组合3容斥原理鸽巢原理 共89页
武大计院组合数学PPT第3章容斥原理和鸽巢原理
设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2
120 2
60
A3
120 3
40
A5
120 5
24
A7
120 7
17
A2 A3
120 6
20
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容斥原理
2 3 5
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容斥原理
例3.10 错排问题 设 Ai (i 1,2,, n) 表示i在第i位排列的集合，则有
Ai (n 1)!, i 1,2,, n
Ai Aj (n 2)!, i, j 1,2,, n, i j ，…
A2 A5
120 10
12
A3 A5
120 15
8
A2 A7
120 14
8
A3 A7
120 21
5
A5 A7
120 35
3
A2 A3 A5
120 30
4
(1)n | A1 A2 An |
证 任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方 程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为
1 0 0 0 (1)n 0 1
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容斥原理
(2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端 的贡献为0，而对方程右端的贡献为
组合数学课件-第三章第四节鸽巢原理
分是36分，那么比赛中平局的场数共有多少场？
02
题目2
一个袋子里有大小形状相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球10个，
黄球9个，白球8个，某人闭着眼睛从中最少取出多少个球，才能保证4
个同色的球．
03
题目3
有10支足球队进行单循环赛，每个队都恰好与其他队各比赛一场，胜者
得3分，负者得0分，平局两队各的1分。比赛结束后，全部球队的总积
这个原理可以用数学语言表示为：如果 (n > m)，且 (n) 个物体放入 (m) 个容器中，那么至少有一个容器包含 (lceil frac{n}{m} rceil) 个 或更多的物体。
鸽巢原理的简单应用
分配问题
鸽巢原理可以用于解决分配问题，例如将 n 个不同的数分配到 m 个不同的区间中，使得每个区间至少有一个数。
量子力学
在量子力学中，鸽巢原理可以 用于描述量子系统的状态和演 化。
统计力学
在统计力学中算机模拟
在计算机模拟中，鸽巢原理可 以用于模拟物理系统的行为和 性质。
04
鸽巢原理的扩展和推广
鸽巢原理的推广形式
01
02
03
推广到无限集合
在无限集合中，如果每个 元素都有有限个“巢穴”， 则至少有一个“巢穴”包 含无限多个元素。
抽屉原理
鸽巢原理也可以用于解决抽屉原理问题，例如在 n+m 个物体中 放入 n 个抽屉，使得至少有一个抽屉包含两个或两个以上的物体 。
鸽巢原理的证明
• 鸽巢原理的证明可以通过反证法进行。假设存在一个反例，即存在 n 个物体放入 m 个容器中，且每个容器最多只有一个物 体。那么我们可以将这 n 个物体重新分配到 m 个容器中，使得每个容器至少有两个物体，这与假设矛盾。因此，假设不成 立，鸽巢原理成立。
鸽巢问题原理PPT课件
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THANKS
密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也 有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢 原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一 个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。 建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证 明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和 掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题， 逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、 大数据等领域的应用。
鸽巢问题原理ppt课件
目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一 个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本 原理之一，对于理解更高 级的数学概念和证明具有 重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领 域中，鸽巢原理为解决复 杂问题提供了有效的思路 和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以 培养逻辑思维和抽象思维 能力，提高分析问题和解 决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念
三容斥原理所有公式
三容斥原理所有公式三容斥原理是组合数学中常用的一种方法，用于解决集合的交集和并集问题。
它是一种基本的计数原理，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
在这篇文档中，我们将介绍三容斥原理的所有公式，希望能帮助大家更好地理解和运用这一原理。
首先，让我们来了解一下三容斥原理的基本概念。
三容斥原理是指对于三个集合A、B、C，其元素的个数分别为|A|、|B|、|C|，则三个集合的交集元素个数为|A∩B∩C|，那么三个集合的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有如下的公式：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这就是三容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以计算三个集合的并集元素个数，而不需要逐个遍历元素进行计数，大大简化了计数问题的复杂度。
除了三个集合的情况，三容斥原理也可以推广到更多集合的情况。
对于n个集合A1、A2、...An，其元素的个数分别为|A1|、|A2|、...|An|，则n个集合的并集元素个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
其中Σ表示对所有可能的集合交集进行求和，(-1)^(n-1)表示交替加减，这就是n个集合的情况下的三容斥原理公式。
三容斥原理的应用非常广泛，可以用于解决各种组合计数问题，比如排列组合、概率统计等。
通过灵活运用三容斥原理，我们可以更加高效地解决一些复杂的计数问题，提高计算效率，减少出错概率。
总之，三容斥原理是一种非常重要的计数原理，通过掌握其基本公式和推广公式，我们可以更好地解决集合的交集和并集问题，为我们的计算工作提供便利。
希望本文介绍的三容斥原理的所有公式能够帮助大家更好地理解和运用这一原理，提高计数问题的解决能力。
容斥原理和鸽巢原理的应用
容斥原理和鸽巢原理的应用容斥原理的基本概念容斥原理是组合数学中一种重要的计数原理，用于解决涉及多个集合的问题。
它的核心思想是通过排除掉重复计数的部分，得到不重复计数的结果。
容斥原理通常用于解决集合交、并、差等操作的计数问题。
容斥原理的表述设A₁，A₂，…，Aₙ为n个集合，容斥原理可以表述为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ | = ∑ | Ai | - ∑ | Aᵢ⋂ Aₙ | + ∑ | Ai ⋂ Aₙ ⋂ Ak | - ... + (-1)ⁿ₋₁ | A₁ ⋂ A₂ ⋂ ... ⋂ Aₙ |其中，| · |表示集合的元素个数，∪表示集合的交集，⋂表示集合的并集，⋂表示集合的交集，(-1)ⁿ₋₁表示取负号。
容斥原理的应用解决排列组合问题容斥原理在解决排列组合问题时非常有用。
例如，考虑一个由A、B、C三个字母组成的长度为4的字符串，要求字符串中至少包含两个字母相同的个数。
使用容斥原理可以很方便地解决这个问题。
设集合A为满足至少包含两个A的字符串，集合B为满足至少包含两个B的字符串，集合C为满足至少包含两个C的字符串。
根据容斥原理，可以得到满足条件的字符串个数为：| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | - | A ⋂ B | - | A ⋂ C | - | B ⋂ C | + | A ⋂ B ⋂ C |其中，| A |表示满足至少包含两个A的字符串个数，| A ⋂ B |表示满足至少包含两个A和两个B的字符串个数，以此类推。
解决整数划分问题整数划分问题是指将一个正整数n划分成若干个正整数之和的问题。
使用容斥原理可以很好地解决这个问题。
设集合Aᵢ表示正整数划分中至少出现i个特定数（例如2）的划分集合。
根据容斥原理，可以得到正整数划分的个数为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Ak | = ∑ | Ai |其中，Ai表示正整数划分中至少出现i个特定数的划分个数。
容斥原理与鸽巢原理的应用
容斥原理与鸽巢原理的应用1. 容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，常用于解决计数问题。
它利用集合的互斥与包含关系，将复杂的计数问题转化为简单的计数问题。
下面是容斥原理的应用方式：1.基本容斥原理：对于给定的一组事件A1, A2, …, An，它们的概率分别为P(A1), P(A2), …, P(An)，则这些事件的并集的概率P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)可以通过容斥原理计算得到。
2.二项式系数的应用：容斥原理还可以应用于计算二项式系数的求和，通过利用二项式系数性质和容斥原理的结合，可以简化求和式，加快计算速度。
3.容斥原理在组合数学中的应用：容斥原理在组合数学中经常用于计算排列组合问题，例如求解某些集合的大小、某些集合的交集、某些集合的并集等问题。
2. 鸽巢原理鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中一个基本原理。
它的核心思想是：如果有n个物体要分配到m个容器中，且n>m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
下面是鸽巢原理的应用方式：1.分配问题：鸽巢原理可以应用于分配问题，例如某考试有n个学生和m个座位，如果n>m，则根据鸽巢原理可以得出至少有一个座位会被两个或者更多的学生占据。
2.概率问题：鸽巢原理可以用于解决概率问题，例如抛掷两个骰子，如果将两个骰子的点数总和视为一个数，那么总有两个骰子的点数总和相等，这是由鸽巢原理保证的。
3.鸽巢原理在密码学中的应用：鸽巢原理在密码学中也有广泛的应用，例如在哈希函数中，将大量的输入映射到有限的输出空间中，根据鸽巢原理，总会存在多个输入被映射到同一个输出。
3. 容斥原理与鸽巢原理的应用案例下面是容斥原理与鸽巢原理的具体应用案例：1.求解集合的大小：假设有两个集合A和B，分别包含n个元素和m个元素，求解它们的并集A ∪ B的大小。
根据容斥原理，可以通过计算A和B的大小以及它们的交集A ∩ B的大小，来求解并集的大小。
具体计算公式为：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。
第04讲-计数问题-容斥原理与鸽笼原理_图文
解（续）
利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0
＋0＋0＋0＋|A∩C∩D|－0。 得：|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有 1人。
*
例2.4.3 解（续）
设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4 ，则
x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A| ＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|
的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式 ； 3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用；
*
习题类型
（1）基本概念题：涉及离散概率的基本概念； （2）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用 容斥原理的计算，离散概率的计算和递归关系的建 立与求解； （3）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。
*
习题
第44-45页
*
定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 A-B
|A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U
分析 由图容易看出，
A B
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A|
A = ( A - B)∪(A∩B)
|A| = |A-B|+|A∩B|
= 41， 即结论得证。
*
2.5 离散概率简介
概率(Probability)是17世纪为分析博弈游戏 而发展起来的学科，最初计算概率仅有计数一种方 法。
本节主要介绍离散概率的基本概率、基本性质 和概率计算的简单例子。
*
2.8 本章总结
1. 乘法原理和加法原理的基本含义； 2. r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合
组合数学 第3章 鸽笼原理
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例8
证明：作序列 s1 a1, s2 a1 a2 , ..., s100 a1 a2 ... a100。 由而故做于且根序例每据列个假题设ai都有s1是s,1s020正s,1.0.的.0(.,例已的a＞.as.整i11+01知和8h0a数(0、≥,iaa+从不s1191，2设，1+1其超6…故a使3.a.1中过9.+a9得1,2a21任s…6sia+26a1019.，意0ha≤.+.)1130即一as6902ha是(。,+对个a1.10.1+由.0则1.,于数.)…s。.11至01开a和+0≤1s少a21始i2k0≤0=3组存9的93.1.9成.在恒顺。的ha有序和20序1)k0列，个，（k数S）
§§3.31.1 鸽鸽笼笼原原理例理6
例题
例6、从1到2n的正整数中任取n+1个，则 这n+1个数中至少有一对数，其中一个数 是另一个数的倍数（n≥1） 。
证明：设所取n+1个数是a1,a2,…,an,an+1，
对该序列中的每一个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇
数为止，即 ri = ai / 2x ，x = 0,1,2,…。
结果得由奇数组成的序列R：r1,r2,…,rn,rn+1。
1到2n中只有n个奇数，故序列R中至少有两个数是相同的。
设为 ri rj r, i j ， 对应的有 ai 2i r，a j
2 j
r，不妨设i
j
，
则ai是aj的倍数。
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例7
例题
例7、设a1a2…am是正整数的序列，则至少 存 在 整 数 k 和 l ， 1≤k ＜ l≤m ， 使 得 和 ak+1+ak+2+…+al是m的倍数。 （m≥2）
组合数学课件--第三章第四节鸽巢原理
如果 A B
则结果成立。否则：
令： Y A \ (A B), Z B \ (A B)
Y和Z就是满足条件的两个集合。
13
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.7 X是9个不同正整数的集合，E是 X的子集，S(E)是集合E的元素和。n是X的元素 的最大值。
求n的值，使X至少存在两个集合A和B，使 S(A)=S(B)。
25
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于等于3的整数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1}中存在一数被n除尽。
首先这是n-1个奇数，假如n是偶数时，不可能 成立；
当n=4时，数列为{1，3，7}不可能被4除尽。
26
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于1的奇数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}中至少存在一数被 n除尽。
解：
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
14
3.13 鸽巢原理举例
X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36 X的非空子集的数目？ C(9,1)+C(9,2)+…+C(9,9) =29-1=511
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3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.9：随意地给正十边形的10个顶点编 上号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求证：必有一个顶 点及与之相邻的两顶点之和不小于17。
证明：以A1,A2,A3,…,A10表示正十边形的10 个顶点，
组合数学课件第三章第二节棋盘多项式和有限制条件的排列
甲乙 丙丁
29
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
1 2 3 4
甲乙 丙丁 R(C)
=(1+x)(1+x)(1+3x+ x2) =1+5x+8x2+5x3+x4
30
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
例3.5 一婚姻介绍所，登记有5名男性A，B，C ，D，E和4名女性1，2，3，4，经了解：1不能与 B,C,D,E，2不能与A,D,E,3不能与A,B,C，4不能与 A,B,C,D求可能婚配的方案数。
r1( ) =2
r2(
) =1
*** 14
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
2、棋盘多项式的定义
定义：设C为一棋盘，称： R(C) rk (C)xk
为棋盘C的棋盘多项式。
k 0
求棋盘 的多项式
r1( ) =2
r2( ) =0
R( ) =1+2x
*** 15
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列 3、棋盘多项式的化简
n个不同元素取r个的排列可以看做是n 个相同的棋子在r×n的棋盘上的一种布局 ，
例如:1,2,3,4,5中取3个的排列
435
512
9
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
x x
x x
x
数，令规rk则(c)是表当示一k只只棋棋子子布布到到棋棋盘盘C的的某不一同格的时方，案则 这个格子所在的行和列上的其他格子不再允许布 上别的棋子。
(2)、容斥原理： 既可解决限制元素出现次数的问题，也能解 决元素出现位置的问题 典型特征是：问题能够化为集合问题：
A1 A2 ... An
A1 A2 ... An
第3章 容斥原理与鸽巢原理
(1) n A1 A2 ... An 1
16
3.2 容斥原理
A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An
Ai Aj (n 2)!, i 1, 2,..., n, i j
25
3.3 容斥原理举例
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n ! C (n,1)(n 1)! C (n, 2)(n 2)! (1) n C (n, n)1! 1 1 n 1 n !(1 (1) ) 1! 2! n!
两个集合并集的元素个数：
A B A B A B
U A
A B
B
9
3.2 容斥原理
定理： A B C A B C A B
| AC | B C A B C
证明：
根据
A B C ( A B) C A B C ( A B) C
定理：设 A1, A2 ,..., An 是有限集合，则
A1 A2 ... An Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ...
i 1 i 1 j i i=1 j>i k>j n n n
(1) n 1 A1 A2 ... An
B
A B C
C
11
3.2 容斥原理
• 【例】一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已 知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修 数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20 人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这 学校共有多少学生？ • （解）令：M为修数学的学生集合； • • P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
组合数学第三章容斥原理和鸽巢原理
§3.3 例
A 4!, B 5!, A B 3!.
根据容斥原理，不出现ace和df的排列数 为：
A B
=6!- (5!+4!)+3!=582
§3.3 例 例2 求从1到500的整数中能被3或5
除尽的数的个数。 解： 令A为从1到500的整数中被3除 尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合
§3.2 容斥原理
3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13
§3.2 容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A
A {x | x U 且x A} ,有
n 1 k 1
( Ai
i 1
(1)
k 1
k 1
I∈￠(n-1,k) i∈I
Ai An (1)
k 1
( Ai
iI
An )
I∈￠(n-1,k)
§3.2
容斥原理
n 1 k 1
A
i 1 n k 2
n 1
i
( 1)
k 2
I∈￠(n-1,k)
例
§3.2 容斥原理
令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
§3.2 容斥原理
M P C MPCM PM M CP CM P C 170 130 120 45 20 22 3 336
鸽巢原理+容斥原理
组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
23
组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理， 也叫抽屉原理。 原理描述：若有n个鸽子巢，n+1只鸽子，则至 少有一个鸽子巢里住着两只鸽子。 定理（鸽巢原理） 如果把n+1个物体放入n个盒 子，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
容斥原理
由|A∩B∩C|=8 |A∩B|=33 |A∩C|=25 |B∩C|=41 |A|=200 |B|=166 |C|=125 所以由容斥原理，不能被5，6和8整除的整数的个数为 |~A∩~B∩~C| =|E|-（|A|+|B|+|C|）+（|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|）-|A∩B∩C| =600
⋯⋯⋯ | Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik |= (n − k )! ⋯⋯⋯ | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |= 0!
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
定理 用Dn表示{1, 2, …, n}的全部错排个数，则
Dn =| A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n | n n n n = n !− (n − 1)!+ (n − 2)!− ... + (−1) 0! 1 2 n 1 1 n 1 = n !(1 − + − ... + (−1) ) 1! 2! n!
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
例 在8个字母ABCDEFGH的全排列中，求 （1）仅ACEG四个字母不在原来位置上的排列数 （2）只有4个字母不在原来位置的排列数 （3）ACEG四个字母不在原来上的排列数 解 （1）8个字母中仅ACEG四个字母不在原来位置 上，其余4个字母保持不动，相当于4个元素的错排
三容斥原理公式
三容斥原理公式容斥原理在数学中可是个很有趣的家伙，能帮咱们解决好多看似复杂的问题呢！咱们先来说说啥是容斥原理。
简单来说，就是在计算几个集合的总数时，要考虑到重复计算的部分，把多算的减掉，少算的加上，这样才能得到准确的结果。
容斥原理有好几种公式，咱们今天重点来聊聊三个集合的容斥原理公式。
公式是这样的：设集合 A、B、C 是给定的三个集合，那它们的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去B 和C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
用符号表示就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| -|B∩C| + |A∩B∩C| 。
这公式看起来有点复杂，别担心，咱们通过一个例子来好好理解一下。
比如说，咱们学校组织了语文、数学、英语的竞赛。
参加语文竞赛的有 50 人，参加数学竞赛的有 60 人，参加英语竞赛的有 70 人。
同时参加语文和数学竞赛的有20 人，同时参加语文和英语竞赛的有15 人，同时参加数学和英语竞赛的有 25 人，而三门竞赛都参加的有 5 人。
那咱们来算算一共有多少同学参加了竞赛？咱们就用刚刚的公式来算。
先把参加每门竞赛的人数加起来：50 + 60 + 70 = 180 人。
然后减去两两交集的人数：180 - 20 - 15 - 25 = 120 人。
但是这里把三个都参加的多减了一次，所以要加回来：120 + 5 = 125 人。
所以呀，一共有 125 位同学参加了竞赛。
在咱们日常生活中，容斥原理也经常能用到呢。
比如说我上次去超市买水果，我想买苹果、香蕉和橙子。
超市里标着喜欢苹果的顾客有100 人，喜欢香蕉的有 80 人，喜欢橙子的有 90 人。
同时喜欢苹果和香蕉的有 30 人，同时喜欢苹果和橙子的有 25 人，同时喜欢香蕉和橙子的有 20 人，三种都喜欢的有 10 人。
组合3容斥原理鸽巢原理
3.2 容斥原理—应用
1. 再解错排问题
n个元素依次给以标号1，2，…，n。n个元素 的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上 的排列数。
设Ai 为元素i在第i位上的全体排列, i=1,2,…,n。
则有|U|=n!， 因元素i不能动，因而有：
A i (n 1 )!, i 1 ,2 ,...,n
解：令Ai表示与第位朋友共进晚餐的日期的集合。
3.1 容斥原理
3.1 容斥原理
例 9：在一个长为5 的0,1 序列中，至少有两个1 相邻的序列有多少个？
3.1 容斥原理
例 10：用三种不同颜色粉刷一长方形房间内墙 壁，使恰在每一角落处颜色都改变，有多少方案？
设A12为墙1与2涂相同颜色方案的集合 A23为墙2与3涂相同颜色方案的集合 A34为墙3与4涂相同颜色方案的集合 A41为墙4与1涂相同颜色方案的集合
A 2 1 2 2 0 6 0 ， A 3 1 2 3 0 4 0 ， A 5 1 2 5 0 2 4 ， A 7 1 2 7 0 1 7 ,
A2 A3 2120320， A2 A5 1120012, A2 A7 112408， A3 A5 112508，
满足这些条件的排列数。
解：所有排列中，令
A 1 为 出 现 dog的 排 列 的 全 体 ； A 2为 出 现 god的 排 列 的 全 体 ；
A 3为 出 现 gum 的 排 列 的 全 体 ； A 4为 出 现 depth 的 排 列 的 全 体 ；
A 5为 出 现 thing 的 排 列 的 全 体 ；
k
rk(C) =∑i=0ri (C1) rk-i (C2)
故
nk
R(C)
=
∑
容斥原理与鸽巢原理的应用
2013年度本科生毕业论文（设计）容斥原理与鸽巢原理的应用教学系：数理系专业：数学与应用数学年级：2009 级姓名：胡雯学号：20090307011015导师及职称：陈兴炼讲师2013年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单摘要本文介绍的是组合数学中的容斥原理和鸽巢原理，它们是人类在学习和工作中，为了方便计数而研究出来的特别计数法,在日常学习和生活中应用范围非常广。
本文先简明地对这两个原理进行阐述，接着着重于讨论它们在数学和生活中的应用，这里分别列举出一些数学和生活中出现的几类满足特殊条件的例子进行分析，应用容斥原理来求解具备某些特殊性质的元素，同时在生活实例中引入欧拉错装信封问题。
应用鸽巢原理来反向构造“最不利原则”来解决一些存在性问题。
文章的例题涉及从简单到复杂，数学和生活中的例子，最后对例子得出的结论进行简要的概括。
应用容斥原理和鸽巢原理解决问题的思维比较灵活，要求根据具体问题具体分析，不一味的死套公式，有些问题甚至需要打破常规，从问题的反面考虑，才能快速准确的做出来，这是我们学好这两个原理，甚至是学好数学的精髓。
关键词：容斥原理；鸽巢原理；文氏图；构造；应用Application of Inclusion-Exclusion Principleand Pigeonhole PrincipleABSTRACTWhat this paper introduces are combinatorial principle, inclusion-exclusion principle and pigeonhole principle which are significant and elementary in combinatorial mathematics. They are special counting processes came out from the lives of human study and work for counting conven iently. They are a wide range of applications in people’s living life.This paper firstly expounds the two principles concisely, then discusses their applications in mathematics and life, separately analyze them by giving several types of examples appeared in mathematics and living life. To enumerate some mathematical and life here in a few classes to meet special condition carries on the analysis of examples, application principle to solve a class element has some special properties, at the same time introducing euler wrong envelopes problem instances in life. Application principle of pigeon nest to reverse "the most unfavorable principle" existence to solve some problems. These examples are in accordance with particular conditions and from simple to complex. Finally the paper has a brief summary out from the conclusion of the examples.It requires that we should make a concrete analysis of each question and be flexible to apply inclusion-exclusion principle and pigeonhole principle to solving mathematical problems rather than apply formula mechanically, and even in some cases it needs to break the normal procedure, and to think from the opposite sides so as to get the correct answer as soon as possible. And all above mentioned are the prerequisite to having a good understanding of the two principles, even are the essential for learning mathematics.Keywords: inclusion-exclusion principle、eonhole principle、enn diagram、tructure application目录第一章容斥原理及鸽巢原理的概述 (1)1. 容斥原理 (1)1.1 容斥原理的基本概述 (1)2. 鸽巢原理 (2)2.1 鸽巢原理的基本概述 (2)第二章容斥原理和鸽巢原理的应用举例 (2)1. 容斥原理的应用举例 (2)1.1 容斥原理在数学中应用举例 (2)1.2 容斥原理在生活中应用举例 (4)2. 鸽巢原理的应用举例 (6)2.1 鸽巢原理在数学中应用举例 (6)2.2 鸽巢原理在生活中应用举例 (8)第三章小结 (9)参考文献 (10)致谢 (11)第一章容斥原理及鸽巢原理的概述几千年来，人类在发展生产和生活的过程中，遇到一些计数的问题，为了更好的生存和发展，人类在总结前人经验的同时发明了一些计数法，这里我们选取其中的两种计数法来讨论，即容斥原理与鸽巢原理。
《三集合容斥原理》
三集合容斥原理华图教育梁维维我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。
之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。
三集合容斥原理公式：三者都不满足的个数。
总个数-=+---++=||||||||||||||||CBACBCABACBACBA有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。
【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少?( )A.15B.16C.14D.18【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。
近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。
【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（）A. 148B. 248C. 350D. 500【解析】本题属于容斥原理问题。
设三种上网方式都使用的客户有X个，则使用两种上网方式的客户有(352－X )个，根据题意1258＋1852＋932=3190＋2×（352－X）＋3X,解得X=148，因此答案选择A选项。
三级容斥原理公式
三级容斥原理公式三级容斥原理是组合数学中常用的计数原理，它可以帮助我们解决涉及多个集合的计数问题。
三级容斥原理的公式可以表达为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，A、B、C表示三个集合，|X|表示集合X的元素个数，∪表示集合的并操作，∩表示集合的交操作。
下面我们将通过一个具体的例子来介绍三级容斥原理的应用。
假设有一个班级，其中有40名学生，他们分别参加了三个社团：篮球社、足球社和乐队。
现在我们想要知道至少参加了一个社团的学生人数。
我们定义集合A表示参加了篮球社的学生，集合B表示参加了足球社的学生，集合C表示参加了乐队的学生。
我们需要求解的是集合A∪B∪C的元素个数。
根据三级容斥原理，我们可以通过计算每个集合的元素个数来求解。
首先，我们计算每个集合的元素个数：|A| = 20，表示参加篮球社的学生人数为20；|B| = 15，表示参加足球社的学生人数为15；|C| = 25，表示参加乐队的学生人数为25。
接下来，我们计算每两个集合的交集的元素个数：|A∩B| = 8，表示既参加篮球社又参加足球社的学生人数为8；|A∩C| = 10，表示既参加篮球社又参加乐队的学生人数为10；|B∩C| = 5，表示既参加足球社又参加乐队的学生人数为5。
我们计算三个集合的交集的元素个数：|A∩B∩C| = 3，表示既参加篮球社又参加足球社又参加乐队的学生人数为3。
根据三级容斥原理的公式，我们可以得到：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|= 20 + 15 + 25 - 8 - 10 - 5 + 3= 40。
所以，至少参加了一个社团的学生人数为40人。
通过这个例子，我们可以看到三级容斥原理的应用。
它可以帮助我们计算多个集合的并集的元素个数，避免了重复计数的问题。
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3.1 容斥原理
对于求两个有限集合A和B的并的元素数目，我们有
定理1
ABABAB (1)
即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的 元素个数和具有性质B的元素个数减去同时具有 性质A和B的元素个数。
3.1 容斥原理
U
A∩B
A
B
3.1 容斥原理
证 若A∩B=，则 | A∪B |= |A| + |B|, 否则 |A||A(B B)||(A B) (A B)|
类似有
A1 A3 22!
A 1 A40,A 1 A 50,
A2 A30,A2 A4A2 A520! A3 A419!,A3 A520!A4 A519!
3.1 容斥原理
例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化 学。已知修这三门课的学生分别有170、130、 120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修 数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课， 问这学校共有多少学生？
解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
则
U 26!
出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元 参加排列，故 A1 24 !
3.1 容斥原理
类似有： A 2A 32 4 !,A 4A 52 2 !
由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：
A1 A2 0;
由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有：
定理2 ABCABCAB -ACBCABC (2 )
3.1 容斥原理
A∩B
A
A∩C
C
A∩B ∩C
U B
B∩C
3.1 容斥原理
证明 A B C(A B) C A BC(A B) C
根据(A B) C(A C) (B C) A B CABCA B
(A C) (B C) ABCA B-A CB CA B C
ABAC BC 2 n A B C 1
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
ABC U (A BC ) (ABAC BC ) ABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1
3.1 容斥原理
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求
排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求
A
B
500 15
33
被3或5除尽的数的个数为
A B AB A B
1 6 6 1 0 0 3 3 2 3 3
3.1 容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。
解：令A、B、C分别为不出现a，b，c符号的集合。 即有 U 4 n ABC3n
组合数学
帅天平
北京邮电大学数学系 Email: tpshuaigmail
第三章 排列组合
3.1 容斥原理 3.2 容斥原理应用 3.3 广义容斥原理 3.4 广义容斥原理应用 3.5 鸽巢原理及其应用 3.6 Ramsay数 3.7 应用举例
3.1 容斥原理
计数问题是组合数学研究的重要问题之一。
已学过的一些计数方法：如 加法法则，母函 数方法等； 两个重要的计数原理：容斥原理和PÓlya计数 定理。
本次课我们学习容斥原理及其应用。
3.1 容斥原理
例1 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。
解： 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16， 18，20。共10个； 3 的倍数是：3，6，9，12，15，18。共 6个； 答案是10+6=16个吗？ 否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。 故答案是：16-3=13
3.1 容斥原理
A170,B130,C120,A B45 AC20,B C22,A B C3
A B CABCA B ACB CA B C
1701301204520223 336
即学校学生数为336人。
3.1 容斥原理
同理可推出：
A B C DABCD
An
(5)
容斥原理指的就是（4）和（5）式。 用来计算有限集合的并或交的元素个数。
3.1 容斥原理
例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数.
解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集 合，B为被5除尽的数的集合
A
500 3
166,
B
500 5
100;
|(A B)||(A B)|
(i)
同理
|B | |(BA )| |(BA )| (ii)
A B(A (B B)) (B (A A) (A B) (A B) (B A) (B A) A BA BB A (iii)
3.1 容斥原理
( iii ) －( i ) －( ii ) 得 |A B||A||B| |A B||A B||B A|(|A B||A B|) (|B A||B A|)|A B| ∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |
A BA CA DB CB DC D
A B CA B DA C DB C D
A B C D
(3)
利用数学归纳法可得一般的定理：
3.1 容斥原理
定理3 设A1,A2,…,An是有限集合，则
A1 A2 ... An
n
n
n
Ai Ai Aj Ai Aj Ak
i1
i1 ji
i1 ji kj
...(1)n1 A1 A2 ... An
(4)
3.1 容斥原理
又 AU A,
A1 A2 ... An UA1 A2
An
n
n
n
UAi Ai Aj -Ai Aj Ak
ห้องสมุดไป่ตู้
i1
i1 ji
i=1 ji kj
(1)n A1 A2
满足这些条件的排列数。
解：所有排列中，令
A 1为 出 现 dog的 排 列 的 全 体 ； A 2为 出 现 god的 排 列 的 全 体 ；
A 3为 出 现 gum 的 排 列 的 全 体 ； A 4为 出 现 depth 的 排 列 的 全 体 ；
A 5为 出 现 thing的 排 列 的 全 体 ；