组合3容斥原理鸽巢原理 共89页
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组合数学
帅天平
北京邮电大学数学系 Email: tpshuaigmail
第三章 排列组合
3.1 容斥原理 3.2 容斥原理应用 3.3 广义容斥原理 3.4 广义容斥原理应用 3.5 鸽巢原理及其应用 3.6 Ramsay数 3.7 应用举例
3.1 容斥原理
计数问题是组合数学研究的重要问题之一。
A
B
500 15
33
被3或5除尽的数的个数为
A B AB A B
1 6 6 1 0 0 3 3 2 3 3
3.1 容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。
解：令A、B、C分别为不出现a，b，c符号的集合。 即有 U 4 n ABC3n
3.1 容斥原理
例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化 学。已知修这三门课的学生分别有170、130、 120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修 数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课， 问这学校共有多少学生？
解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
i1 ji
i1 ji kj
...(1)n1 A1 A2 ... An
(4)
3.1 容斥原理
又 AU A,
A1 A2 ... An UA1 A2
An
n
n
n
UAi Ai Aj -Ai Aj Ak
i1
i1 ji
i=1 ji kj
(1)n A1 A2
ABAC BC 2 n A B C 1
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
ABC U (A BC ) (ABAC BC ) ABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1
3.1 容斥原理
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求
排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求
已学过的一些计数方法：如 加法法则，母函 数方法等； 两个重要的计数原理：容斥原理和PÓlya计数 定理。
本次课我们学习容斥原理及其应用。
3.1 容斥原理
例1 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。
解： 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16， 18，20。共10个； 3 的倍数是：3，6，9，12，15，18。共 6个； 答案是10+6=16个吗？ 否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。 故答案是：16-3=13
则
U 26!
出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元 参加排列，故 A1 24 !
3.1 容斥原理
类似有： A 2A 32 4 !,A 4A 52 2 !
由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：
A1 A2 0;
由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有：
An
(5)
容斥原理指的就是（4）和（5）式。 用来计算有限集合的并或交的元素个数。
3.1 容斥原理
例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数.
解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集 合，B为被5除尽的数的集合
A
500 3
166,
B
500 5
100;
类似有
A1 A3 22!
A 1 A40,A 1 A 50,
A2 A30,A2 A4A2 A520! A3 A419!,A3 A520!A4 A519!
满足这些条件的排列数。
解：所有排列中，令
A 1为 出 现 dog的 排 列 的 全 体 ； A 2为 出 现 god的 排 列 的 全 体 ；
A 3为 出 现 gum 的 排 列 的 全 体 ； A 4为 出 现 depth 的 排 列 的 全 体 ；
A 5为 出 现 thing的 排 列 的 全 体 ；
A BA CA DB CB DC D
A B CA B DA C DB C D
A B C D
(3)
利用数学归纳法可得一般的定理：
3.1 容斥原理
定理3 设A1,A2,…,An是有限集合，则
A1 A2 ... An
n
n
n
Ai Ai Aj Ai Aj Ak
i1
3.1 容斥原理
对于求两个有限集合A和B的并的元素数目，我们有
定理1
ABABAB (1)
即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的 元素个数和具有性质B的元素个数减去同时具有 性质A和B的元素个数。
3.1 容斥原理
U
A∩B
A
B
3.1 容斥原理
证 若A∩B=，则 | A∪B |= |A| + |B|, 否则 |A||A(B B)||(A B) (A B)|
3.1 容斥原理
A170,B130,C120,A B45 AC20,B C22,A B C3
A B CABCA B ACB CA B C
1701301204520223 336
即学校学生数为336人。
பைடு நூலகம்
3.1 容斥原理
同理可推出：
A B C DABCD
定理2 ABCABCAB -ACBCABC (2 )
3.1 容斥原理
A∩B
A
A∩C
C
A∩B ∩C
U B
B∩C
3.1 容斥原理
证明 A B C(A B) C A BC(A B) C
根据(A B) C(A C) (B C) A B CABCA B
(A C) (B C) ABCA B-A CB CA B C
|(A B)||(A B)|
(i)
同理
|B | |(BA )| |(BA )| (ii)
A B(A (B B)) (B (A A) (A B) (A B) (B A) (B A) A BA BB A (iii)
3.1 容斥原理
( iii ) －( i ) －( ii ) 得 |A B||A||B| |A B||A B||B A|(|A B||A B|) (|B A||B A|)|A B| ∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |
帅天平
北京邮电大学数学系 Email: tpshuaigmail
第三章 排列组合
3.1 容斥原理 3.2 容斥原理应用 3.3 广义容斥原理 3.4 广义容斥原理应用 3.5 鸽巢原理及其应用 3.6 Ramsay数 3.7 应用举例
3.1 容斥原理
计数问题是组合数学研究的重要问题之一。
A
B
500 15
33
被3或5除尽的数的个数为
A B AB A B
1 6 6 1 0 0 3 3 2 3 3
3.1 容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。
解：令A、B、C分别为不出现a，b，c符号的集合。 即有 U 4 n ABC3n
3.1 容斥原理
例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化 学。已知修这三门课的学生分别有170、130、 120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修 数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课， 问这学校共有多少学生？
解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
i1 ji
i1 ji kj
...(1)n1 A1 A2 ... An
(4)
3.1 容斥原理
又 AU A,
A1 A2 ... An UA1 A2
An
n
n
n
UAi Ai Aj -Ai Aj Ak
i1
i1 ji
i=1 ji kj
(1)n A1 A2
ABAC BC 2 n A B C 1
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
ABC U (A BC ) (ABAC BC ) ABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1
3.1 容斥原理
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求
排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求
已学过的一些计数方法：如 加法法则，母函 数方法等； 两个重要的计数原理：容斥原理和PÓlya计数 定理。
本次课我们学习容斥原理及其应用。
3.1 容斥原理
例1 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。
解： 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16， 18，20。共10个； 3 的倍数是：3，6，9，12，15，18。共 6个； 答案是10+6=16个吗？ 否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。 故答案是：16-3=13
则
U 26!
出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元 参加排列，故 A1 24 !
3.1 容斥原理
类似有： A 2A 32 4 !,A 4A 52 2 !
由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：
A1 A2 0;
由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有：
An
(5)
容斥原理指的就是（4）和（5）式。 用来计算有限集合的并或交的元素个数。
3.1 容斥原理
例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数.
解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集 合，B为被5除尽的数的集合
A
500 3
166,
B
500 5
100;
类似有
A1 A3 22!
A 1 A40,A 1 A 50,
A2 A30,A2 A4A2 A520! A3 A419!,A3 A520!A4 A519!
满足这些条件的排列数。
解：所有排列中，令
A 1为 出 现 dog的 排 列 的 全 体 ； A 2为 出 现 god的 排 列 的 全 体 ；
A 3为 出 现 gum 的 排 列 的 全 体 ； A 4为 出 现 depth 的 排 列 的 全 体 ；
A 5为 出 现 thing的 排 列 的 全 体 ；
A BA CA DB CB DC D
A B CA B DA C DB C D
A B C D
(3)
利用数学归纳法可得一般的定理：
3.1 容斥原理
定理3 设A1,A2,…,An是有限集合，则
A1 A2 ... An
n
n
n
Ai Ai Aj Ai Aj Ak
i1
3.1 容斥原理
对于求两个有限集合A和B的并的元素数目，我们有
定理1
ABABAB (1)
即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的 元素个数和具有性质B的元素个数减去同时具有 性质A和B的元素个数。
3.1 容斥原理
U
A∩B
A
B
3.1 容斥原理
证 若A∩B=，则 | A∪B |= |A| + |B|, 否则 |A||A(B B)||(A B) (A B)|
3.1 容斥原理
A170,B130,C120,A B45 AC20,B C22,A B C3
A B CABCA B ACB CA B C
1701301204520223 336
即学校学生数为336人。
பைடு நூலகம்
3.1 容斥原理
同理可推出：
A B C DABCD
定理2 ABCABCAB -ACBCABC (2 )
3.1 容斥原理
A∩B
A
A∩C
C
A∩B ∩C
U B
B∩C
3.1 容斥原理
证明 A B C(A B) C A BC(A B) C
根据(A B) C(A C) (B C) A B CABCA B
(A C) (B C) ABCA B-A CB CA B C
|(A B)||(A B)|
(i)
同理
|B | |(BA )| |(BA )| (ii)
A B(A (B B)) (B (A A) (A B) (A B) (B A) (B A) A BA BB A (iii)
3.1 容斥原理
( iii ) －( i ) －( ii ) 得 |A B||A||B| |A B||A B||B A|(|A B||A B|) (|B A||B A|)|A B| ∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |