江苏省南京市鼓楼区高二下学期期中考试文科数学试题
2023-2024学年江苏省南京市高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．已知向量()()21,3,1,2,,a m m b m m =+-=- ，且a //b，则实数m 的值为（）A ．0或32B ．32C ．0或2-D ．2-【正确答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析运算.【详解】显然0,0a b ≠≠r r r r，若a //b，则()2,,a kb k km km ==-r r ，可得22131k m km km m =+⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得322k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.故选：D.2．已知两平面的法向量分别为(0,1,1)m =，(1,1,1)n = ，则两平面所成的二面角的正弦值为（）A．3B．3C ．13D．3【正确答案】B【分析】根据题意求得cos ,3m n =，设两平面所成的二面角为θ，求得sin 3θ=，即可求解.【详解】由两平面的法向量分别为(0,1,1)m =，(1,1,1)n = ，可得cos ,3m n m n m n⋅==，设两平面所成的二面角为θ，其中[0,]θπ∈，可得sin θ=故选：B.3．如图，用4种不同的颜色给图中,,,A B C D 四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A ．48B ．72C ．84D ．108【正确答案】C【分析】根据,A D 区域同色和不同色分类讨论即可得.【详解】,A D 区域同色的方法数为43336⨯⨯=,A D 区域不同色的方法数为432248⨯⨯⨯=，总的方法数为364884+=．故选：C ．4．将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.则异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【正确答案】B【分析】以O 为坐标原点，OA 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可计算出异面直线1B C 与1AA 所成的余弦值，即可得解.【详解】以O 为坐标原点，OA 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A 、()10,1,1A 、11,122B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、1,022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以()10,0,1AA = ，()10,1,1B C =-- ，则()()211001111AA B C ⋅=+⨯-+⨯-=- ，所以1111112cos ,2AA B C AA B C AA B C ⋅<>==-⋅.因此，异面直线1B C 与1AA 所成的角为4π.故选：B.本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的大小，考查计算能力，属于中等题.5．2023年五一假期，小明同学外出去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，小明需从9个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个，已知这9个盲盒中有3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另外6个盲盒中各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明收获奖品的所有情形的种类有（）A ．84B ．86C ．42D ．44【正确答案】C【分析】根据装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分类讨论可得.【详解】由题意装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分别为0,1,2,3,因此小明收获奖品的所有情形的种类个数为32106666C C C C 42+++=.故选：C ．6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC 与1B C 相交于点O ，1160A AB A AC ∠=∠=，90BAC ∠= ，13A A =，2AB =，4AC =，则线段AO 的长度为（）A．2BC．2D【正确答案】A【分析】利用空间向量的数量积求模即可.【详解】由图形易得()()111122AO AB AC AB AC AA =+=++ ，所以()222211112224AO AB AC AA AB AC AB AA AC AA =+++⋅+⋅+⋅ ，()1474169224cos90223cos60243cos6044=⨯+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=即AO =故选：A7．已知函数2e ,0()241,0x x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩若方程()0f x kx +=恰好有三个不等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．()1,0e B ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(e,0)-D ．(),e -∞-【正确答案】D【分析】题意说明直线y kx =-与曲线()y f x =有三个交点，由0x <时，它们一定有且只有一个交点，因此直线y kx =-与e (0)x y x =>有两个交点，求出它们相切时的k -值后可得结论．【详解】作出函数()f x 的图象（示意图），如图，作直线y kx =-，0x ≤时，2()241f x x x =-++是增函数，且(0)1f =，由图可知直线y kx =-与2241(0)y x x x =-++≤始终有一个交点，即()0f x kx +=对任意k 值都有一个负根，由题意直线y kx =-与e (0)x y x =>有两个交点，设直线y kx =-与曲线e x y =的切点为00(,)x y ，e x y =的导函数为e x y '=，由0000e e x x y x x ==得01x =，0e y =，所以e k -=，由图形知e k ->，即e k <-，故选：D ．8．已知正方形ABCD 的中心在坐标原点，四个顶点都在函数()3f x x bx =+的图象上．若正方形ABCD 唯一确定，则实数b 的值为（）A ．2B ．2-C ．22-D ．4-【正确答案】C【分析】法一：设直线AC 的方程为()0y kx k =>，则直线BD 的方程为1=-y x k，讨论得到0b ≥不合要求，即0b <，分别联立曲线方程，得到21x k b =-，221x b k=--，再根据OA OB =得到21120k b k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元后必有220t bt -+=有两个相等的实数根，由280b ∆=-=，解得22b =-，检验后得到答案.法二：设出π,02AOx θθ∠=<<，表达出()()cos ,sin sin ,cos A r r B r r θθθθ-，代入曲线方程，得到2tan 2tan 2b θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得到b 的范围，并结合题意得到实数b 的值.【详解】法一：因为四边形ABCD 为正方形，O 为其中心，所以AC ⊥BD 于点O ，且OA OB OC OD ===，不妨设直线AC 的方程为()0y kx k =>，则直线BD 的方程为1=-y x k，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()()1122,,,C x y D x y ----，当0b ≥时，()230f x x b '=+≥，()f x 在R 上单调递增，与1=-y x k仅有1个交点为原点，不合题意，当0b <时，联立直线AC 与曲线方程，得到3111x bx kx +=，解得21x k b =-，联立直线BD 与曲线方程，得到32221x bx x k +=-，解得221x b k=--，因为OA OB =，所以()()221111k k b b k k ⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22110k b k k k ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21120k b k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()()10t k k k k=->，该函数在()0,∞+上单调递增，值域为R ，要使符合题意的正方形只有1个，则必有220t bt -+=有两个相等的实数根，即280b ∆=-=，解得b =-此时1k k -=-k =所以b =-法二：不妨设点A 在第一象限，且,,,A B C D 四点逆时针排布，设π,02AOx θθ∠=<<，OA OB OC OD r ====，则()()ππcos ,sin ,cos ,sin sin ,cos 22A r r B r r r r θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意得两点存在曲线()3f x x bx =+上，所以3333sin cos cos cos sin sin r r br r r br θθθθθθ⎧=+⎨=--⎩①②，由①得23sin cos cos b r θθθ-=，由②得23cos sin sin b r θθθ+=-，联立两式得444433322sin cos 1tan 2tan 1tan sin cos sin cos tan tan 1tan 2tan b θθθθθθθθθθθθθ+++===-⋅---()222222221tan 2tan 1tan 2tan tan 2tan 222tan 2tan 2tan θθθθθθθθθ⎡⎤-+⎛⎫-=-⋅-+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦212tan 221tan 2tan 2tan 2θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为23sin cos 0cos b r θθθ-=>，23cos sin 0sin b r θθθ+=->，故sin cos 0b θθ->，cos sin 0b θθ+<，又sin 0,cos 0θθ>>，所以只有0b <时，才能使得两式恒成立，故tan 20θ>，由基本不等式可得2tan 2tan 2b θθ⎛⎫=-+≤-=⎪⎝⎭当且仅当2tan 2tan 2θθ=，即tan 2θ=由题意，θ有唯一解，故b =-故选：C正方形ABCD 唯一性转化为根的个数问题，再结合问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等）进行求解，需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方二、多选题9．若211877C C C x x x--=+，则正整数x 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】AC【分析】由组合数的性质得到2188C C x x -=，列出方程，求出答案.【详解】因为1778C C C x x x -+=，所以2188C C x x-=，即21x x -=或218x x -+=，解得1x =或3，经检验均满足要求.故选：AC10．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【正确答案】ACD【分析】A 选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B 选项，利用倍缩法求解；C 选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D 选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.【详解】A 选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有44A 24=种排法，再将甲、乙两人插空，有25A 20=种排法，则共有2420480⨯=种不同的排法，A 正确；B 选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即6633A 120A =种不同的站法，B 错误；C 选项，6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有2223642333C C C A 90A =种不同的安排方法，C 正确；D 选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有13C 3=种分法；若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有2131C C 3=种分法；共有6种分组方法，D 正确.故选：ACD11．初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数2()(0)f x x x =>，我们可作变形：()ln ln e e xx x x x f x x ===，所以()xf x x =可看作是由函数()e tp t =和()ln g x x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数，已知初等函数()(0)x f x x x =>，1()(0)x g x x x =>，则（）A ．()(0)x f x x x =>极小值点为1ex =B ．1()(0)x g x x x =>极小值为1C ．()()f xg x ≥D ．直线:l y x =是曲线()y f x =与()y g x =的一条公切线【正确答案】ACD【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的几何意义判断．【详解】()x f x x ==ln e x x ，设ln t x x =，即()e t f x =，则()(e )e 1ln )(1ln )t tx f x t x x x '''==+=+（，1ln ()ex x xg x x ==，同理12(1ln )()xx x g x x -'=，10e x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以1ex =是()f x 的极小值点，A 正确；0e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，e x >时，()0g x '<，()g x 单调递增，所以()g x 有极大值为1e (e)e g =，无极小值，B 错误；21(1)ln ln ln x x x x x x x --=，01x <<时，210x -<，ln 0x <，2(1)ln 0x x x->，1ln ln x x x x >；1x =时，1ln ln 0x x x x -=，即1ln ln x x x x =；1x >时，210x ->，ln 0x >，2(1)ln 0x x x ->，所以0x >时，1ln ln x x x x>，所以()()f x g x ≥，C 正确；由C 知(1)(1)1f g ==，又(1)(1)1f g ''==，所以直线11y x -=-即直线y x =是曲线()y f x =的切线也是曲线()y g x =的切线，即为它们的一条公切线，D 正确．故选：ACD ．12．如图①，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为CD 的中点将CBE ∆沿直线BE 翻折至1C BE △的位置，使得平面1C BE ⊥平面ABED ，如图②所示，下列说法法正确的有（）A ．平面1C AE ⊥平面1C BEB ．异面直线1C A 与BEC ．点B 到平面1C ADD ．二两角1D C AE --【正确答案】ABD【分析】对于A 项，通过勾股定理证得AE BE ⊥，再结合面面垂直的性质定理证得⊥AE 平面1C BE ，再运用面面垂直的判定定理证得平面1C AE ⊥平面1C BE .建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角公式、点到面的距离公式及二面角公式计算可分别判定B 项、C 项、D 项.【详解】对于A项，如图所示，在Rt ADE △中，1AD DE ==，所以AE =在1Rt BC E △中，111BC C E ==，所以BE ，又因为2AB =，所以222AE BE AB +=，所以AE BE ⊥，又因为平面1C BE ⊥平面ABED ，平面1C BE平面ABED BE =，AE ⊂平面1C BE ，所以⊥AE 平面1C BE ，又因为AE ⊂平面1C AE ，所以面1C AE ⊥平面1C BE ，故A 项正确；对于B 项，取BE 中点M ，AB 中点N ，连接1C M 、MN ，则1C M BE ⊥，//MN AE ，由A 项知，⊥AE 平面1C BE ，所以MN ⊥平面1C BE ，所以以点M 为原点，分别以MN 、MB 、1MC 为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0M，1)2C，,0)2A，,0)2B，(0,,0)2E -，(,2D所以1C A =，(0,BE = ，所以111|||cos ,|6||||C A BE C A BE C A BE ⋅<>==，所以异面直线1C A 与BEB 项正确；对于C项，因为1)22C A =--，1()22C D =-，1(0,)22C B =- ，设平面1C AD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111111111100220022y n C A n C D x --=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩-=⎩，取11x =，则11y =-，13z =，所以1(1,1,3)n =-，所以点B 到平面1C AD的距离为111|||2211||C B n d n -⋅==，故C 项错误；对于D 项，由C 项知，平面1C AD 的一个法向量为1(1,1,3)n =-，设平面1C AE 一个法向量为2222(,,)n x y z =，又1(0,)22C E =-- ，则222212122000022y z n C A n C E y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--=⎪⎩，取21y =，则21z =-，20x =，所以2(0,1,1)n =-，所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=所以12sin ,11n n <= ，所以二面角1D C A E --D 项正确.故选：ABD.三、填空题13．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.【正确答案】36根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，②4位“回文数”中有2个不同的数字，求出每种情况下4位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有2630A =种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有63036+=个4位“回文数”；故36．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是理解“回文数”的定义，属于基础题．14．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【正确答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从A 点，先到E 点，再到F 点，最后经点G 到B 点即可.第一步：由A 点到E 点，最短路径为4步，最短路径方法种类为1343C C 4⋅=；第二步：由E 点到F 点，最短路径为3步，最短路径方法种类为1232C C 3⋅=；第三步：由F 点经点G 到B 点，最短路径为3步，最短路径方法种类为111121C C C 2⋅⋅=.根据分步计数原理可得，最短路径有43224⨯⨯=种.故24.15．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 上的动点，满足1PC //平面1AED ，若该正方体的棱长为1，则点P 到直线AE 的距离的最小值为__________.【正确答案】13【分析】根据线面平行分析可得：点P 在线段1BC 上，结合异面直线的距离以及垂直关系分析运算.【详解】因为AB //11C D ，11AB C D =，所以11ABC D 为平行四边形，则1AD //1BC ，1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，可得1BC //平面1AED ，故点P 在线段1BC 上（点1C 除外），点P 到直线AE 的距离的最小值为异面直线1,AE BC 之间的距离，如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()111,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,2A B C E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得()111,1,,1,0,12AE BC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭uu u r uuu r，设1,AM AE BN BC λμ==uuu ruu u r uuu ruuu r，可得()11,,,1,1,2M N λλλμμ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1,1,2MN λμλμλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭uuu r ，令()()()1111022102MN AE MN BC λμλμλλμμλ⎧⎛⎫⋅=--+-+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=--+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得8923λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即212,,999MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r ，此时1,MN AE MN BC ⊥⊥uuu r uu u r uuu r uuu r，符合题意，所以点P 到直线AE的距离的最小值为13MN =uuu r .故答案为.1316．若关于x 的不等式e (2)ln 0x x a x a x -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.【正确答案】()30,e .【分析】令e x t x =，不等式转化为ln 20t a t a -+≥在(0,)t ∈+∞恒成立，令()ln 2f t t a t a =-+，求得()t af t t-'=，当0a ≤时，得到()f t 单调递增，结合0t →时，()f t →-∞，不符合题意；当0a >时，求得函数单调性和最小值()3ln f a a a a =-，得到3ln 0a a a -≥，即可求解.【详解】令e x t x =，由0x >时，可得0t >，则ln ln e ln x t x x x ==+，则不等式()e 2ln 0xx a x a x -+-≥，即为ln 20t a t a -+≥在(0,)t ∈+∞恒成立，令()ln 2f t t a t a =-+，可得()1a t a f t t t-'=-=，当0a ≤时，可得()0f t '>，可得()f t 单调递增，因为0t →时，()f t →-∞，不符合题意，舍去；当0a >时，令()0f t '=，可得t a =，当(0,)t a ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减；当(,)t a ∈+∞时，()0f t '>，()f t 单调递增，所以当t a =时，函数()f t 取得极小值，即为最小值()ln 23ln f a a a a a a a a =-+=-，因为不等式()e 2ln 0xx a x a x -+-≥恒成立，即为()0f t ≥恒成立，则满足3ln 0a a a -≥，即3ln 0a -≥，解得30e a <<，所以实数a 的取值范围是()30,e .故答案为.()30,e四、解答题17．已知数列{}n a 满足15a =，123n n n a a +-=（*n ∈N ）.记3nn n b a =-.(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)设n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和.【正确答案】(1)证明见解析(2)()1212n n ++-【分析】（1）由等比数列定义证明1n nb q b +=即可；（2）使用错位相减法求和即可.【详解】（1）由已知，∵123n n n a a +-=，∴132nn n a a +=+，∵3nn n b a =-，∴()11133233223232n n n n n n n n n n n b a a a a b +++=-=+-⨯=-⨯=-=，又∵15a =，∴1113532b a =-=-=，∴易知数列{}n b 中任意一项不为0，∴12n nb b +=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由第（1）问，1222n n n b -=⨯=，∴2nn n c nb n =⋅=，∴设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①，①2⨯得，234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，①-②得，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅ ，∴()111212222212n n n n n S n n +++--=-⋅=-+-⋅-，∴()1212n n S n +=+-.∴数列{}n c 的前n 项和为()1212n n ++-.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，PA CD ⊥，1AD =，4CD =.(1)证明：AD ⊥平面PCD ；(2)若3PD =，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）由线线垂直证线面垂直即PD AD ⊥，AD DC ⊥即可证明结论；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊂、平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD DC ⊥，又PA CD ⊥，PA 、PD ⊂平面PAD ，PA PD P = ，所以CD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以CD AD ⊥，DC 、PD ⊂平面PAD ，DC PD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ；（2）由（1）知PD 、DA 、DC 两两垂直，如图所示以D 为中心建立空间直角坐标系，则()()()()1,0,01,4,00,4,00,0,3A B C P 、、、，()()()1,0,31,4,30,4,3PA PB PC =-=-=- 、、，设面PBC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即430430x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令3y =，则4,0z x ==，即()0,3,4n =设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PA θ⋅==⋅19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =(1cos )B b A =-.(1)求角A 的大小；(2)若AC =D 满足3CB CD = ，点E 满足DE AD =，求sin BEC ∠.【正确答案】(1)π3(2)14【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到1cos A A a =-，因为3a =，求得sin 322A A=，进而求得tan2A =，即可求得A 的大小；（2）在ABC中，由余弦定理求得AB =1233AD AB AC =+，根据向量的数量积的运算公式，求得2AD =，再在ABD中，求得cos 2BAD ∠=，得到π6BAD ∠=，进而得到π6CAD ∠=，分别在ABE 和ACE △中，求得2BE =，CE =，利用余弦定理求得cos BEC ∠=sin BEC ∠的值.【详解】（1(1cos )B b A =-，可得1cos BA b=-，由正弦定理得sin sin a b A B =1cos A =-，又因为3a =1cos A A =-2cos 2sin 222A A A=，因为π0(),22A ∈，所以sin 02A >sin 22A A =，所以tan 2A =又因为π0(),22A ∈，可得π26A =，所以π3A =.（2）解：在ABC中，因为3,a BC AC ===π3A =，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即219322AB AB =+-，即260AB -=，解得AB =AB =（舍去），设,AB a AC b == ，因为3CB CD =，可得12123333AD AB AC b =+=+ ，所以222214412124π36499999939AD AD a b a b ==++⋅=++⨯== ，所以2AD =，即2AD =，又因为DE AD =，所以2DE AD == ，所以4AE =，在ABD 中，可得2223cos 22AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅，可得π6BAD ∠=，因为π3A =，所以π6CAD ∠=，在ABE 中，可得222π32cos 12162234462BE AB AE AB AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以2BE =，在ACE △中，可得222π32cos 316234762CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以7CE =，在BCE 中，可得2224791cos 222727BE CE BC BEC BE CE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以321sin 1cos 14BEC BEC ∠=-∠=20．如图，已知在三棱柱111ABC A B C -中，11A B =，15AA =2AB BC ==，30BAC ∠= ，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求1AA 与BC 所成角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点E ，使得二而角1E BC B --的余弦值为-求出1AE AA 的值，若不存在，说明理由．【正确答案】(2)存在，且113AE AA =．【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成的角；（2）假设存在点E 满足题意，设1AE AA λ=（(01)λ≤≤，由空间向量法求二面角得λ值，从而得出结论．【详解】（1）因为11A B =，1AA =2AB BC ==，30BAC ∠= ，所以22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥，120ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，以BA 为x 轴，平面ABC 内，过B 与AB 垂直的直线为y 轴，1BA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,0,0)B，(1,C -，1(0,0,1)A ，1(2,0,1)AA =-，(1,BC =-，111cos ,AA BC AA BC AA BC⋅=，所以1AA 与BC（2）假设存在点E 满足题意，设1AE AA λ= （(01)λ≤≤，则(2,0,)AE λλ=-，(22,0,)BE AE BA λλ=+=-，11(2,0,1)BB AA ==- ，设平面EBC 的一个法向量是111(,,)m x y z =，则1111(22)0m BE x zm BC xλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取11y=-，则1x=11)zλλ-=，m=-，设平面11BCC B的一个法向量是222(,,)n x y z=，则2212220n BC xn BB x z⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21y=，则2x=，2z=-，即(n=-，cos,26m nm nm n⋅==，解得13λ=或76λ=（舍去），由图可知当13λ=，二面角1E BC B--是钝二面角，满足题意，此时113AEAAλ==．21．已知()e sin1xf x x ax=+--，a为实数．(1)若(0)0f'=，求a的值，并讨论()f x的单调性；(2)若0x≥时，()0f x≥，求实数a的取值范围；(3)当ea=时，若12π,0,,2x x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12()()f x f x=，且()f x在x t=处取极值，求证：122.x x t+<【正确答案】(1)2a=，()f x的减区间是(,0)-∞，增区间是(0,)+∞；(2)(,2]-∞；(3)证明见解析．【分析】（1）求出()f x'，由(0)0f'=得2a=，再利用()0f x'<得减区间，()0f x'>得增区间，（2）由(0)0f=，()0f x≥在0x≥时恒成立得存在00x>，在(0,)x上()f x单调递增，即()0f x'≥恒成立，由此(0)0f'≥，得必要条件2a≤，然后证明其也是充分条件即可得参数范围；（3）利用导数确定()f x的单调性与极值，得π2t<<，不妨设12x x<有12π2x t x<<<<，从而12πt t x<-<，因此问题转化为只要证11()(2)f x f t x<-，构造函数()()(2)h x f x f t x=--(0)x t<<，利用导数证明()0h x <（需要多次求导），从而得出证明．【详解】（1）由题意()e cos x f x x a '=+-，(0)110f a '=+-=，2a =，即()e cos 2x f x x '=+-，显然0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，令()()e cos 2x g x f x x '==+-（0x ≥），则()e sin x g x x '=-，易知0x ≥时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(0)0f x f ''≥=，所以()f x 单调递增，所以()f x 的减区间是(,0)-∞，增区间是(0,)+∞；（2）()e cos x f x x a '=+-，(0)0f =，因此由题意知存在00x >，在0(0,)x 上()f x 单调递增，即()0f x '≥恒成立，从而(0)0f '≥，所以2a ≤，下证2a ≤时，0x ≥时，()0f x ≥恒成立，由（1）知2a =时，0x ≥时，()0f x ≥恒成立，2a <时，由0x ≥得e sin 1e sin 21x x x ax x x +--≥+--，因此()0f x ≥恒成立，综上，a 的取值范围是(,2]-∞；（3）e a =，()e sin e 1x f x x x =+--，()e cos e x f x x '=+-，由（1）知()f x '在[0,+∞）上是增函数，(0)2e 0f '=-<，π2ππ()e cos e 022f '=+->，所以存在π(0,2t ∈，使得()0f t '=，在(0,)t 上()0f x '<，()f x 单调递增，在π(,)2t 即在(,)t ∞+上，()0f x '>，()f x 单调递增，x t =是()f x 的极值点（极小值点），()f t '=e cos e 0t t +-=．(0)0f =，则()0<f t ，又π2π()e 1e 102f =+-->，因此在π(,)2t 时存在0x ，值得0()(0)0f x f ==，所以由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则12π02x t x <<<<，要证122x x t +<，即证212x t x <-，因为10x t <<，所以122πt t x t <-<<，由()f x 在(0,)+∞上单调递增，且12()()f x f x =，因此只要证11()(2)f x f t x <-，设()()(2)h x f x f t x =--(0)x t <<，2()e sin e e sin(2)e(2)x t x h x x x t x t x -=+----+-，2()e e cos cos(2)2e x t x h x x t x -'=+++--，令()()x h x ϕ'=(0)x t <<，则2()e e sin sin(2)x t x x x t x ϕ-'=--+-，设2()()e e sin sin(2)x t x x x x t x λϕ-'==--+-(0)x t <<，则2()e e cos cos(2)x t x x x t x λ-'=+---0>，()x λ是增函数，即()x ϕ'是增函数，()()0x t ϕϕ''≤=，所以()ϕx 即()h x '是减函数，()()0h x h t ''>=，所以()h x 是增函数，从而()()0h x h t <=，所以()(2)f x f t x <-，即11()(2)f x f t x <-成立，综上，122.x x t +<方法点睛：证明与函数的极值点、方程的根有关的不等式的方法，一般利用导数确定极值点t 的范围，确定相应方程根12,x x 的存在性与范围，同时不妨设12x x <，本题中得出12π02x t x <<<<，这样要证明的不等式变形为212x t x <-，结合21,2x t x -在()f x 的单调增区间上，因此不等式转化为函数不等式21()(2)f x f t x <-，然后由方程根转化为11()(2)f x f t x <-，达到了消元的目的，然后再构造函数()()(2)h x f x f t x =--，利用导数证明()0≤h x 成立，从而得出结论．。
江苏省南京市鼓楼区2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，总70分.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B=．2．数据2，3，4，7，9的平均数为．3．某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是．4．某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示），根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为．组号分组频数1[53，61）52[61，69）143[69，77）254[77，85）115[85，93）55．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．6．已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为．7．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．8．“a＞b”是“lna＞lnb”的条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）9．根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为．10．若某程序框图如图所示，则运行结果为．11．已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”其中真命题的序号是（请把所有真命题的序号都填上）12．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．13．已知函数g（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，则k的取值范围为．14．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，则整数m的最大值为．二、解答题：本大题6小题，共计90分15．质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？16．用m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．17．已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．18．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2﹣x．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数g（x）=af（x）+ax2﹣3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x﹣y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，总70分.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B={2，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}2．数据2，3，4，7，9的平均数为5．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】利用平均数的定义直接求解．【解答】解：数据2，3，4，7，9的平均数为：=（2+3+4+7+9）=5．故答案为：5．3．某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是12．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论．【解答】解：总体的个数是75人，要抽一个20人的样本，则每个个体被抽到的概率是=，女员工应选取的人数（75﹣30）×=12人，故答案为：12．4．某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示），根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为0.6．组号分组频数1[53，61）52[61，69）143[69，77）254[77，85）115[85，93）5【考点】B7：频率分布表．【分析】根据频率的定义即可求出．【解答】解：样本数据落在区间[69，85]的频数为25+11=36，样本容量为5+14+25+11+5=60则样本数据落在区间[69，85）的频率为=0.6，故答案为：0.65．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为55．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5+…+10值．由于：S=1+2+3+4+5+…+10=55，故输出的S值为55．故答案为：55；6．已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为 2.8．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】设阴影部分的面积为S，由先进可能事件概率计算公式得，由此能求出估计阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为S，∵矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，∴，解得S=2.8．∴估计阴影部分的面积为2.8．故答案为：2.8．7．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果【解答】解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．8．“a＞b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“lna＞lnb”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“lna＞lnb”．即可判断出关系．【解答】解：由“lna＞lnb”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“lna＞lnb”．∴a＞b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．9．根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为{﹣5，5} ．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，讨论x的取值，根据函数解析式求出对应x的取值集合．【解答】解：根据流程图的作用知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜0时，y=﹣x=5，解得：x=﹣5；当x≥0时，y=x2﹣4x=5，解得：x=5或x=﹣1（舍去）综上，输入的x值为﹣5或5，即{﹣5，5}．故答案为：{﹣5，5}．10．若某程序框图如图所示，则运行结果为6．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=126时满足条件，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=0执行循环体，n=1，S=2不满足条件S≥100，执行循环体，n=2，S=2+4=6不满足条件S≥100，执行循环体，n=3，S=6+8=14不满足条件S≥100，执行循环体，n=4，S=14+16=30不满足条件S≥100，执行循环体，n=5，S=30+32=62不满足条件S≥100，执行循环体，n=6，S=62+64=126满足条件S≥100，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．11．已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”其中真命题的序号是②④（请把所有真命题的序号都填上）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①举例即可；②通过等价命题逆否命题判断；③不等式的性质判断即可；④由充分条件，必要条件的定义判断．【解答】解：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数，显然错误：比如﹣和；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，其逆否命题为：；a，b都小于1，则a+b＜2，显然成立，故正确；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；只有当a＞0时成立，故错误；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”能推出“a+b+c=0”，反之也可以，故是充要条件，故正确．故答案为②④．12．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】把椭圆的方程化为标准形式+=1，故a2=，b2=1，a=2b，解出即可．【解答】解：把椭圆的方程化为标准形式+=1，故a2=，b2=1，a=2b，所以a=，b=1，2=4，解得，m=，符合题意．故答案为．13．已知函数g（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，则k的取值范围为（（e+），+∞）．【考点】3T：函数的值；2I：特称命题．【分析】通过构造函数f（x）=g（x）﹣k（﹣x2+3x）=e x+e﹣x﹣k（﹣x3+3x），并求导可知f（x）min=f（1）=e+﹣2k，进而问题转化为解不等式e+﹣2k＜0，计算即得结论．【解答】解：由题意，记f（x）=g（x）﹣k（﹣x2+3x）=e x+e﹣x﹣k（﹣x3+3x），则f′（x）=e x﹣e﹣x+3k（x2﹣1），当x≥1时f′（x）＞0，即函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，此时f（x）min=f（1）=e+﹣2k，由于存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，所以e+﹣2k＜0，解得：k＞（e+），故答案为：（（e+），+∞）．14．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，则整数m的最大值为4．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于m（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=x﹣2，x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，亦即m＜=+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为m＜+2对任意x＞1恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则r′（x）=1﹣=＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，r（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2＞0，所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，所以lnx0=x0﹣2．所以[p（x）]min=p（x0）==x0﹣1+2∈（4，5），所以m＜[p（x）]min=x0﹣1+2∈（4，5）故整数m的最大值是4．故答案为：4．二、解答题：本大题6小题，共计90分15．质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（2）由频率分布直方图求出质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率，由此能求出在抽查的样本中一级产品共有多少件．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（a+2.5a+4a+0.525+0.35）×0.5=1，解得a=0.15．（2）质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，由频率分布直方图得质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率为（4×0.15+0.525）×0.5=0.5625，∴在抽查的样本中一级产品共有：0.5625×80=45件．16．用m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先求出基本事件总数N=6×6=36，由关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根，得△=m2﹣4n2＞0，由此利用列举法能求出关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率．（2）利用列举法求出实数不是整数包含的基本事件的个数，由此能求出实数不是整数的概率．【解答】解：（1）m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，先后抛掷两次时第一次、第二次的点数，基本事件总数N=6×6=36，∵关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根，∴△=m2﹣4n2＞0，∴关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根包含的基本事件有：（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6个，∴关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率=．（2）实数不是整数包含的基本事件（m，n）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，5），（4，6），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（6，4），（6，5），共22个，∴实数不是整数的概率p2=．17．已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】（1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，利用二次函数的单调性或实数的性质即可判断出真假．（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，可得￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．即可得出．【解答】解：命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，是真命题．（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，∴￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．∴，或k=0，1＞0；且△=4k2﹣4≥0，解得k≥1．∴实数k的取值范围是[1，+∞）．18．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣πr），运用半圆的面积和矩形的面积，即可所求透光面积S的解析式，由二次函数的最值求法，即可得到所求r；（2）由r=1，分别求出窗子的半圆部分的造价和窗子的矩形部分的造价，求和，即可判断是否够用．【解答】解：（1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣πr），窗子的透光面积为S=πr2+（10﹣2r﹣πr）•2r=（﹣2﹣π）r2+10r，（0＜r＜），当r=﹣=（米），S有最大值；（2）由题意可得r=1时，窗子的半圆部分的造价为π•12•300=150π（元），窗子的矩形部分的造价为2•（10﹣2﹣π）•100=800﹣100π（元），可得总造价为150π+800﹣100π=800+50π＞900，则r=1时，900元的造价不够用．19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据向量的坐标运算，即可求得x2﹣3=﹣2（x1﹣3），y2=﹣2y1，根据单调性，即可求得A和B的坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；（2）由2x1+x2=3b，代入椭圆方程，由0＜x2＜b，即可求得3c2＜2a2，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆方程：mx2+ny2=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：点M坐标为（3，0），则=（x2﹣3，y2），=（x1﹣3，y1），由，则=﹣2，则x2﹣3=﹣2（x1﹣3），y2=﹣2y1，由等腰梯形与椭圆的对称性，则y2﹣y1=3，x2=1，∴x1=4，y1=﹣1，y2=2，∴A（4，﹣1），B（1，2），，解得：，∴椭圆的标准方程：；（2）由2x1+x2=3b，，，消去y1，4x12﹣x22=3a2，∴2x1﹣x2=，2x2=3b﹣，由0＜x2＜b，则0＜3b2﹣a2＜2b2，∴a2＜2a2，3c2＜2a2，∴e=，则0＜e＜，∴椭圆的离心率e的取值范围（0，）．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2﹣x．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数g（x）=af（x）+ax2﹣3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x﹣y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出a的值，从而求出函数h（x）的表达式，求出h（x）的导数，结合函数的单调性，得到不等式组，从而求出m的范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣2x﹣1=，令f′（x）＞0，即（2x﹣1）（x+1）＜0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，即（2x﹣1）（x+1）＞0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故f（x）的最大值是f（）=﹣ln2﹣；（2）g（x）=af（x）+ax2﹣3=alnx﹣ax﹣3，g′（x）=﹣a，g′（2）==1⇔a=﹣2，∴g（x）=﹣2lnx+2x﹣3，g′（x）=2﹣，故h（x）=x3+（2+）x2﹣2x，∴h′（x）=3x2+（4+m）x﹣2，∵函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数，∴函数h（x）在区间（t，4）上总存在零点，又∵函数h′（x）是开口向上的二次函数，且h′（0）=﹣2＜0，∴，由h′（t）＜0⇔m＜﹣3t﹣4，令H（t）=﹣3t﹣4，则H′（t）=﹣﹣3＜0，所以H（t）在上[1，2]单调递减，所以m＜H（t）min=H（2）=﹣9；由h′（4）=48+4（4+m）﹣2＞0，解得：m＞﹣；综上得：﹣＜m＜﹣9，所以当m在（﹣，﹣9）内取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数．2017年6月15日。
2023-2024学年江苏省南京高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．直线l 经过()1,0A -，()1,2B 两点，则直线l 的倾斜角是（）A ．6πB ．4πC ．23πD ．34π【正确答案】B【分析】设出直线的倾斜角α，求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为α，由已知可得直线的斜率20tan 111k α-===+，又[)0,απ∈，所以倾斜角是4π，故选：B.2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若23a =，611a =，则8S =（）A ．72B ．64C ．56D ．48【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质得到624a a d =+，然后解方程得到d ，1a ，最后根据前n 项和公式求8S 即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，得624a a d =+，解2d =，故11a =，所以()()()188118474214642a a S a a d ⨯+==⨯++=⨯+=.故选：B.3．已知随机向量X 服从正态分布()31N ,，且()()213P X c P X c >-=<+，则c =（）A ．43B ．4C ．13D ．1【正确答案】A【分析】由正态分布的对称性求解即可.【详解】∵随机变量X 服从正态分布()31N ,，∵()()213P X c P X c >-=<+，∴2136c c -++=，∴43c =.故A.4．由1至6中的质数组成的没有重复数字的整数共有（）A ．3B ．6C ．12D ．15【正确答案】D【分析】找出1至6中的质数，再分类计算组成的没有重复数字的整数即可.【详解】1至6中的质数有2，3，5，组成的没有重复数字的整数共有12333315A A A ++=个.故选：D.5．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB ==，则C 到直线1AB 的距离为（）A．5B．5C．3D．3【正确答案】D【分析】取AC 的中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.【详解】由题意知，12AC AB BB ===，取AC 的中点O，则BO AC BO ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0)(0,1,0)A B C -，，，所以1(0,2,0)AB CA ==-，，所以CA 在1AB上的投影的长度为11CA AB AB ⋅=故点C 到直线1AB 的距离为.3d ==故选：D6．设甲袋中有2个红球和2个黑球，乙袋中有1个红球和2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个黑球的概率为（）A ．1960B ．160C ．760D ．1360【正确答案】A【分析】从甲袋任取2个球的可能性有三种：（1）从甲袋取出的两球都是红球，（2）从甲袋取出的两球都是黑球，（3）从甲袋取出的两球是1红1黑，进而求解即可.【详解】从甲袋任取2个球的可能性有三种：（1）从甲袋取出的两球都是红球时，设A =“从乙袋取出2个黑球”，则()22222245C C 1C C 60P A =⋅=；（2）从甲袋取出的两球都是黑球时，设B =“乙袋取出2个黑球”，则()22242245C C 61C C 6010P B =⋅==；（3）从甲袋取出的两球是1红1黑时，设C =“乙袋取出2个黑球”，()2113222245C C C 121C C 605P C ⋅=⋅==，所以从乙袋中取出两个黑球的概率为()()()1960P A P B P C ++=.故选：A.7．若直线10x ay a +--=与圆22:(2)4C x y -+=交于A ，B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【正确答案】B【分析】化简直线方程化为(1)(1)0x a y -+-=，得到直线恒过定点()1,1M ，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线10x ay a +--=可化为(1)(1)0x a y -+-=，当10x -=且10y -=，即1x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()1,1M ，设圆的圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC ⊥直线AB 时，AB 取得最小值，且最小值为==，此时弦长AB 对的圆心角为2π，所以劣弧长为22ππ⨯=.故选：B.8．已知直线l 与曲线e x y =相切，切点为()11,M x y ，与曲线()23y x =+也相切，切点是()22,N x y 则212x x -的值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【正确答案】D【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.【详解】设直线l 与曲线e x y =相切于()11,M x y ，又e x y '=，∴直线l 的斜率为1e x k =，∴M 处的切线方程为()111e e x xy x x -=-，即()111e 1e x x y x x =+-；直线l 与曲线()23y x =+相切于()22,N x y ，()23y x '=+，可得切线方程为()()()2222323y x x x x -+=+-，即()222239y x x x =++-.因为直线l 与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则()12e 230x x =+>且()12121e 9x x x -=-，则()()21221239x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即()()()()122212333x x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦可得()12213x x -=-，解得2121x x -=，二、多选题9．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X 为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（）A ．X 的可能取值为0，1，2，3B ．()103P X ==C ． 1.2EX =D ．1425DX =【正确答案】ACD【分析】根据题意分析X 服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.【详解】由题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，故A 正确；分析可得X 服从参数为10，4，3的超几何分布，其分布列为()()346310C C 0,1,2,3C k kP X k k -===，则()0346310C C 10C 6P X ===，故B 错误；341.210EX ⨯==，故C 正确；()()()()1221302222464646333101010C C C C C C 1140 1.21 1.22 1.23 1.26C C C 25DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故D 正确；故选：ACD.10．已知O 为坐标原点，点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则（）A ．C 的准线方程为1x =-B ．若||4AF =，则||OA =C ．若||8AB =，则AB 的中点到y 轴的距离为4D ．4||||9AF BF +≥【正确答案】ABD【分析】利用抛物线的定义可分析A,B 选项，利用直线与抛物线相交结合韦达定理，弦长公式,基本不等式可分析C,D 选项.【详解】因为点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，所以42,p =解得=2p ，所以抛物线方程为24y x =，所以准线方程为12px =-=-，所以A 正确;由抛物线的定义得||4,3,2A A pAF x x =+=∴=由2412A A y x ==,所以||OA ==.所以B 正确;设1122(,),(,),:1A x y B x y AB x my =+，联立2=4,=+1y xx my ⎧⎨⎩整理得2440y my --=，由韦达定理得12124,4y y m y y +==-，所以()2||418AB m ==+=，解得1m =±，212121211()2426x x my my m y y m +=+++=++=+=，所以C 错误;212121212(1)(1)()11x x my my m y y m y y =++=+++=,由抛物线定义知11221,1,22p pAF x x BF x x =+=+=+=+()()2121121212121121111111111x x x x AF BF x x x x x x x x ++++++=+===+++++++，所以()4||4||||4||||5119BF AF B AF AF BF A F AF F BF BF ⎛⎫+=+=+ ⎪ +⎪⎝≥⎭,当且仅当4||,2BF BF AF AFBFAF ==时取得等号，所以D 正确.故选:ABD.11．已知()525012512x a a x a x a x -=++++L ，则下列结论正确的是（）A ．展开式中所有项的二项式系数的和为32B ．01a =C ．024121a a a ++=D ．135122a a a ++=【正确答案】ABC【分析】展开式中所有项的二项式系数的和为5232=可判断A ；令0x =，得01a =可判断B ；令1x =和=1x -得01251a a a a ++++=- ，0125243a a a a -++-= ，两式相加，相减可判断C ，D.【详解】展开式中所有项的二项式系数的和为5232=，故A 正确；令0x =，得01a =，故B 正确；令1x =，得01251a a a a ++++=- ，令=1x -，得501253243a a a a -++-== ，两式相加，得()0242242a a a ++=，∴024121a a a ++=，故C 正确；两式相减，计算可得135122a a a ++=-，故D 不正确.故选：ABC.12．如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面所成的角为60°，且24AB AF ==，G 为CD 的中点，则下列结论正确的有（）A ．AE 与BC 是异面直线B ．AE BG⊥C ．直线BE 与AG 所成角的余弦值是5D ．三棱锥B AGE -【正确答案】ACD【分析】结合图形判断选项A ；以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量方法判断,AE BG 的位置关系；利用空间角的向量求法判断选项B ，C ；等体积转换求得三棱锥B AGE -的体积判断选项D.【详解】对于A ，因为A ∈平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，E ∉平面ABCD ，所以AE 与BC 是异面直线，故A 正确；对于B ，由已知AB AD ⊥，AB AF ⊥，又AF A AD = ，AF ，AD ⊂平面AFD ，所以AB ⊥平面AFD ，以A 为坐标原点，AD ，AB为x ，y轴正方向建立空间直角坐标系，又正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面所成的角为60°，所以60FAD ∠=︒，24AB AF ==，点F 到AD所以()0,0,0A ，()0,4,0B，(F，(1,E ，()4,2,0G ，所以(1,AE = ，()4,2,0BG =- ，所以48040AE BG ⋅=-+=-≠，所以AE ，BG 不垂直，故B 错误；对于C，(BE = ，()4,2,0AG =，所以cos ,BE AG BE AG BE AG ⋅=所以直线BE 与AG故C 正确；对于D ，三棱锥B AGE -的体积114432B AGE E ABG V V --==⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．若32C A m m =，则m =______.【正确答案】8【分析】根据组合数和排列数公式计算求解即可.【详解】()()()3212C A 1,3832m m m m m m m m m --=⇒=->⇒=⨯故8.14．在nx ⎛ ⎝的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含3x 项的系数为______．【正确答案】15【分析】首先根据题意，可得6n =，进而可得其二项式展开式的通项，令x 的指数为3，可得r 的值，最后将r 的值代入通项可得其展开式中的3x 项，即可得答案．【详解】由题知6n =，则()36621661rr r r r rr T C x C x --+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝，令3632r-=，得2r =，所以展开式中3x 的系数为226(1)15C -=.故答案为.1515．已知随机事件A ，B ，1()3P A =，1()4P B =，3()4P AB =∣，则()P B A =∣________.【正确答案】716【分析】首先求出3()4P AB =|，则3()16P AB =，则9()16P BA =∣，最后利用对立事件的求法即可得到答案.【详解】依题意得()3(|)()4P AB P A B P B ==，所以3313()()44416P AB P B ==⨯=故3()916()1()163P AB P B A P A ===∣，所以7(|)1(|)16P B A P B A =-=.故答案为.71616．拓扑空间中满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在0x D ∈，使得()00f x x =，那么我们称函数()f x 为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点.在数学中，这被称为布劳威尔不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L.E.J.Brouwer ），是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.现新定义：已知0x 为函数()f x 的一个不动点，若0x 满足()00f x x '=，则称0x 为()f x 的双重不动点.给出下列三个结论：①()3sin f x x x x =-；②()e e 12x xf x -+=-；③()1e 1xf x x=--.具有双重不动点的函数为是______.【正确答案】①②【分析】对①②：取特值0x =，分析判定；对③：根据函数定义域分析判定即可【详解】对于①：∵()3sin f x x x x =-，则()23sin cos f x x x x x '=--，可得()00f =，()00f '=，∴0为()f x 的双重不动点，故①正确；对于②：∵()e e 12x xf x -+=-，则()e e 2x x f x --'=，可得()00f =，()00f '=，∴0为()f x 的双重不动点，故②正确；对于③：因为()1e 1xf x x=--的定义域为{}0x x ≠，故该函数不连续，故③错误；故①②.方法点睛：对于新定义题意，要准确理解给出的定义，并转化为已学的知识，用已学的知识取解决问题.四、解答题17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且2a ，3a ，115a 成等差数列，4355S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()31log 3n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)13n n a -=，*n ∈N (2)()()3234212n n T n n +=-++【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，根据2a ，3a ，115a 成等差数列，得到2215q q =+，求得3q =，再由4355S a +=，求得11a =，写出通项公式；（2）由（1）得()()311111log 3222n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，∵2a ，3a ，115a 成等差数列，∴321215a a a =+，即2215q q =+，∴3q =，又∵4355S a +=，∴()41211355313a a -+=⋅⋅-，解得11a =，∴11133n n n a --=⋅=，*n ∈N .（2）由（1）得()()311111log 3222n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，∴121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ ()()11113231+22124212n n n n n +⎛⎫=--=- ⎪++++⎝⎭.18．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动.一共3题，答题规则如下，每队2人，其中1人先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一对含有甲、乙两名队员，其中甲答对每道题目的概率为25，乙答对每道题目的概率为23，每道题都是甲先回答，且两人每道题目是否回答正确相互独立.甲乙两人回答正确与否也互相独立.(1)求第一队答对第1题的概率；(2)记X 为第一队获得的总分，求随机变量X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)45(2)分布列见解析，数学期望为45625【分析】（1）根据题意可知答对第一题分为两种情况：甲先答对或甲先答错乙补答对，结合独立事件的乘法公式即可求解；（2）根据题意可得0,10,20,30X =，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，进而求解.【详解】（1）设甲、乙答对每题的事件为A 、B ，则()()22,53P A P B ==，所以()()31,53P A P B ==，答对第一题分为两种情况：甲先答对，甲先答错乙补答对，所以答对第一题的概率为()()()()()23245535P P A P AB P A P A P B =+=+=+⨯=.（2）由题意得，0,10,20,30X =，()()()()3110535P X P AB P A P B ====⨯=，()()()()()414105525P X P A P A P B P AB ⎡⎤==+=⨯=⎣⎦，()()()()()2241162055125P X P A P A P B P AB ⎛⎫⎡⎤==+=⨯=⎪⎣⎦⎝⎭，()()()()33464305125P X P A P A P B ⎛⎫⎡⎤==+==⎪⎣⎦⎝⎭.所以X 的分布列为：X 0123P154251612564125数学期望为()1416644560102030512512512525E X ⨯+⨯+⨯+⨯==.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PBD 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线MN 的方向向量和平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取PA 的中点E ，连接EB 、EM ，因为M 是PD 的中点，所以//EM AD ，且12EM AD =.又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点，所以//BN AD ，且12=BN AD .所以//,EM BN EM BN =.所以四边形MNBE 是平行四边形，所以//MN EB .由于EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（2）因为底面ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD .所以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系.()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，()0,1,1M ，()2,1,0N .()2,2,2PC =-，()2,0,0CD =- ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = .有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩令1y =，则1z =，所以()0,1,1m = .()2,0,1MN =-.设直线MN 与平面PBD 所成角为θ.有.sin cos ,10MN m MN m MN mθ⋅==⋅所以直线MN 与平面PBD 所成角的正弦值为10.20．人类命运共同体的提法讲中国梦融入世界梦，充分展现了中国的大国担当，中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2023年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构调查了该地区某家企业近5个月的产值情况，如下表，由散点图知，产值y （亿元）与月份代码x 线性相关.月份6月7月8月9月10月月份代码x 12345产值y （亿元）1620273037(1)求y 与x 的线性回归方程，并预测明年2月份该企业的产值；(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动车购买电动车总计男性36642女性331548总计692190以样本的频率估计概率，从该地区所有购车车主中随机选取3位，设X 为3人中购买非电动车的男性人数，求X 的概率分布和数学期望.参考公式：()()()1221121niii nninii ii ii x ynx y bn x x x xy x xy ====-=---=-∑∑∑∑ ，a y bx =-$$.【正确答案】(1)线性回归方程为 5.210.4y x =+，预计明年2月份该企业的产值约为57.2亿元(2)分布列答案见解析，()65E X =【分析】（1）求出x 、y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出b、 a 的值，可得出回归直线方程，并将9x =代入回归直线方程，可得出结果；（2）计算出该地区所有购车车主中，购买非电动车的男性所占的比例，分析可知2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的分布列，利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值.【详解】（1）解：由表格中的数据可得1234535x ++++==，1620273037265y ++++==，51116220327430537442i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，所以，51522215442532652 5.25553105ˆi ii ii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑， 26 5.2310.4a y bx =-=-⨯= ，所以，y 与x 的线性回归方程为 5.210.4y x =+，当9x =时， 5.2910.457.2y =⨯+=（亿元），预计明年2月份该企业的产值约为57.2亿元.（2）解：由表格可知，该地区所有购车车主中，购买非电动车的男性所占的比例为362905=，由题意可知，2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X123P2712554125361258125因此，()26355E X =⨯=.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，1,2P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且12PF =.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线:2l x =-，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，求tan MAN ∠最小值.【正确答案】(1)2212x y+=(2)4【分析】（1）设()1,0(0)F c c ->，根据题中条件12PF =求出1c =，根据椭圆的定义，求出a 的值，再根据222b a c =-即可求出b 的值，即可求出椭圆方程；（2）直线AB 的斜率不存在时直接求出tan MAN ∠，当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则():1AB l y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到tan MNMAN AN ∠=，令2t k =，则0t >，令()()23101t m t t +=>+，则()()29610m t m t -+--=，根据0∆≥，求出m 最小值，即可得解.【详解】（1）由题意，可知()1,0F c -，则11,2PF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12PF == ，解得1c =，∴2221a b c -==，∵点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，∴221112a b +=.联立222211112a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩.∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题意，设()11,A x y ，()22,B x y .则1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭.①当直线AB 的斜率不存在时，则:1AB l x =.此时()2,0M -点N即为右焦点2F ，即()1,0N .2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.此时tan MN MAN AN ∠==.②当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，很明显0k ≠.则():1AB l y k x =-.由题意，联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得()()2222214210k x k x k +-+-=.则()()()4222168211810k k k k ∆=-+-=+>，2122421k x x k +=+，()21222121k x x k -⋅=+.∴21222221x x k k +=+，2121222211222121y y x x k k k k k k ⎛⎫++-⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.∴点N 坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.∵线段AB 的垂直平分线的斜率为1k -，∴线段AB 的垂直平分线的直线方程为222122121k k y x k k k ⎛⎫--=-⋅- ⎪++⎝⎭.设点M 坐标为(),M M x y ∵点M 在直线:2l x =-上，即2M x =-.∴()2222212522212121M k k k y k k k k k ⎛⎫-+=-⋅--+= ⎪+++⎝⎭.∴点M 坐标为()22522,21k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭.∴()()222222222223125212121212121k k k k MN k k k k k k ⎛⎫+⎛⎫+ ⎪=+++=⋅+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∵()())22222221212222212141414212121k k k AB k x x x x k k k k -+⎛⎫=++-=+⋅-⋅= ⎪+++⎝⎭.∴)222121k AN k +=+.在Rt MAN 中，()()()()22222221231131tan 2121k k MN k MAN ANk k k +++∠===⋅++令2t k =，则0t >；令()()2223196101t t t m t t t t+++==>++.则()()29610m t m t -+--=，()()()2Δ64980m m m m =-+-=-≥，解得8m ≥.∴当8m =时，tan MAN ∠4=.此时()()23181t t t +=+，解得1t =，即1k =±.综上所述，可知tan MAN ∠的最小值为4，22．设函数()()e 1x xf x a a -=+>.(1)若e a =，求证()f x 有极值，求方程()2f x =的解；(2)设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有()0,x m n ∈，其中m ，n ∈Z ，求n m -的最小值.【正确答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）利用导数研究函数的单调性和极值；（2）方法一：求出导数，由导数判断出()10f '-<，()10f '>，找到函数的极值点所在区间，从而求出n m -的最小值；方法二：通过证明ln 1k k ≤-，得到0ln 11kx k =->-+，且01x <，得到()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-，所以n m -的最小值为2.【详解】（1）当e a =，()e e 2e 10x x xf x x -=+=⇒=⇒=证明：由题意得()e e x xf x -'=-，由()0f x '=，即e e 0--=x x ，解得0x =，当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，因此，当0x =时函数()f x 有极值.（2）方法一由题意得()ln x xf x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln x xae a ae a==.因为1a >，所以1ln 0a>，所以1log ln ae x a =.当1log ln ae x a>时，()()0,f x f x '>单调递增；当1log ln aex a<时，()()0,f x f x '<单调递减.因此，函数()f x 的极值点01log ln ae x a=.因为()ln 1e a f a '-=-，令()ln a g a a =，则()21ln 0aag a '-==，得e a =，当e a >时，()0g a '<，()g a 单调递减，当0e a <<时，()0g a '>，()g a 单调递增，所以()()1e e g a g ≤=，所以()0ln 1e aaf '-=-<，而()0ln 1f a '=-，当2a =时，()00f '<，当3a ≥时，()00f '>，又()e1l 1n f a a '=-，令()()ln ,2a h a a a =≥，则()ln 1a h a =+'，可知()0h a '>，所以()()ln ,2a h a a a =≥为增函数，所以eln 2ln 121a a ≥>>，当2a ≥时，()10f '>，即对任意正整数1a >，都有()10f '-<，()10f '>，所以()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-，所以n m -的最小值为2.方法二由题意得()ln x xf x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln xxae a ae a==.因为1a >，所以1ln 0a>，所以1log ln ae x a =.当1log ln ae x a>时，()()0,f x f x '>单调递增；当1log ln aex a<时，()()0,f x f x '<单调递减.因此，函数()f x 的极值点01log ln ae x a=.且()0eln ln 1log ln ln 1a a x a a ==-+，令ln a k =，ln 2k =，ln 3，…，则0ln 01kx k =-=+，得1k =，先证：ln 1k k ≤-，令()ln 1g k k k =-+，则()1kg k k-'=，当1k >时，()0g k '<，当1k <时，()0g k '>，所以()()10g k g ≤=，即ln 1k k ≤-成立，所以0ln 11kx k =->-+，又当ln 3k ≥时，0ln 01k x k =-<+，而2ln 21>，所以11ln 22e >>，所以1e ln 2<，当ln 2k =时，()0ln ln 20ln 21x =->+，且()10ln ln 2ln e 1ln 21ln 21x -=<<++，所以()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-.所以n m -的最小值为2.。
(苏科版)南京市鼓楼区2019-2020学年高二数学下期中考试文科试题(附答案)(精校版)
高二下期中考试数学试题(文科)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n∑i =1n(x i－x-)2 ，其中x -＝1n ∑i =1nx i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数 1z在复平面内对应的点位于第 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70 km/h 以下的汽车有 辆．4场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：环的概率为 ．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ．(第5题)(第4题)S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S507090速度(km/h)0.010.020.030.04124 7 7 90 19．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ．10．为了计算2×4×6×8×10(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ．11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ．12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)= .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：①(a ＋b )2＝a 2＋2a •b ＋b 2； ②若a •b ＝a •c ，则b ＝c ； ③(a +b )•c =a •c + b •c ； ④(a •b )•c =a •(b •c )；那么类比于此，对于非零向量→a ，→b ，→c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ． 14．设函数f (x ) =12x + 2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+ f (－2014)+ f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．(1)求z 1；(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：（第11题）（第10题）(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率． 18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *).(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由． 20．已知函数f (x )=ln xx． (1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值；(2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值；(3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m ，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(文科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．139．5 10．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．3213．①③ 14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)(2)660 ＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分 所以，事件A 发生的概率P (A )＝56． ----------------------7分(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根”； ------------------……………---8分 当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分 所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列．证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立，所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，…………………………………………………………………14分所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x 23＋y ²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M ，N 不与点B 重合，所以直线AM 的斜率存在，且不为零．………………5分 设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为－直线AM 方程：y =kx +1，7分 9分12分15分 16分解法二设直线MN 方程为y =kx + m ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可得m =－12．20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln xx 2． 令f ' (x )＝1－ln xx 2＝0，则x =e ． 列表如下：当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立． 令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－axx，x >0. 若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8分 若a >2，则当x ∈(2a ，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a )时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意. 故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减． 又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln m m = ln nn，即m n =n m ． 【…、￥。
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷(文科)
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 复数的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分）设，若，则等于（）A . e2B .C .D . ln23. （2分）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若，，则B . 若，则C . 若，，则D . 若，，则4. （2分）若函数f（x）=x2+x+alnx在（1，3）内有极值，则实数a的取值范围是（）A . （﹣7，﹣3）B . [﹣21，﹣3]C . [﹣7，﹣3]D . （﹣21，﹣3）5. （2分）已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·江门月考) 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ， yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A . y与x具有正的线性相关关系B . 回归直线过样本点的中心（，）C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg7. （2分）(2020·芜湖模拟) 已知函数，其中e是自然对数的底数，若在R上单调递增，则b的范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·杭州期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O、O1分别为底面ABCD和A1B1C1D1的中心，以OO1所在直线为轴旋转线段BC1形成的几何体的正视图为（）A .B .C .D .9. （2分）设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：,取函数f(x)=2-x-e-x ，若对任意的x∈(-∞,+ ∞)，恒有fk(x)＝f(x)，则（）A . k的最大值为2B . k的最小值为2C . k的最大值为1D . k的最小值为110. （2分）(2018·陕西模拟) 在由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）定义新运算“&”与“*”：，，则函数是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 非奇非偶函数D . 既是奇函数又是偶函数12. （2分）双曲线的顶点到渐进线的距离等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某物体运动时，其路程S与时间t（单位：s）的函数关系是S=2（1﹣t）2 ，则它在t=2s时的瞬时速度为________14. （1分）甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则甲、乙两名同学成绩稳定的是________．15. （1分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，||+||=K，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线x=的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为________16. （1分）若函数 ,恰有个零点，则的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2020·抚顺模拟) 某中学有教师400人，其中高中教师240人．为了了解该校教师每天课外锻炼时间，现利用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调查，统计其每天课外锻炼时间（所有教师每天课外锻炼时间均在分钟内），将统计数据按，，，…，分成6组，制成频率分布直方图如下：假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立，并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼．（1）试估计本校教师中缺乏锻炼的人数；（2）从全市高中教师中随机抽取3人，若表示每天课外锻炼时间少于10分钟的人数，以这60名高中教师每天课外锻炼时间的频率代替每名高中教师每天课外锻炼时间发生的概率，求随机变量的分布列与数学期望．18. （5分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．19. （10分）(2019·十堰模拟) 某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览、和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量表示该游客游览的景点的个数，求的概率分布和数学期望 .20. （10分） (2018高二下·河南月考) 已知函数为常数，且）有极大值 .（1）求的值；（2）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线的方程.21. （10分）(2018·河南模拟) 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于不同两点， . 为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.22. （10分）(2020·沈阳模拟) 已知函数 .（1）求的单调区间与极值；（2）当函数有两个极值点时，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省高二下学期期中数学试卷(文科)
江苏省高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·长沙期末) 设U＝{1，2，5，7，9}，A＝{1，2，5}，B＝{2，5，7}，则下列结论中正确的是（）A . A⊆BB . A∩B＝{2}C . A∪B＝{1，2，5，7，9}D . A∩∁UB＝{1}2. （2分）函数的图象关于（）对称A . 原点B . x轴C . y轴D . 直线3. （2分）用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A . a，b，c都是奇数B . a，b，c都是偶数C . a，b，c中至少有两个偶数D . a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数4. （2分） (2015高二下·福州期中) 设函数y=f（x）在（a，b）上可导，则f（x）在（a，b）上为增函数是f′（x）＞0的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）设偶函数满足：当时，，则=（）A .B .C .D .6. （2分）已知a=0.40.4 ， b=1.20.4 ， c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A . c＜a＜bB . c＜b＜aC . a＜b＜cD . a＜c＜b7. （2分） (2019高一下·长春期末) 若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为（）A .B . 1C . 2D . 08. （2分） (2018高三上·重庆月考) 函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（）A . 2B .C . 3D . 49. （2分）若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数，则此函数的“和谐点对”有（）A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对10. （2分） (2017高二下·保定期末) 函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围是（）A . a≤﹣3B . a≥﹣3C . a≤5D . a≥5二、填空题 (共6题；共11分)11. （1分）(2017·南京模拟) 若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=________．12. （1分） (2018高三上·定远期中) 已知函数在x＝－1时有极值0，则＝________ ．13. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________和________．14. （1分）(2018·保定模拟) 已知实数满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为________15. （1分） (2020高二下·和平月考) 若函数f（x）＝x2+x﹣lnx+1在其定义域的一个子区间（2k﹣1，k+2）内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．16. （5分） (2016高一下·泰州开学考) 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中x，y∈R，试求x+y的最大值．三、解答题 (共4题；共60分)17. （15分） (2018高三上·信阳期中) 已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y 轴对称．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求a的值；（3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．18. （15分） (2018高二上·六安月考) 已知函数y=f(x)，f(0)=-2，且对，y R，都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x.（1）求f(x)的表达式；（2）已知关于x的不等式f(x)-ax+a+1 的解集为A，若A⊆[2,3]，求实数a的取值范围；（3）已知数列{ }中，，，记，且数列{ 的前n项和为，求证： .19. （15分） (2016高二下·三亚期末) 已知函数f（x）=x3+ax2+b满足f（1）=0，且在x=2时函数取得极值．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最大值g（t）的表达式．20. （15分） (2016高一上·扬州期末) 已知函数f（x）= （e为自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）证明：函数f（x）为奇函数；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，再根据结论确定f（m2﹣m+1）+f（﹣）与0的大小关系；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[kea ， keb]．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共11分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。
江苏省南京市数学高二下学期文数期中考试试卷
江苏省南京市数学高二下学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 已知集合，，且，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·长春模拟) 复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2017高二上·集宁月考) 下面四个条件中,使成立的充分不必要的条件是（）A .B .C .D .4. （2分）已知向量a=（x，y），向量b∥a，|b|=|a|，且b≠a，则b的坐标为（）A . （x，﹣y）B . （﹣x，﹣y）C . （﹣y，﹣x）D . （﹣x，y）5. （2分）(2018·栖霞模拟) 已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·吉安期中) 直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点，则直线l的方程为A .B .C .D .7. （2分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰或直角三角形8. （2分） y=xlnx的导数是（）A . xB . lnx+1C . 3xD . 19. （2分）(2018·丰台模拟) 执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是（）A . n≥5B . n≥6C . n≥7D . n≥810. （2分）设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数）， ,若任取，则满足的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）设第一象限内的点满足若目标函数的最大值是4，则的最小值为（）A . 3B . 4C . 8D . 912. （2分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，第二象限的点P （x0 ， y0）满足bx0+ay0=0，若线段PF2的垂直平分线恰为双曲线C的过一、三象限的渐近线，则双曲线C的离心率为（）A .B . 4C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·扬州期末) 函数f（x）=ln（x+1）的定义域为________．14. （1分）(2018·长春模拟) 设实数满足约束条件，则的最大值为________.15. （1分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是________16. （1分）(2020·泉州模拟) 记为数列的前项和.若，，则________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二上·驻马店期中) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．（1）求证：a，b，c依次成等比数列；（2）若b=2，求u=| |的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．18. （10分） (2016高二下·韶关期末) 等比数列{an}的各项均为正数，且a2﹣a1=6，9a32=a2a6 ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log3a1+log3a2+…+log3an，数列{ }的前n项和Tn，求证：Tn＜2．19. （15分） (2018高二上·阜城月考) 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及均值．20. （10分）(2019·上饶模拟) 已知椭圆的两焦点在轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为的等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷(文科)
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列框图属于流程图的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·淮北期末) 设集合，则（）A .B .C .D .3. （2分）演绎推理“因为对数函数y=logax（a＞0且a≠1）是增函数，而函数y=x是对数函数，所以y=l x是增函数”所得结论错误的原因是（）A . 推理形式错误B . 小前提错误C . 大前提错误D . 大前提和小前提都错误4. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知i为虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分）设x∈R，则“x＞0“是“x+≥2“的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）求满足2x（2sinx﹣）≥0，x∈（0，2π）的角α的集合（）A . （0，）B . [，]C . [，]D . [，]7. （2分）已知，直线ax+by=6平分圆的周长，则的最大值为（）A . 6B . 4C . 3D .8. （2分）某考察团对全国10大城市职工的人均平均工资x与居民人均消费y进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程=0.6x+1.5 （单位：千元），若某城市居民的人均消费额为7.5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为（）A . 66%B . 72.3%C . 75%D . 83%9. （2分） (2016高二下·郑州期末) 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A . 2017×22015B . 2017×22014C . 2016×22015D . 2016×2201410. （2分）曲线C1的极坐标方程为ρ=R（R＞0），曲线C2的参数方程为（α为参数），若C1与C2有公共点，则R的取值范围是（）A . [2，+∞）B . [ ，+∞）C . [2， ]D . [2，3]11. （2分）下列命题中是假命题的是（）A .B . ,C .D . ，12. （2分）若由一个2×2列联表中的数据计算得Χ2=6.825，那么确认两个变量有关系的把握性有（）A . 90%B . 95%C . 99%D . 99.5%二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）(2012·天津理) 已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=________，n=________．14. （1分）(2017·长沙模拟) 若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则 ________.15. （1分） (2016高三上·浦东期中) 若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围________．16. （1分）已知长为+1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上的一点，且=，则点P的轨迹方程为________三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2018高二上·河北月考) 已知：，：（），若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．18. （5分）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且b≠0，求证：f（ab）＞|b|f（）．19. （10分） (2017高二下·肇庆期末) 在直角坐标系xOy 中，已知圆C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线l的极坐方程是，射线OM：θ= 与圆的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．20. （10分） (2019高二上·内蒙古月考) 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y86542（参考公式：）已知和具有线性相关关系．（1）求关于的线性回归方程；（2）若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．21. （5分）(2017·榆林模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α= 时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．22. （5分）(2017·武汉模拟) 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
南京市鼓楼区学高二下期中考试文科数学试题含答案
高二数学(文科)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n∑i =1n(x i－x-)2 ，其中x -＝1n ∑i =1nx i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位．．．．．．置上．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数1z在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ▲ ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70 km/h 以下的汽车有 ▲ 辆．4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：则他射击1次，至少命中9环的概率为 ▲ ．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ▲ ．(第5题)(第3题) (第4题)S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S5060708090速度(km/h)0.010.020.030.04124 7 7 90 19．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．10．为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ▲ ． 11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ． 12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)=▲ .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：①(a ＋b )2＝a 2＋2a •b ＋b 2； ②若a •b ＝a •c ，则b ＝c ； ③(a +b )•c =a •c + b •c ； ④(a •b )•c =a •(b •c )； 那么类比于此，对于非零向量→a ，→b ，→c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ▲ ．14．设函数f (x ) = 12x + 2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+f (－2014)+ f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．(1)求z 1；(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：（第11题）（第10题）（第9题）(1)上表中①②位置的数据分别是多少？(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率．18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *).(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由． 20．已知函数f (x )=ln x x． (1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值；(2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值；(3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m ，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(文科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．13 9．510．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．3213．①③ 14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)(2)660 ＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分所以，事件A 发生的概率P (A )＝56． ----------------------7分(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根”； ------------------……………---8分 当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分 事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列．证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立，所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，…………………………………………………………………14分所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x 23＋y ²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M ，N 不与点B 重合，所以直线AM 的斜率存在，且不为零．………………5分 设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为－直线AM 方程：y =kx +1， 直线AN 方程：y =－7分 9分12分15分 16分解法二设直线MN 方程为y =kx + m ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可得m =－12．20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln xx 2．令f ' (x )＝1－ln xx 2＝0，则x =e ．当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立．令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－axx，x >0.若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立.……………………………………………………………………………………………8分若a >2，则当x ∈(2a，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a)时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意.故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减． 又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln m m = ln n n，即m n =n m ．。
2023-2024学年江苏省南京市高二下册期中数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．在42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是（）A ．8-B ．8C ．4-D ．4【正确答案】A【分析】直接利用二项式定理计算即可.【详解】42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()4421442C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，取422r -=，则1r =，系数为()14C 28⨯-=-.故选：A2．3男2女站成一排，其中2名女生必须排在一起的不同排法有（）A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种【正确答案】B【分析】先将2名女生看成整体排序，再将其和其余人一起去安排，相乘即可.【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步，将2名女生看成整体，有222A =种情况；第二步，将这个整体和3名男生全排列，有44=24A 种情况，所以2名女生必须排在一起的不同排法有224=48⨯种.故选：B.本题考查了捆绑法，属于常考题.3．某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（）A ．25B ．12C ．35D ．910【正确答案】A【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a ，b ，从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：（甲，乙，丙），（甲，乙，a ），（甲，乙，b ），（甲，丙，a ），（甲，丙，b ），（甲，a ，b ），（乙，丙，a ），（乙，丙，b ），（乙，a ，b ），（丙，a ，b ），其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为42105=故选：A4．()y f x =的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03232f f f f ''<-<<【正确答案】B【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】()()()()323232f f f f --=-由图可知：(3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-，即0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<.故选：B5．盲盒里有大小、形状完全相同的3个绿球，4个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（）A ．16B ．110C ．37D ．17【正确答案】B【分析】设B =“取出的球全是绿球”，=i A “掷出()1,2,3i i =点”，则()16i P A =，求出()()37C 1,2,3C i i i P B A i ==，利用全概率公式可求得()P B 的值.【详解】设B =“取出的球全是绿球”，=i A “掷出()1,2,3i i =点”，则()16i P A =，又因为从盲盒里每次取出i 个球的所有取法是7C i，即基本事件总数为7C i，而从袋中每次取出i 个绿球的所有取法是3C i ，即事件所含基本事件数为3C i，所以掷出i 点，取出的球全是绿球的概率为()37C C i i i P B A =，所以，()()()12333331231777C C C 1131116C C C 6773510i i i P B P A P B A =⎛⎫⎛⎫==⨯++=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.故选：B.6．从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为A ．29B ．13C ．512D ．59【正确答案】D【详解】从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数：33218⨯⨯=（个），三位数是3的倍数，需要满足各个数位上的数之和是3的倍数，有两种情况0,1,2,和1,2,3；由0,1,2,组成没有重复数字的三位数共有224⨯=个，由1,2,3组成没有重复数字的三位数共有336A =个，所以一共有：4610+=个，这个三位数被3整除的概率是105189=，故选D.7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则AP =（）．A ．9B ．7C ．3D 7【正确答案】D【分析】由题知11122AP AB AD AA =++ ，进而根据计算向量的模得答案.【详解】解：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11DD C C 是平行四边形，又P 是1C D ，1CD 的交点，所以P 是1C D 的中点，所以，()11111222AP AD DP AD DC DD AB AD AA =+=++=++，又2AB AD ⋅=，12AB AA ⋅=- ，10AD AA ⋅= ，所以2211122AP AB AD AA ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 2221111117442AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅=，即7AP =故选：D ．8．已知函数()ln e x f x x x a =+有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据题意转化为方程()0f x '=有两个不同的实数根，整理得到1ln xxa e +-=有两个不同的实根，转化为y a =-和1ln e x x y +=在()0,+∞上有两个交点，根据导数求出1ln e xxy +=的单调性、极值和最值，从而得到a 的取值范围.【详解】要使函数()ln e xf x x x a =+有两个极值点，求导得()1ln e xf x x a =+'+，则转化为()1ln e 0xf x x a =++='有两个不同的实根，即y a =-和1ln exxy +=在()0,+∞上有两个交点，令()1ln e xx g x +=，∴()1ln 1e xx x g x -='-．记()1ln 1h x x x=--，()2110h x x x '=--<()h x 在()0,+∞上单调递减，且()10h =，所以当(]0,1x ∈时，()0h x ≥，()0g x '≥，所以()g x 在(]0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，故()()max 11eg x g ==．当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，所以，当10e a <-<，即10ea -<<时，y a =-和1ln e xxy +=在()0,+∞上有两个交点，故选D ．本题考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，函数与方程，属于中档题.二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．已知向量//a b r r，则存在向量与a ，b 构成空间向量的一组基底B ．两个不同平面α，β的法向量分别是u ，v ，()1,2,2u =-，()2,1,2v = ，则αβ⊥C ．已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上一点，()1,R 2OP OA mOB nOC m n =+-∈，则12m n -=D ．已知()0,1,0A ，()1,2,0B ，则与AB方向相同的单位向量是()1,1,0【正确答案】BC【分析】根据空间向量的性质判断各选项即可.【详解】对于A ，//a b r r，所以其它向量与a ，b 一定共面，所以不能构成基底，故A 选项错误；对于B ，因为2240u v ⋅=+-=，所以αβ⊥，故B 选项正确；对于C ，因为点P 为平面ABC 上的一点，所以112m n +-=，所以12m n -=，故C 选项正确；对于D ，设(1,1,0)c =，则c = D 选项错误．故选：BC.10．以下列说法中正确的是（）A ．回归直线y bx a =+$$$至少经过点（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（xn ，yn ）中的一个点B ．相关系数r 的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强C ．已知随机变量x 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）＝30，D （X ）＝20，则13p =D ．设服从正态分布N （0，1），若()1P p ξ>=，则()1102p p ξ-<<=-【正确答案】BCD【分析】根据回归直线性质可判断选项A ，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B ，根据二项分布的特征可判断选项C ，根据正态分布的性质可判断选项D.【详解】对AB ，回归直线y bx a =+$$$一定经过样本中心点(),x y ，而样本中心点(),x y 并不一定是（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（xn ，yn ）中的一个点，故A 错相关系数r 的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强，B 正确；对C ，E （X ）＝np ，D （X ）＝np （1－p ），所以30×（1－p ）＝20，则p ＝13，故C 对；对D ，()()()1100112p p p p ξξξ-<<=<<=->=-，故D 对，故选：BCD11．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的一组观测数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，由此得到的线性回归方程为y bx a =+$$$，则下列说法中正确的是（）A ．回归直线y bx a =+$$$至少经过点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个点B ．若11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑，则回归直线y bx a =+$$$一定经过点(),x yC ．若点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 都落在直线20x y -+=上，则变量x ，y 的样本相关系数1r =D ．若298y =，2100y =，则相应于样本点()22,x y 的残差为-2【正确答案】BCD【分析】选项A 、选项B 可由回归直线必经过样本中心点，不一定经过样本点来判断；选项C ，可通过已知方程，得到斜率，去判断相关系数；选项D ，样本点的残差等于该点的实际值减去模拟出的预测值，即可做出判断.【详解】线性回归方程为y bx a =+$$$不一定经过()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的任何一个点，但一定会经过样本中心点即()x y ，故选项A 错误，选项B 正确；选项C ，直线20x y -+=的斜率1k =，且所有样本点都落在直线20x y -+=上，所以这组样本数据完全正相关，且相关系数达到最大值1，故选项C 正确；选项D ，样本点()22,x y 的残差为22981002y y =--=-，故选项D 正确.故选：BCD.12．已知函数f （x ）满足xf ＇（x ）＋xf （x ）＝1＋ln x ，f （1）＝2．则当x ＞0时，下列说法中正确的是（）A ．f （2）＝ln2＋1B ．x ＝2是函数f （x ）的极大值点C ．函数y ＝f （x ）－x 有且只有一个零点D ．存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立【正确答案】AC【分析】通过函数f （x ）满足xf ＇（x ）＋xf （x ）＝1＋ln x ，可以求出()()f x f x '，，进而可以分析函数f （x ）的极大值点，求解f （2）的值，判断A,B 选项；对函数y ＝f （x ）－x ，求导求零点，从而可以判断C 选项；使用隔离参数法将k 隔离之后，令()22ln xg x x x=+，从而可以判断D 选项；【详解】因为xf ＇（x ）＋xf （x ）＝1＋ln x ，则()2ln f x x x=+，()22x f x x ='-，则x ∈（0，2）时，f （x ）单调递减；x ∈（2，＋∞）时函数f （x ）单调递增．∴函数f （x ）只有一个极小值点e ，即只有一个极小值f （2）＝ln2＋1，故选项A 正确，选项B 错误；()2ln y f x x x x x =-=+-，则2220x x y x +'--=<，所以当x →0时，y →＋∞，当x ＝e 时21e 0ey =+-<，所以函数y ＝f （x ）－x 有且只有一个零点，故选项C 正确；f （x ）＞kx ，可得22ln x k x x <+，令()22ln x g x x x=+，则()24ln x x x g x x -+-='，令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，故x ＞1时h （x ）单调递减，0＜x ＜1时，h （x ）单调递增，所以h （x ）≤h （1）＜0，所以g （x ）在x ＞0上单调递增，无最小值，所以不存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立，故选项D 错误；故选：AC ．三、填空题13．某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有______种不同的选修方式可选．（用数字填写答案）【正确答案】54【分析】先按2,1,1和2,2,0两种情况分成三组，再分配到三年去即可.【详解】由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，则四门学科可按2,1,1和2,2,0两种情况分成三组，若按2,1,1分成三组，有24C 6=种分组方法，若按2,2,0分成三组，有224222C C 3A =种分组方法，所以每位学生共有()3363A 54+=种不同的选修方式可选．故答案为.5414．请你举出与函数()sin 2f x x =在原点()0,0处具有相同切线的一个函数是______.【正确答案】22x y e =-（满足题设条件的函数均可）【分析】先求出函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程,再构造常见的函数分析即可.【详解】由题,()'2cos 2f x x =,故()'02cos 02f ==,故函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程为2y x =.故可考虑如函数(),0x g x ae b a =+≠,此时()'x g x ae =,故()0'02g ae a ===.又()00g a b =+=,故2b =-.此时()22x g x e =-.故22x y e =-（满足题设条件的函数均可）本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程与构造函数的问题.需要熟悉常见的函数的性质,从而能够构造出合适的函数.属于基础题.15．接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校25的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为14，而接种了疫苗的感染率为110.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________【正确答案】1519【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设事件A =“感染流行感冒”，事件B =“未接种疫苗”，则()31211954510100P A =⨯+⨯=，()3135420P AB =⨯=，故()()()15|19P AB P B A P A ==.故1519．16．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为______．【正确答案】45/0.8【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值.【详解】设上底面圆心为O '，下底面圆心为O ，连接OO '，OC ，OB ，以O 为原点，分别以OC ，OB ，OO '所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)C ，(0,2,0)A ，1(0,1,2)B ，1(2,0,2)D ，则1(1,0,2)CD = ，1(0,1,2)AB =-，所以1111114cos ,555CD AB CD AB CD AB <>===⨯，又因为异面直线所成角的范围为π(0,2，故异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为45，故答案为.45四、解答题17．已知23*0123(12)(3,N )n n n x a a x a x a x a x n n -=+++++≥∈ .(1)若1232,,a a a ，成等比数列，求n 的值；(2)若8n =，求22024681357()()a a a a a a a a a ++++-+++的值（用数字作答）．【正确答案】(1)5(2)6561【分析】（1）求出展开式的通项，根据题意可得22132a a a =⋅，即()()()2232132C 22C 2C n n n ⎡⎤-=⨯-⨯-⎣⎦，从而可求得n ；（2）分别令1,1x x ==-，从而可求得024681357,a a a a a a a a a +++++++，即可得出答案.【详解】（1）二项式展开式通项公式为()1C 2rr r r n T x +=-⋅，若1232,,a a a ，成等比数列，则22132a a a =⋅，即()()()2232132C 22C 2C n n n ⎡⎤-=⨯-⨯-⎣⎦，则()()()21124322321n n n n n n ---⎡⎤⨯=⨯⨯⎢⎥⨯⨯⎣⎦，解得5n =；（2）若8n =，当1x =时，024*******a a a a a a a a a ++++++++=，当=1x -时，()024*******3a a a a a a a a a ++++-+++=，所以81357132a a a a -+++=，068248132a a a a a +++++=，所以()()2288228024681357131********a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-++++-+++=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离出中国首株新型冠状病毒毒种．6月19日，中国首个新冠mRNA 疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者．为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关?大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低舒张压正常合计（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，若从抽出的6人中任取2人，求取出的2人都是大龄受试者的概率．运算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++对照表：2()P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【正确答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）15【分析】（1）由已知完成列联表，结合公式计算2K ，根据参考数据即可判断结果；（2）采用分层抽样抽取的6人中，大龄受试者有3人，设他们为123,,A A A ，年轻受试者有3人，设他们为123,,a a a ，运用列举法列出所有事件，结合古典概率的计算公式可得出答案.【详解】（1）22⨯列联表如下：大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低101020舒张压正常206080合计3070100()2210010601020 4.762 6.63530702080K ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯.所以，没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．（2）由题意得，采用分层抽样抽取的6人中，大龄受试者有3人，设他们为123,,A A A ，年轻受试者有3人，设他们为123,,a a a ．则从这6人中取出2人包含的基本事件：{}1213111213{},{},{,,},{},,,,A A A A A a A a A a ,{}2321222331{}{}{}{},,,,,,A A A a A a A a A a ,,,,{}{}{}{}{}3233121323,,,,,,,,,A a A a a a a a a a ,共有15种，其中取出的2人都是大龄受试者的有3种．所以，取出的2人都是大龄受试者的概率31155P ==.19．有3名男生，4名女生，（每小题都用数字作答）．(1)若全体站成一排，3名男生不相邻，4名女生也不相邻，则有多少种排队方法；(2)若全体站成一排，男生甲不站在两端，女生乙不能站在中间，则有多少种排队方法；(3)若排成前后两排，前排3人，后排4人，且同一排的学生性别不全相同，则有多少种排队方法.【正确答案】(1)144(2)3120(3)4896【分析】（1）先将4名女生全排列，然后将3名男生插到4名女生隔出的3个空中计算；（2）分类讨论男生甲站在中间与不站在中间的两种情况，再利用分类加法计数原理计算；（3）利用捆绑法计算出前面站3名男生，后面站4名女生的情况，然后再利用所有的情况减去同一排性别相同的情况.【详解】（1）先将4名女生全排列得44A 24=种，然后将3名男生插空到4名女生之间隔出的3个空中（两端的空除外）得33A 6=种，所以不同的排法共有4343A A 246144⨯=⨯=种；（2）若男生甲站在中间，则共有66A 720=种；若男生甲不站在中间，先排中间有15A 5=种，然后再排列两端，此时有25A 20=种，最后剩下4个人全排列有44A 24=种，所以不同的排法共有12455664A 70A A 2052024312A =+⨯⨯=+⨯⨯种（3）前面站3名男生，后面站4名女生，共有3434A A 144⨯=种；所以前排3人，后排4人，且同一排的学生性别不全相同，共有734734A A A 50401444896-⨯=-=种20．如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底而所成的角为45 ，底面ABCD 为直角梯形，90222ABC BAD AD PA BC ∠∠===== ，(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ：(2)在线段PD 上是否存在点E ，使CE 与平面PAD 所成的角为45 若存在，求出有PEPD的值：若不存在，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析；15=PE PD 【分析】（1）分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出PC，AP ，CD ，由0⋅= CD PC ，0⋅=CD AP 利用线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得答案；（2）设()0,2,λλλ==- PE PD ，可得()1,21,1λλ=---CE ，求出平面PAB 的法向量，由线面角的向量求法可得λ及15=PE PD ．【详解】（1） PA ⊥平面ABCD ，∴PB 与平面ABCD 所成的角为45PBA ∠=o ，∴1AB =，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，()0,2,0=D ，()1,1,0=C ，()0,0,1=P ，()0,0,0=A ，()1,1,1=- PC ，()0,0,1= AP ，()1,1,0CD =-，所以110⋅=-+= CD PC ，⊥ CD PC ，所以0⋅= CD AP ，⊥ CD AP ，即,⊥⊥CD AP CD PC ，且AP PC P = ，所以CD ⊥平面PAC ，CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAC .（2）存在，理由如下，()1,0,0=B ，()1,1,0=C ，()0,0,1=P ，()0,2,0=D ，()0,2,1=-PD ，设()0,2,λλλ==-PE PD ，所以()0,2,1λλ=-E ，()1,21,1λλ=---CE ，因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，又AD AB ⊥，且PA AD A ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以()1,0,0AB =是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,⋅==⋅ AB CE AB CE AB CE 解得15λ=，或1λ=，当1λ=时，E 点与D 重合，不符合题意，舍去，所以当15λ=时，CE 与平面PAD 所成的角为45，且15=PE PD .21．中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数()PMI 为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布2(,)N μσ，并把质量差在(,)μσμσ-+内的产品称为优等品，质量差在(,2)μσμσ++内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，记质量差2~(,)X N μσ，求该企业生产的产品为正品的概率P ；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)（2）假如企业包装时要求把2件优等品和n (2n ≥，且*n ∈N )件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A ，否则该箱产品记为B .①试用含n 的代数式表示某箱产品抽检被记为B 的概率p ；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B 的概率为()f p ，求当n 为何值时，()f p 取得最大值，并求出最大值.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则：()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.【正确答案】（1）0.8186；（2）①2243np n n =++；②3n =时，最大值为216625.（1）根据频率分布直方图可估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数x ，再算出标准差，可得出μ和σ，得出2~(70,10)X N ，结合正品的条件，即可求出该企业生产的产品为正品的概率(6090)P P X =<<的结果；（2）由题意，结合组合的定义可知，从2n +件正品中任选两个，有22C n +种选法，其中等级相同有222C C n +种选法，通过古典概型的概率求法，利用反面求法即可求出箱产品抽检被记为B 的概率为22222C C 1C n n p ++=-，最后利用排列数的运算即可得出结果；（3）根据二项分布的概率求法求出3325()C (1)f p p p =-，化简得出关于p 的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当35p =时，()f p 取得最大值，从而可求出3n =时，()f p 最大值为216625.【详解】解：（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：4656566666760.010100.020100.045100.02010222x +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯768686960.0051022+++⨯⨯70=，即70x μ≈=，样本方差2100s =，故10σ≈=，所以2~(70,10)X N ，则优等品为质量差在(,)μσμσ-+内，即()60,80，一等品为质量差在(,2)μσμσ++内，即()80,90，所以正品为质量差在()60,80和()80,90内，即()60,90，所以该企业生产的产品为正品的概率.1(6090)(6080)(8090)(0.68272P P X P X P X =<<=<<+<<=⨯+0.9545)0.8186=（2）①从2n +件正品中任选两个，有22C n +种选法，其中等级相同有222C C n +种选法，∴某箱产品抽检被记为B 的概率为.22222222C C 211C 32324n n n n n p n n n n ++-+=-=-=++++②由题意，一箱产品抽检被记为B 的概率为p ，则5箱产品恰有3箱被记为B 的概率为332323455()C (1)10(12)10(2)f p p p p p p p p p =-=-+=-+，所以234222()10(385)10(385)10(1)(53)f p p p p p p p p p p '=-+=-+=--，所以当3(0,)5p ∈时，()0f p '>，函数()f p 单调递增，当3(,1)5p ∈时，()0f p '<，函数()f p 单调递减，所以当35p =时，()f p 取得最大值，最大值为3325333216()C ((1555625f =⨯⨯-=.此时243325n p n n ==++，解得：3n =，∴3n =时，5箱产品恰有3箱被记为B 的概率最大，最大值为216625.关键点点睛：本题考查估计频率分布直方图的平均数，以及排列数的运算，考查利用正态分布、二项分布求概率等知识，解题的关键在于导数的实际应用，利用导数研究函数的单调性和最值，从而求出()f p 的最大值，考查逻辑分析能力和运算能力.22．已知函数()()2ln f x x a x x +-=．Ra ∈(1)当a<0时，求证；()f x 有且仅有1个零点(2)若1x ≥，()1f x a ≥-，求a 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)(],1-∞【分析】（1）求导得到导函数，确定函数单调递增，计算()110f a =->，当x 趋近0时，()f x 趋近-∞，得到证明.（2）根据必要性得到()1220f a '=-≥，则1a ≤，若1a >，计算得到()1f x a <-，不成立，再证明充分性，()0f x '≥，函数单调递增，得到答案.【详解】（1）()()2ln f x x a x x +-=，()121f x x a x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，()0x >，当a<0时，()0f x ¢>，故()f x 在0x >时单调递增，()110f a =->，当x 趋近0时，()f x 趋近-∞，故当a<0时，()f x 有且仅有1个零点.（2）1x ∀≥，()1f x a ≥-，()11f a =-，必要性：()1220f a '=-≥，则1a ≤，若1a >，则()22ln ln f a a a a a a a =--=-，ln 1a a a -≥-，即ln 10a a a -+≤，设()ln 1g a a a a =-+，()ln 0g a a '=>，函数单调递增，故()()10g a g >=，不成立；充分性：当1a ≤时，()()()1211121210x x f x x a x x x x -+⎛⎫'=-+≥--=≥ ⎪⎝⎭恒成立，故函数单调递增，()()11f x f a ≥=-，满足.综上所述.(],1a ∈-∞关键点睛：本题考查了利用导数求零点问题，根据不等式恒成立问题求参数范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中必要性探路可以简化运算，是解题的关键.。
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷(文科)
江苏省南京市高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·金台月考) 若复数满足，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·船营期中) 命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（）A . ∃x0∈N，x02+2x0≤3B . ∀x∈N，x2+2x≤3C . ∃x0∈N，x02+2x0＜3D . ∀x∈N，x2+2x＜33. （2分） (2017高二上·伊春月考) 某公司在销售某种环保材料过程中，记录了每日的销售量（吨）与利润（万元）的对应数据，下表是其中的几组对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程，若每日销售量达到10吨，则每日利润大约是（）34562.534 4.5A . 7.2万元B . 7.35万元C . 7.45万元D . 7.5万元4. （2分）(2019高三上·佳木斯月考) 已知正项数列的前项和为，且，，设数列的前项和为，则的取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2018·石嘴山模拟) 在2018年石嘴山市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。
事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是（）A . 甲代表队B . 乙代表队C . 丙代表队D . 无法判断7. （2分）某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）492639m根据上表可得回归方程=bx+a中b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则a，m为（）A . a=9.1，m=54B . a=9.1，m=53C . a=9.4，m=52D . a=9.2，m=548. （2分）执行如图所示的程序框图，如果输入x，t的值均为2，最后输出S的值为n，在区间[0，10]上随机选取一个数D，则D≤n的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件10. （2分）若z1 ，z2∈R，则|z1•z2|=|z1|•|z2|，某学生由此得出结论：若z1 ，z2∈C，则|z1•z2|=|z1|•|z2|，该学生的推理是（）A . 演绎推理B . 逻辑推理C . 归纳推理D . 类比推理11. （2分） (2019高三上·郑州期中) 下列命题中正确的是（）A . “ ”是“ ”的充分不必要条件B . 命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”C . 命题“ ”的否定是“ ”D . 若则恒成立12. （2分）数列， 3，，，，…，则9是这个数列的第（）A . 12项B . 13项C . 14项D . 15项二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·上海月考) 在数列－1，0，，…中，0.08是它的第________项．14. （1分）在极坐标系中，设曲线C1：ρcosθ=1与C2：ρ=4cosθ的交点分别为A、B，则|AB|=________15. （1分）复数i（1+i）（i是虚数单位）的虚部是________16. （1分）已知a，b∈R，满足a2+3ab+9b2=4，则Z=a2+9b2的取值范围为________ ．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二下·潍坊期末) 已知{fn（x）}满足f1（x）= （x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]，（1）求f2（x），f3（x），并猜想fn（x）的表达式；（2）用数学归纳法证明对fn（x）的猜想．18. （10分）已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+...+an(x-1)n ，（其中）.（1）求 a0 及Sn=a1+a2+...+an ；（2）试比较 Sn 与(n-2)2n+2n2 的大小，并用数学归纳法给出证明过程.19. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数（其中，为自然对数的底数，）.（1）若，求函数的单调区间；（2）证明：当时，函数有两个零点，且 .20. （10分） (2016高一下·河源期末) 已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函数f（x）= 的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x= 上，且 = ．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1=0，当n≥2时，Sn=f（）+f（）+f（）+…+f（），求Sn．21. （10分）(2017·太原模拟) 随着雾霾日益严重，很多地区都实行了“限行”政策，现从某地区居民中，随机抽取了300名居民了解他们对这一政策的态度，绘成如图所示的2×2列联表：反对支持合计男性7060女性50120合计（1）试问有没有99%的把握认为对“限行”政策的态度与性别有关？（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的居民（人数很多）中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中反对的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．K2= ，其中n=a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.82822. （10分）(2018·延安模拟) 已知函数， .（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2023-2024学年江苏省南京市高二下册期中数学模拟试题2(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，23a =，39a =，则5a =()A ．27B ．36C ．54D ．81【正确答案】D【分析】根据等比数列的定义求其公比即可求其第5项．【详解】公比32933a q a ===，∴25239381a a q =⋅=⨯=．故选：D ．2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,1b x = ，且a b ⊥ ，那么b 等于（）AB．CD ．5【正确答案】C【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.【详解】因为()1,2,1a =- ，()3,,1b x = ，且a b ⊥，所以132110x -⨯++⨯=，即1x =，所以()3,1,1b =，所以b == 故选：C ．3．如图，在三棱锥S —ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足12EG GF =，若SA a = ，SB b = ，SC c = ，则SG = （）A ．111326a b c-+ B ．111362a b c-+C ．111632a b c-+ D ．111366a b c++【正确答案】D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得()1133SG SE EG SE EF SE SF SE=+=+=+-()2121133332SE SF SE SB SC =+=+⋅+()111362113626SA SB S a c C b ++=⋅++=.故选：D4．已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合，则此椭圆方程为A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=【正确答案】A【详解】试题分析：抛物线24y x =-的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，故选A ．1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（）A ．13B ．47C ．23D ．34【正确答案】A先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可【详解】解：由已知得22432793()217C C P A C +===,232731()217C P AB C ===，则()P B A =1()173()37P AB P A ==，故选：A此题考查条件概率问题，属于基础题6．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n 行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n =（）A ．21B ．22C ．23D ．24【正确答案】B【分析】由题意可知，第n 行的数就是二项式()na b +的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果.【详解】由题意可知，第n 行的数就是二项式()na b +的展开式中各项的二项式系数.因为只有第12项的二项式系数11n C 最大，所以n 为偶数，故112n=，解得22n =，故选：B7．将4名北京冬奥会志愿者分配到短道速滑、冰球和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．36种B ．72种C ．108种D ．144种【正确答案】A【分析】先将4名志愿者分成3组，然后再分配3个项目.【详解】解：先从4名志愿者中选出两名作为一组，其余每人个为一组，共24C 6=种方法，然后将3组志愿者分配到3个不同项目，共33A 6=种，所以总的分配方案为6636⨯=种.故选：A.8．已知函数()ln xf x x=，()()g x f x kx =-，若()g x 有两个零点，则k 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】D 【分析】根据题意可得ln x kx x =，即()ln xf x x =与y kx =有两个交点．【详解】令()0g x =，则ln xkx x=()ln xf x x=与y kx =有两个交点，则()21ln x f x x -'=设直线与()ln xf x x =相切时，切点坐标为000ln ,x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则斜率00201ln x k x -=则切线方程为()000020ln 1ln x x y x x x x --=-∵切线过原点()0,0O ，代入得0000ln ln 1x x x x --=，解得0x =∴012e k =，因为()ln x f x x =与y kx =有两个交点，所以10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：D ．二、多选题9．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布()110,81N ，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()220.9545P μσξμσ-<<+=（）A ．该校学生成绩的期望为110B ．该校学生成绩的标准差为9C ．该校学生成绩的标准差为81D ．该校学生成绩及格率超过95%【正确答案】ABD【分析】利用正态分布的性质以及“3σ原则”进行计算即可.【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布()110,81N ，则110μ=，方差为281σ=，标准差为9σ=，21102992μσ-=-⨯= ，()()()()11909222222P P P P ξξξμσμσξμσ≥>≥=≥-=+-<<+110.95450.977250.9522=+⨯=>.所以，该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%.所以，ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD.10．一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（）A ．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X 服从二项分布B ．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y 服从超几何分布C ．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为114D ．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为542【正确答案】ABD【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断.【详解】对A ，取出白球和取出黑球的概率分别为410和610，符合二项分布，故A 正确；对B ，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列446410()k k C C P Y k C -==，符合超几何分布，故B 正确；对C ，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为22464103(2)7C C P Y C ===，故C 错误；对D ，取出的白球为3和4，故()()3140464644101053442C C C C P P Y P Y C C ==+==+=，故D 正确.故选：ABD.关键点睛：解决本题的关键是正确理解二项分布和超几何分布的概念.11．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1【正确答案】AD【分析】对于AB ，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB 所在直线的方程，对于C ，求出圆心1(1,0)O 到公共弦的距离d ，然后利用弦心距，弦和半径r 的关系可求出公共弦的长，对于D ，点P 到直线AB 距离的最大值为d r+【详解】由2220x y x +-=与22240x y x y ++-=作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确，B 错误；对于C ，圆心1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为2d ==，圆1O 的半径1r =，所以AB ==C 错误；对于D ，点P 为圆1O 上一动点，则点P 到直线AB 距离的最大值为1d r +=+，故D 正确.故选：AD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACDD ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为3【正确答案】ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B,如图所示,以D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D ,()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以()12,2,2A C =-，()2,2,0AC =- ，()12,0,2AD =- ，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=--- ，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z =则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =得()11,1,1n =设平面EFG 的法向量()2222,,n x y z =,则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩取21x =,得21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭ ,平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n设12n kn = ,即()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得451,k λ==，01λ≤≤ ，不合题意∴线段1B C 上不存在点G ,使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n =则sin FG n FG n θ⋅= 因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以sin 3θ=所以sin θ的最大值为3．故D 正确．故选：ABD三、填空题13．已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =【正确答案】1或-1直接利用两直线平行斜率相等列方程求解即可.【详解】0a =时，不合题意；0a ≠时，由直线10x ay --=与直线y ax =平行可得直线斜率相等，即11a a a=⇒=±，故1或-1.14．10871087A 89A 8A --=_________．【正确答案】0【分析】根据排列数的定义计算．【详解】10871087A 89A 8A 10!898!8!8!8!0--=-⨯-=-=.故0.15．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球､5个红球，乙箱中有8个红球､2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1,2,3,4，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为___________.【正确答案】710/0.7【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为2163=，再从甲箱中摸到红球的概率为51102=，故从甲箱中摸到红球的概率为1111326P =⨯=；从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为4263=，再从乙箱中摸到红球的概率为84105=，故从乙箱中摸到红球的概率为22483515P =⨯=；综上所述：摸到红球的概率为12187++61510P P P ===.故71016．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()1,2n n n a a S m m +=+∈R ，且3510a a +=，则m =__________.【正确答案】1-【分析】利用11n n n a S S ++=-得出数列{}n a 是等差数列，且公差为1，然后求得1a ，再代入111(1)2a a S m +=+可得．【详解】()12n n n a a S m +=+，111(1)2n n n a a S m ++++=+，1111(1)(1)22n n n n n n n a a a a a S S ++++++=-=-，11()(1)0n n n n a a a a +++--=，0n a >，10n a +>，∴110n n a a +--=，即11n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列，公差为1，35112410a a a a +=+++=，12a =，1111(1)2a a S a m +==+，即2(21)22m +=+，1m =-．故1-．四、解答题17．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123*0123(21)n n n x a a x a x a x a x n -=++++⋅⋅⋅+∈N ，若(21)n x -的展开式中，______.（1）求n 的值及展开式中所有项的系数和；（2）求展开式中含3x 的项.【正确答案】（1）若选①，10n =，若选②，10n =，若选③，10n =，系数和为1；（2）3960x -.【分析】（1）若选①，则52n =，即可求得n 值，若选②，则37n n C C =，即可求得n 值，若选③，则1022n =，即可求得n 值，令1x =代回原式，即可得系数和.（2）先求得展开式的通项公式，令3r =，即可得答案.【详解】（1）若选①，则52n=，解得10n =；若选②，则37n n C C =，解得10n =；若选③，则1022n =，解得10n =，令1x =，可得系数和为012310(211)n a a a a a ++++⋅⋅⋅-=+=.（2）由（1）可得1010(21)(12)x x -=-+展开式的通项公式为：101011010(1)(2)(1)2rrr rr r r r T C x C x --+=-=-，令3r =，可得含3x 的项为310333310(1)2960C x x --=-.18．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，3a ，5a 成等比数列，121a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足131n n n b a a ++=，*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)1n a n =-(2)23234264n n T n n +=-++【分析】(1)根据等差数列与等比数列的性质联立方程组，计算即可.(2)利用裂项相消法计算即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，∵2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2325a a a =，又121a a +=．联立可得()()()211112421a d a d a d a d ⎧+=++⎪⎨+=⎪⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩，∴()0111n a n n =+-⨯=-．（2）()1311111222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，∴数列{}n b 的前n 项和11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭23234264n n n +=-++．19．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．（1）求每一位抽奖者中奖的概率；（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X 表示中奖的人数，求X 的分布列及均值．【正确答案】（1）310；（2）分布列见解析，()0.9E X =.【分析】（1）根据古典概型公式计算即可；（2）由题知，33,10XB ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布概率公式计算即可得答案.【详解】解：（1）根据题意，结合古典概型公式，每一位抽奖者中奖的概率2325310C P C ==（2）由题可知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，003333(0)()(10.3431010P X C ==-=，112333(1)((1)0.4411010P X C ==-=，221333(2)((1)0.1891010P X C ==-=，330333(3)((10.0271010P X C ==-=，所以X 的分布列为：X123P0.3430.4410.1890.027所以()0.44120.18930.0270.9E X =+⨯+⨯=.20．如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）证明：AB PD ⊥；（2）若PA PD AB ==，90APD ∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析；(2)33【分析】（1）由平面PAD ⊥平面ABCD 可得AB ⊥面PAD ，从而可得AB PD ⊥；（2）建立空间直角坐标系，求出向量AQ 及面PBC 法向量n，代入公式即可得到结果.【详解】（1）依题意，面PAD ⊥面ABCD ，AB AD ⊥，∵AB ⊂面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD AD =，∴AB ⊥面PAD .又PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥.（2）解法一：向量法在PAD ∆中，取AD 中点O ，∵PA PD =，∴PO AD ⊥，∴PO ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA 为x 轴，过点O 且平行于AB 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设2PA =，∵90APD ∠=︒，∴AD =∴(P，)B，()2,0C，)A，,1,22Q ⎪⎝⎭，∴2,PB =，()BC =-，,1,22AQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设面PBC 法向量为(),,n x y z =，则200n PB y n BC ⎧⋅+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得(n = .设直线AQ 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,AQ n AQ n AQ nθ⋅=<>==⋅ ，因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴cos θ=所以直线AQ 与平面PBC所成角的余弦值为3.（2）解法二：几何法过P 作PO AD ⊥交于点O ，则O 为AD 中点，过A 作PO 的平行线，过P 作AD 的平行线，交点为E ，连结BE ，过A 作AH BE ⊥交于点H ，连结QH ，连结BO ，取中点M ，连结QM ，AM，四边形AOPE 为矩形，所以PE ⊥面ABE ，所以PE AH ⊥，又BE AH ⊥，所以AH ⊥面PBE ，所以AQH ∠为线AQ 与面PBC 所成的角.令AO a =，则AE a =，AB，BE =，由同一个三角形面积相等可得AH ，QAM ∆为直角三角形，由勾股定理可得AQ a =，所以sin AH AQH AQ ∠=又因为AQH ∠为锐角，所以cos AQH ∠=，所以直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值为3.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线C 的右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-．(1)求双曲线C 的方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点．求证：OMN 的面积为定值．【正确答案】(1)2213x y -=(2)证明见解析【分析】（1）设()()12,0,,0F c F c -,通过22121AF AF a c ⋅=-=-,求解b ,通过(),0A a 在圆O 上,求解a ,得到双曲线C 的标准方程.（2）当动直线l 的斜率不存在时,求解三角形的面积;当动直线l 的斜率存在时,且斜率bk a≠±,不妨设直线:l y kx m =+,联立直线与双曲线方程,求出2231k m =+,然后求解M N 、的坐标,求解MN ,结合原点O 到直线:0l kx y m -+=的距离,求解OMN 的面积是为定值即可.【详解】（1）不妨设()()12,0,,0F c F c -,因为(),0A a ,从而()()12,0,,0AF c a AF c a =--=- 故由22121AF AF a c ⋅=-=-,又因为222+=a b c ,所以1b =,又因为(),0A a 在圆22:3O x y +=上,所以a =所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=（2）设直线l 与x 轴交于D点，双曲线的渐近线方程为3y x =±由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点,且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M N 、,当动直线l 的斜率不存在时,:l x =OD =12,22OMN MN S ==⨯△,当动直线l 的斜率存在时,且斜率k ≠不妨设直线:l y kx m =+,故由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()222136330k x mkx m ⇒----=依题意，2130k -≠且0m ≠()()()222Δ6413330mk k m =-----=,化简得2231k m =+,故由33M y kx m x y x ⎧=+⎪⎪⇒⎨=⎪⎪⎩,同理可求,N x =所以M N MN x =-=又因为原点O 到直线:0l kx y m -+=的距离d =,所以12OMNS MN d ==△,又由2231k m =+所以OMN S =△故OMN 的面积是为定值,22．已知函数()()2e xf x x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；(2)设()()ln 2g x f x x x =+-+，记函数()y g x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为()()g a a R ∈，证明.()1g a <-【正确答案】(1)22e 2e 0x y --=(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导数判断出()g x 在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，得到()max g x 00232x x =--.令()232G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求出()()11G x G <=-，即可证明.【详解】（1）由题意可得()()1e x f x x '=-，所以()()22221e e f '=-=.又知()20f =，所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为()20e 2y x -=-，即22e 2e 0x y --=.（2）由题意()()()ln 22e ln 2xg x f x x x x x x =+-+=--++，则()()()()111e 2e 11e 11e x xx x g x x x x x x x ⎛⎫'=+--+=--+=-- ⎪⎝⎭.当112x <<时，10x -<.令()1e xh x x =-，则()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.因为121e 202h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即001e xx =，即00ln x x =-，故当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x <，又10x -<，故此时()0g x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x >，又10x -<，故此时()0g x '<.即()g x 在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，则()()()()00000max 2e ln 2xg x g a g x x x x ===--++()000000122232x x x x x x =-⋅--+=--.令()232G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22221220x G x x x-=-=>'，所以()G x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()11G x G <=-，所以()1g a <-.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数证明不等式．。
南京市高二下学期期中数学试卷(文科)(I)卷
南京市高二下学期期中数学试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设连续正整数的集合I={1，2，3，…，238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是（）A . 204B . 207C . 208D . 2092. （2分）(2017·宜宾模拟) 若非零向量，，满足| |=| |，（﹣2 ）• =0，则与的夹角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高三上·唐山期末) 若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A . 12B . 8C . 6D . 44. （2分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）A .B . 且C . ，D .5. （2分） (2016高二上·宜昌期中) 如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A . ①B . ②C . ③D . ④6. （2分）已知方程x2sinθ+y2=sin2θ表示焦点在y轴上的双曲线，则点P（cosθ，sinθ）在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分）若两个等差数列和的前n项和分别是和，已知，则（）A . 7B .C .D .8. （2分）(2018·唐山模拟) 甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）设函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣，1]，给出以下四个结论：①b﹣a的最小值为②b﹣a的最大值为③a可能等于2kπ﹣（k∈z）④b可能等于2kπ﹣（k∈z）其中正确的有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个10. （2分）已知数列的通项公式是，则等于（）A . 70B . 28C . 20D . 811. （2分）以下给出的是计算的值的一个程序框图,如左下图所示,其中判断框内填入的条件是（）A . i >10B . i＜10C . i >20D . i <2012. （2分）若一系列的函数解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同型异构”函数．那么函数解析式为y=﹣x2 ，x∈R，值域为{﹣1，﹣9}的“同型异构”函数有（）A . 10个B . 9个C . 8个D . 7个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·上饶月考) =________．14. （1分）长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点在同一个球面上，则该球的表面积________．15. （1分） (2017高一下·启东期末) 在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k 变化时，原点O到直线l的距离的最大值为________．16. （1分） (2018高二下·西宁期末) 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：，则圆C截直线l所得弦长为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高三上·泰安期中) 已知函数．（I）若α是第二象限角，且的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．18. （10分） (2018高二下·遵化期中) 某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多.（1）根据以上数据建立一个列联表.（2）对于该班学生，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？下面临界值表仅供参考：0.050.010.0013.841 6.63510.828参考公式： .19. （5分）(2018·北京) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ，PA⊥PD ，PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.20. （10分） (2016高二上·武邑期中) 已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求；（2）若△OAB的面积等于12 ，求直线l的方程．21. （10分）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线L的方程，并证明：除点A外，曲线y=f（x）都在直线L 的下方；（2）若函数h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点，求a的取值范围．22. （10分） (2016高一上·无锡期末) 如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求| + |的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求• 的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省南京市数学高二下学期文数期中考试试卷
江苏省南京市数学高二下学期文数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 在复平面内，与复数 对应的点位于 （ ） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限2. （2 分） (2018 高二下·西宁期末) “”是“”的（ ）条件A . 充分而不必要B . 必要而不充分C . 充要D . 既不充分也不必要3. （2 分） 若关于 x 的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＜a2﹣4a 有实数解，则实数 a 的取值范围为（ ）A . （﹣∞，1）∪（3，+∞）B . （1，3）C . （﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）D . （﹣3，﹣1）4. （2 分） (2017 高二下·宾阳开学考) 已知动点 P 在曲线 2y2﹣x=0 上移动，则点 A（﹣2，0）与点 P 连线 中点的轨迹方程是（ ）A . y=2x2B . y=8x2第 1 页 共 14 页C . x=4y2﹣1 D . y=4x2﹣5. （2 分） 已知双曲线的标准方程为， F 为其右焦点，A1 ， A2 是实轴的两端点，设 P 为双曲线上不同于 A1 ， A2 的任意一点，直线 A1P，A2P 与直线 x=a 分别交于两点 M，N，若， 则 a 的值为（ ）A.B.C.D. 6. （2 分） (2017 高二下·赣州期中) 两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们对应 的回归系数 r 如下，其中变量之间线性相关程度最高的模型是（ ） A . 模型 1 对应的 r 为﹣0.98 B . 模型 2 对应的 r 为 0.80 C . 模型 3 对应的 r 为 0.50 D . 模型 4 对应的 r 为﹣0.257. （2 分） 若函数 f（x）= x3+x2﹣ 在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A . [﹣5，0） B . （﹣5，0） C . [﹣3，0） D . （﹣3，0） 8. （2 分） 已知实数 a、b 满足 a2+b2=1，设函数 f（x）=x2﹣4x+5，则使 f（a）≥f（b）的概率为（ ）第 2 页 共 14 页A. +B.C.D. + 9. （2 分） 函数 y=xcosx-sinx 在下列哪个区间内是增函数（ ）A. B.C.D.10. （2 分） (2017·云南模拟) 过点 P（1，﹣3）的直线既与抛物线 y=x2 相切，又与圆（x﹣2）2+y2=5 相切， 则切线的斜率为（ ）A . ﹣6B . ﹣2C . ﹣1D.311. （2 分） (2019 高一上·浙江期中) 已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2 ， g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设 H1(x)＝max，H2(x)＝min(max表示 p，q 中的较大值，min表示 p，q 中的较小值)．记 H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B，则 A－B＝（ ）A . 16 B . －16 C . a2－2a－16第 3 页 共 14 页D . a2＋2a－1612. （2 分） (2020·长沙模拟) 已知点 物线 的焦点，点 在抛物线 上.在是抛物线 中，若的对称轴与准线的交点，点 为抛 ，则 的最大值为（ ）A.B. C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017·南通模拟) 在平面直角坐标系 为 3，则点 的横坐标是________．中，已知抛物线上一点 到焦点的距离14.（1 分）(2016 高二下·重庆期末) 设曲线 y=eax 在点（0，1）处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直，则 a=________．15. （1 分） (2018·商丘模拟) 已知曲线 率为 ，直线 交 轴、 轴分别于点在点，且.处的切线 的斜给出以下结论：①④当时，记数列所有正确结论的序号）；②当时， 的最小值为的前 项和为 ，则；③当时，；.其中，正确的结论有________．(写出16. （1 分） (2019 高一下·蛟河月考) 设，则三、 解答题 (共 7 题；共 75 分)17. （10 分） (2018 高三上·成都月考) 己知函数（1） 求时曲线在点处的切线方程；的最大值为________，函数．（2） 设函数在上是单调函数，求实数 k 的取值范围．第 4 页 共 14 页18. （20 分） 假设关于某设备的使用年限 x 和支出的维修费用 y（万元），有如下表的统计资料：使用年限 x23456维修费用 y2.23.85.56.57.0若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系，试求：（1）线性回归方程.（2）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少.（3）计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和.（4）求 并说明模型的拟合效果.19. （10 分） (2019 高三上·双流期中) 如图，在四棱锥中，平面，，，，， 是 的中点．（1） 求 和平面 （2） 求二面角所成的角的大小． 的正弦值．第 5 页 共 14 页20. （10 分） (2017·甘肃模拟) 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2 ， 椭圆 C 过点 P（1， ），直线 PF1 交 y 轴于 Q，且 （1） 求椭圆 C 的方程；=2 ，O 为坐标原点．（2） 设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k2=2，证明：直线 AB 过定点．21. （15 分） (2016 高三上·莆田期中) 已知函数 f（x）=lnx﹣ax+ b 为常数．，且 f（x）+f（） =0，其中 a，（1） 若函数 f（x）的图象在 x=1 的切线经过点（2，5），求函数的解析式；（2） 已知 0＜a＜1，求证：f（ ） ＞0； （3） 当 f（x）存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围．22. （5 分） (2020 高三上·渭南期末) 在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），曲线 的参数方程为（ 为参数），以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线 交曲线 于 ， 两点，交曲线 于 ， 两点，求 的长． 23. （5 分） (2017·南通模拟) 选修 4-5：不等式选讲 设 a，b 为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）＞（a+b）3 ．第 6 页 共 14 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 75 分)17-1、17-2、18-1、第 8 页 共 14 页18-2、 18-3、 18-4、 19-1、第 9 页 共 14 页19-2、 20-1、第 10 页 共 14 页20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
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参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n ∑i =1n(x i －x -)2，其中x -＝1n ∑i =1n x i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数1z在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ▲ ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90 km/h4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数(第5题)(第3题)(第4题) S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S5060708090速度(km/h)0.010.020.030.04据的方差为▲．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为▲分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：则他射击1次，至少命中9环的概率为▲．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x，则x∈[0，1]的概率为▲．9．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．10．为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ▲ ．11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ．12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)= ▲ .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：（第11题）（第10题）（第9题）①(a＋b)2＝a2＋2a•b＋b2；②若a•b＝a•c，则b＝c；③(a+b)•c=a•c+ b•c；④(a•b)•c=a•(b•c)；那么类比于此，对于非零向量→a，→b，→c，相应命题仍然成立的所有序号是▲．14．设函数f(x) = 12x+ 2，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－2015)+ f(－2014)+ f(－2013)+…+ f(2014)+f(2015)+ f(2016)的值为▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z1满足z1·i＝1＋i (i为虚数单位)，复数z2的虚部为2．(1)求z1；(2)复数z1z2是纯虚数时，比较｜z1｜与｜z2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：(1)上表中①②位置的数据分别是多少？(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率．18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *). (1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由．20．已知函数f (x )= ln xx．(1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值；(2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a的值；(3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m ，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．13 9．510．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．32 13．①③14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2)z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分｜z 1｜＝2， ｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分(没有任何过程，最多得4分)(2)660＝0.1，………………………………………………………………………………8分30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分17．(1)设事件A为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)，事件A包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分因为每个基本事件发生的可能性都相同，----------------------5分所以，事件A发生的概率P(A)＝56． ----------------------7分(2)设事件B为“方程x2－2bx＋c2＝0无实根”；------------------……………---8分当Δ＝4b2－4c2＝4(b2－c2)＜0，即b＜c时，方程x2－2bx＋c2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b的取值，第二个数表示c的取值．--…………--4分事件B包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分 (第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n＋1a n ＝2·a n －1得a n＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分 代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列．证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立， 所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分由1a1－1＝12，所以1a n－1＝12＋n－1，变形得a n－1＝22n－1，…………………………………………………………………14分所以a n＝2n＋12n－1为数列{a n}的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x23＋y²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M，N不与点B重合，所以直线AM的斜率存在，且不为零．………………5分设AM的斜率为k，则AN的斜率为－直线AM方程：y=kx+1，直线AN方程：y=－将AM方程代入椭圆，整理：x －12．……………………………………………………15分 由此，可知，过定点(0，－12)．………………………………………………………16分 解法二设直线MN 方程为y =kx + m ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，可得m =－12． 20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln x x2． 令f ' (x )＝1－ln x x2＝0，则x =e ． 列表如下：当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分(2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立．令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－ax x，x >0. 若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(2a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立.……………………………………………………………………………………………8分若a >2，则当x ∈(2a，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a)时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意.故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分(3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减．又∵当x→+∞时，f(x)→0．∴总存在正实数m，n且1＜m＜e＜n，使得f(m)=f(n)，即ln mm=ln nn，即m n=n m．。