点对倍角公式、平方关系等重点考查.而从答题技巧角度看，只是简单的代入检验，由于给定了,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使问题更趋于简单化8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的一点，若OFM∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上，得到642p p +=，计算得到答案.【详解】OFM ∆的外接圆半径为6，OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上， 圆心到准线2px =-的距离等于6，即有642p p +=，由此解得8p =， 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中参数的计算，意在考查学生的综合应用能力.9.在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，ABC ∆为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为 A.16B.14C.13D.12【答案】B 【解析】试题分析：取BC 的中点F ，连接,EF AF ，则EFPB ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB所成角．因为ABC ∆为正三角形，所以60BAC ∠=︒．设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC ，所以3,2,2AF a AE a EF a ===，所以222(2)(2)(3)1cos 4222a a a AEF a a+-∠==⨯⨯，故选B ．考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直性质定理；3、余弦定理．【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．10.直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB=+（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 2ab = B. 224a b +≥C. 2a b -≥D. 2a b +≥【答案】D 【解析】 【分析】不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到1ab =，再利用均值不等式得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x ，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OP aOA bOB =+， ∴3322,22x a b y a b =+=-， ∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++=（a b =时等号成立），可得||2a b +，故选：D .【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 11.已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ≠∀∈恒有()()f x T f x +=成立； ③()f x； ④()y f x =在[,]66ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.【详解】①()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确； ②(2)()f x f x π+=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =∈-，则3()22y t t t =-，令2260y t '=-=，得t =(1)0,39y y ⎛-==⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,2233x ⎡⎡⎤∈-⊆-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确. 故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12.已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1 B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求导得到()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，得到max 3()(1)12f x f a ==-，计算得到答案. 【详解】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t ta ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 则3411,23a a -，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：D .【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13.已知向量(1,4),(2,)a b k ==-，且(2)a b +与(2)-a b 共线，则实数k =________ 【答案】8- 【解析】 【分析】计算得到2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-，再根据向量共线计算得到答案. 【详解】由己知得，2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-， 由于(2)a b +与(2)-a b 共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-. 故答案为：8-.【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力.14.某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有_____人. 【答案】360 【解析】 分析】直接根据比例关系计算得到答案.【详解】依题意可知，样本中(1,2]公里的人数所占的比例为45150.1300-=，故全体学生中居住地到学校的距离在(1,2]公里的人数为36000.1360⨯=人. 故答案为：360.【点睛】本题考查了总体的估计，意在考查学生的应用能力.15.如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB CD 的中点，2os 2c PEF ∠=，若,,,,A B C D P 在同一球面上，则此球的体积为______.【答案】36π 【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，根据22211R AO OO =+计算得到答案.【详解】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，2os c PEF ∠=1PO 为2. 易知正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O ，则11122,,2,2AO PO AO R PO OO R =====-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O ∆中，2222211(22)(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=. 故答案为：36π.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦定理得到cos 2sin AB AM θθ⋅=，计算tan 2cos cos AC AB θθθ==，化简得到答案.【详解】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=.在AMD ∆中，902MBA θ︒∠=-，180BMA θ︒∠=-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ︒︒=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅=，在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ︒∠=∠=，由正切定义：tan 2AC θ=， 在ACB ∆中，90ACB ︒∠=，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==， ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅==. 故答案为：2.【点睛】本题考查了正弦定理和三角函数定义解三角形，意在考查学生的数形结合能力和计算能力.三、解答题:本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题:共60分．17.已知等差数列{}n a 和递增的等比数列{}n b 满足：111,3a b ==且，3522423,2b a a b a =+=+ （1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若对任意的*,n n n kb S ∈≥N 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)21,3nn n a n b =-=；(2)4[,)9k ∈+∞. 【解析】【详解】试题分析：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n a 的公比为q ，由35224232b a a b a =+⎧⎨=+⎩，解出q ，得到3n n b =；代入方程组得2d =得到21n a n =-； （2）由题意，2n S n =，由*,n n n N kb S ∀∈≥得23n n k ≥设23n n n c =，2112213n n n n n c c ++-++-=．则当211,0n c c =->； 当12,0n n n c c +≥-<；由数列{}n c 的单调可得，{}()max49nc =，即可得到实数k 的取值范围. 试题解析：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n a 的公比为q ，由23522423351121b a a q d b a q d=+⎧⎧=+⇒⎨⎨=+=+⎩⎩则231160q q -+=，解得23q =（舍去）或3所以3nn b =；代入方程组得2d = 因此21n a n =-， 综上，21,3nn n a n b =-=. （2）由题意，()1222n n a a S n +==，由*,n n n N kb S ∀∈≥得23n n k ≥设23n n n c =()2221111221333n nn n n n n n n c c ++++-++-=-=当211,0n c c =->； 当12,0n n n c c +≥-<； 由数列{}n c 的单调可得，{}()2max49nc c ==所以4,9k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.如图，三棱柱1l l ABC A B C -中，11,,60AC BC AB AA BAA ==∠=︒.（1）求证：111AC B A ⊥； （2）若平面ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC =，求直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析； （26. 【解析】 【分析】（1）如图，设AB 的中点为D ，连接1,CD A D ，证明AB ⊥平面1CDA ，得到答案.（2）如图，建立空间直角坐标系，平面1A CB 的法向量1(3,1,1)n =-，再利用向量夹角公式计算得到答案.【详解】（1）如图，设AB 的中点为D ，连接1,CD A D ， 又设2AB =，则1112AD AA ==. 在ABC ∆中，,AC BC AB =的中点为D ，故AB CD ⊥在1ABA ∆中，11,60AB AA BAA ︒=∠=，所以1ABA ∆为等边三角形. 又AB 的中点为D ，所以1AB DA ⊥，因为AB CD ⊥，1AB DA ⊥，且1CD DA D ⋂=，所以AB ⊥平面1CDA ，∵1CA ⊂平面1CDA ，所以1AC BA ⊥， 又11//AB B A ，所以111AC B A ⊥. （2）因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC平面11ABB A AB =，且AB CD ⊥，故CD ⊥平面11AA B B ，如图，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(1,0,0),(2,3,0)D A C B B --，故11(0,3,3),(1,0,3),(2,3,3)CA CB CB =-=--=--， 设平面1A CB 的法向量()1111,,n x y z =，则有1111330,30y z x z ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩令11z =，得1(3,1,1)n =-，设直线1CB 与平面1A BC 所成角为θ，则111111236sin cos ,||5||10CB n CB n CB n θ⋅====⋅， 故直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值为6.【点睛】本题考查了线线垂直和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表： 生猪存栏数量x （千头）234 58（1）研究员甲根据以上数据认为y 与x 具有线性回归关系，请帮他求出y 关于x 的线.性回归方程(1)ˆˆˆybx a =+（保留小数点后两位有效数字） （2）研究员乙根据以上数据得出y 与x 的回归模型：(2)4.8ˆ0.8yx=+.为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.01元）（备注：ˆi e 称为相应于点(,)i i x y 的残差）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较12,Q Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好. （3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由.（利润=收入-成本）参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nnii i ii i nni ii i xx y y x ynx y by bxa x x xnx ====---⋅===+--∑∑∑∑. 参考数据：()()()552115.3,21.2ii i i i x x yy x x ==--=--=∑∑.【答案】（1）(1)ˆ0.25 3.30yx =-+； （2）模型(2)4.8ˆ0.8y x=+的拟合效果更好； （3）选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润. 【解析】 【分析】（1）利用公式直接计算得到答案. （2）计算得到12Q Q >，得到答案.（3）根据模型分别计算利润，比较大小得到答案.【详解】（1）由题知： 4.4, 2.2x y ==，()()()1215.3ˆ0.2521.2niii nii x x yy bx x ==---===--∑∑， ˆˆ 2.20.25 4.4 3.30ay bx =-=+⨯=，故(1)ˆ0.25 3.30y x =-+. （2）①经计算，可得下表：222222212(0.40)(0.15)(0.30)(0.15)(0.20),(0.14)(0.1)Q Q =+-+-+-+=+，因为12Q Q >，故模型(2) 4.8ˆ0.8yx=+的拟合效果更好. （3）若生猪存栏数量达到1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.2810+=元，这样一天获得的总利润为(7.5 1.28)1000062200-⨯=（元）；若生猪存栏数量达到1.2万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.212+=元， 这样一天获得的总利润为(7.2 1.2)1200072000-⨯=（元），因为7200062200>，所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润.【点睛】本题考查了回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20.已知()()00,0,0,A x B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+.（1）求出动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）设动直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆227x y +=相交于两点12,P P （两点均不在坐标轴上），求直线12,OP OP 的斜率之积.【答案】（1）22143x y +=； （2）34-.【解析】 【分析】（1）计算得到001,2x x y y ==，根据22001x y +=，计算得到答案. （2）讨论直线l 的斜率存在和直线l 的斜率不存在两种情况，计算得到答案.【详解】（1）因为23OP OA OB =+，即())()0000(,)2,00,2x y x y x =+= 所以002,x x y ==，所以001,2x x y y == 又因为||1AB =，所以22001x y +=，即22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y +=. 所以曲线C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+.由方程组22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴()()2221(8)4434120km k m ∆=-+-=，即2243m k =+. 由方程组22,7y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()2221270k x kmx m +++-=， 则()()2222(2)4170km k m ∆=-+->.设()()111222,,,P x y P x y ，则212122227,11km m x x x x k k --+=⋅=++， 设直线12,OP OP 的斜率分别为12,k k ，所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++=== 222222222272711771m kmk km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+，将2243m k =+代入上式，得2122333444k k k k -+==--. 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±. 此时，圆227xy +=与l 的交点12,P P 也满足1234k k =-. 综上，直线12,OP OP 的斜率之积为定值34-. 【点睛】本题考查了椭圆的轨迹问题，椭圆内的定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.已知函数()ln 1af x x x =+-（,a R a ∈为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在(),e +∞内有极值，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.【答案】（1）当0a 时，在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是增函数；当0a >时，在⎛ ⎝⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数，在⎫⎪⎪⎝⎭上是减函数，在(2)1,2a ⎛++ ⎪⎝⎭上是减函数； （2）当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，11a e e a --<；当a e =时，11a e e a --=；当(,)a e ∈+∞时，11a e e a -->.见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到22(2)1()(1)x a x f x x x '-++=-，讨论40a -，4a，0a >三种情况计算得到答案.（2）根据题意2()(2)1h x x a x =-++有一变号零点在区间(,)e +∞上，得到12a e e>+-，构造函数ln ()(1)1xx x x ϕ=>-，根据函数的单调性得到答案. 【详解】（1）定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2221(2)1()(1)(1)a x a x f x x x x x -++'=-=-- 设22()(2)1,(2)4h x x a x a =-++∆=+-当40a -时，2(2)40a ∆=+-，此时()0h x ，从而()0f x '恒成立，故函数()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是增函数；当4a时，函数2()(2)1h x x a x =-++图象开口向上，对称轴202a x +=<，又(0)10h => 所以此时()0h x ，从而()0f x '恒成立，故函数()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是增函数；当0a >时，2(2)40a ∆=+->，设2()(2)1h x x a x =-++有两个不同的实根12,x x ， 共中121220,1x x a x x +=+>⋅=，令1201x x <<<，则12(2)(2)22a a x x +-++==令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得11x x <<或21x x <<，故函数()f x 在()10,x 上是增函数，在()2,x +∞上是增函数，在()1,1x 上是减函数，在()21,x 上是减函数. 综上，当0a 时，函数()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是增函数；当0a >时，函数()f x 在(2)0,2a ⎛+- ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在(2)1,2a ⎛++ ⎪⎝⎭上是减函数. （2）要使()y f x =在(,)e +∞上有极值，由（1）知0a >，①则2()(2)1h x x a x =-++有一变号零点在区间(,)e +∞上，不妨设2x e >， 又因为121x x ⋅=，∴1210x e x e<<<<，又(0)1h =， ∴只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即211(2)10a e e -++<，∴12a e e >+-，② 联立①②可得：12a e e>+-. 从而1a e -与1e a -均为正数.要比较1a e -与1e a -的大小，同取自然底数的对数， 即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，再转化为比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小. 构造函数ln ()(1)1xx x x ϕ=>-，则211ln ()(1)x x x x ϕ--'=-， 再设1()1ln m x x x =--，则21()xm x x-'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0x ϕ'<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xx x ϕ=-在(1,)+∞上单调递减. 综上所述，当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，11a e e a --<； 当a e =时，11a e e a --=； 当(,)a e ∈+∞时，11a e e a -->.【点睛】本题考查了函数单调性，利用导数比较函数值大小，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.（二）选考题:共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分．22.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()2211x y +-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程；（2）曲线2:0,02C πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求OB OA 的最大值及相应α的值.【答案】(1)直线l 的极坐标方程为：cos +sin 40ρθρθ-=；曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=；(2) 当38πα=时，,OB OA的最大值为14. 【解析】 【分析】(1)参数方程化为普通方程，只要消去参数方程中的参数即可；极坐标方程化为普通方程，只要利用极坐标与直角坐标的函数关系转换即可；(2)设出点,A B 的极坐标，结合极坐标的几何意义与三角函数求最值的知识，即可求解. 【详解】(1)由题意，直线l 的直角坐标方程为：+40x y -=，∴直线l 的极坐标方程为：cos +sin 40ρθρθ-=，曲线C 的直角坐标方程：2220x y y +-=， 曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=. (2)由题意设：(,)A A ρα，(,)B B ρα， 由(1)得4cos sin A ραα=+，2sin B ρα=，1111sin (cos sin )(sin 2cos 2)sin(2)244444B A OB OAρπααααααρ∴==+=-+=-+， 02πα<<，32444απππ∴-<-<，∴当242ππα-=，即38πα=时，sin(2)14πα-=,此时OB OA取最大值14. 【点睛】本题考查了曲线的极坐标方程与普通方程间的互化，以及极坐标系中极径的几何意义与三角函数的综合运用，属于中档题.23.已知函数()33f x x a x =-++.（1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3|02x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； （2）()4,-+∞ 【解析】【分析】（1）讨论3x -，31x -<，1x >三种情况，分别计算得到答案.（2）题目等价于|3||93|1x a x a -++>-恒成立，利用绝对值三角不等式得到答案.【详解】（1）3,()|33||3|6a f x x x ==-++ 当3x -时，3336x x ---≤，解得32x -，∴x ∈∅； 当31x -<时，3336x x -++≤，解得0x ≥，∴[0,1]x ∈；当1x >时，3336x x -++≤，解得32x ，∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 综上所述，不等式()6f x ≤的解集为3|02x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （2）不存在实数x ，使得()1|62|f x a x --+，等价于()1|62|f x a x >--+恒成立， 即|3||93|1x a x a -++>-恒成立.∵|3||93||(3)(93)||9|x a x x a x a -++--+=+，∴|9|1a a +>-当9a <-时，91a a -->-，解得a ∈∅；当9a ≥-时，91a a +>-，解得4a >-.∴4a >-时，不存在实数x ，使得()1|62|f x a x --+.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立求参数，意在考查学生的综合应用能力.。
2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷(三十)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（三十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合1{|2}2x A x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则(AB = )A. (1,2)-B. (1,2)C. (0,2)D. (1,1)-【答案】C 【解析】 【分析】可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：1{|2}2x A x =>，{|1}A x x ∴=>-， {|(2)0}B x x x =-<， {|02}B x x ∴=<< (0,2)AB ∴=．故选：C ．【点睛】考查描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题． 2.在复平面内，与复数11i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】11111(1)(1)22i i i i i -==-++-,复数11i+对应的点为11(,)22-，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若39S =,627S =，则9S =( ) A. 45 B. 54C. 72D. 81【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n 项和的性质可求9S【详解】因为{}n a 为等差数列，所以36396,,S S S S S --为等差数列，所以()633962S S S S S -=+-即936927S =+-，所以954S =，故选B . 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.4.已知向量(,2)a μ=-，(1,1)b μ=+，则1μ=是向量a 与向量b 垂直的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由1μ=可得向量a 与向量b 垂直；反之，由向量a 与向量b 垂直，不一定得到1μ=．然后结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】解：向量(,2)a μ=-，(1,1)b μ=+，若1μ=，则(1,2)=-a ，(2,1)=b ，此时12210⨯-⨯=，向量a 与向量b 垂直； 若向量a 与向量b 垂直，则(1)20μμ+-=，即220μμ+-=，解得2μ=-或1μ=． 1μ∴=是向量a 与向量b 垂直的充分不必要条件．故选：B ．【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题． 5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. y =x 2 B. 1y lnx= C. y =2|x | D. y =cosx【答案】B 【解析】 【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2yx 的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据ln y x = 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2xy =的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据cos y x =的图象判断单调性. 【详解】因为()22x x -=，所以2y x 是偶函数，又因为2y x 在（0，+∞)上单调递增，故A 错误. 因为11=-lnln x x ，所以1y ln x =是偶函数，又因为10,ln >==-x y ln x x，在(0，+∞)上单调递减，故B 正确.因为22x x -=，所以 2x y =是偶函数，又因为 0,22>==xx x y 在(0，+∞)上单调递增，故C 错误.因为()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数，又因为cos y x =在 (0，+∞)上不单调，故D 错误. 故选;D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题. 6.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A.316B.38C.516D.716【答案】D 【解析】 【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果. 【详解】设正方形的边长为1则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形 等腰直角三角形面积为：1111224⨯⨯= 直角梯形面积为：12223242416⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴黑色部分面积为：13741616+= 则所求概率为：77161116=⨯ 本题正确选项：D【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.7.定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数3cos2()1sin 2x f x x =的图像向左平移m (0)m >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A.3π B.23π C.43π D.73π 【答案】C 【解析】试题分析：12142334a a a a a a a a =-，将函数3cos2()1sin 2x f x x =化为()3cos 2sin 2226x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭再向左平移m （0m >）个单位即为:()2sin 26x m f x m π+⎛⎫+=-⎪⎝⎭又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即0x =时函数值为最大或最小值,即sin 126m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或sin 126m π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以,262m k k Z πππ-=+∈,即42,3m k k Z ππ=+∈,又0m >,所以m 的最小值是.考点：对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A.101 B. 221 C. 22 D.10【答案】A 【解析】 【分析】先求出点A 关于直线3x y +=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】解：设点A 关于直线3x y +=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为2(,)22a b +，AA bk a 2'=- 故•(1)122322ba ab ⎧-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得31a b =⎧⎨=⎩，要使从点A 到军营总路程最短， 即为点A '到军营最短的距离，22311101+-=-，故选A.【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.9.已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是A. l β∥或l β⊂B. //l mC. m α⊥D. l m ⊥【答案】A 【解析】 【分析】选项A 中l 与β位置是平行或在平面内，选项B 中l 与m 可能共面或异面，选项C 中m 与α的位置不确定，选项D 中l 与m 的位置关系不确定．【详解】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β//或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 故选A ．【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．10.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A ，O 为坐标原点，若1||||2OA OF =，则此双曲线的离心率为（ ）C. 2【答案】C 【解析】Rt OAF 中，btan AOFa∠=,所以a cos AOF c∠==且OF =c ，所以OA a =. 根据题意有：12a c =，即离心率2ca=.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．11.函数e 4xy x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可. 【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当1x =时，14ey =<，排除A ； 当x →+∞时，4xex→+∞，排除D ．故应选C ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 12.已知()f x 为定义在 R 上的偶函数，且()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()21x f x =+，记()()()0.52log 6,log 7,8a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c b a <<D. c a b <<【答案】D分析：根据()f x 的周期性和单调性进行判断．详解：当[]0,1x ∈时，()21xf x =+，则()f x 在[]0,1上是增函数，且当[]0,1x ∈]时，12f x ≤≤（） ， ∵()()2f x f x +=，∴()f x 的周期为2．()()0.5222221223log 6-log 62+log log -log log ,6332a f a f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴======= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2227log 7-2+log 7log ,4f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()()()282480log 1,c f f f f ==-⨯+==()2222223737371,log 1log log ,log 1log log .242424f f f ⎛⎫⎛⎫<<∴<<∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选D ．点睛：本题考查了函数的周期性，单调性，以及利用单调性比较大小，是基础题.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知2tan θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=_________. 【答案】45【解析】 由题意可得：22222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos tan tan 2tan 14.5θθθθθθθθθθθθθ+-+-=++-=+= 点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题； 注意公式的变形应用，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α及sin α＝tanα·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在． 14.正方体的全面积是6.它的顶点都在球面上，这个球的表面积是________ 【答案】3π 【解析】 【分析】通过正方体的表面积求出棱长，然后求出正方体的外接球的半径，即可求解表面积． 【详解】因为正方体的全面积为6，所以正方体的棱长为：1．因为正方体的顶点都在球面上，所以正方体的对角线就是外接球的直径，外接球的表面积为：243ππ=． 故答案为：3π【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是解题的关键，考查计算能力．15.已知数列的通项公式47n a n =+，则其中三位数的个数有__________个. 【答案】225 【解析】 【分析】解不等式10047999n ≤+≤，结合*n N ∈，即可得出答案. 【详解】由10047999n ≤+≤，解得23.25248n ≤≤ 由于*n N ∈，则该数列中三位数的个数有24823225-=个 故答案为：225【点睛】本题主要考查了等差数列简单的应用，属于基础题.16.已知点()2,P y 在抛物线24y x =上，则P 点到抛物线焦点F 的距离为________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用焦点弦长的性质即可得出． 【详解】点(2,)P y 在抛物线24y x =上，P ∴点到焦点F 的距离213=+=．故答案为：3．【点睛】本题考查过焦点弦长的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共60分）17.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos 0b c A a C --=.(1)求角A 的大小；（2）若2a =,ABC ∆求,b c . 【答案】（1）3A π=；（2）2b c ==【解析】 【分析】(1)法一：由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，化简可得cosA ，结合范围()0,A π∈ ,由特殊角的三角函数值即可得解A 的值;法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA ，结合范围()0,A π∈,由特殊角的三角函数值即可得解A 的值．(2)利用三角形面积公式可求bc 的值，进而利用余弦定理可求228b c +=,联立即可得解b ，c 的值．【详解】（1）由(2)cos cos 0b c A a C --=及正弦定理， 得 (2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=， 所以2sin cos sin()0B A A C -+=， 因为sin sin()0B A C =+>， 所以sin (2cos 1)0,B A -=1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）△ABC 的面积1sin 32S bc A ==，故4bc =. 而2222cos 4a b c bc A =+-=，故228b c +=，所以2b c ==.【点睛】本题考查了正弦、余弦定理以及三角函数的恒等变换，考查了三角形的面积公式，熟练掌握公式是关键，考查了运算能力，属于中档题.18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a 的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （2）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X 表示其中初中生的人数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.03a =,870人 （2）分布列见解析，9()5E X = 【解析】 【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a 的值；由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和； （2）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X 的取值及概率，写出分布列和数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图得，(0.0050.020.040.005)101a ++++⨯=， 解得0.03a =；由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25+⨯=，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450⨯=人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35+⨯=，学生人数约有0.351200420⨯=人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人.（2）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05603⨯=人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.00510)402⨯⨯=人.故X的可能取值为1，2，3.则123235C C3(1)C10P X⋅===，213235C C3(2)C5P X⋅===，3335C1(3)C10P X===.X 1 2 3P31035110所以X的分布列为：所以3319()123105105E X=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，分布列和期望求法，考查计算能力，属于中档题.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，3AC=，4BC=，5AB=，14AA=．（1）证明：1AC BC ⊥；（2）求二面角1C AB C --的余弦值大小． 【答案】（1）见解析（2）334【解析】 【分析】（1）根据AC ，BC ，1CC 两两垂直，建立如图以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直．（2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．【详解】直三棱柱111ABC A B C -，底面三边长3AC =，4BC =，5AB =，AC ∴，BC ，1CC 两两垂直．如图以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则11(0,0,0),(3,0,0),(0,0,4),(0,4,0),(0,4,4)C A C B B（1）(3,0,0)AC =-，1(0,4,4)BC =-，∴10AC BC =，故1AC BC ⊥。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(十三)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（十三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A. {}1MN x x =<B. {}0MN x x =>C. M N ⊆D. N M ⊆【答案】D 【解析】 【分析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<，则：{}|01MN x x =<<，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选D .【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若ai i+为实数，则a 的值为 （） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解可得答案. 【详解】解：()21a aii i a i i i+=+=-为实数， 10a ∴-=，即1a =．故选:A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15 B. 16C. 18D. 21【答案】C 【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果. 详解：设第一个人分到的橘子个数为1a ，由题意得515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 则51(51)361218a a =+-⨯=+=，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，1,,,,n n a d n a S 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可. 4.函数()()2xx f x xee -=-的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除,B D ，利用函数的单调性排除C ，从而可得结果． 【详解】()()2x x f x x e e -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-，()f x ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D ，2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >， x x y e e -=-在()0,+∞上是增函数且0y >，所以()()2xx f x xee -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5.5(2)x x +的展开式中，4x 的系数是( )A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，然后令x 的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果． 【详解】5(2)x x +二项展开式的通项为5552155(2)()2k k kkk kk T C x x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为A. 16k ≥B. 8k <C. 16k <D. 8k ≥【答案】A 【解析】【详解】运行程序：S=0,k=1;S=1,k=2;S=3,k=4;S=7,k=8;S=15,k=16,此时退出循环，所以16k≥，故选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( )A. 10B. 9C. 8D. 5【答案】D【解析】【详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=1 25,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=15.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×15,即b2-125b-13=0,即b=5或b=-135(舍去),故选D.8.曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形的面积为（）A. 152B.154C.154ln24- D.158ln2 2-【答案】D 【解析】【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果. 【详解】作出曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形如下：由45y x y x⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x =或4x =， 所以曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为 ()421441115S 5542084458ln21222x dx x x lnx ln x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.9.已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为( ) A. 2- B. 2C. e -D. e【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，设出切点(),m n ，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m ，从而可得结果．【详解】函数()ln f x x x =的导数为()'ln 1f x x =+，设切点为(),m n ，则n mlnm =， 可得切线的斜率为1ln k m =+， 所以ln 1ln n e m m em m m+++==， 解得m e =，1ln 2k e =+=，故选B ．【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.10.巳知将函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个単位长度后.得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数.则3f π⎛⎫⎪⎝⎭=( ) A .12B.2C.2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意写出()()sin 23g x x ϕ=+，根据()g x 是偶函数求出ϕ，即可得出结果. 【详解】由题意可得：()()sin 23g x x ϕ=+， 因为()g x 是偶函数，所以()32k k Z πϕπ=+∈，即()63k k Z ππϕ=+∈， 又02πϕ<<，所以0632k πππ<+<，解得112k -<<，所以0k =，故6πϕ=； 所以1sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.11.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A.17B.27C.37D.47【答案】D【解析】【分析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，,A C区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出,A C区域涂色不相同的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,,,,A B C D E,分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与,A B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域,D C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域,D C有3227+⨯=种选择，则不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=种，其中，,A C 区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与,,A B C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域,D C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选， 则区域,D C 有2214+⨯=种选择， 不同的涂色方案有5434240⨯⨯⨯=种，,A C ∴区域涂色不相同的概率为24044207p == ,故选D ． 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 12.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴时，又以B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C 滚动时的曲线方程为()y f x =，则下列说法不正确的是 （）A. ()0f x ≥恒成立B. ()()8f x f x =+C. ()243(23)f x x x x =-+-<≤D. ()20190f =【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的运动关系，分别求出当0x =，1，2，3，4时对应的函数值()f x ，得到()f x 具备周期性，周期为4，结合图象，当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，即可判断所求结论． 【详解】解：正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =，则由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于()0,1点，即()01f =， 当1x =时，C 位于(2点，即()12f =当2x =时，C 位于()2,1点，即()21f =， 当3x =时，C 位于()3,0点，即()30f =， 当4x =时，C 位于()4,1点，即()41f =，则()()4f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4， 由图可得()0f x ≥恒成立；()()8f x f x +=； 当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，方程为22(2)1(23,0)x y x y -+=<≤≥；()()()20195044330f f f =⨯+==，综上可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选:C ．【点睛】本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题）13.已知等差数列{}n a ，且48a =，则数列{}n a 的前7项和7S =______ 【答案】56 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：1742.a a a +=利用求和公式即可得出数列{}n a 的前7项和7S ． 【详解】解：由等差数列的性质可得：174216a a a +==．∴数列{}n a 的前7项和()177778562a a S +==⨯=．故答案为:56．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.若x ，y 满足约束条件202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则22x y +的最小值为______．【答案】2 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：22x y +由图象得O 到直线20x y ++=的距离最小， 此时最小值22d == 22x y +2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．15.已知向量AB 与AC 的夹角为120︒，且32AB AC ==，，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥则实数λ的值为__________．【答案】712【解析】 ∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16.若过抛物线24y x =上一点()4,4P ，作两条直线PA ，PB 分别与抛物线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,若它们的斜率之和为0，则直线AB 斜率为______．【答案】12- 【解析】 【分析】根据斜率公式可得121244044y y x x --+=--,利用221212,44y y x x ==化简可得128y y +=-,再根据斜率公式可得12AB k =-. 详解】解：依题意有121244044y y x x --+=--, 又221212,44y y x x ==,所以122212444444y y y y --+=--, 所以1211044y y +=++, 所以128y y +=-,所以12122212121241244AB y y y y k y y x x y y --====--+-, 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率公式的应用，考查了计算能力．属于基础题.三、解答题（本大题共6小题）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若数列{}n b 满足n b 2na-=，求证：数列{}n b 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析 【解析】 【分析】()1直接利用等差数列前n 项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式． ()2利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．【详解】解：()1设{}n a 的公差为d ,因为39S =，又12a =． 所以3132392S a d ⨯=+=，解得1d =． 故()211n a n n =+-=+．()2证明：由于1n a n =+，所以11()2n n b +=，所以22111111111424()()()112222122nnnT+⎛⎫-⎪⎝⎭=++⋯+=<=-．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.如图1,在正方形ABCD中，E是AB的中点，点F在线段BC上,且14BF BC=.若将,AED CFD∆∆分别沿,ED FD折起，使,A C两点重合于点M,如图2.图1 图2(1)求证:EF⊥平面MED；(2)求直线EM与平面MFD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)53.【解析】【分析】（1）设正方形ABCD的边长为4，由222DE EF DF+=，可得EF ED⊥，结合MD EF⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到EF⊥平面MED.（2）建立空间直角坐标系，过点M作MN ED⊥，垂足为N，求出向量EM和平面MFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则，令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为..【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n次发生k次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为：()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()02362915036C C P C ξ⋅===()1136291811362C C P C ξ⋅==== ()2036293123612C C P C ξ⋅==== ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 20.已知椭圆2222:x y C a b+= ()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =且123cos 5F PF ∠= (1) 求椭圆C 的标准方程:(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若AQ BQ =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等量关系式，从而求得,a c 的值，借用椭圆中,,a b c 的关系，求得b 的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得k 的取值范围.详解：（1）由题意设11PF r =，22PF r =则1235r r =，又122r r a +=，154r a ∴=，234r a = 在 12PF F ∆中，由余弦定理得，12cos F PF ∠=2221212122r r F F r r +- = 2225324453244a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯35=， 解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=，∴所求椭圆方程为22143x y +=（2）联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234k x ++ 284120kmx m +-=， 则12x x += 2834km k -+，212241234m x x k-=+，且()2248340k m ∆=+->…① 设AB 的中心为()00,M x y ，则1202x x x +== 2434km k -+，002334my kx m k=+=+， AQ BQ =,AB QM ∴⊥,即，QM k k ⋅= 22334141344mk k km k +⋅=---+，解得2344k m k +=-…②把②代入①得22234344k k k ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭，整理得4216830k k +->，即()()2241430k k -+> 解得11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.21.已知函数()xf x xe =，()232g x x x =+-． ()1求证：()()215022f xg x x x-+->对()0,x ∞∈+恒成立；()2若()()()(0)32f x F x x gx x =>-+，若120x x <<，122x x +≤，求证：()()12.F x F x >【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数()h x ，对函数()h x 进行一阶导数和二阶导数的分析，得到()h x 在()0,∞+上单调递增，则当0x >时，()()0010.h x h e >=-=命题得证．（2）先对整理后的()F x 进行一阶导数的分析，画出函数()F x 大致图象，可知()10F x >，()20.F x >然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．【详解】证明：()1由题意，可知()()22221531511222222x x f x g x x e x x x e x x x-+-=--++-=---． 令()2112xh x e x x =---，0.x >则 ()'1x h x e x =--，()0.1x x h x e >"=-，当0x >时，()10xh x e "=->，()'h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()''00h x h >=，()h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()0010h x h e >=-=．故命题得证．()2由题意，()xe F x x =，0x >．()()21'x x e F x x -=，0x >．①令()'0F x =，解得1x =；②令()'0F x <，解得01x <<； ③令()'0F x >，解得1x >．()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值()1F e =．()F x 大致图象如下：根据图，可知()10F x >，()20F x >．()()()()12121122121212.x x e e lnF x lnF x ln ln x lnx x lnx x x lnx lnx x x ∴-=-=---=---120x x <<，122x x +≤，∴根据对数平均不等式，有12121212x x x x lnx lnx -+<≤-， ()()121212121110lnF x lnF x lnx lnx x x x x --∴=-<-=--． 120x x -<， ()()120lnF x lnF x ∴->．()()12.F x F x ∴>故得证．【点睛】本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()sin ρθθ=（1）求C 的极坐标方程；（2）若射线11π:02OM θθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的取值范围.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <<.【解析】试题分析：（1）圆C 的参数方程消去参数φ，能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C 的极坐标方程．（2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=cosθ1，Q （ρ2，θ1），则2ρ=，OP OQ =ρ1ρ2，结合tanθ1＞0，能求出OP OQ 的范围．试题解析：（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.（2）设()11,P ρθ，则有 11cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ=2ρ=所以12102OP OQ πρρθ⎫=⋅==<<⎪⎭ 因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <<.。
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(十)理科数学
2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知实数集R，集合，集合，则A. B. C.D.2.已知复数是纯虚数，其中a是实数，则z等于A. 2iB.C. iD.3.若是第二象限角且，则A. B. C. D.4.在中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为A. B. C. D. 15.已知空间两不同直线m、n，两不同平面、，下列命题正确的是A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若m不垂直于，且则m不垂直于n6.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门，某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；可以估计不足的大学生使用app主要玩游戏；可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的其中正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 37.已知命题p：任意，都有；命题q：，则有则下列命题为真命题的是A. B. C. D.8.已知双曲线C的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为A. B. C. D.9.己知数列满足，则A. B. C. D.10.已知圆：，圆：点M、N分别是圆、圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是A. B. 9 C. 7 D.11.在三棱锥中，，且，，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：；平面ABD；三棱锥的体积的最大值为；与BC一定不垂直．其中所有正确命题的序号是A. B. C. D.12.定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m 的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，的系数是______用数字作答．14.已知数列满足：点在直线上，若使、、构成等比数列，则______．15.已知函数在处的切线与直线平行，则n为______．16.定义在R上的偶函数满足，且，当时，已知方程在区间上所有的实数根之和为将函数的图象向右平移a个单位长度，得到函数的图象，则______，______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表单位：人次：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分满意1212022015分一般2362490分不满意106344在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．18.设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、设S为的面积，满足．Ⅰ求B；Ⅱ若，求的最大值．19.如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点．将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．Ⅰ求证；Ⅱ若平面ABCD．求二面角的大小；在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．20.已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点．求椭圆C的方程；设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O 到直线MN的距离为定值．21.已知函数，．求函数在区间上的最小值；令，，是函数图象上任意两点，且满足，求实数a的取值范围；若，使成立，求实数a的最大值．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为为参数，l与C分别交于M，N．写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；若、、成等比数列，求a的值．23.已知函数．解不等式；若函数最小值为M，且，求的最小值．数学参考答案（理）1A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.D13.14.13 15.4 16.2 417.【答案】解：设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；由题意，X的所有可能取值为：0，1，2，因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，，，x012P故；从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．18.【答案】解：Ⅰ，，即，由变形得：，整理得：，又；Ⅱ，，由正弦定理知，，，当且仅当时取最大值，故的最大值为．19.【答案】证明：Ⅰ在图1中，，，为平行四边形，，，，当沿AD折起时，，，即，，又，AB、平面PAB，平面PAB，又平面PAB，Ⅱ由平面ABCD，平面ABCD，可得，所以PA，AB，AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，0，，设平面PBC的法向量为y，，则，取，得0，，设平面PCD的法向量b，，则，取，得1，，设二面角的大小为，则，．二面角的大小为．设AM与面PBC所成角为，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直线AM与平面PBC所成的角为，，解得或．20.【答案】解：根据题意，因为P在椭圆上，当P是短轴端点时，P到x轴距离最大，此时面积最大，所以，由，解得，所以椭圆方程为．根据题意，在时，设直线MN方程为，原点到此直线的距离为，即，由，得，，，，所以当时，，，为常数．若，则，，，，，综上所述，当时，点O到直线MN的距离为定值．21.【答案】解：，令，则，当时，在上单调递增，的最小值为；当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，的最小值为．综上，当时，；当时，．，对于任意的，，不妨取，则，则由，可得，变形得恒成立，令，则在上单调递增，故在恒成立，在恒成立．，当且仅当时取“”，；，．，，使得成立．令，则，令，则由，可得或舍．当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．，在上恒成立．实数a的最大值为1．22.【答案】解：Ⅰ曲线C：，可得，它的直角坐标方程为；，消去t，可得，直线l的普通方程为 4分Ⅱ将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得．设点M，N分别对应参数，，恰为上述方程的根．则，，由题设得，即由得，，则有，得，或．因为，所以 10分23.【答案】解：当时，，即，无解；当时，，即，得；当时，，即，得．故所求不等式的解集为．因为，若函数最小值为M，且，所以，则，．当且仅当即时取等号．故的最小值为．。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二十九)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1.已知集合{}{}|1,|20A y y x B x x ===-≤，则A B =( )A. []1,2B. []0,2C. (],1-∞D. [)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，根据交集的定义即可求得结果. 【详解】{}|1[1,)A y y x ==+=+∞，{}|20(,2]B x x =-≤=-∞，所以[1,2]A B =，故选A.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目. 2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ） A.23B.12C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有246C =种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有133C =种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为31=62． 故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题．3.使复数z 为实数的充分而不必要条件的是（ ） A. 2z 为实数 B. z z +为实数C. z z =D. z z =【答案】D 【解析】 【分析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项． 【详解】解：设复数z a bi =+（i 是虚数单位），则 复数z 为实数的充分必要条件为0b = 由此可看出：对于A ，2z 为实数，可能zi 是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B ，同样若z 是纯虚数，则0z z +=为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C ，若,,z a bi z a bi z z =+=-=等价0b =，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D ，若0z z =≥，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则z z =不成立，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键．4.已知样本数据12,,...,n x x x 的平均数是5，则新的样本数据1225,25,...25n x x x +++的平均数为( ) A. 5 B. 7C. 10D. 15【答案】D 【解析】 【分析】利用求平均数公式12nx x x x n++⋅⋅⋅+=即可求出．【详解】由题意知，数据的平均数125nx x x x n++⋅⋅⋅+==， 则数据1225,25,...25n x x x +++的平均数()()()1225252525515n x x x n++⋅⋅⋅+=⨯+=+=++故选D【点睛】本题考查求数据的平均数，可以根据平均数利用定义计算，也可以根据结论，若已知数据的平均数为x ，则12,,...n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +解答，属于基础题． 5.已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）B. 1 2+【答案】D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值.【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ 因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为112+=故选D.【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题.6.4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（ ）B.13C.23D.43【答案】B 【解析】 【分析】联立2y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，然后对解析式求定积分即可得到曲线2yx，y =的图像所围成的面积.【详解】由题意可得：每片叶子的面积为曲线2yx，y =联立2y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，则曲线2y x，y =31231200211)()|333S x dx x x ==-=⎰， 故选：B.【点睛】本题考查了定积分的应用，重点考查了运算能力，属基础题.7.函数()sin(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为12，O为坐标原点，且0OM ON⋅=，则ω，ϕ的值分别是（）A.23π，6πB. π，3πC. 2，4πD. 1，3π【答案】A【解析】【分析】根据条件即可得出1(,1)2M，并设(,1)N x-，然后根据0OM ON=即可得出2x=，这样结合图象即可得出22322ωπϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而解出ω，ϕ即可．【详解】解：根据题意知，1(,1)2M，设(,1)N x-，且0OM ON=，∴102x-=，解得2x=，∴结合图象，把两点的坐标代入函数解析式中得，22322ωπϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2,36ππωϕ==．故选：A．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，五点法画()sin()f x xωϕ=+的图象的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.某程序框图如图所示，其中21()g nn n=+，若输出的20192020S=，则判断框内可以填入的条件为（）A. 2020?n <B. 2020?nC. 2020?n >D.2020?n【答案】A 【解析】 【分析】 因为()()2111111g n n n n n n n ===-+++，此程序框图是对函数()g n 求和，利用裂项相消法求和，可知201912020n S n ==+，可知2019满足条件进入循环，2020不满足条件没有进入循环，根据选项得到正确结果. 【详解】由2221111111112019(1111222231112020n S n n n n n n ⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+-=-==⎪ ⎪ ⎪++++++⎭⎝⎭⎝⎭，解得2019n =，可得n 的值为2019时.满足判断框内的条件，当n 的值为2020时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，故判断框内可以填人的条件为“2020n <？”.故选A.【点睛】本题考查根据循环框图的输出结果填写判断框的内容，关键是分析出满足输出结果时的n 值，再根据选项判断结果.9.已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y ∈R ），则x y +的最大值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】以O 为原点,OA OB 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，根据OC 为单位向量设出OC 的坐标，利用三角函数的性质求得x y +的最大值.【详解】由于单位向量OA 、OB 满足0OA OB ⋅=，故OA OB ⊥，以O 为原点,OA OB 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，由于OC 为单位向量，故C 在以O 为圆心，半径为1的圆上，设()[)cos ,sin ,0,2πOC θθθ=∈，也即cos ,sin x y θθ==，所以π2sin 2,24x y θ⎛⎫⎡⎤+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，所以x y +的最大值为2. 故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查三角恒等变换求最值，属于中档题.10.若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A. ()0,∞+ B. (),0-∞ C. ()2,+∞ D. (),2-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间． 【详解】2()(1)x f x ax e -=-，0(2)(21)21f a e a =-=-求导222'()(1)1(1)x x x f x aeax e ax a e ---=+-⋅=+-0='(2)(31)31k f a e a =-=-切3(21)=423132a k a a --∴=-=--切解得1a =2222()(1),'()1(1)x x x x f x x e f x e x e xe ----=-∴=⋅+-= 20x e ->，则当0x >时，'()0f x >．则()f x 的单调递增区间是(0)+∞，． 故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．11.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】过点M 作MN //PA 交AB 于点N ，点M 作MF//BC 交PC 于点F,过点N 作NE //AD 交CD 于点E ，连接EF.则面MNEF//平面PAD ，MNEF y S =.由PA ⊥平面ABCD ，可得MN ⊥平面ABCD ，平面α与平面PAD 之间的距离为AN x =，且MNEF 为直角梯形. 由MN //PA ，MF//BC 得22MN x PA -=，2MF xBC =所以()22,MN x MF x =-=. ()()()22242MNEF MN MF NE y S x x x +===-+=-.故选D.12.已知函数()1x xf x e=-，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（ ）A. (,2)(2,)-∞⋃+∞B. 12,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭ C. 12,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 12e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数求出函数()y f x =在(),1-∞为增函数，在()1,+∞为减函数，又因为关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解等价于()t f x =的图像与直线1t t =，2tt =的交点个数之和为3个，再作()t f x =的图像与直线1t t =，2t t =，观察交点个数从而求出m 的取值范围即可. 【详解】解：由函数()1x xf x e=-， 则'1()x xf x e-=， 当10x ->，即1x <时，'()0f x >，当10x -<，即1x >时，'()0f x <， 则函数()y f x =在(),1-∞为增函数，在()1,+∞为减函数，max 1()(1)1f x f e==-， 令()t f x =，则关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=可化为210t mt m ++-=， 则210t mt m ++-=，则11t =-或21t m =-，则关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解等价于()t f x =的图像与直线1t t =，2tt =的交点个数之和为3个，又函数()t f x =的图像如图所示：由图可得函数()t f x =的图像与直线1t t =，2t t =的交点个数之和为3个时，1111m e -<-<-，解得 122m e-<<， 故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，重点考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题. 二、填空题13.若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm ，则这个圆心角所在的扇形面积________2cm . 【答案】4 【解析】 【分析】先由扇形的弧长公式l R θ=可得：422R ==，再结合扇形的面积公式12S lR =求解即可.【详解】解：由扇形的弧长公式l R θ=可得：422R ==，由扇形的面积公式12S lR =可得：这个圆心角所在的扇形面积为14242S =⨯⨯=2cm ，故答案为：4.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了扇形的面积公式，属基础题.14.已知向量(2,3)a =--，(,1)b λ=，若向量a 与向量b 夹角为钝角，则λ的取值集合为________.【答案】322,,233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由题意可得230a b λ=--<，且a 与b 不共线，由此求得λ的取值集合． 【详解】解：向量(2,3),(,1)a b λ=--=，若向量a 与向量b 夹角为钝角，∴230a b λ=--<，且a 与b 不共线，即32λ>- 且123λ≠--，即32λ>- 且23λ≠，故答案为：322,,233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题． 15.若函数lg(1),(1)()sin ,(0)x x f x x x ⎧->=⎨<⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有________对. 【答案】4 【解析】 【分析】()y f x =图象上关于原点O 对称的点的个数只需观察()|(1)|(1)f x lg x x =->的图象与()sin (0)f x x x =<关于原点对称的函数的图象交点个数即可,再分别画图象可观察得解.【详解】解：()y f x =图象上关于原点O 对称的点的个数,只需观察()|(1)|(1)f x lg x x =->的图象与()sin (0)f x x x =<关于原点对称的函数的图象交点个数即可，上图可知：两个图象交点个数为4个， 故答案为：4．【点睛】本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想．16.设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知()2223c a b =-，且tan 3C =，则角B 的余弦值为________.【答案】2【解析】 【分析】由tan 3C =，可得cos 10C =，再由余弦定理可得=，然后结合余弦定理求解即可.【详解】解：由tan 3C =，可得sin 3cos CC=，又tan 0C >，则cos 0C >， 又22sin cos 1C C +=，所以cos 10C =， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，又()2223c a b=-，则2210200a b +-=，即)0+-= ，则=，不妨令b =3a c ==，由余弦定理可得222cos 22a c b B ac +-===，【点睛】本题考查了余弦定理，重点考查了运算能力，属基础题. 三、解答题17.在数列{}n a 中，已知()111411,,23log 44n n n n a a b a n N a *+==+=∈． （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1()4nn a =，32n b n =-（2）211133342nn n nS -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义得数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列，由等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，再代入1423log n nb a +=中得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得数列{}n c 是等比数列{}n a 和等差数列{}n b 的每一项求和所得，所以对等比数列{}n a 和等差数列{}n b 分别求前n 项和再相加可得{}n c 的前n 项和n S . 【详解】（1）∵114n n a a +=,11,4a = ∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴()1*111444n nn a n N -⎛⎫⎛⎫=⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵143log 2n n b a =- ,∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-()*n N ∈，∴1324nn n n c a b n ⎛+⎫=+=- ⎪⎝⎭. 所以()231111147324444n nn S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+++++++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()21114413211311234214nn n n n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭+-⨯-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，所以211133342nn n nS -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，故得解.【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和分组成等差数列和等比数列求前n 项和的方法，属于基础题.18.已知函数()()22f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()1求函数()y f x =的最小正周期； ()2求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期T π=（2）()1min f x =-，()2max f x = 【解析】 【分析】()1利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期； ()2由x 的范围，得到相位的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【详解】解：()()()212f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭221222asinxcosx cos x sin x asin x cos x =-+=-．()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1221sin()cos()1,2332a ππ---=+=- a ∴=则()22226f x x cos x sin x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭． 所以函数()y f x =的最小正周期T π=；()522,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,646x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦， 则12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈-．则当23x π=时，()1min f x =-，当3x π=时，()2max f x =．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．19.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，EA EB ⊥.(1) 求证：AB DE ⊥；(2) 求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3) 线段EA 上是否存在点F ，使//EC 平面FBD ?若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（23（3）线段EA 上存在点F ，使得//EC 平面FBD ，且13EF EA =. 【解析】 【分析】（1）取AB 中点O ，连接EO ，DO ．利用等腰三角形的性质，可得EO ⊥AB ，证明边形OBCD 为正方形，可得AB ⊥OD ，利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面EOD ，从而可得AB ⊥ED；（2）由平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ，可得EO ⊥平面ABCD ，从而可得EO ⊥OD ．建立空间直角坐标系，确定平面ABE 的一个法向量为()010OD =，，，()111EC =-，，，利用向量的夹角公式，可求直线EC 与平面ABE 所成的角； （3）存在点F ，且13EF EA =时，有EC ∥平面FBD ．确定平面FBD 的法向量，证明EC v ⋅=0即可．【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连接EO ，DO ． 因为EB=EA ，所以EO ⊥AB． 因四边形ABCD 为直角梯形，AB=2CD=2BC ，AB ⊥BC，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD 因为EO ∩OD=O 所以AB ⊥平面EOD 因为ED ⊂平面EOD 所以AB ⊥ED．（2）解：因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且 EO ⊥AB ，平面ABE ∩平面ABCD=AB 所以EO ⊥平面ABCD ，因为OD ⊂平面ABCD ，所以EO ⊥OD．由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ．因为△EAB 为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE ，设OB=1，所以O （0，0，0），A （﹣1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），E （0，0，1）．所以()111EC =-，，，平面ABE 的一个法向量为()010OD =，，． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以 33EC OD sin cos EC OD EC ODθ⋅=〈==，＞， 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为3． （3）解：存在点F ，且13EF EA =时，有EC ∥平面FBD ．证明如下：由 1110333EF EA ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，，，12033F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，所以42033FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．设平面FBD 的法向量为v =（a ，b ，c ），则有0v BD v FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以042033a b a c -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取a=1，得v =（1，1，2）． 因为EC v ⋅=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC ⊄平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC ∥平面FBD ．【点睛】本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．20.已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12l l 和，分别交曲线C 于点,A B 和,K N ．设线段AB ，KN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】(1) 24y x = (2) 见解析 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数2p =，进而求出标准方程；（Ⅱ）先依据（Ⅰ）的结论分别建立12,l l 两条互相垂直的直线的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为,P Q 的坐标，最后借助斜率的变化确定直线PQ 经过定点.解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.∵2p =，∴抛物线方程为：24y x =（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>.因直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121ky k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E . 21.已知函数()222xx f x eae ax =--，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）210x y ++=;（Ⅱ）12【解析】 分析】(Ⅰ)1a =时,求出导函数,求出()f x ',将0x =代入到()f x '中得到曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线的斜率,求出(0)f ,然后利用点斜式求出曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程.（Ⅱ）先利用导数证明函数()f x '在R 上有唯一零点0x ,且函数()f x 在0(,)x -∞上递,在0(,)x +∞上递增,所以函数()f x 在0x 处取得最小值0()f x ,再根据函数()f x 有唯一零点可得0()0f x =,然后根据0()0f x '=以及0()0f x =联立消去a ,得到00e 210xx +-=,然后构造函数()e 21xh x x =+-,通过导数的方法可得()h x 有唯一零点0x ,且00x ==,最后将00x =代入到0()0f x '=可以解得a 的值.【详解】（Ⅰ）当1a =时，()2e2e 2xx f x x =--.()22e 2e 2x x f x '∴=--. ()0002e 2e 22f '∴=--=-.又()00e 2e 01f =--=-，∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()12y x --=-，即210x y ++=.（Ⅱ）()22e2e 2xx f x a a '=--=()22e e x x a a --.令()e 0,xt =∈+∞，则()()()22f x g t t at a '==--.0a >，∴函数()y g t =在()0,∞+仅有一个零点.∴存在()00,t ∈+∞，使得()00g t =.即存在0x 满足00e xt =时，()00f x '=.∴当()00,t t ∈，即()0,x x ∈-∞时，()0f x '<.()f x ∴在()0,x -∞上单调递减；当()0,t t ∈+∞，即()0,x x ∈+∞时，()0f x '>.()f x ∴在()0,x +∞上单调递增.又当x →-∞时，2e 2e 0x x a -→，2ax -→+∞，()f x ∴→+∞； 当0x >时，e x x >，()22e 2e 2e xx x f x a ax ∴=-->()2e 2e e e 4x x x x a a a --=-.当x →+∞时，()ee4xxa -→+∞，∴当x →+∞时，()f x →+∞.∴由题意，函数()f x 有唯一零点时，必有()00200e 2e 20x x f x a ax =--=.①又002e e 0x x a a --=，②由①②消去a ，得00e 210xx +-=.令()e 21x h x x =+-.()e 20xh x '=+>，()h x ∴单调递增. 又()00h =，∴方程00e 210x x +-=有唯一解00x =.将00x =代入002e e 0x x a a --=，解得12a =. ∴当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为12. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,函数的零点,利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的最值,转化化归思想,构造法属于难题.22.在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求1C 和2C 的参数方程；（2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l 与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.【答案】（Ⅰ）2cos (22sin x y βββ=⎧⎨=+⎩为参数）; （Ⅱ）)6π 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据坐标方程之间的转化，分别求出C 1和C 2的参数方程即可；（Ⅱ）设出P ，Q 的极坐标，表示出|OP|•|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出P 的极坐标即可． 试题解析：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为()2224x y -+= 所以1C 参数方程为22(2x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数）. 曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.所以2C 参数方程为2(22x cos y sin βββ=⎧⎨=+⎩为参数） （Ⅱ）设点P 极坐标为()1,ρα, 即14cos ρα=,点Q 极坐标为2,6πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 即24sin 6πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 则124cos 4sin 6OP OQ πρραα⎛⎫⋅==⋅+ ⎪⎝⎭116cos sin cos 22ααα⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 8sin 246πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 70,.2,2666ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2,626πππαα+==时 OP OQ ⋅取最大值，此时P 点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23.已知函数()214f x x x =++-（1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式2()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]1,1-（2）(),1(9,)-∞-+∞ 【解析】【分析】 （1）对()f x 去绝对值符号，然后分别解不等式即可（2）不等式2()48f x x a a +-<-有解，则只需2min (()4)8f x x a a +-<-，求出()4f x x +-的最小值，然后解不等式即可.【详解】（1）由已知得13321()542334x x f x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，，， 当21x <-时，3361x x -+≤⇒≥- 112x ∴-≤<- 当142x -≤≤时，561x x +≤⇒≤ 112x ∴-≤≤当4x >时，3363x x -≤⇒≤舍综上得()6f x ≤的解集为[]1,1-（2）()421289f x x x x +-=++-≥2()48f x x a a +-<-有解289a a ∴->，(9)(1)0a a -+>1a ∴<-或9a >a ∴的取值范围是(),1(9,)-∞-+∞.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(八)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（八）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集为R ，集合{}2xA y y ==，{}240B x x =∈-≤Z ，则下列结论正确的是（ ）． A. {}0,1,2A B =B. [)1,A B ∞=+C.()(],1RA B =-∞ D.(){}2,1,0RA B =--【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合,A B 再判断即可. 【详解】{}{}21xA y y y y ===≥,{}{}2402,1,0,1,2B x x =∈-≤=--Z .故{}1,2AB =,A 错误.{}[)2,1,01,A B =-∞-+,B 错误.()(]{},12RA B =-∞.C 错误.(){}2,1,0RA B =--.D 正确.故选：D【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,属于基础题型. 2.设a ，b ∈R ，那么“＞1”是“a ＞b ＞0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：a ＞b ＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b ＞0，由充要条件的定义可得答案． 解：由不等式的性质，a ＞b ＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a ＞b ＞0． 故是a ＞b ＞0的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3.已知,x y ∈R ，i 为虚数单位，且()2i 15i x y +-=+，则()1i x y+-=（ ）． A. 2- B. 2i - C. 2D. 2i【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的性质求解,x y 再计算()1i x y+-即可.【详解】因为()2i 15i x y +-=+,故25,1x y +=-=解得3,1x y .故()()21i 1i 2x yi +-=-=-.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题型. 4..若log 2log 20a b <<，则（ ） A. 01a b <<< B. 01b a <<< C. 1a b >> D. 1b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的性质求解．【详解】∵log 2lo 1g 20log a b a <<=，∴0＜a ＜1，0＜b ＜1，∵2＞1，要使log b 2＜0 ∴0＜b ＜1，∵log 2log 20a b <<，∴a ＞b ，且0＜a ＜1，∴01b a <<<． 故选B ．【点睛】本题考查两个数的大小的比较，注意对数函数的性质的合理运用，属于基础题．5.在ABC 中，3AB =，4AC =，BC =AC 边上的高为（ ）．A.2C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解A 的大小,再利用AC 边上的高sin h AB A =⋅即可.【详解】易得222916131cos 2242AB AC BC A AB AC +-+-===⋅,又()0,A π∈.故3A π=.故AC 边上的高sin 2h AB A =⋅=. 故选：B【点睛】本题主要考查了解三角形的运用,需要根据题意选取合适的公式求解即可.属于基础题型.6.若()()21ln 22f x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，则b 的取值范围是（ ）．A. ()1,-+∞B. ()0,∞+C. (],1-∞-D. (],0-∞【答案】D 【解析】 【分析】根据减函数的导函数值在区间上小于等于0求解即可. 【详解】()'2bf x x x =-++,由题02b x x -+≤+在()0,∞+上恒成立.又20x +>故()2b x x ≤+在()0,∞+上恒成立.又()2y x x =+对称轴1x =-.故()2y x x =+在()0,∞+单调递增.故()20y x x =+>,故0b ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了利用导函数解决单调性的问题,同时也考查了恒成立问题的参变分离方法,属于基础题型.7.设a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为2π3，当a kb -取最小值时，实数k 的值为（ ）． A. 12- B. 1- C.12D. 1【答案】A 【解析】 分析】将a kb -平方再分析最值即可. 【详解】()222221a kb a ka b kbk k -=-⋅+=++.故当12k =-时, a kb -取最小值.故选：A【点睛】本题主要考查了平行向量的模长运用,常用平方再分析的方法,属于基础题型.8.已知函数()2cos2f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）．A. ()f x 的图像关于直线π12x =对称 B. ()f x 的图像向左平移π6个单位后为偶函数图像C. ()f x 的图像关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. ()f x 的最小正周期为π，且在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简再分析即可.【详解】()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+.对A,代入π12x =有2=1263πππ⨯+,不为正弦函数对称轴.故A 错误. 对B, ()f x 的图像向左平移π6个单位后为()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数,故B 正确.对C,代入5π6x =有52sin(2)066ππ⨯+≠,故C 错误. 对D,()f x 最小正周期为π,在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦不为单调递增区间.故D 错误.故选：B【点睛】本题主要考查了辅助角公式的运用以及三角函数图像的性质判定,属于基础题型. 9.函数f(x)＝log 2|x|，g(x)＝－x 2＋2，则f(x)·g(x)的图象只可能是( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】因为函数f(x)，g(x)都为偶函数， 所以f(x)·g(x)也为偶函数， 所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f(x)·g(x)＝(－x 2＋2)log 2|x|，当0<x<1时，f(x)·g(x)<0，排除B ，故选C. 10.已知数列{}n a ，若点()(),n n a n +∈N 均在直线()83y k x =-+上，则{}na 的前15项和等于（ ）． A. 42 B. 45 C. 48 D. 51【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质求解即可.【详解】{}n a 的前15项和15815S a =,又()88833a k =-+=,故1581545S a ==. 故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的的性质及求和公式,属于基础题型. 11.已知函数()2n y a xn +=∈N 的图像在1x =处的切线斜率为1n a+，且当1n =时，此切线过点()2,3，则7a 的值为（ ）． A. 8 B. 16 C. 32 D. 64【答案】D 【解析】 【分析】求导后利用导函数的几何意义求解数列的递推公式,再推导出{}n a 为等比数列,求通项公式再求7a 即可.【详解】由题'2n y a x =,故12n n a a +=.又当1n =时,此切线过点()2,3,此时斜率1'2y a =,故切线方程为()1322y a x -=-,且与21y a x =相切.联立方程得()22111113222430a x a x a x a x a +-=⇒-+-=.显然10a ≠.故判别式()()21111244301a a a a --=⇒=. 故{}n a 是以11a =为首项,公比为2的等比数列.故12n n a .故67264a ==.故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及数列的递推公式求解通项公式的方法.需要根据导数的几何意义求解对应的切线方程,再利用与二次函数相切则联立方程判别式为0的方法等.属于中等题型.12.已知奇函数()f x 满足()()()2f x f x x -=-∈R ，且[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则关于x 的方程()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和是（ ）． A. 10 B. 8C. 6D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的性质,且已知[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+,可画出对应的函数图像,再分析()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和即可.【详解】由题,()()()2f x f x x -=-∈R ,则()()()24f x f x f x =-+=+,故()f x 周期为4.又奇函数()f x 关于()0,0对称,且()()2()f x f x f x -=-=-,故()f x 关于1x =-对称, 又[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+则可画出区间[]4,8-上对应的函数图像.易得()()001f x m m -=<<即()()01f x m m =<<在区间[]4,8-上的根分别关于-3,1,5对称,故零点之和为()23156⨯-++=⎡⎤⎣⎦. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的关系推导函数性质以及函数图像的问题.需要先根据[]0,1x ∈时,()()2log 1f x x =+,画出[]0,1x ∈的图像,再根据函数性质补全图像.再利用图像求得零点之和.属于中等题型.二、填空题13.已知πcos()63x -=-，则πcos cos()3x x +-=__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】注意观察角x 、36x x ππ--、的关系可发现x 、3x π-均能用已知角和特殊角6π表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．【详解】πcos cos()3x x +-=][cos cos 6666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos cos 2166x ππ⎛⎛⎫=-=⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭故答案为-1．【点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 14.设向量1e ，2e 分别为单位向量，且夹角为π3，若122a e e =-，122b e e =+，则⋅=a b ______．【答案】32【解析】 【分析】根据平面向量的数量积运算即可.【详解】()()221212112233222322222e e e e a e e e e b -+=+⋅-=+-=⋅=⋅.故答案为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算,属于基础题型. 15.已知向量()2,3a =，()1,2b =-，若ma nb +与2a b -共线，则nm=______． 【答案】2- 【解析】 【分析】根据向量共线的方法分析系数关系即可.【详解】因为ma nb +与2a b -共线,故()()()220ma nb a b m a n b λλλ+=-⇒-++=, 又()2,3a =,()1,2b =-不共线,根据平面向量基本定理得0,20m n λλ-=+=. 故22n m λλ-==-. 故答案为：2-【点睛】本题主要考查了平行向量的性质与用法,直接根据平面向量基本定理判定即可.属于基础题型.16.已知数列{}n a 与{}n b 满足()1111nn n n n a b b a +++=+-，()312nnb +-=，且12a =，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则64S =______．【答案】560- 【解析】 【分析】分n 为奇数和偶数两种情况讨论即可.【详解】由()312nnb +-=,故当n 为偶数时,2n b =；当n 为奇数时,1n b =.又()1111nn n n n a b b a +++=+-,12a =故12121220204a b b a a a a +=⇒+=⇒=-. 故当n 为偶数时, 122n n a a ++=；当n 为奇数时, 120n n a a ++=.所以当n 为偶数时, 111122120n n n n n n a a a a a a ++--+=⎧⇒-=⎨+=⎩,即奇数项为公差为1的等差数列.当n 为奇数时, 111120222n n n n n n a a a a a a ++--+=⎧⇒-=-⎨+=⎩即偶数项为公差为-2的等差数列. 又12a =,故641234636413632464...(...)(...)S a a a a a a a a a a a a =++++++=+++++++13632464(...)(...)(23...33)(4...66)a a a a a a =+++++++=+++-++32(233)32(466)16(35)56022⨯+⨯+=-=⨯-=-.故答案为：560-【点睛】本题主要考查了奇偶数列的求和问题,需要根据n 为奇数和偶数两种情况进行分类讨论,求和的时候再直接写出各项进行计算分析即可.属于中等题型.三、解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()()2222sin sin 0bc A b a C -+-=．（1）求证：a ，b ，c 成等比数列； （2）若π3B =，试判断ABC 的形状． 【答案】（1）证明见解析（2）等边三角形 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理以及因式分解的方法证明20b ac -=即可. (2)利用余弦定理以及(1)中的2b ac =化简求得a c =即可. 【详解】（1）由已知应用正弦定理得()()22220b c a ba c -+-=,即()()20b aca c -+=,由于0a c +>,则20b ac -= 故a ,b ,c 成等比数列． （2）若π3B =,则222222cos b a c ac B a c ac ++-=+-, 由（1）知2b ac =,则2220+-=a c ac ,即a c =, 所以a b c ==,故ABC 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中运用,需要根据题目信息选择合适的定理进行化简分析,属于中等题型.18.设向量()sin 2,2a x =，()1,sin b x =，()f x a b =⋅，角A ，B ，C 分别为ABC 的三个内角，若()f x 在x A =处取得极值．（1）试求A 与()f A 的值；（2）当1AB AC ⋅=，求ABC 的最小外接圆半径．【答案】（1）π3A =，()f A=2（2）3 【解析】【分析】(1)化简()f x a b =⋅再求导根据在x A =处取得极值可得π3A =,再算得()f A 即可.(2)化简1AB AC ⋅=,再利用余弦定理与基本不等式可得2BC ≥再利用正弦定理求外接圆的半径满足的关系式即可.【详解】（1）由()sin 2,2a x =,()1,sin b x =得()sin 22sin f x a b x x =⋅=+,则()()()22cos22cos 4cos 2cos 222cos 1cos 1f x x x x x x x '=+=+-=-+, 由于()f x 在x A =处取得极值,那么()()()22cos 1cos 10f A A A '=-+=, 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又0πA <<,则π3A =,()2ππsin 2sin 33f A =+=． （2）若1AB AC ⋅=,即πcos 13AB AC ⋅=,则2AB AC ⋅=,所以222π2cos 23BC AB AC AB AC AB AC =+-⋅≥⋅=,即2BC ≥ 则2πsin 3sin 3BCR A =≥=,故ABC ． 【点睛】本题主要考查了解三角形与向量、导数以及基本不等式的综合运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简,同时注意观察余弦定理中的结构找到基本不等式的用法即可.属于中等题型.19.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足21b a =，423b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）()21n a n n +=+∈N（2）()3212n -或()1212n ⎡⎤--⎣⎦ 【解析】【分析】(1)分1,2n n =≥两种情况,利用通项公式与前n 项和的关系求解即可.(2)利用基本量法求解等比数列{}n b 的首项与公比,再利用求和公式求解即可.【详解】（1）由22n S n n =+得13a =,且2n ≥时,()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,显然13a =满足21n a n =+,故()21n a n n +=+∈N ．（2）若等比数列{}n b 满足21b a =,423b a a =+,则由（1）得21341312b b q b b q ==⎧⎨==⎩,解得1322b q ⎧=⎪⎨⎪=⎩,或1322b q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以()()()1312132211122n nn n b q T q --===---或()()3121221122n n n T ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤==--⎣⎦+ 【点睛】本题主要考查了根据前n 项和与求通项公式方法,同时也考查了等比数列的基本量求法即求和的问题,属于中等题型.20.在数列{}n a 中，123a =，若函数()31f x x =+在点()()1,1f 处切线过点()1,n n a a +． （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和公式n S ．【答案】（1）证明见解析（2）()113234n n ++- 【解析】【分析】 (1)求导后求导切线方程,代入()1,n n a a +求得131n n a a +=-,再构造数列证明即可.(2)根据(1)中构造的等比数列求出()1312n n a =+,再分组求和即可. 【详解】（1）由()31f x x =+得()23f x x '=,()12f =,()13f '=,则()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-,即31y x =-．又此切线过点()1,n n a a +,则131n n a a +=-,即111322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 故12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为3的等比数列． （2）又12a =,由（1）知1111133222n n n a a -⎛⎫-=-⋅=⋅ ⎪⎝⎭, 则()1312n n a =+,()()1313113232134n n n S n n +⎡⎤-⎢⎥=+=+--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及构造数列求通项公式的方法,同时也考查了分组求和以及等比数列求和公式等.属于中等题型.21.已知()()2x f x ax e =+，()242g x x x =-++． 对于函数()f x 、()g x ，若存在常数k ，b ，使得x ∀∈R ，不等式()()f x kx b g x ≥+≥都成立，则称直线是y kx b =+函数()f x 与()g x 的分界线．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，试探究函数()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由．【答案】（1）见解析（2）2a =时，()f x 与()g x 存在“分界线42y x =+”，理由见解析【解析】【分析】(1)求导后分0a =,0a >与0a <三种情况讨论即可.(2)由题意,代入0x =时,有2b =,再根据二次函数的恒成立问题求得4k =,再证明()()()()()21220x h x f x kx b x e x =-+=+-+≥即可.【详解】（1）由()()2x f x ax e =+得()()2xf x ax a e '=++, 若0a =时,有()20x f x e '=>,则()f x 在R 上单调递增；若0a ≠时,由()0f x '=解得21x a =--, 若0a >时,对于2,1x a ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭,有()0f x '<；21,x a ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭,有()0f x '>, 则()f x 在2,1a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递减,在21,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若0a <时,对于2,1x a ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭,有()0f x '>；21,x a ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭,有()0f x '<, 则()f x 在2,1a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递增,在21,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）当2a =时,()()21x f x x e =+,()242g x x x =-++,若()()f x kx b g x ≥+≥对x ∀∈R 都成立,即()22142x x e kx b x x +≥+≥-++对x ∀∈R 都成立． 则0x =时,有22b ≥≥；且242kx b x x +≥-++,对x ∀∈R 都成立,即2b =,()2420x k x b +-+-≥对x ∀∈R 都成立． 所以2b = ,4k =．此时,令()()()()()2122xh x f x kx b x e x =-+=+-+, 则()()224xh x x e '=+-, 令()()224()x h x x e t x '=+-=，在(,2]-∞-上()()224()0xh x x e t x '=+-=<恒成立， 又在()2,-+∞上()()230xt x x e '=+>， ∴()()224x h x x e '=+-在()2,-+∞单增且()()0020240h e '=+-=，从而有0x ≥时,()0h x '≥；20x -<<时,()0h x '<,即在(),0-∞()0h x '<所以()h x 在(),0-∞上递减,在()0,∞+上递增．因此()()00h x h ≥=,即()42f x x ≥+．故2a =时,()f x 与()g x 存在“分界线42y x =+”．【点睛】本题主要考查了含参数的单调性讨论以及新定义的函数问题.主要是根据题意,代入特殊值找到对应的参数,再利用恒成立问题求解即可.属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点P 为1C 上任意一点，求点P 到2C 的距离的取值范围．【答案】（1）()2224x y ++=，20x y --=（2）[]0,2 【解析】【分析】(1)易得2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩表示圆,再利用极坐标中的公式化简πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (2)设曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2P ϕϕ-,求出P 到曲线2C 的距离公式,再利用三角函数的值域求解即可.【详解】（1）由2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩消去参数ϕ,得()2224x y ++=, 则曲线1C 的普通方程为()2224x y ++=．由πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得cos sin 22ρθρθ-=即2x y -=． 则曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=．（2）曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2P ϕϕ-到曲线2C 的距离为π2cos4dϕ⎛⎫===+⎪⎝⎭,故点P到曲线2C的距离的取值范围为[]0,2．【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了利用参数方程求距离最值的问题,属于中等题型.。
2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷(八)理科数学
2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（八）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（ ）A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集.【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题. 2.已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A. 5B.C. 13D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可. 【详解】解：()3223z i i i =-=+，23z i =-222313z z ⋅=+=，故选：C【点睛】考查复数的运算，是基础题.3.已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ）A. 3B.C. D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先求出a b +，再利用()0a a b ⋅+=求出t ，再求b . 【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+ 由()a ab ⊥+，所以()0a a b ⋅+=()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-，10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.4.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A. 22B.2 C.2 D. 22-【答案】A 【解析】 【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点()2,22M()22222p =⨯，2p =，()1,0F ，22MF k =，故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 5.函数()2cos 2ln xf x x x =+的部分图象大致为（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】显然()2cos 2ln xf x x x=+是偶函数，排除B C ，()1cos20f =<即可判断. 【详解】解：()2cos 2ln xf x x x =+是偶函数，排除B C ，又()1cos20f =<，排除D ， 故选：A.【点睛】考查函数的基本性质，是基础题.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）AB.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心，代入渐近线方程，找到a b 、的关系，即可求解. 【详解】解：()1,2E -，()2222:10,0x y C a b a b-=>>一条渐近线b y x a =- ()21ba=-⨯-，2a b =()222222+b ,2,c a c a a e ==+=故选：B【点睛】利用a b 、的关系求双曲线的离心率，是基础题.7.5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A. 2020年6月B. 2020年7月C. 2020年8月D. 2020年9月 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，计算出,x y ，然后解不等式即可. 【详解】解：1(12345)35x =⨯++++=，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++= 点()3,0.1在直线ˆˆ0.042yx a =+上 ˆ0.10.0423a=⨯+，ˆ0.026a =- ˆ0.0420.026yx =- 令ˆ0.0420.0260.5yx =-> 13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月， 故选：C【点睛】考查如何确定线性回归直线中系数以及线性回归方程的实际应用，基础题. 8.设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【详解】解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错 ②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α， 因为m α⊄，所以//m α，故②对 ③：//n β或n β⊂，故③错 ④：如图因为αβ⊥，l αβ=，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，则直线a β⊥，a l ⊥又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b 又m l ⊥，所以b l ⊥因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ，所以m β⊥，故④对. 故选：C【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.9.定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.10.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭C.(),0πD. 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解：()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫=⎪⎝⎭故选：D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.11.若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A. 85 B. 84C. 57D. 56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256故2256n =，8n =88433188r r rrr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A【点睛】考查二项式二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.12.若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由()2xf x e mx =-是偶函数，则只需()2xf x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然()2xf x e mx =-是偶函数所以只需()0,x ∈+∞时，()22xxf e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可令20xe mx -=，则2x e m x=令()2xe g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞ ()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥=()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点，只需24e m >故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为__________.【答案】10 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数截距可求. 【详解】解：作出可行域如下：由2z x y =-得1122y x z =-，平移直线1122y x z =-， 当1122y x z =-经过点B 时，截距最小，z 最大 解得()6,2B -2z x y =-的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.14.某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 【答案】1344 【解析】 【分析】分四种情况讨论即可【详解】解：数学排在第一节时有：141444384C A C ⨯⨯= 数学排在第二节时有：141344288C A C ⨯⨯= 数学排在第三节时有：141344288C A C ⨯⨯= 数学排在第四节时有：141444384C A C ⨯⨯= 所以共有1344种 故答案为：1344【点睛】考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos 20B B +-=；且1b =，则ABC 周长的范围为__________. 【答案】(]2,3 【解析】 【分析】先求B 角，再用余弦定理找到边a c 、的关系，再用基本不等式求a c +的范围即可.【详解】解：cos 20B B -=2sin 2,sin 1,663B B B πππ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222cos3=+-b a c ac π22212cos3a c ac π=+-()221332a c a c ac +⎛⎫+-=≤⋅ ⎪⎝⎭12a c <+≤所以三角形周长(2,3]a c b ++∈ 故答案为：(]2,3【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题. 16.1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales ）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________cm （排球的直径约为21cm ）【答案】 (1). 20 (2). ()2116+ 【解析】 【分析】（1）从下往上，各层球的个数依次是：10、6、3、1，所以共有20个（2）连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为63cm 的正四面体，易求该四面体的高，然后加上21即可.【详解】解：（1）从下往上，各层球的个数依次是：10、6、3、1，所以共有20个（2）连接位于四个顶点的球的球心得到一个棱长为63cm 的正四面体1234O O O O -，如图：取34O O 的中点E ，234O O O 的重心F ，连接1O F ,则1O F ⊥平面234O O O26332O E =，2633221323O F ==()22163213216O F =-=所以最上面球的球顶距离地面的高度约为)216+1cm .故答案为：20；)216+1【点睛】考查把实际问题转化为数学问题的能力、空间想象能力以及运算求解能力；较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项.（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2n a n +的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，21n n a =-（2）1222n n S n +=+-【解析】 【分析】（1）根据等差中项的定义得112n n a a +-=，然后构造新等比数列{}1n a +，写出{}1n a +的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得112n n a a +-=，即121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列. 即有()111122n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-.（2）由（1）知，数列{}2n a n +的通项为：2221nn a n n +=+-，()()123222213521n n S n ∴=+++++++++-()2122122212n n n n +-=+=+--故1222n n S n +=+-.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.18.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点.（1）面出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）13. 【解析】 【分析】（1）1A C 与平面1BDC 垂直，过点E 作与平面1BDC 平行的平面即可 （2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值【详解】解：（1）截面如下图所示：其中F ，G ，H ，I ，J 分别为边11C D ，1DD ，AD ，AB ，1BB 的中点，则1A C 垂直于平面EFGHIJ .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0B ，()10,0,2D ，()1,0,0H ，()2,1,0I ，()0,0,1G ，所以()12,2,2BD =--，()1,1,0HI =，()1,0,1HG =-.设平面EFGHIJ 的一个法向量为(),,n x y z =，则0x y x z +=⎧⎨-+=⎩.不妨取()1,1,1n =-，则11cos ,3BD n ==，所以1BD 与该平面所成角的正弦值为13. （若将1AC 作为该平面法向量，需证明1A C 与该平面垂直） 【点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.19.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l 小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为14，16，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时.（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元），求ξ的分布列与数学期望()E ξ；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额. 【答案】（1）见解析，40元（2）6000元 【解析】 【分析】（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可 （2）根据（1）结果求均值.【详解】解：（1）由题设知ξ可能取值为0，20，40，60，80，则()11104624P ξ==⨯=；()121112043624P ξ==⨯+⨯=；()11121154046236412P ξ==⨯+⨯+⨯=；()111216026434P ξ==⨯+⨯=；()111804624P ξ==⨯=.故ξ的分布列为：所以数学期望()115110204060804024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） （2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：14030060002⨯⨯=（元）【点睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.20.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点)F，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值.【答案】（1）22186x y +（2）最大值【解析】 【分析】（1）根据通径22b a=c =（2）设直线MN 方程为2x my =+，联立椭圆，利用OAMOANOMAN S S S=+四边形，用含m 的式子表示出OAMOANOMAN S SS=+四边形，用t =换元，可得222OMAN S t t t==++四边形，最后用均值不等式求解.【详解】解：（1）依题意有c =a =b =，所以椭圆的方程为22186x y +.（2）设直线MN 的方程为2x my =+，联立221862x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()223412120m y my ++-=. 所以1221234m y y m -+=+，1221234y y m -=+.所以12121122OAM OAN OMAN S SS y y y =+=⨯+⨯=-四边形234m===+.令t =，则t ≥所以OMAN S t t==+四边形，因t ≥2t t+≥OMAN S ≤四边形，当且仅当t =，即0m =时取得等号，即四边形OMAN 面积的最大值【点睛】考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题. 21.已知函数()()()11ln 2f x ax a x a x=-+-+∈R . （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：()12xf x e x x<--. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据()f x 的导函数进行分类讨论()f x 单调性（2）欲证()12xf x e x x<--，只需证ln 2x x e +<，构造函数()ln 2xg x x e =-+，证明()max 0g x <，这时需研究()g x 的单调性，求其最大值即可【详解】解：（1）()()11ln 2f x ax a x x=-+-+的定义域为()0,∞+， ()()()()2222111111ax a x ax x a f x a x x x x-++--+'=-+==， ① 当0a ≤时，由()0f x '<得1x >，由()0f x '>，得1x <， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减； ②当01a <<时，由()0f x '<得11x a <<，由()0f x '>，得1x <，或1x a>， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；③当1a =时，()()2210x f x x-'=≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；④当1a >时，由()0f x '<，得11x a<<，由()0f x '>，得1x a <，或1x >，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()1,+∞单调递增. （2）当2a =-时，欲证()12xf x e x x<--，只需证ln 2x x e +<， 令()ln 2x g x x e =-+，()0,x ∈+∞，则()1xg x e x'=-，因存在()00,1x ∈，使得001x e x =成立，即有00ln x x =-，使得()00g x '=成立. 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化如下：所以()()00000max 0011ln e 222xg x g x x x x x x ⎛⎫==-+=--+=-++ ⎪⎝⎭. 因为()00,1x ∈，所以0012x x +>，所以()max 220g x <-+=.即()()max ln 20xg x x e g x =-+≤<， 所以当2a =-时，()12xf x e x x<--成立. 【点睛】考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.【答案】（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(222:3C x y +-=.（2）y =.【解析】 【分析】（1）用1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C 的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭，代入到1:2cos C ρθ=和2C：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.【详解】解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨=⎩()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=故1C ：2cos ρθ=将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ= 因为222,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-= 得2C的直角坐标方程(222:3C x y +-=.（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭由2cos θϕρθ=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得||OB ϕ=故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭当3πϕ=时，OA OB +取得最大值此时直线的极坐标方程为：()3R πθρ=∈，其直角坐标方程为：y =.【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1f x x =-，不等式()()15f x f x +-<的解集为{}x m x n <<.- 21 - （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +≥.【答案】（1）1m =-，4n =.（2）见解析【解析】【分析】（1）分三种情况讨论即可（2）将m ，n 的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：（1）不等式()()15f x f x +-<可化为125x x -+-<.即有1325x x ≤⎧⎨-<⎩或12x <<或2235x x ≥⎧⎨-<⎩. 解得，11x -<≤或12x <<或24x ≤<. 所以不等式的解集为{}14x x -<<，故1m =-，4n =.（2）由（1）知，0nx y m ++=，即41x y +=， 由0x >，0y >得，()1111445549x y x y x y x y y x⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即16x =，13y =时等号成立.故119x y +≥，即9x y xy +≥. 【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.。
2021届全国大教育联盟新高三原创预测试卷(五)理科数学
2021届全国大教育联盟新高三原创预测试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|A x y ==，(){}|lg 1B x y x ==+，则A B =（ ）A. []22-,B. ()1,+∞C. (]1,2-D.(](),12,-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，再进行交集运算即可.【详解】因为{{}{}2|||4022A x y x x x x -=≤==-≤≤，(){}{}{}|lg 1|10|1B x y x x x x x ==+=+>=>-，所以{}{}{}|2|212|1x x x x x x A B -≤⋂>-⋂=-<=≤≤， 故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及解一元二次不等式，求对数函数的定义域，属于基础题.2. 已知复数z 满足(1)i z i +=（i 为虚数单位），则复数Z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先解出复数并化简z ，找出复数z 在复平面内对应的点，然后判断所在象限即可.【详解】解：由()1i z i +=，得()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++- 所以复数z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限 故选A【点睛】本题考查了复数的乘数法运算，复数的几何意义，属于基础题.3. 已知平面向量(1,)a x =，(4,2)b =，若向量2a b +与向量b 共线，则x =（ ） A.13B.12C.25D.27【答案】B 【解析】 【分析】先写出向量2a b +的坐标，然后由向量平行的坐标公式列方程解出x 即可. 【详解】解：由()1,a x =，()4,2b =，得()26,22a b x +=+ 因为()2a b +∥b所以()622240x ⨯-+⨯=，解得12x = 故选B【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于基础题.4. 已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程y bx a =+ ，其中11b =，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元A. 60B. 63C. 65D. 69【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据求出,x y ，然后根据线性回归方程中系数的求法得到a ，进而得到回归方程，然后求出当6x =时的函数值即为所求． 【详解】由表中数据可得1(12345)35x =⨯++++=，1(1015304550)305y =⨯++++=，又回归方程y bx a =+中11b =，∴ˆ301133a y bx=-=-⨯=-， ∴回归方程为113y x =-． 当6x =时116363y =⨯-=，所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元． 故选B ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法和其应用，考查计算能力和应用意识，解题的关键是求出系数a ，属于基础题．5. 程序框图如图，当输入x 为2019时，输出y 的值为（ ）A.18B. 1C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由流程图不断循环，找到其中规律，然后可得出输出值.【详解】解：输入x=2019，得x=2016，第1次判断为是，得x=2013；第2次判断为是，得x=2010；……一直循环下去，每次判断为是，得x 都减3，直到x=3-，判断结果为否，得到输出值31y 2=8-=故选A. 【点睛】本题考查了循环结构流程图，看懂流程图，找到循环规律是关键，属于基础题. 6. 已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ABC ∆的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B 的范围，可得三角形形状. 【详解】因为在三角形中，sinC<cosA sinB变形为sin sin cos C B A < 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +< 化简可得：sin cos 0cos 0A B B <∴<所以2B π>所以三角形为钝角三角形 故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.7. 在正方体11ABCD ABC D -中，E F 、分别是11,AB B C 的中点，则异面直线1A E FC 、所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.45【答案】D 【解析】 【分析】由题，AD 的中点为M ，易证1//A M FC ，即角1EA M 为所求角，利用余弦定理可得答案. 【详解】在正方体中，取AD 的中点为M ，连接ME ，设正方体的边长为1因为在正方体中，F 点为11B C 的中点，M 点为AD 的中点，所以1A F 与CM 平行且相等，所以四边形1A FCM 是平行四边形，所以1//A M FC所以异面直线1A E FC 、所成角也就是11A E A M 、所成的角所以112A M A E ME ===所以15514442cos 5524MA E +-∠==⨯ 故选D【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的夹角问题，平移直线到相交是解题的关键，属于较为基础题. 8. 函数ln ||()xx f x e =的大致图像是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数不具有奇偶性，排除部分答案，然后取值验证即可． 【详解】解：由已知ln ||ln ||()()xx x x f x f x e e----==≠±， 则函数()f x 不具有奇偶性，排除B 、D ；令ln ||()0xx f x e==，得1x =±， 当2x =-时，2ln 2(2)0f e--=>，排除C ．故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的图象与性质，利用排除法可快速得出答案，属于基础题． 9. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A.1213B.1314C.2129D.1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB '中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+在Rt ACB '中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 10. 若0,0a b >>，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分22abxdx xdx +⎰⎰的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理展开项可得1ab =，再22022abxdx xdx a b +=+⎰⎰利用基本不等式可得结果.【详解】二项式()6ax+b 的展开式的通项为6616r r r rr T C a b x --+= 当63,3r r -==时，二次项系数为3336201C a b ab =∴=而定积分2202222abxdx xdx a b ab +=+≥=⎰⎰当且仅当a b =时取等号 故选B【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.11. 已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为12e e 、，则221211e e +=（ ） A.32B. 2C.52D. 3【答案】B 【解析】 【分析】分别由椭圆和双曲线的定义表示出AB 和BC 的长，再利用勾股定理化简可得结果. 【详解】如图由题，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的半实轴为2a ，根据椭圆和双曲线定义：122,2AB BC a BC AB a +=-=可得1212,BC a a AB a a =+=- 设2AC c =在直角三角形ABC 中，由勾股定理可得22212124()()c a a a a =-++即222122a a c +=即221211+=e e 2 故选B【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，主要考查了定义以及离心率，熟悉定义和性质是解题的关键，属于中档偏上题目.12. 已知函数()y f x =为R 上 的连续函数，当[0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，且2()2f x m m ≥-+对m ∈R 恒成立，函数()sin()(0)g x x ωϕω=+>的一个周期内的图像与函数(||)f x 的图像恰好有两个公共点，则()g x =（ ） A. cos x π- B. sin x π- C. cos2xπ-D. sin2xπ-【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，函数(||)f x 为偶函数，当且仅当1x =±时，()f x 有最小值，2()2f x m m ≥-+对m ∈R 恒成立，可得()1f x ≥，又函数()sin()1g x x ωϕ=+≤恒成立，由函数g()x 的一个周期内的图像与(||)f x 的图象恰好有两个公共点，则公共点为()()1,11,1-， ，所以()g x 的周期为2，且(1)1g =可得答案. 【详解】因为()222111m m m -+=--+≤，由2()2f x m m ≥-+对m ∈R 恒成立所以()1f x ≥，即()f x 的最小值为1.当[0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在[0,1)上单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x (1,)+∞上单调递增.所以在0x ≥上，当1x =时，()f x 有最小值.又函数(||)f x 为偶函数，则()1f x ≥，当且仅当1x =±时，()f x 有最小值. 由函数()sin()1g x x ωϕ=+≤恒成立.由()1f x ≥，()sin()1g x x ωϕ=+≤，且由函数()g x 的一个周期内的图像与函数(||)f x 的图像恰好有两个公共点. 所以其公共点为()()1,11,1-， 所以()g x 的周期为2，即22T πω==，所以ωπ=.(1)sin()1g πϕ=+=,所以sin 1ϕ=-，2,2k k Z πϕπ=-∈所以()()sin(2)cos 2g x x k x ππππ=+-=-故选：A【点睛】本题考查偶函数的性质，考查函数的单调性和最值，考查三角函数的图像性质，考查分析问题的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知tan 3α=，则2sin2α+cos α的值为________. 【答案】710【解析】 【分析】先用二倍角展开，分母添上22s α+cos αin ，然后分子分母同除以2cos α，代入3tan α=即可.【详解】解：2222222217sin2α+cos α=2sin αcos +cos αs α+cos α110sin cos cos tan in tan αααααα++===+ 故答案为710【点睛】本题考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，齐次弦化切，属于基础题. 14. 某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书； 乙说：甲或丙得到英语书； 丙说：数学书被甲得到； 丁说：甲得到物理书.最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲得到的书是_____ 【答案】化学 【解析】 【分析】利用推理可得，乙、丙、丁均提到甲的信息，所以可以推得甲所获得的图书.【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，乙不正确说明甲没有得到英语书；丙不正确说明甲没有得到数学书；丁不正确说明甲没有得到物理书，综上可知甲得到的是化学书.【点睛】本题主要考查合情推理，结合逻辑进行推理，属于简单题.15. 已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2,0)对称，且()33f =,则()1f -=_______【答案】3 【解析】 【分析】先由函数关于(20)对称，求出()1f ，然后由奇函数可求出()1f -.【详解】解：函数()f x 的图像关于点(2,0)对称，所以()()133f f =-=- 又因为函数()f x 为奇函数，所以()()113f f -=-= 故答案为3【点睛】本题考查了函数的对称性和奇偶性，结合图像简图观察更加形象直观.16. 已知抛物线2y =4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且FA FB 6⋅=，则|AB|=_____ 【答案】6 【解析】 【分析】先设直线方程联立抛物线方程得121x x =，由抛物线的焦半径公式写出FA FB ⋅列式可解出12x x +，然后由12AB 2FA FB x x =+=++可求出答案.【详解】解：由抛物线2y =4x ，得()1,0F ，当直线AB 垂直与x 轴时，2FA FB ==，不符合故可设直线AB ：y=k(x 1)-，联立抛物线得()2222x 22=0k k x k -++ 所以121x x =由抛物线的焦半径可知11FA x =+，21FB x =+所以()()1212121211126FA FB x x x x x x x x ⋅=++=+++=++= 所以124x x +=，12AB 26FA FB x x =+=++= 故答案为6【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，抛物线的焦半径，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知数列{}n a 是等差数列，n S 是前n 项和，且2616a a +=，530S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b ，满足：14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n nT n =+. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组即可求出1a 和d ，即可求解； （2）求出n b ，利用裂项求和即可.【详解】（1）由2651630a a S +=⎧⎨=⎩，得112616545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩， 解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =.（2）由（1）14111(1)1n n n b a a n n n n -===-++， 则1232n T b b b b =+++⋅⋅⋅+111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了裂项求和，属于中档题. 18. 随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”.某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表：为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.（1）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率；（2）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）1742；（2）分布列见解析，()23E X=.【解析】【分析】（1）可知选择学习物理且学习化学的学生共有9人，计算出抽取3人的种数，再计算出至少有2人要学习生物的种数，即可得出概率；（2）可知X可取0，1，2，求出概率即可写出分布列，求出期望.【详解】（1）由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，这3人中至少有2人要学习生物的概率21304545391742C C C C P C +==. （2）由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人， 则X 可取0，1，2.0128484843EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查随机变量的分布列和数学期望，属于基础题. 19. 已知点Q 是圆22(y 36:M x ++=上的动点，点N ，若线段QN 的垂直平分线MQ 于点P .(I)求动点P 的轨迹E 的方程(II)若A 是轨迹E 的左顶点，过点D （-3，8）的直线l 与轨迹E 交于B ，C 两点，求证：直线AB 、AC 的斜率之和为定值.【答案】(Ⅰ) 22194x y += (Ⅱ)见证明【解析】 【分析】（Ⅰ）线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P ，所以PN PQ =，则PM PN PM PQ +=+为定值，所以P 的轨迹是以M N 、为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出AB AC k k +化简可得定值. 【详解】解：（Ⅰ）由题可知，线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P ， 所以PN PQ=，则6PM PN PM PQ +=+=> 所以P 的轨迹是以M N 、为焦点的椭圆，设该椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则26,a c ==24b =，可得动点P 的轨迹E 的方程为22194x y +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点D 的直线l 斜率存在且不为0， 故可设l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,B x y C x y ，由22194y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22249189360k x kmx m +++-=，()()()()2222218449936144940km k m k m ∆=-+-=-+>2121222189364949km m x x x x k k-+=-=++ 而()()()()()()()()()()2211221121212123333333333AB ACy x y x kx m x kx m x y y k k x x x x x x +++++++++=+==++++++()()()1212121223639kx x k m x x mx x x x ++++=+++()22222293618236494993618394949m km k k m m k k m km k k -⎛⎫⨯++-+ ⎪++⎝⎭=-⎛⎫+⨯-+ ⎪++⎝⎭()833m k =-由于直线l 过点()3,8D -，所以38k m -+=， 所以13AB AC k k +=（即为定值） 【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.20. 如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB //CD AD BD 2==，，AB 4==，点M 是EC 的中点．(1)求证:平面ADEF ⊥平面BDE. (2)求二面角E BD M --的余弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 3 【解析】 【分析】(1)由勾股定理可得BD⊥AD，再利用面面垂直的性质可得ED⊥BD，结论得证；（2）建立直角坐标系，分别求出平面BDE 和平面BDM 的法向量，利用空间向量求其二面角可得答案.【详解】解：(1)由题可知AD=BD=2，AB=22则AD 2+BD 2=AB²， 根据勾股定理有BD⊥AD，又因正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，则ED⊥平面ABCD ， 则ED⊥BD，而AD∩ED=D，所以BD⊥平面ADEF. 而BD ⊂平面BDE ，所以平面ADEF⊥平面BDE(2)以D 为坐标原点，分别以DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由题可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （0.2，0），E （0，0，2），C （2，20），M （22，1）.由(1)可得AD⊥平面BDE ，则可取平面BDE 的法向量1200n =（，，），设平面BDM 的法向量为2n x y z =（，，），DM =（22，1），DB =（0，2，0），由2n ·DM =0，2n ·DB =0，.可得0,{20.z y ++==可取2n =，0，2），则123cos ,3n n =设二面角E-BD-M 的平面角为α，显然α为锐角，故cos α=3【点睛】本题考查了面面垂直的判定和二面角的求法，熟悉判定定理、性质定理、法向量的求法是解题的关键，属于较为基础题. 21. 设函数()x-xf x =e +ae ,a R ∈.(1)判断()f x 的单调性，并求极值；(2)若1a =-，且对所有0x ≥都()f x mx ≥成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) (2]-∞，【解析】 【分析】(1)求导，对参数a 进行讨论求出单调性，即可得极值；（2）令()()F x f x mx =-，题目转变为F （x ）≥0恒成立，求导，求得其单调性和最值，分类求得m 的值.【详解】解：(1)()2x xxxe af x e aee--='=-， 当a≤0时，()'0f x >，()f x 在R 上单调递增，函数无极值；当a>0时，由()'0f x >得，x =若(x -∈∞，()'0f x <，()f x 单调递减，若()x ∈+∞，f'（x ）>0，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(f =(2)令()()F x =f x mx -，依题意，对所有的x≥0，都有F （x ）≥0，易知，F （0）=0，求导可得，()x x F x e e m -=+-'，()0=2-F m '令()x x H x e e m -=+-，由()()xxH'x e e0x 0-=-≥≥得，H （x ）在[0，+∞）上为递增函数，即F'（x ）在x∈[0，+∞）上为递增函数，若m≤2，()2m 0F x ≥'-≥，得()F x 在x∈[0，+∞）上为递增函数， 有()F x ≥F（0）=0，符合题意，若m>2，令()F x '<0，得.0ln 2m x ≤<所以()F x 在x 0[∈， ln 2m +）上单调递减，有()()00F x F <=舍去，综上，实数m 的取值范围为( 2]-∞，. 【点睛】本题考查了导函数的应用，利用导函数求单调性，得极值和最值是解题的关键，属于 较难题.22. 选修4-4:坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合.直线1x 1t C y 1t cos sin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数)，曲线22C :2cos 80ρρθ--= (I)求曲线2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)直线1C 与曲线2C 交相交于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹的普通方程. 【答案】(Ⅰ) ()2219x y -+= (Ⅱ) ()22111()24x y -+-=【解析】 【分析】（Ⅰ）由由cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+，代入曲线2C 化简即可；（Ⅱ）将1C 代入2C ，设直线1C 上的点,,A B M 对应的参数分别为12,,M t t t ，结合韦达定理，得出点M 的轨迹方程的参数方程，转化为普通方程即可.【详解】解：（Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+，代入曲线2C得22280x y x +--=，即()2219x y -+=（Ⅱ）将1C 代入2C 得，()22sin 80t t α+-=，设直线1C 上的点,,A B M 对应的参数分别为12,,M t t t ， 则12sin 2M t t t α+==-， 所以AB 中点M 的轨迹方程为211sin x sin cos y ααα=-⎧⎨=-⎩（α为参数）， 消去参数α，得M 点的轨迹的普通方程为()2211124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了极坐标系方程与平面直角坐标系方程的转化，直线的参数方程，动点的轨迹方程，属于中档题.23. 设函数()241f x x =-+.（1）求不等式()3f x x ≥+的解集；（2）关于x 的不等式()22f x x a -+≥在实数范围内有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) 2(,][6,)3-∞+∞ (Ⅱ) (,9]a ∈-∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）由()3f x x ≥+，得222x x -≥+，分类讨论去绝对值解不等式即可；（Ⅱ）由不等式()22f x x a -+≥在实数范围内有解，得22221a x x ≤--++在实数范围内有解，令()22221g x x x =--++，分裂讨论求出()g x 的最大值即可.【详解】解：（Ⅰ）()3f x x ≥+，即2413x x -+≥+，则222x x -≥+， 当2x ≥时，解得6x ≥， 当2x <时，解得23x ≤， 所以原不等式的解集为：][2,6,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭（Ⅱ）由不等式()22f x x a -+≥在实数范围内有解可得，22221a x x ≤--++在实数范围内有解，令()22221g x x x =--++，则()max a g x ≤，因为()()()2222122219g x x x x x =--++≤--++=， 所以()max 9a g x ≤=，即(],9a ∈-∞【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值函数的最值，属于中档题.。
2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷(二十二)理科数学
2021届全国名校大联盟新高三原创预测试卷（二十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，{02}A xx =<<∣，{1}B x x =≥∣，则()U A C B =（ ）A. (0,1)B. (0,)+∞C. (,1)-∞D. (,2)-∞【答案】D 【解析】 【分析】由集合的补集运算和并集运算可得选项.【详解】{1}B xx =≥∣，{1}U C B x x =<∣，{02}A x x =<<∣，则(){2}U A C B xx ⋃=<∣， 故选：D.【点睛】本题考查集合间的补集运算、并集运算，属于基础题. 2. 下列命题中错误的是（ ）A. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B. 命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-”C. 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D. 已知00x >，则“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】对于A ，根据逆否命题的等价性进行判断；对于B ，根据含有量词的命题的否定进行判断；对于C ，根据复合命题的真假关系 进行判断；对于D ，利用必要不充分条件进行判断. 【详解】对于A ，若x=y ，则sinx=siny ，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题．故A 正确；对于B ，命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-”，故B 正确； 对于C ，若p q ∨为真命题，则p q 与至少有一个是真命题，故p q ∧不一定为真命题，故C 错误；对于D ，充分性：当044b 2x a ==-=，，时，显然0a b >>不成立，即充分性不具备； 必要性：因为00x >，0a b >>根据幂函数的单调性，显然00x x a b >，即必要性具备，故D 正确. 故选C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，充要条件以及幂函数的性质，比较基础．3. 执行如图所示的程序框图，若输入的1S =，则输出n 的值为（ ）A. 5B. 4C. 8D. 9【答案】A 【解析】 【分析】初始条件S=1，n=1，依次执行循环语句，直到不满足循环条件，输出即可. 【详解】输入S=1，n=1第一次运行：2=11-1=0,n=2⨯S 第二次运行：2=20-2=-4,n=3⨯S 第三次运行：2=3(4)3=-21,n=4⨯--S 第四次运行：2=4(21)4=-100,n=5⨯--S-100<-32，跳出循环，输出5n =故选：A【点睛】本题考查了程序框图，考查了逻辑推理能力，属于一般题目. 4. 已知,,a b c ∈R ，且0c ≠，则下列命题正确的是（ ）A. 如果a b >，那么a b c c >B. 如果ac bc <，那么a b <C. 如果a b >，那么11a b>D. 如果22ac bc <，那么a b <【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断排除可得到答案.【详解】对于A ，如果,0ab c ><，那么a bc c<，所以错误； 对于B ，如果0c <，那么a b >，所以错误； 对于C ，如果1,2a b =-=-，那么11112a b =-<=-，所以错误； 对于D ，因为22ac bc <，那么20c >，所以正确. 故选：D .【点睛】主要考查不等式的性质，要熟练掌握.5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别在是线段11AB BC ，的中点，以下结论：①直线BD 丄直线MN ；②直线MN 与直线AC 异面；③直线MN 丄平面11BDD B ；④122MN AA =，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】在平面ABCD 内作出MN 的平行直线EF ，根据中位线得到//EF AC ，由此得到②错误.根据AC ⊥平面11BDD B 得到①③正确，利用中位线及勾股定理证得④正确.由此得出正确的个数为3个.【详解】过M 作MF AB ⊥交AB 于F ，过N 作NE BC ⊥交BC 于E ，连接11,,,EF AC BD B D .由于,M N分别为11,AB BC 的中点，故1111//////22NE CC BB MF ，故四边形MNEF 为矩形，故//MN EF ，由于//EF AC ，故②判断错误.由于1,AC BD AC BB ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以MN BD ⊥且直线MN 丄平面11BDD B ，即①③正确.由勾股定理得12AC AA =，故1122EF AC AA ==，故④判断正确.综上所述，正确的个数为3个，故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线垂直的判断，考查直线与直线平行的判断，考查线面垂直的证明，属于基础题.要判断两条异面直线垂直，往往是通过线面垂直来证明，要证明线线平行，可以考虑用中位线来证明，要证明线面垂直则需要证明垂直平面内两条相交直线来证明.6. 下列说法错误的是（ ） A. 回归直线过样本点的中心(),x yB. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C. 在回归直线方程0.20.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.8个单位D. 对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 【答案】CD 【解析】 【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【详解】解：A ．回归直线必过样本点的中心(),x y ，故A 正确；B ．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故B 正确；C ．在线性回归方程0.20.8y x =+中，当x 每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，故C 错误；D ．对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，因此不正确．综上可知：有CD 不正确． 故选：CD ．【点睛】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于基础题．7. 在ABC 中，AB 2=，BC 3=，ABC 60∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO λAB μBC =+，则λμ(+= )A. 1B.12C.13D.23【答案】D 【解析】 【分析】通过解直角三角形得到1BD BC 3=，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出AD 利用向量共线的充要条件表示出AO ，根据平面向量就不定理求出λ，μ值．【详解】在ABD 中，1BD AB 12== 又BC 3= 所以1BD BC 3=1AD AB BD AB BC 3∴=+=+O 为AD 的中点111AO AD AB BC 226∴==+ AO λAB μBC =+11λ,μ26∴==2λμ3∴+=故选D ．【点睛】本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．8. 将函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像向左平移2π个单位，所得函数的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称，则ω的值不可能是（ ）A 2 B. 4 C. 6 D. 10【答案】B 【解析】 【分析】由条件根据函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，可得y ＝Asin （ωx 2π+ω+φ）的图象，再由Asin （ωx 2π+ω+φ）＝﹣Asin （ωx +φ），求得φ满足的条件． 【详解】将函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象向左平移2π个单位， 可得y ＝Asin [ω（x 2π+）+φ]＝Asin （ωx 2π+ω+φ）的图象． 再根据所得函数图象与f （x ）图象关于x 轴对称，可得Asin （ωx 2π+ω+φ）＝﹣Asin （ωx +φ）， ∴2πω＝（2k +1）π，k ∈z ，即ω＝4k +2，故ω不可能等于4， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9. 已知()f x 是奇函数，当0x >时，()2xf x x =--，则函数在1x =-处的切线方程是（ ） A. 210x y -+= B. 220x yC. 210x y --=D. 220x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】设0x <，则0x ->，得到()2xf x x -=-+，再利用()f x 是奇函数，求得()f x ，然后利用导数的几何意义求解. 【详解】设0x <，则0x ->， 所以()2xf x x -=-+， 又因为()f x 是奇函数， 所以()()2xf x f x x =--=+，所以()()222f x x '=+，所以()()12,11f f '-=-=-，所以函数在1x =-处的切线方程是210x y -+=. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用函数奇偶性求解析式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10. 现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD 的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有（ ）种方法. A. 240 B. 360C. 420D. 480【答案】C 【解析】 【分析】利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色.【详解】当顶点A,C 同色时，顶点P 有5种颜色可供选择，点A 有4种颜色可供选择，点B 有3种颜色可供选择，此时C 只能与A 同色，1种颜色可选，点D 就有3种颜色可选，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；当顶点A,C 不同色时，顶点P 有5种颜色可供选择，点A 有4种颜色可供选择，点B 有3种颜色可供选择，此时C 与A 不同色，2种颜色可选，点D 就有2种颜色可选，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；综上可得共有180240420+=种，故选C.【点睛】本题主要考查基本计数原理，两个原理使用时要注意是分步完成某事还是分类完成某事，侧重考查逻辑推理的核心素养.11. 已知函数()()sin cos 0f x ax x x a =+>恰有三个不同的零点1x ，2x ，3x 且123x x x <<，()()123123tan x x x t x x x +-=+-，则t =（ ）A.12B. 12-C. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】()()sin cos 0f x ax x x a =+>恰有三个不同的零点1x ，2x ，3x 得到y ax =-与1sin 22y x=恰有三个不同的交点，进一步确定13x x =-，20x =，再根据直线y ax =-与1sin 22y x =分别在()11,x y 和()33,x y 处相切，即可得解. 【详解】解：由sin cos 0ax x x +=，即1sin 22ax x -=， y ax =-与1sin 22y x =恰有三个不同的交点，其坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 且123x x x <<，y ax =-与1sin 22y x =都是奇函数，所以有13x x =-，20x =，直线y ax =-与1sin 22y x =分别在()11,x y 和()33,x y 处相切，1sin 2cos 22x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1cos 2a x -=①，11y ax =-②，111sin 22y x =③，由①②③得11tan 22x x =，由()()123123tan x x x t x x x +-=+-得11tan 22x tx =，所以1t =， 故选：C【点睛】考查函数的零点，函数的奇偶性，以及直线和正弦型函数的相切，难题.12. 如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点O 对称的两点（点A 在第一象限），直线1BF 与双曲线C 的另一个交点为M ，且11AF BF ⊥，11MF AF =，则C 的渐近线方程为（ ）A. 6y x = B. 32y x =±C. 23y x =±D.23y x =±【答案】A 【解析】 【分析】连接2MF ，2BF ，2AF ，设1||MF m =，1||BF n =，可得1||AF m =，11AF BF ⊥，可得四边形21AF BF 为矩形，由矩形的性质和双曲线的定义，可得3m a =，结合勾股定理可得a ，c 和a ，b 的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【详解】解：连接2MF ，2BF ，2AF ， 设1||MF m =，1||BF n =，可得1||AF m =，11AF BF ⊥，可得四边形21AF BF 为矩形，由双曲线的定义可得2||2AF m a =-，2||2MF m a =+， 即2n m a =-，可得222(2)4m m a c +-=，222(2)(2)m m a m m a +-+=+，解得3m a =，22222944()a a c a b +==+， 化简可得6b ， C 的渐近线方程为by x a=±，即为6y x =． 故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查直角三角形的勾股定理和矩形的性质，考查化简运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13. 已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()130.3P X <≤=，则()5P X ≥=______. 【答案】0.2 【解析】 【分析】根据随机变量X 服从正态分布2(3)，δN ，可知正态曲线的对称轴是3x =，利用对称性，可得结果.【详解】随机变量服X 从正态分布2(3)，δN ，正态曲线的对称轴是3x =(35)(13)0.3≤<=<≤=P X P X ，(5)0.5(35)0.2>=-≤<=P X P X故答案为：0.2【点睛】本题考查了正态分布，考查了计算能力，属于一般题目. 14. 已知()61mx x -的展开式中3x 的系数为30，则m 为______.【答案】2 【解析】 【分析】根据二项式定理通项公式可得126+r rmC x，然后令132+=r，最后简单计算即可. 【详解】由题可知：()61mx x -的通项公式为126+r r mC x令132+=r，则4r =， 所以46302=⇒=mC m故答案为：2【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题重点在于二项展开式的通项公式，细心计算，属基础题.15. 已知一圆锥内接于球O ，若球心O 恰在圆锥的高的三等分点处，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为______. 【答案】932【解析】【分析】设球O的半径为2r，可求得圆锥的高及圆锥的底面积，再利用锥体和球体的体积公式可求得该圆锥的体积与球O的体积的比值.【详解】如下图所示：设球O的半径为2r，由题意可知，圆锥的高为3r，球心到圆锥底面的距离为r，()2223r r r-=，该圆锥的体积为()2313333r r rππ⨯⨯⨯=，因此，该圆锥的体积与球O的体积的比值为()333943223rrππ=⨯.故答案为：932.【点睛】本题考查球体与圆锥的体积之比的计算，确定球体的半径与圆锥的底面半径、高的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16. 如图，抛物线24y x=的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使OA AC=，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为,E G，则EG的最小值为__________．【答案】4 【解析】 试题分析：解：设点,A B 的坐标为：()(),,,A A B B A x y B x y ， 由题意可知：()11222222A B A B A B EG OE OG y y y y y y ⎛⎫=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭，由抛物线中定值的结论可知：24A B y y p =-=- ，据此可知：4EG ≥ ，当且仅当4B A y y = 时等号成立， 即EG 的最小值为4.点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(),cos m a A =，()cos ,2n B b c =-，且m n ⊥，ABC 3（1）求A ； （2）求a 的最小值. 【答案】（1）3π；（2）2.【解析】 【分析】（1）由m n ⊥，则0m n ⋅=，再结合正弦定理，将边化角求得A ；（2）运用三角形的面积公式，由ABC 的面积为3，得到4bc =，再用余弦定理，将a 用c 表示，再用均值不等式求a 的最小值.【详解】（1）∵(),cos m a A =，()cos ,2n B b c =-，且m n ⊥， ∴()cos 2cos 0m n a B b c A ⋅=+-=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=， 即sin()2sin cos A B C A +=，∴sin 2sin cos C C A =， ∵0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =，∵0A π<<，∴3A π=. （2）∵ABC的面积为3，∴1sin 323bc π=，解得4bc =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，∴22241242a c c ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭222216164244c c c c=+-≥⋅-=，当且仅当2216c c =，即2c =时取等号， ∴a 的最小值是2.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，均值不等式求最值，属于中档题.18. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）72-. 【解析】 【分析】（1）通过平面ABCD 的一个法向量()0,0,1n =与MN 的数量积为0，即得结论； （2）通过设111A E A B λ=，利用平面ABCD 的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为13，计算即可得结果.【详解】（1）证明：由题意以A原点建立空间直角坐标系A xyz -，如图：因为2AC =，5AD CD ==ACD △底边上的高为2， 依题意可得()0,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,0C ，()1,2,0D -，()10,0,2A ，()10,1,2B ，()12,0,2C ，()11,2,2D -.又因为M ，N 分别为1B C 和1D D 的中点，所以11,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2,1N -，依题意，可得()0,0,1n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由此可得0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ， 所以//MN 平面ABCD ；（2）解：依题意，可设111A E A B λ=，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+，又()0,0,1n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得()()2221cos ,3121NE n NE n NE nλ⋅===-+++，整理得2430λλ+-=， 又因为[]0,1λ∈，解得72λ=-.所以线段1A E 的长为72-.【点睛】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，属于中档题.19. 某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“33+”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S ，从学生群体S 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率； (II)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(III)将频率视为概率，现从学生群体S 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2y ≥”的概率. 【答案】（Ⅰ）2949; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）1116.【解析】试题分析：（Ⅰ）设“所选取2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件的概率，从而得到选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（Ⅱ）由题意得到随机变量的取值，计算其概率，列出分布列，根据公式求解数学期望. （Ⅲ）由题意得所调查的学生中物理、化学、生物选考两科目的学生的人数，得到相应的概率，即可求解“2Y ≥”的概率.试题解析：（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A则()222525202502049C C C P A C ++== 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 ()29149P A -=（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值分别为0，1，2()2225252025020049C C C P X C ++===， ()1111525202525025149C C C C P X C +=== ()115202504249C C P X C === 从而X 的分布列为()202543301249494949E X =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名 相应的概率为251502P ==，所以Y ~14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭所以事件“2Y ≥”的概率为()223423444411111112112222216P Y C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>O 到过点()0,b ，)的直线的距离为2.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）是否存在过点2,05M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且与直线3x =交于点P ，使得PA ，AB ，PB 依次成等差数列，若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，1125y x =-或1125y x =-+. 【解析】 【分析】（1）由已知条件得222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，即2a b =，=c ，由坐标原点O,bc =解得1b =，从而得到椭圆方程. （2）设直线l 方程为25y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立写出韦达定理，由PA ，AB ，PB 成等差数列，可得1212332x x x x -+-=-，化简计算可得直线的斜率，从而得到直线方程.【详解】（1）由题可知222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，所以224a b =，=c ， 则椭圆方程转化为222214x y b b+=.坐标原点O 到过点()0,b，)即(),0c,bc =即2b b =，解得1b =. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的直线l ，显然其斜率存在，设直线l 的方程为25y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()11,A x y ，()22,B x y .联立221425x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，消去y 并整理，得()222216161440525k x k x k +-+-=， 由题知296161025k ⎛⎫∆=+>⎪⎝⎭恒成立，由根与系数的关系知 ()212216514k x x k +=+，()2122161002514k x x k -=+.因为1PA x =-，2PB x =-，12AB x =-， 且PA ，AB ，PB 成等差数列，所以1212332x x x x -+-=-，即()126x x -+=()221662514kk -=+， 即25215k +=12k =±，所以直线l 的方程为1125y x =-或1125y x =-+. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆位置关系以及韦达定理的应用，考查学生分析能力与计算能力，属于中档题. 21. 已知函数()()22ln xg x x t t R e =-+∈有两个零点1x ，2x . （1）求实数t 的取值范围； （2）求证：212114x x e+>. 【答案】（1）ln 21t >-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）写出函数()g x 定义域并求导，从而得到函数的单调性，根据单调性得到函数的最大值，要使()g x 有两个零点，只需最大值202e g ⎛⎫> ⎪⎝⎭即可.（2）函数()g x 有两个零点1x ，2x ，可得1122222ln 02ln 0x x t ex x t e ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，两式相减得21221ln ln 2x x e x x -=-，欲证212114x x e +>，即证()2112212ln ln 11x x x x x x -+>-，设21(1)x t t x =>，构造函数1()2ln (1)f t t t t t=-->，通过函数()f t 的单调性即可得到证明.【详解】（1）函数()()22ln x g x x t t R e =-+∈定义域为()0,∞+，()222122=xe x xe g x e -=-'. 令()0g x '=得22ex =，可得()g x 在20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()g x →-∞，故欲使()g x 有两个零点，只需22ln11ln 2022e e g t t ⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，即ln 21t >-. （2）证明：不妨设12x x <，则由（1）可知21202e x x <<<，且1122222ln 02ln 0x x t e x x t e ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，两式相减可得21221ln ln 2x x e x x -=-. 欲证212114x x e +>，即证()2112212ln ln 11x x x x x x -+>-， 设21(1)x t t x =>，则即证12ln (1)t t t t->>， 构造函数1()2ln (1)f t t t t t=-->，则()22212(1)10t t t tf t -=+-=>'， 所以()f t 在()1,+∞上单调递增，故()()10f t f >=， 所以12ln (1)t t t t->>，原不等式得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，单调性以及最值问题，考查利用变量集中的思想解决不等式的证明，考查构造函数的思想，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意；只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l ：y =(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线C 2的方程为22(2)4x y +-=；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为8sin ρθ=．（1）写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；（2）已知射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，求MN 的值．【答案】（1）:(0)3l πθρ=≥，221:194x y C +=（2）MN = 【解析】【分析】（1）根据直线极坐标方程的形式可得射线():03l πθρ=≥，消去曲线1C 参数方程中的参数可得普通方程；（2）将圆的普通方程化为极坐标方程，设点,M N 对应的极径分别为12,ρρ，然后根据12MN ρρ=-求解可得所求．【详解】（1）依题意，因为射线():0l y x =≥，故射线():03l πθρ=≥消去方程32x cos y sin αα=⎧⎨=⎩中的参数可得22194x y +=， 所以曲线1C 的普通方程为：22194x y +=． （2）曲线2C 的方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=， 把222,sin x y y ρρθ+==代入上式可得曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设点,M N 对应的极径分别为12,ρρ，则12=4sin 8sin 33MN ππρρ=--=【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程，解题的关键是根据各种方程间的关系进行求解，同时还要注意在极坐标方程中用极径求弦长的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲23. 已知函数()12f x x a x a=-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2f x m m ≥-+x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧<-⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭；（2）[]0,1. 【解析】【分析】（1）分1x <-、12x -≤≤、2x >三种情况解不等式()4f x >，综合可得出不等式()4f x >的解集；（2）利用绝对值三角不等式以及基本不等式求得()f x 的最小值，可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，不等式()4f x >为214x x -++>.当1x <-时，不等式可化为()()214x x ---+>，解得32x <-，此时32x <-； 当12x -≤≤时，不等式可化为()()214x x --++>，即34>，不成立；当2x >时，不等式可化为()()214x x -++>，解得52x >，此时52x >. 综上所述，不等式解集为32x x ⎧<-⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭； （2）()()1122f x x a x x a x a a ⎛⎫=-++≥--+ ⎪⎝⎭12a a =+，而1122a a a a +=+≥a =.即当x 和a 变化时，()f x 的最小值为因为不等式()2f x m m ≥-+x 及a 恒成立，2m m ∴≥-+，即20m m -≤，解得01m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]0,1.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了含绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.。
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(七)理科数学试题
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（七）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A. M N N =B. ()UMN =∅C. MN U =D. ()UM N ⊆【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定． 2.复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 22i z = B. 2z z ⋅=C. ||2z =D. 0z z +=【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ， ∴z ()()()2121111i i ii i i i -+-===---+，∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A. 0.40.20.43<4log 0.5<B. 0.40.20.43<log 0.5<4C. 0.40.20.4log 0.534<<D. 0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==== D.4.已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A.23B.12C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB PC+=PD，∵20PB PC PA++=，∴2PB PC PA+=-，∴2PD PA=-，∴P是△ABC边BC上的中线AO 的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．∴S△PBC=12S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P=PBC ABC S S=12．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．5.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 643π B. 83163ππ+ C. 28π D. 2163ππ+【答案】B【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．【详解】结合三视图，还原直观图，得到故体积222211832422316333V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 6.在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==，则BE AF ⋅=（ ） A. 23-B. 43-C. 83- D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =， 则BE AF ⋅=（AE AB -）•12（AC AB +） ＝（13AC AB -）•12（AC AB +）1123AC =（2AB -223AB -•AC =）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.43钱 B.73钱 C. 83钱D.103钱 【答案】C 【解析】 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10求得a ＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10，∴a ＝2， 则a ﹣2d ＝a 48333a a +==． 故选C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题． 8.已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,8B. []28,C. [)2,8D. (][),28,-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】利用()f x 的导函数在区间()1,2的函数值有正有负列不等式组，由此求得a 的取值范围.【详解】()2'22a x af x x x x-=-=，由于函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数，令()22g x x a =-，则()22g x x a =-在区间()1,2的函数值有正有负，而二次函数()22g x x a =-开口向上，对称轴为y 轴，所以()22g x x a =-在区间()1,2上递增，所以()()120280g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得28a <<.所以实数a 的取值范围是()2,8. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题. 9.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）A.23B.49C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得126cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12sin x x -=，故()21sin x x -故选C ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．10.若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A. (,1]-∞ B. (–],e ∞C. (01]，D. (0,]e【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围.【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x >则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤， 故选B【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合函数最值的有界性以及利用数形结合是解决本题的关键． 11.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 24,33⎛⎤⎥⎝⎦D. 33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cos ωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．12.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. ()3,6 B. ()0,3 C. ()0,6 D. ()6,+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】解：3(1)(3)(3)03xf x f ---<， 3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3）， 定义在(0,)+∞的函数()f x ， 3x ∴<，令3()()g x x f x =，∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，()()3f x f x x'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x <， 36x ∴<<．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．二、填空题：（共4小题，每题5分）13.已知0x >，0y >，3380x y xy ++-=，则3x y +的最小值是______. 【答案】4 【解析】 【分析】由0x >，0y >，且3380x y xy ++-=，可知2(3)3380384x y x y xy x y +++-=++-，进而可得3x y +的最小值．【详解】因为0x >，0y >，且3380x y xy ++-=，所以()233380384x y x y xy x y +++-=≤++-，所以()()38340x y x y +++-≥，所以34x y +≥， 当3x y =时.3x y +取得最小值4， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题．14.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入S △ABC 12=ac sin B ，计算可得所求．【详解】把a 2﹣（sin B +cos B ）+4＝0看成关于a 的二次方程， 则△≥0，即8（sin B +cos B ）2﹣16≥0，即为8sin （B 4π+））2﹣16≥0， 化为sin 2（B 4π+）≥1，而sin 2（B 4π+）≤1，则sin 2（B 4π+）＝1，由于0＜B ＜π，可得4π＜B 544ππ+＜，可得B 42ππ+=，即B 4π=，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0， ∴a ＝2，由余弦定理可得，cos244422c c π+-==⨯解可得，c ＝∴S △ABC 12=ac sin B 12=⨯2×2=． 故答案为 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．15.已知点3(,1)2P -在抛物线2:2(0)E x py p =>的准线上，过点P 作抛物线的切线，若切点A 在第一象限，F 是抛物线E 的焦点，点M 在直线AF 上，点N 在圆22:(2)(2)1C x y +++=上，则MN 的最小值为__________． 【答案】15【解析】 【分析】点3(,1)2P -在准线上，求出2p =，得到抛物线方程24x y =，焦点(0,1)F ，利用导函数求出切点坐标，得直线方程，再利用圆心到直线的距离求解最小值即解. 【详解】22(0)x py p =>的准线方程为2p y =-点3(,1)2P -在准线上，则2p =， 抛物线方程24x y = ，焦点(0,1)F对214y x =求导12y x '= ，设切点00(,)A x y ，则切线斜率012k x = 所以切线方程为0001()2y y x x x -=- 即2001124yx x x 3(,1)2P - 在切线上,代入切线方程得04x = 或01x =-（舍去） ∴ (4,4)A ，故AF 直线点斜式方程为 314y x -=,即3-440x y += 点M 在直线AF 上，点N 在圆上由于圆心(2,2)--到直线3-440x y +=的距离226534d ，所以MN 的最小值是15d r 故答案为：15. 【点睛】本题考查圆锥曲线中的最值问题.圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题，主要方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．常见类型及解题思路如下：y bx a－＝－型 转化为动直线斜率的最值问题 t ax by ＝＋型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解22()()m x a y b ＝－＋－型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题16.函数2–1y x =和ln 1y a x =-有相同的公切线，则实数a 的取值范围为_____________．【答案】(2]e -∞，【解析】 【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a 的范围．【详解】解：两曲线y ＝x 2﹣1与y ＝alnx ﹣1存在公切线， y ＝x 2﹣1的导数y ′＝2x ，y ＝alnx ﹣1的导数为y ′a x=， 设y ＝x 2﹣1相切的切点为（n ，n 2﹣1）与曲线y ＝alnx ﹣1相切的切点为（m ，alnm ﹣1）， y ﹣（n 2﹣1）＝2n （x ﹣n ），即y ＝2nx ﹣n 2﹣1， y ﹣（alnm ﹣1）a m =（x ﹣m ），即：y 1ax a alnm m=-+- ∴2211a n mn a alnm⎧=⎪⎨⎪+=+-⎩ ∴224a a alnm m =-， ∴214alnm m =- 即()214a m lnm =-有解即可， 令g （x ）＝x 2（1﹣lnx ）， y ′＝2x （1﹣lnx ）21x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x （1﹣2lnx ）＝0，可得x = ∴g （x ）在（0）是增函数；+∞）是减函数， g （x ）的最大值为：g2e=， 又g （0）＝0， ∴42a e≤，∴a ≤2e ． 故答案为（﹣∞，2e ]．【点睛】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 满足11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯.()1求数列{}n a 的通项；()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．【答案】()21,122,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数； ()2 28n S n =-.【解析】 【分析】()1利用数列的递推关系式推出114n n a a +--=，通过当n 为奇数，当n 为偶数，241222n na n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，分别求解通项公式；()2化简()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，然后求解数列的和即可．【详解】解：()1141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯①，()1411n n a a n -∴+=--，2n =，3，4⋯②-①②得114n n a a +--=，2n =，3⋯当n 为奇数，1141212n n a n +⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-()()()()224622424482n n n a a a a n +-=-+++⋯+=-=-．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法以及数列求和的方法，是中档题．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1//CB 面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）29. 【解析】 【分析】（1）连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ，利用三角形相似证明1//FG CB ，然后证明1//CB 面1A EF ． （2）过C 作CO AB ⊥于O ，以O 为原点，OA ，1OA ，OC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB =，求出面1A FE 的一个法向量，面1ABA 的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ． 因为11AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC =，所以1AF AGFC GB =，所以1//FG CB ， 又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .（2）过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点． 因为面CAB ⊥面11ABB A ，面CAB面11ABB A AB =，所以CO ⊥面1ABA ．连接1OA ，因为1ABA ∆是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.如图以O 为原点，OA ，1OA ，OC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标， 不妨设2AB =，则(1,0,0)A，1A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，12(,0,)33F ， 由11AA BB =，得(B -，1BB的中点3(,,0)22E -，13(,,0)22A E =--，112(,)33A F =-.设面1A FE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111100A E n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112033302x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，得方程的一组解为11115x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩1(1n =-.面1ABA 的一个法向量为2(0,0,1)n =，则121212529cos ,29n n n n n n ⋅<>==，所以二面角1F A E A --的余弦值为52929.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,A B C D E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表： 等级A BC D E比例15% 35% 35% 13%2%赋分区间 []86,100 []71,85 []56,70 []41,55 []30,40而等比例转换法是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=--其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y ，2Y 时，等级分分别为1T 、2T 假设小南的化学考试成绩信息如下表： 考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间设小南转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈（四舍五入取整），小南最终化学成绩77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：（1）从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率； （2）从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 【答案】（1）1235P =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量ξ的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可． 【详解】（1）设化学成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：951008586x y x y --=--，即：()148514330861010x x y --=+=， 所以143309610x -≥，得：92.1x ≥，显然原始成绩满足92.1x ≥的同学有3人，获得A 等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235C C P C ==. （2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A 等级的考生有15人，0531251524(0)91C C P C ξ===，1431251545(1)91C C P C ξ===2331251520(2)91C C PC ξ===，323125152(3)91C C P C ξ=== 则分布列为ξ0 1 2 3P2491 4591 2091 291则期望为：45202231919191E ξ=+⋅+⋅= 【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．20.如图，椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12F F 、，2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H点，24OH =，Q为椭圆E 上的动点，12F F Q ∆的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)S 作两条直线与椭圆E 分别交于A B C D 、、、，且使AD x ⊥轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）定点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】分析：（Ⅰ）2OH =意味着通径的一半22b a =，12F F Q ∆最大面积为1212c b bc ⨯⨯==，所以1b c ==，故椭圆的方程为2212x y +=.(Ⅱ)根据对称性，猜测定点必定在x 轴上，故可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)D x y -，22(,)C x y -，再设:AC x my t =+，根据,,A B S 三点共线可以得到12122(4)()0my y t y y +-+=，联立直线AC 和椭圆的标准方程后消去x ，利用韦达定理可以得到12t =，从而AC 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理直线BD 也过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭即两条直线交于定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.详解：（Ⅰ）设(c,0)F ，由题意可得22221c y a b +=，即2M b y a=.∵OH 是12F F M ∆的中位线，且4OH =∴2||2MF =2b a =242a b =.① 又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，12F F M ∆的面积最大， ∴1212c b ⨯⨯=，整理得1bc =，即222()1b a b -=，② 联立①②可得6421b b -=，变形得242(1)(21)0b b b -++=，解得21b =，进而22a =.∴椭圆E 的方程式为2212x y +=.(Ⅱ)设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则由对称性可知11(,)D x y -，22(,)B x y -. 设直线AC 与x 轴交于点(,0)t ，直线AC 的方程为(0)x my t m =+≠，联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222(2)220m y mty t +++-=， ∴12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，由A B S 、、三点共线AS BS k k =，即121244y y x x -=--， 将11x my t =+，22x my t =+代入整理得1221()(4)0y my t t y my t +-++-=，即12122(4)()0my y t y y +-+=，从而222(2)2(4)2m t mt t m ---=+，化简得2(42)0m t -=，解得12t =，于是直线AC 的方程为12x my =+， 故直线AC 过定点1(,0)2.同理可得BD 过定点1(,0)2，∴直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为1(,0)2.点睛：（1）若椭圆的标准方程为22221(0.0)x y a b a b +=>>，则通径长为22b a；（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点.21.已知函数()()1xf x alnx x e =--，其中a 为非零常数．()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>．【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】 【分析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，结合函数的性质可证．【详解】解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()2x xa a x e f x xe x x-=-='， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <， 所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点； ②当0a >时，令()2xg x a x e =-，则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(10g a a =-=-<，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <， 所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；()2证明：()i 由()1知()2xa x e f x x-'=． 令()2xg x a x e =-，由a e >得()10g a e =->， 所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1'10h x x =-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-．从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna f lna aln lna lna ea lna lna a =--<---=又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩， 从而()0120111x x x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx e x --=． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>， 故10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<， 两边取对数，得1020x x lne lnx -<，于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．（二）选考题：二选一，每题10分.多做按第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为()2παα≠的直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ-=. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求FQ 的值.【答案】（Ⅰ）tan 1y x α=⋅+ ;24y x =（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去参数t 得直线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）根据已知条件可得直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据直线参数方程中的参数t 的几何意义和交点的中点可得FQ 的值.【详解】（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为tan 1y x α=⋅+ ，由2sin 4cos 0ρθθ-=，得22sin 4cos 0ρθρθ-=，即240y x -=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =，（Ⅱ）∵直线l 经过曲线C 的焦点()1,0F∴tan 1α=- ，直线l 的倾斜角34πα=． ∴直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得280t +-=，设,A B 两点对应的参数为12,t t ．∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q对应的参数值为122t t +=-．又点()1,0F ，则122t t FQ +==. 【点睛】本题考查直线的参数方程和普通方程之间的转化，以及极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，熟练掌握其转化关系和其中的参数的几何意义是解决此类问题的关键，属于基础题.23.设函数f （x ）=丨x+a+1丨+丨x-4a 丨，（a ＞0）． (1)证明：f （x ）≥5；（2）若f （1）＜6成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（1,4）【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值不等式的性质和均值不等式的性质即可证得题中的结论；(2)由题意得到关于实数a 的不等式，然后求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围是（1,4）. 试题解析：f （x ）=丨x +a +1丨+丨x -4a 丨≥丨（x +a +1）-（x -4a ）丨=丨a +1+4a丨∵a ＞0，∴f （x ）≥a +1+4a （II ）由f （1）＜6得：丨a +2丨+丨1-4a 丨＜6 ∵a ＞0，∴丨1-4a 丨＜4-a ，a-4a丨丨＜4-a ①当a ≥4时，不等式a 4a-丨丨＜4-a 无解； ②当a ＜4时，不等式a 44a a --丨丨＜，即1a ＜1，a ＞1，所以1＜a ＜4 综上，实数a 的取值范围是（1,4）。
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2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（三十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2340A x x x =--≤,{}3B x x =<,则A B =( )A. [)1,3-B. (],4-∞C. []1,4-D. (),3-∞【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的并运算即可求解.【详解】由{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤，{}3B x x =<， 所以{}(]4,4A B x x ⋃=≤=-∞，故选：B【点睛】本题考查了集合的并运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.已知欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),则根据欧拉公式3i e 表示的复数在复平面位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】3i e 表示的复数为：cos3sin3i +，根据3,2ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭即可得出结论. 【详解】由题意可得3i e cos3sin3i =+，3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos30,sin 30∴<>，因此在复平面中位于第二象限. 故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号，属于基础题.3.已知函数()31221,13log ,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩,则()()4f f =( )A. 3B. 4C. 5D.14【答案】A 【解析】 【分析】首先将4代入对应解析式求出()41f =，再求()1f 即可.【详解】由()31221,13log ,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，所以()1243log 4321f =+=-=，则()()()3141213f f f -==-=.故选：A【点睛】本题考查了分段函数的函数值，同时考查了指数、对数的运算，属于基础题. 4.已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos θ=( ) A .B.12C.2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由cos cos 66ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 6πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以311cos cos cos cos sin sin 666666442ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题. 5.()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为( )A. 31B. 32C. 36D. 40【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=⋅以及多项式相乘即可求解.【详解】()()4212xx ++的展开式中3x 的系数为：31344121283240C C ⨯⨯+⨯⨯=+=.故选：D【点睛】本题考查了二项式系数，特别注意对x 系数的化简，需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题. 6.函数()ln 11x f x x -=-的大致图象是( ) A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先利用特殊值令12x =，判断函数值的正负可排除B 、C ，再验证()2f x -与()f x 的关系即可求解.【详解】令12x =，则1ln1122ln 20212f -⎛⎫==> ⎪⎝⎭-，排除B 、C ；()()ln 21ln 1ln 122111x x x f x f x x x x -----===-=-----，即()()20f x f x -+=，故函数图像关于()1,0成中心对称图形， 故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，解决此类问题要充分挖掘函数的性质，可利用排除法，属于中档题.7.等腰直角三角形ABC 中,2AB AC ==,点D 为斜边BC 上的三等分点,且2AM AD =,则MC MB ⋅=( )A. 0B.49C. 2D.89【答案】D 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，,AC AB 为x 轴、y 轴，根据题意写出各点的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以A 为坐标原点，,AC AB 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，由2AB AC ==,且点D 为斜边BC 上的三等分点, 所以()2,0C 、()0,2B 、42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭， 又2AM AD =，84.33M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，24,33MC ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，82,33MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2842833339MC MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴.故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题. 8.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且23a =,525S =,若2sin 3n n n b a π=,并设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则9T =( )A. B. 0C. -D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求出n a 的通项公式，然后求出n b ，可得n b 每3项之和相等，进而求和即可.【详解】由数列{}n a 为等差数列,则2111513354255252a a d a d da d S a =+=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨⨯+==+=⎩⎪⎩， 解得1a 1,d 2，所以()1121n a a n d n =+-=-.则12sin32b π==，243sin 32b π==-，365sin 03b π==，487sin32b π==，5109sin 32b π==-，6612sin 03b a π==，所以123b b b ++=456b b b ++=所以912789T b b b b b =+++++=-故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，同时考查了三角函数的诱导公式以及数列的周期性，属于中档题.9.已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数,且在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减.则ω的最大值是( )A .12B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用函数为奇函数()00f =，从而可得()sin f x x ω=-，即sin y x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，只需满足03242ωππωππω⎧⎪>⎪⎪⋅≤⎨⎪⎪⎛⎫⋅-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩ ，解不等式组即可.【详解】因为函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数, 所以()00f =，所以2ϕπ=， 所以()()cos sin f x x x ωϕω=+=-，因为()f x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以sin y x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以03242ωππωππω⎧⎪>⎪⎪⋅≤⎨⎪⎪⎛⎫⋅-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得302ω<≤，所以ω的最大值是32.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性求参数值以及利用函数得到单调性求参数的取值范围，熟记三角函数的性质是关键，属于中档题.10.已知F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点,P 是双曲线的左顶点,过点F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ,B 两点,若2APB π∠<,则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A. ()1,2B. (C. ()1,3D. (【答案】A 【解析】 【分析】由题可知APB △为等腰三角形,只需4APF π∠<，即AF PF <，从而可得2b ac a<+，进而求出离心率的范围.【详解】由题可知APB △为等腰三角形,只需4APF π∠<，即AF PF <,即2b a c a<+,即222c a a ac -<+ 可得220e e --<,解得12e <<. 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需熟记双曲线的性质，属于基础题.11.已知函数()f x 是定义在{|x x R ∈或}0x ≠上的偶函数,且0x >时,()2log f x x =.若函数()()11122x x g x f x --=-++,则满足不等式()21214g a ->的实数a 的取值范围是( ) A. ()0,2B. ()()0,11,2 C. ()(),12,-∞⋃+∞D.()(),02,-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得()g x 关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数,由()21214g a ->可得()()213g a g ->,利用函数的对称性只需21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩即可求解.【详解】当0x >时,()2log f x x =，即函数在()0,∞+为增函数， 所以()1f x -在()1,+∞增函数，令()111422222x xx x h x --⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令2xt =， 所以()142h t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的单调性可知()h t 在()2,+∞为增函数， 所以()14222x x h x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()1,+∞为增函数， 由题可知函数()()11122x x g x f x --=-++关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数, 而由不等式()21214g a ->可得,()()213g a g ->,从而21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩﹐得实数a 的取值范围是()(),02,-∞+∞.故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.12.已知函数()2,04,0x e x x f x x x x ⎧->=⎨+<⎩,函数()f x 的图象在1x x =,2x x =处的切线平行,则12x x -的取值范围为( )A. 32,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦B. [)ln5,2C. []ln5,2D.3ln 5,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.设12x x >,其中()10,ln5x ∈,进而1121e 53ln 5,ln 222x x x x -⎛⎤-=-∈+ ⎥⎝⎦. 【详解】由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.不妨设12x x >,由2244x +<，则114xe -<，即()10,ln5x ∈,所以1121e 52x x x x --=-， 设()11111e 55222x x e x g x x --=-=-，则()1122x e g x -'=，当()10g x '>，则1ln 2ln5x <<，函数()1g x 在()ln 2,ln5为增函数，当()10g x '=，则1ln 2x =，当()10g x '<，则10ln 2x <<，函数()1g x 在()0,ln 2为减函数，()ln5ln5g =-，()3ln 2ln 22g =--，所以()13ln 5,ln 22g x ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦, 故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用，属于中档题. 二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,则目标函数z x y =-的取值范围为________.【答案】1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 分析】作出约束条件的可行域，将目标函数z x y =-化为y x z =-，数形结合求出直线y x z =-截距的取值范围即可求解. 【详解】由x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,作出目标函数的可行域如下（阴影部分）：将z x y =-化为y x z =-，作出y x =，则y x z =-表示与y x =平行的直线， 由图可知y x z =-经过A 时，截距最大， 由21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得12,33x y ==，所以12,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以211333z -≤-=，即13z ≥-， 所以目标函数z x y =-的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，属于基础题. 14.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,若2AF FB =,则AF =________.【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知直线AB 的斜率存在，设出直线方程：()1y k x =-，将直线与抛物线联立，设出交点坐标()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理可得121=x x ，再根据2AF FB =，结合焦点弦公式可得()12121x x +=+，从而可求出1x ，进而求出AF【详解】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,且2AF FB =, 则直线的斜率存在，设直线AB 为()1y k x =-，所以()214y k x y x⎧=-⎨=⎩ ，整理可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121=x x （1）, 由2AF FB =，则()12121x x +=+ （2）, 将（1）（2）联立可求出12x =或11x =-（舍去） 所以11132pAF x x =+=+=. 故答案为：3【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题.15.已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球,则平面1ACD 截球O 的截面面积是________. 【答案】23π 【解析】 【分析】画出图形，求出球心到平面1ACD 的距离，然后求出截面圆的半径，即可求出截面面积.【详解】如图，由正方体与球的性质可知，正方体的对角线即为球的直径，且1OO ⊥平面1ACD ， 正方体的边长为1，则1123623O D ==，所以截面圆的面积为：2233ππ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，故答案为：23π【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，考查了空间想象能力，属于中档题.16.在锐角ABC∆中，2BC=，sin sin2sinB C A+=，则中线AD长的取值范围是_______;【答案】⎭【解析】【分析】本道题运用向量方法，计算AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的范围，即可．【详解】设,AB c AC b==，2BC a==，对sin sin2sinB C A+=运用正弦定理，得到24b c a+==，解得4c b=-，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组()()()22222222224444444b c b bc b bb c b⎧+=+->⎪⎪+=-+>⎨⎪+>=-⎪⎩，解得3522b<<，故()244bc b b b b=-=-+，结合二次函数性质，得到1544bc<≤，运用向量得到()12AD AB AC=+，所以2212cos22AD AB AC AB ACθ=++⋅⋅=2==bc的范围，代入，得到AD的范围为2⎫⎪⎪⎭【点睛】本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难．三､解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题.考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.设函数()()25sin cos22f x x x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期T 和单调递减区间;(2)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,cos bB=,求()f A 的取值范围.【答案】(1)π,()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)(1-+. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用周期公式2T πω=可求周期，利用正弦函数的单调递减区间整体代入即3222232k x k πππππ-+≤+≤+，解不等式即可. （2）利用正弦定理边化角求出3B π=，再利用三角形的内角和性质求出62A ππ<<，代入解析式，根据三角函数的性质即可求解.【详解】(1)()2sin cos 1f x x x x =+sin 221x x =+2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==, 令3222232k x k πππππ-+≤+≤+,k ∈Z , 得71212k x k ππππ+≤≤+,k ∈Z , 从而函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)在锐角ABC ∆中,由sin cos bA B=知,3B π=,则02232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62Aππ<<,从而242,333Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故()f A的取值范围为()13,13-+.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质、正弦定理，熟记性质是关键，属于基础题.18.如图,在三棱锥P ABC-中,ABC∆为等腰直角三角形,PBC∆为等边三角形,其中O为BC 中点,且1AB AC==.(1)求证:平面OPA⊥平面PBC;(2)若3AP=AP ⊥平面EBC,其中E为AP上的点,求CE与平面ABC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析6【解析】【分析】（1）由题意可得BC AO⊥,BC PO⊥,利用线面垂直的判定定理证出BC⊥平面PAO,从而得证.（2）作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上,以A为原点,AC为x轴,AB 为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,求出CE以及平面ABC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】(1) 证明:由题可知,BC AO⊥,BC PO⊥,且AO PO O=,故BC⊥平面PAO,又BC⊂平面PBC,因此平面OPA⊥平面PBC.(2)作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上.如图,以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,以过A 点与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系,可得如下坐标:()0,0,0A ,()0,1,0B ,()1,0,0C ,110,22,O ⎛⎫⎪⎝⎭, 设P 点坐标为(),,a a h ,利用3AP =,62PO =,可得1a h ==.从()1,1,1AP =. 因为E 为AP 上的点,故存在实数λ,使得AE AP λ=,点E 坐标可设为(),,λλλ, 由AP ⊥平面EBC 知,0AP CE ⋅=,得13λ=, 从而21133,,3CE =-⎛⎫⎪⎝⎭,取平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =. 设CE 与平面ABC 所成角的为θ,6sin 6CE n CE nθ⋅==⋅. 故CE 与平面ABC 所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理以及空间向量的数量积求线面角，要证面面垂直，需证线面垂直，此题属于中档题.19.中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示： 分数a 95100a ≤≤ 8595a ≤< 7585a ≤< 6075a ≤< 60a <人数20 55 105 70 50 参加自主招生获得通0.90.80.60.50.4过的概率（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考数据：()2P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）详见解析；（2）①0.6；②90. 【解析】 【分析】（1）直接利用已知填表并画出图形，利用独立性检验公式计算可得：239.216K ≈，问题得解．（2）①直接利用已知数据计算得解，②由题可得：自主招生通过的人数ξ服从二项分布，利用二项分布的期望公式计算得解． 【详解】（1）列联表如下：优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 60 240 300 没有学习大学先修课程 140 1560 1700 总计 20018002000等高条形图如图：通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又222000(601560140240)39.216 6.63530017002001800K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 （2）①205510570500.90.80.60.50.40.6300300300300300p =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则3~150,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，15015032(),0,1,2,,15055kk kP x k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3150905E ξ=⨯= 【点睛】本题主要考查了独立性检验公式及频率与概率的关系，还考查了二项分布的期望公式，考查计算能力，属于中档题．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左,右焦点分别是1F ,2F ,直线y x =被椭圆C.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,2-且斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,交x 轴于P 点,点A 关于x 轴的对称点为M ,直线BM 交x 轴于Q 点.求证:OP OQ ⋅(O 为坐标原点)为常数.【答案】(1)2214x y +=;(2)证明见解析.【解析】 【分析】（1）由题意可得点55⎛⎝⎭在椭圆上,代入椭圆方程可得2244155a b +=，再利用椭圆的离心率2c a =，222a b c =+，求出,a b 即可求解. （2）设直线l 的方程为2y kx =-,点P 的坐标为20,k ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,M x y -,根据题意求出点Q 坐标，联立22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，利用韦达定理将点Q 坐标用k 表示即可证出.【详解】设椭圆C 的焦距为2c ,则c a =, 由直线y x =被椭圆C截得的线段长为5可知,点55⎛ ⎝⎭在椭圆上, 从而2244155a b+=.结合222a b c =+,可解得2a =,1b =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)依题意,直线l 的方程为2y kx =-,则P 的坐标为20,k ⎛⎫⎪⎝⎭. 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,M x y -, 直线BM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-,令0y =,得Q 点的横坐标为()()121212*********kx x x x x y x y x y y k x x -++==++-.① 又由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得()221416120k x kx +-+=,()()22223164121464480,4k k k k ∆=--⨯+=->>, 得12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,代入①得()2224216216414k kx k k k -⋅==-+,得4OP OQ ⋅=,所以OP OQ ⋅为常数4.【点睛】本题考查了由离心率求椭圆方程、直线与椭圆位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln f x x x a =-+有两个不同零点1x ,()212x x x <. (1)求a 的取值范围;(2)证明:当1104x <≤时,21214x x <. 【答案】(1)()1,+∞;(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()1x f x x-'=，求出函数的单调递增、递减区间，从而()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,需满足()10f >,然后验证()f x 在()0,1，()1,+∞分别有零点即可.（2）由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,证出()221104f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，再利用函数的单调性即可得出22114x x <，从而得证. 【详解】(1)由题,()111x f x x x-'=-=, 则当01x ≤≤时,()0f x '>,()f x 单调递增;当1x >时,()0f x '<,()f x 单调递减.故()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,由题可知,需满足()10f >,即1a >. 当1a >时,0e 1a -<<,()e e 0a a f --=-<,故函数()ln f x x x a =-+在()e ,1a -上存在一个根,存在(211b >+>,使得((((222()1ln 1121f b f a ⎡⎤<+=-++<+⎢⎥⎣⎦(210a -++=,从而函数()ln f x x x a =-+在()1,b 上存在一个根,故a 的取值范围为()1,+∞.(2)由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,因此()()222222111111ln ln 444f x f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112113ln 2ln 24x x x =-++ 令211()3ln 2ln 2044F x x x x x ⎛⎫=-++<≤ ⎪⎝⎭, 则()233331*********x x F x x x x x --⎛⎫'=--=<≤ ⎪⎝⎭, 而233662121016x x x --≤--<,即()0F x '<, 从而()F x 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以()104F x F ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭, 因此()22114f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,又因为()f x 在()1,+∞上单调递减,且21>x ,21114x >, 所以22114x x <,从而21214x x <. 【点睛】本题考查了函数的零点以及导数在研究函数单调性性中的应用，属于难题.(二)选考题:共10分.请考生在22,23两题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题记分. 选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10+-+=ρρθρθ,直线l 的参数方程为cos 2sin x t a y t a =⎧⎨=+⎩(t 为参数,[)0,a π∈).(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角0,3a π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,P 点坐标为()0,2,求PA PBPA PB ⋅+的最小值.【答案】(1)[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈,222210x y x y ++-+=【解析】【分析】（1）讨论π2a或2a π≠，消参求出直线方程即可；由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可求曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立，求出()122sin cos t t a a +=-+,121t t =,利用参数的几何意义可知()121212sin cos PA PBt t PA PB t t a a ⋅==+++，然后利用辅助角公式以及三角函数的最值即可求解. 【详解】(1)①当π2a时,直线l 的方程为0x =, ②2a π≠时,直线l 的方程为()2tan y a x -=⋅,由①,②得,直线l 的方程可写成[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,得曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y ++-+=. (2)将直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立得:()22sin cos 10t a a t +++=则()122sin cos t t a a +=-+,121t t =, 则()1212142sin cos PA PB t t PA PB t t a a ⋅==≥+++(当且仅当4a π=时取等号). 故PA PB PA PB ⋅+. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，参数的几何意义，辅助角公式以及三角函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于中档题.选修4-5:不等式选讲 23.已知函数()24f x x a =+-.(1)当2a =时,解不等式()1f x x ≥-;(2)若对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,求a 的取值范围. 【答案】(1)(][),71,-∞-+∞;(2)(][),14,-∞+∞.【解析】【分析】（1）利用零点分段法分类讨论解不等式即可.（2）不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒 成立,利用绝对值的几何意义只需2234a a a ≤-+，解不等式即可.【详解】(1)当2a =时,不等式()1f x x ≥-等价于2114x x +--≥, 得()()12114x x x ≤-⎧⎨-++-≥⎩或()()112114x x x -<≤⎧⎨++-≥⎩或()()12114x x x >⎧⎨++-≥⎩, 解得(][),71,x ∈-∞-⋃+∞.(2)对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒成立,从而可得2234a a a ≤-+,得a 的取值范围为(][),14,-∞+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题.。