【全国百强校】湖南省衡阳市第八中学2017届高三第三次(10月)月考理数(解析版)

湖南省衡阳市八中2017届高三第三次（10月）月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数z 满足2iz =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】A考点：复数的应用.2.“6πα=”是“tan α=”的（ ）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若6πα=,则336tan=π；若tan α=,则6ππα+=k ,推不出6πα=.所以“6πα=” 是“tan α=”成立的充分不必要条件.故选A. 考点：充分必要条件.3.下列函数中，在区间()1,+∞上为增函数的是（ ） A ．21xy =-+ B ．1x y x=- C ．()12log 1y x =- D ．()21y x =--【答案】B 【解析】试题分析：A 项,21x y =-+在()1,+∞上是减函数,故不符合题意.B 项,1xy x=-111-+-=x 在()1,+∞上为增函数,故B 符合题意.C 项,()12log 1y x =-在()1,+∞上是减函数,故不符合题意.D 项,()21y x =--在()1,+∞上是减函数,故不符合题意.故本题正确选项为B.考点：函数的单调性.4.已知正项数列{}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥，则6a =（ ）A ． 16B ．8C ．D ．4 【答案】D考点：等差数列的基本性质. 5.若向量,a b 的夹角为3π，且2,1a b ==，则a 与2a b +的夹角为（ ）A ．6π B ． 3π C ． 23π D ．56π【答案】A 【解析】试题分析：设向量a 与2a b +的夹角等于α,因为向量,a b 的夹角为3π，且2,1a b ==，所以63cos12242)2(2=⨯⨯⨯+=∙+=+∙πb a a b a a ，22(2)4a b a b +=+=+=,233226cos =⨯∴α,[]πα,0∈ ,6πα=∴.故选A. 考点：平面向量数量积的运算.6.函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()2f x f x x <-+的 解集为（ ）A ．|01x x x ⎧⎫⎪⎪<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭B ．|11x x x ⎧⎫⎪⎪-≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．|1x x x ⎧⎪-≤<<<⎨⎪⎩0D ．|0x x x ⎧⎫⎪⎪<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭【答案】A 【解析】试题分析：如图所示,函数为奇函数,所以不等式()()2f x f x x <-+可转化为:x x f <)(,令x y x f y ==),(,如图所示,|01x x x ⎧⎫⎪⎪<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象. 7.在函数222sin ,sin 2,sin cos 322x x y x y x y π⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的函数的个数为 （ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．4 【答案】B考点：函数的周期性. 8.设函数()21log 21x f x x =+-,定义121...n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中,2n N n *∈≥,则n S =（ ）A ．()12n n -B ．()21log 12n n ---C ．12n - D ．()21log 12n n -+- 【答案】C 【解析】试题分析： ()21log 21x f x x =+-，211(1)log 2xf x x-∴-=+， 22111()(1)log log 1212x x f x f x x x -∴+-=+++=-，因为121...n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以)1(...)2()1(n f n n f n n f S n ++-+-=.两式相加可得:12-=n S n ,21-=∴n S n .故选C. 考点：1.数列求和；2.函数的性质.9.已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动, 且AB BC ⊥,若点P 的坐标为()2,0,则PA PB PC ++的最大值为（ ）A ． 6B ．7C ．8D ．9 【答案】B考点：平面向量的基本运算.10.已知函数()()sin (,,f x A x A ωκωϕ=+均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时， 函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()220f f f <-<B ．()()()022f f f <<-C ．()()()202f f f -<<D ．()()()202f f f <<- 【答案】A【解析】试题分析：)(x f 最小正周期为π,所以2=ω.因为当23x π=时，函数()f x 取得最小值，所以232322ππϕπ+=+⋅k ,可得62ππϕ+=k ,令6πϕ=,所以)(x f )62sin(π+=x A ,)(x f 在)32,6(ππ上单调递减.)2()2(,21)0(-=-=πf f A f ,)0(2165sin )632sin()3(f A A A f ===+=ππππ.又32212523ππππ<<<-< ,)2()2()3(f f f <-<∴ππ,所以()()()220f f f <-<.故选A. 考点：求三角函数的解析式.【易错点晴】依题意容易得出2=ω,又当23x π=时,函数()f x 取得最小值,可解得ϕ,由此可得函数解析式)(x f )62sin(π+=x A ,利用正弦函数的图象与性质及诱导公式,即可比较大小.不能结合已知条件求出函数解析式导致易错,不能熟练的利用周期性把不在同一单调区间的两个数转化为同一单调区间导致易错.利用函数单调性比较大小,先看自变量是否在同一单调区间,若不在,则须利用周期性转化. 11.已知函数()()2ln 1f x a x x =+-在区间()0,1内任取两个实数,p q ，且p q ≠，不等式()()112f p f p p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]12,30B ．(],18-∞C ．[)18,+∞D ．(]2,18- 【答案】C考点：1.恒成立问题；2.函数的极值与最值.【思路点晴】本题考查构造新函数，函数的单调性以及函数单调性转化为的恒成立问题,属中档题.利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,本题不等式给出的是分式,应先等价为整式,转化为函数的单调性问题,进一步转化为另一个不等式恒成立问题,分离变量重新构造函数解决问题.注意单调性的转化中等号的取舍与验证.12.已知()()2ln 01xf x a x x a a a =+->≠且，若函数()1y f x t =--有三个零点，则t 的值为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．2± 【答案】B 【解析】试题分析：当1,0≠>a a 时,a a x a x a a x f x x ln )1(2ln 2ln )(-+=-+=',且0)0(='f ,)(x f 在),0(+∞上单调递增,所以0)(='x f 有唯一解0=x .)(x f 在)0,(-∞上单调递减,在),0(+∞上单调递增,即函数)(x f 在0=x 取到极小值0.函数()1y f x t =--有三个零点，所以方程1)(±=t x f 有三个根,而11->+t t ,所以[]1)0()(1min ===-f x f t ,解得2=t .故选B.考点：函数的零点.【方法点晴】本题考查函数的零点,先用导数判断函数)(x f 的单调性从而得出极小值,再由()1y f x t =--有三个零点,所以方程1)(±=t x f 有三个根,从而画出函数)(x f 的图象,用直线1+=t y 与1-=t y 截取,使其共有三个交点.本题体现了转化的思想,以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力,属中档题目.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知sin 2cos 0x x +=，则2sin 1x += ． 【答案】95考点：三角函数的齐次式.14.《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日 一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m 的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有 两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则n S = 尺． 【答案】11212n n --+ 【解析】试题分析：由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,前n 天打洞之和为122121-=--n n,同理,小老鼠每天打洞的距离为1212211)21(1--=--n n,所以12122121211+-=-+-=--n n n n n S ,因此,本题正确答案是11212n n --+.考点：等比数列求和.【思路点晴】解答函数应用题的一般步骤为:①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型；②建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型；③求模:求解数学模型,得出数学结论；④还原:将数学问题还原为实际问题的意义,求最值常用基本不等式或导数.15.已知函数()cos ,,3,2f x x x ππ⎛⎫=∈⎪⎝⎭若方程()f x m =有三个不同的实根，且从小到大依次成 等比数列，则m 的值为 ． 【答案】12-考点：1.函数的图象；2.等比中项的性质.【思路点晴】本题主要考查余弦函数图象像和性质，等比数列的通项公式与求和公式，是一个小综合题。

首先在同一坐标系中作出x y cos =和a y =的图象，得两个图象在⎪⎭⎫⎝⎛ππ3,2上有三个交点C B A 、、，满足B A ,关于=x π对称且C B ,关于π2=x 对称,结合三个根从小到大依次成等比数列,列出横坐标321,,x x x 的方程组,解出可得2x 的值,从而得出实数a 的值.16.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的,x y R ∈都有()()()f x y xf y yf x =+ 成立，数列{}n a 满足()()3n n a f n N +=∈,且13a=,则数列{}n a 的通项公式为n a = ．【答案】3n n g考点：1.函数的性质；2.数列求通项公式.【方法点晴】本题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式,是函数与数列的综合题.解题的关键是分别赋予2,2==y x n得到n n n a a 2221⨯+=+,然后构造出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以121=a 为首项,公差为1的等差数列后求解.同时要对递推关系式n n n q pa a +=+1通过两边同除以1+n q 构造出⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n q a 为等差数列进而求出n a 的通项公式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出理字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数()xf x k a -=（,k a 为常数，0a >且0a ≠），的图象过点A ()()0,1,3,8B .（1）求实数,k a 的值； （2）若函数()()()11f xg x f x -=+，试判断函数()g x 的奇偶性, 并说明理由.【答案】(1)11,2k a ==；(2)()g x 是奇函数. 【解析】试题分析：(1)因为函数图象过点A ()()0,1,3,8B ,所以11,2k a ==；(2)根据定义,()g x 满足()g x )(x g --=,所以()g x 为奇函数.试题解析：解:(1)把A （0，1），B （3，8）的坐标代入()xf x k a-=g 得031{8k a k a -== 解得：11,2k a ==.考点：1.函数的解析式；2.函数的奇偶性.18.（本小题满分12分）已知,,A B C 三点的坐标分别为()()()3,0,0,3,cos ,sin ,A B C αα其中3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）若,AC BC =求角α的值；（2）若1,AC BC =-求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】(1)54απ=；(2)714-.【解析】试题分析：(1)先由A ，B ，C 三点的坐标求出和的坐标,由||||AC BC =解得54απ=.(2)由1AC BC =-列出关于α的方程,从而将问题转化为简单的三角函数化简求值问题.试题解析：(1)∵(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-，∴||(cos AC =，||10BC =． 由||||AC BC =得sin cos αα=．…………………………………4分 又3(,)22ππα∈，∴54απ=．…………………………………6分考点：向量与三角函数.【方法点晴】由题目给出的点的坐标可以得到相应的向量的坐标,22y x +可得到要求的长度.第二问用到数量积公式2121y y x x +=∙,得到αsin 与αcos 的等量关系,利用化一公式a b x b a x b x a =++=+ϕϕtan ),sin(cos sin 22,化简)4sin(2cos sin πααα+=+,结合)23,2(ππα∈,得到4πα+的值,从而得到tan()4πα+．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，122,3a a ==，且()11232n n n a a a n +-=+≥. （1）设1n n n b a a +=+,证明{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】(1)证明见解析；(2)n a =11533(1)44n n --?? . 【解析】试题分析：(1)由等比数列的定义证明{}n b 是等比数列；(2)先求出等比数列{}n b 的通项公式,即211103(2)n n n a a n -+--=⨯≥,再由累加法求得数列{}n a 的通项公式.试题解析：解答：（1）证明：因为111,n n n n n n b a a b a a +--=+=-11111233n n n n n n n n n n n b a a a a a b a a a a +----+++===++ 所以{}n b 是等比数列.考点：1.数列的定义；2.求数列的通项公式.20.（本小题满分12分）如图1, 有一建筑物OP ,为了测量它的高度, 在地面上选一基线AB ,设 其长度为d ,在A 点处测得P 点的仰角为α,在B 点处的仰角为β.（1）若40,30,45AB αβ===,且30AOB ∠=,求建筑物的高度h ；（2）经分析若干测得的数据后, 发现将基线AB 调整到线段AO 上(如图2)，α与β之差尽量大时，可 以提高测量精确度，设调整后AB 的矩离为d ，4tan dβ=，建筑物的实际高度为21，试问d 为何值时， βα-最大？【答案】(1)40；(2)=d. (2) ∵tan α=4h dh d +，tan β=4d ∴tan(β-α)=244(4)161(4)h d d h h d h -+++=216(4)16d d h h ++=1616(4)h d h d ++≤=当且仅当d(h+4)=16h d 即时“=”成立 故当时，tan(β-α)最大， ∵0<α<β<2π，∴0<β-α<2π，当时，β-α最大. 考点：三角函数的实际应用.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个 数1247,,,,...a a a a 构成等差数列{},n n b S 是n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===.（1）若数阵中第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列, 且公比相等, 已 知916a =,求50a 的值；（2）设122111...n n n nT S S S ++=+++,求n T .【答案】(1)160；(2))12)(1(2++=n n n T n. 试题解析：{}1n b Q （）为等差数列，设公差为15,1,15,d b S ==551015,1S d d =+== 1(1)1n b n n \=+-?。