2019年人教A版必修四高中数学2.5 平面向量应用举例 2.5.1 同步习题及答案

§2.5平面向量应用举例2．5.1 平面几何中的向量方法课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔______________________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝______________＝___________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝_______2．直线的方向向量和法向量(1)直线y＝kx＋b的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )A ．25B.525C ．35D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三个内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30°B．45° C ．135°D．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2B.12C ．－3D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形二、填空题7．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为__________________．8．已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5.则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝________________.9．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC→|＝2，则OC→＝__________________.三、解答题11．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．12．P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF 且PA⊥EF.能力提升13．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，PA→·PB→＝PB·PC→＝PC→·PA→，则点O，N，P依次是△ABC的( )A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心14．求证：△ABC的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，→(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直y2)，则P1P2线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 作业设计1．B [BC 中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，5，∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22.∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC→|， ∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D[由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC .而AB→|AB →|·AC→|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →. 又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO→， ∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎪⎨⎪⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →) ＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310， ∴OC→＝2310OD →. ∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－105，3105， 即OC →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－105，3105. 11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB →|AB →|＋AC→|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2λ2，2λ2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22λ，0， 于是PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22λ－1，－22λ. ∴|PA →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22λ－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1，同理|EF→|＝λ2－2λ＋1， ∴|PA →|＝|EF →|，∴PA ＝EF .∴PA →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2λ2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22λ＝0， ∴PA →⊥EF →.∴PA ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0，∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵PA →·PB →＝PB →·PC →， ∴(PA →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0. 同理AB →·PC →＝0，BC →·PA →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心．由|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，知点O为△ABC的外心．] 14．证明如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．设BE，CF交于H点，令AB→＝b，AC→＝c，AH→＝h，则BH→＝h－b，CH→＝h－c，BC→＝c－b.∵BH→⊥AC→，CH→⊥AB→，∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，即(h－b)·c＝(h－c)·b整理得h·(c－b)＝0，∴AH→·BC→＝0∴AH⊥BC，∴AH→与AD→共线．AD、BE、CF相交于一点H.。